向量与解析几何相结合专题复习

向量与解析几何相结合专题复习

平面向量与解析几何的结合通常涉及到夹角、平行、垂直、共线、轨迹等问题的处理，目标是将几何问题坐标化、符号化、数量化，从而将推理转化为运算。或者考虑向量运算的几何意义，利用其几何意义解决有关问题。

一：将向量及其运算的几何意义转化为平面图形的位置关系或数量关系

【例1．】已知△ABC 中，A 、B 两点的坐标分别为（－4，2）、（3，1），O 为坐标原点。已知||＝λ·||，||＝λ·||，∥

＝

（1，2）求顶点C 的坐标。

【解】如图：∵||＝λ·||，∴λ＝0

|

|>CB ∵||＝λ·||，∴A 、D 、B 三点共线，D 且λ＝0

|

|>DB ∴||CB =||DB

∴CD 是△ABC 中∠C 的角平分线。

∴A 、D 、B 三点共线∥∴O 、C 、D 三点共线,即直线CD 过原点。 ~

又∵直线CD 的方向向量为＝（1，2），∴直线CD 的斜率为2 ∴直线CD 的方程为：y ＝2x

（注意：至此，以将题中的向量条件全部转化为平面解析几何条件，下面用解析几何的方法解决该题）

易得：点A （－4，2）关于直线y ＝2x 的对称点是A ’

（4,－2）， （怎样求对称点）

∵A ’

（4,－2）在直线BC 上 ∴直线BC 的方程为：3x ＋y －10＝0

由⎩⎨

⎧=-+=01032y x x y 得C （2，4）

【解题回顾】本题根据向量共线的条件将题设中的||＝λ·||和∥转化

为三点共线，实现了向量条件向平面位置关系的转化；而由λ＝||CB =||DB ，实现了向量条件向平面图形的数量关系的转化，从而从整体上实现了由向量条件向平几及解条件的转化。 \

【例2】．已知1OF ＝（－3，0），2OF ＝（3，0），（O 为坐标原点），动点M 满足：||1MF

＋||2MF ＝10。

（1）求动点M 的轨迹C ；

（2）若点P 、O 是曲线C 上任意两点，且OP ·=0，求2

2

2

OQ OP •的值

【解】（1）由||1MF

＋||2MF ＝10知： 动点M 到两定点F 1和F 2的距离之和为10

根据椭圆的第一定义：动点M 的轨迹为椭圆：116252

2=+y x

\

（2）∵点P 、O 是1

16252

2=+y x 上任意两点

设P(ααsin 4,cos 5)，Q(ββsin 4,cos 5)

（注意 ∵OP ·=0 得：βαβαsin sin 16cos cos 25+＝0 ①

而2

、2

2

•都可以用α、β的三角函数表示，利用①可以解得：

2

2

2

PQ

•＝40041

【例3．】在△ABC 中，A(2，3)，B(4，6)，C(3，－1)，点D 满足：CA ·CD ＝CD ·CB （1）求点D 的轨迹方程； ~

（2）求||＋||的最小值。

解：（1）设D （x ，y ），则CA ＝（－1，4），CD ＝（x －3，y ＋1）

＝（1，7）

∵·＝·

∴（－1）·（x －3）＋4·（y ＋1）＝（x －3）·1＋（y ＋1）·7 整理得：2x ＋3y ＝0

(2)易得点A 关于直线2x ＋3y ＝0的对称点的坐标为M （－2，－3），

∴||＋||的最小值为：||＝133 ：

【注意】这里利用向量的几何意义，将问题综合为在直线2x ＋3y ＝0上找一点，使它到点A 、B 的距离之和最小，利用对称点法解决。

二：将向量的坐标表示和运算转化为点的坐标和曲线的方程。

【例4．】已知：过点A （0，1）且方向向量为＝（1，k ）的直线l 与⊙C ：

1)3()2(22=-+-y x 相交与M 、N 两点。

（1）求实数k 的取值范围； （2）求证：AM ·AN 为定值；

（3）若O 为坐标原点，且OM ·ON ＝12，求k 的值。 【解】∵直线l 过点A （0，1）且方向向量为a ＝（1，k ）

∴直线l 的方程为：y ＝kx ＋1 （注意：这里已知方向向量即已知直线的斜率） ！

将其代入⊙C ：1)3()2(2

2

=-+-y x ，得：07)1(4)1(2

2

=++-+x k x k ①

由题意：△＝07)1(4)]1(4[2

>⨯+⨯-+-k k 得：

37

4374+<<-k （注意：这里用了直线和方程组成方程组，方程有两根；本题还可以用圆与直线有两个交点，d

（2）利用切割线定理可以证明||·||＝|AT |2

=7,AT 为切线，T 为切点。

根据向量的运算：AM ·＝|AM |·|AN |·cos00

＝7为定值。

（注意：本题也可以设出M （11,y x ）、N （22,y x ）的坐标，把、用坐标表示，由①利用韦达定理来证明）

（3）设M （11,y x ），N （22,y x ），则由①得：

⎪⎪⎩⎪⎪⎨

⎧+=++=+22122117144k x x k k x x

、

∴OM ·ON ＝21x x ＋21y y ＝

1)()1(21212

++++x x k x x k ＝81)1(42

+++k k k ＝12⇒k ＝1（代入①检验符合题意）

【例5．】已知：O 为坐标原点，点F 、T 、M 、P 1满足OF =(1,0),

OT =(－1，t)，FM =MT ,P 1⊥FT ,P 1∥OF 。

（1）当t 变化时，求点P 1的轨迹方程；

（2）若P 2是轨迹上不同与P 1的另一点，且垂直非零实数λ，使得1=λ·2FP 求证：||1FP

+||2FP =1 【解】设P 1（x ，y ），则由：FM =得M 是线段FT 的中点，得M

)21

,0( ）

∴P 1＝（－x ，21

－y ），

又∵FT ＝OT －OF ＝（－2，t ），P

1＝（－1－x ，t －y ） ∵P

1⊥FT ∴2x ＋t(2t

－y)＝0 ① ∵P 1∥OF ∴（－1－x ）·0＋（t －y ）·1＝0化简得：t ＝y ②