高中数学第二章平面向量章末复习课课件苏教版必修4
(1)若点 A，B，C 能构成三角形，求实数 m 应满足的条件；
解 若点A，B，C能构成三角形，则这三点不共线，
→ → → ∵OA＝(3，－4)，OB＝(6，－3)，OC＝(5－m，－(3＋m))， → → ∴. AB＝(3,1)，BC . ＝(－m－1，－m)， 1 → → 而AB与BC不平行，即－3m≠－m－1，得 m≠2， 1 ∴实数 m≠2时满足条件.
3 ∴sin A＝4.
2
3 π 又 A 为锐角，∴sin A＝ 2 ，∴A＝3.
反思与感悟
解析答案
跟踪训练 1
(1)平面上有 A(2，－1)，B(1,4)，D(4，－3)三点，点 C 在直
→ 1→ → 1→ 线 AB 上，且AC＝2BC，连结 DC 延长至 E，使|CE|＝4|ED|，则点 E 的坐 标为________.
第2章 平面向量
章末复习课
学习目标
1.理解向量、零向量、向量的模、单位向量、平行向量、相反向量、相 等向量、两向量的夹角等概念. 2.了解平面向量基本定理. 3.掌握向量的加法的平行四边形法则(共起点)和三角形法则(首尾相接). 4. 了解向量形式的三角形不等式： ||a| － |b||≤|a±b|≤|a| ＋ |b| 和向量形式 的平行四边形定理：2(|a|2＋|b|2)＝|a－b|2＋|a＋b|2.
解析答案
(2)已知锐角△ABC三个内角为A，B，C，向量p＝(2－2sin A，cos A＋sinA) π 与向量q＝(sin A－cos A,1＋sin A)是共线向量，则角A＝______. 3 解析 ∵p∥q， ∴(2－2sin A)(1＋sin A)－(sin A－cos A)(cos A＋sin A)＝0， ∴2－2sin2A＝sin2A－cos2A，
运
算
方向与a的方向
＝0
相反 ；当λ＝0时，λa
λa＝(λx1，λy1)
答案
向量
的数
量积
a· b＝|a||b|cos θ(θ为a与b的夹角)，规定0· a ＝0；数量积的几何意义是a的模与b在a 方向上的投影的积 a· b＝x1x2＋y1y2
运算
2.两个定理 (1)平面向量基本定理 ①定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面 内的 任一 向量a， 有且只有一对 实数λ1，λ2，使a＝ λ1e1＋λ2e2 . ②基底：把 不共线 的向量e ，e 叫做表示这一平面内 所有 向量的一组
5.了解实数与向量的乘法(即数乘的意义). 6.了解向量的坐标概念和坐标表示法. 7.掌握向量的坐标运算(加、减、实数和向量的乘法、数量积). 8.了解数量积 (点乘或内积)的概念：a· b＝|a||b|cos θ＝x1x2＋y1y2，注意区 别“实数与向量的乘法，向量与向量的乘法．”
要点归纳
题型探究
1 2
基底． (2)向量共线定理 向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使 b＝λa .
答案
3．向量的平行与垂直 a，b为非零向量，设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，
a∥b
有唯一实数λ使得b＝λa(a≠0)
x1y2－x2y1＝0
a⊥b
a· b＝0
x1x2＋y1y2＝0
返回
题型探究
解析答案
(2)对(1)中求出的点C，求cos ∠ACB.
解 → → → 当OC＝(2,1)时，CA＝(－1,6)，CB＝(3,0)，
→ → CA· CB cos ∠ACB＝ → → |CA|· |CB|
－3 37 ＝ ＝－ 37 . 37×3
反思与感悟
解析答案
跟踪训练 2
→ → → 已知向量OA＝(3， －4)， OB＝(6， －3)， OC＝(5－m， －(3＋m))，
解析答案
类型二 向量的数量积运算 → → → 例 2 已知OP＝(2,1)，OA＝(1,7)，OB＝(5,1)，设 C 是线段 OP 上的一点(其
中 O 为坐标原点). → → → (1)求使CA· CB取得最小值时的OC；
→ → 解 ∵点 C 是线段 OP 上一点，∴向量OC与OP共线， → → → 设OC＝tOP，则OC＝(2t，t)，0≤t≤1.
解析答案
(2)如图，在△ABC 中，E 为线段 AC 的中点，试问在线段 → 1→ 2→ AC 上是否存在一点 D，使得BD . ＝3BC＋3BE，若存在，说 明 D 点位置；若不存在，说明理由. → 1→ 2→ → 1→ 2→ 解 假设存在 D 点，使得BD＝3BC＋3BE.BD＝3BC＋3BE → 1→ 2 → → → 2→ ⇒BD＝3BC＋3(BC＋CE)＝BC＋3CE → → 2→ → 2→ ⇒BD－BC＝3CE⇒CD＝3CE → 2 → 1→ 1 → ⇒CD＝3×2CA⇒CD＝3CA. 1 → → 1 → 2→ → 所以， 存在点 D 为 AC 的三等分点 CD ＝3 CA 时， 使得 BD ＝3 BC ＋3BE.
达标检测
要点归纳
1.向量的运算 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2).
整合要点 诠释疑点
向量运算 向量 的线
法则(或几何意义)
坐标运算
性运
算
加法
三角形
a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)
平行四边形
答案
向 量 的 线 性
减法
a－b＝(x1－x2，y1－y2)
三角形
(1)|λa|＝|λ||a|；(2)当λ＞0时，λa的方 数乘 向与a的方向 相同 ；当λ＜0时，λa的
类型一
例1
重点难点 个个击破
→ 1→ → → (1)如图所示， 在△ABC 中， AN＝3NC， P 是 BN 上的一点， 若AP＝mAB
向量的线性运算
3 2→ ＋11AC，则实数 m 的值为________. 11 → → 解析 设BP＝λBN， → → → → → 2→ → 2→ 则BP＝BA＋AP＝－AB＋mAB＋11AC＝(m－1)AB＋11AC. → → → → 1→ BN＝BA＋AN＝－AB＋4AC. 1 2 3 → → ∵BP与BN共线，∴4(m－1)＋11＝0，∴m＝11.
→ → → → → → ∵CA＝OA－OC＝(1－2t,7－t)，CB＝OB－OC＝(5－2t,1－t)， → → ∴CA· CB＝(1－2t)(5－2t)＋(7－t)(1－t) ＝5t2－20t＋12＝5(t－2)2－8,0≤t≤1.
→ → → 当 t＝1 时，CA· CB取得最小值－3.此时OC＝(2,1).
2020学年高中数学第2章平面向量章末复习课讲义苏教版必修4(2021-2022学年)
第2章平面向量向量的线性运算如图所示,在△AＢC中，点Ｍ为AB的中点,且错误!＝错误!错误!，错误!与错误!未定义书签。
相交于点E,设错误!未定义书签。
=a，错误!＝b，试以a,ｂ为基底表示错误!未定义书签。
思路点拨:先由Ｃ，E,M三点共线⇒错误!未定义书签。
＝μ错误!未定义书签。
＋（1-μ）错误!，由B,E,Ｎ三点共线⇒错误!未定义书签。
=λ错误!+（1-λ）错误!，再由错误!，错误!未定义书签。
不共线求λ，μ的值.［解]∵错误!未定义书签。
＝错误!未定义书签。
错误!未定义书签。
＝错误!未定义书签。
b，错误!＝错误!错误!未定义书签。
＝错误!未定义书签。
a，由Ｎ,E，Ｂ三点共线知存在实数λ满足错误!未定义书签。
=λ错误!+（1－λ)错误!＝错误!λb+(1-λ）a。
由C，E,M三点共线知存在实数μ满足错误!未定义书签。
＝μ错误!未定义书签。
＋(1-μ)错误!未定义书签。
＝错误!ａ＋(１-μ)b．∴错误!解得错误!∴错误!=错误!未定义书签。
a＋错误!未定义书签。
ｂ。
向量共线定理和平面向量基本定理是进行向量合成与分解的核心，是向量线性运算的关键所在，常应用它们解决平面几何中的共线、共点问题.1.经过△OAB重心G的直线与ＯA,ＯB分别交于点P,Ｑ,设错误!未定义书签。
＝ｍ错误!，错误!未定义书签。
=n错误!未定义书签。
,ｍ，n∈R,求错误!+错误!未定义书签。
的值．[解］设错误!＝a，错误!未定义书签。
=b,则错误!未定义书签。
＝错误!（a+b），错误!未定义书签。
=错误!－错误!＝ｎb-m a,错误!＝错误!－错误!未定义书签。
＝错误!未定义书签。
(a＋b）-m a=错误!a+错误!ｂ.由Ｐ，Ｇ,Q共线得,存在实数λ使得错误!未定义书签。
=λ错误!,即n b－ｍa=λ错误!未定义书签。
a＋错误!λｂ,则错误!未定义书签。
消去λ,得错误!未定义书签。
+错误!未定义书签。
＝3。
向量的数量积运算设向量错误!未定义书签。
高中数学第2章平面向量章末知识整合苏教必修4
【金版学案】2016-2017学年高中数学 第2章 平面向量章末知识整合 苏教版必修4专题一 平面向量的线性运算[例1] e 1，e 2是不共线的向量，已知向量AB →＝2e 1＋ke 2，CB →＝e 1＋3e 2，CD →＝2e 1－e 2，若A ，B ，D 三点共线，求k 的值．分析：因为A ，B ，D 三点共线，所以存在λ∈R，使AB →＝λBD →，可由已知条件表示出BD →，由向量相等得到关于λ，k 的方程组，求得k 值．解：BD →＝CD →－CB →＝e 1－4e 2.因为A ，B ，D 三点共线，故存在λ∈R，使AB →＝λBD →. 所以2e 1＋ke 2＝λ(e 1－4e 2)．解得k ＝－8. 规律方法向量的加法、减法和数乘向量的综合运算，通常叫作向量的线性运算，运用它们的运算法则、运算律，可以解决三点共线、两线段平行、线段相等、求点的坐标等问题．利用向量的相等及向量共线的充要条件是将向量问题实数化的根据，是解决问题的关键．[变式训练] 以向量OA →＝a ，OB →＝b 为邻边作平行四边形OADB ，C 为AB 与OD 的交点，BM→＝13BC →，CN →＝13CD →.若MN →＝λa ＋μb ，求λ＋μ的值． 解：如图所示，CD →＝12OD →＝12(a ＋b )，CN →＝13CD →＝13×12(a ＋b )＝16(a ＋b )，BC →＝12BA →＝12(a －b )，MC →＝23BC →＝13(a －b )，MN →＝MC →＋CN →＝13(a －b )＋16(a ＋b )＝12a －16b .又MN →＝λa ＋μb ，由平面向量的基本定理，λ＝12，μ＝－16.因此λ＋μ＝12－16＝13.专题二 向量的坐标运算[例2] 已知点O (0，0)，A (1，2)，B (4，5)及OP →＝OA →＋tAB →. (1)当t 为何值时，P 在x 轴上？在y 轴上？在第二象限？(2)四边形OABP 能否成为平行四边形？若能，求出相应的t 值；若不能，请说明理由． 分析：(1)将OP →的坐标用t 表示出来，然后讨论OP →的横、纵坐标．(2)若能成为平行四边形，则有OA →＝PB →，解出t 的值；若t 无解，则不能构成平行四边形．解：(1)因为OA →＝(1，2)，AB →＝(3，3)， 所以OP →＝OA →＋tAB →＝(1＋3t ，2＋3t )． 若点P 在x 轴上，则2＋3t ＝0，t ＝－23；若点P 在y 轴上，则1＋3t ＝0，t ＝－13；若点P 在第二象限，则⎩⎪⎨⎪⎧1＋3t ＜0，2＋3t ＞0.解得－23＜t ＜－13.(2)因为OA →＝(1，2)，PB →＝PO →＋OB →＝(3－3t ，3－3t )， 若四边形OABP 为平行四边形，则OA →＝PB →.又⎩⎪⎨⎪⎧3－3t ＝1，3－3t ＝2 无解， 故四边形OABP 不能成为平行四边形． 规律方法向量的坐标表示实际上就是向量的代数表示，引入向量的坐标表示，向量的运算完全化为代数运算，达到了数与形的统一．运用向量的坐标运算主要可以解决求向量的坐标、向量的模，判断共线、平行等问题．[变式训练] 已知点A (3，－4)与点B (－1，2)，点P 在直线AB 上，且|AP →|＝2|PB →|，求点P 的坐标．解：设点P 的坐标为(x ，y )，|AP →|＝2|PB →|. 当P 在线段AB 上时，AP →＝2PB →.所以(x －3，y ＋4)＝2(－1－x ，2－y )．所以⎩⎪⎨⎪⎧x －3＝－2－2x ，y ＋4＝4－2y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13，y ＝0.所以点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫13，0.当点P 在线段AB 延长线上时，AP →＝－2PB →. 所以(x －3，y ＋4)＝－2(－1－x ，2－y )．所以⎩⎪⎨⎪⎧x －3＝2＋2x ，y ＋4＝－4＋2y .解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－5，y ＝8.综上所述，点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫13，0或(－5，8)．专题三 平面向量的数量积[例3] 设0＜|a |≤2，且函数f (x )＝cos 2x －|a |sin x －|b |的最大值为0，最小值为－4，且a 与b 的夹角为45°，求|a ＋b |.分析：要求|a ＋b |需知道|a |，|b |，故可利用函数的最值确立|a |，|b |的值． 解：f (x )＝1－sin 2x －|a |sin x －|b |＝－⎝⎛⎭⎪⎫sin x ＋|a |22＋|a |24－|b |＋1. 因为0＜|a |≤2，所以当sin x ＝－|a |2时，14|a |2－|b |＋1＝0；当sin x ＝1时，－|a |－|b |＝－4. 由⎩⎪⎨⎪⎧14|a |2－|b |＋1＝0，－|a |－|b |＝－4⇒⎩⎪⎨⎪⎧|a |＝2，|b |＝2.所以|a ＋b |2＝8＋42， 即|a ＋b |＝22＋ 2. 规律方法平面向量的数量积是向量的核心内容，通过向量的数量积考查向量的平行、垂直等关系，利用数量积可以计算向量的夹角、长度等．对数量积的正确理解及其性质的灵活应用是解决这类问题的关键．[变式训练] (2015·重庆卷)若非零向量a ，b 满足|a |＝223|b |，且(a －b )⊥(3a ＋2b )，则a 与b 的夹角为( )A.π4 B.π2 C.3π4D ．π 解析：因为(a －b )⊥(3a ＋2b )，所以(a －b )·(3a ＋2b )＝0，即3a 2－a·b －2b 2＝0. 因为|a |＝223|b |，设〈a ，b 〉＝θ，则3|a |2－|a |·|b |·cos θ－2|b |2＝0， 所以83|b |2－223|b |2·cos θ－2|b |2＝0.所以cos θ＝22. 又因为0≤θ ≤π，所以θ＝π4.答案：A专题四 平面向量的应用[例4] 如图所示，以△ABC 的两边AB ，AC 为边向外作正方形ABGF ，ACDE ，M 为BC 的中点，求证：AM ⊥EF .分析：要证AM ⊥EF ，只需证明AM →·EF →＝0.将AM →用AB →，AC →表示，EF →用AE →，AF →表示，然后通过向量运算证明．证明：因为M 是BC 的中点， 所以AM →＝12(AB →＋AC →)，EF →＝AF →－AE →.所以AM →·EF →＝12(AB →＋AC →)·(AF →－AE →)＝12(AB →·AF →＋AC →·AF →－AB →·AE →－AC →·AE →)＝12(0＋AC →·AF→－AB →·AE →－0)＝12(AC →·AF →－AB →·AE →)＝12[|AC →||AB →|cos(90°＋∠BAC )－|AB →||AC →|cos(90°＋∠BAC )]＝0，所以AM →⊥EF →，即AM ⊥EF . 规律方法平面向量的应用主要体现在两个方面：一是在平面几何中的应用，向量的加法运算和全等、平行、数乘向量和相似，距离、夹角和向量的数量积之间有密切联系，因此利用向量方法可以解决平面几何中的相关问题．解决问题的关键是恰当地引入向量，通过向量运算，解释几何性质．二是在物理中的应用，主要解决力、位移、速度等问题．解题的关键在于运用向量的观点将物理问题转化为数学问题，并建立相应的数学模型．[变式训练] 如图所示，在平面斜坐标xOy 中．∠xOy ＝60°，平面上任一点P 关于斜坐标系的坐标是这样定义的：若OP →＝xe 1＋ye 2(其中e 1，e 2分别为与x 轴、y 轴同方向的单位向量)，则点P 的斜坐标为(x ，y )．(1)若点P 的斜坐标为(2，－2)，求点P 到点O 的距离|OP |； (2)求以O 为圆心，以1为半径的圆在斜坐标系xOy 中的方程．解：(1)因点P 的坐标为(2，－2)，故OP →＝2e 1－2e 2，|OP →|＝2，即|OP |＝2. (2)设圆上动点M 的坐标为(x ，y )，则OM →＝xe 1＋ye 2，又|OM →|＝1，所以(xe 1＋ye 2)2＝1. 所以x 2＋y 2＋2xye 1·e 2＝1， 即x 2＋y 2＋xy ＝1.故所求方程为x 2＋y 2＋xy －1＝0.。
高中数学第二章平面向量本章整合课件必修4高一必修4数学课件
的理解和运用要注意大小、方向两个方面.
3.理解向量的有关概念(如相等向量与相反向量、平面向量基本定理
等),用基底表示向量,三角形法则、平行四边形法则是向量线性运算的基
础.
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第三页，共二十一页。
小专题
概括总结
专题
(zhuānt
又 a+b=,a-b=,
即(a+b)⊥(a-b).故选A.
(2)因为b·e1=b·e2=1,|e1|=|e2|=1,由数量积的几何意义,知b在e1,e2方向上的
投影相等,且都为1,所以b与e1,e2所成的角相等.由e1·e2= 知e1与e2的夹角为1
2
60°,所以b与e1,e2所成的角均为30°,
第十页，共二十一页。
小专题
概括总结
专题
(zhuānt
í)一
专题
(zhuān
tí)二
专题
(zhuān
tí)三
(2)解:①由题意得(3a-2b)2=7,
即9|a|2-12a·
b+4|b|2=7,
把|a|=|b|=1 代入上式得
1
a·b= .
2
设 a 与 b 的夹角为 θ,∴a·b=|a||b|cos
1
是直径 AB 上关于 O 对称的两点,且 AB=6,MN=4,则 ·等于
(
)
(2)设向量a,b满足|a|=|b|=1及|3a-2b|=
①求向量a与b的夹角;
②求|3a+b|的值.
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第九页，共二十一页。
.
7
小专题
概括总结
苏教版高中数学必修4课件第2章2.3-2.3.2平面向量的坐标运算精选ppt课件
存在唯一实数 λ，使 ka＋b＝λ(2a－3b)．
由(3k－10，－2k＋9)＝λ(36，－31)，
3k－10＝36λ，
所以
解得
－2k＋9＝－31λ.
k＝－23，λ＝－13.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
当 k＝－23时，ka＋b 与 2a－3b 平行，
这时 ka＋b＝－23a＋b. 因为 λ＝－13＜0，所以－23a＋b 与 2a－3b 反向．
x2＝cos 120°＝－12，y2＝sin 120°＝ 23， 所以点 D 的坐标为－12， 23. 所以A→B＝ 23，12，A→D＝－12， 23.
规律方法 1．求一个点的坐标：可利用已知条件，求出该点相对 应坐标原点的位置向量的坐标，该坐标就等于相应点的坐 标． 2．求一个向量的坐标：首先求出这个向量的始点、终 点坐标，再运用终点坐标减去始点坐标即得该向量的坐标．
题型 3 平行向量的坐标表示问题 [典例 3] 已知 a＝(3，－2)，b＝(－10，9)，当 k 为 何值时，ka＋b 与 2a－3b 平行？平行时它们是同向还是 反向？ 解：法一：ka＋b＝k(3，－2)＋(－10，9)＝(3k－10， －2k＋9)，2a－3b＝2(3，－2)－3(－10，9)＝(36，－31)． 当 ka＋b 与 2a－3b 平行时，
法二：由法一知 ka＋b＝(3k－10，－2k＋9)， 2a－3b＝(36，－31)， 因为(ka＋b)∥(2a－3b)， 所以(3k－10)×(－31)－36×(－2k＋9)＝0. 解得 k＝－23.
此时
ka
＋
b
＝
－63－10，43＋9
＝
－336，331
＝
－
1 3
(36，－31)＝－13(2a－3b)．
高一数学苏教版必修4(江苏专用)课件第2章 平面向量 章末整合提升
专题一
专题二
专题三
迁移训练 2-1 已知向量 a=(x,x+ )与向量 b=(2x,-3)的夹角 θ 为钝角,则实数 x 的取值范围为 错解:∵ cos θ= .
������·������ ,θ |������||������| 2 3 2 3
为钝角,
∴ a·b<0,即 2x2-3(x+ )<0. 解得- <x<2.
专题一
专题二
专题三
专题一 平面向量中常见错误的剖析
平面向量是高中数学课本中的新增内容,它与我们以前学过的数、 形有明显不同,所以我们在初学这部分内容时,往往会出现这样或那样 的错误.
专题一
专题二
专题三
1.概念混淆致误 例 1 已知点 A(2,3),B(5,4),C(7,10),若������������ = ������������+λ������������ (λ∈R), 试求 λ 为何值时,点 P 在第三象限. 错解:∵ ������������ = ������������+λ������������ =(5,4)-(2,3)+λ[(7,10)(2,3)]=(3,1)+λ(5,7)=(3+5λ,1+7λ), 3 + 5������ < 0, 又∵ 点 P 在第三象限,∴ 1 + 7������ < 0. 解得 λ<- . 诊断:只有当向量的起点在原点时,向量的坐标才是向量终点的坐 标,否则向量坐标与终点坐标不同,上述解法就是混淆了向量坐标与点 的坐标,误把������������的坐标当作点 P 的坐标,因而解法二
专题三
正解:在上述解法的基础上,再补充如下: 若 a∥b,则-3x-2x ������ + 解得 x=0 或 x=- , 又 x∈ - , 2 , ∴ x=- 舍去, 但当 x=0 时,θ=π, 故 x 的取值范围为 - ,0 ∪(0,2). 答案: - ,0 ∪(0,2)
高中数学 第2章 平面向量 2.3.1 平面向量基本定理课件 苏教必修4苏教高二必修4数学课件
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第六页，共三十五页。
知识点二 向量(xiàngliàng)的正交分解
思考(sīkǎo)
一个放在斜面上的物体所受的竖直向下的重力G，可分解为使物体沿斜面 下滑的力F1和使物体垂直作用于斜面的力F2.类比力的分解，平面内任一
向量能否用互相垂直的两向量表示？
答案 能，互相垂直的两向量可以作为一组基底.
解 将a＝e1＋e2与b＝3e1－2e2代入c＝λa＋μb， 得c＝λ(e1＋e2)＋μ(3e1－2e2)＝(λ＋3μ)e1＋(λ－2μ)e2. 因为c＝2e1＋3e2，且向量(xiàngliàng)e1，e2是平面α内所有向量的一组基底，
根据平面向量基本定理中的唯一性可得方程组λλ＋－32μμ＝＝23，，
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第十四页，共三十五页。
解析 答案(dá
类型 二 (lèixíng) 用基底表示向量
例 2 如图所示，在▱ABCD 中，E，F 分别是 BC，DC 边上的中点，若A→B ＝a，A→D＝b，试以 a，b 为基底表示D→E，B→F.
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第十五页，共三十五页。
解答
引申(yǐnshēn)探究
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第七页，共三十五页。
答案
梳理(shūlǐ)
正交分解的含义
一个平面向量用一组基底e1，e2表示成a＝ λ1e1＋λ的2e形2 式，我们称它为向量a
的
.当e1分，解e2所在直线互相(hùxiāng)
时，垂这直种分解也称为向量a的
.
正交分解(fēnjiě)
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第二十八页，共三十五页。
高中数学必修四《平面向量的基本定理》PPT
第二章 平面向量
想一想 1.判断两个向量能否作为基底的关键是什么？ 提示：判断两个向量能否作为基底的关键是看它们是否共 线，若共线，则不能作为基底，否则可以作为基底．
栏目 导引
第二章 平面向量
2．两向量的夹角与垂直
(1)夹角：已知两个__非__零__向__量___a 和 b，作O→A＝a，O→B ＝b，则∠__A_O__B__＝θ 叫做向量 a 与 b 的夹角．
【答案】 30° 60°
栏目 导引
第二章 平面向量
【名师点评】 两向量夹角的实质和求解 (1)明确两向量夹角的定义，实质是从同一起点出发的两 个非零向量构成的不大于平角的角，结合平面几何知识 加以解决． (2)求两个向量的夹角关键是利用平移的方法使两个向量 起点重合，作出两个向量的夹角，按照“一作二证三 算”的步骤求出．
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第二章 平面向量
跟踪训练
2．如图所示，已知等边三角形 ABC. (1)求向量A→B与向量B→C的夹角； (2)若 E 为 BC 的中点，求向量A→E与E→C的夹角．
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第二章 平面向量
解：(1)∵△ABC 为正三角形， ∴∠ABC＝60°.延长 AB 至点 D，使|A→B|＝|B→D|， ∴A→B＝B→D， ∴∠DBC 为向量A→B与B→C的夹角，且∠DBC＝120°. (2)∵E 为 BC 的中点，∴AE⊥BC， ∴A→E与E→C的夹角为 90°.
已知向量 a 与 b 的夹角为 60°，则向量－3a 和－12b 的夹 角为________．
答案：60°
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第二章 平面向量
典题例证技法归纳
题型探究
题型一 对基底概念的理解 例1 设e1，e2是不共线的两个向量，给出下列四组向量：
高中数学复习课件-高中数学必修4课件 第二章总结平面向量
向量的运算有:加法、减法、数乘及两个向量的数量积,常见的有两种方法: 定义法和坐标法.特别是利用坐标进行向量的运算时,由于转化为实数的运算, 因此比利用定义运算方便、简捷.
应用 1 若向量 AB =(3,-1),n=(2,1),n· AC =7,则 n· BC 的值为( ).
A.-2
相等向量 : 长度相等且方向相同的两个向量
相反向量 : 长度相等而方向相反的两个向量
表示
几何表示 : 用有向线段表示向量
字母表示
:
用一个小写英文字母或两个大写英文字母表示向量
坐标表示 : 用有序实数对表示向量,等于终点坐标减去起点坐标
线性运算
加法
法则
: 三角形法则和平行四边形法则,结果是向量 运算律 : 交换律、结合律
应用 1 已知向量 a,b 满足|a|=3,|b|=2,a 与 b 的夹角为 60°,则 a·b= ; 若(a-mb)⊥a,则实数 m= .
解析:a·b=|a||b|cos 60°=3×2×1 =3. 2
∵(a-mb)⊥a,∴(a-mb)·a=0. ∴a2-mb·a=0.∴9-3m=0.∴m θ.因此求向量的夹角应先转化为求向量夹角的余弦值,再
结合夹角的范围确定夹角的大小.
应用 1 已知向量 a=(1,2),b=(-2,-4),|c|= 5 ,若(c- b)·a= 15 ,则 a 与 c 的夹 2
角为( ).
A.30°
B.60°
C.120°
D.150°
解析:a·b=-10,则(c- b)·a=c·a- b·a=c·a+10= 15 ,所以 c·a=- 5 .
B.BE D.CF
解析:在正六边形 ABCDEF 中,由于 CD∥AF,且|CD|=|AF|,故 CD = AF .同理
苏教版高中数学必修四第二章平面向量归纳整合课件
解析 如图所示，A→D＝A→O＋O→D＝12a＋12b， D→C＝A→C－A→D＝a－12a－12b＝12a－12b. ∵A、E、F 共线，∴A→F＝λA→E＝λ(A→D＋D→E)． ＝λ12a＋12b－b4＝2λa＋4λb.
又∵A→F＝A→D＋D→F＝A→D＋μD→C＝12a＋12b＋μ12a－12b ＝1＋2 μa＋1－2 μb， ∴2λa＋4λb＝1＋2 μa＋1－2 μb. ∵向量 a、b 不共线，由平面向量基本定理，得
几何意义有两个：一是以减向量的终点为起点，被减向量 的终点为终点的向量；二是加法的平行四边形法则的另外一条 对角线的向量．注意两向量要移至共起点．
减法也满足交换律、结合律． (3)数乘运算即通过实数与向量的乘积，实现同向或反向上 向量长度的伸缩变换． 数乘向量满足结合律和分配律．
3．共线定理与平面向量基本定理 (1)共线向量定理：向量 a(a≠0)与 b 共线，当且仅当有唯一一 个实数 λ，使得 b＝λa. 共线向量定理是证明平行的主要依据，也是解决三点共线问 题的重要方法． 特别地，平面内一点 P 位于直线 AB 上的条件是存在实数 x， 使A→P＝xA→B(或 xA→C)，或对直线外任意一点 O，有O→P＝xO→A＋yO→B (x＋y＝1)．
(3)关于零向量的有关规定 ①0 ＝0，－0 ＝0(所有零向量相等，零向量的相反向量是 零向量) ②0∥a(零向量与任意向量共线) ③0 ＋a＝a(零向量与任意向量 a 的和仍是 a) ④0a＝0，λ0 ＝0(零乘任何向量得零向量，任意实数乘零向 量得零向量) ⑤0·a＝0(零向量与任意向量的数量积为 0) ⑥0 ＝(0,0)(零向量的坐标表示中，横、纵坐标都是 0)
答案 －14
4．(2011·安徽)已知向量 a，b 满足(a＋2b)·(a－b)＝－6，且|a| ＝1，|b|＝2，则 a 与 b 的夹角为________．
高中数学第二章平面向量章末复习课课件苏教版必修4
例1
重点难点 个个击破
→ 1→ → → (1)如图所示， 在△ABC 中， AN＝3NC， P 是 BN 上的一点， 若AP＝mAB
向量的线性运算
3 2→ ＋11AC，则实数 m 的值为________. 11 → → 解析 设BP＝λBN， → → → → → 2→ → 2→ 则BP＝BA＋AP＝－AB＋mAB＋11AC＝(m－1)AB＋11AC. → → → → 1→ BN＝BA＋AN＝－AB＋4AC. 1 2 3 → → ∵BP与BN共线，∴4(m－1)＋11＝0，∴m＝11.
第2章 平面向量
章末复习课
学习目标
1.理解向量、零向量、向量的模、单位向量、平行向量、相反向量、相 等向量、两向量的夹角等概念. 2.了解平面向量基本定理. 3.掌握向量的加法的平行四边形法则(共起点)和三角形法则(首尾相接). 4. 了解向量形式的三角形不等式： ||a| － |b||≤|a±b|≤|a| ＋ |b| 和向量形式 的平行四边形定理：2(|a|2＋|b|2)＝|a－b|2＋|a＋b|2.
5.了解实数与向量的乘法(即数乘的意义). 6.了解向量的坐标概念和坐标表示法. 7.掌握向量的坐标运算(加、减、实数和向量的乘法、数量积). 8.了解数量积 (点乘或内积)的概念：a· b＝|a||b|cos θ＝x1x2＋y1y2，注意区 别“实数与向量的乘法，向量与向量的乘法．”
要点归纳
题型探究
(1)若点 A，B，C 能构成三角形，求实数 m 应满足的条件；
解 若点A，B，C能构成三角形，则这三点不共线，
→ → → ∵OA＝(3，－4)，OB＝(6，－3)，OC＝(5－m，－(3＋m))， → → ∴. AB＝(3,1)，BC . ＝(－m－1，－m)， 1 → → 而AB与BC不平行，即－3m≠－m－1，得 m≠2， 1 ∴实数 m≠2时满足条件.