人教新版高中数学必修一《指数函数》习题
人教版数学高一必修一同步训练 指数函数(一)
3.1.2 指数函数(一)一、基础过关1．下列以x 为自变量的函数中，是指数函数的是 ( )A ．y ＝(－4)xB ．y ＝πxC ．y ＝－4xD ．y ＝a x ＋2(a >0且a ≠1)2．函数f (x )＝(a 2－3a ＋3)a x 是指数函数，则有( )A ．a ＝1或a ＝2B ．a ＝1C ．a ＝2D ．a >0且a ≠1 3．函数y ＝21x 的值域是( )A ．(0，＋∞)B ．(0,1)C ．(0,1)∪(1，＋∞)D ．(1，＋∞)4．如果某林区森林木材蓄积量每年平均比上一年增长11.3%，经过x 年可以增长到原来的y 倍，则函数y ＝f (x )的图象大致为( )5．函数f (x )＝a x 的图象经过点(2,4)，则f (－3)的值为____________． 6．函数y ＝8－23－x (x ≥0)的值域是________． 7．比较下列各组数中两个值的大小： (1)0.2－1.5和0.2－1.7；(2)(14)13和(14)23； (3)2－1.5和30.2.8．判断下列函数在(－∞，＋∞)内是增函数，还是减函数．(1)y ＝4x ；(2)y ＝⎝⎛⎭⎫14x ；(3)y ＝2x3. 二、能力提升9．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ， x <0，g (x )， x >0. 若f (x )是奇函数，则g (2)的值是( )A ．－14B ．－4C.14 D ．4 10．函数y ＝a |x |(a >1)的图象是( )11．若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x(x >1)，(4－a2)x ＋2 (x ≤1)，是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围为 ________．12．求函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x 2－2x ＋2(0≤x ≤3)的值域． 三、探究与拓展13．当a ＞1时，判断函数y ＝a x ＋1a x －1是奇函数．答案1．B 2.C 3.C 4.D 5.186．4,8)12．解 令t ＝x 2－2x ＋2，则y ＝⎝⎛⎭⎫12t， 又t ＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1， ∵0≤x ≤3，∴当x ＝1时，t min ＝1； 当x ＝3时，t max ＝5. 故1≤t ≤5， ∴⎝⎛⎭⎫125≤y ≤⎝⎛⎭⎫121， 故所求函数的值域为⎣⎡⎦⎤132，12.13．证明 由a x －1≠0，得x ≠0，故函数定义域为{x |x ≠0}，易判断其定义域关于原点对称． 又f (－x )＝a －x ＋1a －x －1＝(a －x ＋1)a x (a －x －1)a x ＝1＋a x 1－a x ＝－f (x )，∴f (－x )＝－f (x )，∴函数y ＝a x ＋1a x －1是奇函数．。
4.2指数函数(一)—基础练习-【新教材】人教A版(2019)高中数学必修第一册同步练习
2) 若空气中一氧化碳浓度不高于 0.5 ppm 为正常，问至少排气多少分钟，这个地下车库中的一氧化碳含量才能 达到正常状态？
19．已知函数 f (x) bax (a ， b 为常数且 a 0 ， a 1) 的图象经过点 A(1,8) ， B(3,32) （1）试求 a ， b 的值；
4.2 指数函数（一）
一、单选题
1．若函数 f (x) (1 a 3)ax 是指数函数，则 f (1) 的值为 (
)
2
2
A．2
B． 2 2
C． 2 2
D． 2
2．函数 f (x) 1 2x 1 的定义域为 (
)
x3
A． (3 ， 0]
B． (3 ，1]
C． ( ， 3) (3 ， 0]
D． ( ， 3) (3 ，1]
14．函数 f (x) 3x 5 的值域是 ．
15．已知
y
f (x) 是定义在 R
上的奇函数，且当 x 0 时，
f (x)
1 4x
1 2x
，则当 x 0 时，
f
(x)
f (x) 的值域为 ．
；函数
16．已知函数
f
x
a x ，x 1
2 3a x 1,x
1
（1）若函数 f (x) 在 ( ，1] 上为减函数，则实数 a 的取值范围是 ；
A．10 天
B．15 天
C．19 天
6．已知
a
1.50.2
，
b
1.30.01
，
c
(
2
1
)3
，则
(
)
3
A． b c a
B． a b c
人教版数学高一-(新课标人教版A)数学必修一 2-1-2-2指数函数同步练习
双基达标 (限时20分钟)1．若指数函数f (x )＝(a ＋1)x 是R 上的减函数，那么a 的取值范围为( )．A ．a <2B ．a >2C ．－1<a <0D ．0<a <1解析 由f (x )＝(a ＋1)x 是R 上的减函数可得，0<a ＋1<1，∴－1<a <0.答案 C2．函数y ＝a x －(b ＋1)(a >0且a ≠1)的图象在第一、三、四象限，则必有()． A ．0<a <1， b >0 B ．0<a <1，b <0C ． a >1，b <1D ．a >1，b >0解析 画出草图如下图：结合图形，可得a >1且b ＋1>1，∴a >1，b >0.答案 D3．函数y ＝⎝⎛⎭⎫121－x 的单调递增区间为( )．A ．(－∞，＋∞)B ．(0，＋∞)C ．(1，＋∞)D ．(0,1)解析 y ＝⎝⎛⎭⎫121－x ＝12×2x ，∴在(－∞，＋∞)上为增函数．答案 A4．a ＝0.80.7， b ＝0.80.9，c ＝1.20.8，则a ，b ，c 的大小关系是________．解析 y ＝0. 8x 为减函数，∴0.80.7>0.80.9，且0.80.7<1，而1.20.8>1，∴1.20.8>0.80.7>0.80.9.答案 c >a >b5．设23－2x <0.53x －4，则x 的取值范围是________．解析 ∵0.53x －4＝⎝⎛⎭⎫123x －4＝24－3x ，∴由23－2x <24－3x ，得3－2x <4－3x ，∴x <1.答案 (－∞，1)6．(1)已知3x ≥30.5，求实数x 的取值范围；(2)已知0.2x <25，求实数x 的取值范围．解 (1)因为3>1，所以指数函数f (x )＝3x 在R 上是增函数．由3x ≥30.5，可得x ≥0.5，即x 的取值范围为[0.5，＋∞)．(2)因为0<0.2<1，所以指数函数f (x )＝0.2x 在R 上是减函数．因为25＝⎝⎛⎭⎫15－2＝0.2－2，所以0.2x <0.2－2. 由此可得x >－2，即x 的取值范围为(－2，＋∞)．综合提高 (限时25分钟)7．已知a ＝30.2， b ＝0.2－3，c ＝(－3)0.2，则a ，b ，c 的大小关系为 ( )．A ．a >b >cB ．b >a >cC ．c >a >bD ．b >c >a解析 c <0，b ＝53>3,1<a <3，∴b >a >c .答案 B8．若⎝⎛⎭⎫122a ＋1<⎝⎛⎭⎫123－2a ，则实数a 的取值范围是( )．A ．(1，＋∞)B.⎝⎛⎭⎫12，＋∞ C ．(－∞，1)D.⎝⎛⎭⎫－∞，12 解析 函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x 在R 上为减函数，∴2a ＋1>3－2a ，∴a >12. 答案 B9．函数y ＝a x 在[0,1]上的最大值与最小值之和为3，则a ＝________.解析 由已知得a 0＋a 1＝3，∴1＋a ＝3，∴a ＝2.答案 210．若函数f (x )＝2x 2＋2ax －a －1的定义域为R ，则a 的取值范围是________． 解析 ∵f (x )的定义域为R ，所以2x 2＋2ax －a －1≥0恒成立，即x 2＋2ax －a ≥0恒成立，∴Δ＝4a 2＋4a ≤0，－1≤a ≤0.答案 [－1,0]11．解不等式a x ＋5<a 4x －1(a >0，且a ≠1)． 解 当a >1时，原不等式可变为x ＋5<4x －1. 解得x >2；当0<a <1时，原不等式可变为x ＋5>4x －1. 解得x <2.故当a >1时，原不等式的解集为(2，＋∞)； 当0<a <1时，原不等式的解集为(－∞，2)．12．(创新拓展)设函数f (x )＝e x a ＋a e x ，(e 为无理数，且e ≈2.71828…)是R 上的偶函数且a >0. (1)求a 的值；(2)判断f (x )在(0，＋∞)上的单调性．解 (1)∵f (x )是R 上的偶函数，∴f (－1)＝f (1)， ∴e －1a ＋a e －1＝e a ＋a e ，即1a e －a e ＝e a－a e. ∴1e ⎝⎛⎭⎫1a －a ＝e ⎝⎛⎭⎫1a －a ， ∴1a－a ＝0，∴a 2＝1，又a >0，∴a ＝1. (2)f (x )＝e x ＋e －x .设x 1，x 2>0，且x 1<x 2， f (x 2)－f (x 1)＝e x 2＋e －x 2－e x 1－e －x 1＝e x 2－e x 1＋1e x 2－1e x 1＝e x 2－e x 1＋e x 1－e x 2e x 1e x 2＝(e x 2－e x 1)⎝⎛⎭⎫1－1e x 1e x 2.∵x 1，x 2>0，x 1<x 2，∴e x 2>e x 1且e x 1e x 2>1，∴(e x 2－e x 1)⎝⎛⎭⎫1－1e x 1e x 2>0，即f (x 2)>f (x 1)，∴f (x )在(0，＋∞)上为增函数.。
4.2 指数函数(精练)(解析版) -人教版高中数学精讲精练(必修一)
x
2
1 ，故值域为 y
|
0
y
1
.
8．（2021·黑龙江·绥化市第一中学高一期中）已知函数 f x 4x a 2x 3 ， a R ．
(1)当 a 4 ，且 x 0, 2 时，求函数 f x 的值域；
(2)若函数 f x 在0, 2 的最小值为1，求实数 a 的值；
【答案】(1)1,3 (2) a 2 2
③
y
2
x
是指数函数；
④ y xx 的底数是 x 不是常数，不是指数函数；
⑤
y
3
1 x
的指数不是自变量
x
，不是指数函数；
1
⑥ y x3 是幂函数．
故答案为：③
9．（2021·全国·高一专题练习）函数 y a2 5a 5 ax 是指数函数，则 a 的值为________．
【答案】 4
f
x
ax2 2x ,
a
1 x
x 1
3a,
x
1 的最小值为
2，则实数
a 的取值范围是______.
【答案】1,
【解析】由题意，函数
f
x
ax2 2x ,
a 1 x
x 1
3a, x
1 的最小值为
2
，
因为函数 f x 在[1, ) 上为增函数，可得 x 1时，函数 f x 有最小值为 2 ，
则当 x (,1) 时，函数 f x 2 ， min
）
A． c a b
B． c b a
【答案】A
1
2
【解析】
b
1 4
3
1 2
3
，
C． b c a
高中数学人教版必修一《指数函数》习题
2.1 指数函数一、选择题1、若指数函数在上是减函数，那么（）A、B、C、D、2、已知，则这样的（）A、存在且只有一个B、存在且不只一个C、存在且D、根本不存在3、函数在区间上的单调性是（）A、增函数B、减函数C、常数D、有时是增函数有时是减函数4、下列函数图象中，函数，与函数的图象只能是（）5、函数，使成立的的值的集合是（）A、B、C、D、6、函数使成立的的值的集合（）A、是B、有且只有一个元素C、有两个元素D、有无数个元素7、若函数(1)x y a b =+-（0a >且1a ≠）的图象不经过第二象限，则有 （ ）A 、1a >且1b <B 、01a <<且1b ≤C 、01a <<且0b >D 、1a >且0b ≤8、F(x)=(1+)0)(()122≠⋅-x x f x 是偶函数，且f(x)不恒等于零，则f(x)( ) A 、是奇函数 B 、可能是奇函数，也可能是偶函数C 、是偶函数D 、不是奇函数，也不是偶函数二、填空题9、 函数的定义域是_________。
10、 指数函数的图象经过点，则底数的值是_________。
11、 将函数的图象向_________平移________个单位，就可以得到函数的图象。
12、 函数，使是增函数的的区间是_________三、解答题13、已知函数是任意实数且， 证明：14、已知函数 222xx y -+= 求函数的定义域、值域15、已知函数（1）求的定义域和值域； （2）讨论的奇偶性； （3）讨论的单调性。
参考答案一、选择题B；2、A；3、B；4、C；5、C；6、C；7、D；8、A 二、填空题9、10、11、右、212、三、解答题13、证明：即14、 解：由222xx y -+=得 012222=+⋅-x x y ∵x ∈R, ∴△≥0, 即 0442≥-y , ∴12≥y , 又∵0>y ，∴1≥y 15、 解：（1）的定义域是R ，令，解得的值域为（2）是奇函数。
新教材高中数学第四章指数函数与对数函数 指数函数的概念课时作业新人教A版必修第一册
4．2.1 指数函数的概念必备知识基础练1．(多选)下列函数是指数函数的有( ) A ．y ＝x 4B ．y ＝(12)xC ．y ＝22xD ．y ＝－3x2．已知某种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分裂成4个……依此类推,那么1个这样的细胞分裂3次后,得到的细胞个数为( )A ．4个B ．8个C ．16个D ．32个3．如果指数函数f (x )＝a x(a >0,且a ≠1)的图象经过点(2,4),那么a 的值是( ) A ． 2 B ．2 C ．3 D ．44．若函数f (x )是指数函数,且f (2)＝2,则f (x )＝( ) A ．(2)x B ．2xC ．(12)xD ．(22)x5．已知f (x )＝3x －b(b 为常数)的图象经过点(2,1),则f (4)的值为( )A ．3B ．6C ．9D ．86．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x <0，3x ，x >0，则f (f (－1))＝( )A ．2B ． 3C ．0D ．127．已知函数y ＝a ·2x和y ＝2x ＋b都是指数函数,则a ＋b ＝________．8．已知函数f (x )是指数函数,且f (－32)＝525,则f (3)＝________．关键能力综合练1．若函数y ＝(m 2－m －1)·m x是指数函数,则m 等于( ) A ．－1或2 B ．－1 C ．2 D ．122．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x >0，x ＋3，x ≤0，则f (f (－2))的值为( )A ．14B ．12C ．2D ．43．若函数f (x )＝(12a －1)·a x是指数函数,则f (12)的值为( )A ．－2B ．2C ．－2 2D ．2 24．若函数y ＝(2a －1)x(x 是自变量)是指数函数,则a 的取值范围是( ) A ．a >0且a ≠1 B ．a ≥0且a ≠1 C ．a >12且a ≠1 D ．a ≥125．某产品计划每年成本降低p %,若三年后成本为a 元,则现在成本为( ) A ．a (1＋p %)元 B ．a (1－p %)元 C ．a （1－p %）3元 D ．a1＋p %元 6．(多选)设指数函数f (x )＝a x(a >0,且a ≠1),则下列等式中正确的是( ) A ．f (x ＋y )＝f (x )f (y ) B ．f (x －y )＝f （x ）f （y ）C ．f (xy)＝f (x )－f (y ) D ．f (nx )＝[f (x )]n(n ∈Q )7．某厂2018年的产值为a 万元,预计产值每年以7%的速度增加,则该厂到2022年的产值为________万元．8．若函数y ＝(k ＋2)a x＋2－b (a >0,且a ≠1)是指数函数,则k ＝________,b ＝________． 9．已知指数函数f (x )＝a x(a >0,且a ≠1), (1)求f (0)的值；(2)如果f (2)＝9,求实数a 的值．10．已知函数f (x )＝(a 2＋a －5)a x是指数函数． (1)求f (x )的表达式；(2)判断F (x )＝f (x )－f (－x )的奇偶性,并加以证明．核心素养升级练1．某乡镇现在人均一年占有粮食360千克,如果该乡镇人口平均每年增长1.2%,粮食总产量平均每年增长4%,那么x 年后若人均一年占有y 千克粮食,则y 关于x 的解析式为( )A ．y ＝360(1.041.012)x －1B ．y ＝360×1.04xC ．y ＝360×1.04x1.012D ．y ＝360(1.041.012)x2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x（x ＞0）2x －3（x ≤0）,若f (a )－f (2)＝0,则实数a 的值等于________．3．截止到2018年底,我国某市人口约为130万．若今后能将人口年平均递增率控制在3‰,经过x 年后,此市人口数为y (万).(1)求y 与x 的函数关系y ＝f (x ),并写出定义域；(2)若按此增长率,2029年年底的人口数是多少？(3)哪一年年底的人口数将达到135万？4．2.1 指数函数的概念必备知识基础练1．答案：BC解析：对于A,函数y ＝x 4不是指数函数, 对于B,函数y ＝(12)x是指数函数；对于C,函数y ＝22x＝4x是指数函数； 对于D,函数y ＝－3x不是指数函数． 2．答案：B解析：由题意知1个细胞分裂3次的个数为23＝8. 3．答案：B解析：由题意可知f (2)＝a 2＝4,解得a ＝2或a ＝－2(舍). 4．答案：A解析：由题意,设f (x )＝a x(a >0且a ≠1), 因为f (2)＝2,所以a 2＝2,解得a ＝ 2. 所以f (x )＝(2)x. 5．答案：C 解析：f (2)＝32－b＝1＝30,即b ＝2,f (4)＝34－2＝9.6．答案：B解析：f (－1)＝2－1＝12,f (f (－1))＝f (12)＝312＝ 3.7．答案：1解析：因为函数y ＝a ·2x是指数函数,所以a ＝1, 由y ＝2x ＋b是指数函数,所以b ＝0,所以a ＋b ＝1. 8．答案：125解析：设f (x )＝a x(a >0且a ≠1),则f (－32)＝a －32＝525＝5－32,得a ＝5,故f (x )＝5x,因此,f (3)＝53＝125.关键能力综合练1．答案：C解析：由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－m －1＝1m >0m ≠1,解得m ＝2.2．答案：C解析：由题意f (－2)＝－2＋3＝1,∴f (f (－2))＝f (1)＝2. 3．答案：B解析：因为函数f (x )＝(12a －1)·a x 是指数函数,所以12a －1＝1,即a ＝4,所以f (x )＝4x,那么f (12)＝412＝2.4．答案：C解析：由于函数y ＝(2a －1)x(x 是自变量)是指数函数,则2a －1>0且2a －1≠1,解得a >12且a ≠1.5．答案：C解析：设现在成本为x 元,因为某产品计划每年成本降低p %,且三年后成本为a 元, 所以(1－p %)3x ＝a , 所以x ＝a（1－p %）3.6．答案：ABD解析：因指数函数f (x )＝a x(a >0,且a ≠1),则有： 对于A,f (x ＋y )＝ax ＋y＝a x ·a y＝f (x )f (y ),A 中的等式正确；对于B,f (x －y )＝a x －y＝a x·a －y＝a x a y ＝f （x ）f （y ）,B 中的等式正确；对于C,f (x y )＝a x y ,f (x )－f (y )＝a x －a y ,显然,a xy≠a x －a y,C 中的等式错误；对于D,n ∈Q ,f (nx )＝a nx ＝(a x )n ＝[f (x )]n,D 中的等式正确． 7．答案：a (1＋7%)4解析：2018年产值为a ,增长率为7%. 2019年产值为a ＋a ×7%＝a (1＋7%)(万元).2020年产值为a (1＋7%)＋a (1＋7%)×7%＝a (1＋7%)2(万元). ……2022年的产值为a (1＋7%)4万元． 8．答案：－1 2解析：根据指数函数的定义,得⎩⎪⎨⎪⎧k ＋2＝1，2－b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，b ＝2.9．解析：(1)f (0)＝a 0＝1. (2)f (2)＝a 2＝9,∴a ＝3.10．解析：(1)由a 2＋a －5＝1,可得a ＝2或a ＝－3(舍去), ∴f (x )＝2x.(2)F (x )＝2x －2－x,定义域为R , ∴F (－x )＝2－x－2x＝－F (x ), ∴F (x )是奇函数．核心素养升级练1．答案：D解析：不妨设现在乡镇人口总数为a ,则现在乡镇粮食总量为360a ,故经过x 年后,乡镇人口总数为a (1＋0.012)x ,乡镇粮食总量为360a (1＋0.04)x, 故经过x 年后,人均占有粮食y ＝360a （1＋0.04）xa （1＋0.012）x ＝360(1.041.012)x. 2．答案：2解析：由已知,得f (2)＝9； 又当x ＞0时,f (x )＝3x, 所以当a >0时,f (a )＝3a, 所以3a－9＝0,所以a ＝2. 当x <0时,f (x )＝2x －3, 所以当a <0时,f (a )＝2a －3, 所以2a －3－9＝0,所以a ＝6, 又因为a <0,所以a ≠6. 综上可知a ＝2.3．解析：(1)2018年年底的人口数为130万；经过1年,2019年年底的人口数为130＋130×3‰＝130(1＋3‰)(万)；经过2年,2020年年底的人口数为130(1＋3‰)＋130(1＋3‰)×3‰＝130(1＋3‰)2(万)；经过3年,2021年年底的人口数为130(1＋3‰)2＋130(1＋3‰)2×3‰＝130(1＋3‰)3(万).……所以经过的年数与(1＋3‰)的指数相同,所以经过x年后的人口数为130(1＋3‰)x(万).即y＝f(x)＝130(1＋3‰)x(x∈N*).(2)2029年年底,经过了11年,过2029年底的人口数为130(1＋3‰)11≈134(万).(3)由(2)可知,2029年年底的人口数为130(1＋3‰)11≈134<135.2030年年底的人口数为130(1＋3‰)12≈134.8(万),2031年年底的人口数为130(1＋3‰)13≈135.2(万).所以2031年年底的人口数将达到135万．。
最新人教版高中数学必修第一册第4章指数函数与对数函数4.3.2对数的运算
4.3.2 对数的运算 课后训练巩固提升A.log a x 2=2log a xB.log a x 2=2log a |x|C.log a (xy )=log a x+log a y xy )=log a |x|+log a |y|xy>0,所以x>0,y>0或x<0,y<0.若x<0,则A 不成立;若x<0,y<0,则C 也不成立,故选AC . a=log 32,则log 38-2log 36=( ) A.a-2 B.5a-2+a )2 D.3a-a 2-138-2log 36=3log 32-2(log 32+log 33)=3a-2(a+1)=a-2. 3.若log 513×log 36×log 6x=2,则x 等于( ) A.9B.19C.25D.125由对数换底公式得-lg3lg5×lg6lg3×lgxlg6=2,即lg x=-2lg 5,解得x=5-2=125.4.若lg a ,lg b 是方程2x 2-4x+1=0的两根,则(lg a b )2=()A.14 B.12 D.2lg a+lg b=2,lg a ·lg b=12.所以(lg a b )2=(lg a-lg b )2=(lg a+lg b )2-4lg a ·lg b=22-4×12=2.5.若2.5x =1 000,0.25y =1 000,则1x −1y =( ) A.13B.3C.-13D.-3x=log 2.51 000,y=log 0.251 000,所以1x =log 1 0002.5,1y =log 1 0000.25,所以1x −1y =log 1 0002.5-log 10000.25=log 1 00010=lg10lg1 000=13.lg √20= .√5+lg √20=lg √100=lg 10=1. 7.计算log 2125×log 318×log 519的值为 .=lg 125lg2×lg 18lg3×lg 19lg5 =)×(-3lg2)×(-2lg3)lg2×lg3×lg5=-12.128.已知4a =5b =10,则1a +2b = .4a =5b =10,∴a=log 410,1a =lg 4,b=log 510,1b =lg 5,∴1a +2b =lg 4+2lg 5=lg 4+lg 25=lg 100=2.:(1)(log 3312)2+log 0.2514+9log 5√5-lo g√31;(2)2lg2+lg31+12lg0.36+13lg8.(log 3312)2+log 0.2514+9log 5√5-lo g√31=(12)2+1+9×12-0=14+1+92=234. (2)2lg2+lg31+12lg0.36+13lg8=2lg2+lg31+12lg0.62+13lg 23=2lg2+lg31+lg0.6+lg2=2lg2+lg31+lg6-lg10+lg2=2lg2+lg3lg6+lg2=2lg2+lg3lg2+lg3+lg2=2lg2+lg32lg2+lg3=1.log 23=a ,log 37=b ,用a ,b 表示log 4256.log 23=a ,所以1a =log 32.又因为log 37=b , 所以log 4256=log 356log 42=log 37+3log 32log 7+log 2+1=b+3a b+1a +1=ab+3ab+a+1.1.计算(log 32+log 23)2-3log 23−2log 32的值是( )B.log 36C.2D.1=(log 32)2+2log 32·log 23+(log 23)2-(log 32)2-(log 23)2=2. 2.若lg x-lg y=t ,则lg (x 2)3-lg (y 2)3=( ) A.3tB.32tC.tD.t 2(x 2)3-lg (y 2)3=3lg x 2-3lg y 2=3lg xy =3(lg x-lg y )=3t.a ,b ,c 满足16a =505b =2 020c =2 018,则下列式子正确的是( ) A.1a +2b =2c B.2a +2b =1cC.1a +1b =2cD.2a+1b=2c,得42a =505b =2 020c =2 018,所以2a=log 42 018,b=log 5052 018,c=log 2 0202 018,所以12a =log 20184,b =log 2 018505,1c=log 2 0182 020,而4×505=2 020,所以12a +1b =1c ,即1a +2b =2c ,故选A .4.方程log 2x+1log(x+1)2=1的解是x= .log 2x+log 2(x+1)=1,即log 2[x (x+1)]=1,即x (x+1)=2,解得x=1或x=-2.又{,x +1>0,即x >0,≠1,所以x=1.x ,y ,z 都是大于1的正数,m>0,且log x m=24,log y m=40,log (xyz )m=12,则log z m 的值24,log y m=40,∴log m x=124,log m y=140.又log m (xyz )=log m x+log m y+log m z=112,∴log m z=12-log m x-log m y=112−124−140=160. 60.log 23×log 34×log 45×…×log (k+1)(k+2)(k ∈N *)为整数的k 称为“企盼数”,则在区间[1,1 000]上“企盼数”共有 个.log 23×log 34×log 45×…×log (k+1)(k+2)=lg3lg2×lg4lg3×…×lg (k+2)lg (k+1)=log 2(k+2)为整数,可知k+2=2n (n ∈∈[1,1 000],所以k+2=22,23,…,29,故k ∈{2,6,14,30,62,126,254,510},所以在区间[1,1 000]上共有”.7.已知4a =8,2m =9n =36,且1m+12n=b ,试比较1.5a 与0.8b 的大小.4a =8,∴22a =23,∴2a=3,即a=32.=9n =36,∴m=log 236,n=log 936. 又1m +12n =b ,∴b=1log 236+12log 936=log 362+12log 369=log 362+log 363=log 366=12.∵y=1.5x 在R 上单调递增,y=0.8x 在R 上单调递减,∴1.5a =1.532>1.50=1,0.8b =0.812<0.80=1, ∴1.5a >0.8b .8.甲、乙两人解关于x 的方程log 2x+b+c log x 2=0,甲写错了常数b ,得到根14,18;乙写错了常数c ,得到根12,64.求原方程的根. (log 2x )2+b log 2x+c=0.∵甲写错了常数b ,得到的根为14和18, ∴c=log 214×log 218=6.∵乙写错了常数c ,得到的根为12和64, ∴b=-(log 212+log 264)=-(-1+6)=-5. ∴原方程为(log 2x )2-5log 2x+6=0,即(log 2x-2)(log 2x-3)=0.∴log 2x=2或log 2x=3,即x=4或x=8.。
高一数学(必修一)《第四章-指数函数与对数函数》练习题及答案解析-人教版
高一数学(必修一)《第四章 指数函数与对数函数》练习题及答案解析-人教版班级:___________姓名：___________考号：___________一、单选题1．某超市宣传在“双十一”期间对顾客购物实行一定的优惠，超市规定：①如一次性购物不超过200元不予以折扣；②如一次性购物超过200元但不超过500元的，按标价给予九折优惠；③如一次性购物超过500元的，其中500元给予9折优惠，超过500元的部分给予八五折优惠.某人两次去该超市购物分别付款176元和441元，如果他只去一次购买同样的商品，则应付款（ ）A ．608元B ．591.1元C ．582.6元D ．456.8元2．德国天文学家，数学家开普勒（J. Kepier ，1571—1630）发现了八大行星的运动规律：它们公转时间的平方与离太阳平均距离的立方成正比．已知天王星离太阳平均距离是土星离太阳平均距离的2倍，土星的公转时间约为10753d ．则天王星的公转时间约为（ ）A ．4329dB ．30323dC ．60150dD ．90670d3．函数()f x = ）A ．()1,0-B ．(),1-∞-和()0,1C ．()0,1D ．(),1-∞-和()0,∞+4．将进货价为每个80元的商品按90元一个出售时，能卖出400个，每涨价1元，销售量就减少20个，为了使商家利润有所增加，则售价a （元/个）的取值范围应是（ ）A ．90100a <<B ．90110a <<C ．100110a <<D ．80100a <<5．某市工业生产总值2018年和2019年连续两年持续增加，其中2018年的年增长率为p ，2019年的年增长率为q ，则该市这两年工业生产总值的年平均增长率为（ ）A ．2p q +；B ．()()1112p q ++-；C ；D 1．6．某污水处理厂为使处理后的污水达到排放标准，需要加入某种药剂，加入该药剂后，药剂的浓度C （单位：3mg/m ）随时间t （单位：h ）的变化关系可近似的用函数()()()210010419t C t t t t +=>++刻画．由此可以判断，若使被处理的污水中该药剂的浓度达到最大值，需经过（ ）A ．3hB ．4hC ．5hD ．6h7．某同学参加研究性学习活动，得到如下实验数据：以下函数中最符合变量y 与x 的对应关系的是（ ）A ．129y x =+B ．245y x x =-+C ．112410x y =⨯- D ．3log 1y x =+ 8．某种植物生命力旺盛，生长蔓延的速度越来越快，经研究，该一定量的植物在一定环境中经过1个月，其覆盖面积为6平方米，经过3个月，其覆盖面积为13.5平方米，该植物覆盖面积y (单位：平方米)与经过时间x (x ∈N )(单位：月)的关系有三种函数模型x y pa =(0p >，1a >)､log a y m x =(0m >，1a >)和y nx α=(0n >，01α<<)可供选择，则下列说法正确的是（ ）A ．应选x y pa =(0p >，1a >)B ．应选log a y m x =(0m >，1a >)C ．应选y nx α=(0n >，01α<<)D ．三种函数模型都可以9．已知函数()21,1,8, 1.x x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩若()8f x =，则x =（ ） A ．3-或1 B ．3- C ．1 D ．310．函数e 1()sin 2e 1x x f x x +=⋅-的部分图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．二、填空题11．2021年8月30日第九届未来信息通信技术国际研讨会在北京开幕．研讨会聚焦于5G 的持续创新和演进、信息通信的未来技术前瞻与发展、信息通信技术与其他前沿科技的融合创新．香农公式2log 1S C W N ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭是被广泛公认的通信理论基础和研究依据，它表示在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C 取决于信道带宽W 、信道内信号的平均功率S ，信道内部的高斯噪声功率N 的大小，其中S N 叫作信噪比．若不改变信道带宽W ，而将信噪比S N从11提升至499，则最大信息传递速率C 大约会提升到原来的______倍（结果保留1位小数）．（参考数据：2log 3 1.58≈和2log 5 2.32≈）12．已测得(,)x y 的两组值为(1,2)和(2,5)，现有两个拟合模型，甲21y x =+，乙31y x =-.若又测得(,)x y 的一组对应值为(3,10.2)，则选用________作为拟合模型较好．13．半径为1的半圆中，作如图所示的等腰梯形ABCD ，设梯形的上底2BC x =，则梯形ABCD 的最长周长为_________．三、解答题14．如图，某中学准备在校园里利用院墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD ，已知院墙MN 长为25米，篱笆长50米（篱笆全部用完），设篱笆的一面AB 的长为x 米．(1)当AB 的长为多少米时，矩形花园的面积为300平方米？(2)若围成的矩形ABCD 的面积为 S 平方米，当 x 为何值时， S 有最大值，最大值是多少？15．以贯彻“节能减排，绿色生态”为目的，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y (百元)与月处理量x (吨)之间的函数关系可近似地表示为212800200y x x =-+． (1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？（提示：平均处理成本为y x） (2)该单位每月处理成本y 的最小值和最大值分别是多少百元？ 16．如图，以棱长为1的正方体的三条棱所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系O xyz -，点P 在线段AB 上，点Q 在线段DC 上．(1)当2PB AP =，且点P 关于y 轴的对称点为M 时，求PM ；(2)当点P 是面对角线AB 的中点，点Q 在面对角线DC 上运动时，探究PQ 的最小值．17．经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1 t 该产品获利润500元，未售出的产品，每1 t 亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购进了130 t 该农产品．以X （单位： t ，100150)X ）表示下一个销售季度内的市场需求量，T （单位：元）表示下一个销售季度内经销该农产品的利润．(1)将T 表示为X 的函数；(2)根据直方图估计利润T 不少于57000元的概率；(3)在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，并以需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率（例如：若需求量[100X ∈，110），则取105X =，且105X =的概率等于需求量落入[100，110)的频率），求T 的分布列．18．为发展空间互联网，抢占6G 技术制高点，某企业计划加大对空间卫星网络研发的投入.据了解，该企业研发部原有100人，年人均投入()0a a >万元，现把研发部人员分成两类：技术人员和研发人员，其中技术人员有x 名（*x ∈N 且4575x ≤≤），调整后研发人员的年人均投入增加4x %，技术人员的年人均投入调整为275x a m ⎛⎫- ⎪⎝⎭万元. (1)要使调整后研发人员的年总投入不低于调整前的100人的年总投入，则调整后的技术人员最多有多少人？(2)是否存在实数m 同时满足两个条件：①技术人员的年人均投入始终不减少；②调整后研发人员的年总投入始终不低于调整后技术人员的年总投入？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由.19．某公司今年年初用81万元收购了一个项目，若该公司从第1年到第x （N x +∈且1x >）年花在该项目的其他费用（不包括收购费用）为()20x x +万元，该项目每年运行的总收入为50万元．(1)试问该项目运行到第几年开始盈利？(2)该项目运行若干年后，公司提出了两种方案：①当盈利总额最大时，以56万元的价格卖出；②当年平均盈利最大时，以92万元的价格卖出．假如要在这两种方案中选择一种，你会选择哪一种？请说明理由．20．某工厂产生的废气必须经过过滤后排放，规定排放时污染物的残留含量不得超过原污染物总量的0.5％．已知在过滤过程中的污染物的残留数量P （单位：毫克/升）与过滤时间t （单位：小时）之间的函数关系为0ekt P P -=⋅（k 为常数，0P 为原污染物总量）．若前4个小时废气中的污染物被过滤掉了80％，那么要能够按规定排放废气，还需要过滤n 小时，求正整数n 的最小值．21．某科技企业生产一种电子设备的年固定成本为600万元，除此之外每台机器的额外生产成本与产量满足一定的关系式.设年产量为x （0200x <，N x ∈）台，若年产量不足70台，则每台设备的额外成本为11402y x =+万元；若年产量大于等于70台不超过200台，则每台设备的额外成本为2264002080101y x x =+-万元.每台设备售价为100万元，通过市场分析，该企业生产的电子设备能全部售完.(1)写出年利润W （万元）关于年产量x （台）的关系式；(2)当年产量为多少台时，年利润最大，最大值为多少？22．为进一步奏响“绿水青山就是金山银山”的主旋律，某旅游风景区以“绿水青山”为主题，特别制作了旅游纪念章，决定近期投放市场，根据市场调研情况，预计每枚该纪念章的市场价y （单位：元）与上市时间x （单位：天）的数据如下表：(1)根据上表数据，从下列函数中选取一个恰当的函数描述每枚该纪念章的市场价y 与上市时间x 的变化关系并说明理由：①(0)y ax b a =+≠，②()20y ax bx c a =++≠，③()log 0,0,1b y a x a b b =≠>≠，④(0)a y b a x=+≠； (2)利用你选取的函数，求该纪念章市场价最低时的上市天数及最低市场价；(3)利用你选取的函数，若存在()10,x ∈+∞，使得不等式()010f x k x -≤-成立，求实数k 的取值范围．四、多选题23．函数()()22x x af x a R =+∈的图象可能为（ ）A ．B ．C ．D ．五、双空题24．某种病毒经30分钟可繁殖为原来的2倍,且已知病毒的繁殖规律为y=e kt (其中k 为常数;t 表示时间,单位:小时;y 表示病毒个数),则k=____,经过5小时,1个病毒能繁殖为____个.25．已知长为4，宽为3的矩形，若长增加x ，宽减少2x ，则面积最大，此时x ＝__________，面积S ＝__________.参考答案与解析1．【答案】B【分析】根据题意求出付款441元时的实际标价，再求出一次性购买实际标价金额商品应付款即可.【详解】由题意得购物付款441元，实际标价为10441=4909元 如果一次购买标价176+490=666元的商品应付款5000.9+1660.85=591.1元.故选：B.2．【答案】B【分析】设天王星和土星的公转时间为分别为T 和T '，距离太阳的平均距离为r 和r '，根据2323T r T r =''2r r '= 结合已知条件即可求解.【详解】设天王星的公转时间为T ，距离太阳的平均距离为r土星的公转时间为T '，距离太阳的平均距离为r '由题意知2r r '= 10753T d '= 所以323238T r r T r r ⎛⎫=== ⎪'''⎝⎭所以1075310753 2.82830409.484T d '==≈⨯=故选：B.3．【答案】B【分析】分别讨论0x ≥和0x <，利用二次函数的性质即可求单调递减区间.【详解】当0x ≥时()f x 210x -+≥解得11x -≤≤，又21y x =-+为开口向下的抛物线，对称轴为0x =，此时在区间()0,1单调递减当0x <时()f x == ()21y x =+为开口向上的抛物线，对称轴为1x =-，此时在(),1-∞-单调递减综上所述：函数()f x =(),1-∞-和()0,1.故选：B.4．【答案】A【分析】首先设每个涨价x 元，涨价后的利润与原利润之差为y 元，结合条件列式，根据0y >，求x 的取值范围，即可得到a 的取值范围.【详解】设每个涨价x 元，涨价后的利润与原利润之差为y 元则290,(10)(40020)1040020200a x y x x x x =+=+⋅--⨯=-+.要使商家利润有所增加，则必须使0y >，即2100x x -<，得010,9090100x x <<∴<+<，所以a 的取值为90100a <<.故选：A5．【答案】D【分析】设出平均增长率，并根据题意列出方程，进行求解【详解】设该市2018、2019这两年工业生产总值的年平均增长率为x ，则由题意得：()()()2111x p q +=++解得11x =，21x =因为20x <不合题意，舍去 故选D ．6．【答案】A【分析】利用基本不等式求最值可得．【详解】依题意，0t >，所以11t +>所以()()()()()()221001100110010010164191012116121t t C t t t t t t t ++===≤==++++++++++ 当且仅当1611t t +=+，即t ＝3时等号成立，故由此可判断，若使被处理的污水中该药剂的浓度达到最大值，需经过3h ．故选：A ．7．【答案】D 【分析】结合表格所给数据以及函数的增长快慢确定正确选项.【详解】根据表格所给数据可知，函数的增长速度越来越慢A 选项，函数129y x =+增长速度不变，不符合题意. BC 选项，当3x ≥时，函数245y x x =-+、112410x y =⨯-增长越来越快，不符合题意. D 选项，当3x ≥时，函数3log 1y x =+的增长速度越来越慢，符合题意.故选：D8．【答案】A【解析】根据指数函数和幂函数的增长速度结合题意即可得结果.【详解】该植物生长蔓延的速度越来越快，而x y pa =(0p >，1a >)的增长速度越来越快 log a y m x =(0m >，1a >)和y nx α=(0n >，01α<<)的增长速度越来越慢故应选择x y pa =(0p >，1a >).故选：A.9．【答案】B【分析】根据分段函数的解析式，分段求解即可.【详解】根据题意得x ≤1x2−1=8或188x x >⎧⎨=⎩ 解得3,x =-故选：B10．【答案】B【分析】结合图象，先判断奇偶性，然后根据x 趋近0时判断排除得选项.【详解】解：()e 1sin 2e 1x x f x x +=⋅-的定义域为()(),00,∞-+∞()()()e 1e 1sin 2sin 2e 1e 1x x x xf x x x f x --++-=⋅-=⋅=⎡⎤⎣⎦-- ()f x ∴是偶函数，排除A ，C . 又0x >且无限接近0时，101x x e e +>-且sin 20x >，∴此时()0f x >，排除D故选：B .11．【答案】2.5【分析】设提升前最大信息传递速率为1C ，提升后最大信息传递速率为2C ，根据题意求出21C C ，再利用指数、对数的运算性质化简计算即可【详解】设提升前最大信息传递速率为1C ，提升后最大信息传递速率为2C ，则由题意可知()122log 111log 12C W W =+= ()222log 1499log 500C W W =+= 所以()()232322222222122222log 25log 500log 2log 523log 523 2.328.96 2.5log 12log 2log 32log 32 1.58 3.58log 23C W C W ⨯+++⨯====≈=≈+++⨯所以最大信息传递速率C 会提升到原来的2.5倍．故答案为：2.512．【答案】甲【分析】将3x =分别代入甲乙两个拟合模型计算，即可判断.【详解】对于甲：3x =时23110y =+=，对于乙：3x =时8y =因此用甲作为拟合模型较好．故答案为：甲13．【答案】5【分析】计算得出AB CD ==ABCD 的周长为y，可得出22y x =++()0,1t，可得出224y t =-++，利用二次函数的相关知识可求得y 的最大值.【详解】过点B 、C 分别作BE AD ⊥、CF AD ⊥垂足分别为E 、F则//BE CF ，//BC EF 且90BEF ∠=，所以，四边形BCFE 为矩形所以2EF BC x ==AB CD =，BAE CDF ∠=∠和90AEB DFC ∠=∠= 所以，Rt ABE Rt DCF ≅所以12AD EF AE DF x -===-，则OF OD DF x =-= CF =AB CD ∴===设梯形ABCD 的周长为y ，则2222y x x =++=++其中01x <<令()0,1t =，则21x t =-所以()2222212425y t t t ⎛=+-+=-++=-+ ⎝⎭所以，当t =y 取最大值，即max 5y =. 故答案为：5.【点睛】思路点睛：解函数应用题的一般程序：第一步：审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；第二步：建模——将文字语言转化成数学语言，用数学知识建立相应的数学模型；第三步：求模——求解数学模型，得到数学结论；第四步：还原——将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义；第五步：反思回顾——对于数学模型得到的数学结果，必须验证这个数学解对实际问题的合理性．14．【答案】(1)15米；(2)当 x 为12.5米时， S 有最大值，最大值是312.5平方米.【分析】（1）设篱笆的一面AB 的长为 x 米，则(502)m BC x =-，根据“矩形花园的面积为300平方米”列一元二次方程，求解即可；（2）根据题意，可得(502)S x x =-，根据二次函数最值的求法求解即可．（1）设篱笆的一面AB 的长为 x 米，则(502)m BC x =-由题意得(502)300x x -=解得1215,10x x ==50225x -≤12.5x ∴≥15x ∴=所以，AB 的长为15米时，矩形花园的面积为300平方米；（2）由题意得()()22502250212.5312.5,12.525S x x x x x x =-=-+=--+≤<12.5x ∴=时， S 取得最大值，此时312.5S =所以，当 x 为12.5米时， S 有最大值，最大值是312.5平方米．15．【答案】(1)400吨 (2)最小值800百元，最大值1400百元【分析】（1）求出平均处理成本的函数解析式，利用基本不等式求出最值；（2）利用二次函数单调性求解最值.（1）由题意可知，二氧化碳的每吨平均处理成本为18002200y x x x =+-，显然[]400,600x ∈由基本不等式得：1800222200y x x x =+-≥= 当且仅当1800200x x =，即400x =时，等号成立 故每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低；（2）212800200y x x =-+ 对称轴220012200x -=-=⨯ 函数212800200y x x =-+在[400，600]单调递增 当400x =时，则2min 14002400800800200y =⨯-⨯+= 当600x =时，则2max 160026008001400200y =⨯-⨯+= 答：该单位每月处理成本y 的最小值800百元，最大值1400百元.16．【答案】【分析】（1）根据空间直角坐标系写出各顶点的坐标，再由2PB AP =求得121,,33OP ⎛⎫= ⎪⎝⎭，得到P 与M 的坐标，再利用两点距离公式求解即可；（2）由中点坐标公式求得111,,22P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，再根据题意设点(,1,)Q a a ，最后利用两点间的距离公式与一元二次函数配方法求PQ 的最小值.（1）所以()22211222131133333PM ⎛⎫⎛⎫=++-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． （2）因为点P 是面对角线AB 的中点，所以111,,22P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，而点Q 在面对角线DC 上运动，故设点(,1,)Q a a[0,1]a ∈则(PQ a ===[0,1]a ∈所以当34a =时，PQ 取得最小值33,1,44Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭． 17．【答案】(1)80039000,[100,130)65000,[130,150]X X T X -∈⎧=⎨∈⎩(2)0.7(3)59400 【分析】（1）由题意先分段写出，当[100x ∈，130)和[130x ∈，150)时的利润值，利用分段函数写出即可；（2）由（1）知，利润T 不少于57000元，当且仅当120150x ，再由直方图知需求量[120X ∈，150]的频率为0.7，由此估计得出结论；（3）先求出利润与X 的关系，再利用直方图中的频率计算利润分布列，最后利用公式求其数学期望．（1）解：由题意得，当[100X ∈，130)时500300(130)80039000T X X X =--=-当[130X ∈，150]时50013065000T =⨯=80039000,[100,130)65000,[130,150]X X T X -∈⎧∴=⎨∈⎩（2）解：由（1）知，利润T 不少于57000元，当且仅当120150X ．由直方图知需求量[120X ∈，150]的频率为0.7所以下一个销售季度的利润T 不少于57000元的概率的估计值为0.7；（3）解：由题意及（1）可得：所以T 的分布列为：18．【答案】(1)最多有75人 (2)存在 7m =【分析】（1）根据题目要求列出方程求解即可得到结果（2）根据题目要求①先求解出m 关于x 的取值范围，再根据x 的取值范围求得m 的取值范围，之后根据题目要求②列出不等式利用基本不等式求解出m 的取值范围，综上取交集即可 （1）依题意可得调整后研发人员有()100x -人，年人均投入为()14%x a +万元则()()10014%100x x a a -+≥，解得075x ≤≤.又4575x ≤≤，*x ∈N 所以调整后的奇数人员最多有75人.（2）假设存在实数m 满足条件.由条件①，得225x a m a ⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭，得2125x m ≥+. 又4575x ≤≤，*x ∈N 所以当75x =时，2125x +取得最大值7，所以7m ≥. 由条件②，得()()210014%25x x x a a m x ⎛⎫-+≥- ⎪⎝⎭，不等式两边同除以ax 得1002112525x x m x ⎛⎫⎛⎫-+≥- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，整理得100325x m x ≤++因为10033725x x ++≥=，当且仅当10025x x =，即50x =时等号成立，所以7m ≤. 综上，得7m =.故存在实数m 为7满足条件.19．【答案】(1)第4年 (2)选择方案②，理由见解析【分析】（1）设项目运行到第x 年的盈利为y 万元，可求得y 关于x 的函数关系式，解不等式0y >可得x 的取值范围，即可得出结论；（2）计算出两种方案获利，结合两种方案的用时可得出结论.（1）解：设项目运行到第x 年的盈利为y 万元则()25020813081=-+-=-+-y x x x x x由0y >，得230810x x -+<，解得327x <<所以该项目运行到第4年开始盈利．（2）解：方案①()22308115144=-+-=--+y x x x当15x =时，y 有最大值144．即项目运行到第15年，盈利最大，且此时公司的总盈利为14456200+=万元方案②818130303012y x x x x x ⎛⎫=-+-=-+≤- ⎪⎝⎭ 当且仅当81x x=，即9x =时，等号成立． 即项目运行到第9年，年平均盈利最大，且此时公司的总盈利为12992200⨯+=万元.综上，两种方案获利相等，但方案②时间更短，所以选择方案②．20．【答案】10【分析】由题可得()400180%e k P P --=，求得ln 54k =，再由000.5%e kt P P -≥可求解. 【详解】由题意，前4个小时消除了80％的污染物因为0e kt P P -=⋅，所以()400180%ek P P --= 所以40.2e k -=，即4ln0.2ln5k -==-，所以ln 54k =则由000.5%e kt P P -≥，得ln 5ln 0.0054t ≥- 所以4ln 20013.2ln 5t ≥≈ 故正整数n 的最小值为14410-=．21．【答案】(1)2**160600,070,N 264001480,70200,N x x x x W x x x x ⎧-+-<<∈⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-+∈ ⎪⎪⎝⎭⎩；(2)当年产量为80台时，年利润最大，最大值为1320万元.【分析】（1）根据题意，分段表示出函数模型，即可求解；（2）根据题意，结合一元二次函数以及均值不等式，即可求解.（1）当070x <<，*N x ∈时 211100406006060022W x x x x x ⎛⎫=-+-=-+- ⎪⎝⎭； 当70200x ≤≤，*N x ∈时26400208064001001016001480W x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+--=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. ∴.2**160600,070,N 264001480,70200,N x x x x W x x x x ⎧-+-<<∈⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-+∈ ⎪⎪⎝⎭⎩； （2）①当070x <<，*N x ∈时 221160600(60)120022W x x x =-+-=--+ ∴当60x =时，y 取得最大值，最大值为1200万元.②当70200x ≤≤，*N x ∈时6400148014801320W x x ⎛⎫=-+≤- ⎪⎝⎭ 当且仅当6400x x =，即80x =时，y 取得最大值1320∵13201200>∴当年产量为80台时，年利润最大，最大值为1320万元.22．【答案】(1)选择()20y ax bx c a =++≠，理由见解析(2)当该纪念章上市10天时，市场价最低，最低市场价为每枚70元(3)k ≥【分析】(1)由表格数据分析变量x 与变量y 的关系，由此选择对应的函数关系；(2)由已知数据求出函数解析式，再结合函数性质求其最值；(3)不等式可化为()17010210x k x -+≤-，由条件可得()min 17010210x k x ⎡⎤-+≤⎢⎥-⎣⎦，利用函数的单调性求()17010210y x x =-+-的最小值，由此可得k 的取值范围． （1）由题表知，随着时间x 的增大，y 的值随x 的增大，先减小后增大，而所给的函数(0)y ax b a =+≠ ()log 0,0,1b y a x a b b =≠>≠和(0)a y b a x =+≠在(0,)+∞上显然都是单调函数，不满足题意，故选择()20y ax bx c a =++≠．（2）得42102,36678,40020120,a b c a b c a b c ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩∴当10x =时，y 有最小值，且min 70y =．故当该纪念章上市10天时，市场价最低，最低市场价为每枚70元．（3）令()()()1701010210f x g x x x x ==-+--(10,)x ∞∈+因为存在()10,x ∈+∞，使得不等式()0g x k -≤成立则()min k g x ≥．又()()17010210g x x x =-+-在(10,10+上单调递减，在()10++∞上单调递增 ∴当10x =+()g x取得最小值，且最小值为(10g +=∴k ≥23．【答案】ABD【解析】根据函数解析式的形式，以及图象的特征，合理给a 赋值，判断选项.【详解】当0a =时()2x f x =，图象A 满足； 满足；图象C 过点()0,1，此时0a =，故C 不成立.故选：ABD【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.24．【答案】2ln2 1024【详解】当t=0.5时,y=2,∴2=12e k ,∴k=2ln 2,∴y=e 2t ln 2 当t=5时,y=e 10ln 2=210=1 024.25．【答案】1 1212【详解】S ＝(4＋x) 32x ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝－22x ＋x ＋12＝－12 (x 2－2x)＋12＝－12 (x －1)2＋252. 当x ＝1时，S max ＝252,故填1和252.。
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2.1 指数函数
一、选择题
1．函数f （x ）=(a 2-1)x 在R 上是减函数，则a 的取值范围是（ ）
A 、1>a
B 、2<a
C 、a<2
D 、1<2<a
2.下列函数式中，满足f(x+1)=2
1f(x)的是( ) A 、 21(x+1) B 、x+4
1 C 、2x D 、2-x
3.下列f(x)=(1+a x )2x a -⋅是（ ）
A 、奇函数
B 、偶函数
C 、非奇非偶函数
D 、既奇且偶函数
4．函数y=1
212+-x x 是（ ） A 、奇函数 B 、偶函数
C 、既奇又偶函数
D 、非奇非偶函数
5．函数y=1
21-x 的值域是（ ） A 、（-1,∞） B 、（-,∞0）⋃（0，+∞）
C 、（-1，+∞）
D 、（-∞，-1）⋃（0，+∞）
6．下列函数中，值域为R +的是（ ）
A 、y=5x -21
B 、y=(3
1)1-x C 、y=1)21
(-x
D 、y=x 21-
7．已知0<a<1,b<-1,则函数y=a x +b 的图像必定不经过（ ）
A 、第一象限
B 、第二象限
C 、第三象限
D 、第四象限
二、填空题
8．函数y=11
51--x x 的定义域是 9．函数y=(3
1)1822+--x x (-31≤≤x )的值域是 10．直线x=a(a>0)与函数y=(
31)x ,y=(21)x ,y=2x ,y=10x 的图像依次交于A 、B 、C 、D 四点，则这四点从上到下的排列次序是
11．函数y=3
232x -的单调递减区间是
12．若f(52x-1)=x-2,则f(125)=
三、解答题
13、已知关于x 的方程2a
22-x －7a 1-x +3=0有一个根是2, 求a 的值和方程其余的根
14、设a 是实数，)(122)(R x a x f x ∈+-
=试证明对于任意a,)(x f 为增函数
15、已知函数f(x)=
9
|1|2--a a (a x －a x -)(a>0且a ≠1)在(－∞, +∞)上是增函数, 求实数a 的取值范围
参考答案
一、选择题
1、D ；
2、D ；
3、B ；
4、A ；
5、D ；
6、B ；
7、A
二、填空题
8.(-∞,0)⋃(0,1) ⋃(1,+ ∞)
9．[（3
1）9，39] 10．D 、C 、B 、A 。
11．（0，+∞）
12．0
三、解答题
13、解: 2a 2
－7a+3=0, ⇒a=2
1或a=3. a=21时, 方程为: 8·(21)x 2－14·(2
1)x +3=0⇒x=2或x=1－log 23 a=2时, 方程为: 21·2x 2－27·2x +3=0⇒x=2或x=－1－log 32
14、证明：设21,x x ∈R,且21x x < 则)12)(12()22(222122)
122()122()()(2121122121++-=-+=+--+-
=-x x x x x x x x a a x f x f
由于指数函数 y=x 2在R 上是增函数,且21x x <,
所以2122x x <即2122x x -<0，
又由x 2>0得12x +1>0, 22x +1>0
所以)()(21x f x f -<0即)()(21x f x f <
因为此结论与a 取值无关，所以对于a 取任意实数，)(x f 为增函数
15、解: 由于f(x)递增， 若设x 1<x 2,
则f(x 1)－f(x 2)=
9|1|2--a a [(a 1x －a 1x -)－(a 2x －a 2x -)]=9|1|2--a a (a 1x －a 2x )(1+a 1x -·a 2x -)<0, 故(a 2－9)( (a 1x －a 2x )<0.
(1)⎩⎨⎧>->091
2a a , 解得a>3; (2) ⎩⎨⎧<-<<091
02a a , 解得0<a<1.
综合(1)、(2)得a ∈(0, 1)⋃(3, +∞)。