考研数学一(解答题)模拟试卷159(题后含答案及解析)
考研数学一（解答题）模拟试卷159 (题后含答案及解析)
题型有：1.
1． 设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且∫abf(x)dx=f(b)．求证：在(a，b)内至少存在一点ξ，使f’(ξ)=0．
正确答案：因为f(x)在[a，b]上连续，由积分中值定理可知，在(a，b)内至少存在一点c使得 f(c)=∫abf(x)dx．这就说明f(c)=f(b)．根据假设可得f(x)在[c，b]上连续，在(c，b)内可导，故由罗尔定理知，在(c，b)内至少存在一点ξ，使f’(ξ)=0，其中ξ∈(c，b)(a，b)． 涉及知识点：高等数学
2． 求下列不定积分：(Ⅰ)∫arcsinx.arccosxdx；(Ⅱ)∫x2sin2xdx；(Ⅲ)dx．
正确答案：(Ⅰ)按照上表第二栏所讲的方法，有∫arcsinx.arccosxdxxarcsinx.arccosx－∫x()dx=xarcsinx.arccosx+∫(arccosx－arcsinx)d=xarcsinx.arccosx+(arccosx－arcsinx)+2x+
C．(Ⅱ)由于sin2x=(1－cos2x)，所以∫x2sin2xdx=∫x2dsin2x．连续使用分部积分法得(Ⅲ)其中已求出，注意到等式右端也包含积分dx，因而得到关于dx的方程，解得 涉及知识点：一元函数积分概念、计算及应用
3． 设函数y=f(x)在[a，b](a＞0)连续，由曲线y=f(x)，直线x=a，x=b及x轴围成的平面图形(如图3．12)绕y轴旋转一周得旋转体，试导出该旋转体的体积公式．
正确答案：用微元法．任取[a，b]上小区间[x，x+dx]，相应得到小曲边梯形，它绕y轴旋转所成立体的体积(见图3．12)为dV=｜f(x)｜2πxdx，于是积分得旋转体的体积为 V=2π∫abx｜f(x)｜dx． 涉及知识点：高等数学
4． 已知平面上三条不同直线的方程分别为l1：ax+2by+3c=0l2：ax+2cy+3a=0l3：ax+2ay+3b=0试证这三条直线交于一点的充分必要条件为a+b+c=0．
正确答案：必要性 设三直线l1，l2，l3交于一点，则二元线性方程组
=3(a+b+c)[(a—b)2一(b—c)2+(c—a)2]及 (a—b)2+(b—c)(c—a)2≠0，(否则a=b=c，则三条直线重合，从而有无穷多个交点，与交点惟一矛盾)，所以a+b+c=0． 充分性 若a+b+c=0，则由必要性的证明知，又系数矩阵A中有一个二阶于式故秩(A)=2，于是有秩(A)=秩(A)=2，因此方程组(*)有惟一解，即三直线l1，l2，l3交于一点．@注释@本题在将几何问题转化为代数问题之后，证法1主要利用了非齐次线性方程组有惟一解的充要奈件，证法2主要利用了Cramer法则的结果．注意，由于平面直线的方程是二元一次方程，故本题实际上隐含了下述条件：a与b不同时为零，b与c不同时为零，c与a不同时为零，
本题两种证法的充分性证明中都用到这些条件．
解析：本题在将几何问题转化为代数问题之后，证法1主要利用了非齐次线性方程组有惟一解的充要奈件，证法2主要利用了Cramer法则的结果．注意，由于平面直线的方程是二元一次方程，故本题实际上隐含了下述条件：a与b不同时为零，b与c不同时为零，c与a不同时为零，本题两种证法的充分性证明中都用到这些条件． 知识模块：线性代数
5． 设f(x)连续，且f(x)=2∫0xf(x一t)dt+ex，求f(x)．
正确答案：∫0xf(x—t)dt∫x0f(u)(一du)=∫0xf(u)du， f(x)=2∫0xf(u)du+ex两边求导数得f’(x)一2f(x)=ex， 则f(x)=(∫ex．e∫—2dxdx+C)e=Ce2x—ex，
因为f(0)=1，所以C=2，故f(x)=2e2x一ex． 涉及知识点：高等数学
6． 设f(x)在[0，+∞)上连续，非负，且以T为周期，证明：
正确答案：对充分大的x，存在自然数n，使得nT≤x＜(n+1)T， 因为f(x)≥0，所以∫0nTf(t)dt≤∫0xf(t)dt≤∫0(n+1)Tf(t)dt， 涉及知识点：高等数学
7． 假设λ为n阶可逆矩阵A的一个特征值，证明：(1)为A—1的特征值；(2)为A的伴随矩阵A*的特征值．
正确答案：(1)由已知，有非零向量ξ满足Aξ=λξ，两端左乘A—1，得ξ=λA—1ξ．因ξ≠0，故λ≠0，于是有A—1ξ=为A—1的一个特征值(ξ为对应的一个特征向量)． (2)由于A—1=为A*的特征值．
解析：本题主要考查特征值与特征向量的定义．亦可利用特征方程证明(1)：若λ为可逆方阵A的特征值，则有｜λE一A｜=0，故必有λ≠0(否则λ=0．则有｜—A｜=0，即｜A｜=0，这与A可逆矛盾)，于是有｜λE一A｜=0=0，因此A与A—1的特征值按“倒数”关系形成一一对应． 知识模块：线性代数
8． 求∫arcsin2xdx．
正确答案： 涉及知识点：高等数学
9． 设曲线y=y(x)上点(x，y)处的切线垂直于此点与原点的连线，求曲线y=y(x)的方程．
正确答案：(Ⅰ)列方程．曲线y=y(x)在点(x，y)处的切线斜率为dy／dx，与原点连线的斜率为y／x，按题意y／x．dy／dx=－1．(Ⅱ)解方程．将方程改写为ydy+xdx=0，即d(x2+y2)=0．于是通解为x2+y2=C(C＞0为常数)． 涉及知识点：高等数学
10． 设f(x)为n+1阶可导函数，求证：f(x)为n次多项式的充要条件是f(n+1)(x)≡0，f(n)(x)≠0．
正确答案：由带拉格朗日余项的n阶泰勒公式得f(x)=f(0)+f′(0)x+…+若f(n+1)(x)≡0，f(n)(x)≠0，由上式f(x)=f(0)+f′(0)x+…+f(n)(0)xn是n次多项式．反之，若f(x)=anxn+an－1xn－1+…+a1x+a0 (an≠0)是n次多项式，显然f(n)(x)=ann!≠0，f(n+1)(x)≡0． 涉及知识点：一元函数的泰勒公式及其应用
11． 求函数f(x，y)=x2-xy+y2在点M(1，1)沿与z轴的正向组成α角的方向l上的方向导数，在怎样的方向上此导数有：(1)最大的值；(2)最小的值；(3)等于0．
正确答案： 涉及知识点：向量代数与空问解析几何
12． 设函数f(x，y)可微，又f(0，0)=0，f’x(0，0)=a，f’y(0，0)=b，且φ(t)=f[t，f(t，t2)]，求φ’(0)．
正确答案：在φ(t)=f[t，f(t，t2)]中令u=t，v=f(t，t2)，得φ(t)=f(u，v)， =f’1(u，v).1+f’2(u，v).[f’1(t，t2).1+f’2(t，t2).2t] =f’1[t，f(t，t2)]+f’2[t，f(t，t2)].[f’1(t，t2)+f’2(t，t2).2t]，所以 φ’(0)=f’1(0，0)+f’2(0，0).[f’1(0，0)+f’2(0，0).2.0]
=a+b(a+0)=a(1+b)． 涉及知识点：多元函数微分学
13． 求解二阶微分方程满足初始条件的特解
正确答案：令则原方程化为ucosy·u’+u2siny=u。当u=0，y=c不符合初始条件，舍去。 当u≠0时，得到解为 由得C=0。因此y’=siny。 解方程得ln|cscy－coty|=x+C2，由得 则所求微分方程满足初始条件的解为
所以 涉及知识点：常微分方程
14． 求微分方程x2y’＋xy=y2满足初始条件y(1)=1的特解．
正确答案：由x2y’＋xy=y2得，两边积分得=Cx2，因为y(1)=1，所以C=一1，再把μ==Cx2得原方程的特解为y=． 涉及知识点：高等数学
设起点站上车人数X服从参数为λ(λ＞0)的泊松分布，每位乘客中途下车的概率为p(0＜p＜1)，且中途下车与否相互独立，以Y表示中途下车人数．
15． 求在发车时有n个乘客的情况下，中途有m个乘客下车的概率；
正确答案：设A=(发车时有n个乘客)，B=(中途有m个人下车)，则P(B｜A)=P(Y=m｜X=n)=Cnmpm(1一p)n－m (0≤m≤n) ． 涉及知识点：概率统计
16． 求(X，Y)的概率分布．
正确答案：P(X=n，Y=m)=P(AB)=P(B｜A)P(A)=Cnmpm(1一p)n－m．e－λ
(0≤m≤n，n=0．1，2．…)． 涉及知识点：概率统计
17． 求极限．
正确答案： 涉及知识点：高等数学
18． 计算D2n=．
正确答案：D2n=a2D2n－2—b2D2n－2=(a2一b2)D2n－2=…=(a2一b2)n． 涉及知识点：线性代数
19．
正确答案： 涉及知识点：函数、极限、连续
20． 在下列各题中，求由给定函数复合而成的复合函数。
正确答案： 涉及知识点：综合
考研数学一(选择题)模拟试卷1(题后含答案及解析)
考研数学一（选择题）模拟试卷1 (题后含答案及解析)
题型有：1.
1． 设α1，α2，α3，β1，β2都是4维列向量，且4阶行列式｜α1，α2，α3，β1｜＝m，｜α1，α2，β2，α3｜＝n，则4阶行列式｜α3，α2，α1，β1，β2｜等于( )
A．m＋n
B．－(m＋n)
C．n－m
D．m－n
正确答案：C
解析：由行列式的性质：互换两行(列)，行列式变号，得 ｜α3，α2，α1，(β1＋β2)｜＝｜α3，α2，α1，β1｜＋｜α3，α2，α1，β2｜ ＝－｜α1，α2，α3，β1｜＋｜α1，α2，β2，α3｜ ＝n－m 所以应选
C． 知识模块：行列式
2． 设有向量组α1=(1，-1，2，4)，α2=(0，3，1，2)，α3=(3，0，7，14)，α4=(1，-2，2，0)，α5=(2，1，5，10)，则该向量组的极大线性无关组是
A．α1，α2，α3．
B．α1，α2，α4．
C．α1，α2，α5．
D．α1，α2，α4，α5．
正确答案：B 涉及知识点：向量
3． 极限( )．
A．等于1
B．为∞
C．不存在但不是∞
D．等于0
正确答案：C
解析：因为当xn=(n=1，2，…)时，极限不存在但不是∞，选(C)． 知识模块：高等数学
4． 原点(0，0，0)关于平面6x+2y一9z+|2|=0对称的点为
A．(12，8，3)．
B．(一4，1，3)
C．(2，4，8)．
D．(一12，一4，18)．
正确答案：D 涉及知识点：高等数学
5． 已知f(x)在x=0的某个邻域内连续，且f(0)=0，，则在点x=0处f(x)( )
A．不可导。
B．可导且f’(0)≠0。
C．取得极大值。
D．取得极小值。
正确答案：D
解析：当x→0时，1-cosx～x2，故极限条件等价于=2。从而可取f(x)=x2，显然满足题设条件。而f(x)=x2在x=0处取得极小值，故选D。 知识模块：高等数学
考研数学一(线性代数)模拟试卷135(题后含答案及解析)
考研数学一（线性代数）模拟试卷135 (题后含答案及解析)
题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1． 设A是m×n阶矩阵，则下列命题正确的是( )．
A．若m＜n，则方程组AX=b一定有无穷多个解
B．若m＞n，则方程组AX=b一定有唯一解
C．若r(A)=n，则方程组AX=b一定有唯一解
D．若r(A)=m，则方程组AX=b一定有解
正确答案：D
解析：因为若r(A)=m(即A为行满秩矩阵)，则=m，于是r(A)=，即方程组AX=b一定有解，选(D)． 知识模块：线性代数
2． 设α1，α2，α3，α4为四维非零列向量组，令A=(α1，α2，α3，α4)，AX=0的通解为X= k(0，一1，3，0)T，则A*X=0的基础解系为( )
A．α1，α3
B．α2，α3，α4
C．α1，α2，α4
D．α3，α4
正确答案：C
解析：因为AX=0的基础解系只含一个线性无关的解向量， 所以r(A)=3，于是r(A*)=1． 因为A*A=|A|E=O，所以α1，α2，α3，α4为A*X=0的一组解， 又因为一α2+3α3=0，所以α2，α3线性相关，从而α1，α2，α4线性无关，即为A*X=0的一个基础解系，应选(C)． 知识模块：线性代数
3． 设向量组α1，α2，α3为方程组AX=0的一个基础解系，下列向量组中也是方程组AX=0的基础解系的是( )．
A．α1+α2，α2+α3，α3一α1
B．α1+α2，α2+α3，α1+2α2+α3
C．α1+2α2，2α2+3α3，3α3+α1
D．α1+α2+α3，2α1—3α2+22α3，3α1+5α2一5α3
正确答案：C
解析：根据齐次线性方程组解的结构，四个向量组皆为方程组AX=0的解向量组，容易验证四组中只有(C)组线性无关，所以选(C)。 知识模块：线性代数
考研数学一(填空题)模拟试卷139(题后含答案及解析)
考研数学一（填空题）模拟试卷139 (题后含答案及解析)
题型有：1.
1． 设f(x)是以4为周期的函数，且f’(一1)=2,则=______ ．
正确答案：应填．
解析：若f(x)以T为周期在x0处可导，则f’(x0+T)=f’(x0)．
2． 设一平面经过原点及(6，-3，2)，且与平面4x-y+2z=8垂直，则此平面方程为___________.
正确答案：2x+2y-3z=0. 涉及知识点：多元函数积分学
3． 设一次试验成功的概率为p，进行100次试验．当p=________时，成功次数的标准差的值最大，其最大值为________．
正确答案：
解析：若设进行100次试验成功的次数为X，则X—B(100，p)，X的标准差为 知识模块：概率与数理统计
4． 曲线y2=2x在任意点处的曲率为_______.
正确答案：
解析：用曲率计算公式由y2=2x2yy’=2，y’=1／y，y”=－1／y2y’=－1／y3. 知识模块：高等数学
5． 已知xy=ex+y，则=__________．
正确答案：
解析：在方程两端分别对x求导，得 知识模块：一元函数微分学
6． 设f(x)连续，则∫0xxf(x—t)dt=___________．
正确答案：∫0xf(u)du+xf(x)
解析： 知识模块：高等数学
7． 设二维随机变量(X，Y)服从N(μ，μ；σ2，σ2；0)，则E(XY2)=________．
正确答案：μ3+μσ2
解析：由于ρ=0，根据二维正态分布的性质可知随机变量X，Y独立，因此E(XY2)=E(X)．E(Y2)．已知(X，Y)服从N(μ，μ；σ2，σ2；0)，则E(X)=μ，
E(Y2)=D(Y)+E2(Y)=μ2+σ2，故E(XY2)=μ(μ2+σ2)=μ3+μσ2． 知识模块：概率与数理统计
8． 曲面z=x2+y2与平面2x+4y—z=0平行的切平面的方程是_________。
考研数学一(高等数学)模拟试卷20(题后含答案及解析)
考研数学一（高等数学）模拟试卷20 (题后含答案及解析)
全部题型 3. 解答题
解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
1． 求的最大项．
正确答案：令f(x)＝(x≥1)， 由f(x)＝得f’(x)＝，令f’(x)＝0得x＝e． 当x∈(0，e)时，f’(x)＞0；当x∈(e，＋∞)时，f’(x)＜0，则x＝e为f(x)的最大点， 于是的最大项为， 因为，所以最大项为 涉及知识点：高等数学部分
2． 设，求y’．
正确答案：当｜x｜＜1时，；当x＞1时，y’＝1；当x＜一1时，y’＝一1；由得y在x＝一1处不连续，故y’(一1)不存在；由得，由得，因为y－’(1)≠y＋’＋(1)，所以y在x＝1处不可导，故 涉及知识点：高等数学部分
3． 设x＝x(t)由sint一＝0确定，求．
正确答案：将t＝0代入sint一＝0得再由＞0得x＝1，两边对t求导得，从而＝e＋1，两边再对t求导得 涉及知识点：高等数学部分
4． 设x3一3xy＋y3＝3确定y为x的函数，求函数y＝y(x)的极值点．
正确答案：x3一3xy＋y3＝3两边对x求导得3x2一3y一＝0，解得，令得y＝x2，代入x3—3xy＋y3＝3得x＝一1或x＝，因为，所以x＝一1为极小点，极限值为y＝1；因为，所以x＝为极大点，极大值为 涉及知识点：高等数学部分
5． x＝φ(y)是y＝f(x)的反函数，f(x)可导，且f’(x)＝，f(0)＝3，求φ”(3)．
正确答案： 涉及知识点：高等数学部分
6． 设f(x)连续，，且，求φ’(x)，并讨论φ’(x)在x＝0处的连续性．
正确答案： 涉及知识点：高等数学部分
7． 设函数f(x)在x＝1的某邻域内有定义，且满足｜f(x)－2ex｜≤(x一1)2，研究函数f(x)在x＝1处的可导性．
考研数学一(高等数学)模拟试卷139(题后含答案及解析)
考研数学一（高等数学）模拟试卷139 (题后含答案及解析)
全部题型 2. 填空题 3. 解答题
填空题
1． 设f’’(x)连续，f’(x)≠0，则＝______．
正确答案：
解析：于是 原式＝ 知识模块：高等数学
2． ＝______．
正确答案：2
解析：原式＝[x2＋2x＋(1—x2)]dx＝＝2．(注意：——奇函数在对称区间上积分为零) 知识模块：高等数学
3． ＝______．
正确答案：2e2＋2
解析：原式＝4e2—2e2＋2＝2e2＋2． 知识模块：高等数学
4． ＝______．
正确答案：
解析：原式＝ 知识模块：高等数学
5． xarcsinxdx＝______．
正确答案：
解析：原式其中是单位圆的面积即 知识模块：高等数学
6． (n≠0)＝______．
正确答案：
解析：原式＝ 知识模块：高等数学
7． sinxcosxdx（自然数n或m为奇数）＝______．
正确答案：0
解析：由周期函数的积分性质得当n为奇数时，由于被积函数为奇函数，故
In，m＝0．当m为奇数(设m＝2k＋1，k＝0，1，2，…)时其中R(u)为u的某个多项式(不含常数项)．因此，In，m＝0． 知识模块：高等数学
8． (a＞0)＝______．
正确答案：
解析：【分析一】利用分部积分法【分析二】令t＝arctan，则cos2t＝，x＝acos2t．于是原式＝td(acos2t)＝atcos2tcos2tdt＝acos2tdt＝ 知识模块：高等数学
9． 设y＝f(x)满足△y＝△x＋o(△x)，且f(0)＝0，则f(x)dx＝______．
正确答案：
解析：由题设可知，从而由f(0)＝0可得C＝0．于是f(x)＝由定积分几何意义得 知识模块：高等数学
10． 设f(x)在[a，b]上连续可导，f(a)＝f(b)＝0，且f2(x)dx＝l，则xf(x)f’(x)dx＝______．
考研数学一(填空题)模拟试卷135(题后含答案及解析)
考研数学一（填空题）模拟试卷135 (题后含答案及解析)
题型有：1.
1． 甲、乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为0．6和0．5，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率为_______．
正确答案：0.75
解析：记A=(甲命中目标)，B=(乙命中目标)，C=(目标被命中)，则由题意知：P(A)=0．6，P(B)=0．5，A与B独立，且C=A∪B，AC=A．故P(C)=P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)=0．6+0．5-0．6×0．5=0．8所求概率为 知识模块：概率论与数理统计
2． =________．
正确答案：
解析： 知识模块：高等数学
3． 设f(x)连续，且F(x)=∫axf(t)dt，则F(x)=________．
正确答案：a2f(a)
解析： 知识模块：高等数学
4． 设A为四阶矩阵，且｜A｜＝2，则｜A*｜_______．
正确答案：8
解析：因为｜A｜≠0时，有A-1＝A*，因此A*＝A-1｜A｜，因为矩阵前面的系数相当于矩阵的每一个元素均乘以这个系数，因此，｜A*｜＝｜A-1｜(｜A｜)n＝｜A｜n-1＝｜A｜3＝23＝8． 知识模块：矩阵
5． 若函数f(x)在x＝1处的导数存在，则极限＝______．
正确答案：9f’(1)
解析：按导数定义，将原式改写成＝f’(1)＋2f’(1)＋6f’(1)＝9f’(1)． 知识模块：高等数学
6． 已知|a|=2，|b|=且a.b=2，则|a×b|=_____．
正确答案：2 涉及知识点：高等数学
7． 已知矩阵A＝中a＜0．且齐次方程组Aχ＝0有非零解，A*是A的伴随矩阵，则齐次方程组A*χ＝0的通解是_______．
正确答案：k1(1，0，1)T＋k2(1，2，－2)T，其中k1，k2为任意常数．
解析：因为齐次方程组Aχ＝0有非零解，故 ｜A｜＝＝24＋2a－a2＝0． 于是a＝6或a＝－4．又因a＜0，从而a＝－4． 因为秩r(A)＝2，所以r(A*)＝1．于是齐次方程组A*χ＝0有n－r(A*)＝3－1＝2个线性无关的解． 又因A*A＝｜A｜E＝0，所以矩阵A的列向量是A*χ＝0的解．故A*χ＝0．的通解是 k1(1，0，1)T＋k2(1，2，－2)T，其中k1，k2为任意常数． 知识模块：线性代数
考研数学一(解答题)模拟试卷115(题后含答案及解析)
考研数学一（解答题）模拟试卷115 (题后含答案及解析)
题型有：1.
1． 设f(x)在x=a可导，且f(a)=1，f′(a)=3，求数列极限w=
正确答案：这是指数型数列极限，先转化成其指数是型数列极限，用等价无穷小因子替换，由数列极限与函数极限的关系及导数定义知因此w=e6． 涉及知识点：一元函数的导数与微分概念及其计算
2． 设f’(x)连续，f(0)=0，f’(0)≠0，F(x)=∫0xtf(t2一x)dt，且当x→0时，F(x)～xn，求n及f’(0)．
正确答案： 涉及知识点：高等数学
3． 设ξ1=(2，一1，一1，0)T和ξ2=(t，1一t，0，一1)T是4元齐次方程组(I)的一个基础解系，方程组(Ⅱ)为已知(I)和(Ⅱ)有公共的非零解，求p，t的值和全部公共解．
正确答案：t=3，p=一2，公共解为c(3ξ1—2ξ2)，c任意． 涉及知识点：线性代数
4． 设f(x)在(－∞，+∞)内二次可导，令求常数A，B，C的值使函数F(x)在(－∞，+∞)内二次可导．
正确答案：对任何常数A，B，C，由F(x)的定义及题设可知F(x)分别在(－∞，x0]，(x0，+∞)连续，分别在(－∞，x0)，(x0，+∞)二次可导．从而，为使F(x)在(－∞，+∞)二次可导，首先要使F(x)在x=x0右连续，由于F(x0－0)=F(x0)=f(x0)，F(x0+0)=C，故F(x)在(－∞，+∞)连续C=f(x0)．在C=f(x0)的情况下，F(x)可改写成F’－(x0)=f’(x0)，F’+(x0)=
B．故F(x)在(－∞，+∞)可导B=f’(x0)．在C=f(x0)，B=f’(x0)的情况下，F(x)可改写成故F(x)在(－∞，+∞)内二次可导2A=f”(x0)A=1／2f”(x0)．综合得，当A=1／2f”(x0)，B=f’(x0)，C=f(x0)时F(x)在(－∞，+∞)上二次可导． 涉及知识点：高等数学
考研数学一(高等数学)模拟试卷95(题后含答案及解析)
考研数学一（高等数学）模拟试卷95 (题后含答案及解析)
全部题型 2. 填空题 3. 解答题
填空题
1． 已知a，b，c是单位向量，且满足a+b+c=0，则a.b+b.c+c.a=_____．
正确答案： 涉及知识点：高等数学
2． 已知|a|=2，|b|=且a.b=2，则|a×b|=_____．
正确答案：2 涉及知识点：高等数学
3． 过点(一1，2，3)，垂直于直线且平行于平面7x+8y+9z+10=0的直线方程是_______
正确答案： 涉及知识点：高等数学
解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
4． 计算
正确答案： 涉及知识点：高等数学
5． 计算
正确答案： 涉及知识点：高等数学
6． 计算
正确答案： 涉及知识点：高等数学
7． 计算
正确答案： 涉及知识点：高等数学
8． 设f(x)=求∫f(x)dx．
正确答案： 涉及知识点：高等数学
9． 设F(x)是f(x)的原函数，F(1)=若当x＞0时，有f(x)F(x)=，试求f(x)．
正确答案： 涉及知识点：高等数学
10． 计算
正确答案：4—π 涉及知识点：高等数学
11． 计算
正确答案： 涉及知识点：高等数学
12． 计算
正确答案： 涉及知识点：高等数学
13． 计算∫01x2f(x)dx，其中f(x)=
正确答案： 涉及知识点：高等数学
14． 计算
正确答案： 涉及知识点：高等数学
15．
正确答案： 涉及知识点：高等数学
16．
正确答案： 涉及知识点：高等数学
17． 求正常数a，b，使
正确答案：a=2，b=1 涉及知识点：高等数学
18． 设函数f(x)可导，且f(0)=0，F(x)=∫0xtn-1f(xn一tn)dt，试求
考研数学一(解答题)模拟试卷50(题后含答案及解析)
考研数学一（解答题）模拟试卷50 (题后含答案及解析)
题型有：1.
1． 证明：级数条件收敛．
正确答案：是交错级数，但不满足莱布尼茨判别条件，因为 涉及知识点：无穷级数
2．
正确答案： 涉及知识点：高等数学部分
3． 证明下列不等式：(Ⅰ)dx＜π； (Ⅱ)
正确答案：(Ⅰ)设f(x)=，则f(x)在区间[0，1]上连续，且可见函数f(x)在点x=处取得它在区间[0，1]上的最小值，又因f(0)=f(1)=1，故f(x)在区间[0，1]上的最大值是f(0)=f(1)=1，从而注意于是有(Ⅱ)注意0＜x＜时，0＜x＜tanx＜1，则
涉及知识点：一元函数积分概念、计算及应用
4． 叙述并证明一元函数微分学中的罗尔定理．
正确答案：罗尔定理：设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)=f(b)，则至少存在—点ξ∈(a，b)使f’(ξ)=0． 证明：由于f(x)在[a，b]上连续，所以f(x)在[a，b]上存在最大值M和最小值m． ①如果M=m，则f(x)≡C，从而f’(x)≡C，任取ξ∈(a，b)均有f’(ξ)=0． ②如果M＞m，由于f(a)=f(x)，所以M或m中至少有个在开区间(a，b)内取到，即在(a，b)内f(x)可取到极值(极大值或(和)极小值)．由费马定理知，在对应点x=ξ∈(a，b)处，f’(ξ)=0． 涉及知识点：一元函数微分学
5． 二次型f(χ1，χ2，χ3)＝XTAX在正交变换X＝QY下化为10y12－4y22－4y32，Q的第1列为 (1)求A． (2)求一个满足要求的正交矩阵Q．
正确答案：(1)Q的第1列α1＝是A的属于10的特征向量，其倍η1＝(1，2，3)T也是属于10的特征向量．于是A的属于一4的特征向量和(1，2，3)T正交， 因此就是方程χ1＋2χ2＋3χ3＝0的非零解． 求出此方程的一个正交基础解系η2＝(2，－1，0)T，η3＝(1，2，)T． 建立矩阵方程A(η1，η2，η3)＝(10η1，－4η2，－4η3)，用初等变换法解得 (2)将η2，η3单位化得α2＝(2，－1，0)T， α3＝(3，6，－5)T． 则正交矩阵Q＝(α1，α2，α3)满足要求． 涉及知识点：二次型
考研数学一(解答题)模拟试卷120(题后含答案及解析)
考研数学一（解答题）模拟试卷120 (题后含答案及解析)
题型有：1.
1． 设讨论函数f(x)的连续性，若有间断点，指明其类型．
正确答案：显然，x≠±2时，f(x)是连续的． 而 所以x=－2为f(x)的连续点． 所以x=2是f(x)的跳跃间断点．
解析：x≠±2时，f(x)连续，x=±2时，考虑单侧极限．
2． 求函数f(x)=在区间(0，2π)内的间断点，并判断其类型。
正确答案：因为tan(x一处无定义，故函数f(x)在区间(0，2，π)内的间断点是x=． 在x=为f(x)的可去间断点；同理，x=也是f(x)的可去间断点，即x=为第一类间断点。 在x=为f(x)第二类间断点；同理，x=也是f(x)的第二类间断点。 涉及知识点：函数、极限、连续
3． 3阶矩阵，已知r(AB)小于r(A)和r(B)，求a，b和r(AB)．
正确答案：求出AB＝ 从r(AB)小于r(A)和r(B)看出A和B都不可逆，于是r(AB)＜r(A)＜3，得r(AB)≤1． 而AB不是零矩阵，得r(AB)＝1． 再求a，b。因为r(AB)＝1，AB的3个行向量两两相关，则第2行是第3行的2倍，得 解得a＝1，b＝2． 涉及知识点：向量组的线性关系与秩
4． 设讨论f(x)与g(x)的极值．
正确答案：(I)对于f(x)：当x＞0时f’(x)：ex＞0，从而f(x)在(0，＋∞)内无极值．当x＜0时f’(x)＝(x＋1)ex，令f’(x)＝0，得x＝一1．当x＜一1时．f’(x)＜0，当一1＜x＜0时f’(x)＞0，故f(一1)＝一e—1为极小值．再看间断点x＝0处，当x＜0时f(x)＝xex＜0＝f(0)；当x＞0且x充分小时，f(x)＝ex一2＜0，故f(0)＝0为极大值．(II)对于g(x)：当x＞0时g’(x)＝一ex＜0，从而g(x)在(0，＋∞)内无极值．当x＜0时与f(x)同，g(一1)＝一e—1为极小值．在间断点x＝0处g(0)＝一1．当x＞0时g(x)＜一1；当x＜0且｜x｜充分小时g(x)为负值且｜g(x)｜＜1，从而有g(x)＞一1．故g(0)非极值． 涉及知识点：高等数学