考研数学一(解答题)模拟试卷52(题后含答案及解析)
考研数学一（解答题）模拟试卷52 (题后含答案及解析)
题型有：1.
1． 设数列{xn}满足0＜x1＜π，xn+1=sinxn(n=1，2，…)。证明xn存在，并求该极限。
正确答案：当n=1时，0＜x1＜π； 当n=2时，0＜x2=sinx1≤1＜π； 假设当n=k时，0＜xk＜π成立，则当n=k+1时，0＜xk+1=sinxk≤1＜π； 由数学归纳法可知，对任意的n∈N+，0＜xn＜π，即数列{xn}有界。 又因为当x＞0时，sinx＜x，所以＜1，即数列{xn}单调递减。 根据单调有界准则可知xn=a，在等式xn+1=sinxn两端同时取极限可得，a=sina，所以a=0，即xn=0。
涉及知识点：函数、极限、连续
2． 判断下列结论是否正确?为什么? (I)若函数f(x)，g(x)均在x0处可导，且f(x0)=g(x0)，则f’(x0)=g’(x0)； (Ⅱ)若x∈(x0—δ，x0+δ)，x≠x0时f(x)=g(x)，则f(x)与g(x)在x=x0处有相同的可导性； (Ⅲ)若存在x0的一个邻域(x0—δ，x0+δ，使得x∈(x0—δ，x0+δ)时f(x)=g(x)，则f(x)与g(x)在x0处有相同的可导性．若可导，则f’(x0)=g’(x0)．
正确答案：(I)不正确．函数在某点的可导性不仅与该点的函数值有关，还与该点附近的函数值有关．仅有f(x0)=g(x0)不能保证f’(x0)=g’(x0)．正如曲线y=f(x)与y=g(x)可在某处相交但并不相切．(Ⅱ)不正确．例如 f(x)=x2，显然，当x≠0时f(x)=g(x)，但f(x)在x=0处可导，而g(x)在x=0处不可导(因为g(x)在x=0不连续)．(Ⅲ)正确．由假设可得当x∈(x0一δ，x0+δ)，x≠x0时故当x→x0时等式左右端的极限或同时存在或同时不存在，而且若存在则相等．再由导数定义即可得出结论． 涉及知识点：一元函数的导数与微分概念及其计算
3． 求
正确答案： 涉及知识点：函数、极限、连续
4． 讨论函数f(x)=(x＞0)的连续性．
正确答案：因为f(e—0)=f(e)=f(e+0)=1，所以f(x)在x＞0处处连续． 涉及知识点：高等数学
5． 设函数f(x)在闭区间[a，b]上连续(a，b＞0)，在(a，b)内可导．证明：在(a，b)内至少有一点ξ，使等式=f(ξ)一ξf’(ξ)成立．
正确答案：令它们在区间[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且G’(x)=满足柯
西中值定理的三个条件．于是在(a，b)内至少有一点ξ，使得 涉及知识点：一元函数微分学
6． 设∫0x2tetdt+∫0lnyetdt=ex2,求．
正确答案：方程∫0x2tetdt+∫0lnyetdt=ex2两边对x求导数得2x．x2ex2＋． 涉及知识点：高等数学
7． A是3阶实对称矩阵，A2=E，如果r(A+E)=2，求A的相似对角形，并计算行列式｜A+2E｜的值．
正确答案：由于A2=E，A的特征值只能是1或－1，又因为A是实对称矩阵，A必有3个线性无关的特征向量． 从r(A+E)=2和(A+E)x=0的基础解系由3－r(A+E)=1个向量组成，知λ=－1只有一个线性无关的特征向量，从而λ=－1是单根，λ=1是二重根，因此 由于λ+2是A+2E的特征值，知3，3，1是A+2E的特征值，故 ｜A+2E｜=3．3．1=9． 涉及知识点：线性代数
8． 设二维离散型随机变量(X，Y)的联合概率分布为试求：(Ⅰ)X与Y的边缘分布律，并判断X与Y是否相互独立；(Ⅱ)P{X=Y}．
正确答案：(Ⅰ)因为边缘分布律就是联合分布律表格中行或列中诸元素之和，所以假如随机变量X与Y相互独立，就应该对任意的i，j都有pij=pi．pj，而本题中p14=0，但是p1与p4均不为零，所以p14≠p1．p4故X与Y不是相互独立的． 涉及知识点：概率与数理统计
9． 设f(x)连续，且F(x)=∫0x(x一2t)f(t)dt．证明： (1)若f(x)是偶函数，则F(x)为偶函数； (2)若f(x)单调不增，则F(x)单调不减．
正确答案：(1)设f(一x)=f(x)， 因为F(—x)=∫0—x(一x一2t)f(t)dt∫0—x(一x+2u)f(—u)(一du) =∫0x(x一2u)f(u)du=F(x)， 所以F(x)为偶函数． (2)F(x)=∫0x(x一2t)f(t)dt=x∫0xf(t)dt一2∫0xtf(t)dt， F’(x)=∫0xf(t)dt—xf(x)=x[f(ξ)一f(x)]，其中ξ介于0与x之间， 当x＜0时，x≤ξ≤0，因为f(x)单调不增，所以F’(x)≥0， 当x≥0时，0≤ξ≤x，因为f(x)单调不增，所以F’(x)≥0， 从而F(x)单调不减． 涉及知识点：高等数学
10． 求．
正确答案： 涉及知识点：高等数学
11． 设级数绝对收敛．
正确答案：令Sn=(a1一a0)+(a2一a1)+…+(an一an—1)，则Sn=an一
a0． 涉及知识点：高等数学
12． 设曲线，过原点作切线，求此曲线、切线及x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周所成的旋转体的表面积．
正确答案： 涉及知识点：高等数学部分
13． (Ⅰ)设f(x，y)=x2+(y－1)arcsin(Ⅱ)设f(x，y)=
正确答案：(Ⅰ)因f(x，1)=x2，故=4．又因f(2，y)=4+(y－1)arcsin，故(Ⅱ)按定义类似可求=0(或由x，y的对称性得)． 涉及知识点：多元函数微分学
14． 设f(x)连续，f(0)=1，令F(t)=f(x2+y2)dxdy(t≥0)，求F’’(0)．
正确答案：令x=cosθ，y=rsinθ，则F(t)=∫02πdθ∫0trf(r2)dr=2π∫0trf(r2)dr， 因为f(x)连续，所以F’(t)=2πtf(t2)且F’(0)=0，于是F’’(0)=f(t2)=2πf(0)=2π． 涉及知识点：高等数学
15．
正确答案： 涉及知识点：线性代数部分
16． 将f(x)=一x展开成x的幂级数．
正确答案：f(0)=0，f(x)=f(x)一f(0)=∫0xf’(x)dx=∫0x(｜x｜＜1)． 涉及知识点：高等数学
17． 设曲线L的极坐标方程为r=r(θ)，M(r，θ)为L上任一点，M0(2，0)为L上一定点，若极径OM0，OM与曲线L所围成的曲边扇形面积值等于L上M0，M两点间弧长值的一半，求曲线L的方程．
正确答案： 涉及知识点：高等数学
飞机以匀速ν沿y轴正向飞行，当飞机行至O时被发现，随即从x轴上(x0，0)处发射一枚导弹向飞机飞去(x0＞0)，若导弹方向始终指向飞机，且速度大小为2ν．
18． 求导弹运行的轨迹满足的微分方程及初始条件；
正确答案：设t时刻导弹的位置为M(x，y)，根据题意得 涉及知识点：高等数学
19． 导弹运行方程．
正确答案： 涉及知识点：高等数学
20． 细菌的增长率与总数成正比，如果培养的细菌总数在24小时内由100增长到400，求前12小时后的细菌总数．
正确答案：设t时刻细菌总数为S，则有=kS，S(0)=100，S(24)=400， 涉及知识点：高等数学
考研数学一(高等数学)模拟试卷140(题后含答案及解析)
考研数学一（高等数学）模拟试卷140 (题后含答案及解析)
全部题型 3. 解答题
解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
1． 求(x＋1)ln2(x＋1)dx．
正确答案： 涉及知识点：高等数学
2． 求定积分：(I)J＝min｛2，x2｝dx； (II)J＝(1一｜t｜)dt，x≥一1．
正确答案：(Ⅰ)min｛2，x2｝＝于是 涉及知识点：高等数学
3． 设n为正整数，利用已知公式，其中，求下列积分：(I)Jn＝sinxndx；(II)Jn＝(x2－1)ndx．
正确答案： 涉及知识点：高等数学
4． 设函数f(x)在(一∞，＋∞)内满足f(x)＝f(x一π)＋sinx且f(x)＝x，x∈[0，π)，求f(x)dx．
正确答案：
解析：由于题目只给出了f(x)在区间[0，π)上的具体表达式，为计算在[π，3一π]上的积，就应该通过换元法使其积分区间落到[0，π)上．另外，也可以通过f(x)＝f(x—π)＋sinx及f(x)在[0，π)上的表达式，求出f(x)在[π，3π)上的表达式，然后再求积．这里所采用的是第一种方法，读者可采用第二种方法计算． 知识模块：高等数学
5． 求无穷积分．
正确答案：J＝[ln(1＋x)—lnx—]dx，而∫[ln(1＋x)—lnx＝]dx＝∫[ln(1＋x)—lnx]dx—＝x[ln(1＋x)—lnx]—dx—＝xln＋C，因此 涉及知识点：高等数学
6． 设f(x)＝求f(x)的不定积分．
正确答案：当x＜0时，f(x)＝∫sin2xdx＝cos2x＋C1当x＞0时，f(x)＝∫ln(2x＋1)dx＝xln(2x＋1)—＝xln(2x＋1)—∫dx＋＝xln(2x＋1)—x＋ln(2x＋1)＋C2，为了保证F(x)在x＝0点连续，必须C2＝＋C1 (*)特别，若取C1＝0，C2＝就是f(x)的一个原函数．因此∫f(x)dx＝F(x)＋C＝
考研数学一(高等数学)模拟试卷33(题后含答案及解析)
考研数学一（高等数学）模拟试卷33 (题后含答案及解析)
题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1． 若a·b=a·c，则
A．b=c．
B．a⊥b且a⊥c．
C．a=0或b一c=0．
D．a⊥(b一c)．
正确答案：D 涉及知识点：高等数学
2． 设c=(b×a)-b，则
A．a垂直于b+c．
B．a平行于b+c．
C．b垂直于c．
D．b平行于c．
正确答案：A 涉及知识点：高等数学
3． 若直线相交，则必有
A．
B．
C．
D．
正确答案：D 涉及知识点：高等数学
4． 通过直线x=2t一1，y=3t+2，z=2t一3和直线x=2t+3，y=3t一1，z=2t+1的平面方程为
A．x—z—2=0．
B．x+z=0．
C．x一2y+z=0．
D．x+y+z=1．
正确答案：A 涉及知识点：高等数学
5． 原点(0，0，0)关于平面6x+2y一9z+121=0对称的点为
A．(12，8，3)．
B．(一4，1，3)．
C．(2，4，8)．
D．(一12，一4，18)．
正确答案：D 涉及知识点：高等数学
6． 设，则f(0，0)点处
A．不连续．
B．偏导数不存在．
C．偏导数存在但不可微．
D．偏导数存在且可微．
正确答案：C 涉及知识点：高等数学
7． 若二元函数f(x，y)在(x0，y0)处可微，则在(x0，y0)点下列结论中不一定成立的是
A．连续．
B．偏导数存在．
C．偏导数连续．
D．切平面存在．
正确答案：C 涉及知识点：高等数学
8． 函数在(0，0)点处
A．不连续．
B．偏导数存在．
C．任一方向的方向导数存在．
D．可微．
正确答案：C 涉及知识点：高等数学
9． 设fx’(0，0)=1，fy’(0，0)=2，则
考研数学(数学一)模拟试卷418(题后含答案及解析)
考研数学（数学一）模拟试卷418 (题后含答案及解析)
题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1． 设f(x)为微分方程y’一xy=g(x)满足y(0)=1的解，其中g(x)=∫0xsin[(x—t)2]dt，则有( )
A．在点x=0处f(x)取极大值
B．在点x=0处f(x)取极小值
C．点(0，f(0))为曲线y=f(x)的拐点
D．点x=0不是f(x)的极值点，点(0，f(0))也不是曲线y=f(x)的拐点
正确答案：B
解析：由题意知，y’(0)一0，y”=y+xy’+g’(x)，y”(0)=1+g’(0)，又g(x)∫0xsin(u2)du,g’(x)=sin(x2)，g’(0)=0，所以y”(0)=1＞0，故选(B)．
2． 设y=y(x)在[0，+∞)可导，在x∈(0，+∞)处的增量满足△y(1+△y)=a，当△x→0时a是△x的等价无穷小，又y(0)=1，则y(x)=( )
A．1+x
B．(1+x)[一ln(1+x)+1]
C．
D．ln(1+x)+1
正确答案：B
解析：由y(0)=1，得C=1，所以y=(1+x)[一ln(1+x)+1]，故应选(B)．
3． 设平面区域D1={(x，y)|0≤z≤1，1一x≤y≤1}，则I1，I2，I3的大小关系为( )
A．I1＜I2＜I3
B．I3＜I2＜I1
C．I2＜I3＜I1
D．I1＜I3＜I2
正确答案：B
解析：由于D1D2，记D3=D2—D1={(x，y)|0＜x＜1，≤y＜1一x}，当(x，y)∈D3时，x+y＜1，从而有ln(x+y)＜0，所以I2—I1=即有I2＜I1，而当(x，y)∈D2且(x，y)≠(0，1)，(1，0)时，ln(x+y)＞所以I2＞I3．综上可知I3＜I2＜I1，应选(B)．
4． 设函数f(x)在[一1，1]上有定义，在点x=0处可导，则f’(0)=0是级数敛的( )
考研数学一(n维向量与向量空间)模拟试卷1(题后含答案及解析)
考研数学一（n维向量与向量空间）模拟试卷1 (题后含答案及解析)
题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1． 下列向量组α1，α2，…，αn中，线性无关的是
A．(1，2，3，4)，(4，3，2，1)，(0，0，0，0)．
B．(a，b，c)，(b，c，d)，(c，d，e)，(d，e，f)．
C．(a，1，b，0，0)，(c，0，d，2，3)，(e，4，f，5，6)．
D．(a，1，2，3)，(b，1，2，3)，(c，4，2，3)，(d，0，0，0)．
正确答案：C
解析：有零向量的向量组肯定线性相关，任意n+1个n维向量必线性相关．因此(A)，(B)均线性相关． 对于(D)，若d=0，肯定线性相关；若d≠0，则(a，1，2，3)一(b，1，2，3)=(d，0，0，0)， 即α1，α2，α4线性相关，而线性相关的向量组再增加向量肯定仍是线性相关，因此不论哪种情况，(D)是线性相关的．由排除法可知(C)入选．另一方面，若能观察出β1=(1，0，0)，β2=(0，2，3)，β3=(4，5，6)所构成的行列式则可知β1，β2，β3线性无关，而α1，α2，α3是其延伸组，即不论如何扩充均线性无关，故选(C)． 知识模块：n维向量与向量空间
2． 已知向量组α1，α2，α3，α4线性无关，则命题正确的是
A．α1+α2，α2+α3，α3+α4，α4+α1线性无关．
B．α1一α2，α2一α3，α3一α4，α4一α1线性无关．
C．α1+α2，α2+α3，α3一α4，α4一α1线性无关．
D．α1+α2，α2一α3，α3一α4，α4一α1线性无关．
正确答案：D
解析：由观察法可知(α1+α2)－(α2+α3)+(α3+α4)一(α4+α1)=0，即(A)线性相关．对于(B)，(α1一α2)+(α2一α3)+(α3一α4)+(α4一α1)=0，即(B)线性相关．而(C)中，(α1+α2)一(α2+α3)+(α3一α4)+(α4一α1)：0，即(C)线性相关．由排除法可知(D)正确． 知识模块：n维向量与向量空间
考研数学一(线性代数)模拟试卷3(题后含答案及解析)
考研数学一（线性代数）模拟试卷3 (题后含答案及解析)
题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1． 设A是m×n阶矩阵，下列命题正确的是( )．
A．若方程组AX=0只有零解，则方程组AX=b有唯一解
B．若方程组AX=0有非零解，则方程组AX=b有无穷多个解
C．若方程组AX=b无解，则方程组AX=0一定有非零解
D．若方程组AX=b有无穷多个解，则方程组AX=0一定有非零解
正确答案：D
解析： 知识模块：线性代数部分
2． 设A是m×n阶矩阵，则下列命题正确的是( )．
A．若m＜n，则方程组AX=b一定有无穷多个解
B．若m＞n，则方程组AX=b一定有唯一解
C．若r(A)=n，则方程组AX=b一定有唯一解
D．若r(A)=m，则方程组AX=b一定有解
正确答案：D
解析：因为若r(A)=m(即A为行满秩矩阵)，则，即方程组AX=b一定有解，选(D)． 知识模块：线性代数部分
3． 设α1，α2，α3，α4为四维非零列向量组，令A=(α1，α2，α3，α4)，AX=0的通解为X=k(0，一1，3，0)T，则A*X=0的基础解系为( )
A．α1，α3
B．α2，α3，α4
C．α1，α2，α4
D．α3，α4
正确答案：C
解析：因为AX=0的基础解系只含一个线性无关的解向量， 所以r(A)=3，于是r(A*)=1． 因为A*A=｜A｜E=0，所以α1，α2，α3，α4为A*X=0的一组解，又因为一α2+3α3=0，所以α2，α3线性相关，从而α1，α2，α4线性无关，即为A*X=0的一个基础解系，应选(C)． 知识模块：线性代数部分
4． 设向量组α1，α2，α3为方程组AX=0的一个基础解系，下列向量组中也是方程组AX=0的基础解系的是( )．
考研数学一(填空题)模拟试卷45(题后含答案及解析)
考研数学一（填空题）模拟试卷45 (题后含答案及解析)
题型有：1.
1． 设随机变量X服从均值为10，均方差为0．02的正态分布，已知，Φ(2．5)=0．9938，则X落在区间(9．95，10．05)内的概率为_______．
正确答案：0．9876
解析：由题意，X～N(10，0．022)，∴P{9．95＜X＜10．05)==Φ(2．5)-Φ(-2．5)=2Φ(2．5)-1=2×0．9938-1=0．9876 知识模块：概率论与数理统计
2． 设则d2y／dx2=_______．
正确答案：
解析： 知识模块：高等数学
3． 函数f(x)=｜4x3—18x2+27｜在区间[0，2]上的最小值为______，最大值为______。
正确答案：0；27
解析：令φ(x)=4x3—18x2+27，则所以φ(x)在[0，2]上单调递减，φ(0)=27，φ(2)= —13，由介值定理知，存在唯一x0∈(0，2)，使φ(x0)=0。且f(0)=27，f(x0)=0，f(2)=13，因此，f(x)在[0，2]上的最小值为0，最大值为27。 知识模块：一元函数微分学
4． 设∫xf(x)dx=arcsinx+C，则=___________。
正确答案：
解析： 知识模块：高等数学
5． 已知随机变量X与Y独立同分布，且X的分布函数为F(x)，记Z=max(X，Y)，则(X，Z)的联合分布函数F(x，z)=________．
正确答案：
解析：已知X与Y独立且有相同分布F(x)，所以(X，Z)的联合分布函数F(x，z)=P{X≤x，max(X，Y)≤z}=P{X≤x，X≤z，Y≤z} 知识模块：概率与数理统计
6．
正确答案：1
解析： 知识模块：一元函数积分学
7． D是圆周x2+y2=Rx所围成的闭区域，则=________。
正确答案：
解析：圆周x2+y2=Rx所围成的闭区域可用极坐标表示为 知识模块：高等数学
考研数学一(概率论与数理统计)模拟试卷22(题后含答案及解析)
考研数学一（概率论与数理统计）模拟试卷22 (题后含答案及解析)
题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1． 设X1，…，Xn为相互独立的随机变量，Sn=X1+…+Xn，则根据列维一林德贝格中心极限定理，当n充分大时，Sn近似服从正态分布，只要X1，…Xn
A．有相同的数学期望；
B．有相同的方差；
C．服从同一指数分布；
D．服从同一离散型分布．
正确答案：C 涉及知识点：概率论与数理统计
2． 设总体X～N(μ，σ2)．从中抽得简单样本X1，X2，…，Xn．记则Y1～χ2(n)，Y2～χ2(n-1)且
A．Y1、Y2均与独立．
B．Y1、Y2均与不独立．
C．Y1与独立，而Y2未必．
D．Y2与独立，而Y1未必．
正确答案：D 涉及知识点：概率论与数理统计
填空题
3． 对随机变量X，Y，已知3X+5Y=11，则X和Y的相关系数为_____．
正确答案： 涉及知识点：概率论与数理统计
4． 设总体X～N(μ，σ2)，从X中抽得容量为16的简单样本，S2为样本方差，则D(S2)=________．
正确答案：χ 涉及知识点：概率论与数理统计
5． 设X～F(n，n)，且P(|X|＜A)=0．3，则=______．(其中A为一常数)．
正确答案：0.7 涉及知识点：概率论与数理统计
6． 设X1，…，Xn是来自总体N(μ，σ2)的简单样本，其中μ、σ2均未知．记，则假设H0：μ=0的t检验使用的统计量t=______．
正确答案： 涉及知识点：概率论与数理统计
解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
7． 对随机变量X和Y，已知EX=3，EY=一2，DX=9，DY=2，E(XY)=一5．设U=2X—Y一4，求EU，DU．
正确答案：EU=2EX—EY-4=2×3+2—4=4，DU=D(2X—Y一4)=4DX+DY一4cov(X，Y)=4×9+2—4EE(XY)一EX.EY]=36+2—4(一5+3×2)=34． 涉及知识点：概率论与数理统计
考研数学一(概率论与数理统计)模拟试卷45(题后含答案及解析)
考研数学一（概率论与数理统计）模拟试卷45 (题后含答案及解析)
题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1． 设二维随机变量(X，Y)满足E(XY)＝EXEY，则X与Y
A．相关．
B．不相关．
C．独立．
D．不独立．
正确答案：B
解析：因E(XY)＝EXEY，故Cov(X，Y)＝E(XY)一EXEY＝0，X与Y不相关，应选(B)． 知识模块：概率论与数理统计
2． 将一枚硬币重复掷n次，以X和Y分别表示正面向上和反面向上的次数，则X和Y的相关系数等于
A．一1．
B．0．
C．．
D．1．
正确答案：A
解析：依题意，Y＝n—X，故ρXY＝一1．应选(A)．一般来说，两个随机变量X与Y的相关系数ρXY满足｜ρXY｜≤1．若Y＝aX＋b，则当a>0时，ρXY＝1，当a－arxcosX，即U＝一V＋，由于U是V的线性函数，且其增减变化趋势恰恰相反，所以其相关系数ρ＝－1.应选(A)． 知识模块：概率论与数理统计
5． 设随机变量X1，X2，…，Xn(n>1)独立同分布，且方差σ2>0，记，则X1一的相关系数为
A．一1．
B．0．
C．．
D．1．
正确答案：B
解析：由于Xi独立同分布，故DXi＝σ2，，Cov(X1，Xi)＝0(i≠1)，故应选(B)．(注：容易计算D(X1一) 知识模块：概率论与数理统计
6． 设随机变量X的方差存在，并且满足不等式P{｜X—EX｜≥3｜≤，则一定有
A．DX＝2．
B．P｛｜X—EX｜＜3｝．
C．DX≠2．
D．P｛｜X—EX｜＜3｝≥．
正确答案：D
解析：因事件{｜X—EX｜，即选项(D)正确．进一步分析，满足不等式P{l｜X—EX｜≥3}≤的随机变量，其方差既可能不等于2，亦可以等于2，因此结论(A)与(C)都不能选．比如：X服从参数为P的0—1分布，DX＝pq}＝0．因此(A)不成立．若X服从参数n＝8，P＝0．5的二项分布，则有EX＝4，DX＝2．但是P{｜X—EX｜≥3}＝P{｜X一4｜≥3}P{X＝0}＋P{X＝1}＋P{X＝7}＋P{X＝8}＝．因比(B)也不成立． 知识模块：概率论与数理统计
考研数学一(解答题)模拟试卷22(题后含答案及解析)
考研数学一（解答题）模拟试卷22 (题后含答案及解析)
题型有：1.
1． 设随机变量X的绝对值不大于1，P(X=-1)=1／8，P(X=1)=1／4，在{=1＜X＜1}出现的条件下，X在区间(-1，1)内的任一子区间上取值的条件概率与该子区间的长度成正比，求X的分布函数F(x)．
正确答案：F(x)=P(X≤x)，由已知得：x＜-1时，F(x)=0；x≥1时，F(x)=1；F(-1)=P(X≤-1)=P(x=-1)=1／8，当-1＜x＜1时，有P{-1≤X≤x|-1＜X＜1}=k(x+1)，而P(-1＜X＜1)=5／8，可化得P(-1＜X≤x)=k’(x+1)，其中k’=5／8k(待定)，故P(x≤x)=P(-1X≤x)=P(X=-1)+P(-1＜X≤x)=+k’(x+1)，又由1／4=P(X=1)=F(1)-F(1-0)=1-(+2k’)，得k’=5／16，即-1＜x＜1时，F(x)= 涉及知识点：概率论与数理统计
2． 设函数f(χ)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(1)＝0，求证：至少存在一点ξ∈(0，1)，使得(2ξ＋1)f(ξ)＋ξf′(ξ)＝0．
正确答案：令F(χ)＝χe2χf(χ)，则由题设知F(χ)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且F(0)＝0，F(1)＝e2f(1)＝0，即F(χ)在[0，1]上满足罗尔定理的全部条件，故至少存在一点ξ∈(0，1)，使F′(ξ)＝(e2ξ＋2ξe2ξ)f(ξ)＋ξe2ξf′(ξ)＝e2ξ[(2ξ＋1)f(ξ)＋ξf′(ξ)]＝0，从而 (2ξ＋1)f(ξ)＋f′(ξ)＝0． 涉及知识点：高等数学
3． 设A=已知线性方程组Ax=b存在2个不同的解． (I)求λ，a； (Ⅱ)求方程组Ax=b的通解．
正确答案：(I)因为A为方阵且方程组Ax=b的解不唯一，所以必有｜A｜=0，而｜A｜=(λ一1)2(λ+1)，于是λ=1或λ=一1． 当λ=1时，因为r(A)≠r[A|b]，所以Ax=b无解(亦可由此时方程组的第2个方程为矛盾方程知Ax=b无解)，故舍去λ=1． 当λ=一1时，对Ax=b的增广矩阵施以初等行变换因为Ax=b有解，所以a=一2． (Ⅱ)当λ=一1、a=一2时，
考研数学一(高等数学)模拟试卷288(题后含答案及解析)
考研数学一（高等数学）模拟试卷288 (题后含答案及解析)
全部题型 2. 填空题 3. 解答题
填空题
1． 若f(x)的导函数是sinx，则f(x)的原函数是___________．
正确答案：一sinx+C1x+C2
解析：f(x)的导函数是sinx，那么f(x)应具有形式一cosx+C1，所以f(x)的原函数应为一sinx+C1x+C2，其中C1，C2为任意常数． 知识模块：高等数学
2． 设f(x)在[0，1]连续，f(｜cosx｜)dx=__________．
正确答案：由于f(｜cosx｜)在(一∞，+∞)连续，以π为周期，且为偶函数，则根据周期函数与偶函数的积分性质得 I=2∫0πf(｜cosx｜)dx=(｜cosx｜)dx=4A． 涉及知识点：高等数学
解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
3． 设y=y(x)由方程组
正确答案：由方程组的第一个方程式对t求导得x’t=6t+2=2(3t+1)．将第二个方程对t求导并注意y=y(t)得y’teysint+eycost—y’t=0．整理并由方程式化简得y’t=． (**)注意：由(*)式得y｜t=0=1，由(**)式得｜t=0=e．在上式中令t=0得
解析：这里y与x的函数关系由参数方程x=x(t)，y=y(t)给出，且．其中x=x(t)是显式表示，易直接计算x’t，而y=y(t)由y与t的方程式确定，由隐函数求导法求出y’t． 知识模块：高等数学
4． 设y=In(3+7x一6x2)，求y(n)．
正确答案：先分解 y=ln(3—2x)(1+3x)=ln(3—2x)+ln(1+3x)→
y(n)=[ln(3—2x)](n)+[ln(1+3x)](n)．然后利用[ln(ax+b)](n)的公式得
解析：利用对数函数性质将函数y分解为形如ln(ax+b)的对数函数之和，再用[ln(ax+b)](n)的公式即可得结果． 知识模块：高等数学