高考二模数学试题(理科)
四川省成都2024届高三下学期高考模拟(二)数学(理科)试题含答案
成都高2021级高考模拟试题（二）数学（理科）（答案在最后）本试卷满分150分，考试时间120分钟，注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、座位号和准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}{}22,1,0,1,2,40A B x x =--=-<，则A B = （）A.{}1,0,1- B.{}0,1,2 C.{}1,1- D.{}2,1,0,1,2--【答案】A 【解析】【分析】求出集合B ，利用交集的定义可求得集合A B ⋂.【详解】因为{}{}240{22},2,1,0,1,2B x x x x A =-<=-<<=--，所以{}1,0,1A B =- .故选：A2.已知复数z 满足()z 2+i =3-i ，其中i 为虚数单位，则复数z 的虚部是（）A.B.1- C.1D.【答案】B 【解析】【分析】根据题意，利用复数的运算法则，求得1i z =-，结合复数的概念，即可求解.【详解】由复数()2i 3i z +=-，可得()()()()3i 2i 3i 55i1i 2i 2i 2i 5z ----====-++-，所以复数z 的虚部是1-．故选：B ．3.已知平面向量(1,)a m = ，()2,4b =- ，且a b ∥ ，则m =（）A.2B.12C.12-D.2-【答案】D 【解析】【分析】利用平面向量平行的坐标运算公式即可.【详解】因为(1,)a m = ，(2,4)a =- ，且a b ∥ ，所以14(2)0m ⨯--⨯=，解得2m =-，所以D 正确.故选：D.4.已知函数()1221,0,,0,x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨⎪>⎩若()3f m =，则m 的值为（）A.B.2C.9D.2或9【答案】C 【解析】【分析】由题可得2130m m ⎧-=⎨≤⎩或123m m ⎧⎪=⎨⎪>⎩，即求.【详解】∵函数()1221,0,0x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨⎪>⎩，()3f m =，∴2130m m ⎧-=⎨≤⎩或1230m m ⎧⎪=⎨⎪>⎩，解得9m =.故选：C.5.如下图，在边长为a 的正方形内有不规则图形Ω.向正方形内随机撒豆子，若撒在图形Ω内和正方形内的豆子数分别为m ，n ，则图形Ω面积的估计值为（）A.ma n B.na mC.2ma n D.2na m【答案】C 【解析】【分析】根据落到不规则图形Ω和正方形中的点的个数，得到概率，即得到两者的面积的比值，根据所给的正方形的边长，求出面积，根据比值得到要求的面积的估计值．【详解】解：∵由题意知在正方形中随机投掷n 个点，则n 个点中有m 个点落入Ω中，∴不规则图形Ω的面积：正方形的面积:m n =，∴不规则图形Ω的面积mn=⨯正方形的面积22m ma a n n=⨯=．故选：C ．6.已知抛物线22(0)y px p =>上一点M 到其准线及对称轴的距离分别为3和p =（）A.2B.2或4C.1或2D.1【答案】B 【解析】【分析】由题意，得到32M M y px ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，结合抛物线方程，即可求出结果.【详解】因为抛物线22(0)y px p =>上一点M 到其准线及对称轴的距离分别为3和所以32M M y p x ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，即32M M y px ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，代入抛物线方程可得8232p p ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，整理得2680p p -+=，解得2p =或4p =.故选：B.7.设命题:R p m ∃∈，使()()2431mm f x m x -+=-是幂函数，且在()0,∞+上单调递减；命题()2:2,,2x q x x ∀∈+∞>，则下列命题为真的是（）A.()p q ∧⌝ B.()p q⌝∧ C.p q∧ D.()p q⌝∨【答案】A 【解析】【分析】根据特称命题与全称命题判断命题,p q 的真假，从而可得“或”、“且”、“非”命题的真假得结论.【详解】对于命题p ，当2m =时，函数()1f x x -=，是幂函数，且在()0,∞+上单调递减，故命题p 为真命题；对于命题q ，当3x =时，3223<，不满足()22,,2xx x ∞∀∈+>，故命题q 为假命题．所以“()p q ∧⌝”为真命题，“()p q ⌝∧”为假命题，“p q ∧”为假命题，“()p q ⌝∨”为假命题．故选：A ．8.已知数列{}n a 满足1122n n n a a a ++-=⋅，且13a =，则2023a =（）A.3B.12C.-2D.43【答案】B 【解析】【分析】由已知可得数列递推式122n na a +=-，求出其前面几项，可得数列的周期，由此可求得答案.【详解】由题意数列{}n a 满足1122n n n a a a ++-=⋅，则122n na a +=-，故由13a =，得23452222,,1142,342322232232a a a a ====-+-=-===-，由此可知数列{}n a 的周期为4，故202345053312a a a ⨯+===，故选：B9.设函数()f x 为偶函数，且当0x ≥时，()cos x f x e x =-，则不等式(21)(2)0f x f x --->的解集为（）A.(1,1)-B.(,3)-∞-C.(3,)-+∞D.(1,)(,1)+∞⋃-∞-【答案】D 【解析】【分析】利用导数判断函数在[)0,∞+的单调性，然后根据奇偶性判断()f x 在(],0-∞的单调性，再利用单调性与奇偶性结合求解不等式.【详解】当0x ≥时，()cos x f x e x =-，所以()sin x f x e x '=+，因为0x ≥，所以1x e ≥，即()1sin 0f x x '≥+≥，所以函数()f x 在[)0,∞+上单调递增，又因为函数()f x 为R 上的偶函数，所以函数()f x 在(],0-∞上单调递减，在[)0,∞+上单调递增，则不等式(21)(2)0f x f x --->，等价于212x x ->-，所以1x <-或1x >.故选：D.【点睛】对于求值或范围的问题，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“f ”，转化为解不等式(组)的问题，若()f x 为偶函数，则()()()f x f x f x -==．10.将函数1π()sin (0)26f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的图象上所有点的横坐标缩短到原来的14，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象．若()g x 在π0,3⎛⎫⎪⎝⎭上有且仅有3个极值点，则ω的取值范围为（）A.511,22⎛⎤⎥⎝⎦ B.5,42⎛⎤⎥⎝⎦C.114,2⎛⎤⎥⎝⎦D.11,72⎛⎤⎥⎝⎦【答案】C 【解析】【分析】先根据题意得出函数π()sin 26g x x ω⎛⎫=-⎪⎝⎭，当π03x <<时，ππ2ππ26636x ωω-<-<-，要使()g x 在π0,3⎛⎫⎪⎝⎭上有且仅有3个极值点，需满足5π2ππ7π2362ω<-≤，解不等式即可.【详解】由题可知，π()sin 26g x x ω⎛⎫=-⎪⎝⎭，当π03x <<时，ππ2ππ26636x ωω-<-<-．因为()g x 在π0,3⎛⎫⎪⎝⎭上有且仅有3个极值点，所以5π2ππ7π2362ω<-≤，解得1142ω<≤，所以ω的取值范围为：114,2⎛⎤⎥⎝⎦．故选：C .11.设1F ，2F 是双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点，以线段12F F 为直径的圆与直线0bx ay -=在第一象限交于点A ，若2tan 2AF O ∠=，则双曲线C 的离心率为（）A.53B.32C.D.2【答案】A 【解析】【分析】首先推得2AOF △为等腰三角形，再由三角形的内角和定理和三角函数的诱导公式和二倍角的正切公式，结合渐近线的斜率和离心率公式，计算可得所求值．【详解】由题意可得2||||AO OF c ==，即有2AOF △为等腰三角形，设22OAF AF O α∠=∠=，则22AOF πα∠=-，所以()222tan tan tan 2tan 2tan 1AOF απααα∠=-=-=-2224213⨯==-即为43b a =，所以53c e a ====，故选：A【点睛】关键点点睛：由题意得出2AOF △为等腰三角形，在三角形中利用三角函数，建立关于,a b 的方程，是求出离心率的关键，属于中档题.12.如图，已知在长方体1111ABCD A B C D -中，13,4,5AB AD AA ===，点E 为棱1CC 上的一个动点，平面1BED 与棱1AA 交于F ，则下列说法正确的是（）（1）三棱锥11B BED -的体积为20（2）直线1B E 与平面11BB D D 所成角正弦值的最大值为35（3）存在唯一的点E ，使得1B D ⊥平面1BED ，且5CE =（4）存在唯一的点E ，使截面四边形1BED F 的周长取得最小值A.（1）（2）（3） B.（2）（3）（4） C.（2）（3） D.（2）（4）【答案】D 【解析】【分析】对（1），根据三棱锥等体积转换可得1111B BED E BB D V V --=求解判断；对（2），点E 到平面11BB D D 的距离等于点C 到平面11BB D D 的距离，当1B E 最小时即当点E 与点1C 重合时，此时直线1B E 与平面11BB D D 所成角正弦值的最大，求解判断；对（3），若（3）正确，可知点E 与点1C 重合，已找出矛盾；对（4），四边形1BED F 为平行四边形，周长取得最小值即1BE ED +最小时，将平面11BCC B 与将平面11DCC D 放在同一平面内，求得结果.【详解】对于（1），如图过点C 作BD 垂线，垂足为M ，易知125MC =，在长方体中，1BB ⊥平面ABCD ，CM ⊂平面ABCD ，所以1BB CM ⊥，又CM BD ⊥，1BD BB B ⋂=，1,BD BB ⊂平面11BDD B ，所以MC ⊥平面11BDD B ，11//CC BB ，1CC ⊄平面11BDD B ，1BB ⊂平面11BDD B ，所以1//CC 平面11BDD B ，所以点E 到平面平面11BDD B 的距离等于点C 到平面11BDD B 的距离，即为MC ，三棱锥11B BED -的体积为1111111111255103325B BED E BB D BB D V V S MC --==⋅=⨯⨯⨯⨯= ，故（1）错误；对于（2），1//CC 平面11BB D D ，所以点E 到平面11BB D D 的距离等于点C 到平面11BB D D 的距离，距离为125MC =，所以当1B E 最小时即当点E 与点1C 重合时，此时直线1B E 与平面11BB D D 所成角的正弦值最大，最大值为123545=，故（2）正确；对于（3），若5CE =，可知点E 与点1C 重合，又因为11DC D C ∥，易知1B D 与DC 不垂直，故1B D 与11D C 不垂直，1B D 与平面1BED 不垂直，故（3）错误；对于（4），四边形1BED F 的周长()12BE ED =+，周长取得最小值即()1BE ED +最小，将平面11BCC B 与将平面11DCC D 放在同一平面内，可知()1BE ED +=，所以截面四边形1BED F 的周长取得最小值，故（4）正确.综上，说法正确的有（2）（4）.故选：D.【点睛】思路点睛：对（1）利用三棱锥等体积转换求解判断，对（2）根据1//CC 平面11BB D D ，所以点E 到平面11BB D D 的距离等于点C 到平面11BB D D 的距离，当1B E 最小时，直线1B E 与平面11BB D D 所成角正弦值的最大，判断求解，对（3）利用反证法判断，对（4）四边形1BED F 的周长最小即1BE ED +最小时，将平面11BCC B 与将平面11DCC D 放在同一平面内，求解即可.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.c c o os 515s 7= _______．【答案】14##0.25【解析】【分析】利用诱导公式和倍角公式求解.【详解】()11cos 75cos 9015cos15sin15sin 3024cos15cos15=-===．故答案为：1414.若3nx⎛- ⎝的展开式中二项式系数之和为32，则展开式中的含2x 的项的系数为___________.【答案】270【解析】【分析】根据展开式的二项式系数之和为232n =，求得5n =，然后利用通项公式求解.【详解】由3nx⎛ ⎝展开式的二项式系数之和为232n=，解得5n =，所以53x⎛ ⎝展开式的通项公式为()()35552155C 313C rr r r r r rr T x x ---+⎛=⋅⋅=-⋅⋅⋅ ⎝，令3522r -=，解得2r =，所以含2x 项的系数为3253C 270⨯=.故答案为：270.15.若函数()32113f x x ax x =-++存在极值点，则实数a 的取值范围为________．【答案】()(),11,-∞-⋃+∞【解析】【分析】求导，根据题意知方程()0f x '=有两个不等的实根，可得出0∆>，从而得解.【详解】因为()32113f x x ax x =-++，可得()221f x x ax '=-+，因为函数()f x 存在极值点，所以()0f x '=有两不等实根，则2440a ∆=->，解得1a <-或1a >，所以a 的取值范围是()(),11,-∞-⋃+∞.故答案为：()(),11,-∞-⋃+∞.16.高斯是德国著名数学家，近代数学的奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用他名字定义的函数()[]f x x =称为高斯函数，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如][2.32, 1.92⎡⎤=-=-⎣⎦，已知数列{}n a 满足121,5a a ==，2145n n n a a a +++=，若[]21log ,n n n b a S +=为数列18108n n b b +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前n 项和，则[]2025S =_________．【答案】2025【解析】【分析】由2145n n n a a a +++=变形为()2114n n n n a a a a +++-=-，得到数列{}1n n a a +-是等比数列，从而得到14n n n a a +-=，再利用累加法得到1n a +，从而[]21log 2n n b a n +==，再利用裂项相消法求解.【详解】解：由2145n n n a a a +++=得()2114n n n n a a a a +++-=-，又21514a a -=-=，所以数列{}1n n a a +-是以4为首项和公比的等比数列，故14nn n a a +-=，由累加法得()()()111211n n n n n a a a a a a a a ++-=-+-++-+ 114144413n nn +--=++++= 所以[]121241log log 3n n n b a ++⎡⎤-==⎢⎥⎣⎦，()111222241log log 41log 3log 41213n n n n +++-=--<-=+ ，又()122241441log log log 42,233nn n nn b n +-->==∴=，令()1181088108810811,20272221n n n n n n c c b b b b n n n n ++⎛⎫====- ⎪⋅⋅⋅++⎝⎭，12111111202712231n n n S c c c c n n -⎛⎫∴=++++=-+-++- ⎪+⎝⎭ ，1202711n S n ⎛⎫∴=- ⎪+⎝⎭，代入2025n =得[]202512027120252026S ⎡⎤⎛⎫=⨯-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.故答案为：2025三、解答题：共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生依据要求作答（一）必考题：共60分．17.《中国诗词大会》是中央电视台于2016年推出的大型益智类节目，中央电视台为了解该节目的收视情况，抽查北方与南方各5个城市，得到观看该节目的人数（单位：千人）如茎叶图所示，但其中一个数字被污损．（1）若将被污损的数字视为0~9中10个数字中的一个，求北方观众平均人数超过南方观众平均人数的概率；（2）该节目的播出极大激发了观众学习诗词的热情，现在随机统计了4位观众每周学习诗词的平均时间y （单位：小时）与年龄x （单位：岁），并制作了对照表（如下表所示）；年龄x20304050每周学习诗词的平均时间y3 3.5 3.54由表中数据分析，x 与y 呈线性相关关系，试求线性回归方程，并预测年龄为60岁的观众每周学习诗词的平均时间．附：回归方程y bx a =+$$$中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为()()()1221,ˆˆˆn niii in ii nni in ii x x y y x y nxybay xb x x xnx ====---===--∑∑∑∑．【答案】（1）35（2） 0.03 2.45y x =+；4.25小时【解析】【分析】（1）求出两组数据的平均数，推出x 的范围，然后求解概率．（2）求出样本中心坐标，求出回归直线的斜率以及截距，然后求解即可．【小问1详解】设污损的数字为x ，由北方观众平均人数超过南方观众平均人数得7879828180737778868055x+++++++++>6,x ⇒<即0,1,2,3,4,5x =63105P ∴==；【小问2详解】1(20304050)354x =+++=，1(3 3.5 3.54) 3.54y =+++=，∴4490xy =，又4120330 3.540 3.5504505iii x y==⨯+⨯+⨯+⨯=∑，4222221203040505400i i x ==+++=∑，∴2505490ˆ0.035400435b-==-⨯，∴ˆ 3.50.0335 2.45a =-⨯=，∴ˆ0.03 2.45yx =+，60x ∴=时，ˆ 4.25y=．答：年龄为60岁的观众每周学习诗词的平均时间大约为4.25小时．18.在①2sin cos (sin cos cos sin )c B A b A B A B =+；②222sin sin cos 1sin()sin()B C A A B A C ++-=++；③sin sin sincsin b B c C a A A B +-=；这三个条件中任选一个，补充在下面对问题中，并解答问题.在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足.（1）求A ；（2）若ABC 的面积为D 为AC 的中点，求BD 的最小值.【答案】（1）条件选择见解析，3A π=（2）【解析】【分析】（1）选①：利用正弦定理边化角结合两角和的正弦化简求解；选②：利用平方关系结合正弦定理角化边，再利用余弦定理求解；选③：利用正弦定理角化边得cosA A =即可求解；（2）由面积得64bc =，结合余弦定理和基本不等式求最值.【小问1详解】若选择①：()2sin cos sin cos cos sin c B A b A B A B =+，由正弦定理可得()2sin sin cos sin sin sin sin C B A B A B B C =+=，因(0,π)C ∈，(0,π)B ∈,故sin 0C ≠，sin 0B ≠，则有1cos 2A =，因(0,π)A ∈,故π3A =.若选择②：222sin sin cos 1sin()sin()B C A A B A C ++-=++，则222sin sin sin sin()sin()sin sin B C A A B A C C B +-=++=，由正弦定理可得222b c a bc +-=，故2221cos 22b c a A bc +-==，因(0,π)A ∈,故π3A =.若选择③sin sin sincsin b B c C a A A B +-=；由正弦定理可得，2222b c a A bc +-=，再由余弦定理得，cosA A =，即tan A =，(0,π)A ∈ ，π3A ∴=．【小问2详解】1sin 2ABC S cb A == π,643A bc =∴=，在三角形BCD 中，2222cosA BD BA AD BA AD =+-⋅⋅⋅22π2cos 223b b c c ⎛⎫=+-⋅⋅ ⎪⎝⎭，2c =+2111324222b cb cb cb -≥==，当且仅当2bc ==时取等号，BD ∴的最小值为19.已知球内接正四棱锥P ABCD -的高为3,,AC BC 相交于O ，球的表面积为169π9，若E 为PC 中点.（1）求证：//OE 平面PAD ；（2）求二面角A BE C --的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）23333-.【解析】【分析】（1）由题意可得//OE AP ，利用线面平行的判断定理可得结论；（2）结合题中的几何关系建立空间直角坐标系，结合平面的法向量可得二面角A BE C --的余弦值为33-.【小问1详解】证明：由,O E 分别是,CA CP 的中点，得//OE AP ，又OE ⊄平面,PAD AP ⊂平面PAD ，所以//OE 平面PAD .【小问2详解】由球的表面积公式24πS R =，得球的半径136R =，设球心为1O ，在正四棱锥P ABCD -中，高为PO ，则1O 必在PO 上，连1AO ，则11513,66O O AO ==，则在1Rt O OA △，则22211OO OA O A +=，即2OA =,在正四棱锥P ABCD -中，PO ⊥平面ABCD 于O ，且AC BD ⊥于O ，设,,OA OB OP 为,,x y z 轴的正方向，建立如图所示空间直角坐标系O xyz -系，得()()()()()0,0,3,2,0,0,0,2,0,2,0,0,0,2,0,P A B C D PC --中点31,0,2E ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以()()32,2,0,1,2,,2,2,02AB BE BC ⎛⎫=-=--=-- ⎪⎝⎭，设()(),,,,,m a b c n x y z ==分别是平面ABE 和平面CBE 的法向量，则2203202m AB a b m BE a b c ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=--+=⎪⎩ 和2203202n BC x y n BE x y z ⎧⋅=--=⎪⎨⋅=--+=⎪⎩，令1,3a x ==-，可得1,2,3,2b c y z ====，可得()()1,1,2,3,3,2m n ==-，则cos ,33m n m n m n⋅〈〉==⋅，由图可知，二面角A BE C --的大小为钝角，所以二面角A BE C --的余弦值为33-.20.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为22，且过点()2,1A ．（1）求C 的方程：（2）点M ，N 在C 上，且AM AN ⊥，AD MN ⊥，D 为垂足．证明：存在定点Q ，使得DQ 为定值．【答案】（1）22163x y +=；（2）详见解析.【解析】【分析】（1）由题意得到关于,,a b c 的方程组，求解方程组即可确定椭圆方程.（2）方法一：设出点M ，N 的坐标，在斜率存在时设方程为y kx m =+,联立直线方程与椭圆方程，根据已知条件，已得到,m k 的关系，进而得直线MN 恒过定点，在直线斜率不存在时要单独验证，然后结合直角三角形的性质即可确定满足题意的点Q 的位置.【详解】（1）由题意可得：2222222411c aa b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得：2226,3a b c ===，故椭圆方程为：22163x y +=.(2)［方法一］：通性通法设点()()1122,,,M x y N x y ，若直线MN 斜率存在时，设直线MN 的方程为：y kx m =+，代入椭圆方程消去y 并整理得：()222124260kxkmx m +++-=，可得122412km x x k +=-+，21222612m x x k -=+，因为AM AN ⊥，所以·0AM AN =，即()()()()121222110x x y y --+--=，根据1122,kx m y kx m y =+=+,代入整理可得：()()()()22121212140x x km k x x km ++--++-+=，所以()()()22222264121401212m kmk km k m k k-⎛⎫++---+-+= ⎪++⎝⎭，整理化简得()()231210k m k m +++-=，因为(2,1)A 不在直线MN 上，所以210k m +-≠，故23101k m k ++=≠，，于是MN 的方程为2133y k x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭()1k ≠，所以直线过定点直线过定点21,33P ⎛⎫-⎪⎝⎭.当直线MN 的斜率不存在时，可得()11,N x y -，由·0AM AN =得：()()()()111122110x x y y --+---=，得()1221210x y -+-=，结合2211163x y +=可得：2113840x x -+=，解得：123x =或22x =（舍）.此时直线MN 过点21,33P ⎛⎫-⎪⎝⎭.令Q 为AP 的中点，即41,33Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，若D 与P 不重合，则由题设知AP 是Rt ADP △的斜边，故12223DQ AP ==，若D 与P 重合，则12DQ AP =，故存在点41,33Q ⎛⎫⎪⎝⎭，使得DQ 为定值.［方法二］【最优解】：平移坐标系将原坐标系平移，原来的O 点平移至点A 处，则在新的坐标系下椭圆的方程为22(2)(1)163x y +++=，设直线MN 的方程为4mx ny +=．将直线MN 方程与椭圆方程联立得224240x x y y +++=，即22()2()0x mx ny x y mx ny y +++++=，化简得22(2)()(1)0n y m n xy m x +++++=，即2(2)()(1)0y y n m n m x x ⎛⎫⎛⎫+++++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．设()()1122,,,M x y N x y ，因为AM AN ⊥则1212AM AN y y k k x x ⋅=⋅112m n +==-+，即3m n =--．代入直线MN 方程中得()340n y x x ---=．则在新坐标系下直线MN 过定点44,33⎛⎫-- ⎪⎝⎭，则在原坐标系下直线MN 过定点21,33P ⎛⎫-⎪⎝⎭．又AD MN ⊥，D 在以AP 为直径的圆上．AP 的中点41,33⎛⎫⎪⎝⎭即为圆心Q ．经检验，直线MN 垂直于x 轴时也成立．故存在41,33Q ⎛⎫⎪⎝⎭，使得1||||23DQ AP ==．［方法三］：建立曲线系A 点处的切线方程为21163x y ⨯⨯+=，即30x y +-=．设直线MA 的方程为11210k x y k --+=，直线MB 的方程为22210k x y k --+=，直线MN 的方程为0kx y m -+=．由题意得121k k ×=-．则过A ，M ，N 三点的二次曲线系方程用椭圆及直线,MA MB 可表示为()()22112212121063x y k x y k k x y k λ⎛⎫+-+--+--+= ⎪⎝⎭（其中λ为系数）．用直线MN 及点A 处的切线可表示为()(3)0kx y m x y μ-+⋅+-=（其中μ为系数）．即()()22112212121()(3)63x y k x y k k x y k kx y m x y λμ⎛⎫+-+--+--+=-++- ⎪⎝⎭．对比xy 项、x 项及y 项系数得()()()121212(1),4(3),21(3).k k k k k m k k k m λμλμλμ⎧+=-⎪++=-⎨⎪+-=+⎩①②③将①代入②③，消去,λμ并化简得3210m k ++=，即2133m k =--．故直线MN 的方程为2133y k x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，直线MN 过定点21,33P ⎛⎫- ⎪⎝⎭．又AD MN ⊥，D 在以AP 为直径的圆上．AP 中点41,33⎛⎫⎪⎝⎭即为圆心Q ．经检验，直线MN 垂直于x 轴时也成立．故存在41,33Q ⎛⎫⎪⎝⎭，使得1||||23DQ AP ==．［方法四］：设()()1122,,,M x y N x y ．若直线MN 的斜率不存在，则()()1111,,,M x y N x y -．因为AM AN ⊥，则0AM AN ⋅= ，即()1221210x y -+-=．由2211163x y +=，解得123x =或12x =（舍）．所以直线MN 的方程为23x =．若直线MN 的斜率存在，设直线MN 的方程为y kx m =+，则()()()222122()6120x kx m k x x x x ++-=+--=．令2x =，则()()1222(21)(21)2212k m k m x x k +-++--=+．又()()221221262y m y y y y y k k -⎛⎫⎛⎫+-=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令1y =，则()()122(21)(21)1112k m k m y y k +--+---=+．因为AM AN ⊥，所以()()()()12122211AM AN x x y y ⋅=--+-- 2(21)(231)12k m k m k+-++=+0=，即21m k =-+或2133m k =--．当21m k =-+时，直线MN 的方程为21(2)1y kx k k x =-+=-+．所以直线MN 恒过(2,1)A ，不合题意；当2133m k =--时，直线MN 的方程为21213333y kx k k x ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭，所以直线MN 恒过21,33P ⎛⎫- ⎪⎝⎭．综上，直线MN 恒过21,33P ⎛⎫-⎪⎝⎭，所以||3AP =．又因为AD MN ⊥，即AD AP ⊥，所以点D 在以线段AP 为直径的圆上运动．取线段AP 的中点为41,33Q ⎛⎫⎪⎝⎭，则1||||2DQ AP ==．所以存在定点Q ，使得||DQ 为定值．【整体点评】（2）方法一：设出直线MN 方程，然后与椭圆方程联立，通过题目条件可知直线过定点P ，再根据平面几何知识可知定点Q 即为AP 的中点，该法也是本题的通性通法；方法二：通过坐标系平移，将原来的O 点平移至点A 处，设直线MN 的方程为4mx ny +=，再通过与椭圆方程联立，构建齐次式，由韦达定理求出,m n 的关系，从而可知直线过定点P ，从而可知定点Q 即为AP 的中点，该法是本题的最优解；方法三：设直线:MN y kx m =+，再利用过点,,A M N 的曲线系，根据比较对应项系数可求出,m k 的关系，从而求出直线过定点P ，故可知定点Q 即为AP 的中点；方法四：同方法一，只不过中间运算时采用了一元二次方程的零点式赋值，简化了求解()()1222--x x 以及()()1211y y --的计算．21.已知函数()()()ln 2,ln f x x ax x g x x x x a =+-=--，（1）若()f x 与()g x 有相同的单调区间，求实数a 的值；（2）若方程()()331f x g x x a =++-有两个不同的实根12,x x ，证明：12e a x x >.【答案】（1）12（2）证明见解析【解析】【分析】（1）先分析()g x 的单调性，从而结合()f x 的导数得到a ，再进行检验即可得解；（2）将问题转化为22ln 10ax x x -+=有两个不同的实根12,x x ，构造函数()12ln h x ax x x=-+，利用导数求得a 的取值范围，再利用零点的定义消去a 转化得()121221212211ln ln x x x x x x x x x x x x ++-=-，从而构造函数()1ln 1t t t t ω-=-+，利用导数证得12e x x >，从而得证.【小问1详解】函数()f x 与()g x 的定义域均为()0,∞+，由()ln g x x x x a =--得()ln g x x '=，当01x <<时，()()0,g x g x '<单调递减；当1x >时，()()0,g x g x '>单调递增，由()()ln 2f x x ax x =+-得()2ln 1f x ax x =+-'，因为()f x 与()g x 有相同的单调区间，所以()1210f a =-='，解得12a =，当12a =时，()()21ln 2,ln 12f x x x x x f x x x =+-=+-'，因为()f x '在区间()0,∞+上单调递增，且()1f '=0，所以当01x <<时，()()0,f x f x '<单调递减；当1x >时，()()0,f x f x '>单调递增，此时()f x 与()g x 有相同的单调区间，符合题意，故12a =.【小问2详解】方程()()331f x g x x a =++-有两个不同的实根12,x x ，等价于22ln 10ax x x -+=有两个不同的实根12,x x ，等价于12ln ax x x=-有两个不同的实根12,x x ，令()12ln ,0h x ax x x x =-+>，则()2221221ax x h x a x x x--=--='，当0a ≤时，()()0,h x h x '<单调递减，不符合题意，舍去；当0a >时，方程()0h x '=必有一正根0x ，使得200210ax x --=，即0012ax x =+，且当00x x <<时，()()0,h x h x '<单调递减；当0x x >时，()()0,h x h x '>单调递增，若方程12ln ax x x =-有两个不同的实根，()000000122ln 22ln 0h x ax x x x x =-+=+-<，令()11ln x x xϕ=+-，则()x ϕ单调递减，因为()1e 0eϕ=>，所以0011e,0e x x ><<，所以2220001212e 1111e a x x x ⎛⎫+=+=+-<< ⎪⎝⎭，因为12,x x 是方程12ln ax x x =-的两个不同的实根，所以11112ln ax x x =-，22212ln ax x x =-，两式相加，得()()121212122ln x x a x x x x x x ++=-，即()1212122ln 1x x a x x x x =-+，两式相减，得()221211122ln x x x a x x x x x --=+，即2121122ln 1x x a x x x x =+-，所以()2121121221122ln2ln 11x x x x x x x x x x x x -=++-，整理得()121221212211ln ln x x x x x x x x x x x x ++-=-，不妨设120x x <<，令()21121,ln ln 1,111x t t t t t t x t t ω-=>=-=+->++，则()2221210(1)(1)t t t t t t ω+=-=>++'，所以()t ω单调递增，()()10t ωω>=，所以221112ln x x x x x x ->+，所以()121221212211ln 1x x x x x x x x x x x x ++-=>-，所以()121212ln 11x x x x x x +>+>，所以12e x x >，又因为1a <，所以12e a x x >.【点睛】方法点睛：利用导数证明或判定不等式问题：1．通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系；2．利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系；3．适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论；4．构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4，坐标系与参数方程]22.在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C的参数方程为2x y αα⎧=+⎪⎨=⎪⎩（α为参数），直线l 的参数方程为2x y t ⎧=+⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴，取相同的长度单位，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2cos 22ρθ=．（1）求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程；（2）已知点P 的极坐标为()2,2π，直线l 与曲线1C 相交于E ，F 两点，直线l 与曲线2C 相交于A ，B 两点，且11m EF PA PB+=，求实数m 的值．【答案】（1）()2223x y -+=，22122x y -=（2）12m =【解析】【分析】（1）由消参法可得曲线1C 的普通方程，根据极坐标和直角坐标之间的转化公式可得曲线2C 的直角坐标方程；（2）求得点P 直角坐标，判断点P 位置，结合曲线1C 方程，求得EF ，利用直线的参数方程中参数的几何意义求得11PA PB +的值，结合11m EF PA PB+=，即可求得答案.【小问1详解】曲线1C的参数方程为2x y αα⎧=+⎪⎨=⎪⎩（α为参数），则2222(2)))x y αα-+=+，即曲线1C 的普通方程为()2223x y -+=．因为2cos 22ρθ=，所以()22222cos sin 2,2x y ρθθ-=∴-=，则曲线2C 的直角坐标方程为22122x y -=．【小问2详解】因为点P 的极坐标为()2,2π，所以点P 的直角坐标为()2,0，则点P 在直线l 上，且点P 为曲线1C ：()2223x y -+=的圆心，所以EF =．因为直线l的标准参数方程为2212x s y s ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（s 为参数），将其代入曲线2C的直角坐标方程中，得240s ++=，320∆=>,设A ，B 两点对应的参数分别为1s ，2s，则12124s s s s ⎧+=-⎪⎨=⎪⎩则10t <，20t <，故1212121111s s PA PB s s s s ++=+==．又11m EF PA PB +=1,2m =∴=．[选修4-5：不等式选讲]23.已知函数()21f x x a x =+--，R a ∈．（1）当2a =时，求不等式()0f x ≤的解集；（2）当1a =-时，函数()f x 的最小值为m ，若a ，b ，c 均为正数，且2224a b c m ++=，求2a b c ++的最大值．【答案】（1）(][),04,-∞+∞U （2）3【解析】【分析】（1）将函数写成分段函数，再分类讨论分别得到不等式组，解得即可；（2）利用绝对值三角不等式求出()f x 的最小值，即可得到22243a b c ++=，再由柯西不等式计算可得.【小问1详解】当2a =时()4,12213,214,2x x f x x x x x x x -+≥⎧⎪=+--=-<<⎨⎪-≤-⎩，所以不等式()0f x ≤等价于240x x ≤-⎧⎨-≤⎩或2130x x -<<⎧⎨≤⎩或140x x ≥⎧⎨-+≤⎩，解得2x ≤-或20x -<≤或4x ≥，综上可得不等式()0f x ≤的解集为(][),04,∞∞-⋃+.【小问2详解】当1a =-时()()()21213f x x x x x =++-≥+--=，当且仅当()()210x x +-≤，即21x -≤≤时取等号，所以22243a b c ++=，又a ，b ，c 均为正数，所以()()()2222222911142a b c a b c =++++≥++，所以23a b c ++≤，当且仅当21a b c ===，即1a b ==、12c =时取等号，所以2a b c ++的最大值为3.。
浙江省高考数学二模试卷(理科)含答案解析
浙江省高考数学二模试卷（理科）（解析版）一．选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．定义集合A⊗B={x|x∈A或x∈B且x∉A∩B}，设全集U={x|1＜x＜10}，集合A={x|2＜x＜6}，B={x|5＜x＜7}，则（∁U A）⊗B=（）A．[6，7）B．（1，2]∪（5，6）∪[7，10）C．（1，6）D．（1，2]∪（5，6]∪（7，10）2．下列说法正确的是（）A．“a2＞9”是“a＞3”的充分不必要条件B．“∃x0∈R，使得”的否定是“”C．若A∧B是假命题，则A∨B是假命题D．“若a＜0，则x2+ax+a＜0有解”的否命题为“若a≥0，则x2+ax+a＜0无解”3．已知数列{a n}满足a1=1，若n为奇数时，a n+1=2a n+1；若n为偶数时，a n+1=a n+n．则该数列的前7项和为（）A．103 B．102 C．100 D．984．设三条不同的直线分别为m，n，l，两个不同的平面分别为α，β．则下列说法正确的是（）A．若m∥n，n⊂α，则m∥αB．若m，n为异面直线，且m⊂α，n⊂β，则α∥βC．若m⊥n，α⊥β，m⊥α，则n⊥βD．若m∥α，m∥β，α∩β=l，则m∥l5．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的图象与x轴的一个交点到其相邻的一条对称轴的距离为．若，则函数f（x）在上的值域为（）A．[﹣1，2]B．C．D．6．已知平面向量，满足，，．则对于任意的实数m，的最小值为（）A．2 B．1 C．D．7．设双曲线的左、右焦点分别为F1，F2．若左焦点F1关于其中一条渐近线的对称点位于双曲线上，则该双曲线的离心率e的值为（）A． B．3 C． D．58．在正三棱柱（底面是正三角形的直棱柱）ABC﹣A1B1C1中，AB=AA1=2．若点M在△ABC所在平面上运动，且使得△AC1M的面积为1，则动点M的轨迹为（）A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线二．填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.9．（6分）（浙江二模）已知函数f（x）=，则f（3）=；当x＜0时，不等式f（x）＜2的解集为．10．（6分）（浙江二模）若函数的最小正周期为2π，则ω=； =．11．（6分）（浙江二模）已知实数x，y满足不等式组，若实数，则不等式组表示的平面区域的面积为；若目标函数z=4x+3y的最大值为15，则实数a的值为．12．（6分）（浙江二模）已知某几何体的三视图如图，则该几何体的体积为；表面积为．13．（4分）（浙江二模）已知正方形ABCD中，点A（2，1），C（6，﹣3）．若将点A折起，使其与边BC的中点E重合，则该折线所在直线方程为．14．（4分）（浙江二模）若正数3x+4y+5z=6，则+的最小值．15．（4分）（浙江二模）已知函数，若函数 y=f[f（x）﹣a]有6个零点，则实数a的取值范围是．三．解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（14分）（浙江二模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若．（1）求角B的大小；（2）若△ABC的面积为，试求边b的最小值．17．（15分）（浙江二模）如图所示，平面ABC⊥平面BCDE，BC∥DE，，BE=CD=2，AB⊥BC，M，N分别为DE，AD中点．（1）证明：平面MNC⊥平面BCDE；（2）若EC⊥CD，点P为棱AD的三等分点（近A），平面PMC与平面ABC所成锐二面角的余弦值为，求棱AB的长度．18．（15分）（浙江二模）已知二次函数f（x），若f（x）＜0时的解集为{x|﹣1＜x＜4}，且f（6）=28．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若函数在区间上是单调递增函数，试求函数g （x）在该区间上的最大值的取值范围．19．（15分）（浙江二模）已知椭圆经过点，其离心率为，设A，B，M是椭圆C上的三点，且满足，其中O为坐标原点．（1）求椭圆的标准方程；（2）证明：△OAB的面积是一个常数．20．（15分）（浙江二模）已知数列{a n}满足a n+1=ca n2+1﹣c，n∈N*，其中常数c∈（0，）．（1）若a2＞a1，求a1的取值范围；（2）若a1∈（0，1），求证：对任意n∈N*，都有a n∈（0，1）；（3）若a1∈（0，1），设数列{a n2}的前n项和为S n，S n＞n﹣．浙江省高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．定义集合A⊗B={x|x∈A或x∈B且x∉A∩B}，设全集U={x|1＜x＜10}，集合A={x|2＜x＜6}，B={x|5＜x＜7}，则（∁U A）⊗B=（）A．[6，7）B．（1，2]∪（5，6）∪[7，10）C．（1，6）D．（1，2]∪（5，6]∪（7，10）【分析】可进行补集、交集的运算求出∁U A={x|1＜x≤2，或6≤x＜10}，（∁U A）∩B={x|6≤x＜7}，从而便可根据A⊗B的定义进行⊗的运算即可．【解答】解：∵∁U A={x|1＜x≤2，或6≤x＜10}，B={x|5＜x＜7}，∴（∁U A）∩B={x|6≤x＜7}；∴（∁U A）⊗B={x|x∈∁U A或x∈B且x∉（∁U A）∩B}={x|1＜x≤2，或5＜x＜6，或7≤x ＜10}=（1，2]∪（5，6）∪[7，10）．故选：B．【点评】考查描述法表示集合，区间表示集合，以及补集、交集的运算，理解集合A⊗B的定义．2．下列说法正确的是（）A．“a2＞9”是“a＞3”的充分不必要条件B．“∃x0∈R，使得”的否定是“”C．若A∧B是假命题，则A∨B是假命题D．“若a＜0，则x2+ax+a＜0有解”的否命题为“若a≥0，则x2+ax+a＜0无解”【分析】A．根据充分条件和必要条件的定义进行判断．B．根据含有量词的命题的否定进行判断．C．根据复合命题真假关系进行判断．D．根据否命题的定义进行判断．【解答】解：A．由a2＞9得a＞3或a＜﹣3，则“a2＞9”是“a＞3”的必要不充分条件，故A 错误，B．“∃x0∈R，使得”的否定是“∀x∈R，sinx+＜2”，故B 错误，C．若A∧B是假命题，则A，B至少有一个为假命题，当A假，B真时，满足A∧B是假命题，但A∨B是真命题，故C错误，D．“若a＜0，则x2+ax+a＜0有解”的否命题为“若a≥0，则x2+ax+a＜0无解”，正确，故D 正确故选：D．【点评】本题主要考查命题的真假判断，涉及的知识点较多，综合性较强，但难度不大．3．已知数列{a n}满足a1=1，若n为奇数时，a n+1=2a n+1；若n为偶数时，a n+1=a n+n．则该数列的前7项和为（）A．103 B．102 C．100 D．98【分析】由递推公式化简可得a1=1，a2=2a1+1=3，a3=a2+2=5，…，从而求和．【解答】解：由题意，a1=1，a2=2a1+1=3，a3=a2+2=5，a4=2a3+1=11，a5=a4+4=15，a6=2a5+1=31，a7=a6+6=37；故和为1+3+5+11+15+31+37=103，故选：A．【点评】本题考查了数列的递推公式的应用及前n项和的求法．4．设三条不同的直线分别为m，n，l，两个不同的平面分别为α，β．则下列说法正确的是（）A．若m∥n，n⊂α，则m∥αB．若m，n为异面直线，且m⊂α，n⊂β，则α∥βC．若m⊥n，α⊥β，m⊥α，则n⊥βD．若m∥α，m∥β，α∩β=l，则m∥l【分析】根据空间直线和平面平行或垂直的判定定理和性质定理分别进行判断即可．【解答】解：A．若m∥n，n⊂α，则m∥α或n⊂α，故A错误，B．若m，n为异面直线，且m⊂α，n⊂β，则α∥β不成立，故B错误，C．若m⊥n，α⊥β，m⊥α，则n⊥β或n∥β或n⊂β，故C错误，D．若m∥α，m∥β，α∩β=l，则m∥l成立，故D正确，故选：D．【点评】本题主要考查与空间直线和平面位置关系的判断，要求熟练掌握相应的判定定理和性质定理．5．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的图象与x轴的一个交点到其相邻的一条对称轴的距离为．若，则函数f（x）在上的值域为（）A．[﹣1，2]B．C．D．【分析】求出f（x）的表达式，从而求出f（x）在闭区间上的值域问题．【解答】解：∵函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的图象与x轴的一个交点到其相邻的一条对称轴的距离为，∴函数的周期是π，ω=2，由f（﹣）=0，，得：，解得A=，φ=，∴f（x）=sin（2x+），∵x∈[0，]，∴2x+∈[0，π]，显然x=时，f（x）最大，x=π时，f（x）最小，则函数f（x）在上的值域为[﹣，]，故选：B．【点评】本题考查了求三角函数的表达式问题，考查三角函数的值域问题，熟练掌握三角函数的性质是解题的关键，本题是一道中档题．6．已知平面向量，满足，，．则对于任意的实数m，的最小值为（）A．2 B．1 C．D．【分析】根据进行数量积的运算可得到，而配方即可求得，从而便可得出的最小值．【解答】解：根据条件：=4m2+2m（2﹣4m）+（2﹣4m）2=12m2﹣12m+4=；∴；∴的最小值为1．故选B．【点评】考查向量数量积的运算及其计算公式，掌握本题要求的最小值，而求的范围的方法，不等式的性质，以及配方求二次函数最值的方法．7．设双曲线的左、右焦点分别为F1，F2．若左焦点F1关于其中一条渐近线的对称点位于双曲线上，则该双曲线的离心率e的值为（）A． B．3 C． D．5【分析】设左焦点F1（﹣c，0），渐近线方程为y=x，对称点为F'（m，n），运用中点坐标公式和两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，求出对称点的坐标，代入双曲线的方程，由离心率公式计算即可得到所求值．【解答】解：设F1（﹣c，0），渐近线方程为y=x，对称点为F'（m，n），即有=﹣，且n=，解得m=，n=﹣，将F'（，﹣），即（，﹣），代入双曲线的方程可得﹣=1，化简可得﹣4=1，即有e2=5，解得e=．故选：C．【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用中点坐标公式和两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，以及点满足双曲线的方程，考查化简整理的运算能力，属于中档题．8．在正三棱柱（底面是正三角形的直棱柱）ABC﹣A1B1C1中，AB=AA1=2．若点M在△ABC所在平面上运动，且使得△AC1M的面积为1，则动点M的轨迹为（）A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线【分析】确定M到AC1的距离为，利用AC1与平面ABC所成角为45°，可得动点M 的轨迹．【解答】解：由题意，AC1=2，∵△AC1M的面积为1，∴M到AC1的距离为，∴M在以AC1为旋转轴，半径为的圆柱上，∵AC1与平面ABC所成角为45°∴动点M的轨迹为椭圆．故选：B．【点评】本题考查轨迹方程，考查圆柱与平面的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．二．填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.9．（6分）（浙江二模）已知函数f（x）=，则f（3）=2；当x＜0时，不等式f（x）＜2的解集为（﹣1，0）．【分析】根据分段函数的表达式利用代入法即可求f（3），解不等式即可得到结论．【解答】解：由分段函数的表达式得f（3）=f（1）=22﹣1=2，当x＜0时，由f（x）＜2得＜2，即2x2﹣1＜1，即2x2＜2，x2＜1，得﹣1＜x＜1，此时﹣1＜x＜0，即不等式的解集是（﹣1，0），故答案为：2，（﹣1，0）．【点评】本题主要考查分段函数的应用，利用代入法和直接法是解决本题的关键．比较基础．10．（6分）（浙江二模）若函数的最小正周期为2π，则ω=； =2+．【分析】直接利用周期公式T=，求出实数ω的值，利用特殊角的三角函数值，两角和的正切函数公式即可化简求值．【解答】解：因为函数的最小正周期为2π，所以=2π，解得：ω=．=tan（×+）===2+．故答案为：，2+．【点评】本题主要考查了正切函数的最小正周期的求法，考查了特殊角的三角函数值，两角和的正切函数公式在三角函数化简求值中的应用，是常考题型，属于基础题．11．（6分）（浙江二模）已知实数x，y满足不等式组，若实数，则不等式组表示的平面区域的面积为27；若目标函数z=4x+3y的最大值为15，则实数a 的值为1．【分析】由题意作出其平面区域，求出三个点的坐标，从而求三角形的面积，再结合函数图象求目标函数Z=2x﹣y的最小值．【解答】解：由题意作出实数x，y满足不等式组，实数平面区域，x=1，y=4﹣x，x=2y﹣4两两联立解得，A（1，3），B（1，﹣），C（4，0）；故S△ABC=×3×（3+）=27；目标函数z=4x+3y的最大值为15，可知，解得，即：C（3，1），C满足ax﹣y﹣2=0，3a﹣1﹣2=0，解得a=1．故答案为：27；1．【点评】本题考查了简单线性规划，作图要细致认真，同时考查了直线交点的求法及三角形的面积公式应用，属于中档题．12．（6分）（浙江二模）已知某几何体的三视图如图，则该几何体的体积为4；表面积为．【分析】由三视图知用平面DEGF截棱长为2的正方体所得到的几何体，由三视图求出几何元素的长度，由柱体、锥体体积公式求出几何体的体积，由面积公式求出几何体的表面积．【解答】解：由三视图可知该几何体是：用平面DEGF截棱长为2的正方体所得到的几何体，如图：E、F分别是中点，其中四边形DEGF是棱形，边长为，对角线EF=、DG=，∴几何体的体积：V=V正方体﹣V D﹣ABGE﹣V D﹣BCGF=2×2×2﹣﹣=4，几何体的表面积：S=+2×2++=故答案为：4；．【点评】本题考查三视图求几何体的体积以及表面积，由三视图结合正方体正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力．13．（4分）（浙江二模）已知正方形ABCD中，点A（2，1），C（6，﹣3）．若将点A折起，使其与边BC的中点E重合，则该折线所在直线方程为x﹣2y﹣5=0．【分析】求出B点的坐标，得到BC的中点E的坐标，从而求出直线AE的斜率，得到其垂线的斜率，求出线段AE的中点坐标，进而求出折线的方程即可．【解答】解：由题意得：A（2，1），B（2，﹣3），C（6，﹣3），D（6，1），则BC的中点E（4，﹣3），∴K AE=﹣2，AE的垂线的斜率是：，AE的中点是（3，﹣1），故折线的方程是：x﹣2y﹣5=0．故答案为：x﹣2y﹣5=0．【点评】本题考查了垂直直线的斜率问题，考查求直线方程问题，是一道基础题．14．（4分）（浙江二模）若正数3x+4y+5z=6，则+的最小值．【分析】由题意化简可得原式=++，由基本不等式可得．【解答】解：∵正数3x+4y+5z=6，∴+=+=+=++≥2+=当且仅当=时，取等号故答案为：【点评】本题考查基本不等式，凑出可用基本不等式的形式是解决问题的关键，属中档题．15．（4分）（浙江二模）已知函数，若函数 y=f[f（x）﹣a]有6个零点，则实数a的取值范围是﹣4≤a≤﹣1或a＜﹣5．【分析】先求出f（x）的零点，然后求出f（x）﹣a的值，作出函数f（x）的图象，利用数形结合以及排除法进行求解即可．【解答】解：函数f（x）的图象如下图所示：当x≤0时，由f（x）=0得=0，得x=0，当x＞0时，由f（x）=0得﹣x2+6x﹣5=0，得x=1或x=5，由y=f[f（x）﹣a]=0得f（x）﹣a=0或f（x）﹣a=1，或f（x）﹣a=5，即f（x）=a，f（x）=a+1，f（x）=a+5，a=﹣1，则f（x）=a有2个根，f（x）=a+1有3个根，f（x）=a+5有1个根，此时共有6个根a=﹣4，则f（x）=a有2个根，f（x）=a+1有2个根，f（x）=a+5有2个根，此时共有6个根若a＞4，则f（x）=a有0个根，f（x）=a+1有0个根，f（x）=a+5有0个根，此时共有0个根若a=4，则f（x）=a有1个根，f（x）=a+1有0个根，f（x）=a+5有0个根，此时共有1根若4＞a＞3，则f（x）=a有2个根，f（x）=a+1有0个根，f（x）=a+5有0个根，此时共有2个根若a=3，则f（x）=a有2个根，f（x）=a+1有1个根，f（x）=a+5有0个根，此时共有3个根若3＞a＞1，则f（x）=a有3个根，f（x）=a+1有2个根，f（x）=a+5有0个根，此时共有5个根若a=1，则f（x）=a有2个根，f（x）=a+1有2个根，f（x）=a+5有0个根，此时共有4个根若1＞a＞0，则f（x）=a有3个根，f（x）=a+1有2个根，f（x）=a+5有0个根，此时共有5个根；若a=0，则f（x）=0有3个根，f（x）=1有2个根，f（x）=5有0个根，此时共有5个根；﹣1＜a＜0时，f（x）=a有2个根，f（x）=a+1有3个根，f（x）=a+5有0个根，此时共有5个根；若﹣4＜a≤﹣1，则f（x）=a有2个根，f（x）=a+1有2个根，f（x）=a+5有2个根，此时共有6个根；若a=﹣4，则f（x）=a有2个根，f（x）=a+1有2个根，f（x）=a+5有2个根，此时共有6个根；若﹣5≤a＜﹣4，则f（x）=a有2个根，f（x）=a+1有2个根，f（x）=a+5有3个根，此时共有7个根；a＜﹣5，则f（x）=a有2个根，f（x）=a+1有2个根，f（x）=a+5有2个根，此时共有6个根故﹣4≤a≤﹣1或a＜﹣5，函数 y=f[f（x）﹣a]有6个零点故答案为：﹣4≤a≤﹣1或a＜﹣5．【点评】本题主要考查函数与方程的应用，求出函数的零点，利用数形结合以及分类讨论是解决本题的关键．三．解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（14分）（浙江二模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若．（1）求角B的大小；（2）若△ABC的面积为，试求边b的最小值．【分析】（1）利用正弦定理把已知等式中的边转化成角的正弦，利用两角和公式整理可求得tanB的值，结合角的范围，进而求得B．（2）根据三角形面积求得ac的值，利用余弦定理，基本不等式即可解得边b的最小值．【解答】解：（1）∵．∴sinBcosC+=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC，∴由sinC≠0，求得tanB=，∴由B∈（0，π），可得：B=．（2）S=acsinB=ac=，∴ac=4，∴b2=a2+c2﹣2accosB=a2+c2﹣ac≥2ac﹣ac=ac=4，（当且仅当a=c时等号成立），∴边b的最小值为2．【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，基本不等式的应用，正弦定理，余弦定理的在解三角形中的应用．解题的关键是利用正弦定理对边和角的问题进行转换，属于中档题．17．（15分）（浙江二模）如图所示，平面ABC⊥平面BCDE，BC∥DE，，BE=CD=2，AB⊥BC，M，N分别为DE，AD中点．（1）证明：平面MNC⊥平面BCDE；（2）若EC⊥CD，点P为棱AD的三等分点（近A），平面PMC与平面ABC所成锐二面角的余弦值为，求棱AB的长度．【分析】（1）连结BM，ON，推导出ON∥AB，AB⊥平面BCDE，从而ON⊥平面BCDE，由此能证明平面MNC⊥平面BCDE．（2）以C为原点，CE为x轴，CD为y轴，过C作平面BCDE的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出棱AB的长度．【解答】证明：（1）连结BM，ON，由题意四边形BMDC是菱形，∴O是BD中点，∵N是AD中点，∴ON∥AB，∵AB⊥BC，平面ABC⊥平面BCDE，∴AB⊥平面BCDE，∴ON⊥平面BCDE，∵ON⊂平面MNC，∴平面MNC⊥平面BCDE．解：（2）以C为原点，CE为x轴，CD为y轴，过C作平面BCDE的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，设A（，﹣1，t），（t＞0）由题意D（0，2，0），P（，0，），E（2，0，0），D（0，2，0），M（），B（，0），C（0，0，0），=（，0，），=（），=（），=（），设平面PMC的法向量=（x，y，z），则，取x=，得=（，﹣3，﹣），设平面ABC的法向量=（a，b，c），则，取a=，得=（，0），∵平面PMC与平面ABC所成锐二面角的余弦值为，∴|cos＜＞|===，解得t=3．∴棱AB的长度为3．【点评】本题考查面面垂直的证明，考查棱长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．18．（15分）（浙江二模）已知二次函数f（x），若f（x）＜0时的解集为{x|﹣1＜x＜4}，且f（6）=28．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若函数在区间上是单调递增函数，试求函数g （x）在该区间上的最大值的取值范围．【分析】（1）根据二次函数与对应不等式和方程的关系，结合f（6）=28，求出f（x）的解析式；（2）由f（x）的解析式，求出f（x﹣m），根据g（x）的解析式求出g（x）在[8，16]上单调递增的条件，求出m的取值范围，再求出函数g（x）在[8，16]上的最大值g（16）的解析式，从而求出它的取值范围．【解答】解：（1）∵f（x）是二次函数，且不等式f（x）＜0的解集是（﹣1，4），∴﹣1，4是方程f（x）=0的两个根，且抛物线开口向上，设f（x）=a（x+1）（x﹣4），a＞0．f（6）=a（6+1）（6﹣4）=28，解得a=2，∴f（x）=2（x+1）（x﹣4）；（2）由f（x）=2（x+1）（x﹣4），得f（x﹣m）=2（x﹣m+1）（x﹣m﹣4），g（x）===2[x+﹣（2m+3）]；当m＞1时，m2+3m﹣4＞0恒成立，∴当x≥时，g（x）是单调增函数，x≤﹣时，g（x）是单调减函数；又g（x）在[8，16]上是单调增函数，∴≥8；化简得m2+3m﹣196≥0，解得m≥或m≤（不合题意，舍去）；又函数g（x）在区间上是单调递增函数，∴函数g（x）在该区间上的最大值为g（16）==（17﹣m）（12﹣m）=（m﹣17）（m﹣12）；由m≥知，12＜＜13，且（m﹣17）（m﹣12）的对称轴为m=14.5，所以（m﹣17）（m﹣12）有最小值﹣，它的取值范围是[﹣，+∞）．故所求的取值范围是[﹣，+∞）．【点评】本题考查了二次函数与对应不等式的应用问题，也求函数的取值范围的应用问题，是难题．19．（15分）（浙江二模）已知椭圆经过点，其离心率为，设A，B，M是椭圆C上的三点，且满足，其中O为坐标原点．（1）求椭圆的标准方程；（2）证明：△OAB的面积是一个常数．【分析】（1）运用椭圆的离心率公式和点满足椭圆方程，解得a=2，b=1，可得椭圆方程；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），M（m，n），可得x12+4y12=4，x22+4y22=4，m2+4n2=4，由向量的坐标表示，求得m，n，再平方相加，可得x1x2+4y1y2=0，再由椭圆的参数方程，结合两角差的正弦和余弦公式，化简整理，即可得到常数1．【解答】解：（1）由题意可得e==，将点代入椭圆方程，可得+=1，又a2﹣b2=c2，解得a=2，b=1，即有椭圆的方程为+y2=1；（2）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），M（m，n），可得x12+4y12=4，x22+4y22=4，m2+4n2=4，由，可得（m，n）=cosα（x1，y1）+sinα（x2，y2），即有m=cosαx1+sinαx2，n=cosαy1+sinαy2，可得m2+4n2=cos2α（x12+4y12）+sin2α（x22+4y22）+2cosαsinα（x1x2+4y1y2）=4cos2α+4sin2α+sin2α（x1x2+4y1y2），即有sin2α（x1x2+4y1y2）=0，由α∈（0，），可得x1x2+4y1y2=0，又S△ABO=|OA||OB|sin∠AOB===|x1y2﹣x2y1|，由x1=2cosβ，y1=sinβ，x2=2cosγ，y2=sinγ，x1x2+4y1y2=0，即为4（cosβcosγ+sinβsinγ）=0，即cos（β﹣γ）=0，又S△ABO=|x1y2﹣x2y1|=|2cosβsinγ﹣2cosγsinβ|=|sin（β﹣γ）|=1．则△OAB的面积是一个常数1．【点评】本题考查椭圆的方程的求法，注意运用离心率公式和点满足椭圆方程，考查三角形的面积为常数，注意点在椭圆上满足椭圆方程，以及平方相加，同时结合椭圆的参数方程和三角形的面积公式，考查运算能力，属于中档题．20．（15分）（浙江二模）已知数列{a n}满足a n+1=ca n2+1﹣c，n∈N*，其中常数c∈（0，）．（1）若a2＞a1，求a1的取值范围；（2）若a1∈（0，1），求证：对任意n∈N*，都有a n∈（0，1）；（3）若a1∈（0，1），设数列{a n2}的前n项和为S n，S n＞n﹣．【分析】（1）令n=2，由a2＞a1，结合条件c∈（0，），由二次不等式的解法即可得到；（2）运用数学归纳法，结合不等式的性质，即可得证；（3）先证n=1成立；再证当n≥2时，由a n+1=ca n2+1﹣c，可得a n＞1﹣（2c）n﹣1＞0，运用不等式的性质和等比数列的求和公式，即可得证．【解答】解：（1）由a n+1=ca n2+1﹣c，可得a2=ca12+1﹣c，由a2＞a1，可得（a1﹣1）（a1+1﹣）＞0，由c∈（0，），可得＞2，则a1＞﹣1或a1＜1；（2）证明：对n∈N*用数学归纳法证明a n∈（0，1），当n=1时，a1∈（0，1）．假设a k∈（0，1）（k≥1）则a k+1=ca k2+1﹣c＜c+1﹣c=1，且a k+1=ca k2+1﹣c＞1﹣c＞0，∴a k+1∈（0，1），由数学归纳法知a n∈（0，1）对所有n∈N*成立；（3）证明：由于0＜c＜，当n=1时，a12＞1﹣=，结论成立；当n≥2时，a n+1=ca n2+1﹣c，即有1﹣a n+1=c（1﹣a n）（1+a n）＜2c（1﹣a n），）＜…＜（2c）n﹣1，即1﹣a n＜2c（1﹣a n﹣1a n＞1﹣（2c）n﹣1＞0∴a n2＞（1﹣（2c）n﹣1）2=1﹣2（2c）n﹣1+（2c）2（n﹣1）＞1﹣2（2c）n﹣1∴a12+a22+…+a n2=a22+…+a n2＞n﹣1﹣2[2c+（2c）2+…+（2c）n﹣1]=n﹣1﹣2=n﹣1﹣2=n+1﹣2＞n+1﹣＞n﹣．故S n＞n﹣成立．【点评】本题考查数列和不等式的综合应用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地选用证明方法．。
湖南省郴州市高考数学二模试卷（理科）含答案解析
湖南省郴州市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求.1．若复数z满足zi=1﹣i，则z的共轭复数是（）A．﹣1﹣i B．1﹣i C．﹣1+i D．1+i2．若A={x|x2+2x﹣8＜0}，B={x|x＜1}，则图中阴影部分表示的集合为（）A．（﹣4，1]B．（1，2）C．[1，2）D．（﹣4，1）3．如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（）A．B． C．D．4．某全日制大学共有学生5400人，其中专科生有1500人，本科生有3000人，研究生有900人．现采用分层抽样的方法调查学生利用因特网查找学习资料的情况，抽取的样本为180人，则应在专科生、本科生与研究生这三类学生中分别抽取（）A．55人，80人，45人B．40人，100人，40人C．60人，60人，60人D．50人，100人，30人5．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n B．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥nC．若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥βD．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β6．直线与圆O：x2+y2=4交于A、B两点，则=（）A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣47．某班5位同学分别选择参加数学、物理、化学这3个学科的兴趣小组，每人限选一门学科，则每个兴趣小组都至少有1人参加的不同选择方法种数为（）A．150 B．180 C．240 D．5408．如图，椭圆+y2=1的左、右焦点分别为F1，F2，短轴端点分别为B1，B2，现沿B1B2将椭圆折成120°角（图二），则异面直线F1B2与B1F2所成角的余弦值为（）A．0 B．C．D．﹣9．在区间[﹣1，1]上任取两数m和n，则关于x的方程x2+mx+n=0的两根都是负数的概率（）A． B． C． D．10．设点P是曲线C：y=x3﹣x+上的任意一点，曲线C在P点处的切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是（）A．[π，π）B．（，π]C．[0，）∪[π，π）D．[0，）∪[π，π）11．已知倾斜角为的直线与双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）相交于A，B两点，M（4，2）是弦AB的中点，则双曲线C的离心率是（）A．B． C．2 D．12．已知定义在R上的函数f（x）满足f（2）=1，且f（x）的导数f′（x）在R上的恒有f′（x）＜（x∈R），则不等式f（x2）＜+的解集为（）A．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）B．（﹣2，2） C．（﹣∞，﹣）∪（，+∞）D．（﹣，）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共25分.13．已知四边形ABCD满足|AB|=|AD|，|CD|=且∠BAD=60°，﹣=，那么四边形ABCD的面积为．14．记不等式组所表示的平面区域为D．若直线y=a（x+1）与D有公共点，则a的取值范围是．15．一个空间几何体的三视图如图所示，且这个空间几何体的所有顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是．16．已知函数f（x）=asinx+bcosx（其中ab≠0）且对任意的x∈R，有f（x）≤f（），给出以下命题：①a=b；②f（x+）为偶函数；③函数y=f（x）的图象关于点（，0）对称；④函数y=f′（x）的图象可由函数y=f（x）的图象向左平移得到；⑤函数f（x）在y轴右侧的图象与直线y=的交点按横坐标从小到大依次为P1，P2，P3，P4，…，则|P2P4|=2π．其中正确命题的序号是．（将所有正确命题的序号都填上）三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．已知函数f（x）=sin2x﹣cos2x﹣，x∈R．（1）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；（2）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c=，f（C）=0，sinB=2sinA，求△ABC的面积S．18．已知数列{a n}满足a1=3，且对任意的正整数m，n都有a n+m=a n•a m，若数列{b n}满足b n=n﹣1+log3a n，{b n}的前n项和为B n．（Ⅰ）求a n和B n；（Ⅱ）令c n=a n•b n，d n=，数列{c n}的前n项和为S n，数列{d n}的前n项和为T n，分别求S n和T n．19．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是菱形，且∠ABC=60°，侧面PAD是边长为2的正三角形且与底面ABCD垂直．（Ⅰ）求证：BC⊥PC；（Ⅱ）线段PC上是否存在点M，使得二面角P﹣AD﹣M的平面角余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．20．已知函数（1）若x=1是函数f（x）的极大值点，求函数f（x）的单调递减区间；（2）若恒成立，求实数ab的最大值．21．已知椭圆Γ的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率等于，它的一个顶点恰好是抛物线y=x2的焦点．（1）求椭圆Γ的标准方程；（Ⅱ）Q为椭圆Γ的左顶点，直线l经过点（﹣，0）与椭圆Γ交于A，B两点．（1）若直线l垂直于x轴，求∠AQB的大小；（2）若直线l与x轴不垂直，是否存在直线l使得△QAB为等腰三角形？如果存在，求出直线l的方程；如果不存在，请说明理由．22．已知a为实数，函数f（x）=alnx+x2﹣4x．（Ⅰ）是否存在实数a，使得f（x）在x=1处取极值？证明你的结论；（Ⅱ）若函数f（x）在[2，3]上存在单调递增区间，求实数a的取值范围；（Ⅲ）设g（x）=（a﹣2）x，若存在x0∈[，e]，使得f（x0）≤g（x0）成立，求实数a 的取值范围．湖南省郴州市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求.1．若复数z满足zi=1﹣i，则z的共轭复数是（）A．﹣1﹣i B．1﹣i C．﹣1+i D．1+i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】由复数z满足zi=1﹣i，可得z，从而求出即可．【解答】解：∵复数z满足zi=1﹣i，∴z===﹣1﹣i，故=﹣1+i，故选：C．2．若A={x|x2+2x﹣8＜0}，B={x|x＜1}，则图中阴影部分表示的集合为（）A．（﹣4，1]B．（1，2）C．[1，2）D．（﹣4，1）【考点】Venn图表达集合的关系及运算．【分析】先观察Venn图，由图可知阴影部分表示的集合为（C R B）∩A，根据集合的运算求解即可．【解答】解：A={x|x2+2x﹣8＜0}=（﹣4，2），∵B={x|x＜1}，∴C R B=[1，+∞），∴（C R B）∩A=[1，2）．故选：C．3．如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（）A．B． C．D．【考点】程序框图．【分析】模拟程序图框的运行过程，得出当n=8时，不再运行循环体，直接输出S值．【解答】解：模拟程序图框的运行过程，得；该程序运行后输出的是计算S=++=．故选：D．4．某全日制大学共有学生5400人，其中专科生有1500人，本科生有3000人，研究生有900人．现采用分层抽样的方法调查学生利用因特网查找学习资料的情况，抽取的样本为180人，则应在专科生、本科生与研究生这三类学生中分别抽取（）A．55人，80人，45人B．40人，100人，40人C．60人，60人，60人D．50人，100人，30人【考点】分层抽样方法．【分析】先根据总体数和抽取的样本，求出每个个体被抽到的概率，用每一个层次的数量乘以每个个体被抽到的概率就等于每一个层次的值．【解答】解：每个个体被抽到的概率为=，∴专科生被抽的人数是×1500=50，本科生要抽取×3000=100，研究生要抽取×900=30，故选：D．5．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n B．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥nC．若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥βD．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β【考点】空间中直线与平面之间的位置关系；命题的真假判断与应用；平面与平面之间的位置关系．【分析】由α⊥β，m⊂α，n⊂β，可推得m⊥n，m∥n，或m，n异面；由α∥β，m⊂α，n ⊂β，可得m∥n，或m，n异面；由m⊥n，m⊂α，n⊂β，可得α与β可能相交或平行；由m⊥α，m∥n，则n⊥α，再由n∥β可得α⊥β．【解答】解：选项A，若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则可能m⊥n，m∥n，或m，n异面，故A 错误；选项B，若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n，或m，n异面，故B错误；选项C，若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α与β可能相交，也可能平行，故C错误；选项D，若m⊥α，m∥n，则n⊥α，再由n∥β可得α⊥β，故D正确．故选D．6．直线与圆O：x2+y2=4交于A、B两点，则=（）A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4【考点】平面向量数量积的运算；直线与圆相交的性质．【分析】先求圆心到直线的距离，再求弦心距所在直线与AO的夹角，然后求数量积．【解答】解：圆O：x2+y2=4的圆心是（0，0），由此知圆心到直线的距离是=＜2所以直线与圆相交故AB=2=2=r，所以∠AOB=所以=2×2×cos=2故选A7．某班5位同学分别选择参加数学、物理、化学这3个学科的兴趣小组，每人限选一门学科，则每个兴趣小组都至少有1人参加的不同选择方法种数为（）A．150 B．180 C．240 D．540【考点】计数原理的应用．【分析】根据题意，分析有将5位同学分成满足题意的3组有1，1，3与2，2，1两种，分别计算可得分成1、1、3与分成2、2、1时的分组情况种数，进而相加可得答案．【解答】解：将5位同学分成满足题意的3组有1，1，3与2，2，1两种，分成1、1、3时，有C53•A33=60种，分成2、2、1时，有=90种，所以共有60+90=150种，故选：A．8．如图，椭圆+y2=1的左、右焦点分别为F1，F2，短轴端点分别为B1，B2，现沿B1B2将椭圆折成120°角（图二），则异面直线F1B2与B1F2所成角的余弦值为（）A．0 B．C．D．﹣【考点】椭圆的简单性质．【分析】由OF1⊥B1B2，OF2⊥B1B2，可得∠F1OF2为二面角F1﹣B1B2﹣F2的平面角，即为120°，求得椭圆的a，b，c，运用向量的夹角公式可得cos＜，＞=，计算即可得到所求异面直线所成的角的余弦值．【解答】解：由OF1⊥B1B2，OF2⊥B1B2，可得∠F1OF2为二面角F1﹣B1B2﹣F2的平面角，即为120°，椭圆+y2=1中a=，b=1．c=，可得B1F2=B2F1==，=+， =+，•=•+•+•+•=﹣1+0+0+••（﹣）=﹣2，即有cos＜，＞===﹣，可得异面直线F1B2与B1F2所成角的余弦值为．故选：C．9．在区间[﹣1，1]上任取两数m和n，则关于x的方程x2+mx+n=0的两根都是负数的概率（）A． B． C． D．【考点】几何概型．【分析】根据几何概型的概率公式，利用积分求出对应区域的面积进行求解即可．【解答】解：∵区间[﹣1，1]上任取两数m和n，∴，对应的区域为正方形，面积S=2×2=4，若方程x2+mx+n=0的两根都是负数，则，即，作出不等式组对应的平面区域如图：则对应的面积S=∫dm=m3|=，则对应的概率P==，故选：A．10．设点P是曲线C：y=x3﹣x+上的任意一点，曲线C在P点处的切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是（）A．[π，π）B．（，π]C．[0，）∪[π，π）D．[0，）∪[π，π）【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求函数的导数，利用导数的几何意义求出切线斜率的取值范围，结合正切函数的图象和性质进行求解即可．【解答】解：函数的导数f′（x）=3x2﹣，则f′（x）=3x2﹣≥﹣，即tanα≥﹣，则0≤α＜或π≤α＜π，故角α的取值范围是[0，）∪[π，π），故选：D11．已知倾斜角为的直线与双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）相交于A，B两点，M（4，2）是弦AB的中点，则双曲线C的离心率是（）A．B． C．2 D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），根据AB的中点P的坐标，表示出斜率，从而得到关于a、b的关系式，再求离心率．【解答】解：∵倾斜角为的直线与双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）相交于A，B两点，∴直线的斜率k=tan=，设A（x1，y1），B（x2，y2），则﹣=1，①；﹣=1，②，①﹣②得=，则k==•∵M（4，2）是AB的中点，∴x1+x2=8，y1+y2=4，∵直线l的斜率为，∴=•，即=，则b2=a2，c2=a2+b2=（1+）a2，∴e2=1+==（）2．则e=故选：D．12．已知定义在R上的函数f（x）满足f（2）=1，且f（x）的导数f′（x）在R上的恒有f′（x）＜（x∈R），则不等式f（x2）＜+的解集为（）A．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）B．（﹣2，2） C．（﹣∞，﹣）∪（，+∞）D．（﹣，）【考点】利用导数研究函数的单调性；不等式的综合．【分析】由f′（x）＜，构造辅助函数g（x）=f（x）﹣x，求导，利用导数判断函数单调递减，根据f（2）=1，求得g（2）=，根据f（x2）＜+，将其转换成g（x2）＜g （2），根据函数单调性即可求得不等的解集．【解答】解：f′（x）＜（x∈R），f′（x）﹣＜0，设g（x）=f（x）﹣x，g′（x）=f′（x）﹣＜0，∴g（x）是R上的减函数，g（2）=g（2）﹣=，∴f（x2）＜+，g（x2）=f（x2）﹣＜=g（2），∴x2＞2，解得：x＞或x＜﹣，∴原不等式的解集为（﹣∞，﹣）∪（，+∞）．故答案选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共25分.13．已知四边形ABCD满足|AB|=|AD|，|CD|=且∠BAD=60°，﹣=，那么四边形ABCD的面积为．【考点】向量的线性运算性质及几何意义．【分析】由题意作图辅助，从而可判断四边形为直角梯形，从而求其面积．【解答】解：由题意作图如右图，∵﹣==，∴BC∥AD且|BC|=|AD|，又∵|AB|=|AD|，且∠BAD=60°，∴|AE|=|AB|=|AD|，∴|BC|=|DE|，∴BCDE是平行四边形，∴CD∥BE，∴DC⊥AD，∵|CD|=，∴|AB|=|AD|=2，∴S==，故答案为：．14．记不等式组所表示的平面区域为D．若直线y=a（x+1）与D有公共点，则a的取值范围是[，4]．【考点】简单线性规划．【分析】本题考查的知识点是简单线性规划的应用，我们要先画出满足约束条件的平面区域，然后分析平面区域里各个角点，然后将其代入y=a（x+1）中，求出y=a（x+1）对应的a的端点值即可．【解答】解：满足约束条件的平面区域如图示：因为y=a（x+1）过定点（﹣1，0）．所以当y=a（x+1）过点B（0，4）时，得到a=4，当y=a（x+1）过点A（1，1）时，对应a=．又因为直线y=a（x+1）与平面区域D有公共点．所以≤a≤4．故答案为：[，4]15．一个空间几何体的三视图如图所示，且这个空间几何体的所有顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是16π．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图知，几何体是一个三棱柱，三棱柱的底面是边长为3的正三角形，侧棱长是2，根据三棱柱的两个底面的中心的中点与三棱柱的顶点的连线就是外接球的半径，求出半径即可求出球的表面积．【解答】解：由三视图知，几何体是一个三棱柱ABC﹣A1B1C1，三棱柱的底面是边长为3的正三角形ABC，侧棱长是2，三棱柱的两个底面的中心连接的线段MN的中点O与三棱柱的顶点A的连线AO就是外接球的半径，∵△ABC是边长为3的等边三角形，MN=2，∴AM=，OM=1，∴这个球的半径r==2，∴这个球的表面积S=4π×22=16π，故答案为：16π．16．已知函数f（x）=asinx+bcosx（其中ab≠0）且对任意的x∈R，有f（x）≤f（），给出以下命题：①a=b；②f（x+）为偶函数；③函数y=f（x）的图象关于点（，0）对称；④函数y=f′（x）的图象可由函数y=f（x）的图象向左平移得到；⑤函数f（x）在y轴右侧的图象与直线y=的交点按横坐标从小到大依次为P1，P2，P3，P4，…，则|P2P4|=2π．其中正确命题的序号是①②④⑤．（将所有正确命题的序号都填上）【考点】命题的真假判断与应用．【分析】由三角函数的最大值相等列式判断①；利用辅助角公式化简代值判断②；求出得值判断③；求导后利用函数的图象平移判断④；由函数图象平移周期不变判断⑤【解答】解：①f（x）=asinx+bcosx=，∵对任意的x∈R，有f（x）≤f（），∴，则2a2+2b2=（a+b）2，∴（a﹣b）2=0，则a=b，故①正确；②∵f（x）=asinx+bcosx=a（sinx+cosx）=，∴f（x+）=，∴f（x+）为偶函数，故②正确；③∵=≠0，故③错误；④y=f′（x）=acosx﹣asinx==，而f（x+）==，故④正确；⑤由f（x）的周期为2π，而f（x）=是把向左平移个单位得到的，∴|P2P4|=2π，故⑤正确．故答案为：①②④⑤．三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知函数f（x）=sin2x﹣cos2x﹣，x∈R．（1）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；（2）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c=，f（C）=0，sinB=2sinA，求△ABC的面积S．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】（1）由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得f（x）=sin（2x﹣）﹣1，由周期公式可求最小正周期，由2k，k∈Z 可解得单调递增区间．（2）由f（C）=sin（2C﹣）﹣1=0，可得sin（2C﹣）=1，解得C的范围利用正弦函数的图象和性质即可求得C的值，由sinB=2sinA，利用正弦定理，余弦定理即可解得a，b，根据三角形面积公式即可得解．【解答】解：（1）∵f（x）=sin2x﹣cos2x﹣=sin2x﹣=sin（2x﹣）﹣1，…∴最小正周期T=，．由2k，k∈Z 得k，k∈Z，∴f（x）的最小正周期为π，单调递增区间为[k，k]（k∈Z）．…（2）f（C）=sin（2C﹣）﹣1=0，则sin（2C﹣）=1，∵0＜C＜π，∴0＜2C＜2π，∴﹣，∴2C﹣=，∴C=，…∵sinB=2sinA，由正弦定理，得，①由余弦定理，得c2=a2+b2﹣2abcos，即a2+b2﹣ab=3，②由①②解得a=1，b=2．∴S△ABC==．…18．已知数列{a n}满足a1=3，且对任意的正整数m，n都有a n+m=a n•a m，若数列{b n}满足b n=n﹣1+log3a n，{b n}的前n项和为B n．（Ⅰ）求a n和B n；（Ⅱ）令c n=a n•b n，d n=，数列{c n}的前n项和为S n，数列{d n}的前n项和为T n，分别求S n和T n．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（I）对任意的正整数m，n都有a n+m=a n•a m，可得a n+1=a n•a1=3a n，利用等比数列的通项公式可得a n．可得b n，即可得出{b n}的前n项和为B n．（II）c n=（2n﹣1）•3n．利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式可得S n．d n===，利用“裂项求和”即可得出．【解答】解：（I）∵对任意的正整数m，n都有a n+m=a n•a m，∴a n+1=a n•a1=3a n，∴数列{a n}是等比数列，公比为3，首项为3，∴a n=3n．∴b n=n﹣1+log3a n=n﹣1+n=2n﹣1，∴{b n}的前n项和为B n==n2．（II）c n=a n•b n，=（2n﹣1）•3n．∴数列{c n}的前n项和为S n=3+3×32+5×33+…+（2n﹣1）•3n，∴3S n=32+3×33+…+（2n﹣3）•3n+（2n﹣1）•3n+1，∴﹣2S n=3+2（32+33+…+3n）﹣（2n﹣1）•3n+1=﹣3﹣（2n﹣1）•3n+1=（2﹣2n）•3n+1﹣6，∴S n=（n﹣1）•3n+1+3．d n===，当n=1时，d1=；当n≥2时，T n=+++…++=﹣﹣．当n=1时也成立，∴T n=﹣﹣．19．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是菱形，且∠ABC=60°，侧面PAD是边长为2的正三角形且与底面ABCD垂直．（Ⅰ）求证：BC⊥PC；（Ⅱ）线段PC上是否存在点M，使得二面角P﹣AD﹣M的平面角余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．【考点】二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（Ⅰ）取AD中点O，连结OP，OC，以O为原点，OC为x轴，OD为y轴，OP 为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明BC⊥PC．（Ⅱ）设M（a，b，c），由=λ可得点M的坐标为M（λ，0，﹣λ），求出平面AMD的法向量和平面PAD的法向量，由此利用向量法能求出结果．【解答】（Ⅰ）证明：取AD中点O，连结OP，OC，∵侧面PAD是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD是∠ABC=60°的菱形，∴△ADC是等边三角形，PO、AD、CO两两垂直，以O为原点，OC为x轴，OD为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，由题意得P（0，0，），C（，0，0），B（，﹣2，0），=（0，﹣2，0），=（﹣，0，），∴=0，∴CB⊥CP．（Ⅱ）解：假设存在符合要求的点M，令=λ（0≤λ≤1），则=λ=λ（，0，﹣），可得M（λ，0，﹣λ），∴=（λ，1，﹣λ），=（λ，﹣1，﹣λ），设平面MAD的法向量为=（x，y，z），则，令z=λ，得=（λ﹣1，0，λ），显然平面PAD的一个法向量为=（，0，0），∵二面角P﹣AD﹣M的平面角余弦值为，∴|=，∴λ=或λ=﹣1（舍去）∴线段PC上存在点M， =时，使得二面角P﹣AD﹣M的平面角余弦值为．20．已知函数（1）若x=1是函数f（x）的极大值点，求函数f（x）的单调递减区间；（2）若恒成立，求实数ab的最大值．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；函数在某点取得极值的条件．【分析】（1）求导数，利用x=1是函数f（x）的极大值点，确定a的范围，即可得到函数f（x）的单调递减区间；（2）构造函数，确定函数的单调性，可得函数的最值，即可得到结论．【解答】解：（1）求导数可得，f′（x）=∵x=1是函数f（x）的极大值点，∴0＜a＜1∴函数f（x）的单调递减区间为（0，a），（1，+∞）；（2）∵恒成立，∴alnx﹣x+b≤0恒成立，令g（x）=alnx﹣x+b，则g′（x）=∴g（x）在（0，a）上单调递增，在（a，+∞）上单调递减∴g（x）max=g（a）=alna﹣a+b≤0∴b≤a﹣lna，∴ab≤a2﹣a2lna令h（x）=x2﹣x2lnx（x＞0），则h′（x）=x（1﹣2lnx）∴h（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减∴h（x）max=h（）=，∴ab≤即ab的最大值为．21．已知椭圆Γ的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率等于，它的一个顶点恰好是抛物线y=x2的焦点．（1）求椭圆Γ的标准方程；（Ⅱ）Q为椭圆Γ的左顶点，直线l经过点（﹣，0）与椭圆Γ交于A，B两点．（1）若直线l垂直于x轴，求∠AQB的大小；（2）若直线l与x轴不垂直，是否存在直线l使得△QAB为等腰三角形？如果存在，求出直线l的方程；如果不存在，请说明理由．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（I）设椭圆的标准方程为：，根据条件列方程组解出a，b即可；（II）（1）把x=﹣代入椭圆方程解出A，B坐标，根据三角形的边长即可求出∠AQB；（2）设AB斜率为k，联立方程组求出A，B坐标的关系，通过计算=0得出，则当△QAB为等腰直角三角形时，取AB中点N，则QN⊥AB，计算QN的斜率判断是否为﹣即可得出结论．【解答】解：（I）设椭圆的标准方程为：，（a＞b＞0）．抛物线y=x2的焦点为（0，1），∴，解得a2=4，∴椭圆Γ的标准方程为+y2=1．（II）Q（﹣2，0），设A（x1，y1），B（x2，y2），（1）当直线l垂直于x轴时，直线l的方程为x=﹣．则直线l与x轴交于M（﹣，0）．联立方程组，解得或．不妨设A在第二象限，则A（﹣，），B（﹣，﹣）．∴|QM|=|AM|=．∴∠AQM=45°，∴∠AQB=2∠AQM=90°．（2）当直线l与x轴不垂直时，设直线l方程为y=k（x+）（k≠0）．联立方程组，消元得（25+100k2）x2+240k2x+144k2﹣100=0．∴x1+x2=，x1x2=．y1y2=k2（x1+）（x2+）=﹣•+．∵=（x1+2，y1），=（x2+2，y2），∴=x1x2+2（x1+x2）+4+y1y2=﹣+4+﹣•+=0．∴QA⊥QB，即△QAB是直角三角形．假设存在直线l使得△QAB是等腰直角三角形，则|QA|=|QB|．取AB的中点N，连结QN，则QN⊥AB．又x N=（x1+x2）=﹣=﹣，y N=k（x N+）=．∴k QN=，∴k QN•k AB=≠﹣1．∴QN与AB不垂直，矛盾．∴直线l与x轴不垂直，不存在直线l使得△QAB为等腰三角形．22．已知a为实数，函数f（x）=alnx+x2﹣4x．（Ⅰ）是否存在实数a，使得f（x）在x=1处取极值？证明你的结论；（Ⅱ）若函数f（x）在[2，3]上存在单调递增区间，求实数a的取值范围；（Ⅲ）设g（x）=（a﹣2）x，若存在x0∈[，e]，使得f（x0）≤g（x0）成立，求实数a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求得函数的定义域，求导，假设存在实数a，使f（x）在x=1处取极值，则f′（1）=0，解出a的值，根据x=1的左右单调性是否相同，即可判断x=1是不是极值点；（Ⅱ）先求出f（x）的导数，将问题转化成，a≥2﹣2（x﹣1）2，在x∈[2，3]有解，构造辅助函数，利用函数的求得φ（x）=2﹣2（x﹣1）2的最小值，即可求得a的取值范围．（Ⅲ）在[1，e]上存在一点x0，使得f（x0）＜g（x0）成立，即在[，e]，上存在一点x0，使得G（x0）＜0，即函数G（x）在[，e]，上的最小值小于零．对G（x）求导．求出G（x）的最小值，即可a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=+2x﹣4=，假设存在实数a，使得f（x）下x=1处取极值，则f′（1）=0，∴a=2，此时，f（x）=，∴当0＜x＜1时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，当x＞1时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，∴x=1不是f（x）的极值点，故不存在实数a，使得f（x）=1处取极值．（Ⅱ）f′（x）==（x＞0），问题等价于，存在x∈[2，3]，使得f′（x）≥0，即a≥2﹣2（x﹣1）2，在x∈[2，3]有解，∴φ（x）=2﹣2（x﹣1）2，在[2，3]上递减，∴φmin=φ（3）=﹣6，∴a＞﹣6；（Ⅲ）记F（x）=x﹣lnx，∴F′（x）=（x＞0），∴当0＜x＜1，F′（x）＜0，F（x）单调递减；当x＞1时，F′（x）＞0，F（x）单调递增；∴F（x）≥F（1）=1＞0，即x＞lnx，（x＞0），由f（x0）≤g（x0）得：（x0﹣lnx0）a≥x02﹣2x0，∴a≥，记G（x）=，x∈[，e]，G′（x）==，x∈[，e]，∴2﹣2lnx=2（1﹣lnx）≥0，∴x﹣2lnx+2＞0，∴x∈（，e）时，G′（x）＜0，G（x）递减，x∈（1，e）时，G′（x）＞0，G（x）递增，∴a≥G（x）min=G（1）=﹣1，故实数a的取值范围为[﹣1，+∞）．8月1日。
高考数学二模试卷 理(含解析)
北京市朝阳区高考数学二模试卷（理科）一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1．已知集合A={x|x2＞1}，集合B={x|x（x﹣2）＜0}，则A∩B=（）A．{x|1＜x＜2} B．{x|x＞2} C．{x|0＜x＜2} D．{x|x≤1，或x≥2}2．执行如图所示的程序框图，则输出的n的值是（）A．7 B．10 C．66 D．1663．设i为虚数单位，m∈R，“复数m（m﹣1）+i是纯虚数”是“m=1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件4．已知平面上三点A，B，C，满足||=6，||=8，||=10，则•+•+•=（）A．48 B．﹣48 C．100 D．﹣1005．已知函数f（x）=2sin（x+），若对任意的实数x，总有f（x1）≤f（x）≤f（x2），则|x1﹣x2|的最小值是（）A．2 B．4 C．πD．2π6．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）与抛物线y2=4x有一个公共的焦点F，且两曲线的一个交点为P．若|PF|=，则双曲线的渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±2x C．y=±x D．y=±x7．已知函数f（x）=，x∈R，若对任意θ∈（0，]，都有f（sinθ）+f（1﹣m）＞0成立，则实数m的取值范围是（）A．（0，1） B．（0，2） C．（﹣∞，1）D．（﹣∞，1]8．如图，将一张边长为1的正方形纸ABCD折叠，使得点B始终落在边AD上，则折起部分面积的最小值为（）A．B．C．D．二、填空题：本小题共6小题，每小题5分，共30分．9．（1﹣）4展开式中含x﹣3项的系数是．10．已知圆C的圆心在直线x﹣y=0上，且圆C与两条直线x+y=0和x+y﹣12=0都相切，则圆C的标准方程是．11．如图，已知圆B的半径为5，直线AMN与直线ADC为圆B的两条割线，且割线AMN过圆心B．若AM=2，∠CBD=60°，则AD= ．12．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面积为．13．已知点A1（a1，1），A2（a2，2），…，A n（a n，n）（n∈N*）在函数y=log x的图象上，则数列{a n}的通项公式为；设O为坐标原点，点M n（a n，0）（n∈N*），则△OA1M1，△OA2M2，…，△OA n M n中，面积的最大值是．14．设集合A={（m1，m2，m3）|m2∈{﹣2，0，2}，m i=1，2，3}}，集合A中所有元素的个数为；集合A 中满足条件“2≤|m1|+|m2|+|m3|≤5”的元素个数为．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．在梯形ABCD中，AB∥CD，CD=2，∠ADC=120°，cos∠CAD=．（Ⅰ）求AC的长；（Ⅱ）求梯形ABCD的高．16．某学科测试中要求考生从A，B，C三道题中任选一题作答，考试结束后，统计数据显示共有600名学生参加测试，选择A，B，C三题答卷数如表：题 A B C答卷数180 300 120（Ⅰ）某教师为了解参加测试的学生答卷情况，现用分层抽样的方法从600份答案中抽出若干份答卷，其中从选择A题作答的答卷中抽出了3份，则应分别从选择B，C题作答的答卷中各抽出多少份？（Ⅱ）若在（Ⅰ）问中被抽出的答卷中，A，B，C三题答卷得优的份数都是2，从被抽出的A，B，C三题答卷中再各抽出1份，求这3份答卷中恰有1份得优的概率；（Ⅲ）测试后的统计数据显示，B题的答卷得优的有100份，若以频率作为概率，在（Ⅰ）问中被抽出的选择B题作答的答卷中，记其中得优的份数为X，求X的分布列及其数学期望EX．17．如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB=90°，AD=DC=AB=1．直角梯形ABEF可以通过直角梯形ABCD以直线AB为轴旋转得到，且平面ABEF⊥平面ABCD．（Ⅰ）求证：FA⊥BC；（Ⅱ）求直线BD和平面BCE所成角的正弦值；（Ⅲ）设H为BD的中点，M，N分别为线段FD，AD上的点（都不与点D重合）．若直线FD⊥平面MNH，求MH的长．18．已知点M为椭圆C：3x2+4y2=12的右顶点，点A，B是椭圆C上不同的两点（均异于点M），且满足直线MA与直线MB斜率之积为．（Ⅰ）求椭圆C的离心率及焦点坐标；（Ⅱ）试判断直线AB是否过定点：若是，求出定点坐标；若否，说明理由．19．已知函数f（x）=（x2﹣a）e x，a∈R．（Ⅰ）当a=0时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若在区间（1，2）上存在不相等的实数m，n，使f（m）=f（n）成立，求a的取值范围；（Ⅲ）若函数f（x）有两个不同的极值点x1，x2，求证：f（x1）f（x2）＜4e﹣2．20．已知数列，A n：a1，a2，…，a n（n≥2，n∈N*）是正整数1，2，3，…，n的一个全排列．若对每个k∈{2，3，…，n}都有|a k﹣a k﹣1|=2或3，则称A n为H数列．（Ⅰ）写出满足a5=5的所有H数列A5；（Ⅱ）写出一个满足a5k（k=1，2，…，403）的H数列A2015的通项公式；（Ⅲ）在H数列A2015中，记b k=a5k（k=1，2，…，403）．若数列{b k}是公差为d的等差数列，求证：d=5或﹣5．2015年北京市朝阳区高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1．已知集合A={x|x2＞1}，集合B={x|x（x﹣2）＜0}，则A∩B=（）A．{x|1＜x＜2} B．{x|x＞2} C．{x|0＜x＜2} D．{x|x≤1，或x≥2}【考点】交集及其运算．【专题】集合．【分析】分别求出A与B中不等式的解集确定出A与B，找出两集合的交集即可．【解答】解：由A中不等式解得：x＞1或x＜﹣1，即A={x|x＜﹣1或x＞1}，由B中不等式解得：0＜x＜2，即B={x|0＜x＜2}，则A∩B={x|1＜x＜2}，故选：A．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．执行如图所示的程序框图，则输出的n的值是（）A．7 B．10 C．66 D．166【考点】程序框图．【专题】图表型；算法和程序框图．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的n，S的值，当S=166时满足条件S ＞100，退出循环，输出n的值为10．【解答】解：模拟执行程序框图，可得S=1，n=1n=4，S=17，不满足条件S＞100，n=7，S=66不满足条件S＞100，n=10，S=166满足条件S＞100，退出循环，输出n的值为10．故选：B．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，依次写出每次循环得到的n，S的值是解题的关键，属于基本知识的考查．3．设i为虚数单位，m∈R，“复数m（m﹣1）+i是纯虚数”是“m=1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；复数的基本概念．【专题】简易逻辑；数系的扩充和复数．【分析】直接利用复数的基本概念以及充要条件判断即可．【解答】解：复数m（m﹣1）+i是纯虚数，则m=0或m=1，显然m=1，复数是纯虚数，所以，“复数m（m﹣1）+i是纯虚数”是“m=1”的必要不充分条件．故选：B．【点评】本题考查复数的基本概念，充要条件的判断，基本知识的考查．4．已知平面上三点A，B，C，满足||=6，||=8，||=10，则•+•+•=（）A．48 B．﹣48 C．100 D．﹣100【考点】平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】利用勾股定理的逆定理判断三角形为直角三角形，然后进行向量的数量积运算，注意向量的夹角．【解答】解：由题意||2+||2=||2=100，所以△ABC是直角三角形，∠A=90°，所以•+•+•=6×10×（﹣）+8×10×（﹣）+0=﹣100；故选：D．【点评】本题考查了勾股定理的逆定理运用以及向量的数量积运算；关键是明确向量的夹角，利用公式解答．5．已知函数f（x）=2sin（x+），若对任意的实数x，总有f（x1）≤f（x）≤f（x2），则|x1﹣x2|的最小值是（）A．2 B．4 C．πD．2π【考点】正弦函数的图象．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】由题意可得|x1﹣x2|的最小值为半个周期，再利用y=Asin（ωx+φ）的周期等于T=，得出结论．【解答】解：由题意可得|x1﹣x2|的最小值为半个周期，即===2，故选：A．【点评】本题主要考查正弦函数的图象特征，函数y=Asin（ωx+φ）的周期等于T=，属于基础题．6．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）与抛物线y2=4x有一个公共的焦点F，且两曲线的一个交点为P．若|PF|=，则双曲线的渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±2x C．y=±x D．y=±x【考点】双曲线的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】根据抛物线和双曲线有相同的焦点求得p和c的关系，根据抛物线的定义可以求出P的坐标，代入双曲线方程与p=2c，b2=c2﹣a2，解得a，b，得到渐近线方程．【解答】解：∵抛物线y2=4x的焦点坐标F（1，0），p=2，抛物线的焦点和双曲线的焦点相同，∴p=2c，即c=1，∵设P（m，n），由抛物线定义知：|PF|=m+=m+1=，∴m=．∴P点的坐标为（，±）∴解得：，则渐近线方程为y=±x，故选：C．【点评】本题主要考查了双曲线，抛物线的简单性质．考查了学生综合分析问题和基本的运算能力．解答关键是利用性质列出方程组．7．已知函数f（x）=，x∈R，若对任意θ∈（0，]，都有f（sinθ）+f（1﹣m）＞0成立，则实数m的取值范围是（）A．（0，1） B．（0，2） C．（﹣∞，1）D．（﹣∞，1]【考点】奇偶性与单调性的综合．【专题】函数的性质及应用；导数的综合应用．【分析】求函数f（x）定义域，及f（﹣x）便得到f（x）为奇函数，并能够通过求f′（x）判断f（x）在R上单调递增，从而得到sinθ＞m﹣1，也就是对任意的都有sinθ＞m﹣1成立，根据0＜sinθ≤1，即可得出m的取值范围．【解答】解：f（x）的定义域为R，f（﹣x）=﹣f（x）；f′（x）=e x+e﹣x＞0；∴f（x）在R上单调递增；由f（sinθ）+f（1﹣m）＞0得，f（sinθ）＞f（m﹣1）；∴sinθ＞m﹣1；即对任意θ∈都有m﹣1＜sinθ成立；∵0＜sinθ≤1；∴m﹣1≤0；∴实数m的取值范围是（﹣∞，1]．故选D．【点评】考查奇函数的定义，根据函数导数判断函数单调性的方法，复合函数的求导公式，以及函数单调性定义的运用，正弦函数的值域．8．如图，将一张边长为1的正方形纸ABCD折叠，使得点B始终落在边AD上，则折起部分面积的最小值为（）A．B．C．D．【考点】相似三角形的性质．【专题】选作题；推理和证明．【分析】先证明△MQB∽△B′AB，再利用相似三角形的性质得出C'N的长，再表示出求出梯形MNC′B′面积，进而求出最小值．【解答】解：如图，过N作NR⊥AB与R，则RN=BC=1，连BB′，交MN于Q．则由折叠知，△MBQ与△MB′Q关于直线MN对称，即△MBQ≌△MB′Q，有BQ=B′Q，MB=MB′，MQ⊥BB′．∵∠A=∠MQB，∠ABQ=∠ABB′，∴△MQB∽△B′AB，∴．设AB′=x，则BB′=，BQ=，代入上式得：BM=B'M=（1+x2）．∵∠MNR+∠BMQ=90°，∠ABB′+∠BMQ=90°，∴∠MNR=∠ABB′，在Rt△MRN和Rt△B′AB中，∵，∴Rt△MRN≌Rt△B′AB（ASA），∴MR=AB′=x．故C'N=CN=BR=MB﹣MR=（1+x2）﹣x=（x﹣1）2．∴S梯形MNC′B′= [（x﹣1）2+（x2+1）]×1=（x2﹣x+1）=（x﹣）2+，得当x=时，梯形面积最小，其最小值．故选：B．【点评】本题考查了相似三角形的判定、二次函数的最值、全等三角形的判定和性质及翻转变换，是一道综合题，有一定的难度，这要求学生要熟练掌握各部分知识，才能顺利解答这类题目．二、填空题：本小题共6小题，每小题5分，共30分．9．（1﹣）4展开式中含x﹣3项的系数是．【考点】二项式系数的性质．【专题】二项式定理．【分析】写出二项展开式的通项，由x得指数为3求得r值，代入通项中求得答案．【解答】解：由，令﹣r=﹣3，得r=3．∴（1﹣）4展开式中含x﹣3项的系数是．故答案为：．【点评】本题考查了二项式系数的性质，关键是熟记二项展开式的通项，是基础题．10．已知圆C的圆心在直线x﹣y=0上，且圆C与两条直线x+y=0和x+y﹣12=0都相切，则圆C的标准方程是（x﹣3）2+（y﹣3）2=18 ．【考点】圆的切线方程．【专题】计算题；直线与圆．【分析】圆心在直线x﹣y=0上，设出圆心，利用圆C与两条直线x+y=0和x+y﹣12=0都相切，就是圆心到直线等距离，求解即可．【解答】解：圆心在x﹣y=0上，圆心为（a，a），因为圆C与两条直线x+y=0和x+y﹣12=0都相切，所以=，解得a=3，圆c的标准方程为（x﹣3）2+（y﹣3）2=18．故答案为：（x﹣3）2+（y﹣3）2=18．【点评】考查圆的方程的求法，一般情况下：求圆C的方程，就是求圆心、求半径．11．如图，已知圆B的半径为5，直线AMN与直线ADC为圆B的两条割线，且割线AMN过圆心B．若AM=2，∠CBD=60°，则AD= 3 ．【考点】与圆有关的比例线段．【专题】选作题；推理和证明．【分析】利用△CDB是等边三角形，求出CD，再利用割线定理，即可求出AD．【解答】解：由题意，CD=DB=BC=5，AN=12，∵直线AMN与直线ADC为圆B的两条割线，∴AD×（AD+5）=2×12，∴AD2+5AD﹣24=0，∴AD=3，故答案为：3．【点评】本题考查割线定理，考查学生的计算能力，比较基础．12．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面积为2．【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是底面为菱形的四棱锥，画出几何体的直观图，求出它的侧面积即可．【解答】解：根据几何体的三视图，得；该几何体是底面为菱形的四棱锥，且菱形的边长为=2，三棱锥的高为3，且侧面四个三角形的面积相等，如图所示；∴该四棱锥的侧面积为4S△PAB=4×AB•PE=4××2×=2．故答案为：2．【点评】本题考查了利用空间几何体的三视图求几何体的侧面积的应用问题，解题的关键是根据三视图得出几何体的直观图，是基础题目．13．已知点A1（a1，1），A2（a2，2），…，A n（a n，n）（n∈N*）在函数y=log x的图象上，则数列{a n}的通项公式为a n=（）n；设O为坐标原点，点M n（a n，0）（n∈N*），则△OA1M1，△OA2M2，…，△OA n M n中，面积的最大值是．【考点】对数函数的图象与性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】由对数函数可得通项公式，又可得△OA n M n的面积S n的表达式，由函数的单调性可得．【解答】解：由题意可得n=log a n，∴a n=（）n，又可得△OA n M n的面积S n=×a n×n=n（）n，构造函数y=x（）x，可判函数单调递减，∴当n=1时，S n取最大值故答案为：a n=（）n；【点评】本题考查对数函数的性质，涉及函数的单调性，属基础题．14．设集合A={（m1，m2，m3）|m2∈{﹣2，0，2}，m i=1，2，3}}，集合A中所有元素的个数为27 ；集合A 中满足条件“2≤|m1|+|m2|+|m3|≤5”的元素个数为18 ．【考点】集合的表示法；元素与集合关系的判断．【专题】集合；排列组合．【分析】根据集合A知道m1，m2，m3各有3种取值方法，从而构成集合A的元素个数为27个，而对于2≤|m1|+|m2|+|m3|≤5可分为这样几种情况：|m1|+|m2|+|m3|=2，或|m1|+|m2|+|m3|=4，求出每种情况下构成集合A的元素个数再相加即可．【解答】解：m1从集合{﹣2，0，2）中任选一个，有3种选法，m2，m3都有3种选法；∴构成集合A的元素有3×3×3=27种情况；即集合A元素个数为27；对于2≤|m1|+|m2|+|m3|≤5分以下几种情况：①|m1|+|m2|+|m3|=2，即此时集合A的元素含有一个2，或﹣2，两个0，2或﹣2从三个位置选一个有3种选法，剩下的位置都填0，这种情况有3×2=6种；②|m1|+|m2|+|m3|=4，即此时集合A含有两个2，或﹣2，一个0；或者一个2，一个﹣2，一个0；当是两个2或﹣2，一个0时，从三个位置任选一个填0，剩下的两个位置都填2或﹣2，这种情况有3×2=6种；当是一个2，一个﹣2，一个0时，对这三个数全排列即得到3×2×1=6种；∴集合A 中满足条件“2≤|m1|+|m2|+|m3|≤5”的元素个数为6+6+6=18．故答案为：27，18．【点评】考查描述法表示集合，分步计数原理及排列内容的应用，以及分类讨论思想的应用．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．在梯形ABCD中，AB∥CD，CD=2，∠ADC=120°，cos∠CAD=．（Ⅰ）求AC的长；（Ⅱ）求梯形ABCD的高．【考点】正弦定理；余弦定理．【专题】解三角形．【分析】（Ⅰ）在△ACD中，由正弦定理得：，解出即可；（Ⅱ）在△ACD中，由余弦定理得：AC2=AD2+CD2﹣2AD•CDcos120°，解得AD，过点D作DE⊥AB 于E，则DE为梯形ABCD的高．在直角△ADE中，DE=AD•sin60°，即可得出．【解答】解：（Ⅰ）在△ACD中，∵cos∠CAD=，∴sin∠CAD=．由正弦定理得：，即==2．（Ⅱ）在△ACD中，由余弦定理得：AC2=AD2+CD2﹣2AD•CDcos120°，整理得AD2+2AD﹣24=0，解得AD=4．过点D作DE⊥AB于E，则DE为梯形ABCD的高．∵AB∥CD，∠ADC=120°，∴∠BAD=60°．在直角△ADE中，DE=AD•sin60°=2．即梯形ABCD的高为．【点评】本题考查了正弦定理余弦定理的应用、同角三角函数基本关系式、直角三角形的边角关系、梯形的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16．某学科测试中要求考生从A，B，C三道题中任选一题作答，考试结束后，统计数据显示共有600名学生参加测试，选择A，B，C三题答卷数如表：题 A B C答卷数180 300 120（Ⅰ）某教师为了解参加测试的学生答卷情况，现用分层抽样的方法从600份答案中抽出若干份答卷，其中从选择A题作答的答卷中抽出了3份，则应分别从选择B，C题作答的答卷中各抽出多少份？（Ⅱ）若在（Ⅰ）问中被抽出的答卷中，A，B，C三题答卷得优的份数都是2，从被抽出的A，B，C三题答卷中再各抽出1份，求这3份答卷中恰有1份得优的概率；（Ⅲ）测试后的统计数据显示，B题的答卷得优的有100份，若以频率作为概率，在（Ⅰ）问中被抽出的选择B题作答的答卷中，记其中得优的份数为X，求X的分布列及其数学期望EX．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【专题】概率与统计．【分析】（I）由=60可知：每60份试卷抽一份，即可得出；（II）记事件M：被抽出的A、B、C三种答卷中分别再任取出1份，这3份答卷中恰有1份得优，可知只能C题答案为优，利用相互独立试卷的概率计算公式即可得出；（Ⅲ）由题意可知，B题答案得优的概率为，显然被抽出的B题的答案中得优的份数X的可能取值为0，1，2，3，4，5，且X～B．利用P（X=k）=（k=0，1，2，3，4，5），及其E（X）=np即可得出分布列及其数学期望．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得：题 A B C答卷数180 300 230抽出的答卷数 3 5 2应分别从B、C题的答卷中抽出5份，2份．（Ⅱ）记事件M：被抽出的A、B、C三种答卷中分别再任取出1份，这3份答卷中恰有1份得优，可知只能C题答案为优，依题意P（M）==．（Ⅲ）由题意可知，B题答案得优的概率为，显然被抽出的B题的答案中得优的份数X的可能取值为0，1，2，3，4，5，且X～B．P（X=k）=（k=0，1，2，3，4，5），可得P（X=0）=，P（X=1）=，P（X=2）=，P（X=3）=，P（X=4）=，P（X=0）=，随机变量X的分布列为：X 0 1 2 3 4 5P∴E（X）=np==．【点评】本题考查了随机变量的二项分布列及其数学期望、分层抽样、相互独立事件的概率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17．如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB=90°，AD=DC=AB=1．直角梯形ABEF可以通过直角梯形ABCD以直线AB为轴旋转得到，且平面ABEF⊥平面ABCD．（Ⅰ）求证：FA⊥BC；（Ⅱ）求直线BD和平面BCE所成角的正弦值；（Ⅲ）设H为BD的中点，M，N分别为线段FD，AD上的点（都不与点D重合）．若直线FD⊥平面MNH，求MH的长．【考点】直线与平面所成的角；空间中直线与直线之间的位置关系．【专题】综合题；空间位置关系与距离；空间角．【分析】（Ⅰ）利用平面与平面垂直的性质证明：FA⊥平面ABCD，即可证明FA⊥BC；（Ⅱ）以A为原点建立空间直角坐标系，求出平面BCE的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求直线BD和平面BCE所成角的正弦值；（Ⅲ）设=k（0＜k≤1），则M（1﹣k，0，k），利用FD⊥平面MNH，求出M的坐标，即可求MH的长．【解答】（Ⅰ）证明：由已知得∠FAB=90°，所以FA⊥AB．因为平面ABEF⊥平面ABCD，且平面ABEF∩平面ABCD=AB，所以FA⊥平面ABCD，由于BC⊂平面ABCD，所以FA⊥BC．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知FA⊥平面ABCD，所以FA⊥AB，FA⊥AD．由已知DA⊥AB，所以AD，AB，AF两两垂直．以A为原点建立空间直角坐标系（如图）．因为AD=DC=AB=1，则B（0，2，0），C（1，1，0），D（1，0，0），E（0，1，1），所以=（1，﹣1，0），=（0，﹣1，1），设平面BCE的一个法向量=（x，y，z）．所以．令x=1，则=（1，1，1）．设直线BD与平面BCE所成角为θ，因为=（1，﹣2，0），所以sinθ=||=．所以直线BD和平面BCE所成角的正弦值为．（Ⅲ）解：A（0，0，0），D（1，0，0），F（0，0，1），B（0，2，0），H（，1，0）．设=k（0＜k≤1），则M（1﹣k，0，k），∴=（k﹣，1，﹣k），=（1，0，﹣1）．若FD⊥平面MNH，则FD⊥MH．即=0．∴k﹣+k=0．解得k=．则=（，1，﹣），||=．【点评】本题考查线面垂直的判定、平面与平面垂直的性质，考查线面角，正确运用向量法是关键．18．已知点M为椭圆C：3x2+4y2=12的右顶点，点A，B是椭圆C上不同的两点（均异于点M），且满足直线MA与直线MB斜率之积为．（Ⅰ）求椭圆C的离心率及焦点坐标；（Ⅱ）试判断直线AB是否过定点：若是，求出定点坐标；若否，说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】（Ⅰ）椭圆C的方程可化为，则a=2，b=，c=1．即可得出离心率与焦点坐标；（Ⅱ）由题意，直线AB的斜率存在，可设直线AB的方程为y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2）．与椭圆方程联立可得：（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0．△＞0．由于直线MA与直线MB 斜率之积为，可得=，把根与系数的关系代入可得：m2﹣2km﹣8k2=0，解得m=4k或m=﹣2k．分别讨论解出即可．【解答】解：（Ⅰ）椭圆C的方程可化为，则a=2，b=，c=1．故离心率e==，焦点坐标为（﹣1，0），（1，0）．（Ⅱ）由题意，直线AB的斜率存在，可设直线AB的方程为y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2）．联立得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0．△=64k2m2﹣4（3+4k2）（4m2﹣12）=48（4k2﹣m2+3）＞0．∴x1+x2=，x1x2=，∵直线MA与直线MB斜率之积为．∴=，∴4（kx1+m）（kx2+m）=（x1﹣2）（x2﹣2）．化简得（4k2﹣1）x1x2+（4km+2）（x1+x2）+4m2﹣4=0，∴++4m2﹣4=0，化简得m2﹣2km﹣8k2=0，解得m=4k或m=﹣2k．当m=4k时，直线AB方程为y=k（x+4），过定点（﹣4，0）．m=4k代入判别式大于零中，解得．当m=﹣2k时，直线AB的方程为y=k（x﹣2），过定点（2，0），不符合题意．故直线AB过定点（﹣4，0）．【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立、斜率计算公式，考查了分类讨论思想方法、推理能力与计算能力，属于难题．19．已知函数f（x）=（x2﹣a）e x，a∈R．（Ⅰ）当a=0时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若在区间（1，2）上存在不相等的实数m，n，使f（m）=f（n）成立，求a的取值范围；（Ⅲ）若函数f（x）有两个不同的极值点x1，x2，求证：f（x1）f（x2）＜4e﹣2．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【专题】导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）将a=0代入函数的表达式，求出函数的导数，解关于导函数的不等式，从而求出函数的单调区间；（Ⅱ）问题转化为求使函数f（x）=e x（x2﹣a）在（1，2）上不为单调函数的a的取值范围，通过讨论x的范围，得到函数的单调性，进而求出a的范围；（Ⅲ）先求出函数的导数，找到函数的极值点，从而证明出结论．【解答】解：（Ⅰ）当a=0时，f（x）=x2e x，f′（x）=e x（x2+2x），由e x（2x2+2x）=0，解得：x=0，x=﹣2，当x∈（﹣∞，﹣2）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；当x∈（﹣2，0）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．所以f（x）的单调增区间为（﹣∞，﹣2），（0，+∞），单调减区间为（﹣2，0）；（Ⅱ）依题意即求使函数f（x）=e x（x2﹣a）在（1，2）上不为单调函数的a的取值范围，而f′（x）=e x（x2+2x﹣a），设g（x）=x2+2x﹣a，则g（1）=3﹣a，g（2）=8﹣a，因为g（x）在（1，2）上为增函数．当，即当3＜a＜8时，函数g（x）在（1，2）上有且只有一个零点，设为x0，当x∈（1，x0）时，g（x）＜0，即f′（x）＜0，f（x）为减函数；当x∈（x0，2）时，g（x）＞0，即f′（x）＞0，f（x）为增函数，满足在（1，2）上不为单调函数．当a≤3时，g（1）≥0，g（2）≥0，所以在（1，2）上g（x）＞0成立（因g（x）在（1，2）上为增函数），所以在（1，2）上f′（x）＞0成立，即f（x）在（1，2）上为增函数，不合题意．同理a≥8时，可判断f（x）在（1，2）为减函数，不合题意．综上：3＜a＜8．（Ⅲ）f′（x）=e x（x2+2x﹣a）．因为函数f（x）有两个不同的零点，即f′（x）有两个不同的零点，即方程x2+2x﹣a=0的判别式△=4+4a＞0，解得：a＞﹣1，由x2+2x﹣a=0，解得x1=﹣1﹣，x2=﹣1+．此时x1+x2=﹣2，x1•x2=﹣a，随着x变化，f（x）和f′（x）的变化情况如下：x （﹣∞，x1） x1（x1，x2）x2（x2，+∞）f′（x）+ 0 ﹣0 +f（x）递增极大值递减极小值递增所以x1是f（x）的极大值点，x2是f（x）的极小值点，所以f（x1）是极大值，f（x2）是极小值，∴f（x1）f（x2）=（﹣a）•（﹣a）==e﹣2[a2﹣a（4+2a）+a2]=﹣4ae﹣2，因为a＞﹣1，所以﹣4ae﹣2＜4e﹣2，所以f（x1）f（x2）＜4e﹣2．【点评】本题考查了函数的单调性，函数的极值问题，导数的应用，考查转化思想，分类讨论思想，熟练掌握基础知识并对其灵活应用是解题的关键，本题是一道难题．20．已知数列，A n：a1，a2，…，a n（n≥2，n∈N*）是正整数1，2，3，…，n的一个全排列．若对每个k∈{2，3，…，n}都有|a k﹣a k﹣1|=2或3，则称A n为H数列．（Ⅰ）写出满足a5=5的所有H数列A5；（Ⅱ）写出一个满足a5k（k=1，2，…，403）的H数列A2015的通项公式；（Ⅲ）在H数列A2015中，记b k=a5k（k=1，2，…，403）．若数列{b k}是公差为d的等差数列，求证：d=5或﹣5．【考点】数列的应用；数列与函数的综合；数列与解析几何的综合．【专题】函数的性质及应用；等差数列与等比数列．【分析】（Ⅰ）利用已知条件直接写出数列即可．（Ⅱ）数列A5，推出a5=5，把数列各项分别加5后，所得各数依次排在后，利用|a6﹣a5|=2，得到a10=10．推出a5K=5k，（k=1，2，…，403）的H数列A2015即可．（Ⅲ）利用已知条件推出d=2x+3y，x，y∈Z，且|x|+|y|=5．转化为（|x|，|y|）=（0，5），（1，4），（2，3），（4，1），（5，0）．分别讨论推出结果即可．【解答】（本小题共13分）解：（Ⅰ）满足条件的数列有两个：3，1，4，2，5；2，4，1，3，5．（Ⅱ）由（1）知数列A5：2，4，1，3，5满足a5=5，把各项分别加5后，所得各数依次排在后，因为|a6﹣a5|=2，所得数列A10显然满足|a k﹣a k﹣1|=2或3，k∈{2，3，4，…，10}，即得H数列A10：2，4，1，3，5，7，9，6，8，10．其中a5=5，a10=10．如此下去即可得到一个满足a5K=5K（k=1，2，…，403）的H数列A2015为：a n=（其中k=1，2， (403)（Ⅲ）由题意知d=2x+3y，x，y∈Z，且|x|+|y|=5．|x|+|y|=5有解：（|x|，|y|）=（0，5），（1，4），（2，3），（4，1），（5，0）．①（|x|，|y|）=（0，5），y=±5，d=±15，则b403=b1+402d=b1±6030，这与1≤b1，b403≤2015 是矛盾的．②（|x|，|y|）=（5，0）时，与①类似可得不成立．③（|x|，|y|）=（1，4）时，|d|≥3×4﹣2=1，则b403=b1+402d不可能成立．④（|x|，|y|）=（4，1）时，若（|x|，|y|）=（4，﹣1）或（﹣4，1），则d=5或﹣5．若（|x|，|y|）=（4，1）或（﹣4，﹣1），则|d|=11，类似于③可知不成立．④（|x|，|y|）=（2，3）时，若x，y同号，则d|=13，由上面的讨论可知不可能；若（x，y）=（2，﹣3）或（x，y）=（﹣2，3），则d=﹣5或5；⑤（|x|，|y|）=（3，2）时，若x，y异号，则d=0，不行；若x，y同号，则|d|=12，同样由前面的讨论可知与1≤b1，b403≤2015 矛盾．综上，d只能为5或﹣5，且（2）中的数列是d=5的情形，将（2）中的数列倒过来就是d=﹣5，所以d为5或﹣5．【点评】本题考查数列与函数的综合应用，考查分类讨论思想的应用，考查分析问题解决问题的能力．。
2022年山西省高考数学二模试卷(理科)+答案解析(附后)
2022年山西省高考数学二模试卷（理科）一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.( )A. B. C. D.2.若，则( )A. B. C. D.3.已知集合，，若有2个元素，则实数a的取值范围是( )A. B.C. D.4.2022年北京冬奥会开幕式各个代表团所身着的运动鞋服品牌一度成为热议话题，运动鞋服是近年来新消费市场中规模相当庞大的品类，如图为2021年中国消费者运动鞋服购置品牌偏好调查，根据该图，下列说法错误的是( )A. 2021年中国运动鞋服消费者为父母长辈购买运动鞋服时选择国产品牌的占比超过B. 2021年中国运动鞋服消费者没有为孩子购买运动鞋服的占比低于C. 2021年中国运动鞋服消费者在为自己购买运动鞋服时选择国外品牌的占比不超过D. 2021年中国运动鞋服消费者在为朋友购买运动鞋服时选择国产品牌的人数超过选择国外品牌人数的2倍5.的展开式中的常数项为( )A. 13B. 17C.D.6.已知圆柱的高，圆，都在球O 的表面上，且球O 的表面积是圆柱侧面积的2倍，则球O 的半径为( )A. 4B. 32C.D.7.已知，若对任意，关于x 的方程无实根，则实数a 的范围是( )A.B.C. D.8.我们把短边与长边之比为的矩形称为黄金分割矩形，黄金分割矩形看起来比较“和谐”，日常生活中的矩形用品如书本、课桌、衣柜和建筑物中的一些矩形结构如窗户、房间等，都常设计成黄金分割的样式，若一面积为的黄金分割矩形一条短边的两个顶点在抛物线C ：的准线上，另一条短边的中点为抛物线C 的焦点F ，则该黄金分割矩形与抛物线C 的一个交点到F 的距离为( )A.B.C.D.9.若存在实数x ，y ，使得成立，且对任意a ，，，则实数t的取值范围是( )A.B.C. D.10.下面关于函数的结论，其中错误的是( )A. 的值域是B. 是周期函数C.的图象关于直线对称 D. 当时，11.在菱形ABCD 中，，点P 在菱形ABCD 所在平面内，则的最小值为( )A.B.C.D.12.已知a 是的一个零点，b 是的一个零点，，则( )A. B.C.D.或二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
陕西省宝鸡市2023届高三下学期二模理科数学试题含解析
2023年宝鸡市高考模拟检测（二）数学（理科）（答案在最后）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷解答题又分必考题和选考题两部分，选考题为二选一.考生作答时，将所有答案写在答题卡上，在本试卷上答题无效.本试卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上.2.选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，书写要工整、笔迹清楚，将答案书写在答题卡规定的位置上.3.所有题目必须在答题卡上作答，在试卷上答题无效.第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1.设集合{}40M x x =-<<，{}24N x x =<，则M N =（）A.{}20x x -<<B.{}22x x -<<C.{}44x x -<<D.{}42x x -<<2.设1z ，2z 为复数，则下列说法正确的为（）A.若22120z z +=，则120z z ==B.若12z z =，则1z ，2z 互为共轭复数C.若a ∈R ，i 为虚数单位，则()1i a +⋅为纯虚数D.若20z ≠，则1122z z z z = 3.直线l ：cos sin 1()x y ααα+=∈R 与曲线C ：221x y +=的交点个数为（） A.0B. 1C.2D.无法确定4.我国古代数学家赵爽用弦图给出了勾股定理的证明，弦图是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示），记大正方形和小正方形的面积分别为1S 和2S ，若125S S =，则直角三角形的勾（较短的直角边）与股（较长的直角边）的比值为（）A.12B.13C.23D.255.设a ，b ∈R ，则“2a b +≥”是“222a b +≥”的（） A.充要条件B.必要不充分条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件6.ABC △中，5AB =，7AC =，D 为BC 的中点，5AD =，则BC =（） A.3 B.3 C.22 D.427.已知抛物线C ：()220x py p =>的焦点为F ，(),M x y 为C 上一动点，曲线C 在点M 处的切线交y 轴于N 点，若30FMN ∠=︒，则FNM ∠=（） A.60︒B.45︒C.30︒D.15︒8.已知函数()()lg lg 2f x x x =+-，则（） A.()f x 在()0,1单调递减，在()1,2单调递增 B.()f x 在()0,2单调递减 C.()f x 的图像关于直线1x =对称D.()f x 有最小值，但无最大值9.设m ，{}2,1,0,1,2,3n ∈--，曲线C ：221mx ny +=，则下列说法正确的为（） A.曲线C 表示双曲线的概率为15B.曲线C 表示椭圆的概率为16C.曲线C 表示圆的概率为110D.曲线C 表示两条直线的概率为1510.点(),P x y 在不等式组02030x x y x y ≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩表示的平面区域上，则xy 的最大值为（）A.94B. 2C.83D. 311.四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为边长为4的正方形，PBA PBC ∠=∠，PD AD ⊥，Q 为正方形ABCD 内一动点且满足QA QP ⊥，若2PD =，则三棱锥Q PBC -的体积的最小值为（）A.3B.83C.43D. 212.已知正实数x ，y ，z 满足235log log log 0x y z ==≠，给出下列4个命题： ①x y z <<②x ，y ，z 的方程x y z +=有且只有一组解 ③x ，y ，z 可能构成等差数列④x ，y ，z 不可能构成等比数列 其中所有真命题的个数为（） A. 1B.2C.3D.4第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，满分20分. 13.若a ，b ，c ，d 为实数，且a c ad bcb d=-，定义函数sin 3()2cos 2cos x xf x x x=，现将()f x 的图像先向左平移512π3()g x 的图像，则()g x 的解析式为______. 14.已知非零向量a ，b ，c 满足1a b a b ==-=且1c a b --=，则c 的取值范围是______.15.若函数31()3xxf x e ex ax -=-+-无极值点，则实数a 的取值范围是______. 16.如图，已知正四面体EFGH 和正四棱锥P ABCD -的所有棱长都相等，现将正四面体EFGH 的侧面EGH 与正四棱锥P ABCD -的侧面P AB 重合（P ，E 重合；A ，H 重合；B ，G 重合）后拼接成一个新的几何体，对于新几何体，下列说法正确的有______ ①PF CD ⊥ ②PF 与BC 异面 ③新几何体为三棱柱④新几何体的6个顶点不可能在同一个球面上三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分 17.（本小题12分）某市作为常住人口超2000万的超大城市，注册青年志愿者人数超114万，志愿服务时长超268万小时.2022年6月，该市22个市级部门联合启动了2022年市青年志愿服务项目大赛，项目大赛申报期间，共收到331个主体的416个志愿服务项目，覆盖文明实践、社区治理与邻里守望、环境保护等13大领域.已知某领域共有50支志愿队伍申报，主管部门组织专家对志愿者申报队伍选行评审打分，并将专家评分（单位：分）分成6组：[)40,50，[)50,60，…，[]90,100，得到如图所示的频率分布直方图.（1）求图中m 的值；（2）从评分不低于80分的队伍中随机选取3支队伍，该3支队伍中评分不低于90分的队伍数为X ，求随机变量X 的分布列和期望. 18.（本小题12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥底面ABCD ，AB DC ∥，222CD AB AD ===，4PD =，AD CD ⊥，E 为棱PD 上一点.（1）求证：无论点E 在棱PD 的任何位置，都有CD AE ⊥成立； （2）若E 为PD 中点，求二面角A EC P --的余弦值. 19.（本小题12分）已知函数1()3xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，等比数列{}n a 的前n 项和为()f n c -，数列{}()0n n b b >的首项为c ，且前n 项和nS 满足11(2)n n n n S S S S n ---=≥.（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）若数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭前n 项和为n T ，求使10102023n T >的最小正整数n . 20.（本小题12分）已知椭圆1C ：()222210x y a b a b+=>>，F 为左焦点，A 为上顶点，()2,0B 72AF AB=，抛物线2C 的顶点在坐标原点，焦点为F . （1）求1C 的标准方程；（2）是否存在过F 点的直线，与1C 和2C 交点分别是P ，Q 和M ，N ，使得12OPQ OMN S S =△△？如果存在，求出直线的方程；如果不存在，请说明理由（OPQ S △为OPQ △面积）. 21.（本小题12分） 已知函数2()ln ()2a f x x x x x a =+-∈R ，且()f x 在()0,+∞内有两个极值点1x ，2x （12x x <）. （1）求实数a 的取值范围； （2）求证：1220a x x +<+.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中选定一题作答，并用2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑.按所涂题号进行评分，不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分. 22.（选修4-4：坐标系与参数方程）（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为126126x t ty t t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）.以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos 13πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. （1）求曲线C 的普通方程及直线l 的直角坐标方程；（2）已知点()2,0M ，若直线l 与曲线C 交于P ，Q 两点，求PM QM -. 23.（选修4-5：不等式选讲）（10分） 已知函数()11f x x x =-++. （1）求不等式()3f x <的解集；（2）若二次函数22y x x m =--+与函数()y f x =的图象恒有公共点，求实数m 的取值范围.2023年宝鸡市高考模拟检测（二）数学（理科）答案一、选择题： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案DDBACBCCBABC二、填空题：13.()2cos2g x x = 14.331⎡⎤⎣⎦15.{}2a a ≤ 16.①③④解答题答案17.解：（Ⅰ）由(0.00420.0220.0300.028)101m ⨯++++⨯=，解得0.012m =. （Ⅱ）由题意知不低于80分的队伍有()500.120.048⨯+=支， 不低于90分的队伍有500.042⨯=支. 随机变量X 的可能取值为0，1，2.∵36385(0)14C P X C ===，21623815(1)28C C P X C ===，1262383(2)28C C P X C ===， ∴X 的分布列为X 012P514 1528 32851533()0121428284E X =⨯+⨯+⨯=. 18.（1）证明：因为PD ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ， 所以PD CD ⊥， 因为AD CD ⊥，AD PD D =，AD ，PD ⊂平面P AD ，所以CD ⊥平面P AD ， 因为E 为棱PD 上一点， 所以AE ⊂平面P AD ， 所以CD AE ⊥.（2）解：因为PD ⊥平面ABCD ，AD CD ⊥，所以DA ，DC ，DP 两两垂直，如图，建立空间直角坐标系，因为222CD AB AD ===，4PD =，所以()1,0,0A ，()0,2,0C ，()0,0,2E ，()0,0,4P ， 所以()1,0,2EA =-，()0,2,2EC =-， 设平面AEC 的一个法向量为(),,n x y z =，则00EA n EC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即2x z y z =⎧⎨=⎩，令1z =得()2,1,1n =，因为PD AD ⊥，AD CD ⊥，PD CD D =，PD ，CD ⊂平面PCD ，所以AD ⊥平面PCD .所以平面PCE 的一个法向量为()1,0,0m DA ==， 所以26cos ,36n m n m n m⋅===， 因为二面角A EC P --为钝二面角， 所以二面角A EC P --的余弦值为：6. 19.解：（Ⅰ）∵1()3xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，等比数列{}n a 的前n 项和为1()3nf n c c ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，∴11(1)3a f c c =-=-，[][]22(2)(1)9a f c f c =---=-， [][]32(3)(2)27a f c f c =---=-， 数列{}n a 是等比数列，应有3212a a q a a ==，解得1c =，13q =. ∴首项112(1)33a f c c =-=-=-， ∴等比数列{}n a 的通项公式为12112333n nn a -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯=-⨯ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.∵1111(2)n n n n n n n n S S S S S S S S n -----==≥，又0n b >0n S >11n n S S -=； ∴数列{}nS 构成一个首项为1，公差为1的等差数列，1(1)1n S n n =+-⨯=，∴2n S n =，当1n =时，111b S ==，当2n ≥时，221(1)21n n n b S S n n n -=-=--=-，又1n =时也适合上式， ∴{}n b 的通项公式21n b n =-. （Ⅱ）111111(21)(21)22121n n b b n n n n +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭， ∴1111111112335572121n T n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦11122121nn n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭， 由10102023n T >，得1010212023n n >+，得336.6n >，故满足10102023n T >的最小正整数为337. 20.解：（172AF AB =，即2272a a b =+ 由右顶点为()2,0B ，得2a =，解得23b =，所以1C 的标准方程为22143x y +=. （2）依题意可知2C 的方程为24y x =-，假设存在符合题意的直线， 设直线方程为1x ky =-，()11,P x y ，()22,Q x y ，()33,M x y ，()44,N x y ，联立方程组221143x ky x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()2234690k y ky +--=，由韦达定理得122634k y y k +=+，122934y y k -=+， 则212121k y y +-= 联立方程组214x ky y x=-⎧⎨=-⎩，得2440y ky +-=， 由韦达定理得344y y k +=-，344y y =-， 所以23441y y k -=+，若12OPQ OMN S S =△△， 则123412y y y y -=-221211k k +=+63k =±，所以存在符合题意的直线方程为610x y ++=或610x y +=. 21.解：（1）()ln f x x ax '=+，因为()f x 在()0,+∞内有两个极值点， 所以()f x '在()0,+∞内有两个零点，即方程ln 0x ax +=有两个正实根， 即ln xa x=-有两个正实根， 令ln ()x g x x =-，2ln 1()x g x x-'=， 当()0,x e ∈时，()0g x '<，所以()g x 在()0,e 上单调递减， 当(),x e ∈+∞时，()0g x '>，所以()g x 在(),e +∞上单调递增， 又()1g e e=-，画出函数()g x 的图象如图所示，由方程ln x a x =-有两个根，得10a e-<<. （2）证明：()f x 在()0,+∞内有两个极值点1x ，2x ，由（1）可知，1122ln 0ln 0x ax x ax +=⎧⎨+=⎩，则1221ln ln x x a x x -=-， 要证1220a x x +<+，只需122112ln ln 20x x x x x x -+<-+， 进一步化为122112ln ln 2x x x x x x -<--+， 从而得()1212122ln ln x x x x x x --<+，所以12112221ln 1x x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭<+，设12x t x =，可知t 的取值范围是()0,1，则只需证2(1)ln 1t t t -<+， 令2(1)()ln 1t h t t t -=-+，则22(1)()0(1)t h t t t -'=>+， 所以()h t 在()0,1上单调递增，从而()()10h t h <=， 因此1220a x x +<+.22.解：（1）因为126126x t ty t t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），所以222222124363124363x t t y t t ⎧=+-⎪⎪⎨⎪=++⎪⎩，所以曲线C 的普通方程为2243y x -=， 因为cos 13πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以cos 3sin 2ρθρθ=，因为cos x ρθ=，sin y ρθ=，所以直线l 的直角坐标方程为320x -=.（2）由（1）可得直线l 的参数方程3212x y s ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（s 为参数）， 所以22134223s ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 整理得23123320s s ++=， 设1PM s =-，2QM s =-， 则1243s s +=-，12323s s =， 所以()21212128163448333PM Q s s M s s =+--=-==. 23.解：（1）由题设知：113x x ++-<；①当1x >时，得()112f x x x x =++-=，23x <，解得312x <<； ②当11x -≤≤时，得()112f x x x =++-=，23<，恒成立；③当1x <-时，得()112f x x x x =---+=-，23x -<，解得312x -<<-； 所以不等式的解集为：33,22⎛⎫-⎪⎝⎭； （2）由二次函数222(1)1y x x m x m =--+=-+++，该函数在1x =-取得最大值1m +，因为2(1)()2(11)2(1)x x f x x x x -<-⎧⎪=-≤≤⎨⎪>⎩，所以在1x =-处取得最小值2，所以要使二次函数22y x x m =--+与函数()y f x =的图象恒有公共点， 只需12m +≥，即1m ≥.。
高三数学第二次模拟考试试卷 理含解析 试题
2021年宁夏平罗中学高考数学二模试卷〔理科〕创作人：历恰面日期：2020年1月1日一、选择题1.全集，集合2，，那么A. B. 5， C. 3， D. 3，5，【答案】B【解析】【分析】可求出集合U，然后进展补集的运算即可．【详解】2，3，4，5，，2，；5，．应选：B．【点睛】此题考察集合的运算，描绘法、列举法的定义，二次不等式解集，准确计算是关键，注意2.复数 (i为虚数单位)的一共轭复数是A. 1+iB. 1−iC. −1+iD. −1−i 【答案】B【解析】分析：化简复数z，由一共轭复数的定义可得．详解：化简可得z=∴z的一共轭复数为1﹣i.应选：B．点睛：此题考察复数的代数形式的运算，涉及一共轭复数，属根底题．3.平面向量，均为单位向量，假设向量，的夹角为，那么A. 25B. 7C. 5D.【答案】D【解析】【分析】由题意可得，据此确定的模即可.【详解】因为，且向量，的夹角为，所以，所以．此题选择D选项.【点睛】此题主要考察向量的运算法那么，向量的模的计算公式等知识，意在考察学生的转化才能和计算求解才能.4.正项等差数列的前项和为()，，那么的值是( ).A. 11B. 12C. 20D. 22 【答案】D【解析】【分析】本道题结合等差数列性质，结合，代入，即可。
【详解】结合等差数列的性质，可得，而因为该数列为正项数列，可得，所以结合，可得，应选D。
【点睛】本道题考察了等差数列的性质，关键抓住，即可，难度中等。
5.将一长为4，宽为2的矩形沿、的中点、连线折成如下图的几何体，假设折叠后，那么该几何体的正视图面积为〔〕A. 4B.C. 2D.【答案】B【解析】【分析】先确定折叠后形状，再确定正视图形状，最后根据矩形面积公式求结果.【详解】由题意知，折叠后为正三角形，该几何体的正视图是一长为4，宽为的矩形，所以矩形的面积为，应选B．【点睛】由几何体的直观图求三视图．注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向，注意看到的局部用实线表示，不能看到的局部用虚线表示．6.假设函数的最小正周期为，假设将其图象向左平移个单位，得到函数的图象，那么函数的解析式为A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据函数的最小正周期求出的值，再根据函数图象平移写出函数的解析式．【详解】函数的最小正周期为，，将函数图象向左平移个单位，得函数的图象，那么函数．应选：D．【点睛】此题考察了三角函数的图象与性质的应用问题，考察三角平移变换，熟记公式，及变换原那么是关键，是根底题．7.执行如下图的程序框图，输出的结果为A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环构造计算并输出变量的值，利用等比数列的求和公式即可计算得解．【详解】模拟程序的运行，可得该程序的功能是利用循环构造计算并输出变量的值，由于．应选：C．【点睛】此题考察了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是根底题．8.函数的局部图象大致是A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据函数值的变化趋势，取特殊值即可判断．【详解】当时，，故排除C，当时，，故排除D，当时，，故排除B，应选：A．【点睛】此题考察了函数图象的识别，考察了函数值的特点，属于根底题．9.“勾股定理〞在西方被称为“毕达哥拉斯定理〞，国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图〞，用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明如下图的“勾股圆方图〞中，四个一样的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形假设直角三角形中较小的锐角，如今向该大止方形区域内随机地投掷一枚飞镖，那么飞镖落在阴影局部的概率是A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由解三角形得：直角三角形中较小的直角边长为1，由，得此直角三角形另外两直角边长为，进而得小正方形的边长和大正方形的边长，由几何概型中的面积型得解．【详解】设直角三角形中较小的直角边长为1，那么由直角三角形中较小的锐角，得此直角三角形另外直角边长为，斜边长，那么小正方形的边长为，大正方形的边长为，设“飞镖落在阴影局部〞为事件A，由几何概型中的面积型可得：，应选：A．【点睛】此题考察几何概型中的面积型，解三角形、正方形面积公式属中档题．10.，是双曲线E：的左、右焦点，点M在E上，与x轴垂直，，那么双曲线E的离心率为A. B. C. 2 D. 3【答案】A【解析】【分析】根据双曲线的定义，结合直角三角形的勾股定理建立方程关系进展求解即可．【详解】与x轴垂直，，设，那么，由双曲线的定义得，即，得，在直角三角形中，，即，即，即，那么，那么，应选：A．【点睛】此题主要考察双曲线离心率的计算，根据双曲线的定义结合直角三角形的勾股定理，结合双曲线离心率的定义是解决此题的关键．11.假设二项式的展开式中第项为常数项，那么，应满足〔〕A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】先根据二项展开式得，以及，解得，关系.【详解】由题意，的通项为，当即时，所得项为常数项，其中，所以，应满足，应选A.【点睛】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可根据条件写出第项，再由特定项的特点求出值即可.(2)展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第项，由特定项得出值，最后求出其参数.12.函数，要使函数恒成立，那么正实数应满足〔〕A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】先求导数，根据导函数零点分类讨论函数单调性，根据单调性确定最小值取法，最后根据最小值大于零得结果.【详解】由题意，得〔〕，令，由，得.当时，，此时函数在上单调递增，且时，，，，故，不合题意，舍去；当时，，此时函数在上单调递减，在上单调递增，所以，要使函数恒成立，只需，即.应选C.【点睛】不等式有解问题，不等式的恒成立问题，此两类问题都可转化为最值问题，即恒成立⇔，恒成立⇔.二、填空题13.某中学为调查在校学生的视力情况，拟采用分层抽样的方法，从该校三个年级中抽取一个容量为30的样本进展调查，该校高一、高二、高三年级的学生人数之比为4：5：6，那么应从高三年级学生中抽取______名学生．【答案】12【解析】【分析】由分层抽样方法，按比例抽样确定高三年级所占比例即可求解．【详解】由分层抽样可得：应从高三年级学生中抽取名学生，故答案为：12【点睛】此题考察了分层抽样方法，确定抽样比例是关键，属简单题．满足条件，那么的最大值为【答案】1【解析】【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最大值即可．【详解】先根据约束条件画出可行域，当直线过点时，z最大是1，故答案为：1．【点睛】此题主要考察了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于根底题．15.函数是定义域为的偶函数，且为奇函数，当时，，那么__．【答案】【解析】【分析】先由题意，是定义域为的偶函数，且为奇函数，利用函数的奇偶性推出的周期，可得，然后带入求得结果.【详解】因为为奇函数，所以又因为是定义域为的偶函数，所以即所以的周期因为所以故答案为【点睛】此题主要考察了函数的性质，函数性质的变形以及公式的熟记是解题的关键，属于中档题.16.四面体中，底面，，，那么四面体的外接球的外表积为______．【答案】【解析】【分析】根据题意，证明出CD平面ABC，从而证明出CD AC，然后取AD的中点O，可得OC=OA=OB=OD，求出O为外接球的球心，然后求得外表积即可.【详解】由题意，可得BC CD，又因为底面，所以AB CD，即CD平面ABC，所以CD AC取AD的中点O，那么OC=OA=OB=OD故点O为四面体外接球的球心，因为所以球半径故外接球的外表积故答案为【点睛】此题主要考察了三棱锥的外接球知识，找出球心的位置是解题的关键，属于中档题.三、解答题17.在中，内角的对边分别为，，．求边；求的值．【答案】〔1〕6；〔2〕.【解析】【分析】运用诱导公式和正弦定理可得，求得，再由余弦定理计算可得,由余弦定理计算，再由同角的平方关系可得，运用两角差的正弦公式，计算即可得到所求值．【详解】，，，即为，可得，，，解得；，，可得．【点睛】此题考察正弦定理和余弦定理的运用，考察两角和差的正弦公式，以及同角的平方关系，考察运算才能，属于中档题．18.网约车的兴起丰富了民众出行的选择，为民众出行提供便利的同时也解决了很多劳动力的就业问题，据某著名网约车公司“滴滴打车〞官网显示，截止目前，该公司已经累计解决退伍HY人转业为兼职或者专职司机三百多万人次，梁某即为此类网约车司机，据梁某自己统计某一天出车一次的总路程数可能的取值是20、22、24、26、28、，它们出现的概率依次是、、、、t、．〔1〕求这一天中梁某一次行驶路程X的分布列，并求X的均值和方差；〔2〕网约车计费细那么如下：起步价为5元，行驶路程不超过时，租车费为5元，假设行驶路程超过，那么按每超出〔缺乏也按计程〕收费3元计费．根据以上条件，计算梁某一天中出车一次收入的均值和方差．【答案】〔1〕分布列见解析，；〔2〕设梁某一天出车一次的收入为Y元，。
山东省烟台市高考数学二模试卷（理科）含答案解析
13．给定两个单位向量 ， ，它们的夹角为60°．点C在以O为圆弧 上运动，若 =x +y ，其中x，y∈R，则xy的最大值为________．
对于C，根据平面与平面平行的判定定理，可知不正确；
对于D，根据平面与平面垂直的判定定理，可知正确．
故选：D．
7．看函数f（x）在定义域内满足条件：①f（x）+f（﹣x）=0；②f（x）﹣f（x+t）＜0（其中t＞0），则函数f（x）的解析式可以是（ ）
A．y=x+ B．y=tanx C．y= D．y=x3
【考点】函数解析式的求解及常用方法．
【分析】根据已知条件即可判断出f（x）满足定义域为R，为奇函数，增函数，判断每个选项中的函数是否满足f（x）的上面几个条件即可找出正确选项．
【解答】解：∵f（x）+f（﹣x）=0；
∴ห้องสมุดไป่ตู้（x）为奇函数；
f（x）﹣f（x+t）＜0，即f（x+t）＞f（x），t＞0；
∴f（x）在R上为增函数；
山东省烟台市高考数学二模试卷（理科）
一、选择题：本大题共10小题；每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，把正确选项的代号涂在答题卡上．
1．已知i是虚数单位，若复数z满足 =i，则|z|（ ）
A．2 B． C． D．
2．设全集U=R，若集合A={x|y=log2（4﹣x2）}，集合B={y|y=2x﹣1，x∈R}，则集合∁U（A∩B）=（ ）
14．已知圆C：（x﹣2）2+（y﹣3）2=1，（0，3）且斜率为k的直线l与圆C有两个不同的交点M，N，且 • = ，则实数k的值为________．
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高三第二次模拟 数学（理）
一．填空题（本大题满分56分，共14小题，每小题4分） 1．函数)3
2sin()(π
+
=x x f 的最小正周期是__________．
2．若关于x 的不等式2230x x a -+<的解集为(,1)m ，则实数=m _________． 3．（理）已知集合{}{}
331,,0,1<<=-=x x B a A ，若A B ≠∅，则实数a 的取值范围
是 ． 4．已知复数z 满足
1
i
z -＝3，则复数z 的实部与虚部之和为__________． 5．求值：12
20132013
201320132013124(2)C C C -+-
+-=___________．
6．已知向量||).,5(),2,2(k +=-=若不超过
7．设1,0≠>a a ，行列式3
4210
2
3
1D -=x
a
中第3第2列的代数余子式记作y ，函数()x f y =数图像经过点()1,2，则a = ．
8．（理）如图是一个算法框图，则输出的k 的值
是 _______．
9．（理）已知135sin ,53)cos(-==
-ββα，且)0,2
(),2,0(π
βπα-∈∈，则 ______sin =α．
10．（理）设函数⎪⎩⎪⎨⎧∈--∈-=]
1,0[,1)
0,1[,1)(2x x x x x f ，则将)(x f y =的曲线绕x 轴旋转一周所得
几何体的体积为____________．
11．（理）抛掷一枚质地均匀的骰子，记向上的点数是偶数的事件为A ，向上的点数大于2
且小于或等于5的事件为B ，则事件B A 的概率=)(B A P ____________．
12．（理）设定义域为R 的函数⎪⎩⎪
⎨⎧=≠-=)
1(1)1(|1|1
)(x x x x f ，若关于x 的方程
理第
8题，
0)()(2=++c x bf x f 有三个不同的实数解321,,x x x ，则2
3
2221x x x ++=____________．
13.（理）函数1
sin )1()(2
2+++=x x
x x f 的最大值和最小值分别为m M ,，则=+m M ______． 14．（理）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，若不等式2
1222ma n
S a n n ≥+对任意等差数列{}n a 及
任意正整数n 都成立，则实数m 的最大值为._______
二．选择题（本大题满分20分，共4小题，每小题5分）
15. 已知),(11b a A ，),(22b a B 是坐标平面上不与原点重合的两个点，则OA OB ⊥的充要
条件是 （ ）
A ．
12211-=⋅a b a b B.02121=+b b a a C.2
121b b a a = D.1221b a b a = 16.（理）关于直线，m 及平面α，β，下列命题中正确的是
（ ）
A ．若,,//m l =⋂βαα则m l //
B ．若,//,βαl l ⊥则βα⊥
C ．若,//,//ααm l 则m l //
D ．若l m l ⊥,//α，则α⊥m
17. 过点(1,1)P 作直线与双曲线2
2
12
y x -=交于A 、B 两点，使点P 为AB 中点，则这样
的直线 （ ） A ．存在一条，且方程为210x y --= B ．存在无数条 C ．存在两条，方程为()210x y ±+= D ．不存在 18. （理）已知0>a 且1≠a ，函数)(log )(2b x x x f a ++
=在区间),(+∞-∞上既是奇
函数又是增函数，则函数b x x g a -=||log )(的图象是 ( )
三．解答题（本大题满分74分，共5小题）
19. （理）（本题满分12分，第1小题满分6分，第2小题满分6分）
如图：已知⊥AB 平面BCD ，CD BC ⊥，AD 与平面BCD 所成的角为︒30，且2==BC AB ． （1）求AD 与平面ABC 所成角的大小； （2）求点B 到平面ACD 的距离．
20. （本题满分12分，第1小题满分6分，第2小题满分6分）
在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边a ，b ，c 成等比数列． （1）求证：03B π
<≤
；
（2）求1sin 2sin cos B
y B B
+=+的取值范围．
21.（本题满分14分，第1小题满分4分，第2小题满分10分）
设函数)10()1()(≠>--=-a a a k a x f x
x
且是定义域为R 的奇函数．
（1）求k 的值； （2）（理）若2
3)1(=
f ，且)(2)(22x f m a a x
g x x ⋅-+=-在),1[∞+上的最小值为2-，求m 的值．
22.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分8分，第3小题满分6分）
如图，已知点)1,0(F ，直线m ：1-=y ，P 为平面上的动点，过点P 作m 的垂线，垂足为点Q ，且
QP QF FP FQ ⋅=⋅．
（1）求动点P 的轨迹C 的方程；
（2）（理）过轨迹C 的准线与y 轴的交点M 作直线m '与轨迹C 交于不同两点A 、B ，且线段AB 的垂直平分线与y 轴的交点为),0(0y D ，求0y 的取值范围；
（3）（理）对于（2）中的点A 、B ，在y 轴上是否存在一点D ，使得△ABD
为等
A
B C
D
边三角形？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．
23．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分8分，第3小题6分）
（理）已知三个互不相等的正数a ，b ，c 成等比数列，公比为q ．在a ，b 之间和b ，
c 之间共插入n 个数，使这3+n 个数构成等差数列．
（1）若1=a ，在b ，c 之间插入一个数，求q 的值；
（2）设c b a <<，4=n ，问在a ，b 之间和b ，c 之间各插入几个数，请说明理由； （3）若插入的n 个数中，有s 个位于a ，b 之间，个位于b ，c 之间，试比较s 与的大小．。