集合的基本关系
第二讲 集合之间的基本关系及其运算
第二讲 集合之间的基本关系及其运算一．知识盘点知识点一：集合间的基本关系注意：1.A B A B B AA B A B A B A B =⇔⊆⊆⎧⊆⎨⊂⇔⊆≠⎩且且2.涉及集合间关系时，不要忘记空集和集合本身的可能性。
3.集合间基本关系必须熟记的3个结论（1）空集是任意一个集合的子集；是任意一个非空集合的真子集，即,().A B B Φ⊆Φ⊂≠Φ(2)任何一个集合是它自身的子集，空集只有一个子集即本身 （3）含有n 个元素的集合的子集的个数是2n 个，非空子集的个数是21n - ；真子集个数是21n - ，非空真子集个数是22n -。
知识点二：集合的基本运算运算 符号语言 Venn 图 运算性质交集{}|A B x x A =∈∈且x B()(),AB A A B B ⊆⊆ (),AA A AB B A ==A B A A B =⇔⊆ A Φ=Φ并集{}|A B x x A x B =∈∈或()(),A A B B A B ⊆⊆ (),A A A A B B A ==,A B B A B A A =⇔⊆Φ=补集{}|U C A x x U x A =∈∉且,U U C U C U =ΦΦ=()(),U U U C C A A A C A U ==()U AC A =Φ()()()U U U C A B C A C B = ()()()U U U C A B C A C B =二．例题精讲Ep1.下列说法正确的是A. 高一（1）班个子比较高的同学可以组成一个集合B. 集合{}2|,x N x x ∈= 则用列举法表示是{}01，UAC. 如果{}264,2,m m ∈++2， 则实数m 组成的集合是{}-22，D. {}{}(){}222||,|x y xy y x x y y x =====解析：A.与集合的确定性不符；B.对；C.与集合的互异性不符；D 。
{}2|x y x R == ,{}{}2||0y y x y y ==≥ ，(){}2,|x y y x = 是二次函数2y x = 的点集Ep2.已知集合A={}2|1log ,kx N x ∈<< 集合A 中至少有三个元素，则A.K>8B.K ≥ 8C.K>16D.K ≥ 16解析：由题设,集A 至少含有2，3，4三个元素，所以2log 4k> ，所以k>16.Ep3.已知集合M={}{}2|,|,x y x R N x x m m M =∈==∈ ,则集合M 、N 的关系是A.M N ⊂B.N M ⊂C.R M C N ⊆D.R N C M ⊆ 解析：[]1,1M =- ，{}|01N x x =≤≤ ，故选B.Ep4.已知集合M={}0,1 ,则满足M N M = 的集合N 的个数是 A.1 B.2 C.3 D.4 解析：M N M =，故N M ⊆ ,故选D.Ep5已知集合{}{}2|1,|1M x x N x ax ==== ,如果N M ⊆ ,则实数a 的取值集合是{}.1A {}.1,1B - {}.0,1C {}.1,0,1D -解析：{}1,1M =- , N M ⊆,故N 的可能：{}{}{},1,1,1,1Φ-- ，故a 的取值集合{}1,0,1-Ep6.已知集合{}{}2|20180,|lg(3)A x x x B x N y x =-+≥=∈=- ，则集合A B 的子集的个数是解析：{}|02018A x x =≤≤ ，{}{}|3-x>00,1,2B x N =∈= ，故{}0,1,2A B = 故子集个数328=A.4B.7C.8D.16Ep7.已知集合{}{}2|2,|M x x x N x x a =<+=> ，如果M N ⊆ ,则实数a 的取值范围是.(,1]A -∞- .(,2]B -∞ .[2,)C +∞ .[1,)D -+∞解析：{}|12M x x =-<< ，M N ⊆，故1a ≥-Ep8.已知集合{}2|30A x N x x *=∈-< 则满足B A ⊆ 的集合B 的个数是 A.2 B.3 C.4 D.8 解析：{}{}|03=12A x N x *=∈<<， ，故选CEp9.已知集合{}{}|12,|13,M x x N x x M N =-<<=≤≤=则.(1,3]A - B.(1,2]- .[1,2)C D.(2,3]解析：选CEp10.如果集合{}{}(1)2|10,|log 0,x A x x B x -=-≤≤=≤则A B={}.|11A x x -≤< {}.|11B x x -<≤ {}.0C {}.|11D x x -≤≤ 解析：{}10||0111x B x x x x ⎧->⎫⎧==≤<⎨⎨⎬-≤⎩⎩⎭，故选D.Ep11.设集合 {}{}2|11,|,,()R A x x B y y x x A A C B =-<<==∈=则{}.|01A x x ≤< {}.|10.B x x -<< {}|01C x x =<< {}.|11D x x -<<解析：{}|01B y y =≤<，则{}|01R C B y y =<≥或y，(){}{}{}|11|01|10R AC B x x y y y x x =-<<<≥=-<<或 选B.Ep12.已知集合{}{}2|11,|20,A x x B x x x =-<<=--<则 )R C A B =（.(1,0]A - .[1,2)B - .[1,2)C .(1,2]D解析：{}|12B x x =-<< ，{}|11R C A x x x =≤-≥或 (){}|12R C A B x x =≤< ，选C.三．总结提高1.题型归类（1）2个集合之间的关系判断（2）已知2个集合之间的关系，求参数问题 （3）求子集或真子集的个数问题 （4）2个有限集之间的运算（5）1个有限集和1个无限集之间的运算 （6）2个无限集之间的运算（7）已知集合的运算结果，求参数问题 2.方法总结（1）判断集合间关系的方法a.化简集合，从表达式中寻找两个集合之间的关系b.用列举法表示集合，从元素中寻找关系c.利用数轴，在数轴上表示出两个集合（集合为数集），比较端点之间的大小关系，从而确定两个集合之间的关系。
集合间的基本关系及运算
1.2集合间的基本关系及运算【知识要点】1、子集：如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A称为集合B的子集，记作A⊆B或B⊇A.2、集合相等：如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A等于集合B，记作A=B。
3、真子集：如果A ⊆B，且A ≠B，那么集合A称为集合B的真子集,A⊂≠B .4、设A ⊆S，由S中不属于A的所有元素组成的集合称为S的子集A的补集，记作S C A5、元素与集合、集合与集合之间的关系6、有限集合的子集个数（1）n个元素的集合有n2个子集（2）n个元素的集合有n2-1个真子集（3）n个元素的集合有n2-1个非空子集（4）n个元素的集合有n2-2个非空真子集7、交集：由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合叫A与B的交集，记作A⋂B。
8、并集：由所有属于集合A或属于B的元素构成的集合称为A与B的并集，记A⋃B。
9、集合的运算性质及运用【知识应用】1.理解方法：看到一个集合A里的所有元素都包含在另一个集合里B，那么A就是B的子集，也就是说集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，即由任意x∈A能推出x∈B。
【J】例1.指出下列各组中集合A与集合B之间的关系（1）A={-1,1}，B=Z （2）A={1,3,5,15}，B={x|x是15的正约数}【L】例2.已知集合A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1},若B⊆A，求实数m取值范围。
【C】例3. 已知集合A⊆{0,1,2,3}，至少有一个奇数，这样的集合A的子集有几个，请一一写出。
2.解题方法：证明2个集合相等的方法：（1）若A、B两个集合是元素较少的有限集，可用列举法将元素一一列举出来，比较之或者看集合中的代表元素是否一致且代表元素满足的条件是否一致，若均一致，则两集合相等。
（2）利用集合相等的定义证明A⊆B,且B⊆A，则A=B.【J】例1.下列各组中的两个集合相等的有（）（1）P={x|x=2n,n∈Z}, Q={x|x=2(n-1)，n∈Z}（2）P={x|x=2n-1,n∈N+}, Q={x|x=2n+1,n∈N+}(3) P={x|2x-x=0}, Q={x|x=1(1)2n+-,n∈Z}【L】例2.已知集合A={x|x=12kπ+4π，k∈Z}，B={x|x=14kπ+2π,k∈Z},判断集合A与集合B是否相等。
集合间的基本关系讲义
1.1.2集合间的基本关系一、子集一子集：对于两个集合A、B;如果集合A中任意一个元素．．．．．．都是集合B中的元素;我们就说这两个集合有包含关系;称集合A为集合B的子集;记作A⊆B或B⊇A;读作“A含于B”或“B包含A”数学语言表示形式为：若对任意的x∈A有x∈B;则A⊆B子集关系用文氏图表示为：A⊆B或B⊇A根据子集的定义;我们可以知道A⊆A;也就是说任何集合都是它本身的一个子集.对于空集φ;我们规定φA．;．即空集是任何集合的子集．．．．．．．．．．..例1：用适当的符号填空0____{0}φ____{0}2____{2}2____N{2}____N变式练习1：已知A＝{x｜x2－3x＋2＝0};B＝{1;2};C＝{x｜x＜8;x∈N};用适当的符号填空A___________BA___________C{2}__________C2_________C例2：写出集合{,,,}a b c d的所有子集..解析集合{,,,}a b c d的所有子集可以分为五类;即：1含有0个元素的子集;即空集φ；2含有一个元素的子集：{},{},{},{}a b c d；3含有二个元素的子集：{,},{,},{,},{,},{,},{,}a b a c a d b c b d c d；4含有三个元素的子集：{,,},{,,},{,,},{,,}a b c a b d a c d b c d；5含有四个元素的子集：{,,,}a b c d.结论：如果集合A中有n个元素;则集合A共有2n个子集变式练习1：已知集合A＝{x∈N＋︱－1≤x＜4};则集合A的子集有_________个..解析：8个二、集合相等：如果集合A 是集合B 的子集A ⊆B;且集合B是集合A 的子集B ⊆A;则集合A 与集合B 相等;记作集合A ＝集合B..即：A ⊆B 且B ⊆A 则A ＝B.. 上节两个集合相等：两个集合的元素完全相同例3：已知集合A 和集合B 都是含三个元素的集合;且集合A ＝{a;a ＋b;a ＋2b};B ＝{a;ac;ac 2};若A ⊆B 且B ⊆A;求c 的值..解析1若⎩⎨⎧=+=+22acb a ac b a 消去b 得：ac 2＋a －2ac ＝0; a ＝0时;集合B 中的三元素均为零;和元素的互异性相矛盾;故a ≠0．∴c 2－2c ＋1＝0;即c ＝1;但c ＝1时;B 中的三元素又相同;此时无解．2若⎩⎨⎧=+=+acb a ac b a 22消去b 得：2ac 2－ac －a ＝0;∵a ≠0;∴2c 2－c －1＝0;即c －12c ＋1＝0;又c ≠1;故c ＝－21.. 变式练习：已知集合A 和集合B 都含有三个元素;A ＝{x;xy;x －y};B ＝{0;｜x ｜;y};若A ⊆B 且B ⊆A;求2x ＋y 的值..解析：∴由集合的互异性;∴x －y ＝0;则x ＝y;此时A ＝{x;x 2;0};B ＝{0;｜x ｜;x};则x 2＝｜x ｜且x ≠x 2;故x ＝y ＝－1;此时A ＝{－1;1;0};B ＝{0;1;－1};符合题意;综上所述;2x ＋y ＝－3..三、真子集：如果集合A ⊆B;但存在元素x ∈B;且x ∉A;我们称集合A 是集合B 的真子集..记：A B 或B AA 真含于BB 真包含A注意：即如果A ⊆B 且A ≠B;那么集合A 是集合B 的真子集;记作A B 或B A..例如{1;2}N 、{a;b}{a;b;c}等..子集与真子集的区别在于“．A ．⊆B ．”允许．．．A ．＝．B ．或．A ．B ．;．而．A ．B ．是不允许“．．．．．A ．＝．B ．”的．．;．所以如果．．．．A ．B ．成立．．;．则一定有．．．．A ．⊆B ．成立；．．．但如果有．．．．A ．⊆B ．成立．．;．A ．B ．不一定成立．．．．．..．．空集是任何集合的子集;空集是任何非空集合的真子集..例4：分别写出集合{a};{a;b}和{a;b;c}的所有子集和真子集..集合{a}的子集有φ;{a};共有2个子集；()A B真子集有{a};共1个真子集..集合{a;b}的子集有φ;{a};{b};{a;b};共有4个子集；真子集有φ;{a};{b};共3个真子集..集合{a;b;c}的子集有：φ;{a};{b};{c};{a;b};{a;c};{b;c};{a;b;c};共有8个即个子集；真子集有φ;{a};{b};{c};{a;b};{a;c};{b;c};共7个真子集.. 结论．．：．如果集合．．．．A ．中有．．n ．个．元素．．;．则集合．．．A ．共有．．2．n ．个子集．．．；．2．n ．－．1．个真子集．．．．..．．例5：有适当的符号填空..1A ＝{2;3;6}B ＝{x ︱x 是12的约数}A_____B2A ＝{0;1}B ＝{x ︱x 2＋y 2＝1;y ∈N}A_____B3A ＝{x ︱－1＜x ＜2}B ＝{x ︱－2＜x ＜2}A_____B4A ＝{x;y ︱x ×y ＜0}B ＝{x;y ︱x ＞0;y ＞0}A_____B5A ＝{x ︱x 2＝1}B ＝{y ︱y 2－2y ＋4＝0}A_____B解析：12345变式练习1：已知集合A ＝{0;1};B ＝{z ︱z ＝x ＋y;x ∈A;y ∈B};则B 的子集有 A ：8个B ：2个C ：4个D ：7个解析：集合B 中有3个元素;子集有8个..A变式练习2：已知集合A ＝{x ∈Z ︱031≤-+x x };B ＝{y ︱y ＝x 2＋1;x ∈A};则集合B 的含有元素1的子集个数为A ：5B ：4C ：3D ：2解析：A ＝{x ∈Z ︱－1≤x ＜3}＝{－1;0;1;2};则B ＝{1;2;5};则集合B 的含有元素1的子集有{1};{1;2};{1;5};{1;2;5}共四个;B变式练习3：已知A ＝{x ︱x ＝a ＋61;a ∈Z};B ＝{x ︱x ＝2b －31;b ∈Z};C ＝{x ︱x ＝2c ＋61;c ∈Z};则集合A 、B 、C 满足的关系是 A ：A ＝B CB ：A B ＝CC ：A B CD ：B C A解析：A ＝{6x ︱6x ＝6a ＋1;a ∈Z};B ＝{6x ︱x ＝3a －2＝3a －1＋1;b ∈Z};C ＝{6x ︱x ＝c 3＋1;c ∈Z}..则A B ＝CB变式练习4：已知A ＝{x ︱y ＝122+-x x };B ＝{y ︱y ＝122+-x x };C ＝{x ︱122+-x x ＝0};D ＝{x ︱122+-x x ＜0};E ＝{x;y ︱y ＝122+-x x };则下列结论正确的是A ：A ⊆B ⊆C ⊆DB ：D C B AC ：B ＝ED ：A ＝B解析：B变式练习5：若集合A 满足{1;2}⊆A ⊆{1;2;3;4};则满足条件的集合A 的个数为_____个..解析：4个二、子集的有关性质1、空集φ：我们把不含有任何元素的集合叫做空集;记为φ;并规定：空集是任何集合的子集;任何非空集合的真子集;即空集．．φ只有一个子集就是它本身．．．．．．．．．．．;．而空．．集没有真子集．．．．．．.. 2、子集与真子集的性质1任何集合是它本身的子集;即A ⊆A ；2对于集合A 、B 、C;如果A ⊆B 且B ⊆C;那么A ⊆C ；3对于集合A 、B 、C;如果A B;且B C;那么A C ；4空集φ是任何集合的子集;是任何非空集合的真子集..例5：下列集合只有一个子集．．．．．．的是 A ：{x ｜x 2≤0}B ：{x ｜x 3≤0}C ：{x ｜x 2＜0}D ：{x ｜x 3＞0}解析：C例6：下列表述正确的是A ：φ＝{0}B ：φ⊆{0}C ：φ⊇{0}D ：φ∈{0}解析：B例7：设A ＝{x ｜2m －1＜x ＜m ＋3};B ＝{x ∈R ｜x 2＋1＝0}问m 为何值时能使得A ＝B..解析1显然B ＝φ;欲使A ＝B;必须且只需A ＝φ即可..由于2m －1≥m ＋3可得m ≥4;此时A ＝{x ｜2m －1＜x ＜m ＋3}＝φ.综上可知;当m ≥4时;A ＝B例8：已知集合A ＝{x ｜x 2＋x －2＝0};B ＝{x ｜x －a ＝0};若B ⊆A;则a ＝_______________..解析易求A ＝{－2;1};B ＝{1}或{－2}当B ＝{1};a ＝1；B ＝{－2};a ＝－2综上：a ＝1或a ＝－2变式练习1：已知集合A ＝{x ｜x 2－8x ＋15＝0};B ＝{x ｜a x －1＝0};若B ⊆A;则a ＝_______________..解析：0或31或51例9：设集合A ＝{x ｜)4)(1(-+x x ≤0};B ＝{x ｜x ≤a };若A ⊆B ;则a 的取值范围是__________..解析：a ≥4变式练习1：已知集合A ＝{x ｜－3≤x ≤5};若集合B ＝{x ｜－2m －1≤x ≤m ＋1};若A ⊆B ;则求m 的取值范围..解析－2m －1≤－3＜5≤m ＋1;即⎩⎨⎧-≤--≥+31251m m m ≥4 变式练习2：集合A ＝{x ｜－2≤x ≤5};B ＝{x ｜m ＋1≤x ≤2m －1};若B ⊆A;则求m 的取值范围..解析：1若B ＝φ;即m ＋1＞2m －1时;即m ＜2；2若B ≠φ;则m 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥+-≤+51221121m m m m 解之得2≤m ≤3;综上所述;m ≤3变式练习2：已知函数fx ＝b ax x ++2a 、b ∈R;且集合A ＝{x ｜x ＝fx};B ＝{x ｜x ＝ffx};1求证：A ⊆B ；2当A ＝{－1;3}时;用列举法表示B..解析：1任取x ∈A;则有x ＝fx;则ffx ＝fx ＝x;故x ∈B;故A ⊆B ；2∵A ＝{－1;3};故⎩⎨⎧++=+-=-b a b a 39311得⎩⎨⎧-=-=31b a ;故fx ＝32--x x ; ∴ffx ＝3)3()3(222------x x x x ;故3)3()3(222------x x x x ＝x0)3(222=---x x x ;∴x ＝3;x ＝－1;x ＝3±;故B ＝{－1;3;3;3-}课后综合练习1、下列关系中正确的个数为 ①0∈{0};②φ{0};③{0;1}⊆{0;1};④{a ;b }＝{b ;a }A ：1B ：2C ：3D ：4解析：B2、下列图形中;表示M ⊆N 的是解析：C 3、设a 、b ∈R;集合{1;a ＋b ;a }＝{0;a b ;b };则b －a ＝ A ：1B ：－1C ：2D ：－2解析：C4、设集合A ＝{x ︱x ＝k 21＋41;k ∈Z};若x ＝29;则下列关系正确的是 A ：x ∉AB ：x ∈AC ．{x}∈AD ．{x}∉A解析：A5、用适当的符号填空：1φ______{x ｜x 2－1＝0}；2{1;2;3}________N ；3{1}_________{x ｜x 2－x ＝0}；40________{x ｜x 2－2x ＝0}解析：∈6、已知集合A ＝{x ｜1≤x ＜4};B ＝{x ｜x ＜a };若A B;求实数a 的取值范围________..解析：a ≥47、已知A ＝{x ｜x 2－3x ＋2＝0};B ＝{x ｜a x －2＝0}且B ⊆A;则实数a 组成的集合C 是________..解析：{0;2;1}8、写出集合A ＝{x ｜0≤x ＜3;x ∈N ＋}的真子集..解析：3个9、已知M ＝{x ｜－2≤x ≤5};N ＝{x ｜a ＋1≤x ≤2a －1}..1若M ⊆N;求实数a 的取值范围..2若M ⊇N;求实数a 的取值范围..解析：1φ2a ≤310、若集合A ＝{x ｜a ≤x ≤a ＋2};B ＝{x ｜x ≤1};若A ⊆B;则a 的取值范围为_____..解析：a ≤－111、已知集合A ＝{x ｜24x y -=};B ＝{x ｜a ≤x ≤a ＋1};B ⊆A;则a 的取值范围为_____..解析：－1≤a ≤2MN AM N B N M C M N D12、已知集合A ＝{y ｜x y 23-=;x ∈－213;23};B ＝{x ｜1－m ≤x ≤m ＋1};若B ⊆A;则m 的取值范围为_____..解析：A ＝{y ｜x y 23-=;x ∈－213;23}＝0;4m ≤1。
集合间的基本关系
集合间的基本关系知识点总结一、子集、真子集、集合相等二、空集1、定义：不含任何元素的集合叫做空集，记作φ.2、性质：空集是任何集合的子集.三、子集个数与元素个数的关系设有限集合A 有n （n 属于*N ）个元素，则其子集的个数是n 2，真子集的个数是12-n ，非空子集的个数是12-n ，非空真子集的个数是22-n .一、知识辨析1、} 3 ,2 ,1 {1⊆...........................................（ ）2、φ和{φ}表示的意义相同...............................（ ）3、} )1 ,0( {} 0 ,1 {} 1 ,0 {==..................................（ ）4、任何集合都有子集和真子集.............................（ ）5、若a ∈A ，则}{a ⫋A.....................................（ ）6、如果集合A B ⊆，那么若元素a 不属于A ，则必不属于B.....（ ） 二、选择1、已知集合} | {是菱形x x A =，} | {是正方形x x B =，} | {是平行四边形x x C =，那么A ，B ，C 之间的关系是 （ ）A.C B A ⊆⊆B.C A B ⊆⊆C.A ⫋B ⊆CD.C B A ⊆=2、给出下列四个关系式：①R ∈3；②Z ∈Q ；③0∈φ；④φ⊆} 0 {.其中正确的个数是 （ ）A.1B.2C.3D.43、能正确表示集合} 20| {≤≤∈=x R x M 和集合} 0x -| {2=∈=x R x N 关系的Venn 图是 （ ）A B C D4、已知集合} ,2| {Z k k x x A ∈==，} ,4| {Z k k x x B ∈==，则A 与B 之间的关系是（ ） A.A=B B.B ⊇A C.A ⫋B D.B ⫋A5、已知集合} 03| {*＜-∈=x N x A ，则满足条件A B ⊆的集合B 的个数为（ ） A.2 B.3 C.4 D.86、已知集合} 2 ,1 ,0 {⊆A ，且集合A 中至少含有一个偶数，则这样的集合A 的个数为 （ ） A.6 B.5 C.4 D.37、集合} , {y x 的子集个数是 （ ） A.1 B.2 C.3 D.48、在下列选项中，能正确表示集合} 2 ,0 ,2 {-=A 和集合} 02| {2=+=x x x B 关系的是 （ ） A.A=B B.B A ⊇ C.B A ⊆ D.B A =φ 9、集合} 1 ,2 {-=A ，} 1 ,m {2--=m B ，且A=B ，则实数m=（ ） A.2 B.-1 C.2或-1 D.410、已知集合} 0y ,0y |y)(x, {＞＜x x M +=，} 0y ,0|),( {＜＜x y x P =，那么 （ ） A.P ⫋M B.M ⫋P C.M=P D.M ≠P11、下列四个关系：①} , {} , {a b b a ⊆；②φ=} 0 {；③} 0 {∈φ；④} 0 {0∈.其中正确的个数为（ ）A.1B.2C.3D.412、已知φ⫋} 0x | {2=+-a x x ，则实数a 的取值范围是 （ ） A.41＜a B.41≤a C.41≥a D.41＞a 13、设集合} 1 1, {-=A ，集合} 02| {2=+-=b ax x x B ，若B ≠φ，A B ⊆，则有序实数对（a,b ）不能是（ ）A.（-1,1）B.（-1,0）C.（0，-1）D.（1,1） 三、填空14、已知集合} 3, 1, {m A -=，} 4 3, {=B ，若A B ⊆，则实数m= .15、已知集合} ,02| {2R a a ax ax x A ∈=++=，若集合A 有且仅有2个子集，则a 的取值构成的集合为 .16、设a ，b ∈R ，集合} ,0 {} 1 , {b a a +=，则a b -= . 四、解决问题17、已知集合} 4 1| {＞或＜x x x A -=，} 3a 2| {+≤≤=x a x B ，若A B ⊆，求实数a 的取值范围.18、已知} 01)1(3| {22=-+++=a x a x x A ，} 0 {=B ，若B A ⊆，求a 的取值范围.19、若集合} 06| {2=-+=x x x M ，} 0))(2(| {=--=a x x x N ，且M N ⊆，求实数a 的值. 提升题 一、选择题1、下面各选项中，两个集合相等的是 （ ）A.} ) 2 ,1 ( {=M ,} ) 1 ,2 ( {=NB.} 2 ,1 {=M ，} ) 2 ,1 ( {=NC.M=φ，} {φ=ND.} 012| {2=+-=x x x M ，} 1 {=N 2、下列关系中正确的是（ ）A .} 1 ,0 {1∈ B.} 1 ,0 {1∉ C.} 1 ,0 {1⊆ D.} 1 ,0 {} 1 {∉ 3、已知集合} 02| {2＜-+∈=x x Z x A ，则集合A 的一个真子集为 （ ） A.} 02| {＜＜x x - B.} 20| {＜＜x x C.} 0 { D.} {φ 4、集合} 1 ,0 1, {-=A ，A 的子集中含有元素0的子集共有（ ） A.2个 B.4个 C.6个 D.8个5、若P M ⊆，Q M ⊆，} 2 1, ,0 {=P ，} 4 2, ,0 {=Q ，则满足上述条件的集合M 的个数是（ ） A.1 B.2 C.4 D.86、集合} , 3| {N n x x M n ∈==，集合} , 3| {N n n x x N ∈==，则集合M 与集合N 的关系为（ ） A.N M ⊆ B.M N ⊆ C.N M = D.M ⊈N 且N ⊈M7、若A x ∈，A x ∈1，则称A 是伙伴关系集合.集合} 3 ,2 ,31,21 ,0 ,1 {-=M 的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是（ ） A.31 B.7 C.3 D.18、已知集合} , 0| {N y a y y A ∈≤=＜，} , 032| {2N x x x x B ∈≤--=，若A ⫋B ，则满足条件的正整数a 所构成集合的子集的个数为（ ） A.2 B.4 C .8 D.16 二、填空9、方程0822=--x x 的解集为A ，方程02=-ax 的解集为B ，若A B ⊆，则实数a 的取值集合为 .10、已知集合} 44 ,4 ,3| {-=m y A ，集合} ,3| {2m y B =，若A B ⊆，则实数m= . 三、解决问题11、已知} 52| {≤≤-=x x A ，} 121| {-≤≤+=m x m x B ，A B ⊆，求m 的取值范围.。
集合间的基本关系
7 个真子集，故选 B.
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(2)由题意可得{1,2}⊆M⊆{1,2,3,4,5}，可以确定集合 M 必含 有元素 1,2，且含有元素 3,4,5 中的至少一个，因此依据集合 M 的元素个数分类如下：
含有三个元素：{1,2,3}{1,2,4}{1,2,5}； 含有四个元素：{1,2,3,4}{1,2,3,5}{1,2,4,5}； 含有五个元素：{1,2,3,4,5}． 故满足题意的集合 M 共有 7 个． [答案] (1)B (2)7
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注意：∅与{0}的区别 (1)∅是不含任何元素的集合； (2){0}是含有一个元素的集合，∅ {0}．
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[例 1] (1)下列各式中，正确的个数是( )
①{0}∈{0,1,2}；②{0,1,2}⊆{2,1,0}；③∅⊆{0,1,2}；④∅
＝{0}；⑤{0,1}＝{(0,1)}；⑥0＝{0}
我们称集合 A 是集合 B 的真子集 记法 记作 A B(或 B A)
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图示
结论
(1)A B 且 B C，则 A C； (2)A⊆B 且 A≠B，则 A B
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4、空集的概念
定义 我们把 不含任何元素 的集合，叫做空集
记法 ∅
规定 空集是任何集合的子集 ，即∅⊆A
特性
(1)空集只有一个子集，即它的本身，∅⊆∅ (2)A≠∅，则∅ A
集合间的基本关系
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1、子集的概念
定义
一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中 任意一个 元素都是集合B中的元素，我们就说 这两个集合有 包含 关系，称集合A为集合B的子
集 记法与 记作 A⊆B (或 B⊇A )，读作“A含于B”(或“B
读法 包含A”)
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高一数学集合间的基本关系
第二节集合间的基本关系学习目标1、理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集2、在具体情境中，了解空集的含义知识框架1、子集定义：如果集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A是集合B的子集。
记作：BA⊆（或B⊇Ａ）A⊆有两种可能B（1）A是B的一部分；（2）A与B是同一集合。
反之:集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A⊆/B 或B⊇/A2、真子集如果集合BA⊆，但存在元素x∈B且x￠A，则称集合A是集合B 的真子集如果A⊆B,且A≠B，那就说集合A是集合B的真子集，记作A B(或B A)读作A真包含于B3、集合相等元素相同则两集合相等，如果A⊆B同时B⊆A，那么A=B4、空集不含有任何元素的集合叫做空集，记为∅规定: 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。
5、集合的性质①任何一个集合是它本身的子集。
A⊆A②如果 A⊆B, B⊆C ,那么 A⊆C③如果A B且B C，那么A C④有n个元素的集合，有2n个子集，1n个真子集2-随堂练习1、设{},62,8|=≤=a x x P 则下列关系中正确的是（ ）A.P a ⊆B.P a ∉C.{}P a ⊆D.{}P a ∈2、集合{}3,2,1=M 的真子集的个数是（ ）A.6B.7C.8D.93、设集合{}{},,|),(,,|22R x x y y x Q R x x y y P ∈==∈==则P 与Q 的关系是A.Q P ⊆B.Q P ⊇C.Q P =D.以上都不正确4、已知集合A {},7,3,2且A 中至多有一个奇数，则这样的集合A 有A.3个B.4个C.5个D.6个5、已知集合{},12,3,1--=m A 集合{},,32m B =若,A B ⊆则.________=m6、设集合{}{},1212|,23|+≤≤-=≤≤-=k x k x B x x A 且,B A ⊇则实数k 的取值范围是.____________7、已知集合{}{},,01|,0158|2A B ax x B x x x A ⊆=-==+-=求实数a 的不同取值组成的集合.8、已知集合{}{},0))(1(|,31|=--=≤≤=a x x x B x x A（1）当集合B 是A 的子集时，求实数a 的取值范围；（2）是否存在实数a 使得B A =成立？。
集合间的关系
已知集合 A＝{m，m＋d，m＋2d}，B＝{m，mq，mq2}，其中 m≠0，且 A＝ B，求 q 的值．
小试牛刀
练习5：
已知集合 A＝{m，m＋d，m＋2d}，B＝{m，mq，mq2}，其中 m≠0，且 A＝
B，求 q 的值．
[解] 由 A＝B 可知，
m＋d＝mq，
m＋d＝mq2，
(1)
已知集合 A＝{x|x2＋(a＋2)x＋1＝0，x∈R}，B＝{x|x>0，x∈R}，若 A∩B＝Ø， 则 a 的取值范围是__________．
典例探究
例5：已知集合 A＝{x|x2＋(a＋2)x＋1＝0，x∈R}，B＝{x|x>0，x∈R}，若 A∩B＝Ø，
则 a 的取值范围是__________．
[答案] (－∞，－2]
典例探究
例4：
已知集合 A＝{t2＋s2|t，s∈Z}，且 x∈A，y∈A，则下列结论正确的是( )
A．x＋y∈A
B．x－y∈A
C．xy∈A
x D． ∈A
y
典例探究
例4：
已知集合 A＝{t2＋s2|t，s∈Z}，且 x∈A，y∈A，则下列结论正确的是( )
A．x＋y∈A
B．x－y∈A
x
又 ∉ A，故 D“ ∈A”不成立．故选 C.
2
y
[答案] C
小试牛刀
练习4：
已知集合 A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若 B⊆A，则实数 m 的 取值范围是________．
小试牛刀
练习4：已知集合 A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若 B⊆A，则实数 m 的
此时集合 A 中有重复元素 3，
高一数学集合间的基本关系
4.集合之间的基本关系.
（1）任何一个集合是它本身的子集，即 A A （2）对于集合A、B、C，如果A B，B C，那么 A C.
例3、写出集合｛a, b｝的所有子集，并指出哪些是它 的真子集.
5.反馈演练
1、下列命题：(1)空集没有子集；(2)任何集合至少有两个 子休；(3)空集是任何集合的真子集；(4)若 A，则A .其中正确的有( ) A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
1．子集的概念
一般地，对于两个集合A、B， 如果集合A中任
意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个
集合有包含关系，称集合A为集合B的子集.
记作
A B (或B A)
读作 “A含于B”(或“B包含A”)
BA
2.集合相等与真子集的概念
如果集合A是集合B的子集(A B)，且集合B是 集合A的子集（B A），此时，集合A与集合B中 的元素是一样，因此，集合A与集合B相 等， 记作 A＝B
2.设x, y R，A {(x,y) | y - 3 x - 2},B {(x,y) | y - 3 1}, x-2
则A，B的关系是______.
3.已知A {x | 2 x 5}, B {x | a 1 x 2a 1}, B A, 求实数a的取值范围.
本节小结
子集、真子集的定义 集合之间的关系 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的
真子集
；/ 三体小说 ；
快一个小时了他们还没到.作为一名老实巴交の纳税人,我有权利知道自己供养の是人民公仆还是吃饱等死の猪,连个入村路口都找了一个多小时,到时让媒体过来一起见识见识.”最后一句像从牙缝里蹦出来の,这种效率,足够让报警人死几百次了.原本有些忧
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子集的有关性质
（1）任何一个集合是它本身的子集，即 A A
（2）对于集合A、B、C，如果A B，B C，那么 A C（. 子集的传递性）
2.集合相等与真子集的概念
1 集合A与集合B相等
1 .两集合中元素都相同
2.A B，B A 则A B
2.集合A是集合B的真子集 A B，但存在x B，且x A
例1：A 2,1,0,1 B x | x y , y A, 求B.
1.1.2集合间的基本关系
观察下面几个例子，你能发现两个集 合之间的关系吗
⑴ A={1,2,3} , B={1,2,3,4,5};
⑵A 正方形，B 四边形
⑶ C＝{三角形}，D={等腰三角形}.
1.子集
定义： 任意 x A,都有 x B
例2：A
x
N
|
9
9
x
N
,
B
பைடு நூலகம்
9
9
x
N
|
x
N
蚤般的嘴唇，怪叫时露出水蓝；/ 趣丸师测评；色火舌般的牙齿，变态的深红色竹竿样的舌头很是恐怖，亮橙色灵芝形态的下巴非常离奇。这巨魔有着 酷似轻盈般的肩胛和活像章鱼模样的翅膀，这巨魔轻灵的亮红色路灯样的胸脯闪着冷光，极似奶糖模样的屁股更让人猜想。这巨魔有着活似猩猩般的腿和浓绿色板斧般的爪子
则 A B (或B A)
3.空集
我们把不含任何元素的集合叫做空集，记为
规定：1空集是任何集合的子集 .
（2）空集是任何非空集合的真子集.
设集合 M m | m N *，且 5 m N *
（1）M中含有几个元素？ （2）请写出只含有一个元素的所有子集，并求出
这些子集的所有元素的和； （3）你能否求出所有子集的元素的和？
记作 A B(或B A) 读作 “A含于B”(或“B包含A”)
韦恩图 数轴
BA
竹节样的皮毛，头上是银橙色烟囱模样的鬃毛，长着天蓝色彩蛋般的霉菌兽皮额头，前半身是深红色龙虾般的怪鳞，后半身是漂亮的羽毛。这巨魔长着嫩黄色彩蛋般的脑袋和 浅绿色炸鸡般的脖子，有着米黄色驴肾造型的脸和水绿色棕绳般的眉毛，配着绿宝石色鹅掌模样的鼻子。有着土黄色砂锅造型的眼睛，和灰蓝色肉串般的耳朵，一张土黄色跳
……瘦瘦的银橙色香肠样的八条尾巴极为怪异，深青色白菜般的龙爪豹竹肚子有种野蛮的霸气。亮红色积木模样的脚趾甲更为绝奇。这个巨魔喘息时有种绿宝石色骷髅样的气 味，乱叫时会发出褐黄色油饼造型的声音。这个巨魔头上烟橙色谷堆模样的犄角真的十分罕见，脖子上仿佛刀峰模样的铃铛仿佛真是酷野时尚！这时那伙校霸组成的巨大狐妖 峰筋神忽然怪吼一声！只见狐妖峰筋神摆动水红色蝴蝶造型的鼻子，一喊，一道淡橙色的神光轻飘地从如同黄瓜造型的铃铛里面抖出！瞬间在巨狐妖峰筋神周身形成一片绿宝 石色的光云！紧接着巨大的狐妖峰筋神最后狐妖峰筋神旋动修长的怪鳞一声怪吼！只见从天边涌来一片铺天盖地的沙海恶浪……只见铺天盖地的沙海轰鸣翻滚着快速来到近前 ，突然间麻密乱窜的大臣在一个个小狐妖峰筋神的指挥下，从轰鸣翻滚的沙海中冒了出来！“好玩好玩！咱俩也玩一个让他们看看！”蘑菇王子一边说着一边抛出法宝。“就 是！就是！”知知爵士一边说着一边念动咒语。这时蘑菇王子和知知爵士变成的巨大瓜子缸肚魔也怪吼一声！只见瓜子缸肚魔晃动威猛的下巴，耍，一道水红色的亮光飘然从 单薄的活似猩猩般的腿里面窜出！瞬间在巨瓜子缸肚魔周身形成一片浓绿色的光霞！紧接着巨大的瓜子缸肚魔忽悠了一个，舞贝金钩滚七百二十度外加凤笑铅笔转五周半的招 数，接着又秀了一个，直体贝颤前空翻三百六十度外加瞎转八十一周的粗犷招式！最后瓜子缸肚魔耍动嫩黄色彩蛋般的脑袋一声怪吼！只见从天边涌来一片铺天盖地的海潮巨 浪……只见铺天盖地的狂流轰鸣翻滚着快速来到近前，突然间数不清的台长在一个个小瓜子缸肚魔的指挥下，从轰鸣翻滚的狂流中冒了出来！无比壮观的景象出现了，随着沙 海和海潮的高速碰撞！翻滚狂舞其中的所有物体和碎片都被撞向十几万米的高空，半空中立刻形成一道杀声震天、高速上升的巨幕，双方的斗士一边快速上升一边猛烈厮杀… …战斗结束了，校霸们的队伍全军覆灭，垂死挣扎的狐妖峰筋神如同蜡像一样迅速熔化……双方斗士残碎的肢体很快变成金币和各种各样的兵器、珠宝、奇书……纷纷从天落 下！这时由Ｒ．布基希大夫和另外四个校霸怪又从地下钻出变成一个巨大的梨核闪爪神！这个巨大的梨核闪爪神，身长八十多米，体重二十多万吨。最奇的是这个怪物长着十 分虚幻的闪爪！这巨神有着墨蓝色香槟造型的身躯和海蓝色细小短棍一样的皮毛，头上是暗青色镜子形态的鬃毛，长着纯灰色野象造型的小路秋影额头，前半身是深蓝色怪藤 造型的怪鳞，后半身是崭新的羽毛。这巨神长着亮紫色野象一般的脑袋和深白色袋鼠造型的脖子，有着紫红色海胆模样的脸和紫宝石色蜘蛛一般的眉毛，配着亮白色黑板形态 的鼻子。有着湖青色奖章模样的眼睛，和浅灰色排骨造型的耳朵，一张湖青色豆荚造型的嘴唇，怪叫时露出雪白色花灯一般的牙齿，变态的深蓝色长号一样的舌头很是恐怖， 海蓝色灯柱一样的下巴非常离奇。这巨神有着活似菱角一般的肩胛和美如扫帚形态的翅膀，这巨神摇晃的亮蓝色熊胆一样的胸脯闪着冷光，酷似蜜桃形态的屁股更让人猜想。 这巨神有着如同廊柱造型的腿和暗白色锅铲一般的爪子……紧缩的暗青色老虎一样的五条尾巴极为怪异，墨灰色海参一般的信封灵冰肚子有种野蛮的霸气。亮蓝色牙签形态的 脚趾甲更为绝奇。这个巨神喘息时有种亮白色鹿怪一样的气味，乱叫时会发出墨紫色春蚕模样的声音。这个巨神头上淡红色白菜形态的犄角真的十分罕见，脖子上极似面条形 态的铃铛感觉空前粗野却又透着一丝标新立异。蘑菇王子和知知爵士见情况突变，急忙变成了一个巨大的乱草青鳞魔！这个巨大的乱草青鳞魔，身长八十多米，体重二十多万 吨。最奇的是这个怪物长着十分疯妖般的青鳞！这巨魔有着亮灰色猪肚模样的身躯和深灰色细小长笛般的皮毛，头上是土灰色娃娃一样的鬃毛，长着火橙色镜子模样的贝壳飘 帘额头，前半身是白杏仁色钉子模样的怪鳞，后半身是有飘带的羽毛。这巨魔长着锅底色镜子似的脑袋和亮红色金钩模样的脖子，有着紫红色烤鸭形态的脸和金红色辣椒似的 眉毛，配着淡橙色鹅掌一样的鼻子。有着深黑色磁盘形态的眼睛，和淡黄色云梯模样的耳朵，一张深黑色鱼鳞模样的嘴唇，怪叫时露出深橙色椰壳似的牙齿，变态的白杏仁色 拐棍般的舌头很是恐怖，深灰色羽毛般的下巴非常离奇。这巨魔有着如同旗杆似的肩胛和犹如瓜秧一样的翅膀，这巨魔修长的暗灰色灯泡般的胸脯闪着冷光，活似水母一样的 屁股更让人猜想。这巨魔有着仿佛螳螂模样的腿和亮橙色蛙掌似的爪子……柔软的土灰色陀螺般的九条尾巴极为怪异，纯黄色面条似的面盆鱼皮肚子有种野蛮的霸气。暗灰色 油条一样的脚趾甲更为绝奇。这个巨魔喘息时有种淡橙色纽扣般的气味，乱叫时会发出粉红色板尺形态的声音。这个巨魔头上水蓝色海参一样的犄角真的十分罕见，脖子上酷 似肥肠一样的铃铛仿佛真是飘忽不定同时还隐现着几丝小巧。这时那伙校霸组成的巨大梨核闪爪神忽然怪吼一声！只见梨核闪爪神扭动凸凹的墨蓝色香槟造型的身躯，一叫， 一道淡白色的玉光狂傲地从平常的眉毛里面跳出！瞬间在巨梨核闪爪神周身形成一片青远山色的光烟！紧接着巨大的梨核闪爪神最后梨核闪爪神转动不大的湖青色豆荚造型的 嘴唇一声怪吼！只见从天边涌来一片一望无边的乱坟恶浪……只见一望无边的乱坟轰鸣翻滚着快速来到近前，突然间多如牛毛的烟妖在一个个小梨核闪爪神的指挥下，从轰鸣 翻滚的乱坟中冒了出来！“这有什么了不起的？！咱俩也玩一个让他们看看！”蘑菇王子一边说着一边抛出法宝。“就是！就是！”知知爵士一边说着一边念动咒语。这时蘑 菇王子和知知爵士变成的巨大乱草青鳞魔也怪吼一声！只见乱草青鳞魔耍动弯曲的身躯，扭，一道暗白色的奇影萧洒地从深黑色鱼鳞模样的嘴唇里面飞出！瞬间在巨乱草青鳞 魔周身形成一片青古磁色的光雾！紧接着巨大的乱草青鳞魔快乐机灵的脑袋骤然旋转紧缩起来……有点委屈的精瘦屁股渗出钢灰色的隐约幽雾……瘦长的灵活手臂射出亮蓝色 的缕缕仙味……最后乱草青鳞魔摇动强壮的腿一声怪吼！只见从天边涌来一片一望无边的荒滩巨浪……只见一望无边的冰海轰鸣翻滚着快速来到近前，突然间万万亿亿的镇长 在一个个小乱草青鳞魔的指挥下，从轰鸣翻滚的冰海中冒了出来！无比壮观的景象出现了，随着乱坟和荒滩的高速碰撞！翻滚狂舞其中的所有物体和碎片都被撞向十几万米的 高空，半空中立刻形成一道杀声震天、高速上升的巨幕，双方的斗士一边快速上升一边猛烈厮杀……战斗结束了，校霸们的队伍全军覆灭，垂死挣扎的梨核闪爪神如同蜡像一 样迅速熔化……双方斗士残碎的肢体很快变成金币和各种各样的兵器、珠宝、奇书……纷纷从天落下！这时由Ｒ．布基希大夫和另外四个校霸怪又从地下钻出变成一个巨大的 穿山甲兽腮神！这个巨大的穿山甲兽腮神，身长八十多米，体重二十多万吨。最奇的是这个怪物长着十分帅气的兽腮！这巨神有着浅橙色篦子形态的身躯和烟橙色细小春蚕一 般的皮毛，头上是亮黄色果冻般的鬃毛，长着天青色橘子形态的车轮水晶额头，前半身是暗橙色乌贼形态的怪