考研数学三(一元函数微分学与一元函数积分学)模拟试卷3(题后含
考研数学三（一元函数微分学与一元函数积分学）模拟试卷3 (题后含答案及解析)
题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1． 设f(x)，g(x)是连续函数，当x→0时，f(x)与g(x)是等价无穷小，令F(x)＝f(x－t)dt，G(x)＝xg(xt)dt，则当x→0时，F(x)是G(x)的( )．
A．高阶无穷小
B．低阶无穷小
C．同阶但非等价无穷小
D．等价无穷小
正确答案：D
解析：F(x)＝f(x－t)dt＝－f(x－t)d(x－t)＝f(u)du，G(x)＝xg(xt)dt＝，则，选
D． 知识模块：一元函数积分学
2． 设F(x)＝esintsintdt，则F(x)( )．
A．为正常数
B．为负常数
C．为零
D．取值与z有关
正确答案：A
解析：由周期函数的平移性质，F(x)＝sintdt＝sintdt，再由对称区间积分性质得F(x)＝(esintsint－e－sintsint)dt＝(esint－e－sint)sintdt，又(esint－e－sint)sint连续、非负、不恒为零，所以F(x)＞0，选A． 知识模块：一元函数积分学
3． 设a＝dt，β＝dt，则当x→0时，两个无穷小的关系是( )．
A．高阶无穷小
B．低阶无穷小
C．同阶非等价无穷小
D．等价无穷小
正确答案：C
解析：因为≠1，所以两无穷小同阶但非等价，选
C． 知识模块：一元函数积分学
填空题
4． dx＝_____________．
正确答案：ln＋C
解析：＝ln｜1＋t｜－ln｜t｜－＋C＝ln｜｜－＋
C． 知识模块：一元函数积分学
5． dx＝_____________．
正确答案：
解析： 知识模块：一元函数积分学
6． dx＝_____________．
正确答案：
解析：而所以 知识模块：一元函数积分学
7． arctanxdx＝_____________．
正确答案：xarctanx－ln(1＋x2)－(arctanx)2＋C
解析：arctanxdx＝(1－)arctanxdx＝arctanxdx－arctanxd(arctanx)＝xarctanx－dx－(arctanx)2＝xarctanx－ln(1＋x2)－(arctanx)2＋
C． 知识模块：一元函数积分学
8． max{x＋2，x2}dx＝_____________．
正确答案：
解析：max{x＋2，x2}＝当x≤－1时，max{x＋2,x2}dx＝＋C1；当－1＜x＜2时，max{x＋2，x2)dx＝＋2x＋C；当x≥2时，max{x＋2，x2}dx＝＋C3．由－＋C1＝－2＋C2，2＋4＋C2＝＋C3，得C1＝C2－，C3＝C2＋，取C2＝C，则max{x＋2，x2}dx＝ 知识模块：一元函数积分学
9． dx＝_____________．
正确答案：
解析： 知识模块：一元函数积分学
10． dx＝_____________．
正确答案：
解析：因为所以． 知识模块：一元函数积分学
11． dx＝_____________．
正确答案：ln3
解析：＝ln3． 知识模块：一元函数积分学
解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
12． f(x)在[－1，1]上三阶连续可导，且f(－1)＝0，f(1)＝1，f’(0)＝0．证明：存在ξ∈(－1，1)，使得f’”(ξ)＝3．
正确答案：由泰勒公式得f(－1)＝f(0)＋f’(0)(－1－0)＋(－1－0)2＋(－1－0)3，ξ1∈(－1，0)，f(1)＝f(0)＋f’(0)(1－0)＋(1－0)2＋(1－0)3，ξ2∈(0，1)，即f(0)＋＝0，f(0)＋＝1，两式相减得f’”(ξ1)＋f’”(ξ2)＝6．因为f(x)在[－1，1]上三阶连续可导，所以f’”(x)在[ξ1，ξ2]上连续，由连续函数最值定理，f’”∥(x)在[ξ1，ξ2]上取到最小值m和最大值M，故2m≤f’”(ξ1)＋f’”(ξ2)≤2M，即m≤3≤M．由闭区间上连续函数介值定理，存在ξ∈[ξ1，ξ2](－1，1)，使得f’”(ξ)＝3． 涉及知识点：一元函数微分学
13． 设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内二阶连续可导．证明：存在ξ∈(a，b)，使得 f(b)－2f()＋f(a)＝f”(ξ)．
正确答案：因为f(x)在(a，b)内二阶可导，所以有f(a)＝f()＋f’()(a－)＋(a－)2，f(b)＝f()＋f’()(b－)＋(b－)2，其中ξ1∈(a，)，ξ2∈(，b)．两式相加得f(a)＋f(b)－2f()＝[f”(ξ1)＋f”(ξ2)]．因为f”(x)在(a，b)内连续，所以f”(x)在[ξ1，ξ2]上连续，从而f”(x)在[ξ1，ξ2]上取到最小值m和最大值M，故m≤≤M，由介值定理，存在ξ∈[ξ1，ξ2](a，b)，使得＝f”(ξ)，故f(a)＋f(b)－2f()＝[f”(ξ1)＋f”(ξ1)]＝f”(ξ)． 涉及知识点：一元函数微分学
设f(x)在[0，1]上二阶可导，且｜f(x)｜≤a，｜f”(x)｜≤b，其中a，b都是非负常数，C为(0，1)内任意一点．
14． 写出f(x)在x＝c处带Lagrange型余项的一阶泰勒公式；
正确答案： f(x)＝f(c)＋f’(c)(x－c)＋c2，其中ξ介于c与x之间． 涉及知识点：一元函数微分学
15． 证明：｜f’(c)｜≤2a＋．
正确答案：分别令x＝0，x＝1，得f(0)＝f(c)－f’(c)c＋c2，ξ1∈(0，c)，f(1)＝f(c)＋f’(c)(1－c)＋(1－c)2，ξ2∈(c，1)，两式相减，f’(c)＝f(1)－f(0)＋(1－c)2,利用已知条件，得｜f’(c)｜≤2a＋[c2＋(1－c)2]，因为c2＋(1－c)2≤1，所以｜f’(c)｜≤． 涉及知识点：一元函数微分学
设f(x)在[－a，a](a>0)上有四阶连续的导数，且存在．
16． 写出f(x)的带拉格朗日余项的麦克劳林公式，
正确答案：由存在，得f(0)＝0，f’(0)＝0，f”(0)＝0，则f(x)的带拉格朗日余项的麦克劳林公式为f(x)＝x3＋x4，其中ξ介于0与x之间． 涉及知识点：一元函数微分学
17． 证明：存在ξ1，ξ2∈[－a,a]，使得
正确答案：(1)中麦克劳林公式两边积分得f(x)dx＝(ξ)x4dx．因为f(4)(x)在[－a，a]上为连续函数，所以f(4)(x)在[－a，a]上取到最大值M和最小值m，于是有mx4≤f(4)(ξ)x4≤Mx4，两边在[－a，a]上积分得a5≤f(4)(ξ)x4dx≤a5，从而f(4)(ξ)x4dx≤，或f(x)dx≤，于是m≤f(x)dx≤M，根据介值定理，存在ξ1∈[－a，a]，使得f(4)(ξ1)＝f(x)dx，或a5f(4)(ξ1)＝60f(x)dx．再由积分中值定理，存在ξ2∈[－a，a]，使得a5f(4)(ξ1)＝60f(x)dx＝120af(ξ2)，即a4f(4)(ξ1)＝120f(ξ2)． 涉及知识点：一元函数微分学
18． 设f(x)在x0的邻域内四阶可导，且｜f(4)(x)｜≤M(M＞0)．证明：对此邻域内任一异于x0的点x，有｜f”(x0)－≤(x－x0)2，其中x’为x关于x0的对称点．
正确答案：由f(x)＝f(x0)＋f’(x0)(x－x0)＋(x－x0)＋(x－x0)＋(x－x0)4，f(x’)＝f(x0)＋f’(x0)(x’－x0)＋(x’－x0)3＋(x’－x0)4，两式相加得f(x)＋f(x’)－2f(x0)＝f”(x0)(x－x0)2＋[f(4)(ξ1)＋f(4)(ξ2)](x－x0)4，于是｜f”(x0)－｜≤[｜f(4)(ξ1)｜＋｜f(4)(ξ2)｜](x－x0)2，再由｜f(4)(x)｜≤M，得｜f”(x0)－｜≤(x－x0)2． 涉及知识点：一元函数微分学
19． 设f(x)，g(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内二阶可导，f(a)＝f(b)＝0，f’＋(a)f’－(b)＞0，且g(x)≠0(x∈[a，b])，g”(x)≠0(a＜x＜b)，证明：存在ξ∈(a，b)，使得
正确答案：设f’＋(a)＞0，f’－(b)＞0，由f’＋(a)>0，存在x1∈(a，b)，使得f(x1)＞f(a)＝0；由f’－(b)＞0，存在x2∈(a，b)，使得f(x2)＜f(b)＝0，因为f(x1)f(x2)＜0，所以由零点定理，存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0．令h(x)＝，显然h(x)在[a，b]上连续，由h(a)＝h(c)＝h(b)＝0，存在ξ1∈(a，c)，ξ2∈(c，b)，使得h’(ξ1)＝h’(ξ2)＝0，而h’(x)＝，所以，令φ(x)＝f’(x)g(x)－f(x)g’(x)，φ(ξ1)＝φ(ξ2)＝0，由罗尔定理，存在ξ∈(ξ1，ξ2)(a，b)，使得φ’(ξ)＝0，而φ’(x)＝f”(x)g(x)－f(x)g”(x)，所以． 涉及知识点：一元函数微分学
20． 设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内二阶可导，f(a)＝f(b)＝0，且f’＋(a)＞0．证明：存在ξ∈(a，b)，使得f”(ξ)<0．
正确答案：因为＝f’＋(a)＞0，所以存在δ＞0，当0＜x－a＜δ时，有＞0，从而f(x)＞f(a)，于是存在c∈(a，b)，使得f(c)＞f(a)＝0．由微分中值定理，存在ξ1∈(a，c)，ξ2∈(c，b)，使得f’(ξ1)＝＞0，f’(ξ2)＝＜0．再由微分中
考研数学复习教程答案详解高数部分
可编辑修改
精品文档 第一篇 高等数学
第一章 函数、极限与连续
强化训练（一）
一、 选择题
1.
2.提示：参照“例1.1.5”求解。
3.
4.解 因选项(D)中的不能保证任意小，故选(D)
5.
6.可编辑修改
精品文档 7. 8.
9.
10.
二、 填空题
11.提示：由2cos12sin2xx可得。
12.可编辑修改
精品文档
13.提示：由1未定式结果可得。
14.提示：分子有理化，再同除以n即可。
15.提示：分子、分母利用等价无穷小代换处理即可。
16.
17.提示：先指数对数化，再利用洛必达法则。
18.
19.解 因可编辑修改
精品文档 200000122(1cos)22cos2limlimlimlimlim1xxxxxxxxxfxxxxx
00limlimxxxfxaea，
而0fa，故由fx在 0x处连续可知，1a。
20.提示：先求极限（1型）得到fx的表达式，再求函数的连续区间。
三、 解答题
21.(1)
(2)提示：利用皮亚诺型余项泰勒公式处理12sin,sinxx。
(3)
(4)
(5)提示：先指数对数化，再用洛必达法则。
(6)提示：请参照“例1.2.14（3）”求解。
22.可编辑修改
精品文档
23.解 由题设极限等式条件得
21()ln(cos)2001()lim,limln(cos)1fxxxxxxfxeexxx，
即 22001()1()limln(cos)limln(1cos1)1xxfxfxxxxxxx，
利用等价无穷小代换，得
201()lim(cos1)1xfxxxx，即230cos1()lim()1xxfxxx，
故 30()3lim2xfxx。
24.提示：先指数对数化，再由导数定义可得。
考研数学三(填空题)高频考点模拟试卷25(题后含答案及解析)
考研数学三（填空题）高频考点模拟试卷25 (题后含答案及解析)
题型有：1.
1． 设f(x)=在x=0连续，则常数a与b满足的关系是_________．
正确答案：a=b
解析：对任何常数a和b，f(x)分别在(一∞，0]，(0，+∞)连续，且f(0)=a，f+(0)=b．故f(x)在x=0连续 → f(0)=f+(0) → a=b． 知识模块：微积分
2． 设函数=______．
正确答案：
解析：由得 知识模块：一元函数微分学
3． =__________.
正确答案： 涉及知识点：函数 极限 连续
4．
正确答案：
解析： 知识模块：函数、极限、连续
5． 设z＝z(χ，y)是由方程z＝mz＝φ(y－nz)所确定，(其中m、n为常数，φ为可微函数)，则＝_______．
正确答案：1 涉及知识点：微积分
6． 设有界函数f（x）在（c，+∞）内可导，且f’（x）=b，则b=________。
正确答案：0
解析：因f（x）在（c，+∞）可导，则f（x）在（c，+∞）内有界，故又因所以b=0。 知识模块：微积分
7． 若x→0时，(1－ax2)1/4－1与xsinx的等价无穷小，则a＝________．
正确答案：-4 涉及知识点：一元函数积分学
8．
正确答案：
解析： 知识模块：微积分
9． 设函数y=y(x)由方程ln(x2+y)=x3y+sinx确定，则=_________.
正确答案：1 涉及知识点：一元函数微分学
10． 设f(x，y)在区域D：x2+y2≤t2上连续且f(0，0)=4，则=________．
正确答案：8π
解析： 知识模块：微积分
11． 设随机变量X服从参数为λ的指数分布，且E[(X一1)(X+2)]=8，则λ=________．
正确答案：
解析：由随机变量X服从参数为λ的指数分布，得E(X)=于是E(X2)=D(X)+[E(X)]2=而E[(X一1)(X+2)]=E(X2)+E(X)一2=一2=8，解得λ=． 知识模块：概率统计
考研数学一-一元函数积分学(三)_真题无答案
考研数学一-一元函数积分学(三)
(总分42.5, 做题时间90分钟)
一、解答题
求下列不定积分：
SSS_TEXT_QUSTI
1.
SSS_TEXT_QUSTI
2.
SSS_TEXT_QUSTI
3.
SSS_TEXT_QUSTI
4.
SSS_TEXT_QUSTI
5.
SSS_TEXT_QUSTI
6.
SSS_TEXT_QUSTI
7.
SSS_TEXT_QUSTI
8.
SSS_TEXT_QUSTI
9.
10.
SSS_TEXT_QUSTI
求下列不定积分：
SSS_TEXT_QUSTI
11.
SSS_TEXT_QUSTI
12.
SSS_TEXT_QUSTI
13.
SSS_TEXT_QUSTI
14.
SSS_TEXT_QUSTI
15.
求下列不定积分：
SSS_TEXT_QUSTI
16.
∫x2e2xdx；
SSS_TEXT_QUSTI
17.
∫(2x2+x+1)cos2xdx；
SSS_TEXT_QUSTI
18.
∫xarcsinxdx；
SSS_TEXT_QUSTI
19.
∫xlnxdx；
SSS_TEXT_QUSTI
20.
∫e2xcos(x+1)dx；
SSS_TEXT_QUSTI
21.
22.
设f(x)连续，且关于x=Ｔ对称，a
SSS_TEXT_QUSTI
23.
设函数f(x)满足方程
SSS_TEXT_QUSTI
24.
有一长方体的容器内盛满等体积不同成分混合的两种液体，其中一种液体的密度是另一种液体密度的a(a＞1)倍，设该容器一壁的矩形宽为2b，深为2h．试求该矩形壁所受的压力．
SSS_TEXT_QUSTI
25.
设f(x)，g(x)在[a，b]上连续，证明：存在一点ξ，使
SSS_TEXT_QUSTI
26.
设f(x)，g(x)在[a，b]上连续，且满足
其中x∈[a，b]．试证明：
考研数学三(填空题)专项练习试卷10(题后含答案及解析)
考研数学三（填空题）专项练习试卷10 (题后含答案及解析)
题型有：1.
1． =__________
正确答案：
解析： 知识模块：微积分
2． 设A=，则(A+3E)一1(A2一9E)=________．
正确答案：
解析：(A+3E)一1(A2一9E)=(A+3E)一1(A+3E)(A一3E)=A一3E= 知识模块：线性代数
3． 交换积分次序：=________.
正确答案： 涉及知识点：多元函数微积分学
4． 设=_____________________。
正确答案：
解析：对已知函数进行恒等变形，即则有所以 知识模块：一元函数微分学
5． 二次型f(x1，x2，x3)=(x1+ax2-2x3)2+(2x2+3x3)2+(x1+3x2+ax3)2正定的充分必要条件为________．
正确答案：a≠1 涉及知识点：微积分
6． 曲线y=(x2+x)/(x2-1)渐近线的条数为________.
正确答案：2 涉及知识点：一元函数微分学
7． =__________。
正确答案：+C
解析：令x=tant，则dx=Sec2tdt，故 知识模块：一元函数积分学
8． 设随机变量X的概率密度为f(x)=(一∞＜x＜+∞)，则随机变量X的二阶原点矩为________．
正确答案：
解析：根据题意，即求E(X2)．首先对所给概率密度作变换：对于x(一∞＜x＜+∞)，有 知识模块：概率论与数理统计
9．
正确答案：(x2一1)+C，其中C为任意常数
解析： 知识模块：微积分
10． 抛物线y2=ax(a＞0)与x=1所围图形面积为则a=______．
正确答案：1
解析：y2=ax与x=1所围图形面积 知识模块：微积分
11． 曲线直线x=2及x轴所围的平面图形绕x轴旋转所成的旋转体的体积为______．
正确答案：
解析： 知识模块：一元函数积分学
考研数学一(填空题)模拟试卷45(题后含答案及解析)
考研数学一（填空题）模拟试卷45 (题后含答案及解析)
题型有：1.
1． 设随机变量X服从均值为10，均方差为0．02的正态分布，已知，Φ(2．5)=0．9938，则X落在区间(9．95，10．05)内的概率为_______．
正确答案：0．9876
解析：由题意，X～N(10，0．022)，∴P{9．95＜X＜10．05)==Φ(2．5)-Φ(-2．5)=2Φ(2．5)-1=2×0．9938-1=0．9876 知识模块：概率论与数理统计
2． 设则d2y／dx2=_______．
正确答案：
解析： 知识模块：高等数学
3． 函数f(x)=｜4x3—18x2+27｜在区间[0，2]上的最小值为______，最大值为______。
正确答案：0；27
解析：令φ(x)=4x3—18x2+27，则所以φ(x)在[0，2]上单调递减，φ(0)=27，φ(2)= —13，由介值定理知，存在唯一x0∈(0，2)，使φ(x0)=0。且f(0)=27，f(x0)=0，f(2)=13，因此，f(x)在[0，2]上的最小值为0，最大值为27。 知识模块：一元函数微分学
4． 设∫xf(x)dx=arcsinx+C，则=___________。
正确答案：
解析： 知识模块：高等数学
5． 已知随机变量X与Y独立同分布，且X的分布函数为F(x)，记Z=max(X，Y)，则(X，Z)的联合分布函数F(x，z)=________．
正确答案：
解析：已知X与Y独立且有相同分布F(x)，所以(X，Z)的联合分布函数F(x，z)=P{X≤x，max(X，Y)≤z}=P{X≤x，X≤z，Y≤z} 知识模块：概率与数理统计
6．
正确答案：1
解析： 知识模块：一元函数积分学
7． D是圆周x2+y2=Rx所围成的闭区域，则=________。
正确答案：
解析：圆周x2+y2=Rx所围成的闭区域可用极坐标表示为 知识模块：高等数学
考研数学三(填空题)高频考点模拟试卷84(题后含答案及解析)
考研数学三（填空题）高频考点模拟试卷84 (题后含答案及解析)
题型有：1.
1． 设a＞0，且则a=____________，b=_____________．
正确答案：由得b=1，则故a=4． 涉及知识点：函数、极限、连续
2． 设三阶矩阵A，B满足关系A一1BA一6A+BA，且A=，则B=________．
正确答案：
解析：由A一1BA=6A+BA，得A一1B=6E+B，于是(A一1一E)B=6E，B=6(A一1一E)一1= 知识模块：线性代数
3． 设总体X～N(μ，σ2)，从X中抽得容量为16的简单样本，S2为样本方差，则D(S2)＝_______．
正确答案：σ4 涉及知识点：概率论与数理统计
4． 求极限＝_______．
正确答案： 涉及知识点：微积分
5． 设y=arctanx．则y(4)(0)=___________．
正确答案：0
解析：因y=arctanx是奇函数，且y具有任何阶连续导数，从而y’，y”‘是偶函数，y”，y(4)是奇函数，故y(4)(0)=0． 知识模块：微积分
6． f(x)=的极大值点是x=___________，极小值点是x=___________．
正确答案：x=0，x=
解析：由f(x)的定义可知，当x≠0时f’(x)=2xln｜x｜+x2．=x(2ln｜x｜+1)，又f’-(0)=xlnx｜x｜=0，即f’(0)=0．从而这表明f(x)有三个驻点x1=一．列表讨论f(x)的单调性如下：即x=0是f(x)的极大值点，z=±是f(x)的极小值点． 知识模块：微积分
7． 设z＝z(x，y)由z＋ez＝xy2确定，则dz＝______．
正确答案：
解析：z＋ez＝xy2两边求微分得d(z＋ez)＝d(xy2)，即dz＋ezdz＝y2dx＋2xydy，解得dz＝． 知识模块：微积分
8． 设随机变量X服从(0，2)上的均匀分布，则随机变量Y=X2在(0，4)内的概率密度fY(Y)=________。
考研数学一(一元函数微分学)模拟试卷11(题后含答案及解析)
考研数学一（一元函数微分学）模拟试卷11 (题后含答案及解析)
题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1． 设f(x)在[0，1]连续，在(0，1)可导且f’(x)＜0(x∈(0，1))，则( )
A．当0＜x＜1时∫0xf(t)dt＞∫0xxf(t)dt
B．当0＜x＜时∫0xf(t)dt=∫0xxf(t)dt
C．当0＜x＜1时∫0xf(t)dt＜∫0xxf(t)dt．
D．以上结论均不正确．
正确答案：A
解析：记F(x)=∫0xf(t)dt一∫01xf(t)dt，F(x)在[0，1]连续，则F’(x)=f(x)一∫01f( )dt，且F”(x)=f’(x)＜0(x∈(0，1))，因此F’(x)在[0，1]上单调下降． 又F(0)=F(1)=0，由罗尔定理，则存在ξ∈(0，1)，故 F(x)＞0(x∈(0，1))，故选A． 知识模块：一元函数微分学
2． 设y=f(x)在(a，b)可微，则下列结论中正确的个数是( )①x0∈(a，b)，若f’(x0)≠0，则△x→0时，与△x是同阶无穷小．②df(x)只与x∈(a，b)有关．③△y=f(x+△x)一f(x)，则dy≠△y．④△x→0时，dy一△y是△x的高阶无穷小．
A．1．
B．2．
C．3．
D．4．
正确答案：B
解析：逐一分析． ①正确．因为 所以△x→0时，与△x是同阶无穷小． ②错误．df(x)=f’(x)△x，df(x)与x∈(a，b)及△x有关． ③错误．当y=f(x)为一次函数：f(x)=ax+b，则dy=a△x=△y． ④正确．由可微概念，f(x+△x)一f(x)=f’(x)△x+o(△x)，(△x—0)，即△y—dy=o(△x)，(△x→0)． 故选
B． 知识模块：一元函数微分学
3． 设f(x)为可导函数，且满足条件=一1，则曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为( )
考研数学二(一元函数微分学)模拟试卷50(题后含答案及解析)
考研数学二（一元函数微分学）模拟试卷50 (题后含答案及解析)
题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1． 设f(χ)可导，则当△χ→0时，△y－dy是△χ的( )．
A．高阶无穷小
B．等价无穷小
C．同阶无穷小
D．低阶无穷小
正确答案：A
解析：因为f(χ)可导，所以f(χ)可微分，即△y＝dy＋o(△χ)，所以△y－dy是△χ的高阶无穷小，选A． 知识模块：一元函数微分学
2． 设函数f(χ)＝则在点χ＝0处f(χ)( )．
A．不连续
B．连续但不可导
C．可导但导数不连续
D．导数连续
正确答案：D
解析：因为f(χ)＝0，f(χ)＝f(0)＝0，所以f(χ)在χ＝0处连续； 由 得f(χ)在χ＝0处可导，且f′(0)＝0； 当χ＞0时，f′(χ)＝3χ2sin－χcos；当χ＜0时，f′(χ)＝2χ， 因为＝f′(0)，所以f(χ)在χ＝0处导数连续，选
D． 知识模块：一元函数微分学
3． 设f(χ)＝则在χ＝1处f(χ)( )．
A．不连续
B．连续但不可导
C．可导但不是连续可导
D．连续可导
正确答案：D
解析：因为(χ2＋χ＋1)＝3＝f(1)，所以f(χ)在χ＝1处连续． 因为＝3，所以f(χ)在χ＝1处可导． 当χ≠1时，f′(χ)＝2χ＋1，因为f′(χ)＝3＝f′(1)，所以f(χ)在χ＝1处连续可导，选
D． 知识模块：一元函数微分学
4． 若f(－χ)＝－f(χ)，且在(0，＋∞)内f′(χ)＞0，f〞(χ)＞0，则在(－∞，0)内( )．
A．f′(χ)＜0，f〞(χ)＜0
B．f′(χ)＜0，f〞(χ)＞0
C．f′(χ)＞0，f〞(χ)＜0
D．f′(χ)＞0，f〞(χ)＞0
正确答案：C
解析：因为f(χ)为奇函数，所以f′(χ)为偶函数，故在(－∞，0)内有f′(χ)＞0．因为f〞(χ)为奇函数，所以在(－∞，0)内f〞(χ)＜0，选
考研数学二(一元函数积分学)模拟试卷61(题后含答案及解析)
考研数学二（一元函数积分学）模拟试卷61 (题后含答案及解析)
题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1． 设，则( )
A．I1＞I1＞。
B．I1＞＞I2。
C．I2＞I1＞。
D．I2＞＞I1。
正确答案：B
解析：因为当x＞0时，有tanx＞x，于是有，从而可见有I1＞I2，又由，I2＜知，故选B。 知识模块：一元函数积分学
2． 设f(x)=∫0π(ecost—e—cost)dt，则( )
A．f(x)=f(x+2π)。
B．f(x)＞f(x+2π)。
C．f(x)＜f(x+2π)。
D．当x＞0时，f(x)＞f(x+2π)；当x＜0时，f(x)＜f(x+2π)。
正确答案：A
解析：由题意f(x+2π)一f(x)=∫xx+2π(ecost一e—cost)dt，被积函数以2π为周期且为偶函数，由周期函数的积分性质得f(x+2π)一f(x)=∫—ππ(ecost—e—cost)dt=2∫0π(ecost—e—cost)dt 2∫0π(ecosu+e—cosu)du，因此f(x+2π)—f(x)=0。故选A。 知识模块：一元函数积分学
3． 设函数f(x)连续，则在下列变上限积分定义的函数中，必为偶函数的是( )
A．∫0xtf(t)一f(一t)dt
B．∫0xtf(t)+f(一t)dt。
C．∫0xf(t2)dt。
D．∫0x[f(t)]2dt。
正确答案：B
解析：取f(x)=x，则相应的∫0xt[f(t)—f(—t)]dt=∫0x2t2dt=x3，∫0xf(t2)dt=∫0xt2dt=x3，∫0x[f(t)]2dt=∫0xt2dt=x3，均为奇函数，故选B。 知识模块：一元函数积分学
4． 曲线y=e—xsinx(0≤x≤3π)与x轴所围成图形的面积可表示为( )
考研数学三(填空题)高频考点模拟试卷55(题后含答案及解析)
考研数学三（填空题）高频考点模拟试卷55 (题后含答案及解析)
题型有：1.
1．
正确答案：
解析：应用等价无穷小因子代换。因为 知识模块：微积分
2． 在一长为l的线段上的随机掷两点，使这个线段分成三段，则这三段能构成三角形的概率为_______．
正确答案：
解析：如图1建立坐标系，题目中的线段即线段Ol(图中)，随机掷的两点坐标分别为X和Y，由题意知X与Y独立同分布，均服从区间(0，1)上的均匀分布，(X，Y)的概率密度为 所得到的3段线段长分别为min(X，Y)，｜X—Y｜，l－max(X，Y)，而(这3段能构成三角形}{这3段中任2段长度之和＞}{这3段中任一段长度都＜} 故P{这3段能构成三角形} ＝P{min(X，Y)＜，｜X－Y｜＜，l－max(X，Y)＜} ＝P{min(X，Y)＜，｜X－Y｜＜，l－max(X，Y)＜，X≥Y}＋P{min(X，Y)＜，｜X－Y｜＜，l－max(X，Y)＜，X＜Y} 其中G1与G2见图2中阴影部分． 知识模块：概率论与数理统计
3． 设f(x，y)满足＝2，f(x，0)＝1，f’y(x，0)＝x，则f(x，y)＝______．
正确答案：y2＋xy＋1
解析：由＝2y＋φ1(x)，因为f’y(x，0)＝x，所以φ1(x)＝x，即＝2y＋x， 再由＝2y＋x得f(x，y)＝y2＋xy＋φ2(x)，因为f(x，0)＝1，所以φ2(x)＝1，故f(x，y)＝y2＋xy＋1． 知识模块：微积分
4． 设z＝f(x，y)是由e2yz＋x＋y2＋z＝确定的函数，则＝______．
正确答案：
解析：将代入e2yz＋x＋y2＋z＝中得x＝0，e2yz＋x＋y2＋z＝两边求微分得2e2yz(zdy＋ydz)＋dx＋2ydy＋dz＝0，将x＝，y＝，z＝0代入得 知识模块：微积分
5． 已知X的概率密度f(x)=，aX+b～N(0，1)(a＞0)，则常数A=________，a=________，b=________。