三角函数性质类高考题汇总

6．、[2014·新课标全国卷Ⅰ] 如图1-1，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示成x 的函数f (x )，则y ＝f (x )在[0，π]上的图像大致为( )

图1-1

A B

C D

6．C [解析] 根据三角函数的定义，点M (cos x ，0)，△OPM 的面积为1

2|sin x cos x |，在

直角三角形OPM 中，根据等积关系得点M 到直线OP 的距离，即f (x )＝|sin x cos x |＝1

2|sin 2x |，

且当x ＝π

2

时上述关系也成立， 故函数f (x )的图像为选项C 中的图像．

9．[2014·辽宁卷] 将函数y ＝3sin ?

???2x ＋π

3的图像向右平移π2个单位长度，所得图像对

应的函数( )

A ．在区间????π12，7π

12上单调递减

B ．在区间????π12，7π

12上单调递增

C ．在区间????－π6，π

3上单调递减

D ．在区间???

?－π6，π

3上单调递增

9．B [解析] 由题可知，将函数y ＝3sin ?

???2x ＋π3的图像向右平移π

2个单位长度得到函数

y ＝3sin ????2x －23π的图像，令－π2＋2k π≤2x －23π≤π2＋2k π，k ∈Z ，即π12＋k π≤x ≤7π12

＋k π，k ∈Z 时，函数单调递增，即函数y ＝3sin ?

???2x －2

3π的单调递增区间为????π12＋k π，7π12＋k π，k ∈Z ，可知当k ＝0时，函数在区间????π12，7π12上单调递增．

3．[2014·全国卷] 设a ＝sin 33°，b ＝cos 55°，c ＝tan 35°，则( )

A ．a >b >c

B ．b >c >a

C ．c >b >a

D ．c >a >b

3．C [解析] 因为b ＝cos 55°＝sin 35°>sin 33°，所以b ＞a .因为cos 35°<1，所以1

cos 35°>1，所以sin 35°cos 35°>sin 35°.又c ＝tan 35°＝sin 35°cos 35°

>sin 35°，所以c >b ，所以c >b >a .

C4 函数sin()y A x ω?=+的图象与性质

3．[2014·四川卷] 为了得到函数y ＝sin (2x ＋1)的图像，只需把函数y ＝sin 2x 的图像上所有的点( )

A ．向左平行移动1

2个单位长度

B ．向右平行移动1

2个单位长度

C ．向左平行移动1个单位长度

D ．向右平行移动1个单位长度

3．A [解析] 因为y ＝sin(2x ＋1)＝sin2????x ＋1

2，所以为得到函数y ＝sin(2x ＋1)的图像，只需要将y ＝sin 2x 的图像向左平行移动1

2

个单位长度．

11．[2014·安徽卷] 若将函数f (x )＝sin ????2x ＋π

4的图像向右平移φ个单位，所得图像关

于y 轴对称，则φ的最小正值是________．

11.

3π8 [解析] 方法一：将f (x )＝sin ?

???2x ＋π

4的图像向右平移φ个单位，得到y ＝sin ????2x ＋π4－2φ的图像，由该函数的图像关于y 轴对称，可知sin ????π

4－2φ＝±1，即

sin ????2φ－π

4＝±1，故2φ－π4＝k π＋π2，k ∈Z ，即φ＝k π2＋3π8，k ∈Z ，所以当φ>0时，φmin

＝3π

8

. 方法二：由f (x )＝sin ????2x ＋π

4的图像向右平移φ个单位后所得的图像关于y 轴对称可知，

π4－2φ＝π2＋k π，k ∈Z ，又φ>0，所以φmin ＝3π

8

. 14．[2014·北京卷] 设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A >0，ω>0)．若f (x )在区间????π6，π2上具有单调性，且f ????π2＝f ????2π3＝－f ???

?π

6，则f (x )的最小正周期为________．

14．π [解析] 结合图像得T 4＝π2

＋2π32－π2＋

π

62

，即T ＝π.

4．[2014·浙江卷] 为了得到函数y ＝sin 3x ＋cos 3x 的图像，可以将函数y ＝2cos 3x 的图像( )

A ．向右平移π4个单位

B ．向左平移π

4个单位

C ．向右平移π12个单位

D ．向左平移π

12

个单位

4．C [解析] y ＝sin 3x ＋cos 3x ＝2cos ????3x －π4＝2cos ????3????x －π

12，

所以将函数y ＝2

cos 3x 的图像向右平移π

12

个单位可以得到函数y ＝sin 3x ＋cos 3x 的图像，故选C.

2．(三角函数的奇偶性)(2013·浙江高考)已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，φ∈R )，则“f (x )是奇函数”是“φ＝π

2

”的( )

A ．充分不必要条件

B ．充分必要条件

C ．必要不充分条件

D ．既不充分也不必要条件

【解析】 若f (x )是奇函数，则f (0)＝0，所以cos φ＝0，所以φ＝π2＋k π(k ∈Z )，故φ＝

π

2不成立；

若φ＝π2，则f (x )＝A cos(ωx ＋π2)＝－A sin(ωx )，f (x )是奇函数．所以f (x )是奇函数是φ＝π

2的

必要不充分条件．

【答案】 C

4．(三角函数的图象变换)(2013·课标全国卷Ⅱ)函数y ＝cos(2x ＋φ)(－π≤φ＜π)的图象向右平移π

2

个单位后，与函数y ＝sin ????2x ＋π3的图象重合，则φ＝________.

【解析】 y ＝cos(2x ＋φ)的图象向右平移π2个单位得到y ＝cos ????2????x －π2＋φ的图象，整理得y ＝cos(2x －π＋φ)．

∵其图象与y ＝sin(2x ＋π

3)的图象重合，

∴φ－π＝π3－π2＋2k π，∴φ＝π3＋π－π

2＋2k π，

即φ＝5π6＋2k π.又∵－π≤φ＜π，∴φ＝5π

6.

【答案】 5π6

变式训练3 (2013·湖北高考改编)将函数y ＝3cos x ＋sin x (x ∈R )的图象向左平移m (m >0)个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是________．

【解析】 y ＝3cos x ＋sin x ＝2cos ????x －π

6， ∴平移后得y ＝2cos ????x ＋m －π

6，且图象关于y 轴对称， 则m －π6＝k π(k ∈Z )，令k ＝0，得m ＝π

6，

∴m 的最小值是π6

.

【答案】

π6

1．(2013·长沙质检)将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图象沿x 轴向左平移π

8个单位后，得到一个偶

函数的图象，则φ的一个可能取值为( )

A.3π4

B.π4 C ．0 D ．－π4

【解析】 y ＝sin(2x ＋φ) ――→向左平移

π

8

个单位y ＝sin ????2????x ＋π8＋φ＝sin ????2x ＋π4＋φ. 当φ＝3π

4时，y ＝sin(2x ＋π)＝－sin 2x ，为奇函数；

当φ＝π

4

时，y ＝sin ????2x ＋π2＝cos 2x ，为偶函数；

当φ＝0时，y ＝sin ????2x ＋π

4，为非奇非偶函数； 当φ＝－π

4时，y ＝sin 2x ，为奇函数．故选B.

【答案】 B

(2013·山东高考)设函数f (x )＝

3

2－3sin 2ωx －sin ωx cos ωx (ω＞0)，且y ＝f (x )图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π

4

.

(1)求ω的值；

(2)求f (x )在区间?

???π，3π

2上的最大值和最小值． 【思路点拨】 第一问先利用倍角公式化为y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式，再利用图象研究周期关系，从而确定ω.第二问在限制条件下求最值，需要利用不等式的性质求出2x －π

3的范围，

再进行求解．

【自主解答】 (1)f (x )＝

3

2

－3sin 2ωx －sin ωx cos ωx ＝3

2－3·1－cos 2ωx 2－12sin 2ωx ＝

32cos 2ωx －1

2

sin 2ωx ＝－sin ?

???2ωx －π

3. 因为图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π

4，

又ω＞0，所以2π2ω＝4×π

4.

因此ω＝1.

(2)由(1)知f (x )＝－sin ????2x －π

3. 当π≤x ≤3π2时，5π3≤2x －π3≤8π

3.

所以－

3

2

≤sin ????2x －π3≤1. 则－1≤f (x )≤

32

. 故f (x )在区间????π，3π2上的最大值和最小值分别为3

2，－1.

1．f (x )＝

3

2

－3sin 2ωx －sin ωx cos ωx 式子结构复杂，利用倍角公式化简时要避免符号

出错导致式子结构不能化成y ＝A sin(ωx ＋φ)这一标准形式．(2)第(2)问中，易盲目认为f (x )在???

?π，3

2π上单调错求最值． 2．求y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间或最值要先化ω为正，然后把“ωx ＋φ”整体看成一个变量，代入相应单调区间求解．

变式训练2 (2013·安徽高考)已知函数f (x )＝4cos ωx ·sin ????ωx ＋π

4(ω＞0)的最小正周期为π.

(1)求ω的值；

(2)讨论f (x )在区间????0，π

2上的单调性． 【解】 (1)f (x )＝4cos ωx ·sin ????ωx ＋π

4 ＝22sin ωx ·cos ωx ＋22cos 2ωx

＝2(sin 2ωx ＋cos 2ωx )＋2＝2sin ????2ωx ＋π

4＋ 2. 因为f (x )的最小正周期为π，且ω＞0， 从而有

2π

2ω

＝π，故ω＝1. (2)由(1)知，f (x )＝2sin(2x ＋π

4)＋ 2.

若0≤x ≤π2，则π4≤2x ＋π4≤5π

4

.

当π4≤2x ＋π4≤π2，即0≤x ≤π

8时，f (x )单调递增； 当π2＜2x ＋π4≤5π4，即π8＜x ≤π

2

时，f (x )单调递减． 综上可知，f (x )在区间????0，π8上单调递增，在区间????π8，π

2上单调递减.