平方差、完全平方公式变式
平方差公式和完全平方公式因式分解
平方差公式和完全平方公式因式分解平方差公式和完全平方公式是数学中常用的因式分解方法，它们在解题过程中起到了十分重要的作用。
本文将为大家详细介绍这两个公式，帮助大家理解其原理和应用。
首先，我们来了解一下平方差公式。
平方差公式的表达形式为a² - b² = (a + b)(a - b)。
简言之，它告诉我们两个平方数相减的结果可以因式分解为两个因数的乘积：一个因数是两个平方数的和，另一个因数是两个平方数的差。
这个公式可以极大地简化计算，特别是在解方程或因式分解的题目中，往往能起到事半功倍的效果。
那么，我们来看一个应用平方差公式的例子。
假设我们需要将x² - 4x + 4进行因式分解。
我们可以使用平方差公式进行分解，将x² - 4x + 4看作是(a - b)²的形式，其中a为x，b为2。
根据平方差公式，我们可以得到(x - 2)²，也就是x² - 4x + 4的因式分解形式。
通过应用平方差公式，我们可以将一个多项式快速分解为一对平方数的差的乘积。
接下来，我们将介绍完全平方公式。
完全平方公式的表达形式为a² + 2ab + b² = (a + b)²。
它告诉我们一个二次多项式可以因式分解为两个相同的因数的平方。
与平方差公式类似，完全平方公式也可以在解题过程中提供方便。
我们来看一个应用完全平方公式的例子。
假设我们需要将x² + 6x + 9进行因式分解。
根据完全平方公式，我们可以将x² + 6x + 9看作是(a + b)²的形式，其中a为x，b为3。
带入完全平方公式，我们可以得到(x + 3)²，也就是x² + 6x + 9的因式分解形式。
通过应用完全平方公式，我们可以迅速将二次多项式转化为平方的形式。
在实际应用中，平方差公式和完全平方公式可以帮助我们进行因式分解，并简化问题的求解过程。
完全平方公式和平方差公式的应用
完全平方公式和平方差公式的应用公式：语言叙述：两数的。
公式结构特点：左边：右边：熟悉公式：公式中的a和b既可以表示数字也可以表示字母，还可以表示一个单项式或者一个多项式。
(5+6x)(5-6x)中是公式中的a，是公式中的b(5+6x)(-5+6x)中是公式中的a，是公式中的b(x-2y)(x+2y)填空：1、(2x-1)( )=4x2-12、(-4x+ )( -4x)=16x2-49y2第一种情况：直接运用公式1.（a+3）(a-3)2..( 2a+3b)(2a-3b)3. (1+2c)(1-2c)4. (-x+2)(-x-2)第二种情况：运用公式使计算简便1、1998×20022、498×5023、999×10014、1.01×0.995、30.8×29.26、（100-13）×（99-23）7、（20-19）×（19-89）第三种情况：两次运用平方差公式1、（a+b）(a-b)(a2+b2)2、(a+2)(a-2)(a2+4)3、(x-12)(x2+14)(x+12)第四种情况：需要先变形再用平方差公式1、（-2x-y）(2x-y)2、(y-x)(-x-y) 3.(-2x+y)(2x+y) 4.(4a-1)(-4a-1) 5.(b+2a)(2a-b) 6.(a+b)(-b+a) 7.(ab+1)(-ab+1)第五种情况：每个多项式含三项1.（a+2b+c ）(a+2b-c)2.(a+b-3)(a-b+3)3.x-y+z)(x+y-z)4.(m-n+p)(m-n-p)完全平方公式公式：语言叙述：两数的 . 。
公式结构特点：左边： 右边：熟悉公式：公式中的a 和b 既可以表示数字也可以表示字母，还可以表示一个单项式或者一个多项式。
公式变形1、a 2+b 2=(a+b)2 =(a-b)22、（a-b ）2=(a+b)2 ; (a+b)2=(a-b)23、(a+b)2 +（a-b ）2=4、(a+b)2 --（a-b ）2= 一、计算下列各题： 1、2)(y x + 2、2)23(y x - 3、2)21(b a + 4、2)12(--t5、2)313(c ab +-6、2)2332(y x +7、2)121(-x 8、(0.02x+0.1y)2二、利用完全平方公式计算： （1）1022 （2）1972三、计算： （1）22)3(x x -+ （2）22)(y x y +-（3）()()2()x y x y x y --+-四、计算：（1）)4)(1()3)(3(+---+a a a a （2）22)1()1(--+xy xy（3）)4)(12(3)32(2+--+a a a五、计算：（1）)3)(3(-+++b a b a （2）)2)(2(-++-y x y x（3）)3)(3(+---b a b a （4）()()2323x y z x y z +-++六、拓展延伸 巩固提高 1、若22)2(4+=++x k x x，求k 值。
平方差和完全平方公式及经典例题
平方差和完全平方公式及经典例题专题一：平方差公式例1：计算下列各整式乘法。
①位置变化$(7x+3y)(3y-7x)$②符号变化$(-2m-7n)(2m-7n)$③数字变化$98\times102$④系数变化$(4m+n)(2m-n)-24$⑤项数变化$(x+3y+2z)(x-3y+2z)$⑥公式变化$(m+2)(m-2)(m^2+4)$变式拓展训练：变式1】$(-y-x)(-x+y)(x^2+y^2)(x^4+y^4)$变式2】$(2a-\frac{b}{3})^2-\frac{(b-4a)^2}{33}$变式3】$1002-992+982-972+\cdots+22-12$专题二：平方差公式的应用例2：计算$2004-2004^2\times2005\times2003$的值为多少？变式拓展训练：变式1】$(x-y+z)^2-(x+y-z)^2$变式2】$301\times(302+1)\times(302^2+1)$变式3】$(2x+y-z+5)(2x-y+z+5)$变式4】已知$a$、$b$为自然数，且$a+b=40$。
1）求$a^2+b^2$的最大值；（2）求$ab$的最大值。
专题三：完全平方公式例3：计算下列各整式乘法。
①位置变化：$(-x-\frac{y}{2})(\frac{y}{2}+x)$②符号变化：$(-3a-2b)^2$③数字变化：$197^2$④方向变化：$(-3+2a)^2$⑤项数变化：$(x+y-1)^2$⑥公式变化$(2x-3y)^2+(4x-6y)(2x+3y)+(2x+3y)^2$变式拓展训练：变式1】$a+b=4$，则$a^2+2ab+b^2$的值为（）A.8B.16C.2D.4变式2】已知$(a-b)^2=4$，$ab=12$，则$(a+b)^2$=_____变式3】已知$x+y=-5$，$xy=6$，则$x^2+y^2$的值为（）A.1B.13C.17D.25变式4】已知$x(x-1)-(x^2-y)=-3$，求$x^2+y^2-2xy$的值专题四：完全平方公式的运用例4：已知：$x+y=4$，$xy=2$。
完全平方和平方差公式
平方差公式和完全平方公式（一）平方差公式是先平方再减a²-b²= (a+b)(a-b)。
（二）完全平方公式是先加减最后是平方(a±b)²=a²±2ab+b²。
（三）平方差公式是指两个数的和与这两个数差的积，等于这两个数的平方差，这一公式的结构特征：（四）左边是两个二项式相乘，这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；右边是乘式中两项的平方差，即相同项的平方与相反项的平方差。
公式中的字母可以表示具体的数(正数和负数)，也可以表示单项式或多项式等代数式。
（五）该公式需要注意：1.公式的左边是个两项式的积，有一项是完全相同的。
2.右边的结果是乘式中两项的平方差，相同项的平方减去相反项的平方。
3.公式中的a，b 可以是具体的数，也可以是单项式或多项式。
完全平方公式指两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍。
为了区别，会叫做两数和的完全平方公式，或叫做两数差的完全平方公式。
这个公式的结构特征：1.左边是两个相同的二项式相乘，右边是三项式，是左边二项式中两项的平方和，加上或减去这两项乘积的2倍；2.左边两项符号相同时，右边各项全用“+”号连接；左边两项符号相反时，右边平方项用“+”号连接后再“-”两项乘积的2倍（注：这里说项时未包括其符号在内）。
公式中的字母可以表示具体的数（正数或负数），也可以表示单项式或多项式等数学式。
（六）该公式需要注意：1.左边是一个二项式的完全平方。
2.右边是二项平方的和，加上（或减去）这两项乘积的二倍，a和b 可是数，单项式，多项式。
3.不论是(a+b)2还是(a-b)2，最后一项都是加号，不要因为前面的符号而理所当然的以为下一个符号。
4.不要漏下一次项。
5.切勿混淆公式。
6.运算结果中符号不要错误。
7.变式应用难，不易于掌握。
六年级数学灵活运用平方差公式和完全平方公式、整式的
六年级数学灵活运用平方差公式和完全平方公式、整式的除法人教四年制【同步教育信息】一. 本周教学内容灵活运用平方差公式和完全平方公式二. 教学目的和要求1. 会用语言叙述每一个公式，掌握各个公式的结构特征。
2. 理解公式中字母的广泛含义，能灵活运用公式进行计算。
三. 教学重难点1. 重点：掌握公式的结构特征2. 难点：公式的灵活运用四. 知识要点1. 平方差公式：22))((b a b a b a -=-+完全平方公式：2222)(b ab a b a ++=+ 2222)(b ab a b a +-=-2. 了解公式的结构特征：（1）在平方差公式中，左边是两个二项式的积，在这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数，右边是完全相同项的平方减去符号相反项的平方。
（2）在完全平方公式中，左边都是一个二项式的完全平方，二者仅一个“符号”不同，右边都是二次三项式，其中有两项是公式左边二项式中每一项的平方，第三项是左边二项式中两项乘积的2倍，二者也仅一个“符号”不同。
3. 注意公式的应用条件，弄清公式的变化形式：（1）字母a 、b 既可以表示具体的数，也可以表示单项式或多项式，在应用平方差公式时，要紧扣“相同项”与“互为相反项”这两点。
（2）A. 平方差公式有八种变化形式：① 位置变化 ② 符号变化 ③ 系数变化 ④ 指数变化⑤ 增项变化 ⑥ 增因式变化 ⑦ 连用公式变化 ⑧ 逆用公式变化B. 完全平方公式的推广：ac bc ab c b a c b a 222)(2222+++++=++完全平方公式的变式：)(2)()(2222b a b a b a +=-++ ab b a b a 4)()(22=--+ ab b a b a 2)(222-+=+ ab b a b a 2)(222+-=+4. 灵活运用公式解题：（1）巧妙结合：)221)(221(c b a c b a +--+（2）巧妙分组：)12)(121)(12)(121(+--+x x x x （3）巧妙逆用：22)())((2)(y x y x y x y x -+-+-+（4）巧妙拆项：)532)(132(+----y x y x（5）巧添因式：1)12)(12)(12)(12)(12(16842++++++ （6）巧妙变用：已知9=+y x ，14=xy ，求22y x +（答题时间：45分钟）一. 填空1. （ ）2294)23(x y y x -=-2. )(n m y x +（ ）n m y x22-= 3. ++=++22)1(52x x x4. +-2)(b a 2)(b a += 5. )(b a --（ ）22b a -=二. 选择1. 乘积等于22n m -的式子是（ ）A. 2)(n m -B. ))((n m n m ---C. ))((m n n m ---D. ))((n m n m +-+ 2. 下列多项式相乘，不能用平方差公式计算的是（ ）A. )2)(2(x y y x +-B. )2)(2(y x x y +--C. )2)(2(y x y x ---D. )2)(2(y x x y --- 3. 代数式2222)()()()(a b b a b a b a ----++--的值是（ ）A. 2244b a +B. 0C. ab 8D. 22342b ab a +-4. 如果42++ax x 是一个完全平方式，则=a （ ）A. 4B. 2C. 4或4-D. 2或2-三. 计算1. ))((d c b a d c b a ----++2. )32)(12(+----y x y x3. )812)(212)(41(2++-a a a4. ))()()()((884422n n n n n n n n n n b a b a b a b a b a +-+++四. 解答题1. 解方程：2229)31)(13()12()3(4x x x x x +-+=+--2. 已知：40)(2=+b a ，60)(2=-b a ，求22b a +和ab 的值。
平方差公式和完全平方公式强化训练变式精品
平方差公式和完全平方公式强化训练变式精品在平方差公式中，对两个数进行平方并相减，可以得到一个差的平方。
这个公式可以通过一些变化来扩展其应用范围。
变式1：三数之差的平方给定三个数a、b和c，求(a-b)^2-c^2的值。
解法：首先，根据平方差公式，有(a - b)^2 - c^2 = (a - b +c)(a - b - c)。
然后，可以将这个式子展开得到(a - b)^2 - c^2 =(a^2 + b^2 - 2ab) - c^2 = a^2 + b^2 - 2ab - c^2、因此，只需要将给定的三个数代入式子中进行计算，即可得到最终的结果。
变式2：多个数之差的平方之和给定n个数a1、a2、..、an，求(a1 - a2)^2 + (a2 - a3)^2 + ... + (an-1 - an)^2的值。
解法：首先，根据平方差公式，可以将每个差的平方展开，并将它们相加。
然后，可以发现每个差的平方之和可以表示为每个数平方之和减去两倍的交叉相乘之和。
因此，只需要将给定的n个数代入式子中进行计算，即可得到最终的结果。
在完全平方公式中，一个多项式的平方可以通过分解进行简化。
这个公式也可以通过一些变化来扩展其应用范围。
变式1：两个三项式的平方和给定两个三项式a^2 + 2ab + b^2和c^2 + 2cd + d^2，求它们的和的完全平方。
解法：首先，根据完全平方公式，可以将每个三项式平方进行分解，然后将它们相加。
然后，可以将这个和的平方进行分解得到一个完全平方。
因此，只需要将给定的两个三项式代入式子中进行计算，即可得到最终的结果。
变式2：多个多项式的平方之和给定n个多项式a_1^2 + 2a_1b_1 + b_1^2，a_2^2 + 2a_2b_2 +b_2^2，...，a_n^2 + 2a_nb_n + b_n^2，求它们的和的完全平方。
解法：首先，根据完全平方公式，可以将每个多项式平方进行分解，并将它们相加。
完全平方差公式的变式
完全平方公式的所有变形公式一. 完全平方公式常见的变形有a2+b2=（a+b）2-2ab，a2+b2=（a-b）2+2ab，（a+b）2-（a-b）2=4ab，a2+b2+c2=（a+b+c）2-2（ab+ac+bc）二. 乘法公式变形的应用例1：已知：x2+y2+4x-6y+13=0，x、y均为有理数，求xy的值。
分析：逆用完全乘方公式，将x2+y2+4x-6y+13化为两个完全平方式的和，利用完全平方式的非负性求出x 与y的值即可。
解：∵x2+y2+4x-6y+13=0，（x2+4x+4）+（y2-6y+9）=0，即（x+2）2+（y-3）2=0。
∴x+2=0，y=3=0。
即x=-2，y=3。
∴xy=（-2）3=-8。
分析：本题巧妙地利用例3 已知：a+b=8，ab=16+c2，求（a-b+c）2002的值。
分析：由已知条件无法直接求得（a-b+c）2002的值，可利用（a-b）2=（a +b）2-4ab确定a-b与c的关系，再计算（a-b+c）2002的值。
解：（a-b）2=（a+b）2-4ab=82-4（16+c2）=-4c2。
即：（a-b）2+4c2=0。
∴a-b=0，c=0。
∴（a-b+c）2002=0。
例4 已知：a、b、c、d为正有理数，且满足a4+b4+C4+D4=4abcd。
求证：a=b=c=d。
分析：从a4+b4+C4+D4=4abcd的特点看出可以化成完全平方形式，再寻找证明思路。
证明：∵a4+b4+C4+D4=4abcd，∴a4-2a2b2+b4+c4-2c2d2+d4+2a2b2-4abcd+2c2d2=0，（a2-b2）2+（c2-d2）2+2（ab-cd）2=0。
a2-b2=0，c2-d2=0，ab-cd=0又∵a、b、c、d为正有理数，∴a=b，c=d。
代入ab-cd=0，得a2=c2，即a=c。
所以有a=b=c=d。
平方差公式与完全平方公式知识点总结材料
乘法公式的复习一、平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2归纳小结公式的变式，准确灵活运用公式：①位置变化，(x+y)(-y+x)=x2-y2②符号变化，(-x+y)(-x-y)=(-x)2-y2= x2-y2③指数变化，(x2+y2)(x2-y2)=x4-y4④系数变化，(2a+b)(2a-b)=4a2-b2⑤换式变化，[xy+(z+m)][xy-(z+m)]=(xy)2-(z+m)2=x2y2-(z+m)(z+m)=x2y2-(z2+zm+zm+m2)=x2y2-z2-2zm-m2⑥增项变化，(x-y+z)(x-y-z)=(x-y)2-z2=(x-y)(x-y)-z2=x2-xy-xy+y2-z2=x2-2xy+y2-z2⑦连用公式变化，(x+y)(x-y)(x2+y2)=(x2-y2)(x2+y2)=x4-y4⑧ 逆用公式变化，(x -y +z )2-(x +y -z )2=[(x -y +z )+(x +y -z )][(x -y +z )-(x +y -z )] =2x (-2y +2z )=-4xy +4xz完全平方公式活用: 把公式本身适当变形后再用于解题。
这里以完全平方公式为例，经过变形或重新组合，可得如下几个比较有用的派生公式：()()()()()()()12223244222222222222....a b ab a b a b ab a b a b a b a b a b a b ab +-=+-+=+++-=++--=灵活运用这些公式，往往可以处理一些特殊的计算问题，培养综合运用知识的能力。
例1．已知2=+b a ，1=ab ，求22b a +的值。
例2．已知8=+b a ，2=ab ，求2)(b a -的值。
解：∵=+2)(b a 222b ab a ++ =-2)(b a 222b ab a +-∴-+2)(b a =-2)(b a ab 4 ∴-+2)(b a ab 4=2)(b a -∵8=+b a ，2=ab ∴=-2)(b a 562482=⨯-例3 已知a b ab -==45，，求a b 22+的值。