上海市新初三自主招生讲义专题03 二次方程根的分布(教案)
一元二次方程根的分布教案
一元二次方程根的分布教案
一、教学目标：
1.理解一元二次方程根的分布的含义和基本形式。
2.掌握根据一元二次方程的系数，判断方程根的分布情况的方法。
3.能够根据题目要求，正确地写出方程的解。
4.通过互动环节，增强学生对于知识点的理解和应用能力。
二、教学内容及步骤：
1.讲解一元二次方程根的分布的含义和基本形式。
通过实例引导学生理解一元二次方程根的分布的含义。
介绍一元二次方程根的分布的基本形式。
提出互动问题：让学生尝试根据一元二次方程的系数，判断方程根的分布情况。
2.示范判断方程根的分布的方法。
通过实例示范，让学生掌握判断方程根的分布的方法。
对于不同类型的一元二次方程，强调需要注意的点和技巧。
鼓励学生提出自己的理解和问题，进行即时互动交流。
3.小组讨论与案例分析。
学生分组进行讨论，分享自己对于一元二次方程根的分布的理解和判断方法的应用。
提供一些实际案例，让学生在实际应用中巩固判断方程根的分布的能
力。
鼓励小组之间进行交流和讨论，分享解题思路和方法。
4.题目练习和讲解。
提供一些具有代表性的题目，让学生进行练习。
对于学生的答案和问题，进行即时讲解和纠正。
通过互动环节，引导学生深入思考和理解一元二次方程根的分布的含义和基本形式。
5.回顾与总结。
回顾一元二次方程根的分布的含义和基本形式，强调重点和难点。
总结判断方程根分布的方法和应用技巧。
通过互动环节，鼓励学生提出自己的问题和想法，进行讨论和交流。
二次方程根的分布情况归纳(教师版)
二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳21、一元二次方程ax bx c 0根的分布情况设方程ax bx c 0 a 0的不等两根为X|,X2且X i x?，相应的二次函数为f x ax bx c 0，方程的根即为二次函数图象与x轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件）表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况）根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间夕卜，即在区间两侧为2,（图形分别如下）需满足的条件是f n 0 f n 0对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明： (1)两根有且仅有一根在 m, n 有以下特殊情况：1 若f m 0或f n 0,则此时f mg f n 0不成立，但对于这种情况是知道了方程有一根为 m 或n ，可以求出另外一根， 然后可以根据另一根在区间 m,n ，从而可以求出参数的值。
如方程mx 2 m 2 x 2 0、 2 2 2在区间1,3上有一根，因为f 10，所以mx m 2 x 2 x 1 mx 2，另一根为 ，由13m m2得 m 2即为所求；3 2方程有且只有一根，且这个根在区间m, n ，即 0,此时由 0可以求出参数的值，然后再将参数的值带入方程，求出相应的根，检验根是否在给疋的区间， 如右不在，舍去相应的参数。
如方程x 4mx 2m 6 0有且 一根在区间 3,0 ,求m 的取值围。
分析：①由f 3gf 0 0 即 14m 15 m3 0得出 3 15 m；②由0即 16m 2 4 2m146 0得出m 31 或 m —,2 当m1时，根x23,0 ,即m31满足题意；当m 时，根x 323,0，故 m-不满足题意； 2综上分析，得出3 m至或14m1根的分布练习题例1、已知二次方程 2m 1 x 2 2mx m 1 0有一正根和一负根，数 m 的取值围。
1解：由 2m 1 gf 0 0即 2m 1 m 1 0，从而得m 1即为所求的围。
二次函数根的分布
特点二：(1)-(5)都是两根在同一区间内；(6)-(10) 都是两根在不同的区间内。
现在的问题变成了“如何解决这两类问题？”
分成两组研究: 第一组：(1)-(5) 第二组：(6)-(10)
问题二：方程满足下列条件x2+（m-3)x+m=0， 求m的范围。
（2）有两个负根
解法一：设方程的两实根分别为x1、x2，则
（6） 一个正根，一个负根
解法一：设方程的两实根分别为x1、x2，则
( m 3)2 4m 0
x1x2 m 0
m m0
问题二：方程满足下列条件x2+（m-3)x+m=0， 求m的范围。
（6） 一个正根，一个负根
解法二：设f(x)＝ x2＋(m－3)x＋m，要使二次函数与x轴 的交点分别在x轴的正、负半轴，由图像知只需满足：
思路：通过换元，转化为一元二次方程根的分布问题
解：设t＝2x，则t∈(0,+∞)
t2 (m 3)t m 0 (1)
问题转化为方程（1）有两相异正实根，求m的取值范围。
设 f (t) t2 (m 3)t m ，则
＝(3-m)2 -4m 0
- b =- 3-m >0 2a 2 f ( 0 )=m>0
一元二次方程ax2+bx+c=0 （a>0）根的分布
两个根都小于k
小
y
两个根都大于k
y
两个根都在（k1.k2)内
y
kx
k
x
k1 O
kx 2
结
0
0
b 2a
k
二次函数根的分布
二次函数根的分布二次函数是二次多项式的函数，其一般形式为y=ax^2+bx+c（其中a≠0）。
首先，我们需要了解二次函数的图像特点。
对于二次函数y=ax^2+bx+c，a决定了二次函数的开口方向和开口大小，a>0时开口向上，a<0时开口向下；b决定了二次函数的对称轴位置，对称轴的方程为x=-b/2a；c决定了二次函数与y轴的交点。
其次，我们来探讨二次函数的根的分布。
二次函数的根即方程的解，即使二次方程的解的个数以及位置。
对于一元二次方程ax^2+bx+c=0，我们可以利用判别式来判断解的情况：判别式Δ=b^2-4ac。
1.当Δ>0时，方程有两个不相等的实根。
实根的个数与开口方向无关，只与判别式Δ有关。
-当Δ>0时，方程有两个不相等的实根。
-当Δ=0时，方程有一个实根，这个实根称为方程的重根。
-当Δ<0时，方程无实根，但可以有两个共轭虚根。
值得注意的是，只有在a≠0时，方程为一元二次方程，才能求解二次函数的根。
接下来，我们来分析二次函数根的分布。
1.当Δ>0时，方程有两个不相等的实根。
此时，二次函数与x轴交于两个不同的点，也就是有两个实根。
这两个实根的位置由二次函数的对称轴决定，对称轴的方程为x=-b/2a。
假设根的位置为x1和x2，那么有以下三种情况：-当x1和x2均小于对称轴的x坐标时，二次函数开口向上，根的位置为x1>x2-当x1和x2均大于对称轴的x坐标时，二次函数开口向下，根的位置为x1<x2-当x1小于对称轴的x坐标，x2大于对称轴的x坐标时，一个根位于对称轴的左侧，一个根位于对称轴的右侧。
2.当Δ=0时，方程有一个实根，这个实根称为方程的重根。
此时，二次函数与x轴有且仅有一个交点，也就是有一个实根。
这个实根的位置正好位于二次函数的对称轴上，对称轴的方程为x=-b/2a。
3. 当Δ<0时，方程无实根，但可以有两个共轭虚根。
此时，二次函数与x轴没有交点，也就是无实根。
二次函数根的分布
二次函数根的分布本文介绍了一元二次方程根的分布情况以及与二次函数在闭区间上的最值归纳。
设方程 $ax^2+bx+c$ 的不等两根为$x_1,x_2$，且 $x_1<x_2$，相应的二次函数为$f(x)=ax^2+bx+c$，方程的根即为二次函数图象与 $x$ 轴的交点。
根的分布情况可归纳为三种情况，每种情况对应的均是充要条件。
第一种情况是两个负根即两根都小于 $0$，或两个正根即两根都大于 $0$，或一个正根一负根即一个根小于 $0$，一个大于 $0$。
此时，当 $a>0$ 时，$f(x)$ 最小值为$\frac{\Delta}{4a}$，当 $a<0$ 时，$f(x)$ 最大值为$\frac{\Delta}{4a}$。
第二种情况是两根与 $k$ 的大小比较，即两根都小于 $k$，或两根都大于$k$，或一个根小于$k$，一个大于$k$。
此时，当 $a>0$ 时，$f(k)$ 最小值为 $a(k-x_1)(k-x_2)$，当 $a<0$ 时，$f(k)$ 最大值为 $a(k-x_1)(k-x_2)$。
第三种情况是根在区间上的分布，包括两根都在$(m,n)$ 内，一根在 $(m,n)$ 内，另一根在 $(p,q)$，或两根有且仅有一根在 $(m,n)$ 内。
此时，当 $a>0$ 时，$f(x)$ 最小值为 $f\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right)$，当 $a<0$ 时，$f(x)$ 最大值为 $f\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right)$。
经过观察得出，文章中存在大量格式错误和重复内容，需要进行整理和删减。
同时，需要对每段话进行简单的改写，以提高可读性。
根据图像，可以得出以下结论：1.当mf(n)且f(n)>b，则有f(m)*f(n)<2a；若有f(m)<f(n)且f(n)<b，则有f(m)*f(n)<2a；若有f(m)<f(n)<b，则有f(m)*f(n)<f(p)*f(q)。
二次方程根的分布问题教学课件
介绍根的分布问题的重要性：说明 根的分布问题在解决实际问题中的 应用
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引出根的分布问题：通过实例，引 导学生思考二次方程的根的分布问 题
提出问题：引导学生思考如何பைடு நூலகம்决 根的分布问题，激发学生的学习兴 趣
基本概念：二次方程根的分布是指二次方程的解在数轴上的位置关系 判定方法：通过二次方程的系数和常数项来判断根的分布 实例分析：通过具体的二次方程实例，讲解如何判断根的分布 练习题：提供一些二次方程根的分布练习题，让学生进行练习和巩固
应用案例：引导学 生运用案例中的二 次方程根分布规律 解决实际问题
目的：提高学生自主学习能力和团队协作能力 步骤：将学生分为若干小组，每组分配一个二次方程根的分布问题 讨论内容：学生需要讨论问题的解决方法，并提出自己的见解 教师引导：教师需要适时引导和点评，帮助学生解决问题并提高讨论效果
教师提出问题，引导学生思考 学生回答问题，教师给予反馈 教师引导学生讨论，共同解决问题 教师总结，强调重点和难点
二次方程根的分布是 数学教学中的一个重 要内容，需要教师在 教学中给予足够的重 视和强调。
学生的学习态度：积极、主动、认 真
学生的学习效果：能够解决简单的 二次方程根的分布问题，但遇到复 杂问题时容易出错
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学生的学习方法：掌握基本概念， 理解公式推导，注重实践操作
改进意见和建议：加强基础知识的掌 握，提高解题能力，多进行实践操作， 培养独立思考和解决问题的能力。
二次方程根的分布应用实例
二次方程根的分布问题练习 题
二次方程根的分布问题总结 与反思
二次方程根的分布是 数学中的一个重要概 念，对于理解二次函 数的性质和图像具有 重要意义。
二次函数根的分布(教案)
二次函数根的分布（教案）教学目标：1、进一步理解函数与方程的关系，2、让学生学会借助图像辅助分析（数形结合法） 教学重点：借助图像辅助分析（数形结合法） 一、 知识要点1、 利用Δ与韦达定理研究)0a (0c bx ax 2≠=++的根的分布1）方程有两个正根 2）方程两根一正一负 3）方程有两个负根⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>=>-=+≥-=∆>>00040,02121221a c x x a b x x ac b x x ，则0021<<<a c x x ，则 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>=<-=+≥-=∆<<00040,02121221a c x x a b x x ac b x x ，则2、 借助函数图像研究)0a (0c bx ax 2≠=++的根的分布设一元二次方程02=++c bx ax （0≠a ）的两实根为1x ，2x ，且21x x ≤。
k 为常数。
则一元二次方程根的k 分布（即1x ，2x 相对于k【定理1】⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>->≥-=∆≤<k ab k af ac b x x k 20)(04221，则【定理2】⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<->≥-=∆<≤k ab k af ac b k x x 20)(04221，则【定理3】21x k x <<⇔0)(<k af【定理4】有且仅有11x k <（或2x ）2k <⇔0)()(21<k f k f【定理5】221211p x p k x k <<≤<<⇔⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧><<>>0)(0)(0)(0)(02121p f p f k f k f a 或⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<>><<0)(0)(0)(0)(02121p f p f k f k f a 【定理6】2211k x x k <≤<，则⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧<-<>>>≥-=∆2121220)(0)(004k a b k k f k f a ac b 或⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧<-<<<<≥-=∆2121220)(0)(004k a b k k f k f a ac b二、典型例题例1若一元二次方程0)1(2)1(2=-++-m x m x m 有两个正根，求m 的取值范围。
二次方程根的分布情况归纳(完整版)
二次方程根的分布情况归纳(完整版) 大家好，我今天要和大家聊聊二次方程根的分布情况。
在我们的生活和工作中，二次方程是一个非常常见的数学概念，它在很多领域都有着广泛的应用。
那么，二次方程的根到底有哪些分布情况呢？接下来，我将从三个方面来详细阐述这个问题。
我们来看一下二次方程的一般形式：ax^2 + bx + c = 0。
在这个式子中，a、b、c 分别是二次项、一次项和常数项的系数。
我们需要求解这个方程的根，也就是找到x的值使得上述等式成立。
根据一元二次方程的求根公式，我们可以得到x1、x2是这个方程的两个根，它们满足以下关系：x1 + x2 = -b / ax1 * x2 = c / a接下来，我们来探讨一下二次方程根的具体分布情况。
我们来看一下当a > 0时的情况。
这时候，二次方程有两个实数根，分别为正根和负根。
具体来说，如果b^24ac >= 0,那么x1、x2都是正数；如果b^2 4ac < 0,那么x1、x2中有一个是正数，另一个是负数。
这种情况在现实生活中比较常见，例如我们在解决一些物理问题时，往往需要考虑到物体受到的力的方向和大小，这些因素都会影响到物体的运动轨迹。
我们来看一下当a < 0时的情况。
这时候，二次方程有两个共轭复数根，分别为正根和负根。
具体来说，如果b^2 4ac >= 0,那么x1、x2都是正数；如果b^2 4ac < 0,那么x1、x2中有一个是正数，另一个是负数。
这种情况在现实生活中也比较常见，例如我们在解决一些化学问题时，往往需要考虑到物质之间的反应条件和过程，这些因素都会影响到反应的结果。
我们来看一下当a = 0时的情况。
这时候，二次方程有两个相等的实数根或者一个实数根和一个虚数根。
具体来说，如果b^2 4ac = 0,那么x1 = x2;如果b^2 4ac > 0且a != 0,那么x1、x2中有一个是实数根，另一个是虚数根；如果b^2 4ac < 0且a != 0,那么x1、x2都是虚数根。
根的分布
根的分布【学习目标】:1． 理解在函数的零点两侧函数值乘积小于0这一结论的实质，并运用其解决有关一元二次方程根的分布问题；2.加强学生对数形结合、分类讨论等数学思想的进一步认识． 【教学过程】： 一、复习引入：1．函数2()2(1)421f x m x mx m =+++-,m 为何值时，函数的图象与x 轴有两个零点． 2．二次函数图象的零点两边的函数值之间有关系：二次函数()y f x =的两个零点为)(,2121x x x x ≠，则0)()(>n f m f ⇔21,x x ； 0)()(<n f m f ⇒思考：当关于x 的方程0422=+-ax x 的根是下列条件时，求实数a 的取值范围（1）两根都大于0；（2）两根都大于1；（2）两根在)1,4(--；（3）一根大于1，一根小于1。
结论：一元二次方程2设：f (x )=ax 2+bx定理1 方程f (x⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>->≥∆abm f 20)(0⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<->≥∆ma b o m f 20）（或定理2 方程f (x)=0的两实根在区间（m ，n ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>><-<>∆0)(0)(20n f m f n a b m定理3 方程f (x)=0的两实根分别在区间（p ，q ）与（q ，r ）内的条件是⎪⎩⎪⎨⎧><>0)(0)(0)(r f q f p f定理4 方程f (x)=0的两实根分别在区间（p ，q ）与（r ，s ）（r ≥q ）的条件是 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><<>0)(0)(0)(0)(s f r f q f p f定理5 方程f (x)=0的两实根中一根小于m ，另一根大于n （m ＜n ）的条件是⎩⎨⎧<<0)(0)(n f m f定理6 方程f (x)=0的两实根x 1、x 2满足x 1＜m ＜x 2的条件是提问：方程 小结：⑴若两实根分布在同一开区间．．．（m ，n ），则必须考虑三点： ①判别式△≥0；②对称轴在所给区间内，即m ＜ab2-＜n ； ③在区间端点处函数值的符号，即f (m )＞0且f (n )＞0. ⑵若两实根分布在两个不同的开区间．．．内，则只要考虑在区间端点处函数值的符号. pq rp q r mx 1x 2练习（1）若方程x 2－11x+m=0的两根都大于5，求m 的取值范围.（2）若方程（k 2+1）x 2－2（k+1）x+1=0的两根在区间（0，1）内，求k 的取值范围. （3）方程x 2+（a 2－1）x+a －2=0有一根大于1，另一根小于－1，求a 的取值范围. （4）求实数m ，使方程7x 2－（m+13）x+m 2－m －2=0有两实根，且它们分别在区间（0，1）与（1，2）中.例1、若方程x 2 l g a －2x+1=0的一根大于1，另一根小于1，求实数a 的取值范围. 例2、若关于x 的方程0122=--x ax 在（0，1）内恰有一解，求a 的取值范围． 例3、已知函数f （x ）=mx 2+(m-3)x+1的图象与x 轴有两个不同的交点。
033二次函数根的分布(1)
高一数学学案 序号___033__ 高一 年级 _1_ 班 教师 张杰 学生 _____课 题 二次函数零点的分布（1）一、学习目的函数零点个数问题与参数的取值范围问题，解决问题的主要方法有数形结合、分类讨论、函数与方程的思想，以二次函数问题为核心，结合其它问题二、学习重点、难点 二次函数的根的分布三、学习过程 复习：1、一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的求根公式和韦达定理（根与系数之间的关系）20ax bx c ++=的两根为_____________________；12x x +=______________;12x x =_______________2、函数零点存在的判定方法(零点存在定理)如果函数y =f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 ，那么函数y =f (x )在区间(a ，b )内有零点，即存在c ∈(a ，b )使得 ，这个c 也就是 _____________________________的根.考点1：一元二次方程的根（二次函数的零点）的存在问题例1：函数f(x)=(m+1)x 2+4mx+2m-1的图像与x 轴有两个交点，一个交点，零个交点，则实数m 的取值范围是多少？变式训练1：方程2410x ax a +-+=有两个异号的实根，其中负根的绝对值大于正根的绝对值，求a 的取值范围？考点2：一元二次方程的根（二次函数的零点）的分布问题 （1）根的个数确定的情况例2：若12,x x 是关于x 的方程22(21)10x k x k -+++=的两个实数根，且12,x x 都大于1． 求实数k 的取值范围？例3：已知函数22f ()(1)(2)x x a x a =+-+-的两个零点一个比1大，一个比1小，求a 的取值范围。
例4：已知函数f (x )=x 2-2ax +a 2-1的两个零点都在(-2，4)内，求实数a 的取值范围.变式训练1：已知函数f (x )=x 2+2mx +2m +1.（1）若函数f (x )的两个零点x 1, x 2满足x 1∈(-1,0)，x 2∈(1,2),求m 的取值范围;（2）若方程f (x )=0的两根均在区间（0,1）内，求m 的取值范围.将下列各组条件，转化为不等式组，不需求解。
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1 专题3 二次方程根的分布（教案）前言：当一元二次方程()002≠=++a c bx ax 有实数根时，两个根21x x 、满足特定的条件，从方程对应的函数图像上可以通过系数满足相应的条件反映出来，或者是通过根与系数的关系，加以等价转化。
一、专题知识1. 基本知识一元二次方程()002≠=++a c bx ax 对应的函数为()()02≠++=a c bx ax x f （1）两根都小于0，需满足条件：()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>⋅<->00020f a ab ∆。
（2）两根都大于0，需满足条件：()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>⋅>->00020f a a b ∆。
（3）一根为正，另一根为负，需满足条件：()00<⋅f a 。
（4）两根都小于k ，需满足条件：()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>⋅<->020k f a k ab ∆。
（5）两根都大于k ，需满足条件：()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>⋅>->020k f a k a b ∆。
（6）一根大于k ,一根小于k ，需满足条件：()0<⋅k f a 。
2. 基本结论（1）两根满足n x x m <<<21，需满足条件()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<-<>⋅>⋅>n a b m n f a m f a 2000∆。
（2）两根有且仅有一根满足n x x m <<)(21，需满足的条件：()()0<⋅n f m f 。
2（3）一根满足n x m <<1，另一根满足q x p <<1，其中q p n m <<<，需满足的条件：()()()()⎩⎨⎧<⋅<⋅00q f p f n f m f（4）两根n x m x ><21,，其中n m <需满足的条件：① 当0>a 时，()()⎩⎨⎧<<00n f m f ② 当0<a 时，()()⎩⎨⎧>>00n f m f二、例题分析例题1 已知二次方程()()012122=-+-+m mx x m 有一正根和一负根，求实数m 的取值范围。
【解】 由二次方程()()012122=-+-+m mx x m 有一正根和一负根，只需()()0012<⋅+f m 即()()0112<-+m m ，解得121-<<m ，所以实数m 的取值范围是121-<<m 。
例题2 已知方程()0122=++-m x m x 有两个不等正实根，求实数m 的取值范围。
【解】 由 ()()⎩⎨⎧>-<⇒⎪⎩⎪⎨⎧>->>-+⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>>+>∆022*******004102m m m m m m f m 或2230223-<<⇒+>m m 或223+>m 即为所求的范围。
例题3 已知二次函数()()()334222+++-+=m x m x m y 与x 轴有两个交点，一个大于1，一个小于1，求实数m 的取值范围。
【解】 由()(),12f m ⋅+即()()2120122-<<-⇒<+⋅+m m m 即为所求的范围。
例题4 已知二次方程()04322=+-+x m mx 只有一个正根且这个根小于1，求实数m 的取值范围。
【解】 二次方程()04322=+-+x m mx 在区间()1,0上只有一个正根，则 ()()()310134010-<⇒<+⇒<⋅m m f f所以实数m 的取值范围是31-<m 。
三、专题训练3 专题练习1、设关于x 的方程()0922=+++a x a ax 有两个不相等的实数根21x x 、，且211x x <<，求实数a 的取值范围。
2、设关于x 的方程()0213722=--++-R R x R x 有两个不相等的实数根βα、，且21,10<<<<βα，求实数R 的取值范围。
3、设关于x 的方程()012122=-+-mx x m 的所有根都是比1小的正实数，求实数m 的取值范围。
4、求函数200820062+-=x x y 的图像与x 轴交点的横坐标之和。
5、,,Z n m ∈方程0222=+-n mx x 的两根21x x 、满足32,211<≤<≤βx ，求n m 、的值。
6、若关于x 的二次方程012222=-++k kx x 至少有一个负根，求k 的取值范围。
7、是否存在这样的实数k ，使得二次方程()()023122=+--+k x k x 有两个实数根，且两根都在 2与4之间？如果有，试确定k 的取值范围；如果没有，试说明理由。
48、关于x 的方程()021122=-+-+t x t x 有一根满足011<<-x ，另一根2102<<x ，求实数t 的 取值范围。
9、关于x 的方程0222=--+m mx x 有一根小于1，一根大于1，求实数m 的取值范围。
10、方程0)6()1-2(2=-++m x m x 有一根不大于1－，另一根不小于1.（1）求m 的取值范围； （2）求方程两根平方和的最大值与最小值。
专题作业1、证明：关于x 的方程()()1=---b a x a x 的两根中，一个小于a ，另一个大于a 。
52、已知关于x 的方程030112=++-t x x 的两个根均大于5，求实数t 的取值范围。
3、已知方程06242=++-m mx x 有且只有一个根在区间()-30，内，求实数m 的取值范围。
参考答案专题练习1、解：由于0a ≠，所以方程222(2)90(1)90.ax a x a x x a +++=+++=变形为 设函数22()(1)9,f x x x a =+++由于x x <<11只需0)1(<f 即221(1)90.0.11a a +++<-<<解得 实数a 的取值范围是20.11a -<<2、解：方程227(13)20x R x R R -++--=有两个不相等的实数根,αβ，且01,12,αβ<<<<设函数22()7(13)2,f x x R x R R =-++--则： (0)0(1)0213 4.(2)0f f R R f >⎧⎪<⇒-<<-<<⎨⎪>⎩或故实数R 的取值范围是12-<<R －或.43<<R3、解：2101,m m -==±①时，当1=m ，方程o mx x m =-+-12)1(2的根为21=x ，符合题意； 当21>-=m m ，方程o mx x m =-+-12)1(2的根为21=x ，不符合题意；60m 1≠－时，1±≠m ，方程o mx x m =-+-12)1(2的判别式22121144(1)40,,.11m m x x m m ∆=+-=>==+-其两根为 又原方程的两根均大于0且小于1，只需1101,01 2.11m m m <<<<>+-，解得 综上可知，实数m 的取值范围1=m 或2>m 。
4、解:设0x 是方程2200620080x x -+=的实根，则0x -也是方程2200620080x x -+=的实根，方程2200620080x x -+=的实根为0。
即函数220062008y x x =-+的图像与x 轴交点的横坐标之和为0.5、解：设2()22f x x mx n =-+的两根为32,21,2121<≤<≤x x x x ，则2480(1)(1)220(2)(2)840(3)(3)1860(4)m n f m n f m n f m n ⎧∆=-≥⎪=-+≥⎪⎨=-+≤⎪⎪=-+>⎩ ））－（（32得,0m 26≥＋－即3≥m ））－（（43得 ,0m 210<-＋即5<m 所以Z n m ∈<≤,,5m 3,则3=m 或4m =，把3=m 分别带入））（）（（432得4n = 把4=m 分别带入））（）（（432得7n =或8n = 经检验⎩⎨⎧==84n m 不合题意，所以⎩⎨⎧==43n m 或⎩⎨⎧==74n m6、解：方程012222=-++k kx x 的判别式0)12(4422≥--=∆k k ，解得11≤≤-k即11k -≤≤时，方程有实数根.我们首先考虑其反面，即方程的两根均非负时，设函数22()221f x x kx k =++-，只需 ,22012)0(0222-≤⇒⎪⎩⎪⎨⎧≥->-k k f k ＝可知221-≤≤-k 时，方程的两根均非负。
所以，221-≤≤-k 时，方程012222=-++k kx x 至少有一个负根。
7、解若存在这样的实数k ，使得二次方程2(21)(32)0x k x k +--+=有两个实数根，且两根都在2与4之间，设2()(21)(32),f x x k x k =+--+则7 2(21)4(32)0(2)42(21)(32)0(4)164(21)(32)021242k k f k k f k k k ⎧∆=-++≥⎪=+--+>⎪⎪⎨=+--+>⎪-⎪<-<⎪⎩此不等式组无解，故不存在这样的实数k .8、解：设,21)12()(f 2t x t x x -+-+=由题意可得：34(1)0340113(0)0120.22413403()024t f t f t t t t f t ⎧<⎧⎪⎪->->⎧⎪⎪⎪⎪<⇒-<⇒><<⎨⎨⎨⎪⎪⎪->⎩⎪⎪><⎩⎪⎩，解得 所以当4321<<t 关于x 的方程012222=-++k kx x 有一根满足011<<-x ，另一根2102<<x 9、解：设,22)(f 2m mx x x --+=由题意可得,0221)1(f 2<--+=m m 解得1<m所以当1<m 时，关于x 的方程,22)(f 2m mx x x --+=有一个根小于1有一个根大于110、解：(1)方程0)6()12(2＝-+-+m x m x 的判别式021142>=∆＋）－（m 方程恒有两个不相等的实数根，设2()(21)(6)f x x m x m =+-+-，则 (1)04 2.(1)0f m f -≤⎧⇒-≤≤⎨≤⎩ (2)方程两根平方和22212334()10,44x x m +=-+ 设22212334()10,44y x x m =+=-+由于m 的取值范围是4 2.m -≤≤ 知34m =时，4;4310min -==m y 时，.101max =y 故方程两根平方和的最大值为101，最小值为3104.专题作业1. 证明：方程变形为)1(01)(x 2----=----a x b a ）（设t a =-）（x ，则)2(012----=--bt t8 因为方程）（2的二次项系数为1，常数项01 -，所以方程）（1的两根一个为正数，一个为负数。