2012年高考真题——数学文(四川卷)含答案

2012年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）
数 学（文史类）
参考公式：
如果事件互斥，那么 球的表面积公式
()()()P A B P A P B +=+ 2
4S R p =
如果事件相互独立，那么 其中R 表示球的半径 ()()()P A B P A P B ? 球的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么 3
43V R
p =
在n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径
()(1)
(0,1,2,,)k
k
n k
n n P k C p p k n -=-=…
第一部分 （选择题 共60分）
注意事项：
1、选择题必须使用2B 铅笔将答案标号涂在机读卡上对应题目标号的位置上。

2、本部分共12小题，每小题5分，共60分。

一、选择题：每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、设集合{,}A a b =，{,,}B b c d =，则A B = （ ）
A 、{}b
B 、{,,}b c d
C 、{,,}a c d
D 、{,,,}a b c d 2、7(1)x +的展开式中2x 的系数是（ ）
A 、21
B 、28
C 、35
D 、42
3、交通管理部门为了解机动车驾驶员（简称驾驶员）对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查。

假设四个社区驾驶员的总人数为N ，其中甲社区有驾驶员96人。

若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12,21,25,43，则这四个社区驾驶员的总人数N 为（ ）
A 、101
B 、808
C 、1212
D 、2012 4、函数(0,1)x
y a a a a =->≠的图象可能是（ ）
5、如图，正方形A B C D的边长为1，延长B A至E，使1
A E=，连接E C、ED则sin C ED
∠=（）
A、
10
B、
10
C
10
D
6、下列命题正确的是（）
A、若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行
B、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行
C、若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行
D、若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行
7、设a
、b
都是非零向量，下列四个条件中，使
||||
a b
a b
=
成立的充分条件是（）A、||||
a b
=
且//
a b
B、a b
=-
C、//
a b
D、2
a b
=
8、若变量,x y满足约束条件
3,
212,
212
x y
x y
x
y
x
y
-≥-
⎧
⎪
+≤
⎪⎪
+≤
⎨
⎪≥
⎪
≥
⎪⎩
，则
34
z x y
=+的最大值是（）
A、12
B、26
C、28
D、33
9、已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点
(2,)
M y。

若点M到该抛物线焦点的距离为3，则||
OM=（）
A
、B、
C、4
D、
10、如图，半径为R的半球O的底面圆O在平面α内，过点O作
平面α的垂线交半球面于点A，过圆O的直径C D作平面α成45
角的平面与半球面相交，所得交线上到平面α的距离最大的点为
B，该交线上的一点P满足60
BOP
∠= ，则A、P两点间的球
面距离为（）
A、arccos
4
R
B、
4
R
π
C、arccos
3
R D、
3
R
π
11、方程22
ay b x c
=+中的,,{2,0,1,2,3}
a b c∈-，且,,
a b c互不相同，在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有（）
A 、28条
B 、32条
C 、36条
D 、48条 12、设函数3()(3)1f x x x =-+-，{}n a 是公差不为
0的等差数列，
127()()()14f a f a f a ++⋅⋅⋅+=，则127a a a ++⋅⋅⋅+=（ ）
A 、0
B 、7
C 、14
D 、21
第二部分 （非选择题 共90分）
注意事项：
（1）必须使用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色签字笔描清楚。

答在试题卷上无效。

（2）本部分共10个小题，共90分。

二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分。

把答案填在答题纸的相应位置上。

） 13
、函数()f x =
____________。

（用区间表示）
14、如图，在正方体1111ABC D A B C D -中，M 、N 分别是C D 、1C C 的中点，则异面直线1A M 与D N 所成的角的大小是____________。

15、椭圆
22
2
1(5
x y
a a
+
=为定值，
且a >的的左焦点为F ，直线x m =与椭
圆相交于点A 、B ，F A B ∆的周长的最大值是12，则该椭圆的离心率是______。

16、设,a b 为正实数，现有下列命题：
①若221a b -=，则1a b -<； ②若
111b a
-=，则1a b -<；
③若||1-
=，则||1a b -<；
④若33||1a b -=，则||1a b -<。

其中的真命题有____________。

（写出所有真命题的编号）
三、解答题（本大题共6个小题，共74分。

解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤。

）
17、(本小题满分12分)
某居民小区有两个相互独立的安全防范系统（简称系统）A 和B ，系统A 和系统B 在任意时刻发生故障的概率分别为
110
和p 。

（Ⅰ）若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为4950
，求p 的值；
（Ⅱ）求系统A 在3次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数的概率。

18、(本小题满分12分)
已知函数2
1()cos
sin
cos
2
2
2
2
x x x f x =--。

（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和值域；
（Ⅱ）若()10
f α=，求sin 2α的值。

N
A 1
19、(本小题满分12分)
如图，在三棱锥P A B C -中，90APB ∠= ，
60PAB ∠=
，A B B C C A ==，点P 在平面ABC 内的
射影O 在AB 上。

（Ⅰ）求直线P C 与平面ABC 所成的角的大小； （Ⅱ）求二面角B A P C --的大小。

20、(本小题满分12分)
已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，常数0λ>，且11n n a a S S λ=+对一切正整数n 都成立。

（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）设10a >，100λ=，当n 为何值时，数列1{lg }n
a 的前n 项和最大？
21、(本小题满分12分)
如图，动点M 与两定点(1,0)A -、(1,0)B 构成
M A B ∆，且直线M A M B 、的斜率之积为4，设动点M 的
轨迹为C 。

（Ⅰ）求轨迹C 的方程；
（Ⅱ）设直线(0)y x m m =+>与y 轴交于点P ，与轨迹C 相交于点Q R 、，且||||PQ PR <，求||||
PR PQ 的取值范围。

22、(本小题满分14分)
已知a 为正实数，n 为自然数，抛物线2
2
n
a
y x =-+与x 轴正半轴相交于点A ，设()
f n 为该抛物线在点A 处的切线在y 轴上的截距。

（Ⅰ）用a 和n 表示()f n ； （Ⅱ）求对所有n 都有
()1()1
1
f n n f n n -≥++成立的a 的最小值； （Ⅲ）当01a <<时，比较111(1)(2)
(2)(4)
()(2)
f f f f f n f n +
+⋅⋅⋅+
---与
(1)(1)6(0)(1)
f f n f f -+-
的大小，并说明理由。

y
x
B
A
O
M。