组合数学作业答案
《组合数学》练习题一参考答案
《组合数学》练习题一参考答案《组合数学》练习题一参考答案一、填空：1.!()!m n P n m m n m =- 2.2)1(-n n 3. 0. 4. 2675.),2,1,0(3)2(2321 =+-+=n c c c a n n n n .6.4207.78.()()!!11...!31!21!111n n n ??-++-+-9.22 10.267二、选择：1. 1—10 A B D D A D A B B C三、计算： 1. 解因为]250[=25, ]450[=12, ]850[=6, ]1650[=3, ]3250[=1, ]6450[=0, 所以, 所求的最高次幂是2(50!)=25+12+6+3+1=47.2. 解由我们最初观察的式子,有614,1124,634,144=??===, 再利用定理1,我们得到24!415,102)15(545,155==??=-?==, 3511642434435=+?=???+=, 5061141424425=+?=??+=. 所以,x x x x x x f 24503510)(23455+-+-=.3. 解：设所求为N ，令}2000,,2,1{ =S ，以A ，B ，C 分别表示S 中能被32?，52?，53?整除的整数所成之集，则53466663133200333 532200053220003532000522000322000 =+?-++=+-???????+???????+???????=+---++==C B A C B C A B A C B A CB A N 4. 解：记7个来宾为1A ，2A ，…，7A ，则7个来宾的取帽子方法可看成是由1A ，2A ，…，7A 作成的这样的全排列：如果i A （1≤i ≤7）拿了j A 的帽子，则把i A 排在第j 位，于是（1）没有一位来宾取回的是他自己的帽子的取法种数等于7元重排数7D ，即等于1854。
组合数学题目及标准答案
组合数学例1: 将8个“车”放在8×8的国际象棋棋盘上，如果它们两两均不能互吃，那么称8个“车”处于一个安全状态。
问共有多少种不同的安全状态?解：8个“车”处于安全状态当且仅当它们处于不同的8行和8列上。
用一个排列a1,a2,…,a8 ，对应于一个安全状态，使ai 表示第i 行的ai 列上放置一个“车”。
这种对应显然是一对一的。
因此，安全状态的总数等于这8个数的全排列总数8!＝40320。
例4：n 位客人在晚会上每人与他人握手d 次，d 是奇数。
证明n 偶数。
证：由于每一次握手均使握手的两人各增加 一次与他人握手的次数，因此n 位客人与他人握手 次数的总和 nd 是偶数 — 握手次数的2倍。
根据奇偶 性质，已知d 是奇数，那么n 必定是偶数。
例４ 从1到2n 的正整数中任取n +1个，则这n +1个数中，至少有一对数，其中一个是另一个的倍数。
证 设n +1个数是a 1, a 2, ···, an +1。
每个数去掉一切2的因子，直至剩下一个奇数为止。
组成序列r 1, r 2,, ···, rn +1。
这n +1个数仍在[1 , 2n ]中，且都是奇数。
而[1, 2n ]中只有n 个奇数，故必有ri =rj = r , 则ai = 2αi r , aj = 2αj r 。
若ai ＞aj ，则ai 是aj 的倍数。
例5 设a 1, a 2, ···, am 是正整数，则至少存在一对k 和l , 0≤k<l ≤m ，使得和ak+1+ ak +2+ ···+ al 是m 的倍数。
证 设Sh = , Sh ≡rh mod m, 0≤rh ≤m -1，h = 1 , 2 , ···, m . 若存在l , Sl ≡0 mod m 则命题成立．否则，1≤rh ≤m -1．但h = 1 , 2 , ···,m ．由 鸽巢原理，故存在rk= rl , 即Sk ≡Sl mod m ，不妨设l ＞k ．则Sl －Sk= ak+1+ ak+2+…+ al ≡0 mod m例6 设a 1, a 2, a3是任意三个整数，b1 b2 b3为a1, a2, a3的任一排列，则a1－b1, a2－b2 ,a3－b3中至少有一个是偶数．证 由鸽巢原理：a1, a2, a3至少有两个奇偶性相同．则这３个数被２除的余数至少有两个是相同的，不妨设为x; 同样b1, b2, b3中被２除的余数也至少有２个x ．这样a1－b1, a2－b2 , a3－b3被２除的余数至少有一个为０．例7 设a 1, a 2,…, a100是由数字1和２组成的序列, 已知从其任一数开始的顺序10个数的和不超过16．即ai+ ai+1+…+ ai+9≤16，1≤i ≤91。
组合数学参考答案(卢开澄第四版)
组合数学第一章作业答案
2 = 2 Cm2 1 Cn 1 k 1 k 1
若 k 是偶数，则要么
k k 个 1 插入 m-1 个空挡，要么首尾各有 1 个 1，并把 1 个 1 2 2
插入 m-1 个空档，剩下的 1 同上处理共计：
C C
附加题：
k 2 m 1ຫໍສະໝຸດ k 1 2 n 1Ck 1 2 m 1
2n 2n n n 1
(2n)! 2n ! 1 n C2 n n !n ! (n 1)!( n 1)! n 1
1.50 (a)先排好 5 个 0 在 5 个 0 中插入 2 个 1，可以产生 4 个 01/10。 在 5 个 0 中插入 1 个 1，在首尾各插入 1 个 1，可以产生 4 个 01/10。 剩下的 1 插入在原有 1 的前面，对 01/10 无贡献。
同理，也是求符合正方形约束的对角线条数 1 1 2 C10 + C10 = 96 1.25 (1) 1 + C5 3 3 (2) C15 − C5 = 445 1.26 2*200*800+200*200=360000 或者 179900 1.27 (1) 5! * 6! =86400 (2) 5! * 6! =86400 (3) 6*5*8! = 1209600 1.33 先将 r 个球放入 n 个盒子里，每个盒子里放 k 个球，然后将余下的(r-kn)个球放入 n 个
字典序法 递增法 递减法 邻位对换法
r 1 Cn 1 相当于在 n 个球的 n-1 个空中选取 r-1 个作为间隔。
40
30
40 40
60 30
40 30
3 1.18 5! ∗ C6 = 2400, 5 个有球的盒子的全排列，再将 3 个空盒插入 5 个盒子相邻的 6 个 空隙内
组合数学7章作业答案
第7章 递推关系和生成函数7.8 练习题16、求解初始值10=h ，01=h 和02=h 的递推关系3223---=n n n h h h ，（3≥n ）。
解：□18、确定长为n 、不包含两个相连的0或相连的1的三进制串（即由一些0、1和2组成的串）的个数n a 的公式。
解：□23、求解非齐次递推关系nn n h h 2341⨯+=-（1≥n解：由定理3.4.46个没有区别的车放在66⨯棋盘上，使没有两个车能够互相攻击的放置方法有6！种。
2个红车4个蓝车，那么放置方法是!4!2)!6(2⨯=6！×15种。
□19、给定8个车，其中5个红车，3个蓝车。
ⅰ) 将8个车放在88⨯棋盘上，使没有两个车能够互相攻击的放置方法有多少？ⅱ) 将8个车放在1212⨯棋盘上，使没有两个车能够互相攻击的放置方法有多少？解：ⅰ) 由定理3.4.48个没有区别的车放在88⨯棋盘上，使没有两个车能够互相攻击的放置方法有⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯38!8 种。
□ⅱ) 将8个车放在1212⨯棋盘上，使没有两个车能够互相攻击的放置方法有⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛38!8812812种。
□21、单词ADDRESSES 的字母有多少排列？这9个字母有多少8-排列？解：因为有1个A ，2个D ，1个R ，2个E ，3个S所以，字母的排列共有!3!2!2!9⨯⨯个。
8-排列的个数是!2!2!2!8!3!2!8!3!2!2!8!3!2!8!3!2!2!8⨯⨯+⨯+⨯⨯+⨯+⨯⨯种。
□。
组合数学课后习题答案
组合数学课后习题答案问题1求解以下组合数：(a)C(5, 2)(b)C(7, 3)(c)C(10, 5)解答：(a)C(5, 2) 表示从5个不同元素中选取2个的组合数。
根据组合数的定义，我们可以使用公式 C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!) 来计算组合数。
计算 C(5, 2)： C(5, 2) = 5! / (2! * (5-2)!) = 5! / (2! * 3!) = (5 * 4 * 3!) / (2! * 3!) = (5 * 4) / 2 = 10所以 C(5, 2) = 10。
(b)C(7, 3) 表示从7个不同元素中选取3个的组合数。
计算 C(7, 3)： C(7, 3) = 7! / (3! * (7-3)!) = 7! / (3! * 4!) = (7 * 6 * 5 * 4!) / (3! * 4!) = (7 * 6 * 5) / 3 = 35 * 2 = 70所以 C(7, 3) = 70。
(c)C(10, 5) 表示从10个不同元素中选取5个的组合数。
计算 C(10, 5)： C(10, 5) = 10! / (5! * (10-5)!) = 10! / (5! * 5!) = (10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5!) / (5! * 5!) = (10 * 9 * 8 * 7 * 6) / (5 * 4 * 3 * 2 * 1) = 252所以 C(10, 5) = 252。
问题2在一个集合 {a, b, c, d, e} 中，求解以下问题：(a)有多少种不同的3个元素的子集？(b)有多少种不同的4个元素的子集？(c)有多少种不同的空集合？(a)在一个集合 {a, b, c, d, e} 中选取3个元素的子集。
子集的元素个数为3，所以我们需要从5个元素中选取3个。
利用组合数的公式 C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!)，我们可以计算组合数。
《组合数学》姜建国著(第二版)-课后习题答案完全版
组合数学(第2版)-姜建国,岳建国习题一（排列与组合）1．在1到9999之间，有多少个每位上数字全不相同而且由奇数构成的整数？ 解：该题相当于从“1，3，5，7，9”五个数字中分别选出1，2，3，4作排列的方案数；（1）选1个，即构成1位数，共有15P 个；（2）选2个，即构成两位数，共有25P 个；（3）选3个，即构成3位数，共有35P 个；（4）选4个，即构成4位数，共有45P 个；由加法法则可知，所求的整数共有：12345555205P P P P +++=个。
2．比5400小并具有下列性质的正整数有多少个？（1）每位的数字全不同；（2）每位数字不同且不出现数字2与7；解：（1）比5400小且每位数字全不同的正整数；按正整数的位数可分为以下几种情况：① 一位数，可从1～9中任取一个，共有9个；② 两位数。
十位上的数可从1～9中选取，个位数上的数可从其余9个数字中选取，根据乘法法则，共有9981⨯=个；③ 三位数。
百位上的数可从1～9中选取，剩下的两位数可从其余9个数中选2个进行排列，根据乘法法则，共有299648P ⨯=个；④ 四位数。
又可分三种情况：⏹ 千位上的数从1～4中选取，剩下的三位数从剩下的9个数字中选3个进行排列，根据乘法法则，共有3942016P ⨯=个；⏹ 千位上的数取5，百位上的数从1～3中选取，剩下的两位数从剩下的8个数字中选2个进行排列，共有283168P ⨯=个；⏹ 千位上的数取5，百位上的数取0，剩下的两位数从剩下的8个数字中选2个进行排列，共有2856P =个；根据加法法则，满足条件的正整数共有：9816482016168562978+++++=个；（2）比5400小且每位数字不同且不出现数字2与7的正整数；按正整数的位数可分为以下几种情况：设{0,1,3,4,5,6,8,9}A =① 一位数，可从{0}A -中任取一个，共有7个；② 两位数。
十位上的数可从{0}A -中选取，个位数上的数可从A 中其余7个数字中选取，根据乘法法则，共有7749⨯=个；③ 三位数。
最新组合数学习题答案(1-4章全)
第1章 排列与组合1.1 从{1,2,…,50}中找一双数{a,b}，使其满足：()5;() 5.a ab b a b -=-≤[解] (a) 5=-b a将上式分解，得到55a b a b -=+⎧⎨-=-⎩a =b –5，a=1，2，…，45时，b ＝6，7，…，50。
满足a=b-5的点共50-5=45个点. a = b+5，a=5，6，…，50时，b ＝0，1，2，…，45。
满足a=b+5的点共45个点. 所以，共计2×45=90个点. (b) 5≤-b a(610)511(454)1651141531+⨯+⨯-=⨯+⨯=个点。
1.2 5个女生，7个男生进行排列，(a) 若女生在一起有多少种不同的排列？ (b) 女生两两不相邻有多少种不同的排列？(c) 两男生A 和B 之间正好有3个女生的排列是多少？[解] (a) 女生在一起当作一个人，先排列，然后将女生重新排列。
（7＋1）!×5!=8!×5!＝40320×120=4838400(b) 先将男生排列有7!种方案，共有8个空隙，将5个女生插入，故需从8个空中选5个空隙，有58C 种选择。
将女生插入，有5!种方案。
故按乘法原理，有：7!×58C ×5!=33868800(种)方案。
(c) 先从5个女生中选3个女生放入A ，B 之间，有35C 种方案，在让3个女生排列，有3!种排列，将这5个人看作一个人，再与其余7个人一块排列，有(7+1)! = 8!由于A ，B 可交换，如图**A***B** 或 **B***A**故按乘法原理，有：2×35C ×3!×8!=4838400（种）1.3 m 个男生，n 个女生，排成一行，其中m ，n 都是正整数，若(a) 男生不相邻(m ≤n+1)； (b) n 个女生形成一个整体； (c) 男生A 和女生B 排在一起； 分别讨论有多少种方案.[解] (a) 先将n 个女生排列，有n!种方法，共有n+1个空隙，选出m 个空隙，共有mn C 1+种方法，再插入男生，有m!种方法，按乘法原理，有：n!×mn C 1+×m!＝n!×)!1(!)!1(m n m n -++×m!=)!1()!1(!m n n n -++种方案。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第二章作业答案7. 证明，对任意给定的52个整数，存在两个整数，要么两者的和能被100整除，要么两者的差能被100整除。
证明 用100分别除这52个整数，得到的余数必为0, 1,…, 99这100个数之一。
将余数是0的数分为一组，余数是1和99的数分为一组，…，余数是49和51的数分为一组，将余数是50的数分为一组。
这样，将这52个整数分成了51组。
由鸽巢原理知道，存在两个整数分在了同一组，设它们是a 和b 。
若a 和b 被100除余数相同，则b a -能被100整除。
若a 和b 被100除余数之和是100，则b a +能被100整除。
11. 一个学生有37天用来准备考试。
根据过去的经验，她知道她需要不超过60小时的学习时间。
她还希望每天至少学习1小时。
证明，无论她如何安排她的学习时间（不过，每天都是整数个小时），都存在连续的若干天，在此期间她恰好学习了13小时。
证明 设从第一天到第i 天她共学习了i a 小时。
因为她每天至少学习1小时，所以3721,,,a a a 和13,,13,133721+++a a a 都是严格单调递增序列。
因为总的学习时间不超过60小时，所以6037≤a ，731337≤+a 。
3721,,,a a a ,13,,13,133721+++a a a 是1和73之间的74个整数，由鸽巢原理知道，它们中存在相同的整数，有i a 和13+j a 使得13+=j i a a ，13=-j i a a ，从第1+j 天到第i 天她恰好学习了13小时。
14. 一只袋子装了100个苹果、100个香蕉、100个桔子和100个梨。
如果我每分钟从袋子里取出一个水果，那么需要多少时间我就能肯定至少已拿出了1打相同种类的水果？ 解 由加强形式的鸽巢原理知道，如果从袋子中取出451)112(4=+-⨯个水果，则能肯定至少已拿出12个相同种类的水果。
因此，需要45分钟。
17. 证明：在一群1>n 个人中，存在两个人，他们在这群人中有相同数目的熟人（假设没有人与他/她自己是熟人）。
证明 因为每个人都不是自己的熟人，所以每个人的熟人的数目是从0到1-n 的整数。
若有两个人的熟人的数目分别是0和1-n ，则有人谁都不认识，有人认识所有的人，这是不可能的。
因此，这n 个人的熟人的数目是1-n 个整数之一，必有两个人有相同数目的熟人。
第三章作业答案6. 有多少使下列性质同时成立的大于5400的整数？ (a) 各位数字互异。
(b) 数字2和7不出现。
解 因为只能出现数字0, 1, 3, 4, 5, 6, 8, 9，所以整数的位数至多为8。
① 考虑8位整数。
最高位不能为0，因此8位整数有)7,7(7P ⨯个。
② 考虑7位整数。
最高位不能为0，因此8位整数有)6,7(7P ⨯个。
③ 考虑6位整数。
最高位不能为0，因此8位整数有)5,7(7P ⨯个。
④ 考虑5位整数。
最高位不能为0，因此8位整数有)4,7(7P ⨯个。
⑤ 考虑4位整数。
若千位数字大于5，有)3,7(3P ⨯个。
若千位数字等于5，则百位数字必须大于等于4，有)2,6(4P ⨯个。
根据加法原理，符合条件的整数的个数为94830)2,6(4)3,7(3)4,7(7)5,7(7)6,7(7)7,7(7=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯P P P P P P8. 15人围坐一个圆桌。
如果B 拒绝挨着A 坐，有多少种围坐方式？如果B 只拒绝坐在A 的右侧，又有多少种围坐方式？解 15人围坐一个圆桌，有!14种围坐方式。
若B 固定坐在A 的左侧，则可将BA 看作一个整体，有!13种围坐方式。
若B 固定坐在A 的右侧，则可将AB 看作一个整体，有!13种围坐方式。
因此，B 不挨着A 坐的围坐方式有!1312!132!14⨯=⨯-种，B 不坐在A 的右侧的围坐方式有!1313!13!14⨯=-种。
11. 从15个球员的集合中选人组成11个球员的足球队，其中5人只能踢后卫，8人只能踢边卫，2人既能踢后卫又能踢边卫。
假设足球队有7个人踢边卫4个人踢后卫，确定足球队可能的组队方法数。
解 设甲和乙既能踢后卫又能踢边卫。
若甲和乙均不入选，组队方法数为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛78⎪⎪⎭⎫⎝⎛45。
若甲和乙均入选，组队方法数为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛78⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛25+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛68⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛35+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛58⎪⎪⎭⎫⎝⎛45。
若甲入选且乙不入选，组队方法数为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛78⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛35+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛68⎪⎪⎭⎫⎝⎛45。
若乙入选且甲不入选，组队方法数也为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛78⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛35+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛68⎪⎪⎭⎫⎝⎛45。
因此，组队方法数总共为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛78⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛45+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛78⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛25+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛68⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛35+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛58⎪⎪⎭⎫⎝⎛45+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯456835782=112021. 一位秘书在距离家以东9个街区、以北7个街区的一座大楼里工作。
每天他都要步行16个街区去上班。
(a) 对他来说可能有多少不同的路线？ (b) 如果在他家以东4个街区、以北3个街区开始向东方向的街区在水下（而他又不会游泳），则有多少条不同的路线？解 (a) 用E 表示向东步行1个街区，用N 表示向北步行1个街区。
因为该秘书需要向东步行9个街区，向北步行7个街区，总共步行16个街区，因此他的上班路线是多重集}7,9{N E ••的排列。
这样的排列的个数为=!7!9!1611440。
(b) 若他从水下的街区走过，则他先要走到离家以东4个街区、以北3个街区的地方，再向东走一个街区，最后走到工作的大楼。
他从家走到离家以东4个街区、以北3个街区的地方的路线的数目是多重集}3,4{N E ••的排列数，即=!3!4!735。
他从离家以东5个街区、以北3个街区的地方走到工作的大楼的路线的数目是多重集}4,4{N E ••的排列数，即=!4!4!870。
所以，如果他从水下的街区走过，则他可能有的路线数是24507035=⨯。
因此，如果他不从水下的街区走过，则他可能有的路线数是8990245011440=-。
26. 确定多重集}5,4,3{c b a S •••=的10-排列的个数。
解 S 的有1个a ，4个b ， 5个c 的10-排列的个数为1260!5!4!1!10=。
S 的有3个a ，2个b ， 5个c 的10-排列的个数为2520!5!2!3!10=。
S 的有3个a ，4个b ，3个c 的10-排列的个数为4200!3!4!3!10=。
S 的有2个a ， 3个b ， 5个c 的10-排列的个数为2520!5!2!3!10=。
S 的有2个a ， 4个b ， 4个c 的10-排列的个数为3150!4!4!2!10=。
S 的有3个a 3个b 4个c 的10-排列的个数为4200!3!4!3!10=。
S 的10-排列的个数为17850315042002252021260=+⨯+⨯+。
31. 方程304321=+++x x x x 有多少满足21≥x ，02≥x ，53-≥x ，84≥x 的整数解？ 解 进行变量代换：211-=x y ，22x y =，533+=x y ，844-=x y则方程变为254321=+++y y y y原方程满足条件的解的个数等于新方程的非负整数解的个数。
新方程的非负整数解的个数为3276!32627283282528251425=⨯⨯=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+ 第五章作业答案8. 用二项式定理证明kn nk k nk n -=∑⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=3)1(20证明 由二项式定理知道∑=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+nk k k n ny x k n y x 0)( 令3=x ，1-=y 得∑∑=-=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-+=nk k n k nk k k n nnk n k n 003)1()1(3))1(3(2 18. 求和⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-n n n n n n n 11)1(3412311211 解法1 对任意非负整数n 和k ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++k n n k n k )1(11)1(，即⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++k n k k n n 111111，因此，⎪⎪⎭⎝+-++⎪⎪⎭ ⎝-⎪⎪⎭ ⎝+⎪⎪⎭ ⎝-n n n 1)1(3423121∑∑∑+=-==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=111001)1(11111)1(1)1(n k k n k knk kk n n k n n k n k11110111)1(111)1(111011+=++=++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-=∑∑+=+=n n n k n n k n n n k k n k k 解法2 由二项式定理知道∑=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-nk kk nx k n x 0)1()1( 两边分别求积分得111)01(1)11()1(111+=+-++--=-++⎰n n n dx x n n n∑⎰∑==⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-nk knk kk k n k dx x k n 01001)1()1( 所以1111)1(3412311211+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-n n n n n n n n 20. 求整数a ，b 和c ，使得对所有的m⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1233m c m b m a m求级数的和3333321n ++++ 。
解 令1=m ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫⎝⎛=11213113c b a ，因为02131=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛，所以1=c 。
令2=m ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=12223223c b a ，因为032=⎪⎪⎭⎫⎝⎛，所以628=-=c b 。
令3=m ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=13233333c b a ，所以63327=--=c b a 。
∑∑∑∑====⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==++++n m n m nm nm m m m m n 00003333312636321⎪⎪⎭ ⎝+⎪⎪⎭ ⎝=⎪⎪⎭ ⎝+⎪⎪⎭ ⎝+⎪⎪⎭ ⎝=246236464)1(2)1(!4)1()1)(2(622+=++-++=n n n n n n n n 25． 应用组合学论证方法，证明二项式系数的Vandermonde 卷积： 对所有的正整数1m ，2m 和n ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∑=n m m k n m k m nk 21021作为特殊情形，推导恒等式（5-11）。