复数及其运算(完整版本)

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“复变函数论”是研究自变量为复数的函数的基 本理论及应用的数学分支.
世界著名数学家 M.Kline指出：19世纪最独 特的创造是复变函数理论。象微积分的直接扩 展统治了18世纪那样，该数学分支几乎统治了 19世纪。它曾被称为这个世纪的数学享受，也 曾作为抽象科学中最和谐的理论。
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历史背景

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Rze)(3, Im z)(1,

2

2

zz Rz)e 2 ( Im z)2(32 12 5 .

2 2 2

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解: n=0, 原式=2 n=1,原式=2 n=2,原式=2i-2i=0 n=3,原式=-4 ……….
复数的幂的计算--三角形式\指数形式
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二、 复数的表示方法
（1）定义表示形式 用 x iy 表示 z,即 复 zx i数 .y

y

z1-z2 z1 z2 .(1)
z1z2 z1 z2 ;

z2
z2

z1 z2 z1
z1

o

x

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复数辐角的定义 当z0时，则把正实 OP 的 轴夹 与角 向称 量为
z的辐 (a角 rugme),记 nt 作Azrg.
注意 1 任 何 一 个 复 数 z 0有 无 穷 多 个 辐 角,
给定复数z=x+iy，则确定了实部x和虚 部y；反过来，给定实部x和虚部y,则完全确定 了复数z,这样，复数z与一对有序实数（x,y) 构成了一一对应关系。
因此 xi， y 与x,（ y)不加 . 区别
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（2）复数的平面表示法 我们知(x道 , y)， 可以用平面直中 角平 坐面 标
上的点(表 如示 图）
则z 1 z 2 x 1 x 2 且 y 1 y 2

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共轭复数 实部相同而虚部绝对值相等符号相反的两
个复数称为共轭复数, z的共轭复数记z. 为
即 z ： x i,y 则 若 z x i.y

x Rez zz , y Imz zz

2

2i

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复数系关于加法,乘法,除法是自封闭的

两 个 复 数 z1 x1 i y1 , z 2 x 2 i y2的 四 则 运 算
单值函数 复变函数论 多值函数
几何理论
•20世纪，发展为数学分支,在解析性质、映射性质、 多值性质、随机性质、函数空间及多复变函数等方 面有重要成果。
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空气动 力学

流体 力学
复变函数论

电学

热学

•复变函数论在空气动力学、流体力学、电学、热学、 理论物理等领域有重要应用（“*”内容）。

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第一章 复数与复变函数

注意：复数与向量的一一对 应使复数的加减运算与向量 的加减运算保持一致

y

z z1 z2

o

x z2 x2 iy2

z1 x1iy1

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共轭复数的几何性质

y

一对共轭复数z 和 z 在

复平面内的位置是关于 o

实轴对称的.

zxiy
x
zxiy

y
z2
z2
o

z1 z2 z1
z1
x

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和与差的模的性质

因z1 为 z2表z 示 1和 z2之 点间 ,故 的距

y

z x iy

y

(x, y)

o

x

x

复z数 xiy可以用平 (x,y)面 表(如 上 示.图 的 这种用来表面 示叫 复复 数 . 通 平 的常 面 平把

轴叫实x轴 轴 , 纵 或轴叫虚 y轴 .轴或

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（3）复数的向量表示法 复数 zxiy也可用复平面O 上P表 的示 向量

向量具有两个性 重： 要长 的度 属、 . 方向

z1 z2 z2 z2

全体复数并引进上述运算后就称为复数域，

常用C表示。 推导运算（3）
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复数运算的性质

( 1 )z 1 z 2 z 2 z 1 ;z1z2z2z1 ; (2)(z1z2)z3z1(z2z3)

z1(z2z3)(z1z2)z3

( 3 ) z 1 ( z 2 z 3 ) z 1 z 2 z 1 z 3 (4 )z1 z2 z1 z2; z1z2z1z2;
§1-1 复数及其运算 §1-2 复平面上的点集 §1-3 复变函数及其极限和连续 §1-4 复球面与无穷远点
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§1-1 复数及其运算
主要介绍关于复数的基本概念，包括复数的定 义、表示方法、运算法则、基本不等式的应用
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一 复数的概念及表示法

i2 1

定 义 ： 形 如 z x y i 或 z x i y 的 数 称 为 复 数 .
（1）两个复数的和与差

z 1 z 2 ( x 1 x 2 ) i ( y 1 y 2 )
பைடு நூலகம்
（2）两个复数的积

z 1 z 2 ( x 1 x 2 y 1 y 2 ) i ( x 2 y 1 x 1 y 2 )

特 别zzx2y2

（3）两个复数的商

z z1 2x1 x x 22 2 y y1 22 y2ixx 2y 22 1 x y1 22 y2

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20世纪

•16世纪，解代数方程时引入复数(笛卡尔，韦塞尔，阿尔冈) •17世纪，实变初等函数推广到复变数情形 •18世纪，逐步阐明复数的几何、物理意义。（达朗贝尔，欧拉）
流 体 力 学u (x ,y )+ iv (x ,y )
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•19世纪，奠定理论基础。A.L.Cauchy、维尔斯特 拉斯分别用积分和级数研究复变函数，黎曼研究复 变函数的映射性质

该向量的长 z的 度模 称或 为绝 , 对值

记z为 rx2y2.

y

显然成立：

y
r

z Rez z, z Imz z,



z x y.

o y

Pz x iy

x

x

z z1 z2

注意：复数与向量的一一对 应使复数的加减运算与向量

o

x z2 x2 iy2

z1 x1iy1

的加减运算保持一致

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（3）复数的向量表示法 复数 zxiy也可用复平面O 上P表 的示 向量

其中 x,y为实数，z分 的别 实称 部,为 和虚

记 x 作 R z )e ,y (Im z ). ( 当 x0, y0时 ,ziy 称为;纯虚数
当y0时 , zx0i,我们把它x看 . 作 复数相等

两个复数相等当且仅当它们的实部和虚部

分别相等（求解复方程的基础）
z1 x1 y1i，z2x2y2i

z1 z2



z1 z2

;

(5)zz;
(6 )zz R e (z )2 I m (z )2 |z|2 ;

恒为正整数或0,它的非负平方根称为z的模或绝对值

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例 1 设 z13i , 求 R z )e I,m ( z )与 z( z. i 1i

解 z1 3i i 3i(1i) 3 1 i, i 1i ii (1i)1 (i) 2 2