第二章几个重要的不等式 (6)
高中数学第二章几何重要的不等式212一般形式的柯西不等式课件北师大版选修4
取到．
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题型三 柯西不等式的综合应用 例 4 (2015·福建)已知 a>0，b>0，c>0，函数 f(x)＝|x＋a|＋|x －b|＋c 的最小值为 4. (1)求 a＋b＋c 的值； (2)求14a2＋19b2＋c2 的最小值．
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【解析】 (1)因为 f(x)＝|x＋a|＋|x－b|＋c≥|(x＋a)－(x－b)| ＋c＝|a＋b|＋c，
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思考题 1 若 x，y，z∈R＋，且 x2＋y2＋z2＝1，求证：0<xy ＋yz＋zx≤1.
【证明】 (x2＋y2＋z2)(y2＋z2＋x2)≥(xy＋yz＋zx)2，即 1≥(xy ＋yz＋zx)2，又 x，y，z∈R＋，∴0<xy＋yz＋zx≤1.
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题型二 利用柯西不等式求最值 例 2 设 2x＋3y＋5z＝29，求函数 u＝ 2x＋1＋ 3y＋4＋ 5z＋6的最大值． 【思路】 由题目可获取以下主要信息：①已知变量 x，y，z 之间的关系符合特定条件；②所求式子中含有根式．解答本题的关 键是去掉根号，并且利用好特定条件．
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3．柯西不等式的两个变式 (1)当 ai∈R，bi>0(i＝1，2，…，n)，∑i＝n1 abi2i ≥（∑i∑i＝n＝n11abi）i 2，当且 仅当 bi＝λai 时等号成立． (2)设 ai，bi 同号且不为 0(i＝1，2，…，n)，则i∑＝n1 baii≥（∑i∑＝in＝n11aaibi）i 2， 当且仅当 bi＝λai 时，等号成立.
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≥(
a· b
b＋
b· c
c＋
c· a
a)2
＝(a＋b＋c)2，
即(ab2＋bc2＋ca2)(a＋b＋c)≥(a＋b＋c)2.
高中数学北师大版选修4-5第二章几个重要的不等式课件-(共5份打包)
1．柯西不等式中，当实数a，b，c，d满足什么条件时取 等号？
提示：当向量(a，b)与向量(c，d)共线，即ad－bc＝0，也 就是ad＝bc时取等号．
若实数 m，n，x，y 满足 m2＋n2＝a，x2＋y2＝b(a≠b)，则
mx＋ny 的最大值是( )
A．a＋2 b
B． ab
C．
a2＋b2 2
解：由柯西不等式，得 4a＋1＋ 4b＋1＝1· 4a＋1＋1· 4b＋1
≤ 12＋12[ 4a＋12＋ 4b＋12] ＝ 24a＋1＋4b＋1＝ 2×6＝2 3， 当且仅当 4a＋1＝ 4b＋1，即 a＝b＝12时等号成立． 故 4a＋1＋ 4b＋1的最大值为 2 3.
1．柯西不等式强调的是两个正项与另外两个正项之间的 关系，对不符合形式的式子要从整体上进行拆分，“拼” “合”“变式”，转化为某两项间的关系，进而利用不等式求 最值或取值范围．
利用柯西不等式求最值
若3x＋4y＝2，试求x2＋y2的最小值及取得最小值时 x，y的值．
解：由柯西不等式，得 (x2＋y2)(32＋42)≥(3x＋4y)2， 当且仅当3x＝4y时等号成立． 因为 3x＋4y＝2，所以 25(x2＋y2)≥4，
即 x2＋y2≥245. 由33x＝x＋4y4，y＝2，得xy＝ ＝228655.， 故当 x＝265，y＝285时，x2＋y2 取得最小值，最小值为245.
∴a－1 b＋b－1 c≥a－4 c.
b1－c2＝4.
【点评】 利用柯西不等式证明某些不等式比较方便，但 技巧性很强，关键是在结构上灵活凑出柯西不等式的形式．
1．已知a，b为非负数，a＋b＝1，x1，x2∈(0，＋∞)． 求证：(ax1＋bx2)(bx1＋ax2)≥x1x2.
高中数学第二章几个重要的不等式2.1.1简单形式的柯西不等式2.1.2一般形式的柯西不等式北师大版选
ab22.
利用柯西不等式时关键问题是找出相应的两组数，当这两
组数不太容易找时，需分析、增补(特别对数字 1 的增补：如 a
＝1·a)变形等．
[解题过程] (a1b1＋a2b2)ab11＋ab22
＝ a1b12＋ a2b22
ba112＋
a22 b2
≥ a1b1· ab11＋ a2b2· ab222＝(a1＋a2)2.
由条件可得，5－a2≥(3－a)2 解得 1≤a≤2， 当且仅当 2b ＝ 3c ＝ 6d 时等号成立，
1/2 1/3 1/6 代入 b＝12，c＝13，d＝16时，amax＝2， b＝1，c＝1.如右图，已知在正方形ABCD中，有四 个全等的直角三角形，设直角三角形的两条直 角边的长为a、b，则正方形ABCD的面积为S1 ＝__a_2＋__b_2__，4个直角三角形面积的和为
S2＝_2_a_b_，则S1_≥__S2(填“≥”“≤”或“＝”)．据此， 我们就可得到一个不等式__a_2＋__b_2_≥_2_a_b__ (用a、b的式子表示)， 并且当a_＝__b时，直角三角形变为_等__腰__直__角__三__角__形__时，S1＝S2.
当 向 量 (a1 ， a2 ， a3) 与 向 量 (b1 ， b2 ， b3) 共 线 时 “ ＝ ” 成 立．
1．二维形式的柯西不等式可用________表示( ) A．a2＋b2≥2ab(a，b∈R) B．(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ab＋cd)2(a，b，c，d∈R) C．(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2(a，b，c，d∈R) D．(a2＋b2)(c2＋d2)≤(ac＋bd)2(a，b，c，d∈R) 答案： C
1．已知a2＋b2＝1，x2＋y2＝1.求证：ax＋by≤1. [思路点拨] 构造柯西不等式的形式，证明不等式． 证明： ∵a2＋b2＝1，x2＋y2＝1. 又由柯西不等式知 ∴1＝(a2＋b2)(x2＋y2)≥(ax＋by)2 ∴1≥(ax＋by)2， ∴1≥|ax＋by|≥ax＋by， ∴所以不等式得证．
第二章 等式与不等式
章末整合知识结构·理脉络等式与不等式⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧等式⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧等式的性质与方程的解集一元二次方程：ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)⎩⎨⎧求根公式：x ＝－b ±b 2－4ac2a 根与系数的关系：x 1＋x 2＝－b a ，x 1x 2＝ca 方程组的解集⎩⎪⎨⎪⎧二元一次方程组三元一次方程组二元二次方程组等式与不等式⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧不等式⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧不等关系与不等式⎩⎪⎨⎪⎧不等式的概念实数(代数式)大小的比较⎩⎪⎨⎪⎧ 依据⎩⎪⎨⎪⎧a －b <0⇔a <b a －b ＝0⇔a ＝ba －b >0⇔a >b基本方法：作差法、作商法不等式的性质：对称性、传递性、可加性、可乘性等式与不等式⎩⎪⎨⎪⎧一元二次不等式及其解法⎩⎪⎨⎪⎧概念解法⎩⎪⎨⎪⎧ 因式分解法、配方法含参不等式的解法应用⎩⎪⎨⎪⎧ 解分式不等式——化归为整式不等式从实际问题中建立一元二次不等式模型等式与不等式⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧均值不等式⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧内容：a＋b2≥ab(a>0，b>0)，当且仅当a＝b时，等号成立证明⎩⎪⎨⎪⎧几何证明代数证明应用⎩⎪⎨⎪⎧比较大小证明不等式求最值⎩⎪⎨⎪⎧⎦⎥⎤积定和最小和定积最大具备条件一正、二定、三相等解决实际问题要点梳理·晰精华1．不等式基本性质中注意问题(1)不等式的基本性质中性质4、6要注意符号，另外还有一些常用的结论，同学们也要掌握．如：“a>b且ab>0，则1a<1b”，“a>b，c<d，则a－c>b－d”，“a>b>0，c>d>0，则ad>bc”．在使用这些性质时，要注意上述各不等式成立的条件．(2)不等式的基本性质中，对表达不等式性质的各不等式要注意“箭头”是单向的还是双向的，也就是说，每条性质是否具有可逆性．运用不等式的基本性质解答不等式问题时，要注意不等式成立的条件，否则将会出现一些错误．2．一元二次不等式的解法判别式Δ＝b2－4ac Δ>0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图像一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有两相异实数根x1＝－b－Δ2a，x2＝－b＋Δ2a(x1<x2)有两相等实数根x1＝x2＝－b2a没有实数根ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集{x|x<x1，或x>x2}{x|x∈R，x≠－b2a}Rax2＋bx＋c<0(a>0)的解集{x|x1<x<x2}∅∅3．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根为x1，x2，则x1＋x2＝－ba，x1＋x2＝ca，若bc ＝0时，关系式仍然成立．4．不等式组、简单分式不等式、绝对值不等式的解法(1)不等式组的解集等于组成该不等式组的每个不等式解集的交集． (2)解简单分式不等式应等价转化为整式不等式(整式不等式组)求解．(3)解绝对值不等式可根据绝对值的几何意义求解，也可按零点分段法逐段脱去绝对值号求解．5．均值不等式及有关结论(1)均值不等式：如果a >0，b >0，那么a ＋b2≥ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立，即正数a 与b 的算术平均数不小于它们的几何平均数．(2)几个常用的重要结论：①b a ＋ab≥2(a 与b 同号，当且仅当a ＝b 时取等号)． ②a ＋1a ≥2(a >0，当且仅当a ＝1时取等号)，a ＋1a ≤－2(a <0，当且仅当a ＝－1时取等号)．③ab ≤(a ＋b 2)2(a ，b ∈R ，当且仅当a ＝b 时取等号)．(3)利用均值不等式求最值 已知x >0，y >0，则①如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值2p (简记：积定和最小)． ②如果x ＋y 是定值s ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值s 24(简记：和定积最大)．素养突破·提技能类型 特殊不等式的解法 ┃┃典例剖析__■ 1．一元高次不等式的解法典例1 解不等式：(x ＋2)(x 2－x －12)>0.思路探究：可转化为不等式组或用数轴标根法两种方法求解．归纳提升：解简单的一元高次不等式，主要通过数轴标根法来求解，其步骤是(1)将f(x)最高次项系数化为正数．(2)将f(x)分解为若干个一次因式或二次不可分解的因式的积，然后求出f(x)＝0的解，并在数轴上标出．(3)自数轴正方向起，用曲线从右至左、自上而下依次从各解穿过数轴．(4)记数轴上方为正，下方为负，根据不等式写出解集．在用数轴标根法求解高次不等式的过程中要注意：①区间端点能否取到；②各因式中最高次项的系数要全为正数；③奇数个等根，穿过，偶数个等根，穿而不过．2．分式不等式的解法典例2解不等式：x2＋2x－3－x2＋x＋6<0.思路探究：一般地，解分式不等式的基本思想是化分式不等式为整式不等式或整式不等式组．归纳提升：分式不等式的求解在高考中比较常见，解分式不等式的过程就是转化的过程，通过不等式的性质和符号运算规律将其转化为整式不等式问题，注意不等式的等价变形．类型含参不等式恒成立问题的求解策略┃┃典例剖析__■不等式恒成立问题是高考中的热点内容，它以多种形式出现在高中数学的各个分支中，扮演着重要的角色．求解含参不等式的恒成立问题的关键是转化与化归思想．一般而言，针对不等式的表现形式，有如下两种策略．1．判别式法典例3对于x∈R，不等式x2－2x＋3－m≥0恒成立，求实数m的取值范围．思路探究：不等式x2－2x＋3－m≥0恒成立，可转化为函数y＝x2－2x＋3－m图像恒在x 轴及其上方，即Δ≤0.归纳提升：有关含有参数的一元二次不等式问题，若能把不等式转化为二次函数或一元二次方程，通过根的判别式或数形结合思想，可使问题得到顺利解决．2．分离变量法典例4 若关于x 的不等式ax 2－2x ＋2>0对于满足1<x <4的一切实数x 恒成立．求实数a 的取值范围．思路探究：可先将参数的a 分离出来即a >2x －2x 2，然后再求2x －2x 2的最值．归纳提升：如果能够将参数分离出来，建立明确的参数和变量x 的关系，那么可以利用函数的最值求解．a >y 恒成立⇔a >y max ，a <y 恒成立⇔a <y min .类型 均值不等式的变形技巧 ┃┃典例剖析__■ 1．技巧一：添项典例5 求函数y ＝3x 2＋162＋x 2的最小值．思路探究：当求和的最小值时，尽可能凑定积，本题需添6，减6.2．技巧二：放入根号内或两边平方典例6 求函数y ＝x 1－x 2(0<x <1)的最大值．思路探究：求积的最值(因式中含根号)，把变量都放在同一条件下的根号里或者将两边平方去根号，整合结构形式，凑成定和，是解决本题的关键所在．3．技巧三：分子常数化典例7设x∈(0，＋∞)，求函数y＝2xx2＋4的最大值．思路探究：当分子的变量因子次数比分母的小且变量因子不为零时，都可同时除以分子所含变量因子使分子变量常数化，以实现变量形式的统一，从而使问题得以解决．归纳提升：运用均值不等式求解函数最值的关键是在求解过程中充分重视运用“一正、二定、三相等”这三个条件的基础上，观察结果，合理变形．其中，成功实现变形是关键．。
高中数学第2章几个重要的不等式11.1简单形式的柯西不等式1.2一般形式的柯西不等式课件北师大版选修4_5
立．
2．推论 设 a1，a2，a3，b1，b2，b3 是两组实数，则有
[自主解答] (1)|ax＋by|＝ ax＋by2≤ a2＋b2x2＋y2＝1. (2)由柯西不等式得： a2＋b2· 12＋12≥a＋b， 即 2 a2＋b2≥a＋b. 同理： 2 b2＋c2≥b＋c， 2 a2＋c2≥a＋c. 将上面三个同向不等式相加得：
2( a2＋b2＋ a2＋c2＋ b2＋c2)≥2(a＋b＋c)， 所以 a2＋b2＋ a2＋c2＋ b2＋c2≥ 2(a＋b＋c)．
2．已知实数 a，b，c， d 满足 a＋b＋c＋d＝3，a2 ＋2b2＋3c2＋6d2＝5，试求 a 的取值范围．
[解] 由柯西不等式得， (2b2 ＋ 3c2 ＋ 6d2) 12＋13＋16 ≥(b ＋ c ＋ d)2， 即 2b2＋3c2＋6d2≥(b＋c＋d)2. 由条件可得，5－a2≥(3－a)2， 解得 1≤a≤2， 所以实数 a 的取值范围是[1,2].
1．设 x，y∈R，且 2x＋3y＝13，则 x2＋y2 的最小值为( )
A． 13 B．169
C．13
D．0
[解析] (2x＋3y)2≤(22＋32)(x2＋y2)， ∴x2＋y2≥13. [答案] C
2．已知 a，b，c 大于 0，且 a＋b＋c＝1，则 a2＋b2＋c2 的最小 值为( )
A．1 B．4 C．13 D．12 [解析] 根据柯西不等式，有(a2＋b2＋c2)(12＋12＋12)≥(a＋b＋ c)2＝1，
职高一年级 第二章 不等式
第二章《不等式》§2.1不等式的性质与证明一、高考要求：掌握不等式的性质、简单不等式的证明和重要不等式及其应用. 二、知识要点：1. 实数大小的基本性质: a-b ＞0⇔a ＞b; a-b =0⇔a =b; a-b ＜0⇔a ＜b.2. 不等式的性质:(1)传递性:如果a ＞b,b ＞c,则a ＞c;如果a ＜b,b ＜c,则a ＜c; (2)加法法则:如果a ＞b,则a+c ＞b+c;如果a ＞b,则a-c ＞b-c; (3)乘法法则:如果a ＞b,c ＞0,则ac ＞b c;如果a ＞b,c ＜0,则ac ＜b c; (4)移项法则:如果a+b ＞c ,则a ＞c-b;(5)同向不等式的加法法则:如果a ＞b 且c ＞d,则a+c ＞b+d;如果a ＜b 且c ＜d,则a+c ＜b+d; (6)两边都是正数的同向不等式的乘法法则:如果a ＞b ＞0,且c ＞d ＞0,则ac ＞b d. 3. 几个拓展的性质: a ＞b ＞0⇒a n ＞b n (n ∈N,n ＞1); a ＞b ＞0⇒n a ＞n b (n ∈N,n ＞1); a ＞b 且c ＞d ⇒a-d ＞b-c ; a ＞b ＞0,且c ＞d ＞0⇒cb d a >; a ＞b ＞0(或0＞a ＞b)⇒ba 11<; 4. 重要不等式:(1) 整式形式: a 2+b 2≥2a b （a 、b ∈R ）; a 2+b 2+c 2≥3a bc （a 、b 、c ∈R +）;ab ≤22⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a (a 、b ∈R); abc ≤33⎪⎭⎫ ⎝⎛++c b a (a 、b 、c ∈R +);(2) 根式形式:2b a +≥ab (a 、b ∈R +); 3c b a ++≥3abc (a 、b 、c ∈R +); (3) 分式形式:b a a b +≥2（a 、b 同号）; c ab c a b ++≥3（a 、b 、c 同号）;(4) 倒数形式:a a 1+≥2（a ∈R +）; aa 1+≤-2（a ∈R -）. 三、典型例题：例1:已知a ＞b,则不等式①a 2＞b 2;②b a 11<;③ab a 11>-中不能成立的个数是( ) A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 例2:证明不等式:(1)对∀实数a 、b,求证:22⎪⎭⎫⎝⎛+b a ≤222b a +; (2)求证:对∀正实数a 、b 、c,a+b+c ≥ca bc ab ++;(3)若p ＞0,q ＞0,p 3+q 3=2,试用反证法证明p+q ≤2; (4)对∀实数x 、y,求证:x 2+xy+y 2≥0; (5)对∀实数a 、b ∈R +,且a+b=1,求证:)11)(11(ba ++≥9.四、归纳小结：1.实数大小的基本性质反映了实数运算的性质和实数大小顺序之间的关系,是不等式证明和解不等式的主要依据.2.不等式证明的常用方法:(1)比较法常和配方法结合使用.用比较法证明的一般步骤是:作差→变形→判断符号;(2)综合法和分析法常结合使用.综合法就是“由因导果”,使用不等式的性质和已证明的不等式去直接推证;分析法就是“执果索因”,叙述的形式是:要证A,只要证B; (3)反证法的步骤:假设→推理→矛盾→原命题成立;3.在利用不等式求最大值或最小值时,要注意变量是否为正,和或积是否为定值,等号是否能成立.通过变形,使和或积为定值,是用不等式求最值的基本技巧. 五、基础知识训练： （一）选择题：1. (96高职-2)在下列命题中,是真命题的是( )A.x ＞y 和|x|＞|y|互为充要条件B.x ＞y 和x 2＞y 2互为充要条件C.a 2＞b 2 (b ≠0)和2211ba >互为充要条件 D.b a 4131-<-和4a ＞3b 互为充要条件 2. (98高职-2)已知a ＞b,c ∈R,由此能推出下列不等式成立的是( )A.a+c ＞b-cB.ac ＞bcC.ac 2＞bc 2D.a c2⋅＞b c2⋅ 3. (99高职-2)如果ab ＞0且a ＞b,则有( )A.a 1＞b 1 B.a 1＜b1C.a 2＞b 2D.a 2＜b 2 4. (2001高职-4)“a ＜b ＜0”是“a 1＞b1”成立的( )A.充分必要条件B.充分非必要条件C.必要非充分条件D.既不充分又不必要条件5. 不等式2>+abb a 成立的充要条件是( ) A.ab ＞0且a ≠b B.ab ≠0且a ≠b C.a ＞0,b ＞0且a ≠b D.a ≠1且b ≠1 6. (2003高职-2)已知x ＞2,则函数21-+=x x y 的最小值是( ) A.4 B.3 C.2 D.17. 不等式①a 2+2＞2a;②a 2+b 2＞2(a-b-1);③(a 2+b 2)(c 2+d 2)＞(ac+bd)2中,恒成立的个数是( )A.0个B.1个C.2个D.3个 8. 若实数a 、b 、c 满足b+c=3a 2-4a+6，b-c=a 2-4a+4,则a 、b 、c 的大小关系是( ) A.b ≥c ＞a B.b ＞c ＞a C.b ＜c ＜a D.b ＜c ≤a 9. 若f(x)=3x 2-x+1,g(x)=2x 2+x-1,则f(x)与g(x)的大小关系是( )A.f(x)＞g(x)B.f(x)=g(x)C.f(x)＜g(x)D.随x 值变化而变化 10. 若a ≠2或b ≠-1,则M=a 2+b 2-4a+2b 的值与-5的大小关系是( )A.M ＞-5B.M ＜-5C.M=-5D.不能确定 11. 已知0＜a ＜1,则aa 1、aa -、aa 的大小关系是( )A.aa 1＞aa ＞aa- B.aa -＞aa ＞aa 1 C.aa ＞aa 1＞aa- D.aa-＞aa 1＞a a12. 已知a ＜b ＜0,则下列不等式中不能成立的是( ) A.a 2＞b 2 B.b a > C. b a 11> D. ab a 11>- 13. 设a 、b 是不相等的正数,则( )A.2222b a ab ba +<<+ B.2222b a b a ab +<+< C.2222b a b a ab +<+< D.2222ba ab b a +<<+ 14. 若0＜x ＜1,0＜y ＜1,且x ≠y,而x 2+y 2,x+y,2xy,xy 2中最大的一个是( ) A.2xy B.x+y C.xy 2 D.x 2+y 215. 若a 、b 为非零实数,则在①222b a +≥ab ；②22⎪⎭⎫⎝⎛+b a ≤222b a +；③2b a +≥b a ab +；④baa b +≥2中，恒成立的个数是( ) A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 16. 设正数a,b 满足ab=4,则2a+3b 的最小值是( )A.12B.10C.64D.3417. 设a,b ∈R 且a+b=3,则b a 22+的最小值是( )A.6B.8C.24D.22 18. 若实数x,y 满足方程x+y-4=0,则x 2+y 2的最小值是( )A.4B.6C.8D.10 19. 令0＜a ＜b,且a+b=1,则下列四数中最大的是( ) A.21B.aC.2abD.a 2+b 2 20. 设a 、b 是两实数,给出下列条件:①a+b ＞1；②a+b=2；③a+b ＞2；④a 2+b 2＞2；⑤ab ＞1.其中能推出“a 、b 中至少有一个数大于1”的条件是( )A.②③B.①②③C.③④⑤D.③21. 下列命题中,(1)x x 1+的最小值是2；(2)1222++x x 的最小值是2；(3)4522++x x 的最小值是2；(4)xx 432--的最小值是2.正确命题的个数是( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 （二）填空题：22. 若x ＞y 且a ＞b,则在“①a-x ＞b-y ； ②a+x ＞b+y ； ③ax ＞by ；④x-b ＞y-a ； ⑤xby a >”这五个式子中恒成立的不等式的序号是 . 23. 已知三个不等式: ①ab ＞0；②bda c -<-；③bc ＞ad.以其中两个作为条件,余下的一个作为结论,则可以组成 个正确的命题.24. 以下四个不等式: ①a ＜0＜b ；②b ＜a ＜0；③b ＜0＜a ；④0＜b ＜a.其中使ba 11<成立的充分条件有 .25. (99高职-17)已知x ＞0,函数xx y 432--=的最大值是 . 26. (2002高职-16)已知函数xx y 22+=,(x ＞0),则y 的最小值是 . （三）解答题： 27. (1)已知:1>x ,求294x x +的最小值；(2)已知:0<x ,求3364xx y +=的最大值.28. 已知:a 、b ∈R +,求证:2ba +≥ab .(要求用比较法、综合法、分析法、反证法分别证明)29. 若a 、b 、c ∈R +,且a+b+c=1,求证:(a 1-1)(b 1-1)(c1-1)≥8.六、综合能力提高： 30. 函数116-+=x x y (x ＞1)的最小值是 .31. 已知:R x ∈,求2322++=x x y 的最小值.§2.2一次不等式和不等式组的解法一、高考要求：熟练求不等式组的解集. 二、知识要点：1. 能直接表明未知数的取值范围的不等式叫做最简不等式，解集相等的不等式叫做同解不等式，一个不等式变为它的同解不等式的过程叫做同解变形.2. 一次不等式ax ＞b(a ≠0)的解法:当a ＞0时,解集是{a b x x >},用区间表示为(a b,+∞); 当a ＜0时,解集是{a b x x <},用区间表示为(-∞,ab).3. 不等式组的解集就是构成不等式组的各不等式解集的交集. 三、典型例题： 例1:解下列不等式(组):(1) (x-3)2(x-4)≥0. (2) ⎩⎨⎧-<+<-+65430)3)(1(2x x x x .四、归纳小结：一次不等式和不等式组的解法是解各种不等式(组)的基础.解不等式实际上就是利用数与式的运算法则,以及不等式的性质,对所给不等式进行同解变形,直到变形为最简不等式为止.五、基础知识训练： （一）选择题：1. 已知方程x 2+(m+2)x+m+5=0有两个正根,则实数m 的取值范围是( )A.m ＜-2B.m ≤-4C.m ＞-5D.-5＜m ≤-4 2. 已知方程mx 2+(2m+1)x+m=0有两个不相等的实根,则实数m 的取值范围是( ) A.m ＜41-B.m ＞41-C.m ≥41-D.m ＞41-且m ≠0 （二）填空题： 3. 若关于x 的不等式组⎩⎨⎧>+->01a x ax 的解集不是空集,则实数a 的取值范围是 . （三）解答题： 4. 解不等式(组): (1)52(x-2)≤x-52 ⎪⎩⎪⎨⎧<->+<-06305201)2(x x x§2.3分式不等式的解法一、高考要求：会解线性分式不等式:0>++d cx b ax 或)0(0≠<++c dcx bax .二、知识要点：在分式的分母中含有未知数的不等式叫做分式不等式.线性分式不等式的一般形式为:0>++d cx b ax 或)0(0≠<++c dcx bax ,不等号也可以是“≥”或“≤”.三、典型例题： 例:解不等式:1523-+>-+x x x x .四、归纳小结：1. 分式不等式的求解可应用同解原理转化为整式不等式求解,常用的解法有： (1)转化为一次不等式组；(2)区间分析法.2. 解分式不等式的关键是利用除法运算的符号法则化成不等式组或用区间分析法. 注意：①不能按解分式方程的方法去分母；②不能忘记分母不能为零的限制. 五、基础知识训练： （一）选择题：1. 满足21<x 与31->x 的x 适合的条件是( ) A.2131<<x B. 21>x C. 31-<x D. 3121-<>x x 或2. 下列不等式中与xx --34≥0同解的是( )A.(x-4)(3-x)≥0B.43--x x≥0 C.)3(-x Ig ≤0 D.(x-4)(3-x)＞03. 不等式1212>-+x x 的解集是( )A.{x|0≤x ＜3}B.{x|-2＜x ＜3}C.{x|-6≤x ＜3}D.{x|x ＜-3或x ＞2} 4. 不等式1232+--x x x ＜0的解集是( ) A.{x|x ＜3} B.{x|1＜x ＜3} C.{x|x ＜3或x ≠1} D.{x|x ＜3且x ≠1}5. 不等式2)1()3(2--+x x x ≤0的解集是( )A.{x|1≤x ＜2}B.{x|1＜x ＜2或x=-3}C.{x|1≤x ＜2或x =-3}D.{x|1≤x ≤2或x=-3}6. 设a ＞b ＞c,则不等式cx b x a x ---))((≥0的解集是( )A.(-∞,c )∪[b,a )B.(c,b ]∪[a,+∞)C.(c,b]∪(b,a]D.(c,a]∪[b,+∞) （二）填空题： 7. 不等式1312>+-x x 的解集是 . 8. 不等式)3)(4()2()1(22x x x x --+-≥0的解集是 .9. 若不等式342+++x x ax ≥0的解集为{x|-3＜x ＜-1或x ≥2},则a= . 10. b 克糖水中有a 克糖(b ＞a ＞0),若再添上m 克糖(m ＞0),则糖水就变甜了,试根据这个事实提炼一个不等式 .11. 设关于x 的不等式ax+b ＞0的解区间为(1,+∞),则关于x 的不等式0652<+--bax x x 的解区间为 . （三）解答题： 12. 解下列不等式: (1) 12+<x x (2) 110<-<xx六、综合能力提高： 13. 若不等式x 2+px+q ＜0的解集是{x|1＜x ＜2},则不等式06522>--++x x qpx x 的解集是( ) A.(1,2) B.(-∞,-1)∪(6,+∞) C.(-1,1)∪(2,6) D.(-∞,-1)∪(1,2)∪(6,+∞)§2.4含有绝对值的不等式一、高考要求：熟练求绝对值不等式的解集. 二、知识要点：1. |x-a|(a ≥0)的几何意义是x 在数轴上的对应点到a 的对应点之间的距离.2. 不等式|x|≤a(a ＞0)的解集是{x|-a ≤x ≤a};不等式|x|＞a(a ＞0)的解集是{x|x ＜-a 或x ＞a}.3. 不等式|ax+b|＜c(c ＞0)的解集是{x|-c ＜ax+b ＜c},然后解这个一次不等式,求出原不等式的解集;不等式|ax+b|＞c(c ＞0)的解集是{x|ax+b ＜-c 或ax+b ＞c},然后解这个一次不等式,求出原不等式的解集,即这两个一次不等式的解集的并集为原不等式的解集. 三、典型例题： 例:解下列不等式:(1) |x 2-3x|＞4 (2) 1≤|2x-1|＜5 (3) x+|x-1|＜2四、归纳小结：解绝对值不等式时,应先了解基本绝对值不等式|x|＜a 、|x|＞a (a ＞0)的解法,并把含有绝对值的不等式转化为不含绝对值的不等式. 五、基础知识训练： （一）选择题：1. (2002高职-2)不等式|x-2|＞1的解集是( )A.(1,3)B.(3,+∞)C.(-∞,1)D.(-∞,1)∪(3,+∞) 2. 不等式|2-3x|＞5的解集是( )A.(-1,37) B.(37,+∞) C.(-1,+∞) D.(-∞,-1)∪(37,+∞) 3. 不等式|2-3x|≤21的解集是( )A.{x|21＜x ＜65}B. {x|x ＜21或x ＞65}C. {x|x ≤21或x ≥65}D. {x|21≤x ≤65}4. 已知A={x 2+x ≥5},B={x x -3＜2},则A ∪B 等于( )A.{x|x ≤7或x ＞1}B.{x| -7≤x ＜1}C.{x|x ∈R}D.{x|x ≤7或x ≥3} 5. 已知A={x 2-x ＜3},B={x 1-x ＞1},则A ∩B 等于( )A.{x|x ＜0或x ＞2}B.{x| -1＜x ＜5}C.{x|-1＜x ＜0}D.{x|-1＜x ＜0或2＜x ＜5} 6. 设ab ＞0,下面四个不等式①|a+b|＞|a|；②|a+b|＜|b|；③|a+b|＜|a-b|；④|a+b|＞|a|-|b|中,正确的是( )A.①和②B.①和③C.①和④D.②和④7. 下面四个式子①|a-b|=|b-a|；②|a+b|+|a-b|≥2|a|；③a a =-2)(；④()b a +21＞ab 中,成立的有( )A.①、②B.①、②、④C.①、②、③D.①、②、③、④ （二）填空题：8. (2001高职-14)若不等式|x-a|＜b 的解集为{x|-3＜x ＜9},则ba2log = . 9. 若{x||a-2x|＞b,b ＞0}={x|x ＜-5或x ＞4},则a 2+b= . 10. 若x ∈Z,则不等式382<-x 的解集是 . （三）解答题：11. 设集合A={x||2x-1|≤3},B={x||x+2|＜1},求集合C,使其同时满足下列三条件: (1)C ⊆[(A ∪B)∩Z]；(2)C 中有三个元素；(3)C ∪B ≠Φ.12. 解下列不等式: (1) 3＜322-x ≤7 (2)123-+x x ≥1六、综合能力提高： 13. 解下列不等式:(1) |3x-1|＞x+3 (2) 42>++x x§2.5一元二次不等式的解法一、高考要求：熟练求一元二次不等式的解集.二、知识要点：三、典型例题：例1:求下列不等式的解集:(1)2x+3-x 2＞0；(2)x(x+2)-1≥x(3-x)；(3)x 2-32x+3＞0；(4)x 2+6(x+3)＞3；(5)3x 2+5≤3x.例2:m 是什么实数时,方程(m-1)x 2-mx+m=0有两个不相等的实数根?例3:已知ax 2+2x+c ＞0的解集为2131<<-x ,试求a 、c 的值,并解不等式-cx 2+2x-a ＞0.四、归纳小结：解一元二次不等式的方法主要有:(1)转化为一次不等式组；(2)区间分析法；(3)配方法；(4)利用二次函数的图象.五、基础知识训练：（一）选择题：1. (97高职-1)不等式x 2+2x+1＞0的解集是( )A.ΦB.RC.{x|x= -1}D.{x|x ≠-1,x ∈R}2. 不等式(x 2-4x-5)(x 2+8)＜0的解集是( )A.{x|-1＜x ＜5}B.{x|x ＜-1或x ＞5}C.{x|0＜x ＜5}D.{x|-1＜x ＜0}3. 不等式ax 2+2x+c ＞0(a ≠0)的解集是空集的充要条件是( )A.a ＜0且b 2-4ac ＞0B.a ＜0且b 2-4ac ＜0C.a ＜0且b 2-4ac ≥0D.a ＜0且b 2-4ac ≤04. 下列不等式中,解集是空集的不等式是( )A.4x 2-20x+25＞0B.2x 2-34x+6≤0C.3x 2-3x+1＞0D.2x 2-2x+1＜05. 若x 2-mx+1＜0,则实系数m 的取值范围为( )A.m ＞2或m ＜-2B.-2＜m ＜2C.m ≠±2D.m ∈R6. 若ax 2+5x+c ＞0的解集是}2131{<<x x ,则a+c 的值为( ) A.7 B.5 C.-5 D.-7（二）填空题：7. 已知不等式x 2+bx+c ＞0的解集为{x|x ＜3-或x ＞2},则b= ，c= .8. 已知(m+3)x 2+(2m-1)x+2(m-1)＜0对任意x ∈R 都成立,则实系数m 的取值范围为 .（三）解答题：9. 设集合A={x|x 2-2x-8≥0, x ∈R},B={x|1-|x-a|＞0, x,a ∈R},A ∩B=Φ,求a 的取值范围.10. 不等式(a 2-1)x 2-(a-1)x-1＜0的解是全体实数,求实数a 的取值范围.11. 若函数y=x 2-(1+k)x-k+2的值域为非负实数,求实数k 的取值范围.12.若关于x的方程x2+(a2-9)x+a2-5a+6=0的一根小于0,另一根大于2,求实数a的取值范围.六、综合能力提高：13.已知不等式：①x2-4x+3＜0；②x2-6x+8＜0；③2x2-9x+m＜0.要使同时满足①、②的x也满足③,则有( )A.m＞9B.m=9C.m≤9D.0＜m≤914.若关于x的方程3x2-5x+a=0的一根大于-2而小于0,另一根大于1而小于3,求实数a的取值范围.15.已知不等式ax2+bx+c＞0的解集为0＜α＜x＜β,求不等式cx2-bx+a＞0的解集.§2.6不等式的应用一、高考要求：了解不等式或不等式组在解决实际问题中的应用,会列不等式或不等式组解简单的实际问题.二、知识要点：列不等式解应用题的主要步骤是：(1)设未知数；(2)根据题意,列出不等式(或不等式组)；(3)解不等式(或不等式组)；(4)检验结果是否符合实际,并作答.三、典型例题：例1:某渔业公司年初用98万元购进一艘渔船,用于捕捞,第一年需各种费用12万元,从第二年开始包括维修费在内,每年所需费用均比上一年增加4万元,该船每年捕捞的总收入为50万元.(1) 该船捕捞几年开始盈利(即总收入减去总成本及所有费用为正值)?(2) 该船捕捞若干年后,处理方案有两种:①当年平均盈利达到最大值时,以26万元的价格卖出；②当盈利总额达到最大值时,以8万元的价格卖出,问哪一种方案较为合算?请说明理由.例2:某种商品,现在定价每件p 元,每月售货卖出n 件,因而现在每月售货总金额为np 元.设定价上涨x 成,卖出数量减少y 成,售货总金额变成现在的z 倍.(1) 用x 和y 表示z;(2) 设y=kx,其中k 是满足0＜k ＜1的常数,利用k 来表示当售货总金额最大时的x 值;(3) 若x y 32,求使售货总金额有所增加时的x 的范围.四、归纳小结：应用不等式知识解应用题的关键是建立不等量关系.五、基础知识训练：（一）选择题：1. 某工厂第一年年产量为A,第二年的增长率为a,第三年的增长率为b,这两年的平均增长率为x,则( )A.x=2b a +B.x ≤2b a +C.x ＞2b a +D.x ≥2b a + （二）填空题：2. (97高职-19)设某型号的汽车在普通路面上的刹车距离S(米)与汽车车速x(千米/时)之间的关系是20005.02x x S +=,为了避免交通事故,规定该车的刹车距离不大于10米,则该车的车速不得超过 (千米/时).3. (98高职-23)1998年世界杯足球赛组委会决定以每张25美元的单价发行普通入场券,预计可发行80万张,如果定价每张提高1美元,发行量就减少2万张,欲使门票收入不低于2000万美元,则入场券的最高定价不超过 .（三）解答题：4. (2003高职-21)(本小题满分12分)某厂若以50元的价格销售一种产品,则可以销售8000件.如果这种产品的单价每增加1元,则销售量就将减少100件.为了使这种产品的销售收入不低于420000元,那么单价的取值范围应为多少?5. 工厂生产某种产品,每月固定成本10万元,而每件产品的变动成本为25元,产品销售单价为60元,若每月要获得最低利润3万元,求每月最少要销售多少件产品?6. 某地方政府为保护地方电子工业发展,决定对某一进口电子产品征收附加税,已知这种电子产品国内市场零售价每件250元,每年可销售40万件,若政府征收附加税率为每百元t 元时,则每年销售将减少58t 万件. (1) 将税金收入表示为征收附加税率的函数;(2) 若在该项经营中每年征收附加税金不低于600万元,那么政府征收附加税率应控制在什么范围内?。
第二章 考点9 不等式的综合应用
例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4
解：设使用x年的平均费用为y万元，由题意得
10 0.9x 0.2 0.2x x
y
2
1 10
x
1 2
x 10 3，
x
x 10
10 x
当10 x 即x＝10时，取等号． x 10
∴使用10年报废最划算．
【回顾反思】 解不等式的应用题，关键是构造不等式模型，即分析题目
例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4
【解】 设床价提高10x元/床，则床位减少10x张，由题意得 (50＋10x)(200－10x)>15 000⇒5<x<10， 5×10＋50＝100(元/床)，10×10＋50＝150(元/床).∴价格应定 为100～150元/床．
例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4
【提示】
∵ 3a 2b a b 6a 4b 5a 5b a b 0 ，
5
2
10
10
∴a>b.
A组 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B组 1 2 3
2．设矩形的长为a，宽为b(a>b)，面积为S1，与此矩形周长相
等的正方形的面积为S2，则( A )
A．S1<S2
例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4
【例3】 设计一个面积为800 cm2的矩形广告牌，要求左右均 留2 cm的空白，上下边均留1 cm的空白．问：怎样设计使中 间的文字面积最大？并求此最大值．
【思路点拨】 本题是求最值问题，一般选用“基本不等式” 模型或“一元二次函数”模型来解决．
例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4
2．常见的应用题类型 (1)分配问题、速度和时间问题、工程问题等一般用一元一次 不等式(组)模型解决． (2)价格问题、面积问题等一般用一元二次不等式(组)模型解 决． (3)最值问题等一般用基本不等式模型(均值定理)解决．
2020新版教材人教A版高中数学必修第一册第二章2.2.2基本不等式
（2）求y的最值.
解：设污水处理池的长为 x m, 总造价为y元，则
y=400·(2x+200/x×2)+248·(2×200/x) +80×200
=800x+259200/x+16000.
≥2
800x 25当800x=259200/x, 即x=18时，取等号
练习:某工厂拟建一座平面图为矩形且面积200m2 的三级污水处理池（平面图如上图）。如果池四 周围墙建造单价400元/m，中间两道隔墙建造单 价为248元/m，池底建造单价为80元/m2，水池 所有墙的厚度忽略不计，试设计污水处理池的长 和宽，使总造价最低，并求出最低造价。 分析：设污水处理池的长为 x m,总造价为y元，
当且仅当x=y时，式中等号成立，
此时x=y=10。
因此，当这个矩形的长与宽都是10m时， 它的周长最短，最短周长是40m.
(2)设矩形菜园的长为 x m,宽为 y m, 则 2(x+y)=36, x+y =18,矩形菜园的面积为 xy m2.
因为x>0，y>0，所以， xy ≤ x y
2
因此 xy ≤9 将这个正值不等式的两边平方，得xy≤81,
答：池长18m，宽100/9 m时，造价最低为 30400元。
三、知识小结
重要 a2 b2 2ab
不等式 a b 2 ab (a、b∈R+)
结 论 ：（1）两个正数积为定值，和有最小值。 （2）两个正数和为定值，积有最大值。
应用要点：一正、二定 、三相等
重要不等式 a2 b2 2ab
(1)
ab
1
2
1
;
ab
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(1)解
f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，f′(x)＝1－ex.
当 f′(x)>0，即 x<0 时，f(x)单调递增； 当 f′(x)<0，即 x>0 时，f(x)单调递减； 故 f(x)的单调递增区间为(－∞，0)， 单调递减区间为(0，＋∞). 当 x>0 时，f(x)<f(0)＝0，即 1＋x<ex.
n
专题五 探索性问题
【例 5】 是否存在常数 a，b，c 使得等式 1· 22＋2· 32＋„＋ n（n＋1） 2 n(n＋1) ＝ (an ＋bn＋c)对一切 n∈N＋都成立？ 12
2
并 证明你的结论.
解 假设存在符合题意的常数 a，b，c， n（n＋1） 2 在等式 1· 2 ＋2· 3 ＋„＋n(n＋1) ＝ (an ＋bn＋c)中， 12
2 2 2
1 令 n＝1，得 4＝ (a＋b＋c)① 6 1 令 n＝2，得 22＝2(4a＋2b＋c)②
令 n＝3，得 70＝9a＋3b＋c③ 由①②③解得 a＝3，b＝11，c＝10， 于是，对于 n＝1，2，3，都有 1· 22＋2· 32＋„＋n(n＋1)2 n（n＋1） 2 ＝ (3n ＋11n＋10) (*)成立. 12 下面用数学归纳法证明：对于一切正整数 n，(*)式都成立. 假设 n＝k 时，(*)成立， k（k＋1） 2 即 1· 2 ＋2· 3 ＋„＋k(k＋1) ＝ (3k ＋11k＋10)， 12
由归纳假设可得
b1b2„bkbk＋1 b1b2„bk bk＋1 ＝ · a1a2„akak＋1 a1a2„ak ak＋1 ＝(k＋1)
k k＋1 1 (k＋1)1＋k＋1 ＝(k＋2)k＋1.所以当 n＝k＋1 时， (*2)
也成立.根据①②，可知(*2)对一切正整数 n 都成立. (3)证明 由 cn 的定义，(*2)，均值不等式(推广)，bn 的定义及
1 1 1 1 (a＋b＋b＋c＋c＋d＋d＋a)a＋b＋b＋c＋c＋d＋d＋a
≥(1＋1＋1＋1)2. 即
1 1 1 1 2(a＋b＋c＋d)a＋b＋b＋c＋c＋d＋d＋a ≥16，
2 2 2 2 16 于是 ＋ ＋ ＋ ≥ ， a＋b b＋c c＋d d＋a a＋b＋c＋d a＋b b＋ c c＋d d＋a 等号成立⇔ 1 ＝ 1 ＝ 1 ＝ 1 a＋b b＋c c＋d d＋a ⇔a＋b＝b＋c＝c＋d＝d＋a⇔a＝b＝c＝d. 因题设 a，b，c，d 不全相等， 2 2 2 2 16 故 ＋ ＋ ＋ > . a＋b b＋c c＋d d＋a a＋b＋c＋d
8.运用数学归纳法时易犯的错误 (1)对项数估算的错误，特别是寻找n＝k与n＝k＋1的关系时， 项数发生什么变化被弄错. (2)没有利用归纳假设. (3) 关键步骤含糊不清，“假设 n ＝ k 时结论成立，利用此假
设证明n＝k＋1时结论也成立”，是数学归纳法的关键一步，
也是证明问题最重要的环节，对推导的过程要把步骤写完 整，注意证明过程的严谨性、规范性.
7. 数学归纳法主要用于解决与正整数有关的数学问题 . 证明 时，它的两个步骤缺一不可 . 它的第一步 ( 归纳奠基 )n ＝ n0 时结论成立.第二步(归纳递推)假设n＝k时，结论成立，推
得n＝k＋1时结论也成立.数学归纳法原理建立在归纳公理
的基础上，它可用有限的步骤(两步)证明出无限的命题成 立.
2 2 a2 b2＋c2 c2＋a2 b c ＋ ＋ 以上两式相加得：2 b＋c c＋a a＋b≥ b＋c ＋ c＋a ＋
a2＋b2 . a＋b
专题四 归纳、猜想、证明问题
1 【例 4】 已知 x＋x ＝2cos θ ， 1 1 3 (1)计算 x ＋ 2及 x ＋ 3的值； x x
2
1 (2)归纳出 x ＋xn (n∈N＋)的值，再用数学归纳法证明.
n
解
1 1 2 (1)x ＋ x2 ＝ x＋x － 2 ＝ 22cos2 θ － 2 ＝ 2(2cos2θ － 1) ＝
2
2cos 2θ 1 13 1 x ＋ 3＝x＋x －3x＋x ＝8cos3θ －3×2cos θ ＝2cos 3θ . x
2
a1 a2 2 1 bn)2≥|a1b1＋a2b2＋„＋anbn|， 其中等号成立⇔b ＝b ＝„＝ 1 2 an bn. 4.柯西不等式的一般形式的证明：参数配方法.
5.排序不等式：设a1≤a2≤„≤an，b1≤b2≤„≤bn为两组实 数，c1，c2，„，cn为b1，b2，„，bn的任一排列，则有： a1bn ＋ a2bn － 1 ＋„＋ anb1 ≤ a1c1 ＋ a2c2 ＋„＋ ancn ≤ a1b1 ＋
k 1 1 1 k－1 ＝x ＋xkx＋x －x ＋xk－1 ＝4cos
kθ cos θ －2cos(k－1)θ
＝2[cos(k＋1)θ＋cos(k－1)θ]－2cos(k－1)θ＝2cos(k＋1)θ
∴当 n＝k＋1 时，命题也成立， 1 由①、②知，对一切 n∈N＋都有 x ＋xn＝2cos nθ .
2 2 2 2 2 2.三维形式的柯西不等式：(a2 ＋ a ＋ a )( b ＋ b ＋ b 1 2 3 1 2 3)≥(a1b1＋
a2b2＋a3b3)2. 3.定理 2：柯西不等式的一般形式：设 a1，a2，„，an，b1，
2 2 2 1 2 b2，b3，„，bn 为实数，则(a1＋a2＋„＋an) (b1＋b2 2＋„＋
即 3x＋1＝3y＋2＝3z＋3 设 3x＋1＝k， k－1 k－2 k－3 则 x＝ 3 ，y＝ 3 ，z＝ 3 . 代入 x＋y＋z＝1，得 k＝3. 2 1 ∴x＝3，y＝3，z＝0 时取等号.
专题三 利用排序不等式证明不等式
【例 3】 设 a，b，c 为正数，求证：
2 2 a2 b2＋c2 c2＋a2 a2＋b2 b c ＋ ＋ 2 b＋c c＋a a＋b≥ b＋c ＋ c＋a ＋ a＋b .
2 2 2
那么 1· 22＋2· 32＋„＋k(k＋1)2＋(k＋1)(k＋2)2 k（k＋1） 2 ＝ (3k ＋11k＋10)＋(k＋1)(k＋2)2 12 （k＋1）（k＋2） 2 ＝ (3k ＋5k＋12k＋24) 12 （k＋1）（k＋2） 2 ＝ [3( k ＋ 1) ＋11(k＋1)＋10]， 12 由此可知，当 n＝k＋1 时，(*)式也成立. 综上所述，当 a＝3，b＝11，c＝10 时题设的等式对于一切 n∈ N＋都成立.
a2b2＋„＋anbn.等号成立(逆序和等于顺序和)⇔a1＝a2＝„
＝an或b1＝b2＝„＝bn.排序原理可简记作：逆序和≤乱序 和≤顺序和.
6.数学归纳法及其原理
数学归纳法是证明一些与正整数有关的数学命题的一种方
法.即先证明当n取第一个值n0(例如n0＝1)时命题成立，然后 假设当n＝k (k∈N＋，k≥n0)时命题成立，证明当n＝k＋1时 命题也成立，那么就证明了这个命题成立 . 这种证明方法叫 做数学归纳法.
证明 由对称性，不妨设 a≥b≥c>0， 于是 a＋b≥a＋c≥b＋c， 1 1 1 故 a ≥b ≥c ， ≥ ≥ ， b＋c c＋a a＋b
2 2 2
由排序不等式得： a2 b2 c2 c2 a2 b2 ＋ ＋ ≥ ＋ ＋ b＋c c＋a a＋b b＋c c＋a a＋b a2 b2 c2 b2 c2 a2 ＋ ＋ ≥ ＋ ＋ b＋c c＋a a＋b b＋c c＋a a＋b
专题二 利用柯西不等式求最值
【例 2】 已知 x＋y＋z＝1， 求 3x＋1＋ 3y＋2＋ 3z＋3的 最大值.
解 由柯西不等式，得
( 3x＋1·1＋ 3y＋2·1＋ 3z＋3·1) ≤ 3x＋1＋3y＋2＋3z＋3· 12＋12＋12 ＝ 3（x＋y＋z）＋6· 3＝ 27＝3 3. 3x＋1 3y＋2 3z＋3 等号成立⇔ 1 ＝ 1 ＝ 1 ，
1 1 1 (*1)得 Tn＝c1＋c2＋c3＋„＋cn＝(a1)1＋(a1a2)2＋(a1a2a3)3＋„ ＋(a1a2„an)n
1
1 1 1 1 （b1） （b1b2） （b1b2b3） （b1b2„bn）n 1 2 3 ＝ 2 ＋ ＋ ＋„＋ 3 4 n＋1 b1＋b2 b1＋b2＋n（n＋1）
(2)( 二 维 变 式 ) ：
a2＋b2 ·
c2＋d2 ≥ |ac ＋ bd| ，
a2＋b2· c2＋d2≥|ac|＋|bd|. (3)(向量形式)： 设 α， β 为平面上的两个向量， 则|α||β|≥|α·β|， 当 α 及 β 为非零向量时，上式中等号成立⇔向量 α 与 β 共 线(或平行)⇔存在实数 λ≠0，使得 α＝λβ.
1n 1 1 1 令 x＝n，得 1＋n<e n ，即1＋n <e.(*1)
11 b1 1＋ ＝1＋1＝2； (2)解 a ＝1· 1 1 12 b1b2 b1 b2 ＝ · ＝2· 21＋2 ＝(2＋1)2＝32； a1a2 a1 a2 13 b1b2b3 b1b2 b3 2 1＋ ＝(3＋1)3＝43. ＝ · ＝ 3 · 3 3 a1a2a3 a1a2 a3
专题一 利用柯西不等式证明不等式
2 2 【例 1】 设 a， b， c， d 为正数， 且不全相等， 求证： ＋ a＋b b＋c 2 16 ＋ > . d＋a a＋b＋c＋d
证明
构造两组数 a＋b， b＋c， c＋d， d＋a，
1 1 1 1 与 ， ， ， ， a＋b b＋c c＋d d＋a 则由柯西不等式得：
b1b2„bn 由此推测： ＝(n＋1)n.(*2) a1a2„an 下面用数学归纳法证明(*2).
①当 n＝1 时，左边＝右边＝2，(*2)成立. ②假设当 n＝k(k≥1，k∈N＋)时，(*2)成立， b1b2„bk 即 ＝(k＋1)k. a1a2„ak 当 n＝k＋1