中职数学第七章平面向量章节复习课件

中职向量知识点总结

一、向量的基本概念

1. 向量的定义：向量是具有大小和方向的量，通常用有向线段表示，记作a或AB。

2. 向量的表示：在平面直角坐标系中，向量通常表示为(a₁, a₂)或用i、j分别表示向量在x轴和y轴的分量。

3. 向量的模：向量a的模记作 ||a||，表示向量的长度。

4. 向量的方向角：向量a与x轴正半轴之间的夹角记作α，与y轴正半轴之间的夹角记作β。

5. 向量的平行：向量a与b平行，称为a与b共线，记作a∥b。

6. 向量的相等：当且仅当两个向量的模相等，方向角相等时，这两个向量相等。

二、向量的运算

1. 向量的加法：

(1) 三角形法则：将两个向量的起点相接，第一个向量的终点与第二个向量的起点相接，第二个向量的终点就是它们的和向量的终点。

(2) 特别地，若已知a的终点A，b的起点B与a的终点A相连得到向量a+b的终点C，则向量a+b的始点为b的起点B。

(3) 加法交换律：a+b=b+a。

(4) 加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。

2. 向量的数量积：

(1) 定义：向量a与向量b的数量积为a·b=||a||·||b||·cos⁡θ。

(2) 向量的夹角：向量a与向量b的夹角记作θ。

(3) 性质：a·b=b·a，a·0=0，a·a=||a||²。

(4) 计算公式：设向量a=(x₁,y₁)，b=(x₂,y₂)，则a·b=x₁x₂+y₁y₂。

三、平行四边形的性质

1. 平行四边形的定义：有对边平行的四边形称为平行四边形。

2. 平行四边形的性质： (1) 对角线互相平分：以平行四边形的两对角点为顶点的两条对角线相交于一点，且互相平分。

(2) 邻边互补：平行四边形的邻边互相互补。

(3) 对边平行：平行四边形的对边互相平行。

(4) 邻边等长：平行四边形的邻边相等。

(5) 对角线长度关系：平行四边形的对角线互相等长。

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一、教学内容

1. 第一章：实数与函数

第一节：实数的概念与性质

第二节：函数的概念与性质

第三节：初等函数及其图像

2. 第二章：三角函数

第一节：锐角三角函数

第二节：三角函数的图像与性质

第三节：和差公式与倍角公式

3. 第三章：平面向量

第一节：向量的概念与运算

第二节：向量的坐标表示

第三节：向量平行与垂直的条件

4. 第四章：解析几何

第一节：坐标系与方程

第二节：直线方程

第三节：圆的方程

二、教学目标

1. 理解并掌握实数、函数、三角函数、向量、解析几何的基本概念与性质。

2. 学会运用初等函数、三角函数、向量运算、直线与圆的方程解决实际问题。 3. 培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力。

三、教学难点与重点

1. 教学难点：三角函数的图像与性质、向量坐标表示、直线与圆的方程。

2. 教学重点：实数与函数的基本概念、三角函数的应用、解析几何在实际问题中的应用。

四、教具与学具准备

1. 教具：多媒体教学设备、投影仪、黑板。

2. 学具：教材、笔记本、文具。

五、教学过程

1. 实践情景引入：以实际生活中的问题为例，引入实数与函数的概念。

2. 例题讲解：详细讲解教材中的例题，使学生理解并掌握相关知识点。

3. 随堂练习：针对每个知识点设置练习题，巩固所学内容。

六、板书设计

1. 板书内容：各章节、重要概念、公式、例题、随堂练习。

2. 板书布局：左侧展示概念与公式，右侧展示例题及解答。

七、作业设计

1. 作业题目：

第一章：实数的性质、函数的定义域与值域。

第二章：三角函数的图像与性质、和差公式。

第三章：向量的坐标表示、向量平行与垂直的条件。

第四章：直线方程、圆的方程。答案：见教材课后习题解答。

八、课后反思及拓展延伸

中职数学目录

1

第1章集合

1.1集合与元素

1.2集合的表示法

1.3集合之间的关系

1.4集合的运算

1.5充要条件

第2章不等式

2.1不等式的基本性质

2.2区间

2.3一元二次不等式

2.4含绝对值的不等式

第3章函数

3.1函数的概念

3.2函数的表示法

3.3函数的单调性

3.4函数的奇偶性

3.5函数的实际应用

第4章指数函数与对数函数

4.1实数指数幂

4.2幂函数

4.3指数函数

4.4对数的概念

4.5对数的运算

4.6对数函数

4.7利用计算器求对数值

4.8指数函数、对数函数的实际应用

第5章三角函数

5.1角的概念推广

5.2弧度制

5.3任意角的三角函数

5.4同角三角函数的基本关系

5.5三角函数的诱导公式

5.6正弦函数的图像与性质

5.7余弦函数的图像与性质

5.8已知三角函数值求角

第6章数列

6.1数列

6.2等差数列

6.3等比数列

6.4数列的实际应用

第7章平面向量

7.1平面向量

7.2平面向量的加法、减法和数乘向量

7.3平面向量的坐标表示

4平面向量的内积

第8章直线与圆的方程

8.1两点间距离公式及中点公式

8.2直线的倾斜角和斜率

8.3直线的方程

8.4 点到直线的距离公式

8.5两条直线的位置关系

8.6圆的方程

8.7直线与圆的位置关系

8.8 直线与圆的方程的实际应用

第9章立体几何

9.1平面的基本性质

9.2空间两条直线的位置关系

9.3直线和平面的位置关系

9.4平面和平面的位置关系

9.5柱、锥、球及其组合体

第10章概率统计

10.1计数原理

10.2随机事件和概率

10.3概率的简单性质

10.4 等可能事件的概率

10.5 总体、样本和抽样方法

10.6 总体分布估计

10.7总体特征值估计

10.8一元线性回归

2

第11章逻辑代数初步

11.1 二进制及其转换

11.2 命题逻辑与条件判断

[精品]人教版中职数学教案-第七章--平面向量[9份教案]

7.1.1 位移与向量的表示

【教学目标】

1. 了解有向线段的概念，理解并掌握向量的有关概念和向量相等的含义．

2. 会用有向线段表示向量，并能根据图形判定向量是否平行、相等．

3. 通过教学培养学生数形结合的能力．

【教学重点】

向量的概念．

【教学难点】

向量的概念．

【教学方法】

这节课主要采用启发式教学和讲练结合的教学方法．从物理背景和几何背景入手，建立起学习向量概念及其表示方法的基础，结合丰富的实例，归纳、概括向量的有关概念，使学生容易理解．同时结合习题让学生加深对相等向量的理解．

【教学过程】

环节教学内容师生互动设计意图

导

入阅读教材P31前三自然段，认识数量与向量的不同．

举出向量的其他例子．

教师提出问题．

学生阅读教材，回答数量与向量的不同：向量不仅有大小而且有方向；数量只有大小．

学生回顾物理中学过的向量：力、速度等．通过阅读教材中的例子与物理中学过的其他实例，由具体到抽象，概括、认识向量概念，符合职校学生的认知能力．

新

课

1．向量的概念

具有大小和方向的量叫做向量．

2．向量的表示方法

问题1 如何描述平面上一点的位移？

（1）用有向线段来表示向量．有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向．

（2）用有向线段 →AB 来表示向量

教师结合教材图7-1，引导学生体会用有向线段可以表示位移这样具有大小和方向的向量．

让学生画有向线段描述位移：“北偏东45，3个单位” ．

教师给出向量表示法．

让学生在自己画好的向量上标注→AB或→a．

结合教材中实例引入有向线段，学生感觉自然，易于接受．

通过作图进一步加深对向量两个要素以及为什么可以用有向线段表示向量的认识．

让学生自己动手A B

始点终点

新

课

时，我们也称为向量 →AB ；在印刷时，向量常用黑体小写字母 a，b，c，…来表示，书写时，则常用带箭头的小写字母

中职数学教案：向量的线性运算(全4课时)

中等专业学校2023-2024-1教案

编号：

备课组别数学组课程名称数学所在

年级二年级主备

教师

授课教师授课系部授课班级授课

日期

课题 2.2向量的线性运算（1）

教学

目标 1. 掌握向量的加法运算，并理解其几何意义

2．通过教学，培养学生的观察、分析、归纳、推理的能力，培养学生类比

分析的能力

重点向量的加法三角形法则

难点向量的加法三角形法则

教法引导探究，讲练结合

教学设备多媒体一体机

教学

环节教学活动内容及组织过程个案补充

教

学

内

容复习

1、向量的概念，两个要素是什么？

2、画出一个向量，并用字母表示出来。

3、什么是共线向量？画出一组共线向量？（强调可以方向相同，可以相反；可以在一条线上也可能不在一条线上。）

4、相等向量、负向量的概念及图形。

二、组织教学

创设情境，兴趣导入：

王涛同学从家中（A处）出发，向正南方向行走500 m到达超市（B处），买了文具后，又沿着北偏东60°角方向行走200 m到达学校（C处）（如图7－6）．王涛同学这两次位移的总效果是从家（A处）到达了学校（C处）．.

教

学

内

容

动脑思考探索新知

位移AC叫做位移AB与位移BC的和，记作AC=AB+BC．

一般地，设向量a与向量b不共线，在平面上任取一点A(如图7－6)，依次作AB=a, BC=b，则向量AC叫做向量a与向量b的和，记作a＋b ，即

a＋b =AB＋BC=AC

求向量的和的运算叫做向量的加法．上述求向量的和的方法叫做向量加法的三角形法则．

观察图7－7可以看到：依照三角形法则进行向量a与向量b的加法运算，运算的结果仍然是向量，叫做a与b的和向量．其和向量的起点是向量a的起点，终点是向量b 的终点

.加法的交换律和结合律

１）向量加法的交换律：a+b=b+a

２）向量加法的结合律：(a+b) +c=a+ (b+c)

中职数学平面向量教案

第一章：向量的概念

1.1 向量的定义

介绍向量的概念，向量的表示方法（字母表示和箭头表示）

通过实际例子解释向量的方向和大小

1.2 向量的几何表示

介绍向量的几何表示方法，箭头表示向量的方向和长度

绘制向量图，让学生理解向量的直观表示

1.3 向量的坐标表示

介绍向量的坐标表示方法，二维和三维空间中的向量坐标表示

解释坐标轴上的向量表示，以及坐标系中的向量表示

第二章：向量的运算

2.1 向量的加法

介绍向量的加法运算，同一直线上的向量加法，不同直线上的向量加法

利用图形和坐标表示向量的加法运算

2.2 向量的减法

介绍向量的减法运算，通过加上相反向量实现向量的减法

利用图形和坐标表示向量的减法运算

2.3 向量的数乘

介绍向量的数乘运算，即向量与实数的乘积

解释数乘运算的性质和运算规律，利用图形和坐标表示向量的数乘运算

第三章：向量的数量积 3.1 向量的数量积定义

介绍向量的数量积概念，即向量的点积

解释数量积的性质和运算规律

3.2 数量积的计算公式

介绍数量积的计算公式，即两个向量的数量积等于它们的模长的乘积与夹角的余弦值的乘积

利用图形和坐标表示数量积的计算

3.3 数量积的应用

介绍数量积的应用，如判断两个向量的垂直关系，计算向量的模长和夹角

利用实际例子展示数量积的应用

第四章：向量的叉积

4.1 向量的叉积定义

介绍向量的叉积概念，即向量的叉积结果为一个向量，其方向垂直于原来的两个向量

解释叉积的性质和运算规律

4.2 叉积的计算公式

介绍叉积的计算公式，即两个向量的叉积结果的模长等于它们的模长的乘积与夹角的正弦值的乘积，方向垂直于原来的两个向量

利用图形和坐标表示叉积的计算

4.3 叉积的应用

介绍叉积的应用，如计算平行四边形的面积，求解两个向量的夹角

利用实际例子展示叉积的应用第五章：向量的线性相关性

5.1 向量的线性相关性定义

介绍向量的线性相关性概念，即一组向量中存在至少一个向量可以由其他向量通过线性组合表示

【高教版中职教材—数学(基础模块)下册电子教案课程】7

【高教版中职教材—数学(基础模块)下册电子教案课程】

平面向量的坐标表示

【教学目标】

知识目标：

（1）了解向量坐标的概念，了解向量加法、减法及数乘向量运算的坐标表示；

（2）了解两个向量平行的充要条件的坐标形式.

能力目标：

培养学生应用向量知识解决问题的能力.

【教学重点】

向量线性运算的坐标表示及运算法则.

【教学难点】

向量的坐标的概念.采用数形结合的方法进行教学是突破难点的关键.

【教学设计】

向量只有“模”与“方向”两个要素，为了研究方便，我们首先将向量的起点放置在坐标原点（一般称为位置向量）．设x轴的单位向量为i，轴的单位向量为j．如果点A的坐标为（x，y）,则

OAxyij，

将有序实数对（x，y）叫做向量OA的坐标．记作OA=（x，y）．

例1是关于“向量坐标概念”的知识巩固性例题．要强调此时起点的位置．让学生认识到，当向量的起点为坐标原点时，其终点的坐标就是向量的坐标．例2是关于“向量线性运算的坐标表示”的知识巩固性例题．要强调与公式的对应．

在研究起点为坐标原点的向量的基础上，利用向量加法的三角形法则，介绍起点在任意位置的向量的坐标表示，向量的坐标等于原点到终点的向量的坐标减去原点到起点的向量的坐标，由此得到公式（）.数值上可以简单记为：终点的坐标减去起点的坐标．例3是关于“起点在任意位置的向量的坐标表示”的巩固性例题．要强调“终点的坐标减去起点的坐标”．

【教学备品】

教学课件．

【课时安排】

2课时．(90分钟)

【教学过程】教学

过程教师

行为学生

行为教学

意图时间

*揭示课题

平面向量的坐标表示

*创设情境兴趣导入

【观察】

设平面直角坐标系中，x轴的单位向量为i, y轴的单位向量为j，OA为从原点出发的向量，点A的坐标为（2，3）(图7－17)．则

图7－17

2OMi，3ONj．

由平行四边形法则知

23OAOMONij．

中职级数学平面向量复习题 (一)

近年来，我国中职教育已经变得越来越重视学生的数学学科成绩。而在数学学科中，平面向量是其中一种比较基础并且重要的概念。本文将会针对中职级数学平面向量进行复习题的解析和讲解。

一、基础知识

在讲解及解析相关的复习题之前，有必要先复习一下平面向量的基础知识。平面向量是平面内有向线段的模型。其表示形式有两种方式：一种是以一个定点O为起点，以有向线段AB为表示向量的箭头；另一种是将向量AB按照某一比例投影在某一个坐标轴上，并用坐标表示，这种方式叫做坐标向量。

二、复习题解析

1、已知向量a(4,-2)和向量b(5,3)，求向量a加向量b的结果。

解析：

将向量a和向量b的对应坐标相加，得出结果向量的坐标为a+b=(4+5,-2+3)=(9,1)。

2、已知向量a(2,1)和向量b(5,-3)，求向量a和向量b的数量积。

解析：

根据平面向量的定义，向量a和向量b的数量积为a·b=2×5+1×(-3)=7。

3、已知向量a(-1,5)，求向量a的大小和方向。

解析：

根据平面向量的定义，向量a的大小为|a|=√[(-1)²+5²]=√26。向量a的方向角为arctan(-5)=153.43°，即向左上方与x轴中负方向的夹角。

4、已知A(2,-3)和B(-1,4)，求向量AB的坐标和大小。

解析：

向量AB的坐标表示为B-A=(-1-2,4-(-3))=(-3,7)。向量AB的大小表示为|AB|=√[(-3)²+7²]=√58。

5、已知向量a(3,2)和向量b-k(1,-2)，求k的值。

解析：

首先求出向量a和向量b的数量积：a·b=3(1)-2(-2)=7。然后将向量b表示为坐标向量，即b=(1,-2)，代入公式：a·b=|a|·|b|·cosθ，其中θ为向量a和b之间的夹角，代入数据：7=√(3²+2²)·√(1²+(-2)²)·cosθ，即cosθ=7/[√(13)·√5]=0.6177。由于00，即k>-0.382。又因为向量b与向量a的夹角θ