流体3-3 伯努利方程
伯努利方程三种形式公式
伯努利方程三种形式公式
第一种形式的伯努利方程公式是：
P₁ + 1/2ρv₁² + ρgh₁ = P₂ + 1/2ρv₂² + ρgh₂
其中P₁和P₂分别表示两个位置的压力，ρ表示流体的密度，v₁和v₂表示两个位置的流速，g为重力加速度，h₁和h₂表示两个位置的高度。
这个公式描述了流体在两个位置之间能量守恒的关系。
等式左边的第
一项表示压力能，第二项表示动能，第三项表示单位质量的重力势能。
等
式右边的三项表示相应位置的压力能、动能和重力势能。
这个公式适用于
流体在不完全关闭的管道、管道两端处于同一高度的情况。
第二种形式的伯努利方程公式是：
P + 1/2ρv² + ρgh = const
这是一个简化形式的伯努利方程，它将两个位置的参数合并成一个常数。
这个公式的物理意义是，当流体在流动过程中没有受到外界力的作用时，流体的总能量保持不变。
这个公式适用于理想的水平管道、无摩擦的
流动。
第三种形式的伯努利方程公式是：
P + 1/2ρv² = const
这是伯努利方程的最简形式，它忽略了重力势能的影响。
这个公式适
用于理想的非粘性流体在无重力情况下的流动，如气体等。
这三种形式的伯努利方程公式分别适用于不同的流体力学问题。
选择
适用的公式取决于具体的流动条件和需要分析的问题。
无论选择哪种形式，
伯努利方程都提供了一个重要的工具，可以帮助我们研究流体力学中的能量转换和守恒。
流体力学 伯努力方程
测流速原理该点在水面下的深度为d故该处的压强pgdb点在管口之前流速v根据伯努利方程所以在实际应用时上式须修正为其中c为比多管的修正系数由实验来确定
三、伯努利方程应用举例 1.小孔泄流 在大容器的器壁上水深为 h 处，开一直径 为d 的小圆孔，不计任何阻力，求小孔的泄 流量。 由伯努力方程 p0 p0 v 2 0 h 0 g 2 g g 2 g
h1
B
C A
pC p0 gh1
h2
其中p0为大气压
11
（2）当虹吸管下端开启时， h1 下端和A处的压强仍为：
p下 端 p0 , pA p0
B
C A
h2
而vB vc v下端 , v A 0 . 所以 pB p0 g( h2 h1 ) , pC p0 gh2
（2）取1-2-4的一个流线，由伯努利方程
P1 1 2 1 1 v1 P2 v 2 P4 v2 2 4 2 2 2 P4 P0
1 2 2 P1 P0 v 4 v1 P0 100, P1 -P0 100Pa 2 1 2 2 P2 P0 v 4 v 2 P0 , 2 P3 =P0 P2 P0 0 P3 P0 0
Qv v1S1 v2 S2
2( 汞 ）g hS1 S 2
2 2
( S1 S 2 )
2 2
6
H
1 1 2 2 p1 v1 p2 v2 2 2
v1S1 v2 S2
v1 主管 细管 v2
p p1 p2 gh
•
Q v1S1 S1S2
例题2 在如图所示的虹吸管装置中，已 知 h1 和 h2 ，试问：（1）当截面均匀的虹吸管 下端被塞住时，A、B和C处的压强各为多大？ （2）当虹吸管下端开启时，A、B和C处的压 强又各为多大？ 这时水流出虹吸管的速率为 多大？
流体伯努利方程
流体伯努利方程一、引言流体力学是研究流体运动规律的学科。
在流体力学中，伯努利方程是一个非常重要的方程，它描述了流体在不同位置速度和压力之间的关系。
本文将详细介绍伯努利方程的定义、推导过程和应用。
二、伯努利方程的定义伯努利方程是描述了在理想流体中沿着一条不可压缩且没有粘性的管道中，当速度增加时，压力会降低。
这个方程可以用于解释飞机飞行、水管爆裂等问题。
三、伯努利方程的推导1. 基本假设为了推导伯努利方程，我们需要做出一些基本假设：（1）理想流体：即无黏性和无压缩性。
（2）不可压缩：即密度是恒定不变的。
（3）定常流：即时间上不变化。
（4）沿着一条直线运动：即没有旋转或弯曲。
2. 推导过程根据上述基本假设，我们可以得到以下公式：A1V1 = A2V2 （质量守恒定律）P1 + ½ρV12 = P2 + ½ρV22 （动量守恒定律）其中，A1和A2是管道的横截面积，V1和V2是流体在不同位置的速度，P1和P2是流体在不同位置的压力，ρ是流体的密度。
将第一个公式中的V1用Q/A1代替，V2用Q/A2代替，其中Q为流量，则可得到：Q = A1V1 = A2V2将上述公式带入第二个公式中，并消去A1和A2，则可得到：P1 + ½ρ(V12 – V22) = 0这就是伯努利方程。
四、伯努利方程的应用伯努利方程可以应用于很多领域。
以下列举几个例子：1. 飞机飞行在飞机飞行时，空气从机翼底部流过时速度增加，从而压力降低。
相反，在机翼顶部空气速度减小，从而压力增加。
这种差异产生了升力。
2. 水管爆裂当水管中有一个狭窄的部分时，水速度会增加并且压力会降低。
如果水管中有一个裂口，则水会通过裂口喷出，并且喷出口附近的压力会降低。
3. 油轮泄漏当油轮泄漏时，油从管道中流出并形成一个射流。
由于射流速度增加，压力会降低，从而导致油从管道中流出。
五、总结伯努利方程是描述理想流体中速度和压力之间关系的重要方程。
伯努利方程推导流速公式
伯努利方程推导流速公式
伯努利方程是流体力学中的重要方程，它描述了流体在不同位置的压强、速度和高度之间的关系。
根据伯努利方程，我们可以推导出流体的流速公式。
设想一个理想的流体流动系统，由一个管道连接两个不同高度的水柱。
根据伯努利方程，系统中的总机械能保持恒定。
首先，我们可以假设该流体为不可压缩的理想流体，没有粘性和黏性损失。
根据这个假设，我们可以得出两个重要的结论：
1. 在不考虑阻力的情况下，流体在较高位置速度较小，压强较大；而在较低位置速度较大，压强较小。
这是因为根据质量守恒定律，流体在流动过程中质量是恒定的，在面积较小的地方速度较大，在面积较大的地方速度较小。
2. 在管道中的流体流动过程中，流速的增加伴随着压强的降低，速度的减小伴随着压强的增加。
这是由于在输送过程中，流体不可压缩，导致面积变小时速度增加，而压强减小，面积变大时速度减小，压强增加。
根据以上推论，我们可以得出流速公式：
v2 = v1 * (2 * g * h / (v1^2))
其中，v1和v2分别代表两个不同位置处的流体速度，g代表重力加速度，h代表两个位置之间的高度差。
通过这个流速公式，我们可以计算流体的速度，并对流体的运动和压强变化进行分析和预测。
无论是液体流体还是气体流体，都可以通过伯努利方程和流速公式得到流体在不同位置的速度和压强变化。
总结起来，伯努利方程推导出的流速公式是流体力学中的重要工具，它描述了流体在不同位置的速度和压强之间的关系。
这个公式可以应用于液体和气体流体的运动分析中，帮助我们更好地理解流体的行为和特性。
工程流体力学423粘性流体的伯努利方程
工程流体力学
2. 物理意义
式（4.4）每一项都表示单位重量流体具有的某种能量。
z是单位重量流体具有的位置势能；
p
是单位重量流体具有的压强势能；
v2 是单位重量流体具有的动能；
2g
z
p
是单位重量流体具有的总势能；
z p v2 是单位重量流体具有的总机械能。
2g
伯努利方程表示理想流体恒定流动，沿同一条流 线，各点单位重量流体的机械能守恒 。
Cl
式（4.4）就是沿流线的伯努利方程，这是水力 学中最常用的方程之一。
伯努利方程的限制条件包括：（1）理想流体； （2）恒定流动；（3）不可压缩流体；（4）质量力 仅为重力；（5）沿流线。
在同一条流线上取1，2两点，则式（4.4）可表
达成 ：
z1
p1
v12 2g
z2
p2
v22 2g
dt
即为静力学基本方程。
(2)对于恒定流动， v 0 。
t
（3）在方程中有8个物理量：u 、v 、w 、fx 、f y 、 f z ， 和p。一般情况下，表示重力的 fx 、f y 、f z是已
知的，这个方程组和连续性方程及流体的状态方程， 在一定条件下积分便可得到压强p的分布规律。
工程流体力学
工程流体力学
【解】（1）管中流动若不计损失，则管中流动为均 流。现要测量过流断面上A点的流速，用水银比压计 来测量，其原理是：由于来流在A点受比压计的阻滞， 该处的速度为零（或者A点为两条流线相交的前驻 点）；该处动能全部转化成势能，而水银比压计另一 端B点在管壁，该处的流速是管中均流每一点的速度， 也可看成A点前方某一点的速度。
流體力學第四章伯努利方程
第四章 伯努利方程4.1 伯努利方程4.1.1 理想流体沿流线的伯努利方程1. 伯努利方程的推导将欧拉运动微分方程式积分可以得到流体的压力分布规律，但只能在特殊的条件下，不可能在任何的情况下都可求得其解，故我们需对流场作出如下假设：（1）理想流体（2）定常流动（3）质量力有势（4）不可压缩流体（5）沿流线积分在定常流动的条件下，理想流体的运动微分方程（欧拉运动微分方程）可以写成 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∂∂+∂∂+∂∂=∂∂-∂∂+∂∂+∂∂=∂∂-∂∂+∂∂+∂∂=∂∂-z v v y v v x v v z p f z v v y v v x v v y p f z v v y v v x v v x p f z z z y z x z y z y y y x y x z x y x x x ρρρ111 (4.1) 将这个方程沿流线积分，如图4.1所示，可得到伯努利方程。
为此，将式(4.1)的第一式乘以x d 得x zv v x y v v x x v v x x p x f x z x y x x x d d d d 1d ∂∂+∂∂+∂∂=∂∂-ρ （1） 按照流线方程 zy x v z v y v x d d d == 将有，y v x v x y d d =，z v x v x z d d =故式（1）可写成x x x x x x x x x v v z zv v y y v v x x v v x x p x f d d d d d 1d =∂∂+∂∂+∂∂=∂∂-ρ （2） 式(4.1)的另外两式分别乘y d 、z d 后，作类似的代换，可得y y y v v y yp y f d d 1d =∂∂-ρ （3）z z z v v z zp z f d d 1d =∂∂-ρ （4） 将式（2）、（3）和式（4）相加，得 z z y y x x z y x v v v v v v z zp y y p x x p z f y f x f d d d )d d d (1d d d ++=∂∂+∂∂+∂∂-++ρ （5） p 的全微分可以表示为 dz zp dy y p dx x p dp ∂∂+∂∂+∂∂= 质量力有势，则必存在势函数U ，满足y f y f x f z zU y y U x x U U y y x d d d d d d d ++=∂∂+∂∂+∂∂=而 2/d d d d 2v v v v v v v z z y y x x =++式中等号右端的v 为平均速度。
伯努利方程计算流速
伯努利方程计算流速伯努利方程是流体力学中的重要定律，它描述了在稳态流动中，流体在不同位置上的速度、压力和高度之间的关系。
通过应用伯努利方程，我们可以计算出流体的流速。
本文将介绍伯努利方程的基本原理，并给出一些应用实例。
伯努利方程的基本原理是基于能量守恒定律。
在没有外力作用的情况下，流体的总能量在流动过程中保持不变。
伯努利方程表示了流体在不同位置上的总能量相等。
伯努利方程的数学表达式如下：P + 1/2ρv^2 + ρgh = constant其中，P表示压力，ρ表示流体的密度，v表示流体的速度，g表示重力加速度，h表示流体元素所在位置的高度。
根据伯努利方程，我们可以计算流体的流速。
以水流为例，我们可以通过测量流体的压力和高度差来计算流速。
假设我们有一个水箱，水箱上方有一个小孔，水从小孔中流出。
我们可以测量水箱的高度和小孔处的压力，根据伯努利方程计算出水流的速度。
我们测量水箱的高度差，记作Δh。
然后，我们测量小孔处的压力，记作P。
假设水的密度为ρ，重力加速度为g。
根据伯努利方程，我们可以得到以下等式：P + 1/2ρv^2 + ρgh = constant由于小孔处的速度非常小，我们可以忽略1/2ρv^2这一项。
此外，我们将参考点设为水箱底部，即Δh为小孔处的高度差。
根据这些假设，我们可以简化伯努利方程为：P + ρgh = constant将P和ρgh的值代入上述方程，我们可以解出水流的速度v。
除了上述实例，伯努利方程还可以应用于其他许多情况。
例如，在空气动力学中，伯努利方程可以用于计算飞机在不同位置上的空速。
在涡流流量测量中，伯努利方程可以用于计算流体的流速。
此外，在水力工程中，伯努利方程可以用于计算水流的速度和压力。
伯努利方程是流体力学中的重要定律，可以用于计算流体的流速。
通过测量流体的压力和高度差，并应用伯努利方程，我们可以准确地计算出流体的速度。
除了上述实例，伯努利方程还可以应用于各种不同的情况中。
流体力学中的三大基本方程
vy 和 dxdydz y
v z dxdydz z
故单位时间内流出与流入微元体流体质量总变化为：
（ ） （ ） （ ） d x d y d z x y z x y z
⑵控制体内质量变化：
因控制体是固定的，质量变化是因密度变化引起的，dt时间内：
2 2 g
：单位重量流体所具有的动能；
理解：质量为m微团以v 运动，具有mv2/2动能，若用 重量mg除之得v2/2g
三者之和为单位重量流体具有的机械能。
物理意义：
理想、不可压缩流体在重力场中作稳定 流动时，沿流线or无旋流场中流束运动 时，单位重量流体的位能，压力能和动 能之和是常数，即机械能是守恒的，且 它们之间可以相互转换 。
y y y y x y z y
运动方程：
y x z 0 x y z
2 y 2
2 2 2 1 p z z z z z z z f ( ) x y z z 2 2 2 t x y z z x y z
当地加速度：流场中某处流体运动速度对时间 的偏导数，反映了流体速度在固定位置处的时 间变化特性 迁移加速度：流场由于流出、流进某一微小区 域而表现出的速度变化率。
流体质点加速度
dx x x x x ax x y z dt t x y z dy y y y y ay x y z dt t x y z dz z z z z az x y z dt t x y z
a在三个坐标轴上的分量表示成：
⑷代入牛顿第二定律求得运动方程： 得x方向上的运动微分方程：
d p x d x d y d z d x d y d z f d x d y d z x d t x
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ds1=wg1dt
ds2=wg2dt
依据——动能定理
dA1 1 1
外力所作功=动能增量。 p1 wg1
ds1 z2 1/
z1
0
2 dA2 2 /
wg 2
p2
z2 2 ds2 2 /
0
1）压力所作的功W1——侧面压力不作功，只两端过流断 面上的压力作功。
p1dA1ds1 p2dA2ds2 p1dA1wg1dt p2dA2 wg2dt p1dQdt p2dQdt ( p1 p2 )dQdt
2）重力所作的功W2——假想1’1‘—22段流体未动。 gdQdt(z1 z2)
3）流体段动能增量
1 2
dA2 wg 2dt
wg2 2
1 2
dA1wg1dt
wg21
dQdt
1 2
(wg22
wg21)
于是：
gdQdt ( z1
z2 )
dQdt( p1
p2 )
dQdt ( wg22
§3-3 伯努利方程
问题设计： 1、流体沿管道流动时，是否服从能量守恒定律？如何反映这一流
动规律？ 2、建立伯努力方程的依据是什么？ 3、从本质上讲，伯努利方程反映了自然界的什么规律？它与静力
学基本方程有何关系？
§3-3 伯努利方程
一、理想流体微小流束的伯努利方程
在重力流场中，取微小流束的一段，11—22；dt时间 内移动到1/1/—2/2/
特点：1）均匀流的流线为相互平行的直线，过流断面为平面；
2）均匀流断面上的压力分布与静压力分布规律相同，
即同一过流断面上，各点的测压管水头值相同。
急变流和渐变流——流速大小和方向发生显著变化或缓慢
变化的流动，渐变流可近似当作均匀流
急变流
渐变流
急变流
三，实际流体总流的伯努利方程 假设：实际总流由无数微小流束组成，总流是不可压缩的粘性流
2
wg21 ) 2
两边除以ρgdＱdt，即对单位重量流体有：
z1
p1
g
wg21 2g
z2
p2
g
wg22 2g
即：
Z p w2 常数
g 2g ——理想流体微小流束的伯努利方程
反映了位置高度z、压力p和流速 wg 三个水力要素间的关系
二、均匀流过流断面上的压力分布
均匀流——流速的大小和方向沿流向不发生变化的流动。
总水头线是与基准面平行的直线
几何意义：
理想流体各过流断面上的总水头不变，但三者间可相互转换
若u=0，则有
Z
p
g
常数——测压管水头不变（静力学基本方程）
实际流体总水头线分布
四、伯努利方程的意义
1、物理意义：
gz——比位能
P/ ρ——比压力能
αv2/2——比动能
p v2 zg
——比总能
2
hlg ——单位质量流体的能量损失
意义：不可压缩流体稳定流动时，不同断面上的位能、压力能和动能
可以相互转换，但后一个断面上的总能与前一个断面上的总能之差
总是等于该两断面间的能量损失。对于理想流体，总能将保持不变。
A2
(z2
p2
gLeabharlann wg22 2g)gdQ
Q hl/ gdQ
经积分可得：
( z1
p1 )gQ g
1v12
2g
gQ
(z2
p2
g
)gQ
2v22
2g
gQ
hl gQ
对单位重量流体有：
z1
p1
g
1v12
2g
z2
p2
g
2v22
2g
hl
式中：α1、 α2为反映过流断面上流速分布均匀性的 动能修正系数。
体。取任一实际流束，单位重量流体的伯努利方程为
z1
p1
g
wg21 2g
z2
p2
g
wg2 2 2g
hl/
p1
单位时间内通过微小
dA1
wg1
A1
流束dA断面的流体重
量为ρgdQ
z1
p2 wg2
dA2
A2
z2
总流能量的平衡方程式
A1 (z1
p1
g
wg21 2g
)gdQ
实质：能量守恒定律
2、几何意义：
Z——位置水头； —u 2—速度水头 2g
—p—压力水头；
g
速度水头表示流体质点在位置Z时，以速度u向上垂直喷射
（不计空气阻力时）所能达到的高度。
1
1
hu
2 (u u0 )t
ut 2
又 u0 u gt
即： hu
u2 2g
t u g
位置水头+压力水头+速度水头=总水头：