数学建模香烟过滤嘴作用

数学建模-----微分方程模型香烟过滤嘴的作用问题：尽管科学家们对于吸烟的危害提出了许多的无可辩驳的证据，不少国家的政府和有关部门也一直致力于减少或禁止吸烟，但是仍有不少人不愿抛弃对香烟的嗜好。

香烟制造既要满足瘾君子的需要，又要顺应减少吸烟危害潮流，还要获取丰厚的利润，于是普遍地在香烟上安装了过滤嘴。

过滤嘴的作用到底有多大，与使用的材料和过滤嘴的长度有什么关系，要从定量的角度回答这些问题就要建立一个描述吸烟过程的数学模型，分析人体吸入的毒物数量与哪些因素有关，以及他们之间的数量表达式。

问题描述与分析：吸烟时毒物吸入人体的大致过程时这样的：毒物基本上均匀的分布在烟草中，吸烟时点燃处的烟草大部分化为烟雾，毒物由烟雾携带着一部分直接进入空气，另一部分沿香烟穿行。

在穿行过程中又部分的被未点燃的烟草和过滤嘴吸收而沉积下来，剩下的进入人体。

被烟草吸收而沉积下来的那一部分毒物，当香烟燃烧到哪里的时候又通过烟草部分进入空气，部分沿香烟穿行，这个过程一直继续到香烟燃烧到过滤嘴处为止。

于是我们看到，原来分布在烟草中的毒物除去了进入空气和被过滤嘴吸收的一部分外，剩下的全部被人体吸入。

实际的及烟过程非常复杂并且因人而异，点燃处毒物随烟雾进入空气和沿香烟穿行的数量比例，与吸烟的方式、环境等多种因素有关；烟雾穿过香烟的速度随着吸烟动作的变化而不断地改变；过滤嘴和烟草对毒物的吸收作用也会随烟雾穿行速度等影响而有所变化。

如果要考虑类似于上面这些复杂情况，将使我们寸步难行。

为了能建立一个初步的模型，可以设想一个机器人在典型的环境下吸烟，“他”吸烟的动作、方式及外部环境在整个过程中不变，于是可以认为毒物随烟进入空气和沿香烟穿行的数量比例、烟雾穿行的速度、过滤嘴和烟草对毒物的吸收率等在吸烟过程中都是常数。

模型假设基于上述分析，这个模型的假设如下。

1． 烟草和过滤嘴的长度分别是1l 和2l ，香烟总长度l = 1l +2l ，毒物M （毫克）均匀分布在烟草中，密度为10/M l ω=2． 点燃处毒物随烟雾进入空气和沿香烟穿行的数量比例是a ’:a,a ’+a=1.3． 未点燃的烟草和过滤嘴对随烟雾穿行的毒物的吸收率（单位时间内毒物被吸收的比例）分别是常数b 和β 4． 烟雾沿香烟穿行的速度是常数v ，香烟燃烧速度是常数u ，且v>>u将一支烟吸完,毒物进入人体的总量（不考虑从空气的烟雾中吸入的）记作Q ，在建立模型以得到Q 的数量表达式之前，让我们先根据常识分析一下Q 应与那些因素有关，采取什么方法可以降低Q 。

首先，提高过滤嘴吸收率β 、增加过滤嘴长度2l 、减少烟草中毒物的初始含量M ，显然可以降低吸入毒物量Q 。

其次，当毒物随烟雾沿香烟穿行的比例a 和烟雾速度v 减小时，预料Q 也会降低。

至于在假设条件中涉及的其他因素，如烟草对毒物的吸收率b 、烟草长度1l 、香烟燃烧速度u ，对Q 的影响就不容易估计了。

下面通过建摸对这些作定性分析，对提出的问题作出定量的验证和回答。

模型建立设t=0时在x=0处点燃香烟，坐标系如图1所示。

吸入毒物量Q 由毒物穿过香烟的流量确定，后者又与毒物在烟草中的密度有关，为研究这些关系，定义两个基本函数：毒物流量 q(x,t)表示时刻t 单位时间内通过香烟截面x 处（0≤x ≤l ）的毒物量。

毒物密度 (,)x t ω 表示时刻t 截面x 处单位长度烟草中的毒物含量（0≤x ≤1l ）。

由假设1,0(,0)x ωω=,，图1 x=0处点燃的香烟如果知道了流量函数q(x,t),吸入毒物量Q 就是x=l 处的流量在吸一支烟时间内的总和。

注意到关于烟草长度和香烟燃烧速度的假设，我们得到(,),TQ q l t dt =⎰ 1/T l u = （1）下面分步计算Q 。

1．求t=0瞬间由烟雾携带的毒物单位时间内通过x 处的数量q(x,0)。

由假设4中关于v ﹥﹥u 的假定，可以认为香烟点燃处x=0 静止不动。

为简单起见，记 q(x,0) =q(x) ，考察 (x, x+△x ) 一段香烟（图1），毒物通过 x 和 x+△x 处的流量分别是 q(x) 和q(x+△x)，根据守恒定律这两个流量之差应该等于这一段未点燃的烟草或过滤嘴对毒物的吸收量，于是由假设2、4有11(),,()()(),,bq x o x l q x q x x q x l x l τβτ∆≤≤⎧-+∆=⎨∆≤≤⎩x v τ∆∆=其中 △τ 是香烟穿过 △x 所需时间，令 △x →0得到微分方程11(),0(),bq x x l dq v dx q x l x l vβ⎧-≤≤⎪⎪=⎨⎪-≤≤⎪⎩ (2)在x=0处点燃的烟草单位时间内放出的毒物量记作0H ，根据假设1、3、4可以写出方程（2）的初始条件为000(0),q aH H uw == (3)求解（2）、（3）式时先解出q(x)(0≤x ≤1l )，再利用q(x)在x=1l 处的连续确定q(x)( 1l ≤x ≤l )，其结果为10x l ≤≤ （4） 1l x l ≤≤2、在香烟燃烧过程的任意时刻t ，求毒物单位时间内通过 x=l 的数量q ( l , t).因为在t 时刻香烟燃至x=ut 处，记此时点燃的烟草单位时间放出的毒物量为H （t ）,则H （t ）=(,)uw ut t （5） 根据与第1步完全相同的分析和计算可得11()1()()1(),(,)(),b x ut vb l ut x l v v aH t e ut x l q x t aH t e e l x l β------⎧≤≤⎪=⎨⎪≤≤⎩ （6）实际上在（4）式中将坐标原点平移至x=ut 处即可得到（6）式。

由（5）、（6）式能够直接写出12()(,)(,)b l ut lv vq l t auw ut t eeβ---= （7）110()0(),bxvbl x l v v aH e q x aH e e β----⎧⎪=⎨⎪⎩3.确定w(ut,t)因为在吸烟过程中未点燃的烟草不断地吸收烟雾中的毒物，所以毒物在烟草中的密度w(ut,t)由初始值0w 逐渐增加。

考察烟草截面x 处⊿t 时间内毒物密度的增量w(x,t+⊿t)-w(x,t)，根据守恒定律它应该等于单位长度烟雾中的毒物被吸收的部分，按照假设2、4有w(x,t+⊿t)-w(x,t)=(,)q x t bt v∆ 令0t ∆→并将（5）、（6）式代入得()0(,)(,0)b x ut v w abuw ut t e t v w x w--⎧∂=⎪∂⎨⎪=⎩（8）方程（8）的解为()0''0'(,)1(,)(1)but bxabutv e e v va butv a w x t w e a w w ut t ae a---⎡⎤⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦=-⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩(9)其中a ’=1-a （假设2） 4.计算Q将（9）代入（7）式得120'(,)()bl l but abut v v v vautw q l t e e e ae aβ----=- (10)最后将（10）代入（1）式作积分得到'211/00'(,)(1)l a bl l u vvaw v Q q l t dt eea bβ--==-⎰(11)为便于下面的分析将上式化作12'11'a bl l vve Q aMea bl vβ---=•（12）记'11,()x a bl e r x v x ϕ--==（13）则（12）式可写作2()l vQ aMer βϕ-= （14）（13），（14）式是我们得到的最终结果，表示了吸入有毒物质量Q 与21,,,,,,a M l v b l β等的因素之间的数量关系。

结果分析1. Q 与烟草的含毒物质量的M ，毒物随烟雾沿香烟穿行比例a 成正比*，设想将毒物M 集中在x=l 处，则吸入量为aM 。

2. 因子2l veβ-体现了过滤嘴的减少毒物进入人体的作用，提高过滤嘴吸收率β和增长长度2l 能够对Q 起到负质数衰减的效果，并且β和2l 在数量上增加一定比例时起作用相同。

降低烟雾穿行速度v 也可减少Q 。

设想将毒物M 集中在X=1l 处，利用上述建模方法不难证明，吸入毒物量为2l vaMeβ-。

3. 因子 ()r ϕ表示的是由于未点燃烟草对毒物的吸收而起到的减少Q 的作用。

虽然被吸收的毒物还要被点燃，随烟雾沿香烟穿行的部分的进入人体，但是因为烟草中毒物的密度(,)x t ϖ 越来越高，所以按照固定的比例跑到空气中的毒物增多，相应的减少了进入人体的毒物量。

根据实际资料'1a bl r v=<<1在（13）试()r ϕ 中的re - 取Taylor 展开的前3项可得 ， ()r ϕ1/2r ≈-，于是（14）试为2'1(1)2l va bl Q aMevβ-≈- (15)可知，提高烟草吸收率b 和增加长度1l （毒物量M 不变）对减少Q 的作用是线性的，与β和2l 是负指数衰减作用相比，效果要小得多。

4. 为了更清楚的了解过滤嘴的作用，不妨比较两支香烟，一只是上述模型讨论的，另一支长度为l ，不带过滤嘴，参数0w ，b,a,v与第一支香烟相同，并且吸到x=1l 处就扔掉。

吸第一支香烟和第二支香烟进入人体的毒物量分别记着1,21,Q Q Q 当然可由（11）式给出，Q 2也不必重新计算，只需把第二支烟设想成吸收率为b （与烟草相同）的假过滤嘴香烟就行了，这样由（11）式可以直接写出'2102'(1)bl a bl vvaw v Q e ea b--=-与（11）式给出的Q 1相比，我们得到2()12b l vQ e Q β--=所以只要b β> 就有 Q 1< Q 2，过滤嘴是起作用的，并且，提高吸收率之差b β- 与加长过滤嘴长度l 2，对于降低比例Q 1/Q 2的效果相同，不过提高需要研制新材料，将更困难一些。

评注：这个模型在于基本合理的简化假设下，运用精确的数学工具解决了一个粗看起来不易下手的实际问题，从提出假设，引入两个基本函数q(x,t)和w(x,t)，到运用物理学上常用的守恒定律建立微分方程，从而构造出动态模型，最后到对结果的分析，整个过程可以说是用建模方法解决实际问题的一个范例.11。