3.1.2圆周角
圆周角的几何语言-解释说明
圆周角的几何语言-概述说明以及解释1.引言1.1 概述圆周角是几何学中一个重要的概念，它在解决图形和空间中的问题时发挥着重要作用。
本文将对圆周角的定义、性质和应用进行探讨，以便更好地理解和应用这一概念。
在我们的日常生活和工作中，圆周角也有着广泛的应用，比如在工程设计、建筑规划和地理测量等领域都可以看到圆周角的身影。
通过深入研究圆周角，我们可以更好地理解几何学的原理和规律，为我们的工作和生活带来更多的启发和帮助。
json"1.2 文章结构": {"本文主要分为引言、正文和结论三部分。
引言部分将介绍文章的概述、结构以及研究目的。
正文部分将深入探讨圆周角的定义、性质和应用，通过具体的几何语言和公式来阐述其重要性和应用场景。
结论部分将总结圆周角在几何学中的重要性，并展望未来可能的研究方向和应用领域。
通过以上三个部分的分析和论述，将全面展现圆周角在几何学中的重要地位和应用前景。
"}1.3 目的部分内容:本文的目的是通过深入探讨圆周角的定义、性质和应用，以便读者更全面地理解和掌握圆周角在几何学中的重要性和应用价值。
通过对圆周角的研究，读者可以更好地理解几何学中的基本概念，并且能够应用这些知识解决实际问题。
此外，本文还旨在强调圆周角在数学教育中的重要性，帮助学生建立起对几何学知识的牢固基础，从而为他们未来的学习和职业生涯奠定良好的数学素养。
通过探讨圆周角的几何语言，希望读者能够加深对几何学的理解，提高数学解决问题的能力，并且在学术和职业生涯中取得更大的成功。
2.正文2.1 圆周角的定义圆周角是指以圆心为顶点的角，其两边分别是圆上的两条弧。
具体来说，如果角的两边正好是圆上的一条弧的起点和终点，那么这个角就是圆周角。
在几何学中，圆周角通常用符号“∠”来表示，例如∠ABC。
圆周角的大小可以用其对应的弧长来度量，根据圆周角对应的圆弧的长度可以得出圆周角的度数。
一般来说，一周的圆周角为360度，因此圆周角的度数范围是0到360度之间。
3.1.2 圆周角湘教版九年级下册
定理.
当球员在B,D,E处射门 时,他所处的位置对球 门AC分别形成三个张角 ∠ABC, ∠ADC,∠AEC.
A E B A E
●
C D
这三个角的大小有什么
关系?
O
B D
C
如图1,圆中一段弧 AC 对着许多个圆周角,这些角的大小有
什么关系?为什么?
如图2,圆中 AB EF ,那么∠C和∠G的大小有什么关系? 为什么? C A G
C.29°
2.（重庆·中考）如图，△ABC是⊙O的内接三角形， 若∠ABC =70°则∠AOC的度数等于（
A． 140 C． 120 B． 130 D． 110
）
A O
B
【答案】A
C
3.（潼南·中考）如图，已知AB为⊙O的直径，点C在⊙O 上,∠C=15°,则∠BOC的度数为（ A．15° B. 30° C. 45°
OB上的一点，直线CE与⊙O交于点F，连结AF交直线CD于 点G，AC= 2
2 ,则AG·AF是（
）
C A D G O E B F
A.10 【答案】D
B.12
C.16
D.8
【规律方法】圆周角定理建立了圆心角与圆周角的关系 而同圆或等圆中圆心角、弧、弦之间又存在等量关系，因 此，圆中的角（圆周角和圆心角）、弦、弧等的等量关系 可以互相转化.但转化过程中要注意以圆心角、弧为桥梁.
O
B
B
提示:注意圆心角与圆周角的位置关系.
1.首先考虑一种特殊情况：当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的 一边(BC)上时,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系.
解:∵∠AOC是△ABO的外角，
∴∠AOC=∠B+∠A. ∵OA=OB， ∴∠A=∠B. ∴∠AOC=2∠B.
九年级圆心角、圆周角讲义
圆心角、圆周角知识要点1.圆心角：顶点在圆心的角弧、弦、圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。
弧、弦、圆心角关系定理：在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，它们其余各组量也相等。
2.圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。
推理：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。
3.圆内接四边形的性质圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补。
（外角等于它的内对角） 4.四点公圆的证明一个四边形若有一组对角是直角，则这个四边形的四个顶点一定在同一个圆上，即这个四边形一定有一个外接圆。
基础知识测试： （一）圆心角1.下列命题正确的是（ C ）A 相等圆心角所对的弧相等B 等弧对等弦C 在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等D 相等的圆心角所对的弦相等2.已知弧AB 、弧CD 是同一圆中的两段劣弧，且弧AB ＝2弧CD ，则弦AB 与CD 的关系是（ B ） A AB ＝2CD B AB ＜2CD C AB ＞2CD D 无法判断3.在⊙O 中，P 为直径AB 上一动点，C 、D 为两半圆上的两动点，CD 交AB 于H ，则以下说法：（1）若弧AC ＝弧AD ，则∠APC ＝∠APD ；（2）若PC ＝PD ，则∠APC ＝∠APD ；（3）若∠APC ＝∠APD ，则CH ＝HD 。
其中正确的个数是（ D ）A 0个B 1个C 2个D 3个4.如图，A 、B 、C 为⊙O 上三点，D 、E 分别为)AB 、)AC 的中点，连接DE 分别交AB 、AC 于F 、G ，求证:AF ＝AG .证明：连结OD 、OE ，∵D ，E 分别是)AB 、)AC 的中点，∴OD ⊥AB ，OE ⊥AC ， ∴∠D ＋∠DFB ＝90°，∠E ＋∠EGC ＝90°， ∵OD ＝OE ，∴∠D ＝∠E ，41.如图，若AB ＝B C .则图中与∠ADB 相等的圆周角的个数为 3 .2.如图，直线AB 交圆于点A ，B ，点M 在圆上，点P 在圆外，且点M 、P 在AB 的同则，∠AMB ＝50°，设∠APB ＝x °.当点P 移动时，3.(1)如图，AB 为⊙O 的直径，C ，D ，E 是⊙O 上的三点，则∠1＋∠2的度数＝ 90° .(2)如图，A ，B ，C ，D ，E 是同一圆上顺次的五点，∠CAD ＝80°，则∠ABC ＋∠AED 等于 260° .4. 如图，⊙O 中，若∠AOB ＝100°，则∠C ＝ 50° ，∠D ＝ 130° .5. (1)圆的弦长恰好等于该圆的半径，则这条弦所对的圆周角是 60或120 度. (2)△ABC 内接于⊙O ，∠AOB ＝100°， 则∠ACB ＝ 50或130 度.6.如图，PAB 、PCD 是⊙O 的两条割线，PAB 经过圆心O ，若弧AC ＝弧CD ，∠P ＝30°，则∠BDC 的度数是 110°.7.如图，A 、B 、C 、D 为⊙O 上四点，AB、DC 交于点AD 、BC 交于E 点，若∠E ＝40°，∠F ＝30°， 则∠A 的度数为 55°.B1.如图，在四边形OABC 中，OA ＝OB ＝OC ，若∠ACB ＝35°，则∠AOB 的度数是 70° .2.如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝6，E 是A 8边的中点，是线段BC 边上的动点，将△EBF 沿EF 所在直线折叠得到△EB ’F ，连接B 'D ，则B 'D3.如图，△ABC ，△EFG 均是边长为2的等边三角形，点D 是边BC 、EF 的中点，直线AG 、FC 相交于点M .当△EFG 绕点D 旋转时，求线段BM 长的最小值.解：连结AD 、DG ，根据旋转角相等，旋转前后的对应线段相等，容易发现∠ADG ＝∠FDC ，DA ＝DG ，DF ＝DC ，故∠DFC ＝∠DCF ＝∠DAG ＝∠DG A . 又根据等腰三角形的“三线合一”可知∠FDG ＝90°，所以∠DFG ＋∠DGF ＝90°，即∠DFC ＋∠CFG ＋∠DGF ＝90°.所以∠AMC ＝∠MGF ＋∠CFG ＝∠AGD ＋∠DGF ＋∠CFG ＝∠DFC ＋∠DGF ＋∠CFG ＝90°. 故点M 始终在以AC 为直径的圆上，作出该圆，设圆心为O ，连结BO 与⊙O 相交于点P ，线段BP 的长即为线段BM 长的最小值.BP ＝AO －OP 1.4.如图，△ABC 中，BC ＝4，∠BAC ＝45°，以为半径，过B ，C 两点作⊙O ，连OA ，则线段OA 的最大值综合、提高、创新:【例1】1.如图，BC是⊙O的直径，»AB＝»AF，AD⊥BC于D，BF与AD交于E点(1)求证: AE＝BE:(2)求证BF＝2AD(3)若点A、F把半圆三等分，BC＝12，求AE的长度，解：（1）连AC，如图，∵BC为⊙O的直径，∴∠BAC＝90°，又∵AD⊥BC，∴∠BAD＝∠ACB，又∵»AB＝»AF，∴∠ACB＝∠ABF，∴∠ABE＝∠BAE，∴AE＝BE；（2）∵A，F把半圆三等分，∴∠ACB＝∠CBF＝∠ABF＝30°，∴∠BAD＝30°，在Rt△ABC中，BC＝12，所以AB＝12BC＝6，在Rt△ABD中，AB＝6，所以BD＝12AB＝3，Rt△BDE中，∠CBF＝30°，BD＝3，∴DE＝BE＝AE＝2.如图，△ABC内接于⊙O、AD⊥BC，D为垂足，E是»BC中点，求证：∠EAO＝∠EA D.证明：（1）连接OB，则∠AOB＝2∠ACB，∠OAB＝∠OBA，∵AD⊥BC，∴∠OAB＝12（180°－∠AOB）＝90°－12∠AOB＝90°－∠ACB＝∠DAC，∵E是弧BC的中点，∴∠EAB＝∠EAC，∴∠EAO＝∠EAB－∠OAB＝∠EAC－∠DAC＝∠EA D．（2）连接OE，∵E是»BC的中点，∴弧BE＝弧EC，∴OE⊥BC，∵AD⊥BC，∴OE∥AD，∴∠OEA＝∠EAD，∵OE＝OA，∴∠OAE＝∠OEA，∴∠OAE＝∠EA D．1、如图，AB为直径，CD是弦，AB⊥C D.(1) P是弧CAD上一点(不与C、D重合)，求证：∠CPD＝∠COB .(2)点P’在劣弧CD上(不与C、D重合)时，∠CP’D与∠COB有什么数量关系?请证明你的结论.(1)证明：连接OD，∵AB是直径，AB⊥CD，∴»BC＝»BD∴∠COB＝∠DOB＝12∠CO D．又∵∠CPD＝12∠COD，∴∠CPD＝∠CO B．(2)解：∠CP′D＋∠COB＝180°．理由如下：连接OD，∵∠CPD＋∠CP′D＝180°，∠COB＝∠DOB＝12∠COD，又∵∠CPD＝12∠COD，∴∠COB＝∠CPD，∴∠CP′D＋∠COB＝180°．2、如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，P是AB延长线上一动点，CP交⊙O于Q，DQ交AB于E.试问:当P点在AB延长线上运动时，∠OPC与∠ODQ是否保持某种特定的关系?证明你的结论.∠OPC＝∠ODQ，理由简要如下：延长DO交圆O于F，①圆外角∠P＝1/2(弧AC－弧BD)②OC＝OD，OB⊥CD，∴∠COB＝∠DOB＝∠AOF，∴弧AF＝弧BC，∴弧AC＝弧BF，∴弧AC－弧BD＝弧BF－弧BD＝弧FQ＝1/2∠QDF，∴∠OPC＝∠ODQ1、如图1，锐角△ABC的三个顶点都在⊙O上，高AD、BE所在直线交⊙O于H，AD所在直线交⊙O于G. （1）求证:DH＝DG；（2）将“锐角△ABC”改为“钝角△ABC，∠BAC为钝角”其他条件不变，完成图2，试问（1）中的结论是否仍成立?证明你的结论.图1 图2证明：连接BG∵BE⊥AC，AD⊥BC∴∠BEC＝90，∠ADC＝90∵∠ACB＋∠DHE＋∠BEC＋∠ADC＝360∴∠ACB＋∠DHE＝180∵∠DHE＋∠BHG＝180∴∠ACB＝∠BHG∵∠ACB、∠AGB所对应圆弧都为劣弧AB∴∠ACB＝∠AGB∴∠AGB＝∠BHG∵AD⊥BC∴DG＝DH（等腰三角形中垂线）证明：连接BG∵BE⊥AC，AD⊥BC∴∠BEA＝90，∠ADB＝90∵∠EBD＋∠EAD＋∠BEA＋∠ADB＝360∴∠EBD＋∠EAD＝180∵∠EAD＋∠GAC＝180∴∠EBD＝∠GAC∵∠GAC、∠GBC所对应圆弧都为劣弧GC∴∠GAC＝∠GBC∴∠GBC＝∠EBD∵AD⊥BC，BD＝BD，∴△BDG全等于△BDH，∴DG＝DH2如图，已知△ABC的三个顶点都在⊙O上，过圈心O作BC的垂线交⊙O于P、Q，交BC于D，QP、CA的延长线交于点E，求证:∠BAO＝∠E.证明：作直径AM，连接BM，∵∠C和∠M都对弧AB，∴∠C＝∠M，∵OQ⊥BC，∴∠EQC＝90°，∴∠C＋∠E＝90°，【例4】如图，在直角坐标系中，M为x轴上一点，⊙M交x轴于A、B，交y轴于C、D，P为»BC上的一个动点，CQ平分∠PCD，交AP于点Q，A（－1，0），M（1，0）.（1）求C点的坐标；（2）当P点运动时，线段AO的长度是否会改变？若不变，请证明并求其值：若改变，请说明理由解：(1)由勾股定理易得C(0;(2)当P点运动时，线段AO的长度不会改变，由垂径定理知，»»,AC AD=∴∠P＝∠ACD，∵CQ平分∠PCD，∴∠P＋∠PCQ＝∠ACD＋∠DCQ，即∠ACQ＝∠AQC，∴AQ＝A C.在Rt△OCA中，OC OA＝1，∴AC＝2∴线段AO的长度不会改变，为2.【例5】在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧»AC沿弦AC翻折AB点于点D，连接C D. （1）如图1，若点D与圆心O重合，AC＝2，求⊙O的半径r;（2）如图2，若点D与圆心O重合，∠BAC＝25°，请直接写出∠DCA的度数.解答：(1)如图：过O作OE⊥AC于E，则AE＝11,2AC=∴OE＝1,2r在Rt△AOE中，OE＝1,2r，AE＝1，得r（2）连接BC，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∵∠BAC＝25°，∴∠B＝65°，根据翻折性质，»AC所对的圆周角为∠B，¼ABC所对的圆周角为∠ADC，∴∠ADC＋∠B＝180°，∴∠B＝∠CDB＝65°，∴∠DCA＝∠CDB－∠A＝40°【例6】在⊙O 中，AB 为直径，弦CD ⊥AB 于E ，E 是AO 的中点， P 是»BC上的动点，求PC PD PA+ 的值。
圆周角的性质
圆周角的性质圆周角是指以圆心为顶点的角。
在研究圆周角的性质之前，我们先来了解一下什么是圆上的弧。
一、圆上的弧和弦在圆上任意取两点，这两点所对应的弧，称为圆上的弧。
连接圆上任意两点的线段，称为圆上的弦。
二、圆周角的定义圆周角是由圆上的两条弧所夹的角。
圆周角通常用大写字母表示，且常以所对应的弧的两个端点字母的顺序排列。
例如∠ABC表示由弧AC和弧BC所夹的圆周角。
三、圆周角的性质1.弧所对应的圆周角相等在同一个圆内，若有两条弧所对应的圆周角相等，则这两条弧相等。
即如果∠ABC = ∠ADC，则弧AC = 弧CD。
2.圆周角的度数与所对应的弧的度数相等一个圆的度数为360°，所以一个圆周角的度数不会超过360°。
如果一个圆周角的度数为x°，则它所对应的弧的度数也为x°。
3.同弧对应的圆周角相等在同一个圆内，若有两个圆周角分别对应于同一条弧，则这两个圆周角相等。
即如果∠ABC = ∠DBC，则∠ACB = ∠DCB。
4.圆周角的补角相等若一个圆周角的度数为x°，则它的补角的度数为(360 - x)°。
即∠ABC + ∠DBE = 360°，其中∠ABC和∠DBE是互为补角的两个圆周角。
5.同弦对应的圆周角相等在同一个圆内，若有两个圆周角分别对应于同一条弦，则这两个圆周角相等。
即如果∠ABC = ∠DEB，则∠ACB = ∠DEB。
综上所述，圆周角具有相等的补角、相等的度数、相等的弧以及相等的圆周角所对应的弦等性质。
在解题时，我们可以根据这些性质进行角度的计算和推导。
圆周角定理速记方法
圆周角定理速记方法圆周角定理是几何学中一个重要的概念，它与圆的角度有关。
在本文中，我们将探讨圆周角定理的速记方法，帮助你更轻松地记忆和应用这一定理。
1. 圆周角定理的定义和原理圆周角是指以圆心为顶点的角，它的度数等于所对弧所对应的圆心角的度数。
该定理可以简记为：圆周角 = 弧度。
2. 圆周角的应用圆周角定理在解决很多相关问题时都起到了关键作用。
在求解圆的弦的长度或圆的半径时，我们常常会用到圆周角定理。
通过将圆周角与所对弧相等，我们可以轻松地得出所需的结果。
3. 速记方法一：角度计算为了更好地记忆圆周角定理，我们可以采用一种速记方法。
将圆周角的计算分为两步，先求圆心角，再计算所对弧的角度。
这种方法可以帮助我们更清晰地理解和应用圆周角定理。
步骤如下：3.1 给定弧所对应的圆心角的度数，记作X度。
3.2 根据圆周角定理，圆周角的度数与圆心角相等，所以圆周角的度数也为X度。
3.3 根据圆周角与所对弧相等的原理，弧所对应的角度也为X度。
通过这个速记方法，我们可以快速、准确地计算圆周角，并在解决相关问题时提高效率。
4. 速记方法二：图形形状除了角度计算，我们还可以利用图形形状来记忆圆周角定理。
在一个圆的周围，可以构造一个正六边形，每个顶点都是圆的切点。
这个正六边形的内角都是120度，而每个角所对应的圆周角也都是120度。
通过这个图像，我们可以直观地记忆和理解圆周角定理。
5. 个人观点和理解在学习圆周角定理的过程中，我深刻认识到这个定理在解决圆相关问题时的重要性。
它不仅帮助我们计算角度，还可以衍生出其他有趣的几何关系，如余弦定理、正弦定理等。
通过灵活运用圆周角定理，我们可以更好地理解和解决与圆相关的实际问题。
总结回顾：通过本文，我们详细介绍了圆周角定理的速记方法。
我们从角度计算和图形形状两个方面，提供了记忆和应用圆周角定理的技巧。
这些方法将帮助你更轻松地掌握和运用圆周角定理，并在解决相关问题时提高效率。
圆周角定理在几何学中具有广泛的应用，它不仅是解决圆相关问题的重要工具，还能引导我们更深入地理解几何学的其他定理和概念。
半径所对的圆周角-概述说明以及解释
半径所对的圆周角-概述说明以及解释1.引言1.1 概述圆周角是圆的一个重要性质，它是指从圆心出发所夹的两条弧所对的角。
而半径所对的圆周角则是指一条弧所对的角的顶点处于圆的中心，并且与圆的半径相交。
本文将探讨半径所对的圆周角的性质及其与半径的关系，旨在帮助读者更深入地理解圆的几何特性。
1.2文章结构1.2 文章结构本文将首先介绍圆周角的定义，以便读者了解基本概念。
其次，将详细讨论半径所对的圆周角性质，包括相关定理和推论。
最后，将探讨圆周角与半径之间的关系，分析它们之间的几何性质和相互影响。
通过这些内容的讨论，读者能够深入了解圆周角的相关知识，为进一步学习和研究奠定基础。
1.3 目的本文旨在探讨半径所对的圆周角这一重要概念。
通过深入分析圆周角的定义、性质以及与半径的关系，我们希望读者能够更好地理解这一概念，并且能够应用在实际问题中。
此外，我们也将通过展望部分，展示半径所对的圆周角在数学领域以及其他相关领域中的潜在应用价值，为读者提供更广阔的思考空间和启发。
通过本文的阐述，我们希望读者能够对半径所对的圆周角有一个全面而深入的了解，从而加深对数学知识的理解和掌握。
2.正文2.1 圆周角的定义圆周角是指以圆心为顶点，圆上的一条弧所夹的角。
在直角坐标系中，圆周角的度数通常用弧度来表示，其中一个完整的圆周角等于360度或2π弧度。
圆周角的大小与所夹的圆弧的长度成正比，当圆弧长度为半径的长度时，圆周角大小为一个弧度。
根据圆周角的定义，我们可以得出一个重要定理：弧长相等的两个圆周角是相等的。
这个定理可以方便我们计算圆周角的大小，只需要知道所夹弧的长度和半径的长度即可求得圆周角的大小。
总之，圆周角是一种特殊的角度，它的大小与所夹的圆弧长度成正比，是圆的重要性质之一。
在接下来的内容中，我们将探讨半径所对的圆周角的性质以及圆周角与半径之间的关系。
2.2 半径所对的圆周角性质在一个圆上，一个半径所对的圆周角是一个直角。
这是一个非常重要的性质，也是我们在几何学中经常会应用到的一个定理。
初中数学知识点精讲精析-圆周角和圆心角的关系
3·3圆周角和圆心角的关系要点精讲1.圆周角定义：圆周角(angle in a circular segment)：顶点在圆上，并且角的两边和圆相交的角．两个特征：(1)角的顶点在圆上；(2)两边在圆内的部分是圆的两条弦．2．圆周角定理：同弧所对的圆周角相等，所对的圆周角都等于它所对的圆心角的一半．注意：(1)定理的条件是同一条弧所对的圆周角和圆心角，结论是圆周角等于圆心角的一半．(2)不能丢掉“一条弧所对的”而简单说成“圆周角等于圆心角的一半”．在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．注意：(1)“同弧”指“同一个圆”．(2)“等弧”指“在同圆或等圆中”．(3)“同弧或等弧”不能改为“同弦或等弦”．3．直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．注意：这一推论应用非常广泛，一般地，如果题目的已知条件中有直径时，往往作出直径上的圆周角——直角：如果需要直角或证明垂直时，往往作出直径即可解决问题．4.反证法：注意：用反证法证明命题的一般步骤：(1)假设命题的结论不成立；(2)从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾．(3)山矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确．5.圆内角与圆外角：我们把顶点在圆内(两边自然和圆相交)的角叫圆内角(如图1．顶点在圆外并且两边都和圆相交的角叫圆外角(如图2)．定理：圆内角的度数，等于它所对弧的度数与它的对顶角所对弧的度数之和的一半．圆外角的度数，等于它的两边所夹两条弧的度数的差的一半．典型例题1.已知：⊙O中，所对的圆周角是∠ABC，圆心角是∠AOC．求证：∠ABC＝12 AOC．【解析】证明：∠AOC是△ABO的外角，∴∠AOC＝∠ABO＋∠BAO．∵OA＝OB，∴∠ABO＝∠BAO．∴∠AOC＝2∠ABO．即∠ABC＝12∠AOC．如果∠ABC的两边都不经过圆心(如下图)，那么结果怎样？特殊情况会给我们什么启发吗？你能将下图中的两种情况分别转化成上图中的情况去解决吗？如图(1)，点O在∠ABC内部时，只要作出直径BD，将这个角转化为上述情况的两个角的和即可证出．由刚才的结论可知：∠ABD＝12∠AOD，∠CBD＝12∠COD，∴∠ABD＋∠CBD＝12(∠AOD＋∠COD)，即∠ABC＝12∠AOC．在图(2)中，当点O在∠ABC外部时，仍然是作出直径BD，将这个角转化成上述情形的两个角的差即可．由前面的结果，有∠ABD＝12∠AOD，∠CBD＝12∠COD．∴∠ABD－∠CBD＝12(∠AOD－∠COD)，即∠ABC＝12∠AOC．2.如图示，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到C，使AC=AB，BD与CD的大小有什么关系?为什么?[分析]由于AB是⊙O的直径，故连接AD．由推论直径所对的圆周角是直角，便可得AD⊥BC，又因为△ABC中，AC＝AB，所以由等腰三角形的二线合一，可证得BD=CD．【解析】BD=CD．理由是：连结AD．∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°．即AD⊥BC．又∵AC＝AB,∴BD＝CD．3．为什么有些电影院的坐位排列(横排)呈圆弧形？说一说这种设计的合理性．【解析】有些电影院的坐位排列呈圆弧形，这样设计的理由是尽量保证同排的观众视角相等．4．如下图，哪个角与∠BAC相等?【解析】∠BDC＝∠BAC．5. 如下图，⊙O的直径AB＝10 cm，C为⊙O上的一点，∠ABC＝30°，求AC的长．【解析】∵AB为⊙O的直径．∴ACB=90°．又∵∠ABC=30°， ∴AC=21AB=21×10=5(cm)． 6．小明想用直角尺检查某些工件是否恰好为半圆形，根据下图，你能判断哪个是半圆形?为什么?【解析】图(2)是半圆形、理由是：90°的圆周角所对的弦是直径．7.船在航行过程中，船长常常通过测定角度来确定是否会遇到暗礁，如下图，A 、B 表示灯塔，暗礁分布在经过A 、B 两点的一个圆形区域内，C 表示一个危险临界点，∠ACB 就是“危险角”．当船与两个灯塔的夹角大于“危险角”时，就有可能触礁；当船与两个灯塔的夹角小于“危险角”时，就能避免触礁．(1)当船与两个灯塔的夹角∠α大于“危险角”时，船位于哪个区域?为什么? (2)当船与两个灯塔的夹角∠α小于“危险角”时，船位于哪个区域?为什么? 分析：这是一个有实际背景的问题，由题意可知：“危险角” ∠ACB 实际上就是圆周角，船P 与两个灯塔的夹角为∠α，P 有可能在⊙O 外，P 有可能在⊙O 内，当∠α＞∠C 时，船位于暗礁区域内；当∠α＜∠C 时，船位于暗礁区域外，我们可采用反证法进行论证． 【解析】(1)当船与两个灯塔的夹角∠α大于“危险角” ∠C 时，船位于暗礁区域内(即⊙O 内)，理由是：连结BE ，假设船在(⊙O 上，则有∠α=∠C ，这与∠α＞∠C 矛盾，所以船不可能在⊙O 上；假设船在⊙O 外，则有∠α＜∠AEB ，即∠α＜∠C ，这与∠α＞∠C 矛盾，所以船不可能在⊙O 外．因此．船只能位于⊙O 内．(2)当船与两个灯塔的夹角∠α小于“危险角”∠C时，船位于暗礁区域外(即⊙O 外)．理由是：假设船在⊙O上，则有∠α＝∠C，这与∠α<∠C矛盾，所以船不可能在⊙O上；假设船在⊙O内，则有∠α>∠AEB，即∠α>∠C．这与∠α<∠C矛盾，所以船不可能在⊙O内，因此，船只能位于⊙O外．8.如图，已知在⊙O中，直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分线交⊙O于D．求BC、AD和BD的长．分析：由AB为直径，知∠ACB=90°，又AC、AB已知，可由勾股定理求BC．又∠ADB=90°，AD=DB，由勾股定理可求AD、BD．【解析】∵AB为直径，∴∠ACB=∠ADB=90°，又∵AB＝10cm，AC＝6cm，又∵CD是∠ACB的平分线，∠ACD=∠DCB，∴AD=DB．在 Rt∠ADB中，9.已知AB是⊙O的直径，AE是弦，C是的中点，CD⊥AB于D，交AE于F，CB交AE于G．求证：CF=FG．分析：如图7—107，要证CF=FG，只需证∠FCG=∠FGC．由已知，∠FCG与∠B互余．如果连结AC，∠ACB=90°．∠FGC与∠CAG互余．【解析】证明：连结AC，∵AB为直径，∴∠ACB=90°，∠FGC=90°-∠CAE．又∵CD⊥AB于D，∠FCG=90°-∠B，∴∠FGC=∠FCG．因此，CF=FG．10.如图，AB 是⊙O 的直径. ABCDO(1)若OD ∥AC ，与 的大小有什么关系？为什么？(2)把(1)中的条件和结论交换一下，还能成立吗？说明理由. 【解析】(1)=延长DO 交⊙O 于E . ∵AC ∥OD , ∴=. ∵∠1=∠2, ∴=. ∴=.(2)仍成立，延长DO 交⊙O 于点E ，连结AD . ∵=，=, ∴=. ∴∠3=∠D . ∴AC ∥OD .11.如图，⊙O 上三点A 、B 、C ，AB =AC ，∠ABC 的平分线交⊙O 于点E ，∠ACB 的平分线交⊙O 于点F ，BE 和CF 相交于点D ，四边形AFDE 是菱形吗？验证你的结论. AB CDEFO【解析】四边形AFDE 是菱形.证明：∵∠ABC=∠ACB, ∠ABE=∠EBC=∠ACF=∠FCB. 又∠FAB ，∠FCB 是同弧上的圆周角, ∴∠FAB=∠FCB ，同理∠EAC=∠EBC. 有∠FAB=∠ABE=∠EAC=∠ACF.∴AF ∥ED ，AE ∥FD 且AF=AE. ∴四边形AFDE 是菱形.12.如图是一大型圆形工件被埋在土里而露出地表的部分.为推测它的半径，小亮同学谈了他的做法：先量取弦AB 的长，再量中点到AB 的距离CD 的长，就能求出这个圆形工件的半径.你认为他的做法合理吗？如不合理，说明理由；如合理，请你给出具体的数值，求出半径，与同伴交流.BDCDEO1 23CABD【解析】小亮的做法合理.取AB=8 m ，CD=2 m, 设圆形工件半径为r, ∴r 2=(r －2)2+42. 得r=5(m).13.如图，现需测量一井盖(圆形)的直径，但只有一把角尺(尺的两边互相垂直，一边有刻度，且两边长度都长于井盖的半径)，请配合图形，用文字说明测量方案，写出测量的步骤.(要求写出两种测量方案)【解析】方案1：使角尺顶点在圆上，角尺两边与圆两交点连接就是圆的直径，用刻度尺量出直径.方案2：任画圆的一条弦，用尺量出弦的中点，利用角尺过弦中点做弦的垂线，垂线与圆的两交点间的线段为圆的直径.14.如图，在⊙O 中，AB 是直径，CD 是弦，AB ⊥CD . (1)P 是上一点(不与C 、D 重合)，求证：∠CPD =∠COB .(2)点P ′在劣弧CD 上(不与C 、D 重合)时，∠CP ′D 与∠COB 有什么数量关系？请证明你的结论.BA CDOP【解析】(1)证明：连结OD, ∵AB 是直径，AB ⊥CD, ∴=.∴∠COB=∠DOB=21∠COD. 又∵∠CPD=21∠COD, ∴∠CPD=∠COB. (2)∠CP ′D 与∠COB 的数量关系是：∠CP ′D+∠COB=180°.证明：∵∠CPD+∠CP ′D=180°，∠COB=∠CPD, ∴∠CP ′D+∠COB=180°15.(9分)已知，如图20，AB 是⊙O 的直径,C 是⊙O 上一点,连接AC,过点C 作直线CD ⊥AB 于D(AD<DB),点E 是DB 上任意一点(点D 、B 除外)，直线CE 交⊙O 于点F,连接AF 与直线CD 交于点G.(1)求证：AC 2=AG ·AF ;(2)若点E 是AD (点A 除外)上任意一点，上述结论是否仍然成立？若成立，请画出图形并给予证明；若不成立，请说明理由.AB CD OEGF【解析】(1)证明：连接CB ，∵AB 是直径，CD ⊥AB , ∴∠ACB =∠ADC =90°. ∴Rt △CAD ∽Rt △BAC . ∴得∠ACD =∠ABC . ∵∠ABC =∠AFC , ∴∠ACD =∠AFC . ∴△ACG ∽△ACF . ∴ACAF AG AC. ∴AC 2=AG ·AF . (2)当点E 是AD (点A 除外)上任意一点，上述结论仍成立 ①当点E 与点D 重合时，F 与G 重合, 有AG =AF ，∵CD ⊥AB ，∴=, AC =AF . ∴AC 2=AG ·AF .②当点E 与点D 不重合时(不含点A )时，证明类似①.。
七年级数学上册知识点求角
七年级数学上册知识点求角七年级数学上册知识点——求角数学中，角是一个十分重要的概念，被广泛应用于各种不同的问题中。
因此，在学习数学的过程中，求解角度大小是一项必备的技能。
一、度与弧度的互相转换度和弧度是角度量的两个不同的单位，有时需要将它们进行转换。
1.1 度转弧度：弧度 = 度× π / 1801.2 弧度转度：度 = 弧度× 180 / π例如：将 60 度转换为弧度，则60 × π / 180 = π / 3 弧度。
将π / 3 弧度转换为度，则π / 3 ×180 / π = 60 度。
二、圆周角和中心角一个圆上的任意两点和圆心所组成的角称为中心角，它对应于圆周上的一个弧。
而圆周角，是指对应于整个圆的弧所对的角。
例如：如图，∠ABC 为圆上的中心角，它对应的弧是弧 AC，而圆周角是∠AOC，对应的弧是整个圆周。
三、求解圆周角对于一个圆周角，如果知道了它对应弧所占据的圆心角度数，就可以求解这个角的角度大小。
3.1 已知圆心角求解圆周角：圆周角等于对应圆周上弧的长度与整个圆周的长度之比，再乘以 360 度。
例如：如图，∠AOC 是圆心角，对应的弧是弧 BC，它的长度为 4 cm。
已知这是一个 120 度的圆心角，求解对应的圆周角。
则圆周角= 4 / 2π × 360 = 72 度。
3.2 已知两个圆周上的弧，求解它们所对应的圆周角：先求解这两个弧所对应圆心角的度数，然后再计算出圆周角。
例如：如图，已知弧 AB 长度为 3 cm，弧 CD 长度为 1.2 cm。
求解对应的圆周角。
首先，根据弧长公式可知，圆心角∠AOB 的度数为 3 / 5 × 360 = 216 度，圆心角∠COD 的度数为 1.2 / 5 × 360 = 86.4 度。
接着，根据角度和的关系，圆心角∠AOD 的度数为 360 - 216 - 86.4 = 57.6 度。
圆周角计算公式
圆周角计算公式
圆周角是指圆的周长所对应的角度。
计算圆周角的公式是：圆周角的度数 = 弧
度 / 弧度制下的圆周角的弧度的弧长 = 弧度/ 2π x 半径。
其中，弧度是一个角度单位，定义为弧长等于半径的圆弧所对应的角度。
圆周角的度数通常用度（°）表示，弧度用弧度（rad）表示。
在数学中，圆周角的计算公式是非常重要的，因为它可以帮助我们计算圆的周长、面积以及其他相关的几何性质。
圆周角的计算公式是基于圆的弧长和半径的关系推导出来的。
根据圆的性质，圆的周长等于圆的直径乘以π，圆的弧长等于圆的
周长乘以圆周角的度数除以360。
因此，圆周角的计算公式是通过这些关系推导出
来的。
在实际的数学问题中，我们经常会遇到需要计算圆周角的情况，例如计算圆的
弧长、圆的面积、圆的弧度等。
通过圆周角的计算公式，我们可以轻松地解决这些问题，从而更好地理解和掌握圆的性质和相关的数学知识。
总的来说，圆周角的计算公式是数学中的重要概念，通过学习和掌握这个公式，可以帮助我们更好地理解圆的性质和解决与圆相关的数学问题。
希望以上内容能帮助您更好地理解圆周角的计算公式。
如果您还有其他问题或疑问，欢迎继续提问，我会尽力帮助解答。
谢谢！。
《圆周角》 讲义
《圆周角》讲义一、圆周角的定义在圆中，顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。
需要注意的是，圆周角必须满足两个条件：一是顶点在圆上；二是角的两边都和圆相交。
例如，在圆 O 中，∠AOB 是圆心角，而∠ACB 就是圆周角。
二、圆周角的性质1、同弧或等弧所对的圆周角相等同一条弧所对的圆周角有无数个，但它们的度数都相等。
比如在圆O 中，弧 AB 所对的圆周角∠ACB、∠ADB 等度数相等。
2、半圆（或直径）所对的圆周角是直角半圆所对的圆周角∠ACB ＝ 90°，因为半圆的圆心角是 180°，所以同弧所对的圆周角是圆心角的一半，即 90°。
3、圆内接四边形的对角互补如果四边形的四个顶点都在同一个圆上，那么这个四边形叫做圆内接四边形，圆内接四边形的对角互补。
例如，四边形 ABCD 是圆 O 的内接四边形，那么∠A ＋∠C ＝ 180°，∠B ＋∠D ＝ 180°。
三、圆周角定理圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
证明：假设圆心为 O，圆周角为∠ACB，圆心角为∠AOB。
连接 CO 并延长交圆于点 D。
因为 OA ＝ OC，所以∠A ＝∠ACO。
同理，∠B ＝∠BCO。
所以∠AOB ＝∠A ＋∠B ＝ 2∠ACB，即∠ACB ＝ 1/2∠AOB。
四、圆周角定理的推论1、同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。
2、直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。
五、圆周角的应用1、求角度在解决与圆有关的角度问题时，常常需要运用圆周角的性质和定理。
例如，已知圆 O 中，弦 AB 所对的圆周角为 40°，求圆心角的度数。
因为同弧所对的圆周角是圆心角的一半，所以圆心角为 80°。
2、证明直角在几何证明中，如果条件中涉及到直径，往往可以考虑利用直径所对的圆周角是直角这一性质来证明直角。
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B O
E
·
D
C
圆周角在我们生活中处处可见，比如， 圆周角在我们生活中处处可见，比如，我们从团旗上的图 案抽象出如图所示图形，图形中就有很多圆周角． 案抽象出如图所示图形，图形中就有很多圆周角．
探 究
量出∠ 的度数， 量出∠BAC与∠BOC的度数，它们有什么关系？ 与 的度数 它们有什么关系？
A
每位同学画一个圆，然后任 每位同学画一个圆， 意画一个圆周角， 意画一个圆周角，以及相应的 圆心角（ 圆心角（它所对的弧也是圆周 角所对的弧）， ），量出它们的度 角所对的弧），量出它们的度 看它们之间有什么关系？ 数，看它们之间有什么关系？ ∠BAC= 1 ∠BOC
A
1 ∵∠BAD= ∠BOD ∵∠ 2 1 ∠CAD= ∠COD B 2 1 ∴∠BAD－CAD= （∠BOD-∠COD） ∴∠ － ∠ ） 2 1 ∴∠BAC= ∠BOC ∴∠ 2 综上所述，我们证明了下述定理： 综上所述，我们证明了下述定理：
C D
定理2 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． 定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．
动脑筋
利用定理2 以及圆心角与所对的弧的关系， 利用定理2，以及圆心角与所对的弧的关系， 定理 你能说出下述结论成立的道理吗？ 你能说出下述结论成立的道理吗？ A D C
·O B C
A
· O
B
在同一圆（或相等的圆） 在同一圆（或相等的圆）中，同弧或等弧所对的圆周角相等； 同弧或等弧所对的圆周角相等； 反之，相等的圆周角所对的弧相等. 反之，相等的圆周角所对的弧相等. 直径（或半圆）所对的圆周角是直角；反之，90° 直径（或半圆）所对的圆周角是直角；反之，90°的圆周角所对的 弦是直径. 弦是直径.
∠ABC+ ∠CAB= 90°－ ∠CAB = 90°－ 65°= 25° ° ° ° °
2. 如图在圆 中,弦AB与CD相交于点 如图在圆O中 弦 与 相交于点 相交于点M. 相等吗?为什么 ⑴∠ACD与∠ABD相等吗 为什么 与 相等吗 为什么? ∠ACD=∠ABD ∠ 同弧所对的圆周角相等. 同弧所对的圆周角相等 ⑵ ∠CAB与∠CDB相等吗 为什么? 与 相等吗?为什么 相等吗 为什么 ∠CAB=∠CDB ∠ 同弧所对的圆周角相等. 同弧所对的圆周角相等 相似吗?为什么 ⑶ △ACM与△DBM相似吗 为什么 与 相似吗 为什么? ∵∠ACD= ∠ ABD ∵∠ ∠ CAB=∠CDB ∠ ∴△ACM∽△DBM ∽ A C B · M · O D
O · C
B
2
与同桌或邻近桌的同学交流， 与同桌或邻近桌的同学交流，猜测一条弧所对的圆周角 与圆心角有什么关系．你能证明这个猜测吗？ 与圆心角有什么关系．你能证明这个猜测吗？ ∠BAC= 1 ∠BOC
2
圆周角的一边通过圆心． 情形一 圆周角的一边通过圆心． A 如图 圆O中，∠BAC的一边 通过圆心． 的一边AB通过圆心 中 的一边 通过圆心． 由于OA=OC，因此∠C=∠BAC， ，因此∠ ∠ 由于 ， 从而∠ 从而∠BOC=∠C+∠BAC ∠ ∠ =2∠BAC， ∠ ， 即∠BAC= 1 ∠BOC
2
O·
C
B
情形二 圆心在圆心角的内部 如图， 的内部． 如图，圆O在∠BAC的内部．作直径 ， 在 的内部 作直径AD， 根据情形一的结果得
1 ∠BOD 2 ∠BAD = —————， ， 1 ∠ DOC 2 ∠DAC = —————． ．
A
O· C B D
从而∠ 1 ∠ BOC 2 = ——————
1 ( ∠ BO D + ∠ D O C ) 2 = ——————
圆心在圆周角的外部． 情形三 圆心在圆周角的外部．
如图，圆心 在 的外部． 如图，圆心O在∠BAC的外部． 的外部 1 你能证明∠ 你能证明∠BAC= ∠BOC吗？ 吗 2 证明: 证明 作直径AD 作直径 ·O
观
察
3.1.2 圆周角
A
如图， 有什么特点？ 如图，∠BAC有什么特点？ 有什么特点
O 的顶点A在圆上 ∠BAC的顶点 在圆上， 的顶点 在圆上， 它的两边都与圆相交. 它的两边都与圆相交 B
·
C
顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫作圆周角． 顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫作圆周角 圆周角
A
练习
1.如图 如图,AB是圆 的一条直径 ∠CAB=65°, 是圆O的一条直径 如图 是圆 的一条直径, ° 求∠ABC的度数 的度数
解:
因为AB是直径 因为 是直径 所以∠ 所以∠C = 90° ° 所以△ 所以△ABC为直角三角形 为直角三角形 ∠ABC+ ∠CAB= 90° ° A
C · O B