控制理论作业二答案.docx
地大《现代控制理论》在线作业二[60467]
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地大《现代控制理论》在线作业二
一、单选题
1.保证稳定是控制系统正常工作的必要前提,对受控系统通过反馈使其极点均具有负实部,保证系统渐近稳定称为()。
A.能控性
B.能观性
C.系统镇定
D.稳定性
答案：C
2.对于能控能观的线性定常连续系统，采用静态输出反馈闭环系统的状态()。
A.能控且能观
B.能观
C.能控
D.以上三种都有可能
答案：A
3.对于同一个系统，可有()个状态空间表达式。
A.1个
B.2个
C.3个
D.无穷多个
答案：D
4.由状态空间模型导出的传递函数()。
A.惟一
B.不惟一
C.无法判断
D.皆有可能
答案：A
5.维数和受控系统维数相同的观测器为()。
A.降维观测器
B.全维观测器
C.同维观测器
D.以上均不正确
答案：B
6.根据线性二次型最优控制问题设计的最优控制系统一定是()的。
A.渐近稳定
B.稳定
C.一致稳定
D.一致渐近稳定
答案：A
7.下列语句中，正确的是()。
A.系统状态空间实现中选取状态变量是唯一的，其状态变量的个数也是唯一的
B.系统状态空间实现中选取状态变量不是唯一的，其状态变量的个数也不是唯一的。
《现代控制理论》第三版 第二章.习题答案
2－7. 证明 2－3 中，状态方程的解： 1. 即当u(t ) K (t )，x(0 ) x0时
x(t ) e At x0 e At BK , 式中K 与u(t )同维的常数矢量。
x e x0 e A( t ) BK ( )d
At 0 t
e x0 e A( t ) ( )d BK
得 1 0; 2 1.
1 0 据 1 I A P P 1 1 0 1 0
得到 P 1 0 1 ；
T
0 0 P2 0 得 到 根 据 2 I A P2 1 1
1 0 1 1 1 于是T ， P2 ， T 1 1 1 1 于是 T 1 0 e 1 G (T ) e AT T T T T e 1 0 e t T T e 0 K At H (T ) e dtB dt 0 0 1 et 1 0 1 0
1
e At 0 (t ) I 1 (t ) A
1 2cos 2t 2 4sin 2t
sin 2t 2cos 2t
1 1 （2） A 4 1
1 22 1 33 A t A t 2! 3! 直接法： 7 3 t 2 13 3 2 1 5 , t t t t t 2! 6 6 2 28 3 t 13 3 2 4 4 , 1 5 t t t t t 6 2! 6 e At I At
y 2 x1 x2
1 1 0 x1 K x x 2 1 0 x2 0 即 x1 y 2 1 x2 0 u1 u 1 2
现代控制理论 王金城 第二章答案
第2章习题参考答案：2-1 （1）①⎥⎦⎤⎢⎣⎡=--t t t3200e e eA ， ②待定系数法122303231123213t t t t t t e e e e e e αα--------⎡⎤⎡⎤-⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦201300t At t ee (t )I (t )A e αα--⎡⎤=+=⎢⎥⎣⎦（2）①约当标准形：2220tt At t e te e e ---⎡⎤=⎢⎥⎣⎦②122111221020t t At t s e te e L (sI A )L s e -------+-⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-==⎢⎥⎢⎥⎣⎦+⎣⎦⎣⎦（3）①约当标准形：233300000t Att t t e e e te e ----⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦②1211133320000031000300t At tt t s e e L (sI A )L s e te s e --------⎡⎤+⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤=-=+-=⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦（4）①21201001Att t e t ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦②222121012001Att t e I At A t .....t !⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+++=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦2-2（1）113141I A ()()λλλλλ---==-+--1231,λλ==-313031131344111144t t tt t t e e e e e e αα----⎡⎤+⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦-⎢⎥⎣⎦330133111122441122t tt t At t t t t e e e e e (t )(t )A e e e e αα----⎡⎤+-⎢⎥=+=⎢⎥⎢⎥-+⎢⎥⎣⎦（2）1011236116I A ()()()λλλλλλλ--=-=++++123123,,λλλ=-=-=-2310223132231662211111245832139122t t t tt t t t t t t t(e e e )(t )e (t )e (e e e )(t )e (e e e )ααα-------------⎡⎤--+-⎢⎥⎡⎤-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-=--+-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥--+-⎢⎥⎣⎦⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+--+-+--+--+--+-+-+-+-=---------t t t tt t t t t t t t t t t t t t t t t t t t tt t t3-2-3-2-3-2-3-2-3-2-3-2--3-2-3-2-3-2 4.540.513.5162.59123 1.520.54.582.53630.50.51.542.533e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e A 2-3 ①211012I A ()λλλλ--==+=+ 121λλ==-11010111P λ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦ 11011P -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ 11101A P AP --⎡⎤==⎢⎥-⎣⎦ ②Laplace 变换法：1111112t t t At tt t s te e te e L (sI A )L s te e te -----------⎡⎤+⎡⎤⎡⎤=-==⎢⎥⎢⎥⎣⎦+--⎣⎦⎣⎦③待定系数法：1011101t t t t t(t )e e te (t )te te αα-------⎡⎤⎡⎤+⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦01Ate (t )(t )A αα=+=t t t t t t te e te tee te ------⎡⎤+⎢⎥--⎣⎦ 2-4（1）1000001010()I ⎡⎤⎢⎥Φ=≠⎢⎥⎢⎥-⎣⎦∴不满足条件; (2)10001()⎡⎤Φ=⎢⎥⎣⎦ ∴满足条件11(0)41A ⎡⎤=Φ=⎢⎥⎣⎦2-5 2211120t t (e )(t )e --⎡⎤-⎢⎥Φ=⎢⎥⎣⎦①自身性 10001()I ⎡⎤Φ==⎢⎥⎣⎦② 传递性1021102122211020221111112200(t t )(t t )(t t )(t t )(e (e (t t )(t t )(t t )e e --------⎡⎤⎡⎤---⎢⎥⎢⎥Φ-⋅Φ-=⋅=Φ-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦③可逆性0000122100221111112200(t t )(t t )(t t )(t t )(e )(e (t t )(t t )e e ----------⎡⎤⎡⎤--⎢⎥⎢⎥Φ-=⋅=Φ-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦1(t )(t )-Φ=Φ- ∴满足2-6 （1）000t A(t )⎡⎤=⎢⎥⎣⎦202000t tA()d ττ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎰，141202100080000000t t d d τττττ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎰⎰ 42t t 1000(t,0)82010000⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥Φ=+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ ()t t t ⎡⎤++⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦241＋0，02801Φ （2）00t te A(t )e--⎡⎤=⎢⎥⎣⎦0010010t t t e e d eeτττ----⎡⎤⎡⎤-=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎰ 1212121010100010t e e d d e eτττττττ----⎡⎤⎡⎤⎡⎤--⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎰⎰ ∴⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡++++++++=-- 21＋00-00-021＋00，2--2tt tt t e e e e )(Φ 2-7 ∵1At 1111s 1cos 2t sin 2t e L (sI A )L 44s 2sin 2t cos 2t ----⎡⎤-⎡⎤⎢⎥⎡⎤=-==⎢⎥⎣⎦⎢⎥-⎣⎦⎣⎦∴1(t )(t )(0)-Φ=x x-1-2t -t 2t t 2t t 1-2t-t 2t t2t t 12e 2e e 2e 2e 2e (t )(t )(0)-1-1-e -e e e2e e ---------⎡⎤⎡⎤-+-+⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦Φ=x xt 2tt 2t t 0t 0t2tt 2t 42-2e -2e -2e -4e (t )13e -2e e -4e ----==-----⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦A =Φ2-8 e e e e ()e e e e t t t t ttt t t tt (t )(t )t -=-⎡⎤+-=-==⎢⎥+-+⎣⎦ΦΦΦ221222222 2-9 （1）AttA(t )0(t )e (0)e Bu()d τττ-+⎰x x =At 222100t 01011t 11I At A t t 010********!2⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+++=+++=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦e 2t 0t 11t 01t (t )d 2110011t ττ⎡⎤-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤+-⎢⎥+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦+⎢⎥⎣⎦⎰1t x =0（2）1t 2t t 2t At 111t 2tt 2t s 12e e e e e L (sI A )L 2s 32e 2e e 2e -------------⎡⎤--⎡⎤⎡⎤=-==⎢⎥⎢⎥⎣⎦+-+-+⎣⎦⎣⎦At t A(t )0(t )e x(0)e Bu()d τττ-=+⎰x22154()2245tt t t e e x t e e ----⎡⎤+-⎢⎥=⎢⎥-+⎣⎦2-10 Att A(t )0(t )e x(0)e Bu()d τττ-=+⎰x1At 1111s 1cos 2t sin 2t e L (sI A )L 44s 2sin 2t cos 2t ----⎡⎤-⎡⎤⎢⎥⎡⎤=-==⎢⎥⎣⎦⎢⎥-⎣⎦⎣⎦∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=t t t t t 22220.52cos sin sin cos )(x 2-11 121det(I A)(3)(1),1,334λλλλλλλ--==--==-∴11P 13⎡⎤=⎢⎥⎣⎦1311P 112--⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦ ∴t 3tt 3t Att1t3tt 3t 3e e e e 1e Pe P 23e 3e e 3e Λ-⎡⎤--+==⎢⎥--+⎣⎦∵At(t )e (0)=x x ∴()t 3t At t 3t 0.5e 3.5e (0)e (t )0.5e 4.5e ⎡⎤+==⎢⎥+⎣⎦-1x x 2-1211i c U iR idt C U idtC=+=⎰⎰则 cc i dU RC U U dt+= 1,1R m C F μ=Ω=则()()()c c i U t U t U t +=()[1]c c i U t U U =-+[1][1][1]()At tA sI A s sI A s t e e -=-∴-=+-=+∴Φ==()()()()()01()0(1)0()010010--------=+=+⎡⎤=+-⎣⎦⎰⎰tAtA t c C i t t C t t tC u t e u e Bu d e u e d e u e e τττττ()323()0(3)(0)10()0(0)10(1)()10(1)------=+-=∴=-∴=-+⎰ c c c tt t c i u e u e e u e Vu t e e e u d τττ当t=0时，()c u t 10(1e)=- 当()tt(t )(t 1)c 00t 1,u t 10e (1e)10e|10(1e )---τ--<≤=-+=-当c t 1,u (t)0>=2-13 设()12x (kt )y(kt )x (kt )y k 1t =⎧⎪⎨=+⎡⎤⎪⎣⎦⎩∴ ()()()()12221x k 1T y k 1T x (kT )x k 1T y k 2T u(kT )0.5x (kT )0.1x (kT )⎧+=+=⎡⎤⎡⎤⎪⎣⎦⎣⎦⎨+=+=--⎡⎤⎡⎤⎪⎣⎦⎣⎦⎩ ∴状态空间表达式为：()010x k 1T x(kT )u(kT )0.10.51⎡⎤⎡⎤+=+⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦--⎣⎦⎣⎦()[]y k 1T 10x(kT )+=⎡⎤⎣⎦若初始值y(0)=1,y(T)=0逆推y(2T)+0.5y(T)+0.1y(0)=1∴y(2T)=0.9,y(3T)=0.55,y(4T)=0.635()()()()()()()()()()(0)=+-+-+-+-+-+-+-+-+-y kT δt δt T δt T δt T δt T δt T δt T δt T δt T δt T 0.920.5530.63540.627550.622760.625870.624780.625090.625012-14t 2tt 2t Att1t tt 2t 2e e e e (t )e Pe P 2e 2ee 2e ----Λ-----⎡⎤--===⎢⎥-+-+⎣⎦Φ 设x(k 1)x(k )u(k )+=+G H0.9670.148(T)0.2960.522⎡⎤==⎢⎥-⎣⎦G Φt 2t T T 0t 2t 0.017e e (t )Bdt Bdt 0.148e 2e ----⎡⎤-⎡⎤===⎢⎥⎢⎥-+⎣⎦⎣⎦⎰⎰H Φ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦，G H 0.96710.14840.0170.29680.52190.148离散化状态方程 ：()()()0.9670.1480.017k 1k u k 0.2960.5220.148⎡⎤⎡⎤+=+⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦x x 1z 0.5220.148(z 0.82)(z 0.669)(z 0.82)(z 0.669)(z )0.269z 0.967(z 0.82)(z 0.669)(z 0.82)(z 0.669)--⎡⎤⎢⎥----⎢⎥-=--⎢⎥⎢⎥----⎣⎦I G ()11(k)z z z --⎡⎤=-⎣⎦ΦI G∴k k 1kk k 1k k 1k k 1k 1k k 1(1)2(1)2(1)(1)2()(1)2(1)2(1)(1)2++++++⎡⎤-⋅+-⋅-+-⋅=⎢⎥-⋅+-⋅-+-⋅⎣⎦k Φ2-15（1）AT221T 1G eI AT A T 012⎡⎤==+++=⎢⎥⎣⎦2T T 00T 1t 0(t )Bdt dt 2011T ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎰⎰H Φ 当T=1s 时，()()()110.5k 1k u k 011⎡⎤⎡⎤+=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦x x []10(k )=y x （2）()2T 1AT 112T 1s 1T (T e )e L sI A L 20s 20e -----⎡⎤--⎡⎤⎢⎥⎡⎤==-==⎢⎥⎣⎦⎢⎥+⎣⎦⎣⎦G 22T 2tT T002t 2T 1T 111(e )(t e )2224(t )Bdt dt 211ee 22----⎡⎤⎡⎤+-⎢⎥-⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥-+⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎰⎰H Φ 当T=1时，222211e 1(1e )4(k )(k )u(k )2110e e 22----⎡⎤⎡⎤⎢⎥-⎢⎥+=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥-+⎣⎦⎢⎥⎣⎦x x 1，)()(k k x y ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0110 2-16 （1）211G(s )(s 1)(s 2)s 3s 2==++++ 状态空间描述为：010x u 231⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦x[]y 10=x将其离散化--------⎡⎤--==⎢⎥-+-+⎣⎦T 2TT 2T ATT 2T T 2T 2e e e e G e2e 2ee 2e T 2T t 2t T T00t 2t T 2T 11e e e e (t )dtB dt 22e 2e e e --------⎡⎤⎡⎤-++-⎢⎥===⎢⎥⎢⎥-+⎣⎦-⎣⎦⎰⎰H Φ ∴离散化状态方程为：------------⎡⎤⎡⎤-++--⎢⎥+=+⎢⎥⎢⎥-+-+⎣⎦-⎣⎦T 2T T 2TT 2T T 2TT 2T T 2T11e e 2e e e e x[(k 1)T ]x(kT )u(kT )222e 2ee 2e e e ()[]()y k T 10x k T= （2）2T T2T T T 2TT 2T 2111z e z e z e z e ()2221z e z e z e z e ---------⎡⎤--⎢⎥----=⎢⎥⎢⎥--⎢⎥----⎣⎦Z I G 1-0.20.10.20.10.10.20.10.20.2k 0.1k 0.2k 0.1k0.1k0.2k0.1k 0.2k()[()]2zz z z z e z e z e z e =2z 2z 2z z z e z e z e z e 2(e )(e )(e )(e )2(e )2(e )2(e )(e )-------------------Φ=⋅⎡⎤--⎢⎥----⎢⎥⎢⎥--⎢⎥----⎣⎦⎡⎤--=⎢⎥--⎣⎦k Z Z ZZ 111-I G2-17 k=0时，10.510.3(1)(0)u(0)u(0)010.110.4⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+=+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦x Gx Hk=1时，(2)(1)u(1)=+x Gx H 带入(1)x 得，1.50.3u(0)0.550.2u(0)0.3u(1)(2)01.50.03u(0)0.110.04u(0)0.4u(1)++++⎡⎤==⎢⎥++++⎣⎦x 解得 u (0)=5.35 u (1) =0.51。
现代控制理论第二章答案
cos2t
e At
TeAtT 1
1 0
0 cos2t 2sin 2t
cos2t 0.5sin 2t
2sin 2t
c os 2t
sin 2t1
c os 2t
0
0 0.5
(2)
1 1
I A
2 3 0
4 1
1 1
2 3
1
1
P1 2 P2 2
1 1 T 2 2
0.25
s 0.5
3
s 1 s 3
e At
L1[(sI
A)1]
0.5et 0.5e3t
et e3t
0.25et 0.25e3t
0.5et 0.5e3t
解法四:凯莱—哈密顿定理法
(1) 特征方程:
I A
1 2 4 0
4
0 (t)
1
(t
)
1 1
1 2
1
e1t e2t
s
0
s2 1
1 0
t 1
s
t
x(t) (t)x(0) o (t )Bu( )d
1 0
t1 t 1 11 0 0
t
1
101(
)d
1 2
t
2
t
t 1
1
【习题2－10 】有离散系统如下,求x(k)
1
x(k
1)
2 1
8
1
8 1
x(k
)
1 0
2
0 u1 (k ) 1u2 (k)
(et
(et
e3t ) e3t )
141((eet tee33t t))
1 2
(et (et
控制理论作业二答案
第三章3-1 已知二阶系统闭环传递函数为 369362++=s s G B。
试求单位阶跃响应的t r , t m ,δ% , t s 的数值？解：[题意分析]这是一道典型二阶系统求性能指标的例题。
解法是把给定的闭环传递函数与二阶系统闭环传递函数标准形式进行对比，求出n ω参数，而后把n ω代入性能指标公式中求出r t ，m t ，%δ，s t 和N 的数值。
上升时间 t r 峰值时间t m 过度过程时间t s 超调量δ％3-2 设单位反馈系统的开环传递函数为试求系统的性能指标，峰值时间，超调量和调节时间。
解：[题意分析]这是一道给定了开环传递函数,求二阶系统性能指标的练习题。
在这里要抓住二阶系统闭环传递函数的标准形式与参数(ζ,n ω)的对应关系，然后确定用哪一组公式去求性能指标。
根据题目给出条件可知闭环传递函数为与二阶系统传递函数标准形式2222nn ns s ωζωω++相比较可得12,12==n n ζωω，即n ω=1,ζ=0.5。
由此可知，系统为欠阻尼状态。
故，单位阶跃响应的性能指标为3-3 如图1所示系统，假设该系统在单位阶跃响应中的超调量%δ=25%，峰值时间m t =0.5秒，试确定K 和τ的值。
K,τ与ζ,n ω的关系；δ联系起来。
由系统结构图可得闭环传递函数为 与二阶系统传递函数标准形式相比较，可得由题目给定： %25%100%21=⨯=--ζζπδe即 25.021=--ζζπe两边取自然对数可得 依据给定的峰值时间： 5.012=-=ζωπn mt （秒）所以 85.615.02=-=ζπωn （弧度/秒）故可得τ≈0.13-4 已知系统的结构图如图2所示，若)(12)(t t x ⨯= 时，试求： (1) 当τ=0时，系统的t r , t m , t s 的值。
(2) 当τ≠0时，若使δ％=20%，τ应为多大。
可得 )/(07.750秒弧度==n ω由于ss X 2)(=输出的拉氏变换为 则拉氏反变换为(2) 当τ≠0时，闭环传递函数由 %20%100%21=⨯=--ζζπδe两边取自然对数 61.12.0ln 12-==--ζζπ， 可得故 73.85.)107.746.0(2=-⨯=o τ3-5(1) 什么叫时间响应答：系统在外加作用的激励下，其输出随时间变化的函数关系叫时间响应。
《现代控制理论》第三版_.习题答案
1 0 0 3 1 0 5 2 1 52 7 1 5 2 70 125 3 5 7 5 0 0 1 1 B 2 ； 2 5 5
1 0 a1 0 0 1 0 1 0 0 1 a2 3 7 5
0 B 0 1
C (b0 a0bn ) (bn1 an1bn ) 2 1 0
3 1 a 或者 2 2 1 a1 0 a0
e At I At 1 22 1 33 A t A t 2! 3! t2 t4 t6 t3 t5 1 4 16 64 , 4 16 t 2! 4! 6! 3! 5! 3 5 2 4 6 t t t t t t 4 16 64 , 1 4 16 64 3! 5! 2! 4! 6!
0 0 1 B M 1 0 0 0 0 1 M2
1 0 B 1 M1 B1 M2
1 B1 M1 B1 B2 M2
0
0 0 1 0 C 0 0 0 1
1－5. 根据微分方程， 写状态方程， 画模 拟结构图。
1 a2 a2 2 a1 3 2 a a a 1 2 2 a0
1 a2 a1
1 a2
12 b1 b0
b3 b 2 b1 1 b0
凯莱哈密顿法： 1,2 2 j
0 (t ) 1 1 e1t 1 2(e 2 jt e 2 jt ) (t ) 1 2t 4 2 jt 2 jt e j ( e e ) 2 1
现代控制理论基础第二章习题答案
第二章 状态空间表达式的解3-2-1 试求下列矩阵A 对应的状态转移矩阵φ（t ）。
（1） ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=2010A （2） ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=0410A （3） ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=2110A （4） ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=452100010A （5）⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=0000100001000010A （6）⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=λλλλ000100010000A 【解】：（1） （2） （3） （4）特征值为：2,1321===λλλ。
由习题3-1-7(3)得将A 阵化成约当标准型的变换阵P 为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=421211101P ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=-1211321201P线性变换后的系统矩阵为：（5）为结构四重根的约旦标准型。
（6）虽然特征值相同，但对应着两个约当块。
或}0100010000{])[()(1111----⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------=-=Φλλλλs s s s L A sI L t 3-2-2 已知系统的状态方程和初始条件 （1）用laplace 法求状态转移矩阵； （2）用化标准型法求状态转移矩阵； （3）用化有限项法求状态转移矩阵； （4）求齐次状态方程的解。
【解】：（1） （2）特征方程为： 特征值为：2,1321===λλλ。
由于112==n n ，所以1λ对应的广义特征向量的阶数为1。
求满足0)(11=-P A I λ的解1P ，得：0110000000312111=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--P P P ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=0011P 再根据0)(22=-P A I λ，且保证1P 、2P 线性无关，解得：对于当23=λ的特征向量，由0)(33=-P A I λ容易求得： 所以变换阵为：[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-==110010001321P P P P ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-1100100011P 线性变换后的系统矩阵为：（3）特征值为：2,1321===λλλ。
控制理论作业二答案
第三章3-1 已知二阶系统闭环传递函数为 369362++=s s G B 。
试求单位阶跃响应的t r , t m ,δ% , t s 的数值？解：[题意分析]这是一道典型二阶系统求性能指标的例题。
解法是把给定的闭环传递函数与二阶系统闭环传递函数标准形式进行对比，求出n ω参数，而后把n ω代入性能指标公式中求出r t ，m t ，%δ，s t 和N 的数值。
上升时间 t r峰值时间t m 过度过程时间t s 超调量δ％3-2 设单位反馈系统的开环传递函数为试求系统的性能指标，峰值时间，超调量和调节时间。
解：[题意分析]这是一道给定了开环传递函数,求二阶系统性能指标的练习题。
在这里要抓住二阶系统闭环传递函数的标准形式与参数(ζ,n ω)的对应关系，然后确定用哪一组公式去求性能指标。
根据题目给出条件可知闭环传递函数为与二阶系统传递函数标准形式2222nn n s s ωζωω++相比较可得12,12==n n ζωω，即n ω=1,ζ=0.5。
由此可知，系统为欠阻尼状态。
故，单位阶跃响应的性能指标为3-3 如图1所示系统，假设该系统在单位阶跃响应中的超调量%δ=25%，峰值时间m t =0.5秒，试确定K 和τK,τ与ζ,n ω的关系；%δ,m t 与ζ,nω 由系统结构图可得闭环传递函数为 与二阶系统传递函数标准形式相比较，可得由题目给定： %25%100%21=⨯=--ζζπδe即 25.021=--ζζπe两边取自然对数可得 依据给定的峰值时间： 5.012=-=ζωπn m t （秒）所以 85.615.02=-=ζπωn （弧度/秒）3-4 已知系统的结构图如图2所示，若)(12)(t t x ⨯= 时，试求：(1) 当τ=0时，系统的t r , t m , t s 的值。
(2) 当τ≠0时，若使δ％=20%，τ应为多大。
求出可得 )/(07.750秒弧度==n ω 由于ss X 2)(=输出的拉氏变换为 则拉氏反变换为(2) 当τ≠0时，闭环传递函数由 %20%100%21=⨯=--ζζπδe两边取自然对数 61.12.0ln 12-==--ζζπ， 可得故 73.85.)107.746.0(2=-⨯=o τ3-5(1) 什么叫时间响应答：系统在外加作用的激励下，其输出随时间变化的函数关系叫时间响应。
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第三章3-1已知二阶系统闭环传递函数为G B36。
s29s 36t r , t m ,δ% , t s 的数值？试求单位阶跃响应的解：[ 题意分析 ] 这是一道典型二阶系统求性能指标的例题。
解法是把给定的闭环传递函数与二阶系统闭环传递函数标准形式进行对比，求出n 参数，而后把n 代入性能指标公式中求出 t r， t m，% ，t s和 N 的数值。
n366(弧度 /秒)90.752 n120.66d n tg 1112 3.97（弧度/秒)241.410.72 （弧度）上升时间t rt rd 峰值时间t m 3.140.72秒0.613.97t m3.140.79秒3.97d过度过程时间 t s440.89秒(2%)t s0.756n330.70秒(5 %)t s0.756n超调量δ％% e 120.75e 0.66100% 2.8% 100%3-2设单位反馈系统的开环传递函数为G K (s)1s(s1)试求系统的性能指标，峰值时间，超调量和调节时间。
解： [ 题意分析 ] 这是一道给定了开环传递函数 , 求二阶系统性能指标的练习题。
在这里要抓住二阶系统闭环传递函数的标准形式与参数( ,n ) 的对应关系，然后确定用哪一组公式去求性能指标。
根据题目给出条件可知闭环传递函数为G B (s)Y (s) 1X (s)s2s 122与二阶系统传递函数标准形式n2 相比较可得1, 2n 1 ， 即22 n sns nn =1, =。
由此可知，系统为欠阻尼状态。
故，单位阶跃响应的性能指标为t m秒3.63n 1212% e 100% 16.4%t s ( 2%)44秒0.5 18n33秒t s (5%)0.56n13-3 如图 1 所示系统，假设该系统在单位阶跃响应中的超调量% =25%，峰值时间 t m =秒，试确定 K 和τ的值。
X(s)Y(s)ks( s 1)s1图 1解： [ 题意分析 ] 这是一道由性能指标反求参数的题目，关键是找出： K, τ与, n 的关系；% , t m 与 ,n 的关系；通过, n 把 % , t m 与 K, τ联系起来。
由系统结构图可得闭环传递函数为Y (s) KKG B ( s)s(s 1) K ( s 1)s 2(1 K )s KX (s)与二阶系统传递函数标准形式相比较，可得2K ; 2 n 1 K 或2 n 1n2n12由题目给定：% e100 % 25%21即e0.25两边取自然对数可得ln 0.25 1.3863211.38630.42 1.3863 2依据给定的峰值时间：t m0.5 （秒）12n所以n 6.85（弧度/秒）0.512故可得K2n46.95 47τ≈3-4已知系统的结构图如图 2 所示，若x(t )21(t ) 时，试求：(1)当τ =0 时，系统的 t r , t m , t s的值。
(2)当τ≠ 0 时，若使δ％ =20%，τ应为多大。
X(s)Y(s)0.5100s(s 2)s图 2解： [ 题意分析 ] 这是一道二阶系统综合练习题。
(1) 练习输入信号不是单位阶跃信号时，求性能指标。
关键是求出n , ,。
(2)的求法与例4－ 3－3 相似。
(1)由结构图可知闭环传递函数为G B (s)Y(s)50X (s)s22s50可得n50 7.07 (弧度 / 秒)2120.14 ;tg 181.95 1.43弧度2n由于 X (s)2输出的拉氏变换为sY( s)则拉氏反变换为22s22n2n ne nty(t ) 2 1sin( d t)122 1 1.01e 0.995 sin(7t81.95 )20. 44%e1100%64%100% e 0. 99t r3.14 1.43秒20.24n17.070.99t m3.140.45 秒127.070.99nt s 332.78秒 (5%)0.147.07nt s 44秒 (2%)0.143.71n7.07(2) 当τ≠ 0时，闭环传递函数Y (s)50G B (s)s2( 2 0.5 ) s 50X (s)n507.07 (弧度 / 秒)2 n20.52(n 1)得0.5%e12由100% 20%e 120.2两边取自然对数ln 0.2 1.6112，可得1.610.461.61222(0.467.071)故o.58.73330.92 秒 (2%)t s0.46n7.073-5(1)什么叫时间响应答：系统在外加作用的激励下，其输出随时间变化的函数关系叫时间响应。
(2)时间响应由哪几部份组成？各部份的定义是什么？答：时间响应由瞬态响应和稳态响应两部分组成。
瞬态响应是系统受到外加作用后，系统从初始状态到最终稳定状态的响应过程称瞬态响应或者动态响应或称过渡过程。
稳态响应是系统受到外加作用后，时间趋于无穷大时，系统的输出状态或称稳态。
(3)系统的单位阶跃响应曲线各部分反映系统哪些方面的性能？答：时间响应由瞬态响应和稳态响应两部分组成。
瞬态响应反映系统的稳定性，相对稳定性及响应的快速性；稳态响应反映系统的准确性或稳态误差。
(4)时域瞬态响应性能指标有哪些？它们反映系统哪些方面的性能？答：延迟时间 t d；上升时间 t r；峰值时间 t m；调节时间 t s；最大超调量% .t d,t r,t m,t s 反映系统的快速性，即灵敏度，% 反映系统的相对稳定性。
3-6 设系统的特征方程式为s46s312 s211s 60试判别系统的稳定性。
解：特征方程符号相同，又不缺项，故满足稳定的必要条件。
列劳斯表判别。
s41126s36110s26136同乘6)(s14550同乘61)(s036由于第一列各数均为正数，故系统稳定。
也可将特征方程式因式分解为(s2)(s3)( s2s 1) 0根 s12,s23,1j3s3, 4均有负实部，系统稳定。
223-7 设系统的特征方程式为s32s2s 20解：列劳斯表s 31 1 2s 22s 02将特征方程式因式分解为( s 2 1)( s2) 0根为s1,2 j1, s 3 2 系统等幅振荡，所以系统临界稳定。
3-8单位反馈系统的开环传递函数为KG k (s)s(0.1s 1)(0.25s 1)试求 k 的稳定范围。
解：系统的闭环特征方程：s(0.1s 1)(0.25s 1) K 0 0.025s 3 0.35s 2 s K列劳斯表s 3 0.025 1s 2 0.35 Ks 1 0.35 0.02Ks 0K K系统稳定的充分必要条件K>0得 K<14所以保证系统稳定， K 的取值范围为 0<K<14。
3-9(1) 系统的稳定性定义是什么？答：系统受到外界扰动作用后， 其输出偏离平衡状态，当扰动消失后，间，若系统又恢复到原平衡状态，则系统是稳定的，反之系统不稳定。
(2) 系统稳定的充分和必要条件是什么？经过足够长的时答：系统的全部特征根都具有负实部，或系统传递函数的全部极点均位于半部。
[S] 平面的左(3) 误差及稳态误差的定义是什么？ 答：输出端定义误差e(t) ：希望输出与实际输出之差。
输入端定义误差主反馈信号之差。
稳态误差，误差函数e(t) ，当 t →∞时的误差值称为稳态误差e(t) ；输入与, 即3-10 已知单位反馈随动系统如图 3 所示。
若 K 16 ， T 0.25s 。
试求：（1）典型二阶系统的特征参数和 n ；（2）暂态特性指标M p和t s ( 5 0 0 ) ；（3）欲使 M p 16 0 0 ，当 T 不变时， K 应取何值。
R( s)C ( s)Ks(Ts 1)图 3 随动系统结构图解： 由系统结构图可求出闭环系统的传递函数为Φ( s)KK / T2 s K21KTss sTT与典型二阶系统的传递函数比较2 Φ(s)n2n s2s 2 nnK , 1得T2 KT已知 K 、 T 值，由上式可得nK16 1 T8(rad / s),0.250.252 KT0. 25M p % e 121 0.25 2100% 47%于是，可100% et s33 1.5s( 5%)n0.25 8为使 M p16，由公式可求得0.5，即应使 由增大到，此时K1 1 44T40.250.25即 K 值应减小 4 倍。
3-11 控制系统框图如图4 所示。
要求系统单位阶跃响应的超调量M p9.5%，且峰值时间t p0.5s。
试确定 K 1 与的值，并计算在此情况下系统上升时间t r 和调整时间 t s (20 )。
R(s)K110 C (s) s(0.5 s1)s图 4 控制系统框图解：由图可得控制系统的闭环传递函数为：C( s)10 K1R( s) s2(110) s10K1系统的特征方程为s2(1 10 ) s 10K10。
所以10K1n2 , 2 n 1 10由题设条件：M p e12100%0.095t p120.5sn，可解得0.6 ,n 7.854，进而求得221n6.15,n K1100.8410在此情况下系统上升时间t r120.35s cos 1 ()53.100.9273radnt s (2%)40.85调整时间n3-12 设系统的特征方程式分别为1． s42s33s24s 5 02． s42s3s22s 1 03． s5s43s33s22s 2 0试用劳斯稳定判据判断系统的稳定性。
解：解题的关键是如何正确列出劳斯表，然后利用劳斯表第一列系数判断稳定性。
1．列劳斯表如下s4135s324s215s1-6s05劳斯表中第一列系数中出现负数，所以系统不稳定；又由于第一列系数的符号改变两次，1→-6 → 5，所以系统有两个根在s 平面的右半平面。
2．列劳斯表如下s4111s322s20(ε )1s1 2-2/εs01由于ε是很小的正数，ε行第一列元素就是一个绝对值很大的负数。
整个劳斯表中第一列元素符号共改变两次，所以系统有两个位于右半s 平面的根。
3．列劳斯表如下s5132s4132s300由上表可以看出，s3 行的各项全部为零。
为了求出s3 各行的元素，将s4 行的各行组成辅助方程式为A(s)= s4+3s2+2s0将辅助方程式A(s) 对 s 求导数得dA(s)4s36sds用上式中的各项系数作为s3 行的系数，并计算以下各行的系数，得劳斯表为s5132s4132s346s23/22s12/3s02从上表的第一列系数可以看出，各行符号没有改变，说明系统没有特征根在s 右半平面。
但由于辅助方程式 A(s)= s4+3s2+2=（s2+1）（ s2+2）=0 可解得系统有两对共轭虚根s1,2= ± j ，s3,4= ± j2 ，因而系统处于临界稳定状态。