理想流体伯努利方程及其应用
伯努利方程的应用-山东大学课程中心
如果黏性流体沿着粗细均匀的管道作稳定流动
p1 gh1 p2 gh2 w
或
( p1 p2 ) g(h1 h2 ) w
可见，由于黏性力的存在, 要流体在管道中作稳 定流动，管道两端要有压强差或者高度差 (h1h2) 或者两者兼而有之。
医学物理学
h1 =h2 ; v1 = v2 P1 —P2 = W 能量损失表现为： 压强降低
第三章、流体的流动
山东大学精品课程
医学物理学
第一节 理想流体的稳定流动
一、理想流体
实际流体
可压缩 粘滞性
理想流体
不可压缩 无粘滞性
医学物理学
流动性 ★突出流体的流动性 ★忽略次要性质 ★理想模型
二、定常流动
1、稳定流动：流体空间各点的速度不随时间变化的 流动。V (x, y, z)
●空间各点的速度可以不同，同一点的速度不随时 间变化。
单位：m3.S-1
医学物理学
2.连续性方程 条件：不可压缩的流体作稳定 流入
流动。 导出：质量守恒定律。
v1 S1
流出
v2
S2
物理意义：不可压缩的流体作稳定流动时，同一流 管不同截 面处的流量相等。
医学物理学
应用: 1.流线密处流速大
12
2.血液在毛细血管中流动速度与动脉比较 S1V1=S2V2
2、非稳定流动：流体空间各点的速度随时间变化 的流动。
医学物理学
3、流线： 任一瞬间，可以在流体中划这样一些线，线上各点 的切线方向和流经该点的流体粒子的速度方向相 同，这些线就叫做这一时刻的流线。
特点： ①切线——速度方向; 疏密——流速快慢。 ②流线不能相交； ③稳定流动，流线分布不随时间而改变 ④稳定流动时形状与液粒运动轨迹相同。
理想流体的稳定流动伯努利方程及其应用ppt课件
实验中常见计算符号意义
1. 平均值
1 n
n
i
i 1
1 2
n
n
2. 绝对误差
1
nn i 1i 1 2
n
n
3. 相对误差 E 100%
4. 最终结果 590 .5 0.4 (nm)
4. 实验分组做，每组两人。班委须把分组名单在第一 次实验前交于老师，以后无特殊原因不得擅自组合。
5. 若实验有请假或其他原因没有按时做，必须尽快补 做实验。补做完后必须找当天上该实验课的老师在补 做的原始数据和图纸上签字或盖章后方可离开，否则 补做实验无效！
6. 每次实验结束后由班长统一安排打扫教室，包括： 扫地、拖地、把桌凳及仪器等用品摆放整齐，最后 走的切记关闭所有电源后方可离开。
v2t
S2 v2
v1t
S1 v1
v2t
S2 v2
流过截面S1的流体体积 V1 S1v1t
流过截面S2的流体体积 V2 S2v2t
对于稳定流动，流体不会从流管壁流出，也不会从流 管侧壁流进，所以在△t时间内有多少流体从S1流进去， 有多少液体从S2 流出来。
S1v1t S2v2t
图l-4 例 1.1图
解：根据连续性方程，对于总管和分管有
SAvA SBvB SCvC
vC (SAvA SBvB ) SC 0.35 m.s1
a1 b1 P1S1 v1
h1
一、伯努利方程 1. 能量
P3
v2
a2 b2
流体在a1b1处机械能
注意
一定要注意结果中小数点要求保留的 位数，以及各个结果的单位！！
伯努利方程的原理及其应用
伯努利方程的原理及其应用伯努利方程，又称为伯努利定律，是流体力学中的一个基本原理。
它描述了在稳态流动中，沿流线方向流体的总能量保持不变。
伯努利方程可以应用于各种流体系统，包括液体和气体，并在航空、水利工程等领域得到广泛应用。
1.流体是理想流体，即无黏度和无压缩性；2.流体是稳态流动，流线保持不变；3.流体受到重力和压强力的作用，无其他外力。
根据以上假设，伯努利方程可以表示为：P + 1/2ρv² + ρgh = 常数其中，P是流体的压强，ρ是流体的密度，v是流体的速度，g是重力加速度，h是流体的高度。
1.飞行原理：伯努利方程解释了飞机飞行的基本原理。
当飞机飞行时，上表面的气流速度大于下表面的气流速度，根据伯努利方程，气流速度增大意味着气流压强降低，因此上表面的气流压强小于下表面，形成了一个向上的升力，使得飞机能够起飞和保持在空中。
2.水力工程：伯努利方程在水流中的应用非常常见。
例如，当水流通过一条管道时，根据伯努利方程，水流速度越大，压强越小。
这一原理可以应用于水泵、水轮机等设备的设计和运行。
3.血液循环：伯努利方程被广泛应用于心脏和血管的研究。
心脏将血液推入血管中，根据伯努利方程，血液速度增加意味着血液压力下降，这有助于保持正常的血流循环。
4.涡轮机：伯努利方程被应用于涡轮机的设计和优化。
涡轮机利用流体动能转换为机械能，在伯努利方程的基础上进行流体的流动和能量转换的计算，可以进行涡轮机的性能预测和优化设计。
总之，伯努利方程是流体力学中非常重要的一个原理，它描述了流体在稳态流动中能量守恒的基本规律。
通过应用伯努利方程，可以更好地理解和解释许多与流体流动和能量转换相关的现象和实际问题。
1.2理想流体伯努利方程及其应用
应用实例1.喷雾器原理
空吸现象（喷雾器、水流抽气机、化油器等） 小孔处空气流速大， 压强低， 流体就会沿竖管上升至小孔处， 被高速气流吹散成雾状。
应用实例2. 范丘里流量计
范丘里管可以直接测定液体的流量。
1 2 S 1 S 2 p v 恒量 且： 2 S1 v1 S 2 v 2 1 2 1 2 p1 v1 p2 v 2 P1 P2 gh 2 2
Q Sv
S1，S2 是粗、细两处横截面积。
Q S1 S 2
2 gh 2 2 S1 S 2
只要读出两个竖 管的高度差 ， 就 可以测量流量。
4、生活中伯努利现象的解释 1.足球比赛中的弧线球 2.“奥林匹克号”洋轮事件
3.汽车高速驶过，泥沙被吸向汽车
实际流体流动的时候有什么特点 呢，伯努利方程又是什么形式呢？
质 量 守 恒
讲故事 鄂洛多克车站惨案 与白色安全线 人为什么不能站 在安全线以内？
做实验
把漏斗口朝上，放入乒乓球，从下方使劲 吹气，看看兵乓球能不能被吹起来？
§1.2理想流体的伯努利方程及其应用
一.伯努利方程 1、方程推导
设理想流体在重力场中作定常流动, 在流体中取一细流管,设流体密度为ρ， P2S2 在其上选a1a2 段流体为研究对象
1 2 1 2 P1 v1 P2 v2 2 2 1 2 P v 恒量 2
二、理想流体的伯努利方程的应用
1、流体的静压强公式
流体处于静止状态 P P0 ρgh 相当于定常流动流速为零的特 殊情况。
A .P , h
0
B.
P ,0
h
1 1 2 2 ρghA P P0A ρvA ρgh ρvB ρghB P B 2 2
伯努利方程的原理和应用
伯努利方程的原理和应用1. 什么是伯努利方程伯努利方程是流体力学中的基本方程之一，用于描述理想流体的运动。
它基于质量守恒、动量守恒和能量守恒的原理，可以通过对流体在不同位置和时间上的性质进行分析，推导出流体在各个位置上的压力、速度和高度之间的关系。
2. 伯努利方程的表达形式伯努利方程可以写成以下形式：P + 1/2ρv^2 + ρgh = 常数其中，P是流体的静压力，ρ是流体的密度，v是流体的速度，g是重力加速度，h是流体的高度。
3. 伯努利方程的原理伯努利方程的原理即基于质量守恒、动量守恒和能量守恒的原理，通过分析流体在不同位置上的性质，推导出流体在各个位置上的压力、速度和高度之间的关系。
3.1 质量守恒质量守恒是指在封闭系统中，质量的总量是不变的。
在流体力学中，当流体通过一个管道或槽道时，质量的净流入量等于质量的净流出量。
3.2 动量守恒动量守恒是指在封闭系统中，动量的总量是不变的。
在流体力学中，动量的变化可以通过推导出的动量方程来描述，而伯努利方程就是基于动量守恒推导出来的。
3.3 能量守恒能量守恒是指在封闭系统中，能量的总量是不变的。
在流体力学中，能量的变化可以通过推导出的能量方程来描述，而伯努利方程也是基于能量守恒推导出来的。
4. 伯努利方程的应用伯努利方程广泛应用于流体力学和工程学中，可以用于解决多种问题。
以下是一些常见的应用情况。
4.1 流速和压力关系根据伯努利方程，当流体的速度增加时，压力会减小；当速度减小时，压力会增加。
这个关系在管道系统和飞机翼等领域起到重要作用，可以帮助我们设计高效的流体系统。
4.2 流速和高度关系当流体的速度增加时，其高度会降低；当速度减小时，高度会增加。
这个关系在水力发电站和喷气式飞机等领域有重要应用，可以帮助我们设计高效的能量转换系统。
4.3 压力和高度关系根据伯努利方程，当流体的压力增加时，其高度会降低；当压力减小时，高度会增加。
这个关系在水泵和水塔等领域常常被应用，可以帮助我们调节流体的压力和高度。
伯努利方程及其应用
伯努利方程及其应用摘要:伯努利方程是为了反应理想流体运动中速度、压强等参数之间关系的方程式，伯努利方程揭示流体在重力场中流动时的能量守恒。
并应用伯努利方程解释其在生活中的应用，例如飞机机翼问题，喷油器的质量流量问题等。
经过了一个学期的物理学习，我们学习了关于物理的试验方法与结论，而我对流体力学的伯努利方程十分感兴趣，进一步了解了一些实际生活中的应用。
关键词:伯努利方程，理想流体力学，机械能守恒，生活中的应用。
参考文献:百度百科，大学物理教程。
伯努利开辟并命名了流体动力学这一学科，区分了流体静力学与动力学的不同概念。
1738年，他发表了十年寒窗写成的《流体动力学》一书。
他用流体的压强、密度和流速等作为描写流体运动的基本概念，引入了“势函数”“势能”(“位势提高”)来代替单纯用“活力’讨论，从而表述了关于理想流体稳定流动的伯努利方程，这实质上是机械能守恒定律的另一形式。
他还用分子与器壁的碰撞来解释气体压强，并指出，只要温度不变，气体的压强总与密度成正，与体积成反比，用此解释了玻意耳定律。
伯努利方程是理想流体定常流动的动力学方程，意为流体在忽略粘性损失的流动中，流线上任意两点的压力势能、动能与位势能之和保持不变。
伯努利方程揭示流体在重力场中流动时的能量守恒。
理想正压流体在有势体积力作用下作定常运动时，运动方程(即欧拉方程)沿流线积分而得到的表达运动流体机械能守恒的方程。
因著名的瑞士科学家D.伯努利于1738年提出而得名。
对于重力场中的不可压缩均质流体，方程为p+ρgh+(1/2)*ρv^2=c 式中p、ρ、v分别为流体的压强、密度和速度;h为铅垂高度;g为重力加速度;c为常量。
上式各项分别表示单位体积流体的压力能 p、重力势能ρgh和动能(1/2)*ρv ^2，在沿流线运动过程中，总和保持不变，即总能量守恒。
但各流线之间总能量(即上式中的常量值)可能不同。
对于气体，可忽略重力，方程简化为p+(1/2)*ρv ^2,常量(p0)，各项分别称为静压、动压和总压。
1.172.1.2理想流体的伯努利方程.及其应用
人体中的血液、淋巴液、囊液等多种体液以及像细胞质那样的“半流体”都属于非牛 顿流体。
医学物理学（第2版）
讨论
1.内摩擦力是相邻两层流体作相对滑动时的切向相互作用力。 宏观：快层对慢层有拉力, 慢层对快层有阻力。
2.内摩擦力是分子间的相互作用力。 微观：气体: 不同速度流层间动量交换 液体:小部分是动量传递，大部分由于分子团形变。 液体的内摩擦力比气体大得多。
➢ 根据伯努利方程
pA
-
pM
1 v2
2
（ '-）gh
v （2 '-）gh
皮托管
医学物理学（第2版）
4. 分析体位对血压的影响
（1）将血管截面积看作不 p2 gh2
（2）上式表明：流管中较高处的流体压强较小， 而较低处的流体压强则较大。
平卧位头部 动脉压 12.67kPa*
湍流特点： ➢ 消耗的能量多 ➢ 发出声音（在水管、河流中常发生）
医学物理学（第2版）
三、雷诺数
流体的流动状态
黏性流体的流动状态有层流、湍流及过渡状态，是层流还是湍流，不仅决定于流
动速度v，还与流体的密度ρ、黏度η 以及管子半径r 有关。
雷诺数
雷诺提出了一个无量纲的数，即雷诺数(Re)。 雷诺数作为判断是层流还是湍流的依据 。
医学物理学（第2版）
二、伯努利方程的应用
相关说明
p 1 v2 gh 常量
2
流体在管道中流动时，若管半径不太大，可视为流管，应用伯努利方程求解问题。
一般忽略各物理量在其横截面上的变化，式中各量为管道截面上所取的平均值。
1. 水平流管：
p 1 v2 常量
2
对水平流管，压强大处流速小，压强小处流速大。
伯努利方程及其工程应用
u12 p2 p1 Δh u1 2gΔh 2g γ γ 液体中某点的流速： 实际流速 u 2gΔh
式中 ——流速修正系数，取决于毕托管的外形尺寸 和加工精度，其值由实验确定，一般取
Δh ——两测压管内液柱高差。
如果测量气流速度 u 2 gΔh
迎 流 孔 顺 流 孔
7 H 0 9.3m 0.75
作业：3—14、3—18
z1
p1
v
2 1 1
2g
z2
p2
v
2 2 2
2g
hl
物理意义——能量
几何意义——水头
3.7.2
伯努利方程式的工程应用
基本内容： 1、测量流速与流量的仪表； 2、虹吸现象； 3、孔口、管嘴的出流问题。 重点：分析方法
一、测量流速与流量的仪表
、毕托管(Pitot Tube)
二、虹吸现象
3 3 H 1 1
2
O
2
v1 0
O
虹吸原理：如图，对1—1，2—2断面列伯努利方程
2 pa α1v12 p 2 α 2 v2 H hl12 γ 2g γ 2g
由于 A1 A 2 ，所以 上式变成
v1 0 ；p 1 p 2 p a ，并取 2 1 ，则
0.95 ~ 0.98;
文丘里流量计在工程中已得 到广泛应用，为了使测得的流量 值更接近实际流量，使用时还应 注意一些问题：
除文丘里流量计外，工程上常用的还有孔板流量 计和喷嘴流量计，它们都属于节流式流量计。
孔板流量计
涡 轮 流 量 变 送 器 喷嘴流量计
工程上常用的流量计还有转子流量计、靶式流量计、电 磁流量计、超声流量计等。
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v
2 2
S1v1 S2v2
P1 P2 gh
Q Sv
2 gh
Q S1S2
S
2 1
S
2 2
只要读出两个竖 管的高度差，就 可以测量流量。
4、生活中伯努利现象的解释 1.足球比赛中的弧线球
2.“奥林匹克号”洋轮事件
3.汽车高速驶过，泥沙被吸向汽车
实际流体流动的时候有什么特点 呢，伯努利方程又是什么形式呢？
由连续性原理：S1v1t S2v2t V
两侧外力对流体做的总功为：
W W1 W2 (P1 P2 )V
P2S2
v2Δt
W E (P1 P2 )V E2 E1
(
P1
P2
)V(
1 2
mv
2 2
ρΔV
mgh2
ρΔV
)
(
1 2
mv12
ρΔV
mgh1
ρΔV
)
其中：m V
P1
P2
1 2
v22
gh2
1 2
v12gh1
P1
1 2
ρv12
ρgh1
P2
1 2
ρv22
ρgh2
2.结论：
P
单位
1 ρv22 2
单位
ρgghh 恒量
单位 ——伯努利方程
体积
体积
体积
压力
动能
势能
能
3.伯努利方程物理本质：
“理想流体定常流动时，同一细流管任一
截面处，单位体积压力能、动能、势能之和保持
不变，即单位体积内总能量守恒。”
——伯努利方程是能量守恒与转换定律在流体
力学中的体现。
4.鄂洛多克惨案的解释
v小 v大
P1
1 2
v12
P2
1 2
v22
P大 P小
F
P 1 v2 恒量
2
5.乒乓球实验的解释 二.伯努利方程的应用
二、理想流体的伯努利方程的应用
1、流体的静压强公式
流体处于静止状态
相殊当情于 况定 。常流P动流P速0为零ρ的g特h
无粘滞性 不可压缩
理想流体
能量守恒在流体 中如何体现呢？
定常流动
质 量 守 恒
事
故
讲
鄂洛多克车站惨案 与白色安全线
人为什么不能站 在安全线以内？
把漏斗口朝上，放入乒乓球，从下方使劲 吹气，看看兵乓球能不能被吹起来？
验
实
做
§1.2理想流体的伯努利方程及其应用
一.伯努利方程
1、方程推导
设理想流体在重力场中作定常流动,
则a1b1处机械能为：
v2Δt
E1
1 2
mv12
mgh1
同理，a2b2处机械能为：
E2
1 2
mv
2 2
mgh2
v1Δt h1
h2
整体机械能增量为：E E 2 E1
左端的力对流体做的功：
W1 F1v1t
而：F1 P1S1
故：W1 P1S1v1t
右端的力对流体做的功：
v1Δt
P1S1
W2 P2 S2v2t
应用实例1.喷雾器原理
空吸现象（喷雾器、水流抽气机、化油器等）
小孔处空气流速大，压强低， 流体就会沿竖管上升至小孔处， 被高速气流吹散成雾状。
应用实例2. 范丘里流量计
范丘里管可以直接测定液体的流量。
S1，S2 是粗、细两处横截面积。
且：S1 S2
p1
1 2
v12
p 1 v 2 恒量
2
p2
1 2
在流体中取一细流管,设流体密度为ρ，
在其上选a1a2 段流体为研究对象
P2S2
a1处：v1，h1，P1S1
v2
a2处：v2，h2，P2S2
h2
P1S1 h1v1
经过微小时间 t后，流体流动到 b1b2的位置。 从整体看，相当于流体从a1b1移动到了
a2b2，两端移动距离为v1t , v2t
设a1b1段流体的质量为 m
.A P0 , h
.B P,0
h
P0A
1 2
ρv A2
ρρgghhA
PPB
1 2
ρvB 2
ρghB
P P0 ρgh
2、小孔流速
在水槽下方侧面开一小孔放水。
PA
1 2
ρv A2
ρghA
PB
1 2
ρvB 2
ρghB
P0 0
ghA P0 1 v 2 ghB
2B
AP0 ,vA≈0 h
B P0,vB
1 2
ρv B 2
ρg(hA hB )
vB
2 gh
——托里拆利公式
3、水平流管的伯努利方程：
PA
1 2
ρv A2
ρghA
PB
1 2
ρvB 2
ρghB
h A
h B
:
PA
1 2
ρv A2
PB
1 2
ρvB 2
p 1 2 恒量
2
流速大的地方压强小；流速小的地方压强大。
在粗细不均匀的水平流管 中管细处流速大，管粗处流速 小，因而管细处压强小，管粗 处压强大。