东城区2017-2018学年度第一学期期末教学统一检测高三数学(文科)试题及答案
东城区2017-2018学年度第一学期期末教学统一检测高三数学（文科）本试卷共6页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
）（1）已知集合{1,2,3,4,5,6}A =，{1,3,7}B =，则A B =（A ）{1,2,3,4,5,6,7}（B ）{1}（C ）{1,3} （D ）{2,4,5,6} （2）下列函数中为偶函数的是（A ）2(2)y x =-（B ）|ln |y x =（C ）cos y x x =? （D ）||e x y -=（3）直线:1l y kx =+ 与圆22:1O x y += 相交于 ,A B 两点，则“1k =”是“||AB 的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件（4）执行如图所示的程序框图，若输入2x =，则输出的S 值为（A ）8 （B ）19（C ）42 （D ）89（5）已知向量(1,2),(0,2),(1,)λ==-=-a b c ，若(2)-a b ∥c ，则实数λ=（A ）3- （B ）13（C ）1 （D ）3正（主）视图侧（左）视图俯视图（6）已知132a -=，21log 3b =，121log 3c = ，则 （A ） a b c >> （B ）a c b >>（C ）c b a >> （D ）c a b >>（7）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（A ）3 （B ）43（C ） （D ）83（8）在一次调查中，甲、乙、丙、丁四名同学的阅读量有如下关系：同学甲、丙阅读量之和与乙、丁阅读量之和相同，甲、乙阅读量之和大于丙、丁阅读量之和，丁的阅读量大于乙、丙阅读量之和．那么这四名同学按阅读量从大到小的顺序排列为 （A ）甲、丁、乙、丙（B ）丁、甲、乙、丙（C ）丁、乙、丙、甲 （D ）乙、甲、丁、丙第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
（9）复数1i i-+=________．（10）双曲线2212y x -=的渐近线方程为_________． （11）若y x ,满足0,23,,x x y y x ì³ïï+?íï³ïî则2y x -的最小值为_________．（12）在△ABC 中，5,7a c ==，1cos 5C =，则b = ；△ABC 的面积为 ．（13）已知函数223,,(),.x x x a f x x x a ⎧-->=⎨-≤⎩当0a =时，)(x f 的值域为______；当)(x f 有两个不同的零点时，实数a 的取值范围为______．（14）命题p ：已知(1,1),(1,1),(1,1),(1,1)A B C D ----，满足AMD BMC ∠=∠的所有点M 都在y 轴上．能够说明命题p 是假命题的一个点M 的坐标为______．三、解答题（共6小题，共80分。
解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
） （15）（本小题13分）已知{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，且112a b ==，3522a a +=，246b b b =． （Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）设n n n c a b =-，求数列{}n c 的前n 项和． （16）（本小题13分）已知函数2()cos 2cos 1(01)f x ax ax ax a =?-<?． （Ⅰ）当1a =时，求()f x 在区间[]122ππ，上的最大值与最小值； （Ⅱ）当()f x 的图象经过点(,2)3π时，求a 的值及()f x 的最小正周期． （17）（本小题13分）“砥砺奋进的五年”，首都经济社会发展取得新成就．2012年以来，北京城乡居民收入稳步增长．随着扩大内需，促进消费等政策的出台，居民消费支出全面增长，消费结构持续优化升级，城乡居民人均可支配收入快速增长，人民生活品质不断提升.下图是北京市20122016-年城乡居民人均可支配收入实际增速趋势图．（例如2012年，北京城镇居民收入实际增速为7.3%，农村居民收入实际增速为8.2%．）%（Ⅰ）从2012-2016五年中任选一年，求城镇居民收入实际增速大于7%的概率； （Ⅱ）从2012-2016五年中任选两年，求至少有一年农村和城镇居民实际收入增速均超7%的概率；（Ⅲ）由图判断，从哪年开始连续三年农村居民收入实际增速方差最大？（结论不要求证明）（18）（本小题14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，△PAD 是等边三角形，E 为AD 中点，四边形ABCD 为直角梯形，AB ∥CD ，AB AD ⊥，AB AP ⊥，22CD AD AB ===． （Ⅰ）求证：平面PAB ⊥平面PAD ； （Ⅱ）求四棱锥P ABCD -的体积；（Ⅲ）在棱PB 上是否存在点M ，使得EM ∥平面PCD ？说明理由．（19）（本小题14分）已知函数()ln f x x x =⋅.（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （Ⅱ）求()f x 的单调区间；（Ⅲ）若对于任意1[,e]ex ∈，都有()1f x ax ≤-，求实数a 的取值范围.（20）（本小题13分）已知椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点(1,0)F 与短轴两个端点的连线互相垂直．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）设点Q 为椭圆C 上一点，过原点O 且垂直于QF 的直线与直线2y =于点P ，求△OPQ 面积S 的最小值．东城区2017-2018学年第一学期期末教学统一检测高三数学参考答案及评分标准 （文科）一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）（1）C （2）D （3）A （4）C （5）A （6）D （7）B （8）A二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）（9）2i - （10）y =?（11）1- （12）6， （13）[4,)-+∞，(,1)-∞-或[0,3)（14）1(,22（点M 的坐标只需满足222x y +=，(1,0)(0,1)x ∈- 或y x =±，(,1)(1,)x ∈-∞-+∞ ）三、解答题（共6小题，共80分） （15）（共13分）解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ．因为354222a a a +==，所以41123a d ==+．解得3d =． 又因为241565b b bb b qb ===，所以12q b ==．所以31n a n =-，2n n b =，*n ∈N ． ……………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，31n a n =-，2n n b =． 因此312n n n n c a b n =-=--数列{}n a 前n 项和为2(231)322n n n n+-+=．数列{}n b 的前n 项和为12(12)2212n n =+---． 所以，数列{}n c 的前n 项和为213222n n n ++-+，*n ∈N ． ………13分解：（Ⅰ）当1a =时，2()cos 2cos 1f x x x x =⋅+-2cos2x x =+2sin(2)6x π=+.因为122x p p ＃， 所以63627x p p +?p £．所以，当262x p +=p ，即6x p=时，()f x 取得最大值2，当2676x p +=p ，即2x p=时，()f x 取得最小值为1-. ………6分（Ⅱ）因为2()cos 2cos 1(01)f x ax ax ax a =?-<?，所以()2cos 22sin(2)6f x ax ax ax p+=+． 因为()f x 的图象经过点(,2)3π，所以22sin()236a ππ+=，即2sin()136a ππ+=． 所以22362a +k πππ+=π． 所以13()2a k k =+∈Z ．因为01a <?，所以12a =．所以()f x 的最小正周期2π21T==π． ……13分（17）（共13分）解：（Ⅰ）设城镇居民收入实际增速大于7%为事件A ，由图可知，这五年中有201220132014，，这三年城镇居民收入实际增速大于7%，所以3()5P A =. ……5分 （Ⅱ）设至少有一年农村和城镇居民实际收入增速均超7%为事件B ，这五年中任选两年，有(2012,2013)，(2012,2014)，(2012,2015)，(2012,2016)，(2013,2014)，(2013,2015)，(2013,2016)，(2014,2015)，(2014,2016)， (2015,2016)共10种情况，其中至少有一年农村和城镇居民实际收入增速均超过7%的为前9种情况，所以9()10P B =. ………10分 （Ⅲ）从2014开始连续三年农村居民收入实际增速方差最大. ………13分解：（Ⅰ） 因为AB AD ⊥，AB AP ⊥，AD AP A = ， 所以AB ⊥平面PAD ． 因为AB ⊂平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面PAD ． ………5分 （Ⅱ）连接PE ．因为△PAD 为等边三角形，E 为AD 中点， 所以PE AD ⊥． 因为AB ⊥平面PAD ， 所以AB PE ⊥． 因为AB AD A = ， 所以PE ⊥平面ABCD ． 所以13P ABCD ABCDV S PE -=⨯⨯梯形． 在等边△PAD 中，sin 60PE PA =⋅︒=(12)232ABCD S +⨯==梯形，所以11333P ABCD ABCD V S PE -=⨯⨯=⨯梯形 ………9分 （Ⅲ）棱PB 上存在点M ，使得EM ∥平面PCD ，此时点M 为PB 中点．取BC 中点F ，连接,,MF ME EF ． 因为E 为AD 中点， 所以EF ∥CD ． 因为EF ⊄平面PCD ， 所以EF ∥平面PCD ． 因为M 为PB 中点， 所以MF ∥PC ． 因为MF ⊄平面PCD ， 所以MF ∥平面PCD ． 因为MF EF F = ， 所以平面MEF ∥平面PCD ． 因为ME ⊂平面MEF ，所以ME ∥平面PCD ． ………14分解：（Ⅰ）因为函数()ln f x x x =， 所以1'()ln ln 1f x x x x x=+⋅=+, '(1)ln111f =+=.又因为(1)0f =，所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为1y x =-. ………4分 （Ⅱ）函数()ln f x x x =定义域为(0,)+∞， 由（Ⅰ）可知，'()ln 1f x x =+. 令'()0f x =解得1ex =. ()f x 与'()f x 在区间(0,)+∞上的情况如下：所以，()f x 的单调递增区间是()e+∞，； ()f x 的单调递减区间是1(0,)e. ………9分（Ⅲ）当1e e x ≤≤时，“()1f x ax ≤-”等价于“1ln a x x≥+”.令1()ln g x x x =+，1[,e]ex ∈，22111'()x g x x x x -=-=，1[,e]e x ∈.当1(,1)e x ∈时，'()0g x <，所以()g x 在区间1(,1)e单调递减.当(1,e)x ∈时，'()0g x >，所以()g x 在区间(1,e)单调递增.而1()ln e e e 1 1.5eg =+=->，11(e)ln e 1 1.5e eg =+=+<.所以()g x 在区间1[,e]e上的最大值为1()e 1e g =-.所以当e 1a ≥-时，对于任意1[,e]ex ∈，都有()1f x ax ≤-. ………14分解：（Ⅰ）由题意，得2221,1,,b c a b c ⎧=⎪=⎨⎪=+⎩解得a =所以椭圆C 的方程为2212x y +=． ………4分（Ⅱ）设00(,)Q x y ，(,2)P m ，则220012x y +=．① 当0m =时，点(0,2)P ，Q点坐标为(或，122S ==② 当0m ¹时，直线OP 的方程为2y x m=．即20x my -=，直线QF 的方程为(1)2my x =--． 点00(,)Q x y 到直线OP的距离为d||OP = 所以，000011|||2|||222mS OP d x my x y =⋅⋅=⨯-=-．又00(1)2my x =--， 所以202200000000(1)2212||||||1121x y x x S x x x x x --+=+=+=⨯--- 00001111|1|(|1|)212|1|x x x x =⨯-+=-+--0x ≥<01)x ≠， 当且仅当001|1||1|x x -=-，即00x =时等号成立，综上，当00x =时，S 取得最小值1. ………13分。
2017-2018学年东城区一模(文)数学试卷及答案
北京市东城区2017-2018学年度第二学期高三综合练习（一）数学 （文科）学校_____________班级_______________姓名______________考号___________本试卷共5页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）若集合{|31}A x x =-<<，{|1B x x =<-或2}x >，则AB =（A ）{|31}x x -<<- （B ）{|32}x x -<< （C ）{|11}x x -<< （D ）{|12}x x <<（2）复数i1iz =-在复平面内对应的点位于（A ）第一象限 （B ）第二象限（C ）第三象限 （D ）第四象限（3）若,x y 满足20,220,0,x y x y y +-≤⎧⎪+-≥⎨⎪≥⎩则y x -的最大值为（A ）2- （B ）1-（C ）2（D ）4（4）执行如图所示的程序框图，如果输出的S 值为30，那么空白的判断框中应填入的条件是（A ）2n ≤ （B ）3n ≤错误!未找到引用源。
（C ）4n ≤ （D ）5n ≤（5）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的棱长为（A ）2 （B ）22 （C ）32 （D ） 4 （6）函数4()2x f x x=-的零点所在区间是 （A ）1(0,)2 （B ）1(,1)2（C ）3(1,)2 （D ）3(,2)2（7）已知平面向量,,a b c 均为非零向量，则“()()⋅=⋅a b c b c a ”是“向量,a c 同向”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件输出S结束是开始否 0,0n S ==1n n =+2nS S =+（8）为弘扬中华传统文化，某校组织高一年级学生到古都西安游学．在某景区，由于时间关系，每个班只能在甲、乙、丙三个景点中选择一个游览．高一1班的27名同学决定投票来选定游览的景点，约定每人只能选择一个景点，得票数高于其它景点的入选．据了解，在甲、乙两个景点中有18人会选择甲，在乙、丙两个景点中有18人会选择乙．那么关于这轮投票结果，下列说法正确的是 ①该班选择去甲景点游览；②乙景点的得票数可能会超过9；③丙景点的得票数不会比甲景点高； ④三个景点的得票数可能会相等.（A ）①② （B ）①③ （C ）②④ （D ）③④第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
2017—2018学年度第一学期期末教学质量检查高三文科数学参考答案_最新修正版
2017—2018学年度第一学期期末教学质量检查高三文科数学 参考答案一、选择题13．1(,)2+∞14．220x y --= 15．14π 16．)33,32( 三、解答题（17）（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）2324a a a =⋅34a ∴=±…………………………………1分若34a =-，则23610a a =-=，此时32a a <，不合题意，舍去； 若34a =，则2362a a =-=，此时2q =，11a =，符合题意.…………………………………4分从而数列{}n a 的通项公式12()n n a n N -*=∈.…………………………………5分 （Ⅱ）由条件n n a b n = 知 12n n n n n b a -==…………………………………6分则 21231222n n n T -=++++ ①21112122222n n n n nT --=++++ ② ①－②可得：211111(1)22222n n nnT -=++++- …………… ……………………9分所以11111221222212= =n n n n nn n T ------ …………………………………11分所以数列{}n b 的前n 项和211422n n n n T --=--. …………………………………12分（18）（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由频率分布直方图可知，样本中生长高度在115cm 以上（含115cm ）的频率为 ()0.010.0080.00410=0.22++⨯， 所以株数为0.221000=220⨯.…………………………………2分（Ⅱ）由频率分布直方图可估计：=600.02700.08800.14900.151000.241100.151200.11300.081400.04=100x -⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯…………………………………4分2=16000.029000.084000.141000.151000.154000.19000.0816000.04=366s ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯…………………………………6分∴莞草株高的平均数100cm ，方差为366.…………………………………7分（Ⅲ）设两株高度和不少于225cm 的事件为A ，记高度依次为100cm ，110cm ，112cm ，112cm ，125cm ，125cm 的莞草 分别为,,,,,a b c d e f .则两株高度和共有15种结果，如下：(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)a b a c a d a e a f b c b d b e b f c d c e c f d e d f e f…………………………………9分其中A 包含了(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,) a e a f b e b f c e c f d e d f e f 9个结果，93()155P A ∴==…………………………………11分故这两株莞草高度和不少于225cm 的概率为35. …………………………………12分（19）（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由已知又2=CD ，所以DAB ∆和DBC ∆均为等腰∆Rt ，…………………………………1分所以045=∠=∠BDC ADB ，则090=∠ADC ，…………………………………2分…………………………………3分 取DE 中点H ，连,,HF AH BF ，又因为F 为EC 中点，…………………………………4分所以HF AB //且HF AB =，所以ABFH 为平行四边形， 所以AH BF //，…………………………………5分又因为AH ADE ⊂面，ADE BF 面⊄，所以ADE BF 面//.…………………………………6分（Ⅱ）由（1）BC BD ⊥又BE BC ⊥，BC EBD ∴⊥面 .DE BC ∴⊥…………………………………7分又由（1）知DE DC ⊥，DE ABCD ∴⊥面 .…………………………………8分设点D 到面BCE 的距离为h ，11,133E BCD D BCE V V h --=∴⋅= .…………………………………10分D 到面BCE.…………………………………12分 （20）（本小题满分12分）解：（Ⅰ）椭圆C 的焦距为2c ，则22c =即1c =…………………………………1分22e=a ∴==所以2221b ac =-=…………………………………3分故椭圆C 的方程为2212y x +=.…………………………………4分（Ⅱ） 假设满足条件的直线l 存在，设其方程为y x t =+，…………………………………5分四边形PMQN 为平行四边形即MN 与PQ 互相平分 设()11,M x y ，()()()22344,,3,,,N x y P y Q x y ， 所以 124= 3x x x ++-----------①…………………………………6分由2212y x t y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，得223220x tx t ++-=， 则()2241220t t ∆=-->，解得t <<由韦达定理知122= 3x x t +------------ ② …………………………………8分②代入①可得：42=33x t --t <<( …………………………………9分从而4[3]x ∈- …………………………………10分45 331333-<-=-<-由于与椭圆上点的横坐标的取值范围[]1,1-矛盾，…………………………………11分故点Q 不在椭圆上，从而满足条件的直线l 不存在.…………………………………12分21．（本小题满分12分）解：（1）因为1-=a ，,)(xe a xf +='1)(-='∴xe xf …………………………………1分 且)(),(,x f x f x '的变化关系表为…………………………3分 ∴当0=x 时，)(x f 有最小值为1)0(=f …………………………………4分1)(≥∴x f …………………………………5分（2）令()[)+∞∈++-+=+-=,0,1ln 11ln)()(x x e ax x ex f x g x ∴,11)(+++='x e a x g x…………………………………6分由（1）知[)1,,0+≥+∞∈x e x x ① 当,0211111)(02≥+>++++>+++='>-≥a x x a x e a x g x a x 时，，∴[)0)0()(,,0=+∞∈g x g x 单调递增，且 ∴[).0)0()(,,0恒成立=≥+∞∈g x g x 从而.2符合题意-≥a……………………………………8分② 当2a <-时，令()11x x e a x ϕ=+++, 则()()()()222111011x xx e x e x x ϕ+-'=-=≥++. ∴函数()x ϕ在区间[)0,+∞上单调递增.………………………………………9分由于()020a ϕ=+<,()111110111a a e a a a a a aϕ--=++≥-++=+>---. 故()00,x a ∃∈-,使得()00x ϕ=.…………………………………………10分则当00x x <<时,()()00x x ϕϕ<=,即()0g x '<. ∴函数()g x 在区间()00,x 上单调递减. ∴ ()()000g x g <=,不符题意.…………………………………………11分综上所述,实数a 的取值范围是[)2,-+∞.…………………………………………12分22．（本小题满分10分）1 ( )2x C y ααα⎧=⎪⎨=⎪⎩解：(1)曲线的参数方程为：为参数转化为普通方程：043222=--+y x y x ，…………………………………………2分∴曲线C 1的极坐标方程为：0sin 4cos 32=-θθρ-， 直线l 1的极坐标方程为：6πθ=（R ∈ρ）．…………………………………………5分（2）设A (ρ1，θ1)，B (ρ2，θ2)，由⎪⎩⎪⎨⎧=--=0sin 4cos 326θθρπθ解得0=ρ（舍去）或5=ρ，所以51=ρ．…………………………………………7分由⎪⎩⎪⎨⎧=--=0sin 4cos 323θθρπθ解得0=ρ（舍去）或33=ρ，所以332=ρ． …………………………………………9分∴三角形△AOB 的面积为4315)63sin(2121=-=∆ππρρABC S ． …………………………………………10分 23．（本小题满分10分）解：（1）当1a =时，不等式()2f x >即为1242x x +-->， …………………………………………1分若-1x ≤，不等式可化为52x ->，解得7x >，无解， 若12x -<<，不等式可化为1(24)2x x ++->，解得53x >，所以 523x << 若2x ≥，不等式可化为1(24)2x x +-->，解得3x <，所以23x ≤<…………………………………………4分 综上所述，关于x 的不等式()2f x >的解集为533xx ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭. …………………………………………5分 （2）由题意可知()12441 2 314 124 1 1f x x x aa x x ax a x ax a x =+--+-≥⎧⎪=+--<<⎨⎪--≤-⎩，，， …………………………………………6分所以()y f x =的图象与x 轴围成的三角形为PEF ∆41(2,21),(,0),(41,0)3a P a a E F a -++其中 …………………………………………7分8141(41)(21)823PEF S a a a ∆∴>-⇒⨯+-⨯+>2(21)12 a +>整理得： …………………………………………9分121 2a a a >∴+>>即…………………………………………10分。
2018-2019学年北京市东城区高三(上)期末数学试卷(文科)(解析版)
2018-2019学年北京市东城区高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）若集合A＝{x|﹣2＜x≤0}，B＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，则A∩B＝（）A．{﹣2，﹣1}B．{﹣2，0}C．{﹣1，0}D．{﹣2，﹣1，0} 2．（5分）下列复数为纯虚数的是（）A．1+i2B．i+i2C．D．（1﹣i）23．（5分）在平面直角坐标系xOy中，角α以Ox为始边，终边在射线y＝2x（x≥0）上，则cosα的值是（）A．B．C．D．4．（5分）若x，y满足则x+2y的最小值为（）A．0B．4C．5D．105．（5分）执行如图所示的程序框图，输入n＝5，m＝3，那么输出的p值为（）A．360B．60C．36D．126．（5分）设a，b，c，d为实数，则“a＞b，c＞d”是“a+c＞b+d”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，在此三棱锥的六条棱中，最长棱的长度为（）A．2B．C．D．38．（5分）地震里氏震级是地震强度大小的一种度量．地震释放的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为lgE＝4.8+1.5M．已知两次地震的里氏震级分别为8.0级和7.5级，若它们释放的能量分别为E1和E2，则的值所在的区间为（）A．（1，2）B．（5，6）C．（7，8）D．（15，16）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）已知向量＝（1，﹣2），＝（2，m），若⊥，则m＝．10．（5分）在△ABC中，已知a＝1，，，则c＝．11．（5分）若等差数列{a n}和等比数列{b n}满足a1＝﹣1，b1＝2，a3+b2＝﹣1，试写出一组满足条件的数列{a n}和{b n}的通项公式：a n＝，b n＝．12．（5分）过双曲线的右焦点F作垂直于x轴的直线，交双曲线于A，B两点，O为坐标原点，若△OAB为等腰直角三角形，则双曲线的离心率e ＝．13．（5分）小菲在学校选修课中了解到艾宾浩斯记忆曲线，为了解自己记忆一组单词的情况，她记录了随后一个月的有关数据，绘制散点图，拟合了记忆保持量与时间（天）之间的函数关系：某同学根据小菲拟合后的信息得到以下结论：①随着时间的增加，小菲的单词记忆保持量降低；②9天后，小菲的单词记忆保持量低于40%；③26天后，小菲的单词记忆保持量不足20%．其中正确的结论序号有．（注：请写出所有正确结论的序号）14．（5分）已知函数f（x）＝x3﹣4x，g（x）＝sinωx（ω＞0）．若∀x∈[﹣a，a]，都有f（x）g（x）≤0，则a的最大值为；此时ω＝．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）已知等差数列{a n}满足a1＝1，a2+a4＝10．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）若，求数列{b n}的前n项和．16．（13分）已知函数．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求证：对于任意的，都有．17．（13分）某中学有学生500人，学校为了解学生课外阅读时间，从中随机抽取了50名学生，收集了他们2018年10月课外阅读时间（单位：小时）的数据，并将数据进行整理，分为5组：[10，12），[12，14），[14，16），[16，18），[18，20]，得到如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）试估计该校所有学生中，2018年10月课外阅读时间不小于16小时的学生人数；（Ⅱ）已知这50名学生中恰有2名女生的课外阅读时间在[18，20]，现从课外阅读时间在[18，20]的样本对应的学生中随机抽取2人，求至少抽到1名女生的概率；（Ⅲ）假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替，试估计该校学生2018年10月课外阅读时间的平均数．18．（14分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直于底面，A1B1⊥B1C1，AA1＝AB＝2，BC＝1，E为A1C1中点．（Ⅰ）求证：A1B⊥平面AB1C1；（Ⅱ）求三棱锥B﹣ECC1的体积；（Ⅲ）设平面EAB与直线B1C1交于点H，求线段B1H的长．19．（13分）已知函数，a∈R．（Ⅰ）当a＝1时，求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）求f（x）的单调区间．20．（14分）已知椭圆C：的离心率为，其左焦点为F1（﹣1，0）．直线l：y＝k（x+2）（k≠0）交椭圆C于不同的两点A，B，直线BF1与椭圆C的另一个交点为E．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）当时，求△F1AB的面积；（Ⅲ）证明：直线AE与x轴垂直．2018-2019学年北京市东城区高三（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．【解答】解：∵集合A表示﹣2到0的所有实数，集合B表示5个整数的集合，∴A∩B＝{﹣1，0}，故选：C．2．【解答】解：∵1+i2＝1﹣1＝0，i+i2＝i﹣1，，（1﹣i）2＝1﹣2i+i2＝﹣2i．∴为纯虚数的是（1﹣i）2．故选：D．3．【解答】解：角α以Ox为始边，终边在射线y＝2x（x≥0）上，在终边上任意取一点（1，2），则cosα＝＝，故选：A．4．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，由z＝x+2y，得y＝﹣x+，平移直线y＝﹣x+，由图象可知当直线经过点A（2，1）时，直线y＝﹣x+的截距最小，此时z最小，此时z＝2+2×1＝4．故选：B．5．【解答】解：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的p的值，可得程序框图实质是计算排列数的值，当n＝5，m＝3时，可得：＝60．故选：B．6．【解答】解：由c＞d，则“a＞b”⇒“a+c＞b+d”，反之不成立．例如取c＝5，d＝1，a＝2，b＝3．满足c＞d，“a+c＞b+d”，但是a＞b不成立．∴c＞d，则“a＞b，c＞d”是“a+c＞b+d”的充分不必要条件．故选：A．7．【解答】解：由三棱锥的三视图知该三棱锥是如图所示的三棱锥P﹣ABC，其中P A⊥底面ABC，AC⊥BC，P A＝AC＝2，BC＝1，∴PB＝＝＝3，∴在该三棱锥中，最长的棱长为PB＝3．故选：D．8．【解答】解：lgE＝4.8+1.5M，∴lgE1＝4.8+1.5×8＝16.8，lgE2＝4.8+1.5×7.5＝16.05，∴E1＝1016.8，E2＝1016.05，∴＝100.75，∵100.75＞90.75＝31.5＝3×＞5，∴的值所在的区间为（5，6），故选：B．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．【解答】解：∵；∴；∴m＝1．故答案为：1．10．【解答】解：在△ABC中，已知a＝1，，，∴sin C＝，由正弦定理可得＝，∴c＝＝4，故答案为：4．11．【解答】解：等差数列{a n}的公差设为d，等比数列{b n}的公比设为q，a1＝﹣1，b1＝2，a3+b2＝﹣1，可得﹣1+2d+2q＝﹣1，即为d＝﹣q，可取d＝﹣1，可得q＝1，则a n＝﹣1﹣（n﹣1）＝﹣n；b n＝2．故答案为：﹣n，2．12．【解答】解：过双曲线的右焦点F作垂直于x轴的直线，交双曲线于A，B两点，O为坐标原点，若△OAB为等腰直角三角形，可得c＝，即ac＝c2﹣a2，可得：e2﹣e﹣1＝0，e＞1，解得：e＝．故答案为：．13．【解答】解：，可得f（x）随着x的增加而减少，故①正确；当1＜x≤30时，f（x）＝+x，f（9）＝+•9＝0.35，9天后，小菲的单词记忆保持量低于40%，故②正确；f（26）＝+•26＞，故③错误．故答案为：①②．14．【解答】解：∵函数f（x）＝x3﹣4x，g（x）＝sinωx（ω＞0）均为奇函数．∴只需考虑∀x∈[0，a]，都有f（x）g（x）≤0即可．∵函数f（x）＝x3﹣4x在[0，2]满足f（x）≤0，在[2，+∞）满足f（x）≥0，∴当且仅当在[0，2]上g（x）≥0，在[2，a]满足g（x）≤0，a才能取到最大值，（如图）．此时，，a＝4．故答案为：4，．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．【解答】（共13分）解：（I）设{a n}的公差为d，因为a2+a4＝2a3＝10，所以a3＝5．所以a3﹣a1＝2d＝5﹣1＝4．解得d＝2．所以a n＝a1+（n﹣1）d＝1+（n﹣1）×2＝2n﹣1．……………………………..（7分）（Ⅱ）由（I）知，，所以{b n}的前n项和为＝＝．……………………..（13分）16．【解答】解：（Ⅰ）＝＝＝，所以，f（x）的最小正周期．（Ⅱ）证明：∵，∴，∴，∴，∴，所以对于任意的，都有．17．【解答】解：（Ⅰ）0.10×2+0.05×2＝0.30，即课外阅读时间不小于16小时的样本的频率为0.30．因为500×0.30＝150，所以估计该校所有学生中，2018年10月课外阅读时间不小于16小时的学生人数为150．（5分）（Ⅱ）阅读时间在[18，20]的样本的频率为0.05×2＝0.10．因为50×0.10＝5，即课外阅读时间在[18，20]的样本对应的学生人数为5．这5名学生中有2名女生，3名男生，设女生为A，B，男生为C，D，E，从中抽取2人的所有可能结果是：（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（B，C），（B，D），（B，E），（C，D），（C，E），（D，E）．其中至少抽到1名女生的结果有7个，所以从课外阅读时间在[18，20]的样本对应的学生中随机抽取2人，至少抽到1名女生的概率为p＝…（11分）（Ⅲ）根据题意，0.08×2×11+0.12×2×13+0.15×2×15+0.10×2×17+0.05×2×19＝14.68（小时）．由此估计该校学生2018年10月课外阅读时间的平均数为14.68小时．……………．（13分）18．【解答】（共14分）解：（Ⅰ）因为三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直于底面，所以BB1⊥平面A1B1C1．因为B1C1⊂平面A1B1C1，所以BB1⊥B1C1．又因为B1C1⊥A1B1，A1B1∩BB1＝B1，所以B1C1⊥平面AA1B1B．因为A1B⊂平面AA1B1B，所以A1B⊥B1C1．因为AA1＝AB＝2，所以四边形AA1B1B为菱形．所以A1B⊥AB1．因为B1C1∩AB1＝B1，所以A1B⊥平面AB1C1．……………………………..（5分）（Ⅱ）由已知，BB1⊥平面A1B1C1，A1B1⊂平面A1B1C1，所以BB1⊥A1B1．因为A1B1⊥B1C1，B1C1∩BB1＝B1，所以A1B1⊥平面BB1C1C．又A1B1＝AB＝2，故A1到平面BB1C1C的距离为2．因为E为A1C1中点，所以E点到平面BB1C1C距离为1．所以．……..（9分）（Ⅲ）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，因为E，H为平面EAB与平面A1B1C1的公共点，所以平面EAB∩平面A1B1C1＝EH．因为平面ABC∥平面A1B1C1，AB⊂平面ABC，所以AB∥平面A1B1C1．又平面A1B1C1∩平面EAB＝EH，所以EH∥AB．又AB∥A1B1，所以EH∥A1B1．因为E为A1C1中点，所以H为B1C1中点．所以．………………………..（14分）19．【解答】解：（Ⅰ）f（x）的定义域为R，f′（x）＝ae x（x+1）﹣x﹣1＝（x+1）（ae x﹣1）．当a＝1时，f′（0）＝0，f（0）＝0，所以曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y＝0．………………………..（5分）（Ⅱ）f′（x）＝ae x（x+1）﹣x﹣1＝（x+1）（ae x﹣1）．（1）当a≤0时，ae x﹣1＜0，所以当x＞﹣1时，f′（x）＜0；当x＜﹣1时，f′（x）＞0．所以f（x）的单调递增区间为（﹣∞，﹣1），单调递减区间为（﹣1，+∞）．（2）当a＞0时，令f′（x）＝0，得x1＝﹣1，x2＝﹣lna．①当﹣lna＝﹣1，即a＝e时，f′（x）≥0，所以f（x）的单调递增区间为（﹣∞，+∞），无单调递减区间；②当﹣lna＜﹣1，即a＞e时，当﹣lna＜x＜﹣1时，f′（x）＜0；当x＜﹣lna或x＞﹣1时，f′（x）＞0．所以f（x）的单调递减区间为（﹣lna，﹣1），单调递增区间为（﹣∞，﹣lna），（﹣1，+∞）；③当﹣lna＞﹣1，即0＜a＜e时，当﹣1＜x＜﹣lna时，f′（x）＜0；当x＜﹣1或x＞﹣lna时，f′（x）＞0．所以f（x）的单调递减区间为（﹣1，﹣lna），单调递增区间为（﹣∞，﹣1），（﹣lna，∞）．………………………………（12分）20．【解答】（共14分）解：（I）由已知有解得所以椭圆C的方程为．……………………………………（5分）（II）由消去y，整理得（1+2k2）x2+8k2x+（8k2﹣2）＝0．由已知，△＝（8k2）2﹣4（1+2k2）（8k2﹣2）＞0，解得．设A（x1，y1），B（x2，y2），则，．直线l的方程为x﹣2y+2＝0，F1（﹣1，0）到直线l的距离．所以△F1AB的面积为．…………………………………（10分）（III）当x2＝﹣1时，．此时直线l的斜率为，由（II）知不符合题意，所以x2≠﹣1．设直线BF1的斜率为．则直线BF1的方程为y＝t（x+1）．由消去y，整理得（1+2t2）x2+4t2x+（2t2﹣2）＝0．设E（x3，y3），则有．由得，代入上式整理得，解得．因为，将，代入，整理得x3﹣x1＝0，所以x3＝x1．所以直线AE与x轴垂直．……………………………………（14分）。
北京市东城区2017 — 2018学年度第一学期期末数学试卷及答案
东城区2017–-2018学年度第一学期期末教学统一检测高一数学 2018.1本试卷共4页，共100分，考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第一部分(选择题 共39分)一、 选择题：本大题共13小题,每小题3分,共39分.在每个小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的. 1. 设全集x x U {=是小于9的正整数}，A=}3,2,1{，则U A ð等于（ ）A.}8,7,6,5,4{B.}8,7,6,5,4,0{C.}9,8,7,6,5,4{D.}9,8,7,6,5,3{ 2. 函数sin 2y x π⎛⎫=+⎪4⎝⎭的周期是（ ） A.πB. 2πC.2π D.4π 3. 已知函数)(x f 是奇函数，它的定义域为{ 1 <<2-1 }x x a ，则a 的值为（ ）A.1-B. 0C.21D. 14. 在同一平面直角坐标系内，2x y =与2log ()y x =-的图象可能是（ ）A .B. C. D.5. 函数32()f x x x =+的零点的个数是（ ）A. 0B. 1C. 2D. 36.如图所示，角α的终边与单位圆交于点P ，已知点P 的坐标为(－35，45)， 则tan 2α=（ ）A.2425 B.2425-C.247D.247- 7．函数[]cos ,，y x x π⎛⎫=+∈-ππ ⎪2⎝⎭是（ ）A.增函数B. 减函数C. 偶函数D.奇函数8．把ππsin sin 44x x ⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可化简为（ ）x B.x C. x D.x9. 函数113sin(),[0,]66y x x ππ=+∈的单调递减区间是（ ） A. ]611,6[ππB . ]6,0[πC.566ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦， D. ]34,3[ππ10.若)3cos ()x x x ϕϕ+-∈-ππ，，，则ϕ等于（ ）A. 3π-B.3π C.5π6D.5π-611.已知 220.2log 0.3,log 3,log 0.3a b c ===，则c b a ,,的大小关系为（ ） A.a b c >> B. b c a >> C. c a b >> D. c b a >> 12.已知()(2),,(1,)()当时，为增函数f x f x x R x f x =-∈∈+∞(1),(2设，a f b f ==(1)c f =-，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A. a b c >>B. b a c >>C. c a b >>D. c b a >>13. 渔民出海打鱼，为了保证获得的鱼新鲜，鱼被打上岸后，要在最短的时间内将其分拣、冷藏．若不及时处理，打上来的鱼会很快地失去新鲜度（以鱼肉里含有三甲胺量的多少来确定鱼的新鲜度. 三甲胺是一种挥发性碱性氨，是胺的类似物，它是由细菌分解作用产生的．三甲胺量积聚就表明鱼的新鲜度下降，鱼体开始变质进而腐败）. 已知某种鱼失去的新鲜度h 与时间t （分）满足的函数关系为t a m t h ⋅=)(，若出海后10分钟，这种鱼失去的新鲜度为10%，出海后20分钟，这种鱼会失去的新鲜度为20%，那么若不及时处理，打上来的这种鱼会在多长时间后开始全部失去全部新鲜度（已知lg 2=0.3，结果取整数）（ ） A ．33分钟 B. 43分钟 C. 50分钟 D. 56分钟第二部分(非选择题 共61分)二、填空题：本大题共4小题，每小题3分，共12分.14. 函数()2f x x =的最小值是．15．已知幂函数)(x f ，它的图象过点1,42⎛⎫ ⎪⎝⎭，那么)8(f 的值为 ． 16．函数y =的定义域用集合可表示为 .17. 红星学校高一年级开设人文社科、英语听说、数理竞赛三门选修课, 要求学生至少选修一门．某班40名学生均已选课， 班主任统计选课情况如下表，由统计结果分析该班三科都 选报学生有 人.三、解答题：本大题共5小题，共49分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18. (本题满分10分)已知函数2,10(),01,1 2.≤，≤，≤≤x x f x x x x x -<⎧⎪=<⎨⎪-⎩（Ⅰ）求23f ⎛⎫-⎪⎝⎭，12f ⎛⎫⎪⎝⎭的值； （Ⅱ）作出函数的简图；（Ⅲ）由简图指出函数的值域．19. (本题满分10分)已知函数()sin()4f x x π=-.（Ⅰ）若()f α=，求sin cos αα-的值； （Ⅱ）设函数2()2[()]cos(2)6g x f x x π=++，求函数()g x 的值域.20. (本题满分10分)已知函数()2sin 2,0.63f x x x ππ⎛⎫=+≤≤⎪⎝⎭. （Ⅰ）列表，描点，画函数()f x 的简图，并由图象写出函数()f x 的单调区间及最值； （Ⅱ）若()()1212,(),f x f x x x =≠，求()12f x x +的值.21. (本题满分10分)珠宝加工匠人贾某受命单独加工某种珠宝首饰若干件，要求每件首饰都按统一规格加工. 单件首饰的原材料成本为25（百元）. 单件首饰设计的越精致，做工要求就越高，耗时也就）与其售价间的关系满足越多，售价也就越高，单件首饰加工时间t（单位：时，t N图1（由射线AB上离散的点构成）. 首饰设计得越精致，就越受到顾客喜爱，理应获得的订单就越多，但同时，价格也是一个不可忽视的制约顾客选择的因素，单件首饰加工时间t （时）与预计订单数的关系满足图2（由线段MN和射线NP上离散的点组成），原则上，单价首饰的加工时间不能超过55小时. 贾某的报酬为这批首饰销售毛利润的5%，其他成本概不计算.图1 图2（Ⅰ）如果贾某每件首饰加工12小时，预计会有多少件订单；（Ⅱ）设贾某生产这批珠宝首饰产生的利润为S，请写出加工时间t（小时）与利润S之间的函数关系式，并求利润S最大时，预计的订单数.注：利润S =（单件售价材料成本）订单件数贾某工资毛利润=总销售额-材料成本22. (本题满分9分) 已知函数21()11x x xf x x x x --=++-+，()()3g x f x =- . （Ⅰ）判断并证明函数()g x 的奇偶性；（Ⅱ）判断并证明函数()g x 在(1,)+∞上单调性；（Ⅲ）若22(27)(244)f m m f m m -+≥-+成立，求实数m 取值范围.东城区2017–-2018学年度第一学期期末教学统一检测高一数学参考答案及评分标准 2018.1三、解答题：本大题共5小题，共49分.18. 解：（Ⅰ）2233f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭；2111224f ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；-------------------------------------6分 （Ⅱ） 简图如下图所示：-------------------------------------------8分（Ⅲ） 由（Ⅱ）的图象知，函数的值域是[-2，1]． ------------------------------10分 19．解：（Ⅰ）∵()3f α=. ∴sin()43πα-=. αα=∴ 2sincos 3αα-=. ---------------------------------------6分 （Ⅱ）2()2sin ()cos(2)46g x x x ππ=-++1cos(2)cos(2)26x x ππ=--++11sin 22sin 22x x x =--32sin 212x x =-+ 13(cos 22)12x x =+)13x π=++. ∵ 1cos(2)13，x π-≤+≤∴1)113x π≤++≤∴ 函数()g x的值域为[11.--------------------------------10分20.解：（I ）作出函数f （ 由图象可知，函数f （x ）的单调递增区间是0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦π；单调递减区间是2,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦ππ；当6x =π时，()f x 取得最大值1；当23x =π时，()f x 取得最小值-1. ----------------7分 （II ） 若()()1212()f x f x x x =≠，由（I ）中简图知，点()()11,x f x 与点()()22,x f x 关于直线6x =π对称，123x x π∴+=.于是()121sin 2.3362f x x f ⎛⎫⎛⎫+==⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭πππ---------------------------------------10分 21.解：（I ）预计订单函数45,010;()55,1055.t t f t t t ⎧+≤≤=⎨-+<≤⎩ ∴(12)125543f =-+=. ----------------------------------------6分（II ）预计订单函数45,010;()55,1055.t t f t t t ⎧+≤≤=⎨-+<≤⎩ 售价函数为()2550g t t =+ ∴利润函数为(2550-25)(45)(15%),010;()(2550-25)(55)(15%),1055.t t t S t t t t ⎧++-≤≤=⎨+-+-<≤⎩95(1)(45),010;495(1)(55),1055.4t t t t t t ⎧++≤≤⎪⎪=⎨⎪-+-<≤⎪⎩2295(495),010;495(5455),1055.4t t t t t t ⎧++≤≤⎪⎪=⎨⎪---<≤⎪⎩ 故利润最大时，t =27,此时预计的订单数为28件. ----------------------------------------10分22.解：（I ）函数g (x )为奇函数.证明如下：函数g (x )的定义域:{0,且1,且1},x x x x ≠≠≠-111()()3,11g x f x x x x ---=-=++-+； 111111111(),(),111111g x g x x x x x x x x x x ----=++=++-=++----++--+； ()()g x g x ∴-=-，故()g x 为奇函数. ------------------------------------------------3分（II ）()g x 在(1,)+∞上单调递增.1212+任取，（1，），且x x x x ∈∞<，12111222111111()()()1111则g x g x x x x x x x -------=++-++-+-+1212121111111111x x x x x x ------=-+-+---++121212121212(1)(1)(1)(1)x x x x x x x x x x x x ---=++--++ 12121212111()(1)(1)(1)(1)x x x x x x x x ⎡⎤=-++⎢⎥--++⎣⎦.1212+，（1，）,x x x x ∈∞<12()0,x x ∴-<1210(1)(1)x x >--，1210x x >，1210(1)(1)x x >++， 12()()0,g x g x ∴-<即12()()g x g x <，故()g x 在(1,)+∞上单调递增. ----------6分（III ） 由()()3f x g x =+，故()f x 在(1,)+∞上单调递增.又2276m m -+≥， 22442m m -+≥恒成立，故2227244m m m m -+≥-+，即2230m m --≤，解得13m -≤≤. -----------------------------------9分注：若学生有其他解法，可参考给分.。
2018年高三最新 北京市东城区2018学年度综合练习(一)
北京市东城区2018-2018学年度综合练习（一）高三数学 （文科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至9页，共150分。
考试时间120分钟。
考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题 共40分）注意事项：1． 答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。
2． 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
不能答在试卷上。
一、选择题：本大题共8小题。
每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合P={1，2，3，4，5}，集合Q={5x 2R x ≤≤∈}，那么下列结论正确的是（C ）A ．P Q P =B ．Q Q P ⊃C ．P Q P ⊂D ．Q Q P =2．已知R n m ∈,，则“0≠m ”是“0≠mn ”的 （B ）A ．充分但不必要条件B ．必要但不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．若直线0c y 3x =+-按向量a (1,1)=-平移后与圆10y x 22=+相切，则c 的值为（ A ） A ．14或-6 B ．12或-8 C ．8或-12 D ．6或-14 4．在等差数列{}n a 中，有48)a a a (2)a a (31310753=++++，则此数列的前13项之和为 （Ｃ） A ．24 B ．39 C ．52 D ．1185．一平面截球得到直径是6cm 的圆面，球心到这个平面的距离是4cm ，则该球的体积是（ C ） A ．3cm 3100π B ．3cm 3208π C.．3cm 3500π D ．3cm 3416π6． 若指数函数()(01)x f x a a a =>≠且的部分对应值如下表：则不等式1-f(|x|)<0的解集为 ( D )A ．{}1x 1x <<-B ．{}1x 1x >-<或x C ．{}1x 0x << D ．{}1x 00x 1x <<<<-或7．三个人踢毽，互相传递，每人每次只能踢一下，由甲开始踢，经过5次传递后，毽又踢回给甲，则不同的传递方式共有 （C ） A.6种 B. 8种 C. 10种 D.16种 8.设函数)(x f 是定义在R 上的以3为周期的奇函数，若143)2(,1)1(+-=>a a f f ，则a 的取值范围是 （ D ） A.43<a B.143≠<a a 且 C.143-<>a a 或 D.431<<-a北京市东城区2018-2018学年度综合练习（一）高三数学（文科）第Ⅱ卷（共110分）注意事项：1.用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上。
北京市东城区2018届高三上学期期末考试数学(文)试卷(扫描版)
或 ， ）
三、解答题（共6小题，共80分）
（15）（共13分）
解：（Ⅰ）设等差数列 的公差为 ，等比数列 的公比为 ．
因为 ，所以 ．
解得 ．
又因为 ，所以 ．
所以 ， ， ．……………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知， ， ．
因此
数列 前 项和为 ．
数列 的前 项和为 ．
所以，数列 的前 项和为 ， ．………13分
所以 平面 ．
因为 平面 ，
所以平面 平面 ．………5分
（Ⅱ）连接 ．
因为△ 为等边三角形， 为 中点，
所以 ．
因为 平面 ，
所以 ．
因为 ，
所以 平面 ．
所以 ．
在等边△ 中， ，
，
所以 ．………9分
（Ⅲ）棱 上存在点 ，使得 ∥平面 ，此时点 为 中点．
取 中点 ，连接 ．
因为 为 中点，
所以 ∥ ．
（20）（共13分）
解：（Ⅰ）由题意，得
解得 ．
所以椭圆 的方程为 ．………4分
（Ⅱ）设 ， ，则 ．
1当 时，点 ， 点坐标为 或 ，
．
2当 时，直线 的方程为 ．即 ，
直线 的方程为 ．
点 到直线 的距离为
， ．
所以， ．
又 ，
所以
且 ，
当且仅当 ，即 时等号成立，
综上，当 时， 取得最小值1.………13分
（Ⅱ）设至少有一年农村和城镇居民实际收入增速均超 为事件 ，这五年中任选两年，有 ， ， ， ， ， ， ， ， ， 共 种情况，其中至少有一年农村和城镇居民实际收入增速均超过 的为前 种情况，所以 .………10分
（Ⅲ）从 开始连续三年农村居民收入实际增速方差最大.………13分
北京市东城区2017届高考数学一模试卷(文科) 有答案
2017年北京市东城区高考数学一模试卷（文科）一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1．如果A={x∈R|x＞0}，B={0，1，2，3}，那么集合A∩B=（ ）A．空集B．{0}C．{0，1}D．{1，2，3}2．某高校共有学生3000人，新进大一学生有800人．现对大学生社团活动情况进行抽样调查，用分层抽样方法在全校抽取300人，那么应在大一抽取的人数为（ ）A．200B．100C．80D．753．如果a=log41，b=log23，c=log2π，那么三个数的大小关系是（ ）A．c＞b＞a B．a＞c＞b C．a＞b＞c D．b＞c＞a4．如果过原点的直线l与圆x2+（y﹣4）2=4切于第二象限，那么直线l的方程是（ ）A．B．C．y=2xD．y=﹣2x5．设函数若f（a）＞1，则实数a的取值范围是（ ）A．（0，2）B．（0，+∞）C．（2，+∞）D．（﹣∞，0）∪（2，+∞）6．“sinα+cosα=0”是“cos2α=0”的（ ）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分且必要条件D．既不充分也不必要条件7．如果某四棱锥的三视图如图所示，那么该四棱锥的四个侧面中是直角三角形的有（ ）A．1B．2C．3D．48．如果函数y=f（x）在定义域内存在区间[a，b]，使f（x）在[a，b]上的值域是[2a，2b]，那么称f（x）为“倍增函数”．若函数f（x）=ln（e x+m）为“倍增函数”，则实数m的取值范围是（ ）A ．B ．C ．（﹣1，0）D ． 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）9．如果（x 2﹣1）+（x﹣1）i 是纯虚数，那么实数x= ．10．如果执行如图所示的程序框图，那么输出的k= ．11．如果直线l ：y=kx﹣1（k ＞0）与双曲线的一条渐近线平行，那么k= ．12．“墨子号”是由我国完全自主研制的世界上第一颗空间量子科学实验卫星，于2016年8月16日发射升空．“墨子号”的主要应用目标是通过卫星中转实现可覆盖全球的量子保密通信．量子通信是通过光子的偏振状态，使用二进制编码，比如，码元0对应光子偏振方向为水平或斜向下45度，码元1对应光子偏振方向为垂直或斜向上45度．如图所示编码方式1编码方式2码元0码元1信号发出后，我们在接收端将随机选择两种编码方式中的一种来解码，比如，信号发送端如果按编码方式1发送，同时接收端按编码方式1进行解码，这时能够完美解码；信号发送端如果按编码方式1发送，同时接收端按编码方式2进行解码，这时无法获取信息．如果发送端发送一个码元，那么接收端能够完美解码的概率是 ；如果发送端发送3个码元，那么恰有两个码元无法获取信息的概率是 ．13．已知△ABC中，∠A=120°，且AB=AC=2，那么BC= ， = ．14．已知甲、乙、丙三人组成考察小组，每个组员最多可以携带供本人在沙漠中生存36天的水和食物，且计划每天向沙漠深处走30公里，每个人都可以在沙漠中将部分水和食物交给其他人然后独自返回．若组员甲与其他两个人合作，且要求三个人都能够安全返回，则甲最远能深入沙漠 公里．三、解答题（共6小题，共80分.答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）15．已知点（，1）在函数f（x）=2asinxcosx+cos2x的图象上．（Ⅰ）求a的值和f（x）最小正周期；（Ⅱ）求函数f（x）在（0，π）上的单调减区间．16．已知数列{a n}是等差数列，前n项和为S n，若a1=9，S3=21．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若a5，a8，S k成等比数列，求k的值．17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD是平行四边形，AD⊥BD且AD=BD，AC∩BD=O，PO⊥平面ABCD．（I）E为棱PC的中点，求证：OE∥平面PAB；（II）求证：平面PAD⊥平面PBD；（III）若PD⊥PB，AD=2求四棱锥P﹣ABCD体积．18．某校学生在进行“南水北调工程对北京市民的影响”的项目式学习活动中，对某居民小区进行用水情况随机抽样调查，获得了该小区400位居民某月的用水量数据（单位：立方米），整理得到如下数据分组及频数分布表和频率分布直方图（图1）：组号分组频数1[0.5，1）202[1，1.5）403[1.5，2）804[2，2.5）1205[2.5，3）606[3，3.5）407[3.5，4）208[4，4.5）20（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）从该小区随机选取一名住户，试估计这名住户一个月用水量小于3立方米的概率；（Ⅲ）若小区人均月用水量低于某一标准，则称该小区为“节水小区”．假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，经过估算，该小区未达到“节水小区”标准，而且该小区居民月用水量不高于这一标准的比例为65%，经过同学们的节水宣传，三个月后，又进行一次同等规模的随机抽样调查，数据如图2所示，估计这时小区是否达到“节水小区”的标准？并说明理由．19．已知椭圆W：=1（a＞b＞0）的左右两个焦点为F1，F2，且|F1F2|=2，椭圆上一动点P满足|PF1|+|PF2|=2．（Ⅰ）求椭圆W的标准方程及离心率；（Ⅱ）如图，过点F1作直线l1与椭圆W交于点A，C，过点F2作直线l2⊥l1，且l2与椭圆W交于点B，D，l1与l2交于点E，试求四边形ABCD面积的最大值．20．设函数，a∈R．（Ⅰ）若x=2是f（x）的极值点，求a的值，并讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）已知函数，若g（x）在区间（0，1）内有零点，求a的取值范围；（Ⅲ）设f（x）有两个极值点x1，x2，试讨论过两点（x1，f（x1）），（x2，f（x2））的直线能否过点（1，1），若能，求a的值；若不能，说明理由．2017年北京市东城区高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1．如果A={x∈R|x＞0}，B={0，1，2，3}，那么集合A∩B=（ ）A．空集B．{0}C．{0，1}D．{1，2，3}【考点】交集及其运算．【分析】利用交集定义直接求解．【解答】解：∵A={x∈R|x＞0}，B={0，1，2，3}，∴集合A∩B={1，2，3}．故选：D．2．某高校共有学生3000人，新进大一学生有800人．现对大学生社团活动情况进行抽样调查，用分层抽样方法在全校抽取300人，那么应在大一抽取的人数为（ ）A．200B．100C．80D．75【考点】分层抽样方法．【分析】根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论．【解答】解：设大一抽取的人数为n人，则用分层抽样的方法可得=，∴x=80．故选：C．3．如果a=log41，b=log23，c=log2π，那么三个数的大小关系是（ ）A．c＞b＞a B．a＞c＞b C．a＞b＞c D．b＞c＞a【考点】对数值大小的比较．【分析】利用对数函数的单调性即可得出．【解答】解：∵a=log41=0，1＜b=log23＜c=log2π，∴c＞b＞a．故选：A．4．如果过原点的直线l与圆x2+（y﹣4）2=4切于第二象限，那么直线l的方程是（ ）A．B．C．y=2xD．y=﹣2x【考点】直线与圆的位置关系．【分析】由已知得圆心坐标为（0，4），半径长为2．因为直线斜率存在．设直线方程为y=kx，根据圆心到直线的距离等于半径，确定k的值，从而求出直线方程【解答】解：圆心坐标为（0，4），半径长为2．由直线过原点，当直线斜率不存在时，不合题意，设直线方程为；y=kx，即kx﹣y=0．则圆心到直线的距离d==r=2化简得：k2=3又∵切点在第二象限，∴∴直线方程为；y=﹣x故选：B．5．设函数若f（a）＞1，则实数a的取值范围是（ ）A．（0，2）B．（0，+∞）C．（2，+∞）D．（﹣∞，0）∪（2，+∞）【考点】函数单调性的判断与证明．【分析】分别讨论2a﹣3＞1，与＞1，求出a的范围即可．【解答】解：若2a﹣3＞1，解得：a＞2，与a＜0矛盾，若＞1，解得：a＞0，故a的范围是（0，+∞），故选：B．6．“sinα+cosα=0”是“cos2α=0”的（ ）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分且必要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】cos2α=0⇔（cosα+sinα）（cosα﹣sinα）=0⇔（cosα+sinα）=0或（cosα﹣sinα）=0，即可判断出结论．【解答】解：cos2α=0⇔（cosα+sinα）（cosα﹣sinα）=0⇔（cosα+sinα）=0或（cosα﹣sinα）=0，∴“sinα+cosα=0”是“cos2α=0”的充分不必要条件．故选：A．7．如果某四棱锥的三视图如图所示，那么该四棱锥的四个侧面中是直角三角形的有（ ）A．1B．2C．3D．4【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图，可得直观图是四棱锥，底面是正方形，有一侧棱垂直于底面，即可得出结论．【解答】解：由三视图，可得直观图是四棱锥，底面是正方形，有一侧棱垂直于底面，则四棱锥的四个侧面都是直角三角形，故选D．8．如果函数y=f（x）在定义域内存在区间[a，b]，使f（x）在[a，b]上的值域是[2a，2b]，那么称f（x）为“倍增函数”．若函数f（x）=ln（e x+m）为“倍增函数”，则实数m的取值范围是（ ）A．B．C．（﹣1，0）D．【考点】函数的值．【分析】由题意，函数f（x）在[a，b]上的值域且是增函数；可得，可以转化为方程e2x﹣e x﹣m=0有两个不等的实根，且两根都大于0的问题，从而求出t的范围．【解答】解：∵函数f（x）=ln（e x+m）为“倍增函数”，且满足存在[a，b]，使f（x）在[a，b]上的值域是[2a，2b]，∴f（x）在[a，b]上是增函数；∴，即；∴方程e2x﹣e x﹣m=0可化为y2﹣y﹣m=0（其中y=e x），∴该方程有两个不等的实根，且两根都大于0；即，解得﹣＜m＜0；∴满足条件的m的范围是（﹣，0）；故选：D．二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）9．如果（x2﹣1）+（x﹣1）i是纯虚数，那么实数x= ﹣1 ．【考点】复数的基本概念．【分析】直接由实部为0且虚部不为0列式求解．【解答】解：∵（x2﹣1）+（x﹣1）i是纯虚数，∴，解得：x=﹣1．故答案为：﹣1．10．如果执行如图所示的程序框图，那么输出的k= 5 ．【考点】程序框图．【分析】由程序框图，运行操作，直到条件满足为止，即可得出结论．【解答】解：由程序框图知第一次运行k=2，m=；第二次运行k=3，m=；第三次运行k=4，m=；第四次运行k=5，m=；退出循环．故答案为：5．11．如果直线l：y=kx﹣1（k＞0）与双曲线的一条渐近线平行，那么k= ．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出双曲线的渐近线方程，由两直线平行的条件：斜率相等，即可得到所求k的值．【解答】解：双曲线的渐近线方程为y=±x，由直线l：y=kx﹣1（k＞0）与双曲线的一条渐近线平行，可得k=．故答案为：．12．“墨子号”是由我国完全自主研制的世界上第一颗空间量子科学实验卫星，于2016年8月16日发射升空．“墨子号”的主要应用目标是通过卫星中转实现可覆盖全球的量子保密通信．量子通信是通过光子的偏振状态，使用二进制编码，比如，码元0对应光子偏振方向为水平或斜向下45度，码元1对应光子偏振方向为垂直或斜向上45度．如图所示编码方式1编码方式2码元0码元1信号发出后，我们在接收端将随机选择两种编码方式中的一种来解码，比如，信号发送端如果按编码方式1发送，同时接收端按编码方式1进行解码，这时能够完美解码；信号发送端如果按编码方式1发送，同时接收端按编码方式2进行解码，这时无法获取信息．如果发送端发送一个码元，那么接收端能够完美解码的概率是 ；如果发送端发送3个码元，那么恰有两个码元无法获取信息的概率是 ．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】发送端发送一个码元，基本事件总数n=2，接收端能够完美解码包含的基本事件个数m=1，由此能求出发送端发送一个码元，那么接收端能够完美解码的概率；进而利用n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率计算公式能求出发送端发送3个码元，恰有两个码元无法获取信息的概率．【解答】解：发送端发送一个码元，基本事件总数n=2，接收端能够完美解码包含的基本事件个数m=1，∴发送端发送一个码元，那么接收端能够完美解码的概率p1==．发送端发送3个码元，恰有两个码元无法获取信息的概率p2==．故答案为：，．13．已知△ABC中，∠A=120°，且AB=AC=2，那么BC= 2 ， = ﹣6 ．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】利用余弦定理求出BC的值，根据平面向量数量积的定义求出的值．【解答】解：△ABC中，∠A=120°，且AB=AC=2，由余弦定理得BC2=AB2+AC2﹣2AB•AC•cos∠A=22+22﹣2×2×2×cos120°=12，∴BC=2，∴=（﹣）•（﹣）=﹣+•=﹣22+2×2×cos120°=﹣6．故答案为：2，﹣6．14．已知甲、乙、丙三人组成考察小组，每个组员最多可以携带供本人在沙漠中生存36天的水和食物，且计划每天向沙漠深处走30公里，每个人都可以在沙漠中将部分水和食物交给其他人然后独自返回．若组员甲与其他两个人合作，且要求三个人都能够安全返回，则甲最远能深入沙漠 900 公里．【考点】进行简单的合情推理．【分析】因为要求最远，所以3人同去耗食物，即只一人去，另2人中途返回，3人一起出发．12天后两人都只剩24天的食物．乙、丙分给甲12+12=24天的食物后独自带12天的食物返回；甲独自前进18天后返回，甲一共走了30天，他们每天向沙漠深处走30千米，据此解答即可．【解答】解：因为要求最远，所以3人同去耗水和食物，即只一人去，3人一起出发．12天后两人都只剩24天的食物．乙、丙分给甲12+12=24天的食物后独自带12天的水和食物返回．则甲有的食物：36﹣12+12+12=48（天）甲再走：（48﹣12）÷2=18（天）30×（12+18）=900公里．故答案为900．三、解答题（共6小题，共80分.答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）15．已知点（，1）在函数f（x）=2asinxcosx+cos2x的图象上．（Ⅰ）求a的值和f（x）最小正周期；（Ⅱ）求函数f（x）在（0，π）上的单调减区间．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】（Ⅰ）利用二倍角以及辅助角公式基本公式将函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式，图象过点（，1），可得a的值．利用周期公式求函数的最小正周期．（Ⅱ）将内层函数看作整体，放到正弦函数的减区间上，解不等式得函数的单调递减区间；根据k的取值，即可得x在（0，π）的减区间．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=2asinxcosx+cos2x．化解可得：f（x）=asin2x+cos2x．∵图象过点（，1），即1=asin+cos可得：a=1．∴f（x）=sin2x+cos2x=sin（2x+）∴函数的最小正周期T=．（Ⅱ）由2kπ+2x+，k∈Z．可得：≤x≤，k∈Z．函数f（x）的单调减区间为[，]，k∈Z．∵x∈（0，π）．当k=0时，可得单调减区间为[，]．函数f（x）在（0，π）上的单调减区间为[，]．16．已知数列{a n}是等差数列，前n项和为S n，若a1=9，S3=21．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若a5，a8，S k成等比数列，求k的值．【考点】等比数列的通项公式；数列递推式．【分析】（Ⅰ）利用等差数列前n项和公式求出d=﹣2，由此能求出数列{a n}的通项公式．（Ⅱ）由a5，a8，S k成等比数列，得，由此能求出k．【解答】解：（Ⅰ）∵数列{a n}是等差数列，前n项和为S n，a1=9，S3=21．∴，解得d=﹣2，∴a n=9+（n﹣1）×（﹣2）=﹣2n+11．（Ⅱ）∵a5，a8，S k成等比数列，∴，即（﹣2×8+11）2=（﹣2×5+11）•[9k+]，解得k=5．17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD是平行四边形，AD⊥BD且AD=BD，AC∩BD=O，PO⊥平面ABCD．（I）E为棱PC的中点，求证：OE∥平面PAB；（II）求证：平面PAD⊥平面PBD；（III）若PD⊥PB，AD=2求四棱锥P﹣ABCD体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）由四边形ABCD是平行四边形，可得O为AC中点，又E为PC中点，由三角形中位线定理可得OE∥PA，再由线面平行的判定可得OE∥平面PAB；（Ⅱ）由PO⊥平面ABCD，得PO⊥AD，再由AD⊥BD，可得AD⊥平面PBD，进一步得到平面PAD⊥平面PBD；（Ⅲ）由已知求出平行四边形ABCD的面积，进一步求出高PO，再由体积公式得答案．【解答】（Ⅰ）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴O为AC中点，又E为PC中点，∴OE是△PAC的中位线．∴OE∥PA，而OE⊄平面PAB，PA⊂平面PAB，∴OE∥平面PAB；（Ⅱ）证明：∵PO⊥平面ABCD，∴PO⊥AD，又AD⊥BD，且BD∩PO=O，∴AD⊥平面PBD，而AD⊂平面PBD，∴平面PAD⊥平面PBD；（Ⅲ）由AD⊥BD，且AD=BD，AD=2，∴S四边形ABCD=2×2=4，又PD⊥PB，PO⊥BD，可得PO=，∴．18．某校学生在进行“南水北调工程对北京市民的影响”的项目式学习活动中，对某居民小区进行用水情况随机抽样调查，获得了该小区400位居民某月的用水量数据（单位：立方米），整理得到如下数据分组及频数分布表和频率分布直方图（图1）：组号分组频数1[0.5，1）202[1，1.5）403[1.5，2）804[2，2.5）1205[2.5，3）606[3，3.5）407[3.5，4）208[4，4.5）20（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）从该小区随机选取一名住户，试估计这名住户一个月用水量小于3立方米的概率；（Ⅲ）若小区人均月用水量低于某一标准，则称该小区为“节水小区”．假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，经过估算，该小区未达到“节水小区”标准，而且该小区居民月用水量不高于这一标准的比例为65%，经过同学们的节水宣传，三个月后，又进行一次同等规模的随机抽样调查，数据如图2所示，估计这时小区是否达到“节水小区”的标准？并说明理由．【考点】频率分布直方图；列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】（Ⅰ）由数据分组及频数分布表能求出a，b的值．（Ⅱ）设这名住户一个月用水量小于3立方米为事件A，利用等可能事件概率计算公式能求出这名住户一个月用水量小于3立方米的概率．（Ⅲ）由图可知小区人均月用水量低于2.5立方米，则称为“节水小区”，由图求出三个月后的该小区人均用水量，由此得到三个月后，估计小区能达到“节水小区”的标准．【解答】解：（Ⅰ）由数据分组及频数分布表知：a==0.2，b==0.6．（Ⅱ）设这名住户一个月用水量小于3立方米为事件A，则这名住户一个月用水量小于3立方米的概率P（A）==0.8．（Ⅲ）∵该小区居民月用水量低于这一标准的比例为30%，∴由图可知小区人均月用水量低于2.5立方米，则称为“节水小区”，由图可知，三个月后的该小区人均用水量为：1×0.1+1.5×0.15+2×0.25+2.5×0.3+3×0.1+3.5×0.05+4×0.05=2.25＜2.5，∴三个月后，估计小区能达到“节水小区”的标准．19．已知椭圆W：=1（a＞b＞0）的左右两个焦点为F1，F2，且|F1F2|=2，椭圆上一动点P满足|PF1|+|PF2|=2．（Ⅰ）求椭圆W的标准方程及离心率；（Ⅱ）如图，过点F1作直线l1与椭圆W交于点A，C，过点F2作直线l2⊥l1，且l2与椭圆W交于点B，D，l1与l2交于点E，试求四边形ABCD面积的最大值．【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）由椭圆的定义及焦距|F1F2|=2c=2，求得a和c的值，则b2=a2﹣c2=2，即可求得椭圆的方程及离心率．（Ⅱ）当直线的斜率不存在时，由S=丨AC丨•丨BD丨=4，当直线斜率存在时，设直线方程，代入椭圆方程，由韦达定理及弦长公式分别求得丨AC丨，丨BD丨根据函数的单调性即可求得四边形ABCD面积的最大值．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知：|F1F2|=2c=2，c=1，2a=|PF1|+|PF2|=2，a=，b2=a2﹣c2=2，离心率e==，∴椭圆的标准方程为：；（Ⅱ）当直线l2⊥l1，当斜率不存在时，EF1⊥EF2，此时求得丨EO丨=丨F1F2丨=1，∴E点轨迹为以原点为圆心，半径为1的圆，显然点E在椭圆W上内部，∴四边形ABCD面积S=S△ABC+S△ADC=丨AC丨•丨BE丨+丨AC丨•丨DE丨=丨AC丨•丨BD 丨，将x=﹣1代入椭圆方程，求得y=±，此时丨BD丨=，丨AC丨=2，则四边形ABCD面积S=丨AC丨•丨BD丨=4，当直线l2，l1都存在时，设直线l1，x=my﹣1，（m≠0），设A（x1，y1），B（x2，y2），，整理得：（2m2+3）y2﹣4my﹣4=0，则y1+y2=，y1y2=﹣，则丨AC丨=•=，同理直线l1，x=﹣x+1，同理求得丨BD丨=，∴四边形ABCD面积S=丨AC丨•丨BD丨=××，=，==4×，=4（1﹣）＜4，综上可知四边形ABCD面积的最大值4，此时直线l2，l1一条为椭圆的长轴，一条与x轴垂直． 20．设函数，a∈R．（Ⅰ）若x=2是f（x）的极值点，求a的值，并讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）已知函数，若g（x）在区间（0，1）内有零点，求a的取值范围；（Ⅲ）设f（x）有两个极值点x1，x2，试讨论过两点（x1，f（x1）），（x2，f（x2））的直线能否过点（1，1），若能，求a的值；若不能，说明理由．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（I）f′（x）=x2﹣x+a，由x=2是f（x）的极值点，可得f′（2）=0，解得a=﹣2．代入f′（x）进而得出单调性．（II）=﹣+ax+，g′（x）=x2﹣（1+a）x+a=（x﹣1）（x﹣a）．对a与1的大小关系分类讨论可得a的取值范围．（III）不能，原因如下：设f（x）有两个极值点x1，x2，则f′（x）=x2﹣x+a有两个不同的零点．△＞0，解得a＜，且x1，x2，为方程x2﹣x+a=0的两根．则﹣x1+a=0，可得=x1﹣a，可得f（x1）=x1+a，同理可得：f（x2）=x2+a．由此可得：过两点（x1，f（x1）），（x2，f（x2））的直线方程为：y=x+a．进而判断出结论．【解答】解：（I），a∈R．f′（x）=x2﹣x+a，∵x=2是f（x）的极值点，∴f′（2）=4﹣2+a=0，解得a=﹣2．代入f′（x）=x2﹣x﹣2=（x+1）（x﹣2），令f′（x）=0，解得x=﹣1，或x=2．令f′（x）＞0，解得x＞2或x＜﹣1，∴f（x）在x∈（﹣∞，﹣1），（2，+∞）时单调递增；令f′（x）＜0，解得﹣1＜x＜2，∴f（x）在x∈（﹣1，2）时单调递减．（II）=﹣+ax+，g′（x）=x2﹣（1+a）x+a=（x﹣1）（x﹣a）．①当a≥1时，x∈（0，1）时，g′（x）＞0恒成立，g（x）单调递增，又g（0）=＞0，因此此时函数g（x）在区间（0，1）内没有零点．②当0＜a＜1时，x∈（0，a）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，x∈（a，1）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，又g（0）=＞0，因此要使函数g（x）在区间（0，1）内有零点．必有g（1）＜0，∴（1+a）+a+＜0，解得a＜﹣1．舍去．③当a≤0时，x∈（0，1）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，又g（0）=＞0，因此要使函数g（x）在区间（0，1）内有零点．必有g（1）＜0，解得a＜﹣1．满足条件．综上可得：a的取值范围是（﹣∞，﹣1）．（III）不能，原因如下：设f（x）有两个极值点x1，x2，则f′（x）=x2﹣x+a有两个不同的零点．∴△=1﹣4a＞0，解得a＜，且x1，x2，为方程x2﹣x+a=0的两根．则﹣x1+a=0，可得=x1﹣a，∴f（x1）=﹣+ax1=﹣+ax1=+=﹣（x1﹣a）+=x1+a，同理可得：f（x2）=x2+a．由此可得：过两点（x1，f（x1）），（x2，f（x2））的直线方程为：y=x+a．若上述直线过点（1，1），则：1=+a．解得a=．上述已知得出：若f（x）有两个极值点x1，x2，则a＜，而a=，不合题意，舍去．因此过两点（x1，f（x1）），（x2，f（x2））的直线不能过点（1，1）．。
02东城区2017-2018学年度第一学期期末教学统一检测高三数学(文科)试题及答案
东城区2017-2018学年度第一学期期末教学统一检测高三数学（文科）本试卷共6页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
）（1）已知集合{1,2,3,4,5,6}A ，{1,3,7}B ，则AB （ ）（A ）{1,2,3,4,5,6,7}（B ）{1}（C ）{1,3} （D ）{2,4,5,6}（2）下列函数中为偶函数的是 （ ）（A ）2(2)y x =- （B ）|ln |y x（C ）cos yx x （D ）||ex y（3）直线:1l ykx 与圆22:1O x y 相交于 ,A B 两点，则“1k ”是“||2AB ”的（ ）（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件（4）执行如图所示的程序框图，若输入2x ，则输出的S 值为（（A ）8 （B ）19（C ）42 （D ）89（5）已知向量(1,2),(0,2),(1,)λa b c ，若(2)a b ∥c ，则实数λ（ ）（A ）3 （B ）13（C ）1 （D ）3 （6）已知132a，21log 3b ，121log 3c ，则 （ ）（A ） ab c （B ）a c b （C ）c b a （D ）c a b0,1kS1kS x S k 4k是否 S 输出（7）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ）（A）3（B ）43（C） （D ）83（8）在一次调查中，甲、乙、丙、丁四名同学的阅读量有如下关系：同学甲、丙阅读量之和与乙、丁阅读量之和相同，甲、乙阅读量之和大于丙、丁阅读量之和，丁的阅读量大于乙、丙阅读量之和．那么这四名同学按阅读量从大到小的顺序排列为 （ ） （A ）甲、丁、乙、丙（B ）丁、甲、乙、丙（C ）丁、乙、丙、甲 （D ）乙、甲、丁、丙第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
(东莞市)2017—2018学年度第一学期期末教学质量检查高三文科数学(含详细答案)
（东莞市）2017—2018学年度第一学期期末教学质量检查高三文科数学考生注意：本卷共三大题，23小题，满分150分，时间120分钟，不准使用计算器 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题各有四个选择支，仅有一个选择支正确，请用2B 铅笔把答题卡中所选答案的标号涂黑）1、已知集合2{|2},{|20}A x R x B x R x x =∈≥=∈--<，则下列结论正确的是（ ）A 、AB R =B 、A B ≠∅C 、A B =∅D 、A B =∅2、设复数z 满足41iz i=-（i 是虚数单位），则||z =（ ）A 、1BC 、2D 、3、已知向量a 与b 满足()||1,||2,a b a b a ==⊥-，则a 与b 的夹角为（ ）A 、2π B 、3π C 、4π D 、6π 4、某文具店销售A 品牌文具，根据以往的销售记录，统计得该品牌文具的价格与月销售量之间有如下关系：若销售量y 与价格x 有较好的线性相关关系，根据最小二乘法原理得线性回归方程为：ˆˆ 6.65ybx =+，根据该模型，预测价格降到2元时月销售量大约是（ ）万件. A 、5B 、5.35C 、5.25D 、5.25、“1m =-”是“直线11:220mx y ++=与直线21:(1)0x m y +-=平行”的（ ）A 、充要条件B 、必要不充分条件C 、充分不必要条件D 、既不充分也不必要条件6、阅读下左图程序框图，为使输出的数据为31，则①处应填的数字为（ ）A 、4B 、5C 、6D 、77、某几何体的三视图如图所示，（网格线中，每各小正方形的边长为1），则该几何体的体积为 （ ） A 、1B 、2C 、3D 、48、已知函数()sin()(0,0,0)2f x A x A πωϕωϕ=+>><<的最小正周期大于2π，且当2x π=时()f x 取得最大值为1，曲线()y f x =的一个对称中心为5,04π⎛⎫⎪⎝⎭，则下列结论正确的是（ ） A 、15,612πωϕ== B 、1,33πωϕ== C 、1,24πωϕ== D 、2,36πωϕ== 9、已知定点12(2,0),(2,0),F F N -是圆22:1O x y +=上任意一点，点1F 关于点N 的对称点为M ，线段1F M 的垂直平分线与直线2F M 相交于点P ，则点P 的轨迹方程是（ ） A 、椭圆B 、抛物线C 、双曲线D 、圆10、已知实数,x y 满足约束条件03020x x y x y ≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≥⎩，则函数2z x y =+的最小值为（ ）A 、[]0,4B 、[4,)+∞C 、[]0,6D 、[6,)+∞11、已知函数()f x 是定义在[1,1]-上的偶函数，当[0,1]x ∈时，2()f x x =，且函数第5题图第6题图()()g x f x mx m =--在[1,1]-上有两个零点，则实数m 的取值范围为 （ ）A 、10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭B 、1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C 、10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭D 、10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦12、数列{}n a 满足2111,,2n n n a a a a +==+用[]x 表示不超过x 的最大整数，则122017111111a a a ⎡⎤+++=⎢⎥+++⎣⎦ （ ）A 、0B 、1C 、2D 、3二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填写在相应的位置上.） 13、函数12log (21)y x =-的定义域是________.14、曲线2ln y x x =在点(1,0)P 的切线方程为________.15、如图，在三棱锥A BCD -中，AB ⊥平面BCD ，3,2,1,AB BC CD === 且BC CD ⊥，则三棱锥A BCD -外接球的表面积为________. 16、已知ABC ∆的外接球半径为1，且sin()sin a b A B a c A sinB-+=-+（角,,A B C 的对边分别为,,a b c ），则ABC ∆的周长的取值范围为________.三、解答题（本大题共7小题，共70分，解答应写出文字说明、证明或演算步骤） 17、（本小题满分12分）已知等比数列{}n a 的公比0q >，若236,a a +=且2416a a = . （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若*()n n a b n n N =∈，求数列{}n b 的前n 项和n T .AB DC莞草编织的莞席曾是东莞人的骄傲，早在《诗经》就有“上莞下箕，乃安斯寝”。
2018年北京东城高三一模数学(文)试题及答案word版
市东城区2017-2018学年度第二学期高三综合练习〔一〕数学〔文科〕学校_____________班级_______________XX______________考号___________本试卷共5页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分〔选择题 共40分〕一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
〔1〕若集合{|31}A x x =-<<，{|1B x x =<-或2}x >，则AB =〔A 〕{|31}x x -<<-〔B 〕{|32}x x -<< 〔C 〕{|11}x x -<<〔D 〕{|12}x x << 〔2〕复数i1iz =-在复平面内对应的点位于 〔A 〕第一象限〔B 〕第二象限〔C 〕第三象限〔D 〕第四象限〔3〕若,x y 满足20,220,0,x y x y y +-≤⎧⎪+-≥⎨⎪≥⎩则y x -的最大值为〔A 〕2-〔B 〕1-〔C 〕2〔D 〕4〔4〕执行如图所示的程序框图，如果输出的S 值为30，那么空白的判断框中应填入的条件是〔A 〕2n ≤ 〔B 〕3n ≤ 〔C 〕4n ≤ 〔D 〕5n ≤〔5〕某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的棱长为〔A 〕2 〔B 〕22 〔C 〕32 〔D 〕4输出S结束是开始否0,0n S ==1n n =+2nS S =+〔6〕函数4()2x f x x=-的零点所在区间是 〔A 〕1(0,)2〔B 〕1(,1)2〔C 〕3(1,)2〔D 〕3(,2)2〔7〕已知平面向量,,a b c 均为非零向量，则“()()⋅=⋅a b c b c a 〞是“向量,a c 同向〞的 〔A 〕充分而不必要条件〔B 〕必要而不充分条件 〔C 〕充分必要条件〔D 〕既不充分也不必要条件〔8〕为弘扬中华传统文化，某校组织高一年级学生到古都XX 游学．在某景区，由于时间关系，每个班只能在甲、乙、丙三个景点中选择一个游览．高一1班的27名同学决定投票来选定游览的景点，约定每人只能选择一个景点，得票数高于其它景点的入选．据了解，在甲、乙两个景点中有18人会选择甲，在乙、丙两个景点中有18人会选择乙．那么关于这轮投票结果，下列说法正确的是 ①该班选择去甲景点游览； ②乙景点的得票数可能会超过9；③丙景点的得票数不会比甲景点高； ④三个景点的得票数可能会相等. 〔A 〕①②〔B 〕①③ 〔C 〕②④〔D 〕③④第二部分〔非选择题 共110分〕二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。