2006年上海交通大学自主招生保送生测试数学试卷
2006年上海普通高等学校招生考试数学模拟试卷
2006年上海市普通高等学校招生考试数学模拟试卷（三）一、填空题（本大题满分48分，每小题4分，共12小题） 1．复数i215+的共轭复数是_____________. 2．不等式0))((≥---cx b x a x 的解集是),3(]2,1[∞+- ，则不等式0))((≤---b x a x cx 的解集为 .3．已知O 是坐标原点，经过)2,3(P 且与OP 垂直的直线方程是________________. 4．关于x 的方程)(01)2(2R m mi x i x ∈=+++-有一实根为n ，则=+nim 1. 5．函数x x y 24cos sin +=的最小正周期为_________. 6．若正整数m 满足m m 102105121<<-，则m = . 7．已知函数)(1x fy -=的图象过)0,1(，则)121(-=x f y 的反函数的图象一定过点 .8．若规定⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛222d c b d c c a d b b a c b a d c b a d c b a d c b a ，计算：=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-20123____________.9．四位同学参加某种形式的竞赛，竞赛规则规定：每位同学必须从甲．乙两道题中任选一题作答，选甲题答对得100分，答错得－100分；选乙题答对得90分，答错得－90分.若四位同学的总分为0，则这4位同学不同得分情况的种数是 .10．2004年元月9日，第十届全国运动会筹备委员会正式成立，由二名主任和6名副主任组成主席团成员．若章程规定：表决一项决议必须在二名主任都同意，且副主任同意的人数超过半数才能通过．一次主席团全体成员表决一项决议，结果有6人同意，则决议通过的概率是 （结果用分数表示）11．若B A ,分别是椭圆)0(11222>=++a y a x 与y x ,正半轴的交点，F 是右焦点，且AFB ∆ 的面积为41，则实数=a .12．某纺织厂的一个车间有()N n n n ∈>,7台织布机，编号分别为1，2，3，…，n ；该车间有技术工人n 名，编号分别为1，2，3，…，n 。
2006年全国普通高等学校招生统一考试(上海卷)数学(文史类)
考试结束前★机密2006年全国普通高等学校招生统一考试（上海卷）数学（文史类）考生注意：1．答卷前，考生务必将姓名、高考准考证号、校验码等填写清楚。
2．本试卷共有22道试题，满分 150分，考试时间 120分钟。
请考生用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上。
一、填空题（本大题满分 48 分）本大题共有 12 题。
只要求直接填写结果，每个空格填对得 4 分，否则一律得零分。
1．已知集合{}1,3,A m =-, 集合{}3,4B =,若A B ⊆.则实数m =______. 2．已知两条直线12:330.:4610.l ax y l x y +-=+-=若12//l l ,则a =______. 3．若函数()(0.1)x f x a a a =>≠且的反函数的图像过点（2，－1），则 a=______.4．计算： 23(1)lim61n n n n →∞+=+______. 5．若复数(2)(1)z m m i =-++为纯虚数（i 为虚数单位），其中m R ∈，则z = ______. 6．函数sin cos y x x =的最小正周期是______.7．已知双曲线的中心原点，一个顶点的坐标是（3，0），且焦距与虚轴长之比为 5：4则双曲线的标准方程是______.8．方程233log (10)1log x x -=+的解是______.9．已知实数,x y 满足3025000x y x y x y +-≥⎧⎪+-≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩.则y -2x 的最大值是 .10．在一个小组中有 8名女同学和 4名男同学，从中任意地挑选 2名同学担任交通安全宣 传志愿者，那么选到的两名都是女同学的概率是______（结果用分数表示）。
11．若曲线21xy =+与直线y b =没有公共点，则 b 的取值范围是______.12．如图，平面中两条直线1l 和2l 相交于点 O ，对于平面上任意一点 M ，若 p 、q 分别是M 到直线1l 和2l 的距离，则称有序非负实数对 （p 、q ）是点 M 的“距离坐标”。
数学练习题交通大学2000-2008年保送生数学试题
交通大学2000年保送生数学试题一、选择题(本题共15分，每小题3分．在每小题给出的4个选项中，只有一项正确，把所选项的字母填在括号内)1．若今天是星期二，则31998天之后是 ( ) A ．星期四 B ．星期三 C ．星期二 D ．星期一2．用13个字母A ，A ，A ，C ，E ，H ，I ，I ，M ，M ，N ，T ，T 作拼字游戏，若字母的各种排列是随机的，恰好组成“MA THEMA TICIAN”一词的概率是 ( )A ．4813!B ．21613!C ．172813!D ．813!3．方程cos 2x -sin 2x +sin x ＝m +1有实数解，则实数m 的取值范围是( )A ．18m ≤B ．m >-3C ．m >-1D ．138m -≤≤4．若一项数为偶数2m 的等比数列的中间两项正好是方程x 2+px +q ＝0的两个根，则此数列各项的积是 ( ) A ．p m B ．p 2m C ．q m D ．q 2m 5．设f ’(x 0)＝2，则000()()limh f x h f x h h→+--( )A ．-2B ．2C ．-4D ．4二、填空题（本题共24分，每小题3分）1．设f (x )1，则1(2)f x dx =⎰__________．2．设(0,)2x π∈，则函数(222211sin )(cos )sin cos x x x x++的最小值是__________． 3．方程316281536xxx⋅+⋅=⋅的解x ＝__________．4．向量2a i j =+在向量34b i j =+上的投影()b a =__________．5．函数2y x =+的单调增加区间是__________．6．两个等差数列200，203，206，…和50，54，58…都有100项，它们共同的项的个数是__________． 7．方程7x 2-(k +13)x +k 2-k -2＝0的两根分别在区间(0,1)和(1,2)内，则k 的取值范围是__________．8．将3个相同的球放到4个盒子中，假设每个盒子能容纳的球数不限，而且各种不同的放法的出现是等可能的，则事件“有3个盒子各放一个球”的概率是________． 三、证明与计算（本题61分）1．(6分)已知正数列a 1，a 2，…，a n ，且对大于1的n 有1232n a a a n +++=，1212n n a a a +=． 试证：a 1，a 2，…，a n 中至少有一个小于1．2．(10分)设3次多项式f (x )满足：f (x +2)＝-f (-x )，f (0)＝1，f (3)＝4，试求f (x )．3．(8分)求极限112lim (0)p p pp n n p n+→∞+++>．4．(10分)设2,0(),0x bx c x f x lx m x ⎧++>=⎨+≤⎩在x ＝0处可导，且原点到f (x )中直线的距离为13，原点到f (x )中曲线部分的最短距离为3，试求b ，c ，l ，m 的值．(b ,c >0)5．(8分)证明不等式：341sin cos 2x x ≤+≤，[0,]2x π∈．6．(8分)两名射手轮流向同一目标射击，射手甲和射手乙命中目标的概率都是12．若射手甲先射，谁先命中目标谁就获胜，试求甲、乙两射手获胜的概率．7．(11分)如图所示，设曲线1y x=上的点与x 轴上的点顺次构成等腰直角三角形△OB 1A 1，△A 1B 2A 2，…，直角顶点在曲线1y x=上．试求A n 的坐标表达式，并说明这些三角形的面积之和是否存在．OyxB 1A 2A 1B 22000年交大联读班试题1. 直线y ax b =+关于y x =-的对称直线为_______________。
上海交通大学2002-2010年保送生考试数学试题
一、填空题（每小题 5 分，共 50 分）
1．方程 x2
−
px −
1 2 p2
= 0 的两根 x1, x2 满
2 ，则 p=_________（p∈R）．
2． sin8 x + cos8 x = 41 , x ∈ (0, π ) ，则 x=________________．
128
3，14 台，现在为使各小学的电脑数相等，各向相邻小学移交若干台，且要使移交的电 脑的总台数最小，因此，从第一小学向第二小学移交了________台，从第二小学向第三 小学移交了______台，从第五小学向第一小学移交了________台，移动总数是_________ 台． 二、计算与证明题（本题共 86 分） 17．（本题 12 分）（1）设 n 为大于 2 的整数，试用数学归纳法证明下列不等式：
任意正整数 n 都有 an = r [ n + s ] + t 恒成立（[x]表示不超过 x 的最大整数）．
60
又
3
2 3
3
=9
3
>8
=2
= 3log32 , 所以 b
>
c , a > b > c. 所以输出的数为 a.
例 6 (2001 年上海市高考题) 对任意函
数 f ( x ) , x ∈D 可按图所示构造一个数列发
3．f(x)=ax4+x3+(5−8a)x2+6x−9a，证明：（1）总有 f(x)=0；（2）总有 f(x)≠0．
4．
f1
(x)
=
1− x x +1
，对于一切自然数
n，都有
f n+1 (x) =
历年自主招生考试数学试题大全2018年上海交通大学自主招生数学试题Word版
2018年上海交通大学自主招生考试数学试题一、填空题（每题5分，共50分）1．已知方程2212x px p--=0（p R ∈）的两根12,x x 满足441222x x +≤，则p= ． 2．设8841sin cos ,0,1282x x x π⎛⎫+=∈ ⎪⎝⎭，则x = ． 3．已知,n Z ∈且1200411112004n n +⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则n= ．4．如图，将3个12cm×12cm 的正方形沿邻边的中点剪开，分成两部分，将这6部分接在一个边长为2的正六边形上，若拼接后的图形是一个多面体的表面展开图．则该多面体的体积为 ． 第4题图523333,,,x y x y Q -=∈则（x ，y ）= ．6．化简：()()122222246812n n +-+-++-= ． 7．若3z ＝1，且z ∈C ，则3z ＋22z ＋2z +20= ．8．一只蚂蚁沿l×2×3立方体表面爬，从一条对角线一端爬到另一端所爬过的最短距离为 ．9．4封不同的信放人4个写好地址的信封中，全装错的概率为 ，恰好只有一封信装错的率为 ．10．已知等差数列｛a n ｝中，a 3＋a 7+a 11+a 19=44，则a 5+a 9+a 16＝ ．二、解答题（本大题共50分）1．已知方程x 3+ax 2+b x ＋c ＝0的三根分别为a 、b 、c ，且a 、b 、c 是不全为零的有理数，求a 、b 、c 的值．2．是否存在三边为连续自然数的三角形，使得（l ）最大角是最小角的两倍？（2）最大角是最小角的三倍？若存在，分别求出该三角形；若不存在，请说明理由． 3．已知函数y =2281ax x b x +++的最大值为9，最小值为1．求实数a 、b 的值。
4．已知月利率为y ，采用等额还款方式，若本金为1万元，试推导每月等额还款金额m 关于y 的函数关系式（假设贷款时间为2年）．5．对于数列{}n a :1，3，3，3，5，5，5，5，5，⋯， 即正奇数k 有k 个·是否存在整数r ，s ，t ，使得对于任意正整数n ， 都有n a r t =+恒成立（[x ]表示不超过x 的最大整数）?。
2006年全国普通高等学校招生统一考试数学理试卷参考答案答案(上海卷)
2006年全国普通高等学校招生统一考试 上海数学试卷（理工农医类）答案要点及评分标准说明1． 本解答列出试题的一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分标准的精神进行评分．2． 评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅，当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分．解答 一、（第1题至第12题）1．1 2．23．12 4．165．1i -+ 6．57．221164x y += 8．5 9．13510．36 11．011k b =-<<，12．10a ≤ 二、（第13题至第16题）三、（第17题至第22题）17．解：ππ2cos cos 244y x x x ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭cos22x x = ·························································································· 6分 π2sin 26x ⎛⎫=+⎪⎝⎭． ····························································································· 8分∴函数ππ2cos cos 244y x x x ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值域是[]22-，，最小正周期是π． ·········· 12分 18．解：连接BC ，由余弦定理得222201022010cos120700BC =+-⨯⨯⨯=，于是，BC = ····································································································· 4分s i n 12020ACB ∠=sin ACB ∴∠=， ························································ 8分 90ACB ∠<，41ACB ∴∠≈， ············································································ 10分 所以，乙船应朝北偏东71方向沿直线前往B 处救援． ············································ 12分 19．解：（1）在四棱锥P ABCD -中，由PO ⊥平面ABCD ，得PBO ∠是PB 与平面ABCD 所成角，60PBO ∠=． ··············································· 2分在Rt AOB △中，sin301BO AB ==，又PO BO ⊥，于是，tan 60PO BO ==ABCD S =∴四棱锥P ABCD -的体积123P ABCD V -=⨯=． ··············································· 6分 （2）解法一：以O 为坐标原点，射线OB OC OP ，，分别为x 轴，y 轴，z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系． ··········································································································· 7分 在Rt AOB △中，OA =于是，点AB D P ，，，的坐标分别是(0(100)(100)(00A B D P -，，，，，，．E 是PB 的中点，则点E 的坐标是1022⎛ ⎝⎭，，，于是，30(02DE AP ⎛== ⎝⎭，，． ····································································· 11分设DE 与AP的夹角为θ，有3cos 4θ==，arccos 4θ= ∴异面直线DE 与PA所成角的大小是． ························································ 14分A解法二：取AB 的中点F ，连接EF DF ，．由E 是PB 的中点，得EF PA ∥，∴FED ∠是异面直线DE 与PA 所成角（或它的补角）． ··································· 8分 在Rt AOB △中，cos30OA AB OP ===，于是，在等腰直角POA △中，PA =2EF =． 而在正ABD △和正PBD △中，DE DF == ························································ 11分12cos EFFED DE ∠===，∴异面直线DE 与PA所成角的大小是arccos4． ························································ 14分 20．证明：（1）设过点(30)T ，的直线l 交抛物线22y x =于点1122()()A x y B x y ，，，． 当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为3x =，此时，直线l与抛物线相交于点(3(3A B ，，3OA OB ∴=． ···························································· 1分 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为(3)y k x =-，其中0k ≠．由22(3)y x y k x ⎧=⎨=-⎩，，得2260ky y k --=，则126y y =-． ····················································· 3分又221221122x y x y == 1，， 2121212121()34OA OB x x y y y y y y ∴=+=+= ．综上所述，命题“如果直线l 过点(30)T ，，那么3OA OB =”是真命题． ······················ 6分解：（2）逆命题是：设直线l 交抛物线22y x =于A B ，两点，如果3OAOB =·，那么该直线过点(30)T ，．该命题是一个假命题． ··············································································· 8分CBFAPEDO例如：取抛物线上的点1(22)12A B ⎛⎫⎪⎝⎭，，，，此时3OAOB = ·， ········································ 11分 直线AB 的方程是2(1)3y x =+，而(30)T ，不在直线AB 上． ········································· 14分 说明：由抛物线22y x =上的点1122()()A x y B x y ，，，满足3OA OB = ·，可得126y y =-或122y y =．如果126y y =-，可证得直线AB 过点(30)，；如果122y y =，可证得直线AB 过点(10)-，，而不过点(30)，． 21．证明：（1）当1n =时，22a a =，则21a a a =； ··························································· 1分 当221n k -≤≤时，1(1)2n n a a S +=-+，1(1)2n n a a S -=-+，1(1)n n n a a a a +-=-，1n na a a +∴=． ∴数列{}n a 是等比数列． ······································································································ 4分 解：（2）由（1）得12n n a a -=， (1)(1)12(1)21212222n n n n n nn nk n a a a aa--++++--∴===……， ·················································· 8分1(1)11(122)2121n n n n b n n k n k k --⎡⎤=+=+=⎢⎥--⎣⎦ ，，， ． ······················································ 10分 （3）设32n b ≤，解得12n k +≤，又n 是正整数，于是当n k ≤时，32n b <； 当1n k +≥时，32n b >． ··································································································· 12分原式12123333322222k k k b b b b b +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-+-++-⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭……121()()k k k b b b b +=++-++……211(21)(01)22212121k k k k k k k k k k k ⎡⎤⎡⎤+-+-⎢⎥⎢⎥=+-+=⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦． ··············································· 14分由2421k k -≤，得2840k k -+≤，44k -+≤，又2k ≥，∴当234567k =，，，，，时，原不等式成立． ··········································································· 16分 22．解：（1）函数2(0)by x x x=+>的最小值是6=， 2log 9b ∴=． ························································································································ 3分 （2）设120x x <<，222221212122222112()1c c c y y x x x x x x x x ⎛⎫-=+--=-- ⎪⎝⎭·． ··················· 5分12x x <时，21y y >，函数22c y x x =+在)+∞上是增函数；当120x x <<21y y <，函数22c y x x=+在(0上是减函数．又22c y x x=+是偶函数，于是，该函数在(--，∞上是减函数，在)⎡⎣上是增函数．（3）可以把函数推广为nn ay x x=+（常数0a >），其中n 是正整数． 当n 是奇数时，函数nn a y x x=+在(0上是减函数，在)⎡+⎣∞上是增函数；在(--，∞上是增函数，在)⎡-⎣上是减函数．当n 是偶数时，函数nn a y x x =+在(上是减函数，在)⎡+⎣∞上是增函数；在(--，∞上是减函数，在)⎡-⎣上是增函数． ······················································ 12分2211()nnF x x x x x ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0212323223231111n n r n rn nn n n n n n n r n C x C x C x C x x x x x ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++++++ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭……， 因此，()F x 在112⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是减函数，在[]12，上是增函数． ················································· 16分 所以，当12x =或2x =时，()F x 取得最大值9924n n⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；当1x =时，()F x 取得最小值12n +． ······································································ 18分。
上海交通大学《高等数学》2006-2007学年期末试卷
1上海交通大学《高等数学》2006-2007 学年期末考试及答案一、 单项选择题 （每小题3分， 共 15分） 1. 设 xoy 平面上区域D ={(x , y )| x 2+y2≤1, y ≥ x }， D 1 是D 在第一象限的部分， 则∫∫(xy 3 +sin 2 x sin y )dxdy 等于 （ ）D（A ） 2 ∫∫ sin 2 x sin ydxdy ； D （C ） 4 ∫∫ (xy 3 + sin 2 x sin y )dxdy ；D 解 ∫∫(xy 3 + sin 2 x sin y )dxdyD= ∫∫ xy 3dxdy + ∫∫ sin 2x s in y dxdyD D= 2 ∫∫ sin 2x sin ydxdyD 答案： A（B ） 2 ∫∫ xy 3dxdy ；D （D ） 0 .2. 设 Ω ={(x , y , z ) | x 2+ y 2+ z2≤ 1}， 则三重积分∫∫∫e xdv = （ ）Ω（A ） ； （B ） π； （C ）； （D ） 2π .解 1 e xdv >dv = π， 排除答案 A 、 B ； 猜： C 或 De |x | : 1 → 2.718， 3π/ 4π = 1.125， 2π/ 4π= 1.52 3 3答案： D解 2 ∫∫∫ e xdv = ∫1 dx ∫∫ e xdydzΩ y 2 +z 2 ≤1−x 2= ∫1πe x (1 − x 2 )dx = 2π∫01e x (1 − x 2 )dx= −2π+4π∫01xe x dx= −2π+4πe − 4π(e − 1) = 2π答案： D解 3 ∫∫∫e xdv = ∫∫∫e zdv = ∫02πd θ∫0ππππd ϕ∫01eρcos ϕρ2sin ϕd ρΩ Ω= 2π∫0ππππd ϕ∫01eρcos ϕρ2sin ϕd ρD 1111π= 2π∫1d ρ[∫02 e ρcos ϕρ2 sin ϕd ϕ+∫ππππππππe −ρcos ϕρ2sin ϕd ϕ] 2= 2π∫01d ρ[ −ρe ρcos ϕ02 +ρe −ρcos ϕ|ϕϕ=ππππππππ] 2= 4π∫01ρ(e ρ − 1)d ρ= 2π答案： D3. 设 F = y i + zj + x k ,则 rot F = （ ）（A ）i + j + k ； （B ）−( i + j + k )； （C ）i − j + k ； （D ）−i + j − k .解 rot F = ∂ ∂ ∂( −1, −1, −1)答案： B4. 幂级数x n 在收敛域[ −1,1) 上的和函数s (x ) = （ ）（A ）ln(1 − x )； （B ）− ln(1 − x )； （C ）− ； （D ）−x ln(1 − x ) .解x n = xx n −1 = x ∫0x(x n −2 )dx= x ∫0x()dx = −x ln(1 − x )答案： D1,π 0 ≤ x <2≤ x ≤π展开成正弦级数， 其和函数s (x ) =b n sin nx ， 则s (−) =（A ） −1； （B ） −2；（C ） 1；（ ）（D ） 2 .解 s (− 9π) = s (−π) = −s (π) = − 1 + 3= −22 2 2 2 答案： B二、 填空题 （每小题3分， 共 15分） 6. 设 u = z +,则div (grad u ) = .∂x ∂y ∂zϕ=π5. 设函数f (x ) = 45 − x , π解 div (grad u ) = div (x , y,1)x 2 + y 2 x 2 + y 2x 2 + y 2 − x ⋅ x x 2 + y 2 − y ⋅y= ( x 2 + y 2 ) + ( x 2 + y 2 ) + 0y 2 + x 2 1= =7. 设 f (x ) 是连续函数，F (t ) = ∫∫∫ f (x 2 + y 2 + z 2 )dv ，F ′(t ) = .x 2 +y 2 +z 2 ≤t 2解 F (t ) = 2π⋅ 2 ⋅ ∫0tf (ρ2 )ρ2d ρ， F ′(t ) = 4πt 2 f (t 2)8. 设 C 为曲线x = e t cos t , y = e t sin t , z = e t 上对应于t 从0 变到2 的这段弧， 则曲线积分ds = .解 该积分 = ∫02dt= ∫02dt =(1 − e −2)9. 全微分方程(x +y − 1)dx +(e y +x )dy = 0 的通解为 .解 1 (x + y − 1)dx + (e y + x )dy = 0⇒ (x − 1)dx +(ydx +xdy )+e y dy = 0⇒ d () +d (xy )+d (e y ) = 0⇒ 通解：+xy +e y = C解 2 u = ∫(x + y − 1)dx + (e y + x )dy= ∫0x(x − 1)dx + ∫0y(e y+x )dy=+ xy +e y − 1⇒ 通解：+xy +e y − 1 = Cx 2 + y 2 x 2 + y 2(x 2 + y 2 ) x 2 + y 2 x 2 + y 210. 级数 的敛散性为 .解 un +1 == n + 1 = 1， 收敛u n n ! (2n + 1)(2n + 2) 2(2n )!三、计算下列各题 （第 1小题6分， 第2 小题8分, 共 14分） 11. 设 z 是方程x +y − z = e z所确定的x , y 的隐函数， 求∂2z解 ∂z = − 1 = 1 ∂z = − 1 =1 ∂x −1 − e z 1 + e z，∂y −1 − e z 1 +e z= () y = −= − = −12. 计算曲面z = y 2 − x 2 夹在圆柱面x 2 +y 2 = 1 和x 2 +y 2 = 9 之间部分 的面积.解 1 +2+ 2=， 则所求面积I = ∫∫dxdy1≤x 2 +y 2 ≤9 = ∫02πd θ∫13rdr= 2π⋅ (1 + 4r 2 ) |13 = (37 − 5)四、计算下列各题 （每小题 10分， 共30分）13. 计算曲线积分(x +e sin y )dy − (y − )dx ， 其中C 是位于第一象限中的直线x +y = 1 与位于第二象限中的圆弧x 2 +y 2 = 1 构成的曲线， 方向从A (1, 0) 经过B (0,1)， 再到C (−1, 0) .解 L ： y = 0， 方向从(−1, 0) 到(1, 0)， 并记C + L 所围区域为D ， 则所求曲线积分I = −∫C +L L= 2dxdy − ∫−1 2dx∂x ∂y .1 1π π2 214. 试求参数λ， 使当曲线C 落在区域D ={(x , y )| y > 0}时， 曲线积分(x 2 +y 2 )λdx −(x 2 +y 2 )λdy 与路径无关， 并求u (x , y ) = ∫(x 2 + y 2 )λdx −(x 2 + y 2 )λdy .解 记P =(x 2 + y 2)λ， Q = −(x 2 + y 2)λ， 则∂P2λxy 2 (x 2 + y 2)λ−1− x (x 2 + y 2)λ=∂Q 2x (x 2 + y2)λ+ 2λx 3 (x 2 + y 2)λ−1= −= ⇒ 2λxy 2 + x (x 2 + y 2 ) + 2λx 3 = 0⇒λ= −解 1 = ⇒ u =+ϕ(y )= −及 u (0,1) = 0 ⇒ u =− 1解 2 u (x , y ) = ∫dx −dy= ∫1y0dy + ∫0xdxx 2 + y 2y15. 求 ∫∫2xzdydz + yzdzdx − z 2dxdy ， 其中Σ 为Σz = 与 z = 所围立体表面的外侧.解 记Σ 所围立体为Ω， 则∫∫ 2xzdydz + yzdzdx − z 2dxdy = ∫∫∫ zdxdydzΣ Ω∂x y 2∂P ∂Q∂y ∂x ∂y y 2= − 1= + 1 − 1 == zdz dxdy +∫ 22 2zdz dxdyx 2 +y 2 ≤z 2 x 2 +y 2 ≤8 −z 2= ∫02z ⋅πz 2dz + 2z ⋅π(8 − z 2 )dz = 8π 五、（本题 10 分） 16. 将函数f (x ) =展开为x − 1 的幂级数.解 f (x ) =4x − 3 = 2 +12 1 1= ⋅ −3 1 +1 − (x − 1)= −n(x − 1)n −(x − 1)n=( −1)nn +1− 1 (x − 1)n， 0 < x < 2六、（本题8 分） 17. 设 f (x ) =(x − 1)n ， 求f (n ) (1) .解 f (x ) = (x − 1)nf (k ) (1) =， (k = 0,1, 2, )f (n ) (1) == e −1七、（本题8 分）18. 设 f (x ) 在(−1,1) 内具有三阶连续导数， 且f ′′′(0) ≠ 0， 证明： 级数∞ 1 1绝对收敛.(2x +1)(x − 2) 2x +1 x − 22 1 2(x − 1) +3 (x − 1) − 1 = + 证明 lim x →∑ {n [f ( ) − f ( − )] − 2f ′(0)}n =1 n n( )( ) = lim = > 0→ lim n f n 1 − f − n 1− 2f ' 0= f ''' 0 > 0f (x ) − f ( −x ) − 2xf '(0) f ′(x ) + f ′( −x ) − 2f '(0) f ′′(x ) − f ′′( −x ) ( ) ( )x →0 6 3( ) n →∞ 1 32故由级数收敛， 可知级数∞ 1 1n lim 3 x →0 xlim 2 ∑ {n [f ( ) − f ( − )] − 2f ′(0)}n =1 n n绝对收敛.x →0 3x limx →0 6x ===f ′′′ x + f ′′′ −x f ''' 0。
上海交通大学2002-2010年保送生考试数学试题
y
20．（本题 14 分）设数列{an}满足关系 an+1 = 2an2 −1 (n = 1, 2,L) ，若 N 满足
aN = 1(N = 2, 3,L) ， 试证明：(1) | a1 |≤ 1；
(2)
a1
=
cos
kπ 2N −2
（k 为整数）
21．（本题 16 分）设 f (x) =| lg x |, a,b 为实数，且
10．若 a,b 满足关系： a 1− b2 + b 1− a2 = 1 ，则 a2+b2=____________． 11． (x2 +1− 1 )9 的展开式中 x9 的系数是_____________．
2x
12．当1 ≤ a < 2 时，方程 a2 − x2 = 2 − | x | 的相异实根个数共有_____________个．
7．
(1 −
1 22
)(1 −
1 32
)L(1
−
1 n2
)
的值为_____________．
8．函数
y
=
sec2 sec2
x x
− +
tgx tgx
的值域为______________．
9．若圆内接四边形 ABCD 的边长 AB=4，BC=8，CD=9，DA=7，则 cosA=__________．
上海交通大学 2002 年保送生考试数学试题
一、填空题（本题共 64 分，每小题 4 分）
1．设方程 x3=1 的一个虚数根为ω, 则ω 2n + ω n +1 (n 是正整数)=__________．
2．设 a,b 是整数，直线 y=ax+b 和 3 条抛物线：y=x2+3,y=x2+6x+7 与 y=x2+4x+5 的交点个数 分别是 2，1，0，则(a,b)=___________．
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2006年上海交通大学冬令营选拔测试
数学试题
说明：考试时间2小时，考生根据自己情况选题作答，综合优秀或单科突出给予A的认定。
满分l00分。
一、填空题(每题5分．共50分)
1．矩形中，，，过作相距为的平
行线，则．
2．一个正实数与它的整数部分，小数部分成等比数列，那么这个
正实数是．
3．的末尾有连续个零．
4．展开式中，项的系数为．
5．在地面距离塔基分别为100、200、300的处测得塔顶的仰角分别为，且，则塔高为．
6．三人玩剪子、石头、布的游戏，在一次游戏中，三人不分输赢的概率为；在一次游戏巾，甲获胜的概率为．
7．函数在上单调递增，则实数的取值范围
是.
8．是的非实数根，．
9．2张100元，3张50元，4张10元人民币，共可组成种不同的面值．
10.已知，则数列()前l00项和为.
二、解答题(第11题8分，第12、13、14题每题10分，第15题12分)
11.,,有两个相等根，
求证：成等差数列
12．椭圆，一顶点，是否存在这样的以为直角顶点的内接于椭圆的等腰直角三角形，若存在，求出共有几个．若不存在，请说明理由．
13．已知，是实数，是复数，求的最大值．
14．若函数形式为，其中为关于的多项式，
为关于的多项式，则称为类函数，判断下列函数是否是类函数，并说明理由．
(1)；
(2)．
15．设，解方程．。