2014届高三数学一轮必备“高频题型全掌握”21.数学方法：函数与方程思想
函数和方程的思想方法总结
函数和方程的思想方法总结函数和方程是数学中两个非常重要的概念，它们在不同的数学领域和学科中具有广泛的应用。
在解决实际问题、研究数学定理和推导数学公式时，函数和方程的思想方法非常有用。
下面我将总结函数和方程的思想方法，并举例说明它们的应用。
一、函数的思想方法：1. 函数是一种映射关系，将自变量映射为因变量。
在研究函数时，我们常常关注函数的定义域、值域、图像和性质等特征。
例如，对于一个电商平台的销售额函数，我们可以通过输入商品价格来计算销售额。
我们可以研究函数的增减性、最大值和最小值等，以优化销售策略。
2. 函数具有一些重要的性质，如奇偶性、周期性和可导性等。
这些性质可以帮助我们进一步研究函数的特点和行为。
例如，对于一个正弦函数，它是一个周期函数，周期为2π。
我们可以利用这个性质来分析正弦函数的周期性变化和极值点。
3. 函数的组合和复合是函数思想方法的重要工具。
通过将多个函数进行组合或复合，我们可以得到新的函数，从而解决更加复杂的问题。
例如，对于一个物体在空中自由落体运动的高度函数和速度函数，我们可以通过将这两个函数进行复合，得到物体的位置函数和加速度函数，进一步分析物体的运动规律。
二、方程的思想方法：1. 方程是含有未知数的等式，通过求解方程，我们可以确定未知数的值。
解方程是数学中的一个重要问题，有很多不同的解法和技巧。
例如，对于一个一元一次方程，我们可以通过移项、消元和代入等方法求解。
对于一个一元二次方程，我们可以通过配方法、因式分解和求根公式等方法求解。
2. 方程的应用非常广泛，它可以用来描述和解决各种实际问题。
在解决实际问题时，我们常常将问题抽象成一个方程，然后通过求解方程来得到问题的解。
例如，对于一个汽车行驶的问题，我们可以根据汽车的速度、时间和距离的关系建立一个方程，然后求解这个方程来得到汽车行驶的时间或速度。
3. 方程的解有可能是多个，也有可能是无解。
我们在解方程时，需要考虑方程的解集和解的存在性等问题。
高三数学专题一 函数与方程的思想方法课件
［答案］ 3 返回目录
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2.设向量a=(1, 2)，b=(2, 3)，若向量λa+b与向量c=(－4, －7)共线，则λ= ［解析］ . 由向量坐标运算法则得λa＋b＝(λ＋2, 2λ＋
3)，由向量共线条件得－7(λ＋2)＝－4(2λ＋3)，解得λ＝2.
［点评］ 本题主要考查向量的基本运算和向量共线
函数是方程与不等式的“中介”，他们既有区别，又联系
紧密.高考试题中既通过客观试题考查函数与方程的思想的基本 应用，又利用解答题从深层次上对函数与方程思想进行综合考
查.
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1.已知在△ABC中, ∠ACB=90°, BC=3, AC=4, P是AB上 的点, 则点P到AC、BC的距离乘积的最大值是 ［分析］ 如右图，设P点到 AC 、 BC 的距离分别为 x 、 y ，由 y 都是正实数，问题转化为在此 条件下，求xy的最大值问题.
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4. 如图，正方形 ABCD 、 ABEF 的 边长都是 1 ，而且平面 ABCD 、 ABEF 互相垂直 . 点 M 在 AC 上移动 , 点 N 在 BF 上移动,若CM=BN=a (0＜a＜ 2 ). (Ⅰ)求MN的长; (Ⅱ)当a为何值时,MN的长最小. ［分析］ 取a作为变量，建立MN的长的表达式，利用 函数思想求MN的最小值. ［解析］ (Ⅰ)作MP∥AB交BC于点P, NQ∥AB交BE于 点Q, 连结PQ, 依题意可得MP∥NQ, 且MP=NQ, 即MNQP是 平行四边形, 所以MN=PQ, 返回目录
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解法2：(看成不等式的解集) ∵a，b都是正数，∴a＋b 2 ab . 又ab＝a＋b＋3,∴ab 2 ab ＋3,
即( ab ) 2 2 ab 3 0. 解得 ab 3或 ab 1(舍), ab 9.
函数与方程思想
=，求正整数1000【课堂练习】2.已知函数()1f x x =-，关于x 的方程2()()0f x f x k -+=，给出下列四个命题： ① 存在实数k ，使得方程恰有2个不同的实根；② 存在实数k ，使得方程恰有4个不同的实根；③ 存在实数k ，使得方程恰有5个不同的实根；④ 存在实数k ，使得方程恰有8个不同的实根．其中真命题的序号是 ．1.关于x 的方程(x 2－1)2－|x 2－1|＋k ＝0，给出下列四个命题：①存在实数k ，使得方程恰有2个不同的实根；②存在实数k ，使得方程恰有4个不同的实根；③存在实数k ，使得方程恰有5个不同的实根；④存在实数k ，使得方程恰有8个不同的实根。
其中假命题的个数是 ( )A . 0B . １C . ２D . ４2.如果函数y ax b x =++21的最大值是4，最小值是－1，求实数a 、b 的值。
解：课后作业总结回顾3.已知函数的定义域和值域都是（其图像如下图所示），函数．定义：当且时，称是方程的一个实数根．则方程的所有不同实数根的个数是 ．4.已知()()20,f x ax bx c a =++≠且方程()f x x =无实数根，下列命题：① 方程x x f f =)]([也一定没有实数根；② 若0>a ，则不等式x x f f >)]([对一切实数x 都成立；③ 若0<a ,则必存在实数0x ,使00)]([x x f f >;④ 若0=++c b a ，则不等式x x f f <)]([对一切实数x 都成立。
其中正确命题的序号是 ．已知，若关于的方程有实根，则的取值范围是 ．6.（普陀区一模文理科14） 已知函数⎩⎨⎧<+≥-=0),1(0,2)(x x f x a x f x ，若方程0)(=+x x f 有且仅有两个解，则实数a 的取值范围是 .)(x f y =]1,1[-],[,sin )(ππ-∈=x x x g ])1,1[(0)(11-∈=x x f ]),[()(212ππ-∈=x x x g 2x 0))((=x g f 0))((=x g f a ∈R x 2104x x a a ++-+=a。
函数与方程思想
函数与方程的思想 函数思想是对函数内容在更高层次上的抽象，概括与提炼，在研究方程、不等式、数列、解析几何等其它内容时，起着重要作用；方程思想是解决各类计算问题的基本思想，是培养运算能力的基础，高考把函数与方程思想作为重要思想方法重点来考查.函数是高中数学的主线，它用联系和运动、变化的观点研究、描述客观世界中相互关联的量之间的依存关系，形成变量数学的一大重要基础和分支. 函数思想以函数知识做基石，用运动变化的观点分析、研究数学对象间的数量关系，使函数知识的应用得到极大的扩展，丰富并优化了数学解题活动，给数学解题带来很强的创新能力. 因此，函数思想是数学高考常考的热点. 函数思想在高考中的应用主要是函数的概念、性质及图像的应用.方程的思想，就是分析数学问题中各个量及其关系，运用数学语言建立方程或方程组、不等式或不等式组或构造方程或方程组、不等式或不等式组，通过求方程或方程组、不等式或不等式组的解的情况，使问题得以解决．函数思想与方程思想的联系十分密切，解方程()0f x =就是求函数()y f x =当函数值为零时自变量x 的值；求综合方程()()f x g x =的根或根的个数就是求函数()y f x =与()y g x =的图像的交点横坐标或交点个数，正是这些联系，促成了函数与方程思想在数学解题中的互化互换，丰富了数学解题的思想宝库.函数与方程的思想在解题应用中主要体现在两个方面：(1) 借助有关初等函数的图象性质，解有关求值、解(证)方程(等式)或不等式，讨论参数的取值范围等问题；(2) 通过建立函数式或构造中间函数把所要研究的问题转化为相应的函数模型，由所构造的函数的性质、结论得出问题的解．由于函数在高中数学中的举足轻重的地位，因而函数与方程的思想一直是高考考查的重点，对基本初等函数的图象及性质要牢固掌握，另外函数与方程的思想在解析几何、立体几何、数列等知识中的广泛应用也要重视．一、函数思想的应用1．显化函数关系在方程、不等式、数列、圆锥曲线等数学问题中，将原有隐含的函数关系凸显出来，从而利用函数知识或函数方法解决问题.【例1】已知，，若点在线段上，则的最大值为（）(2,5)A (4,1)B (,)P x y AB 2x y -A.−1B.3C.7D.8【分析】本题是解析几何问题，由所在直线方程可得x 与y 的函数关系，转化为函数求值域的问题。
高中数学思想方法
高中数学思想方法高中数学思想方法高中数学思想方法1第一：函数与方程思想（1）函数思想是对函数内容在更高层次上的抽象，概括与提炼，在研究方程、不等式、数列、解析几何等其他内容时，起着重要作用（2）方程思想是解决各类计算问题的基本思想，是运算能力的基础高考把函数与方程思想作为七种重要思想方法重点来考查第二：数形结合思想（1）数学研究的对象是数量关系和空间形式，即数与形两个方面（2）在一维空间，实数与数轴上的点建立一一对应关系在二维空间，实数对与坐标平面上的点建立一一对应关系数形结合中，选择、填空侧重突出考查数到形的转化，在解答题中，考虑推理论证严密性，突出形到数的转化第三：分类与整合思想（1）分类是自然科学乃至社会科学研究中的基本逻辑方法（2）从具体出发，选取适当的.分类标准（3）划分只是手段，分类研究才是目的（4）有分有合，先分后合，是分类整合思想的本质属性（5）含字母参数数学问题进行分类与整合的研究，重点考查学生思维严谨性与周密性第四：化归与转化思想（1）将复杂问题化归为简单问题，将较难问题化为较易问题，将未解决问题化归为已解决问题（2）灵活性、多样性，无统一模式，利用动态思维，去寻找有利于问题解决的变换途径与方法（3）高考重视常用变换方法：一般与特殊的转化、繁与简的转化、构造转化、命题的等价转化第五：特殊与一般思想（1）通过对个例认识与研究，形成对事物的认识（2）由浅入深，由现象到本质、由局部到整体、由实践到理论（3）由特殊到一般，再由一般到特殊的反复认识过程（4）构造特殊函数、特殊数列，寻找特殊点、确立特殊位置，利用特殊值、特殊方程（5）高考以新增内容为素材，突出考查特殊与一般思想必成为命题改革方向第六：有限与无限的思想（1）把对无限的研究转化为对有限的研究，是解决无限问题的必经之路（2）积累的解决无限问题的经验，将有限问题转化为无限问题来解决是解决的方向（3）立体几何中求球的表面积与体积，采用分割的方法来解决，实际上是先进行有限次分割，再求和求极限，是典型的有限与无限数学思想的应用（4）随着高中课程改革，对新增内容考查深入，必将加强对有限与无限的考查第七：或然与必然的思想（1）随机现象两个最基本的特征，一是结果的随机性，二是频率的稳定性（2）偶然中找必然，再用必然规律解决偶然（3）等可能性事件的概率、互斥事件有一个发生的概率、相互独立事件同时发生的概率、独立重复试验、随机事件的分布列、数学期望是考查的重点高中数学思想方法2近年来，高考命题方向很明显地朝着对知识网络交汇点、数学思想方法及对数学能力的考查发展，考生在复习的过程中，应对所学知识进行及时的梳理，这里既包含对基础知识的整理，也包括对数学思想方法的总结。
2014函数与方程思想
2014函数与方程思想高考中，函数思想主要用于求变量的取值范围、解不等式等，方程观点的应用可分为逐步提高的四个层次：（1）解方程；（2）含参数方程讨论；（3）转化为对方程的研究，如直线与圆、圆锥曲线的位置关系，函数的性质，集合关系；（4）构造方程求解。
高考函数与方程思想的命题主要体现在三个方面：①是建立函数关系式，构造函数模型或通过方程、方程组解决实际问题；②是运用函数、方程、不等式相互转化的观点处理函数、方程、不等式问题；③是利用函数与方程思想研究数列、解析几何、立体几何等问题．在构建函数模型时仍然十分注重“三个二次”的考查．特别注意客观形题目，大题一般难度略大。
函数与方程思想是最重要的一种数学思想，高考中所占比重比较大，综合知识多、题型多、应用技巧多。
在高中新课标数学中，还安排了函数与方程这一节内容，可见其重要所在。
近几年的高考试题，函数的主干知识、知识的综合应用以及函数与方程思想等数学思想方法的考查，一直是高考的重点内容之一。
【知识归纳】函数与方程（不等式）的思想贯穿于高中学习的各个内容，求值的问题就要涉及到方程，求取值范围的问题就离不开不等式，但方程、不等式更离不开函数，函数与方程（不等式）思想的运用使我们解决问题的重要手段。
函数与方程是两个不同的概念，但它们之间有着密切的联系，方程f(x)＝0的解就是函数y＝f(x)的图像与x轴的交点的横坐标，函数y＝f(x)也可以看作二元方程f(x)－y＝0通过方程进行研究。
就中学数学而言，函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：一是借助有关初等函数的性质，解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题：二是在问题的研究中，通过建立函数关系式或构造中间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质，达到化难为易，化繁为简的目的。
许多有关方程的问题可以用函数的方法解决，反之，许多函数问题也可以用方程的方法来解决。
函数与方程的思想是中学数学的基本思想，也是历年高考的重点。
2014高考数学高频题型全掌握 23.数学方法：数形结合思想(全国通用)
【精选三年经典试题（数学）】2014届高三全程必备《高频题型全掌握系列》21.数学方法：数形结合1.(2012·潍坊模拟)如图，为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针尖位置P (x ，y )．若初始位置为P 0⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，当秒针从P 0(注：此时t ＝0)正常开始走时，那么点P 的纵坐标y 与时间t 的函数关系为( ) A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π30t ＋π6 B ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π60t －π6 C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π30t ＋π6 D ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π30t －π3 选C 由题意可得，函数的初相位是π6，排除B 、D.又函数周期是60(秒)且秒针按顺时针旋转，即T ＝2π|ω|＝60，所以|ω|＝π30，即ω＝－π30.2.(2012·全国)正方形ABCD 的边长为1，点E 在边AB 上，点F 在边BC 上，AE ＝BF ＝37.动点P 从E 出发沿直线向F 运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角．当点P 第一次碰到E 时，P 与正方形的边碰撞的次数为( )．A ．16B ．14C ．12D ．10 解析 当E 、F 分别为AB 、BC 中点时，显然碰撞的结果为4，当E 、F 分别为AB 的三等分点时，可得结果为6(如图1所示)．可以猜想本题碰撞的结果应为2×7＝14(如图2所示)．故选B.答案 B3.(2012·西安质检)设a 是方程1x －log 2x ＝0的实数根，则有 ( )．A ．a <0B ．1<a <2C ．0<a <1D ．a >2解析 由题意可知，a 是函数y ＝1x与y ＝log 2x 交点的横坐标，作出图象即可得1<a <2.答案 B4.(2012·杭州高中月考)函数y ＝xa x|x |(0<a <1)的图象的大致形状是( )．解析 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ a x ，x >0，－a x ，x <0，又0<a <1，故选D.答案 D5.(2013·龙岩质检)若偶函数f (x )满足f (x －1)＝f (x ＋1)，且在x ∈[0,1]时，f (x )＝x 2，则关于x 的方程f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫110x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，103上根的个数是 ( )．A ．1B ．2C ．3D ．4 解析 由题意知f (x )是周期为2的偶函数，故当x ∈[－1,1]时，f (x )＝x 2，画出f (x )的图象，结合y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫110x 的图象可知，方程f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫110x 在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，103时有3个根，要注意在x ∈⎝⎛⎦⎥⎤3，103时方程无解．答案 C。
高中数学解题方法辅导-函数和方程的思想方法
函数和方程的思想方法【高考能力要求】函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题。
方程思想，是从问题的数量入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式或方程与不等式的混合组），然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题解决。
有时，还需要函数与方程的互相转化、接轨，达到解决问题的目的。
高考中有关函数思想的试题主要涉及四个方面 （1） 具体的原始意义上的函数问题 （2） 方程、不等式与函数的综合题 （3） 数列这一特殊的函数 （4） 利用辅助函数解体高考中有关方程的试题主要有三个方面（1） 列方程解应用题 （2） 求曲线的方程 （3） 方程与函数的综合在高考复习时，函数和方程之间往往是可以互相转化的。
函数的许多性质可以归纳为对方程的研究；而方程问题、不等式问题和某些代数问题也可以转化为与其相关的函数的问题，即用函数思想解答菲函数问题。
【例题精讲】【例1】若关于x 的方程0322=++k kx x 的两不同的根都在1-和3之间，求k 的取值范围。
分析：若令，k kx x x f 32)(2++= 其图像与x 的交点的横坐标就是方程0)(=x f 的解而根据要求更根必须都在1-和3之间，则可以先画出符合题意函数)(x f y =的草图，结合图像找关系。
解：若令，k kx x x f 32)(2++= 其图像与x 的交点的横坐标就是方程0)(=x f 的解 而根据要求更根必须都在1-和3之间，则画出符合题意函数)(x f y =的草图由)(x f y =的图像可知，要使两根都在1-和3之间则只需⇒⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-∈-=-<-=->>-)3,1(20)()2(0)3(0)1(k abk f a bf f f )0,1(-∈k说明：本题是二次方程的实数根问题，是高中阶段的重要问题之一。
主要考查了三个二次：二次函数、二次方程根及二次不等式之间的关系，结合对应的二次函数草图来得到满足二次方程根要求的二次不等式。
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【精选三年经典试题（数学）】2014届高三全程必备《高频题型全掌
握系列》21.数学方法：函数与方程思想
1．（2013.厦门联考）二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，a 为正整数，c ≥1，a ＋b ＋c ≥1，方程ax
2＋bx ＋c ＝0有两个小于1的不等正根，则a 的最小值是
( )．
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6 解析 由题意得f (0)＝c ≥1，f (1)＝a ＋b ＋c ≥1.当a 越大，y ＝f (x )的开口越小，当a 越小，y ＝f (x )的开口越大，而y ＝f (x )的开口最大时，y ＝f (x )过(0,1)，(1,1)，则c ＝1，a ＋b ＋c ＝1.a ＋b ＝
0，a ＝－b ，－b 2a ＝12
，又b 2－4ac >0，a (a －4)>0，a >4，由于a 为正整数，即a 的最小值为5. 答案 C
2．(2013·烟台月考)已知点P 是直线2x －y ＋3＝0上的一个动点，定点M (－1,2)，Q 是线段PM 延长线上的一点，且|PM |＝|MQ |，则Q 点的轨迹方程是( )．
A ．2x ＋y ＋1＝0
B ．2x －y －5＝0
C ．2x －y －1＝0
D ．2x －y ＋5＝0
解析 由题意知，M 为PQ 中点，设Q (x ，y )，则P 为(－2－x ，4－y )，代入2x －y ＋3＝0，得2x －y ＋5＝0.
答案 D
3．(2013·沈阳二模)在平行四边形ABCD 中，∠BAD ＝60°，AD ＝2AB ，若P 是平面ABCD 内一
点，且满足：xAB →＋yAD →＋PA →＝0(x ，y ∈R )．则当点P 在以A 为圆心，33
|BD →|为半径的圆上时，实数x ，y 应满足关系式为
( )． A ．4x 2＋y 2＋2xy ＝1
B ．4x 2＋y 2－2xy ＝1
C ．x 2＋4y 2－2xy ＝1
D ．x 2＋4y 2
＋2xy ＝1 解析 如图，以A 为原点建立平面直角坐标系，设AD ＝2.据题意，得
AB ＝1，∠ABD ＝90°，BD ＝ 3.∴B 、D 的坐标分别为(1,0)、(1，3)，
∴AB →＝(1,0)，AD →＝(1，3)．设点P 的坐标为(m ，n )，即AP →＝(m ，
n )，则由xAB →＋yAD →＋PA →＝0，得：AP →＝xAB →＋yAD →，∴⎩⎨⎧ m ＝x ＋y ，n ＝3y .
据题意，m 2＋n 2＝1，∴x 2＋4y 2＋2xy ＝1.
答案 D
4．(2012·北京)已知f (x )＝m (x －2m )(x ＋m ＋3)，g (x )＝2x
－2.若同时满足条件： ①∀x ∈R ，f (x )<0或g (x )<0；
②∃x ∈(－∞，－4)，f (x )g (x )<0，
则m 的取值范围是________．
解析 当x <1时，g (x )<0，当x >1时，g (x )>0，当x ＝1时，g (x )＝0，m ＝0不符合要求；当m >0时，根据函数f (x )和函
数g (x )的单调性，一定存在区间[a ，＋∞)使f (x )≥0且g (x )
≥0，故m >0时不符合第①条的要求；当m <0时，如图所示，
如果符合①的要求，则函数f (x )的两个零点都得小于1，如
果符合第②条要求，则函数f (x )至少有一个零点小于－4，
问题等价于函数f (x )有两个不相等的零点，其中较大的零点
小于1，较小的零点小于－4，函数f (x )的两个零点是2m ，－(m ＋3)，故m 满足⎩⎪⎨⎪⎧ m <0，2m <－m ＋3，2m <－4，－m ＋3<1或⎩⎪⎨⎪⎧ m <0，－m ＋3<2m ，2m <1，－m ＋3<－4，解第一个不等式组得－4<m <－2，第
二个不等式组无解，故所求m 的取值范围是(－4，－2)．
答案 (－4，－2)。