人教版九年级数学上册 《二次函数》培优检测试题(含答案)

《二次函数》单元检测
一．选择题
1．二次函数y＝x2﹣6x+5配成顶点式正确的是（），顶点坐标为（）A．y＝（x﹣3）2﹣4；（3，﹣4）B．y＝（x+3）2﹣4；（﹣3，﹣4）C．y＝（x+3）2+5；（﹣3，5）D．y＝（x﹣3）2+14；（3，14）
2．设A（﹣2，y
1），B（1，y
2
），C（2，y
3
）是抛物线y＝﹣（x+1）2上的三点，y
1
，y
2
，y
3
的大小关系为（）
A．y
1＞y
2
＞y
3
B．y
1
＞y
3
＞y
2
C．y
3
＞y
2
＞y
1
D．y
3
＞y
1
＞y
2
3．下列关于抛物线y＝3（x﹣1）2+1的说法，正确的是（）
A．开口向下B．对称轴是x＝﹣1
C．顶点坐标是（﹣1，1）D．有最小值y＝1
4．若二次函数y＝（a﹣4）x2﹣2ax+a+8的图象与x轴有交点，且关于x的分式方程3﹣
＝有整数解，则符合条件的整数a的和为（）
A．12 B．10 C．14 D．9
5．设二次函数f（x）＝ax2+ax+1的图象开口向下，且满足f（f（1））＝f（3）．则2a的值为（）
A．﹣3 B．﹣5 C．﹣7 D．﹣9
6．二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数且a≠0）的x与y部分对应值如下表：
给出了结论：（1）二次函数y＝ax2+bx+c有最小值，最小值为﹣3；
（2）当﹣＜x＜2时，y＜0；（3）c﹣a＜0；
（4）二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴有两个交点，且它们分别在y轴两侧
则其中正确结论的个数是（）
A．4 B．2 C．3 D．1
7．若直线y＝mx+n经过第一、二、四象限，则抛物线y＝（x﹣m）2+n的顶点必在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
8．已知抛物线y ＝﹣x 2+（k ﹣1）x +3，当x ＞2时，y 随x 的增大而减小，并且关于x 的分
式方程的解为正数．则符合条件的所有正整数k 的和为（ ） A ．8
B ．10
C ．13
D ．15
9．如图，二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象与x 轴正半轴相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C ，对称轴为直线x ＝2，且OA ＝OC ，则下列结论：①abc ＞0；②9a +3b +c ＜0；③c ＞﹣1；④关于x 的方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）有一个根为4+c ，其中正确的结论个数有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
10．已知抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的对称轴为x ＝﹣1，与x 轴的一个交点在（﹣3，0）
和（﹣2，0）之间，其部分图象如图所示，则下列结论：①点（﹣，y 1），（﹣，y 2），
（，y 3）是抛物线上的点，则y 1＜y 2＜y 3；②3b +2c ＜0；③t （at +b ）≤a ﹣b （t 为任意实数），其中正确结论的个数是（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
二．填空题
11．已知二次函数y ＝x 2+2x +a 图象的顶点在x 轴上方，则实数a 的取值范围是 ． 12．点P 1（﹣1，y 1），P 2（3，y 2），P 3（5，y 3）均在二次函数y ＝ax 2﹣2ax +c （a ＜0）的图象上，则y 1，y 2，y 3的大小关系是 ．
13．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A、B两点，（图象开口向下）点Q（n，2）在抛物线上，若∠AQB＝90°，则a的值为．
14．关于x的方程x2+2（a+1）x+2a+1＝0有一个大于0而小于1的根，则a的取值范围是
15．抛物线y＝（x+3）2+4的对称轴是．
16．若函数y＝x2﹣2x+b的图象与坐标轴有三个交点，则b的取值范围是．
17．如图，抛物线y＝（x﹣1）2﹣1与直线y＝x交于点O与点A，点B为线段OA上的动点，过点B作BC平行于y轴，交抛物线于点C，则线段BC长的最大值为．
三．解答题
18．已知抛物线图象过（﹣1，0）、（1，﹣4）、（3，0）三点，求抛物线的解析式．
19．如图，已知抛物线的顶点为A（1，4），抛物线与y轴交于点B（0，3），与x轴交于C，D两点．点P是x轴上的一个动点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）当PA+PB的值最小时，求点P的坐标；
（3）抛物线上是否存在一点Q（Q与B不重合），使△CDQ的面积等于△BCD的面积？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
20．如图，是一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞的上沿是抛物线形状，当水面的宽度为10m 时，桥洞与水面
的最大距离是5m．
（1）经过讨论，同学们得出三种建立平面直角坐标系的方案（如图），你选择的方案是（填方案一，方案二，或方案三），则B点坐标是，求出你所选方案中的抛物线的表达式；
（2）因为上游水库泄洪，水面宽度变为6m，求水面上涨的高度．
21．如图，直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于B、C两点，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点B、C，与x轴另一交点为A，顶点为D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在x轴上找一点E，使EC+ED的值最小，求EC+ED的最小值；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得∠APB＝∠OCB？若存在，求出P点坐标；
若不存在，请说明理由．
22．已知抛物线y ＝﹣ax 2+4x +c 与x 轴交于点A 和点B （1，0），与y 轴交于点C （0，﹣5）． （1）求抛物线的解析式；
（2）点D 为抛物线的顶点，点E 为y 轴上一点，若DE ＝AE ，求点E 的坐标．
23．如图1，抛物线y ＝ax 2+（a +2）x +2（a ≠0）与x 轴交于点A （4，0），与y 轴交于点B ，在x 轴上有一动点P （m ，0）（0＜m ＜4），过点P 作x 轴的垂线交直线AB 于点N ，交抛物线于点M ．
（1）求a 的值；
（2）若PN ：MN ＝1：3，求m 的值；
（3）如图2，在（2）的条件下，设动点P 对应的位置是P 1，将线段OP 1绕点O 逆时针旋
转得到OP 2，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接AP 2、BP 2，求AP 2+BP 2的最小值．
参考答案
一．选择题
1．解：∵二次函数y ＝x 2﹣6x +5＝（x ﹣3）2﹣4， 所以该函数的顶点坐标是（3，﹣4）， 故选：A ．
2．解：∵A （﹣2，y 1），B （1，y 2），C （2，y 3）是抛物线y ＝﹣（x +1）2上的三点， ∴y 1＝﹣（﹣2+1）2＝﹣1，y 2＝﹣（1+1）2＝﹣4，y 3＝﹣（2+1）2＝﹣9， ∵﹣1＞﹣4＞﹣9， ∴y 1＞y 2＞y 3， 故选：A ．
3．解：抛物线y ＝3（x ﹣1）2+1中a ＝3＞0，开口向上；对称轴为直线x ＝1；顶点坐标为（1，1）；当x ＝1时取得最小值y ＝1； 故选：D ．
4．解：根据题意，得（a ﹣4）x 2﹣2ax +a +8＝0有实数根， ∴△＝b 2﹣4ac ＝（﹣2a ）2﹣4（a ﹣4）（a +8）≥0， 解得：a ≤8，且a ≠4．
解分式方程，
得：x ＝
，
根据x ≠2的整数，
∴a ＝﹣5，11，7，1，5，2．
根据a ≤8且a ≠4，可得：a ═﹣5，7，1，5，2， 整数a 的和为：﹣5+7+1+5+2＝10， 故选：B ．
5．解：f （1）＝a +a +1＝2a +1，
f （3）＝9a +3a +1＝12a +1，
f （2a +1）＝a （2a +1）2+a （2a +1）+1，
∵f （f （1））＝f （3），
∴a （2a +1）2+a （2a +1）+1＝12a +1， 整理得2a 2+3a ﹣5＝0，
（2a +5）（a ﹣1）＝0，解得a 1＝﹣，a 2＝1， ∵二次函数f （x ）＝ax 2+ax +1的图象开口向下， ∴a ＜0，
∴a ＝﹣， ∴2a ＝﹣5． 故选：B ．
6．解：（1）由表可知，x ＝1时，二次函数y ＝ax 2+bx +c 有最小值，最小值为﹣4，故本小题错误；
（2）若y ＜0，则x 的取值范围为﹣1＜x ＜3，则当﹣＜x ＜2时，y ＜0，故本小题正确； （3）由表可知抛物线的顶点为（1，﹣4），与y 轴的交点为（0，﹣3），所以a ＞0，c ＜0，则c ﹣a ＜0，故本小题正确；
（4）二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象与x 轴有两个交点，分别为（﹣1，0），（3，0），它们分别在y 轴两侧，故本小题正确； 综上所述，正确结论的个数是3． 故选：C ．
7．解：∵直线y ＝mx +n 经过第一，二，四象限， ∴m ＜0，n ＞0，
∴抛物线y ＝（x ﹣m ）2+n 的顶点（m ，n ）必在第二象限． 故选：B ． 8．解：
∵y ＝﹣x 2+（k ﹣1）x +3，
∴抛物线对称轴为x ＝
，开口向下，
∵当x ＞2时y 随着x 的增大而减小，
∴
≤2，解得k ≤5，
解关于x 的分式方程可得x ＝
，且x ≠2，则k ≠2，
∵分式方程的解是正数，
∴符合条件的正整数k 为：1，3，4，5， ∴符合条件的整数k 的和为：1+3+4+5＝13， 故选：C ．
9．解：由抛物线的开口可知：a ＜0， 由抛物线与y 轴的交点可知：c ＜0，
由抛物线的对称轴可知：﹣＞0，
∴b ＞0，
∴abc ＞0，故①正确； 令x ＝3，y ＞0，
∴9a +3b +c ＞0，故②错误； ∵OA ＝OC ＜1， ∴c ＞﹣1，故③正确；
观察图象可知关于x 的方程ax 2+bx +c （a ≠0）＝0的两根：一个根在0与1之间，一个根在3与4之间，由OC ＝OA ，则OB ＝4+c ，即关于x 的方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）有一个根为4+c ，故④正确； 故选：C ．
10．解：①∵抛物线的对称轴为x ＝﹣1，点（，y 3）在抛物线上，
∴点（﹣，y 3）与点（，y 3）关于直线x ＝﹣1对称．
∵﹣＜﹣
＜﹣，且抛物线对称轴左边图象y 值随x 的增大而增大，
∴y 1＜y 3＜y 2． 故①错误；
②∵当x ＝﹣3时，y ＝9a ﹣3b +c ＜0，且b ＝2a ， ∴9a ﹣3×2a +c ＝3a +c ＜0， ∴6a +2c ＝3b +2c ＜0， 故②正确；
③∵b ＝2a ，
∴方程at 2+bt +a ＝0中△＝b 2﹣4a •a ＝0， ∴抛物线y ＝at 2+bt +a 与x 轴只有一个交点， ∵图中抛物线开口向下， ∴a ＜0，
∴y ＝at 2+bt +a ≤0， 即at 2+bt ≤﹣a ＝a ﹣b ． 故③正确．
综上所述，正确的结论有2个． 故选：C ．
二．填空题（共7小题）
11．解：抛物线的对称轴为x ＝﹣＝﹣
＝﹣1，
将x ＝﹣1代入y ＝x 2+2x +a ， ∴y ＝1﹣2+a ＝a ﹣1，
所以抛物线的顶点为（﹣1，a ﹣1）， ∴a ﹣1＞0， ∴a ＞1， 故答案为：a ＞1．
12．解：二次函数y ＝ax 2﹣2ax +c （a ＜0）的图象的对称轴为直线x ＝﹣
＝1，
而P 1（﹣1，y 1）和P 2（3，y 2）到直线x ＝1的距离都为2，P 3（5，y 3）到直线x ＝1的距离为4，
所以y 1＝y 2＞y 3． 故答案为y 1＝y 2＞y 3．
13．解：作QH ⊥AB 于H ，如图，设A （x 1，0），B （x 2，0） ∵x 1，x 2为方程ax 2+bx +c 的两根，
∴x 1+x 2＝﹣，x 1x 2＝，
∵∠AQB ＝90°，即∠AQH +∠BQH ＝90°，∠AQH +∠QAB ＝90°， ∴∠QAB ＝∠BQH ， ∴Rt △AQH ∽Rt △QBH ， ∴QH ：BH ＝AH ：QH ，
即QH2＝HA•HB，
∴（n﹣x
1）（x
2
﹣n）＝22，
即x
1x
2
﹣n（x
1
+x
2
）+n2＝﹣4，
+n+n2＝﹣4，
∴an2+bn+c＝﹣4a，
把Q（n，2）代入y＝ax2+bx+c得an2+bn+c＝2，∴﹣4a＝2，
∴a＝﹣．
故答案为﹣．
14．解：解方程x2+2（a+1）x+2a+1＝0得x
1＝﹣1，x
2
＝﹣2a﹣1，
∵方程x2+2（a+1）x+2a+1＝0有一个大于0而小于1的根，
∴0＜﹣2a﹣1＜1
解得﹣1＜a＜﹣．
∴a的取值范围是﹣1＜a＜﹣．
故答案为﹣1＜a＜﹣．
15．解：∵y＝2（x+3）2﹣4为抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点可知，抛物线的对称轴为直线x＝﹣3
故答案为：直线x＝﹣3．
16．解：∵函数y＝x2﹣2x+b的图象与坐标轴有三个交点，
∴，
解得b＜1且b≠0．
故答案为b＜1且b≠0．
17．解：设BC的长为L，点B的横坐标为x，则点B的纵坐标为y＝x，点C的纵坐标为y ═（x﹣1）2﹣1，
L＝x﹣[（x﹣1）2﹣1]＝﹣x2+3x，
∵a＝﹣1＜0，
∴L有最大值，
＝﹣（）2+3×＝；
当x＝﹣＝时，L
最大
故答案为：．
三．解答题（共6小题）
18．解：∵抛物线图象过点（﹣1，0）、（3，0），
设抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），
把（1，﹣4）代入得，﹣4＝a•2•（﹣2），解得a＝1，
∴抛物线解析式为y＝（x+1）（x﹣3）＝x2﹣2x﹣3．
19．解：（1）∵抛物线的顶点为A（1，4），
∴设抛物线的解析式y＝a（x﹣1）2+4，
把点B（0，3）代入得，a+4＝3，
解得a＝﹣1，
∴抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣1）2+4；
（2）点B关于x轴的对称点B′的坐标为（0，﹣3），
由轴对称确定最短路线问题，连接AB′与x轴的交点即为点P，
设直线AB′的解析式为y＝kx+b（k≠0），
则，
解得，
∴直线AB′的解析式为y＝7x﹣3，
令y＝0，则7x﹣3＝0，
解得x＝，
所以，当PA+PB的值最小时的点P的坐标为（，0）．
（3）∵S
△CDQ ＝S
△BCD
，且CD是两三角形的公共底边，
∴|y Q|＝y B＝3，
则y Q＝3或y Q＝﹣3，
当y Q＝3时，﹣（x﹣1）2+4＝3，
解得：x＝0或x＝2，
则点Q（2，3）；
当y Q＝﹣3时，﹣（x﹣1）2+4＝﹣3，
解得：x＝1﹣或x＝1+，
则点Q坐标为（1﹣，﹣3）或（1+，﹣3）；
综上，点Q的坐标为（2，3）或（1﹣，﹣3）或（1+，﹣3）．20．解：（1）选择方案二，根据题意知点B的坐标为（10，0），由题意知，抛物线的顶点坐标为（5，5），且经过点O（0，0），B（10，0），设抛物线解析式为y＝a（x﹣5）2+5，
把点（0，0）代入得：
0＝a（0﹣5）2+5，即a＝﹣，
∴抛物线解析式为y＝﹣（x﹣5）2+5，
故答案为：方案二，（10，0）；
（2）由题意知，当x＝5﹣3＝2时，﹣（x﹣5）2+5＝，
所以水面上涨的高度为米．
21．解：（1）直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于B、C两点，则点B、C的坐标分别为（3，0）、（0，3），
将点B、C的坐标代入二次函数表达式得：，解得：，
故函数的表达式为：y＝﹣x2+2x+3，
令y＝0，则x＝﹣1或3，故点A（﹣1，0）；
（2）如图1，作点C关于x轴的对称点C′，连接CD′交x轴于点E，则此时EC+ED为最小，
函数顶点D坐标为（1，4），点C′（0，﹣3），
将CD的坐标代入一次函数表达式并解得：
直线CD的表达式为：y＝7x﹣3，
当y＝0时，x＝，
故点E（，0），
则EC+ED的最小值为DC′＝；
（3）①当点P在x轴上方时，如下图2，
∵OB＝OC＝3，则∠OCB＝45°＝∠APB，
过点B作BH⊥AP于点H，设PH＝BH＝m，
则PB＝PA＝m，
由勾股定理得：AB2＝AH2+BH2，
16＝m2+（m﹣m）2，解得：m2＝8+4，
则PB2＝2m2＝16+8
则y P＝＝2+2；
②当点P在x轴下方时，
则y P＝﹣（2）；
故点P的坐标为（1，2）或（1，﹣2﹣2）．22．解：（1）∵B（1，0），C（0，﹣5），
∴，解得，，
∴抛物线的解析式为：y＝x2+4x﹣5；
（2）∵y＝x2+4x﹣5＝（x+2）2﹣9，
∴D（﹣2，﹣9），
令y＝0，有x2+4x﹣5＝0，
解得，x
1＝﹣5，x
2
＝1，
∴A（﹣5，0），
设E点的坐标为（0，m），
∵DE＝AE，
∴DE2＝AE2，
∴4+（m+9）2＝25+m2，
∴m＝﹣，
∴E（0，）．
23．解：
（1）∵A（4，0）在抛物线上，
∴0＝16a+4（a+2）+2，解得a＝﹣；
（2）由（1）可知抛物线解析式为y＝﹣x2+x+2，令x＝0可得y＝2，∴OB＝2，
∵OP＝m，
∴AP＝4﹣m，
∵PM⊥x轴，
∴△OAB∽△PAN，
∴＝，即＝，
∴PN＝（4﹣m），
∵M在抛物线上，
∴PM＝﹣m2+m+2，
∵PN：MN＝1：3，
∴PN：PM＝1：4，
∴﹣m2+m+2＝4×（4﹣m），
解得m＝3或m＝4（舍去）；
（3）在y轴上取一点Q，使＝，如图，
由（2）可知P
1
（3，0），且OB＝2，
∴＝＝，且∠P
2
OB＝∠QOP
2
，
∴△P
2
OB∽△QOP
2
，
∴＝，
∴当Q（0，）时QP
2
＝BP
2
，
∴AP 2+BP 2＝AP 2+QP 2≥AQ ， ∴当A 、P 2、Q 三点在一条线上时，AP 2+QP 2有最小值，
∵A （4，0），Q （0，），
∴AQ ＝＝，即AP 2+BP 2的最小值为．。