香烟过滤嘴问题论文

《香烟过滤嘴问题》论文新疆教育学院数学学院 2011级数学教育定向专科班 20110310468张静2014/4/2香烟过滤嘴的作用问题摘要：为了求解过滤嘴的作用及使用的材料和过滤嘴的长度的关系，我们建立一个描述吸烟过程的数学模型，分析人体吸入的毒物数量与哪些因素有关，以及他们之间的数量表达式。

通过分析比较，我们得出过滤嘴可一定程度上阻碍烟毒进入人体。

关键词：过滤嘴 毒物量 毒物吸收率1）问题的提出普遍认为香烟过滤嘴的作用可使吸烟者对尼古丁和烟焦油等毒物的吸收率减少，肺癌死亡率下降。

这有何根据呢？本节从定量的角度介绍一个模型，描述烟雾通过香烟的过程，分析人体吸入毒物的数量与哪些因素相关，说明过滤嘴的作用与使用的材料和过滤嘴的长度之间的关系。

2）模型机理假设毒物均匀地分布在香烟中，吸烟时点燃处的烟草化为烟雾，毒物由烟雾携带着一部分0q 直接进入空气，另一部分q 沿着香烟穿行。

在穿行过程中，q 又有一部分被未点燃的烟草和过滤嘴吸收而沉积下来，剩下的部分进入人体。

q q :0的数量比例随吸烟的方式、环境等多种因素的变化而不同。

烟雾沿香烟穿行的速度v 随着吸烟动作变化也不断地变化。

为了建立模型，我们希望避开这个复杂的过程。

为此，设想吸烟者是架机器，吸烟的动作、方式及外部环境在整个吸烟过程中不变，于是可以认为毒物随烟雾进入空气和沿香烟穿行的数量比例q q :0、烟雾穿行的速度v 、过滤嘴和烟草对毒物的吸收率等在吸烟过程中都是常数。

香烟燃烧速度u 与v 相比，可认为燃点处于静止状态。

下面用数学语言来描述。

3）模型假设1．点燃处毒物随烟雾进入空气部分0q 和沿香烟穿行部分q 的数量比例是)10( ,:)1(:0<<-=a a a q q ；2．烟雾沿着香烟穿行的速度v 和香烟燃烧速度u 都是常数。

且u v >>；3．未点燃的烟草和过滤嘴对毒物的吸收率（单位时间内毒物被吸收的比例）分别为常数b 和β；4．香烟总长为l ，烟草部分长1l ，则过滤嘴长为1l l -。

整支香烟所含毒物总量M 均匀分布在长1l 的烟草当中。

于是毒物的平均密度10l M w =；5．坐标系如图3-19所示。

设0=t 时刻，在0=x 处点燃香烟，则在ul T 1=时整支香烟燃尽。

图3-19 0)0(=x 香烟点燃状态4）模型建立首先定义几个基本函数：毒物流量),(t x q ：在燃烧过程中的时刻)0( ≥t t ，单位时间内通过香烟截面)0( l x x ≤≤处的毒物量。

烟草毒物密度),(t x w ：在燃烧过程中的时刻)0( ≥t t ，截面)0( 1l x x ≤≤处单位长度烟草中的毒物含量。

烟雾毒物密度),(t x ρ：在燃烧过程中的时刻)0( ≥t t ，截面)0( 1l x x ≤≤处单位长度烟雾内毒物的含量。

则),(),(t x v t x q ρ⋅=。

下面分三个阶段进行建模讨论1． 确定0 =t 瞬间，单位时间内通过x 处的毒物量)0,(x q 。

由假设2中关于u v >>的假定，可以认为燃点0=x 静止不动。

为简单起见，记)()0,(x q x q =，)()0,(x x ρ=ρ。

在] ,[x x x ∆+这一段香烟中，毒物通过x 和x x ∆+的流量之差为)()(x x q x q ∆+-，根据守恒定律这两个流量之差应该等于这一段未燃烟草或过滤嘴对毒物的吸收量，即⎰∆+ρxx x dx x b )(或⎰∆+βρx x x dx x )(。

因此我们有⎪⎩⎪⎨⎧≤<ρβ≤≤ρ=∆+-⎰⎰∆+∆+x x 1x x 1 ,)(0 ,)()()(x x l x l dx x l x dx x b x x q x q ，即⎪⎩⎪⎨⎧≤<ρβ≤≤ρ=∆+ρ-ρ⎰⎰∆+∆+x x 1x x 1 ,)(0 ,)())()((x x l x l dx x l x dx x b x x x v 。

假设)(x ρ可导，令0→∆x ，将上式两边分别求导：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<ρβ-≤≤ρ-=ρl x l x v l x x v b dx d 11 )(0 )(。

再设燃点0=x 处在单位时间内放出的毒物量为H 。

由假设1知aH q =)0(，从而v aH =)0(ρ。

这时，我们构成 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=v aHx v b dx d )0()(ρρρ，解之，得)0( )ex p()(1l x v bx v aH x ≤≤-=ρ。

根据)(x ρ在1l 处的连续性，可知)exp()(11v bl v aH l -=ρ，因而构成⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=)exp()()(11v bl v aH l x v dx d ρρβρ， 解得)( )(exp )(11l x l v x l b v aH x ≤<⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=ββρ，即 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<⎥⎦⎤⎢⎣⎡--≤<⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=)( )(exp )0( exp )(111l x l v x l b v aH l x v bx v aH x ββρ。

当l x =时，))(ex p()()(1v l l b H a l v l q ββρ--⋅⋅==。

2．确定香烟在燃烧过程中任意0>t 时刻，单位时间内通过l x =处的毒物流量),(t l q 。

由假设2知u 为常数，则t 时刻香烟燃至ut x =处。

这时，将第1步中的)(x q 、)(x ρ、H 分别改记为),(t x q 、),(t x ρ、)(t H ，其中)(t H 表示t 时刻点燃的烟草在单位时间内放出的毒物量。

根据与第1步完全类似的推导，只需将第1步中的)(x ρ的表达式中的x 、1l 和H 分别替换为ut x -、ut l -1和)(t H ，即得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-≤<⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=)( )(exp )()0( )(exp )(),(111l x l v x but l b v t aH l x v ut x b v t aH t x ββρ。

由上式直接得出)ex p()(11v but l l bl t H a t l q +---⋅⋅=）（）（，β。

下面首先确定)(t H ：设0>t 时刻ut x =处，单位时间内燃烧的长度u ，又烟草内毒物数量)(t H 的密度为),(t x w ，故),()(t ut w u t H ⋅=。

综合上述q 、ρ、H 三式，得)0( ))(ex p()(1l x v ut x b t ut w v au t x ≤≤--⋅⋅=），（，ρ））（（），（），（v but l l bl t ut auw t l q +---=11ex p β。

现在的任务是确定),(t ut w ： 由假设4记0)0,(w x w =。

随着t 的增长，未点燃的烟草在吸烟过程中不断地吸收烟雾中的毒物，致使),(t ut w 上升，根据守恒定律其增量应该等于单位长度烟雾中的毒物被未点燃的烟草吸收的部分。

即在],[t t t ∆+时间内，t t x b t x w t t x w ∆=-∆+),(),(),(ρ，令0→∆t ，得)0( ),(1l x t x b t w ≤≤⋅=∂∂ρ将),(t x ρ的表达式代入，推得⎪⎩⎪⎨⎧=--=∂∂0)0,(exp w x w v ut x b t ut w v abu t w ））（（），（对上式从0到t 积分：dt v but t ut w v bx v abu w t x w t ⎰-+=00ex p ex p ）（），（）（），（ 以ut x =代入并两端同乘)exp(v but ，得 dt v but t ut w v abu v but w v but t ut w t ⎰+=00ex p ex p ex p ）（），（）（）（），（ 记）（），（）（v but t ut w t f exp =,则上式为dt t f v abu v but w t f t ⎰+=00exp ）（）（）（两端同时对t 求导，并注意到0=t 时00w f =）（，从而得到关于）（t f 的微分方程⎪⎩⎪⎨⎧==-'000exp w f v but v buw t f v abu t f ）（）（）（）（，解之，得⎥⎦⎤⎢⎣⎡---⋅⋅-=））（（）（）（v but a a v but a w t f 1exp 1exp 10。

结合）（t f 的原始表达式，这等价于⎥⎦⎤⎢⎣⎡----=））（（），（v but a a a w t ut w 1exp 110。

于是 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡----==））（（），（）（v but a a a uw t ut uw t H 1exp 110，））（（））（（），（v but l l bl v but a a a auw t l q +---⎥⎦⎤⎢⎣⎡----=110exp 1exp 11β⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+--=）（）（））（（v abut a v but v l l bl a auw exp exp exp 1110β。

3．确定抽完整支香烟时通过l x =处的毒物总量Q 。

抽完整支香烟的时间u l t 1=。

应用积分的方法，易知 ⎰=ul dt t l q Q 10），（⎰--+--=u ldt v abut a v but v l l bl a auw 10110]exp [exp exp 1）（）（））（（β]1ex p 1[ex p 1110））（（））（（）（v bl a v l l b a v aw ------=β回顾10l Mw =，代入上式，得]1exp 1[exp 1111））（（））（（）（v bl a v l l bl a aMv Q ------=β。

5）模型分析根据假设1、4可知，烟雾沿烟草穿行的毒物总量为aM ，过滤嘴长度为1l l -。

下面我们从几个不同的角度分析Q 与β、b 、1l 、l 等因素的关系。

1．注意到Q 的表达式中））（（v l l 1exp --β是使Q 下降的因子。

因此，提高β值，或加大1l l -都能够对Q 起到负指数衰减的效果，并且β和1l l -在数量上增加一定比例时所起的作用相同。

这体现了香烟过滤嘴减少毒物进入人体的作用。

另外，降低穿行速度v 也可减少Q 。

2．记1bl y =，v a-=1α，则在Q 表达式中的）（））（（y f y e v bl a bl ay≡-=----1]1exp 1[111。

当+∞→y 时，0→）（y f ，从而0→Q 。

所以，提高烟草吸收率b ，或加长1l 也有助于减少Q 。

但与β和1l l -对Q 所起的负指数衰减作用相比，增加b 和1l 的效果要小得多。