数列前n项和(分组求和法)教案资料
等比数列求和教案
课题：等比数列的前n项和（一课时）教材：浙江省职业学校文化课教材《数学》下册（人民教育出版社）一、教材分析●教学内容《等比数列的前n项和》是中职数学人教版（基础模块）（下）第六章《数列》第四节的内容。
是数列这一章中的一个重要内容, 就知识的应用价值上看，它是从大量数学问题和现实问题中抽象出来的一个模型，在现实生活中有着广泛的实际应用，如储蓄、分期付款的有关计算等,另外公式推导过程中所渗透的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程等思想方法,都是学生今后学习和工作中必备的数学素养．就内容的人文价值来看，等比数列的前n项和公式的探究与推导需要学生观察、归纳、猜想、证明，这有助于培养学生的创新思维和探索精神,同时也是培养学生应用意识和数学能力的良好载体．二、学情分析●知识基础：前几节课学生已学习了等差数列求和，等比数列的定义及通项公式等内容,这为过渡到本节的学习起着铺垫作用.●认知水平与能力：高二学生具有自主探究的能力，能在教师的引导下独立、合作地解决一些问题，但从学生的思维特点看，很容易把本节内容与等差数列前n项和公式的形成、特点等方面进行类比，这是积极因素，应因势利导．不利因素是：本节公式的推导与等差数列前n项和公式的推导有所不同，这对学生q 这一特殊情况，学生也往往容易忽略，尤的思维是一个突破，另外，对于1其是在后面使用的过程中容易出错．三、目标分析依据教学大纲的教学要求，渗透新课标理念，并结合以上学情分析，我制定了如下教学目标：1.教学目标●知识与技能目标理解用错位相减法推导等比数列前n项和公式的过程，掌握公式的特点，并在此基础上能初步应用公式解决与之有关的问题．●过程与方法目标通过对公式的研究过程，提高学生的建模意识及探究问题、培养学生观察、分析的能力和协作、竞争意识。
●情感、态度与价值目标通过学生自主对公式的探索，激发学生的求知欲，鼓励学生大胆尝试、勇于探索、敢于创新，磨练思维品质，培养学生主动探索的求知精神和团结协作精神,感受数学的美。
数列的通项公式及前n项和的求法(自己整理的学案)
数列：通项公式的求法一 、公式法(定义法)：适用于等差或等比数列等差数列的通项公式： 1(1)n a a n d =+-；等比数列的通项公式： 11n n a a q -= 等差数列的定义： 1n n a a d --=；变式：112n n n a a a +-=+，1n n a a d -=+； 等比数列的定义：1n n a q a -=；变式：211n n n a a a +-=，1n n a qa -=； 二 、利用n S 求n a （知n S 求n a ）⎩⎨⎧-=-11n n n S S S a )2()1(≥=n n ； 利用n S 求n a 一般为三步：（1）当n=1时利用S 1＝a 1求出a 1 （2）当2n ≥时，利用1n n n S S a --=求出n a ； （3）检验a 1的值合不合由第二步求出的n a 的表达式； 例一：数列{a n }中，S n 是其前n 项和，若S n ＝2a n －1， ((1)求1a 的值(2)求数列的通项公式a n解：（1）当n=1时，有S 1＝2a 1－1即a 1＝2a 1－1求得a 1=1；（2）当2n ≥时，S n ＝2a n －1① S n-1＝2a n-1－1②； ①—②有a n ＝2a n —2a n-1 得1122n n n n a a a a --=⇒=，所以{a n }为一以2为公比1为首项的等比数列，所以11122n n n a --=⨯= （3）经检验，11a =也合12n n a -=，所以数列{a n }的通项公式为12n n a -=。
练习1、数列{a n }的各项为正数， 11a =且有2211230n n n n a a a a ++--=，则{a n }的通项公式是__________．2、已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝3n ＋n ，则数列的通项公式a n ＝________.3、各项都为正数的数列{a n }中，有11a =且331log 3log n n a a --=，则通项公式a n ＝________.4、数列{a n }中，11a =，且当1n >时有13n n a a -=，求数列的通项公式a n ________.5、数列{a n }中，11a =且点1(,)n n a a +在直线2y x =-上，通{a n }的通项公式为________.6、数列{a n }中，S n 是其前n 项和，若2S n ＝3a n —3，(1)求1a 的值(2)求数列的通项公式a n三、形如sra pa a n n n +=--11型（取倒数法）例3. 已知数列{}n a 中，21=a ，)2(1211≥+=--n a a a n n n ，求通项公式n a解：取倒数：⇔+=-2111n n a a 2111=--n n a a 1113(1)222n n n a a ∴=+-⋅=- 2.43n a n ∴=- 练习1。
数列的前n项和求解方法(优质课)教案
数列的前n 项和求解方法（优质课）教案教学目标：教学重点： 掌握数列前n 项和的求和方法，公式法、倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、分组转化求和法、并项求和等方法的应用。
教学难点： 了解数列求和的方法的应用。
教学过程：一、数列求和基本方法1．拆项求和法：将一个数列拆成若干个简单数列（如等差数列、等比数列、常数数列等等），然后分别求和.2．并项求和法：将数列的相邻的两项（或若干项）并成一项（或一组）得到一个新的且更容易求和的数列.3．裂项求和法：将数列的每一项拆（裂开）成两项之差，使得正负项能互相抵消，剩下首尾若干项. 4．错位求和法：将一个数列的每一项都作相同的变换，然后将得到的新数列错动一个位置与原数列的各项相减，这是仿照推导等比数列前n 项和公式的方法.5．反序求和法：将一个数列的倒数第k 项（k =1，2，3，…，n ）变为顺数第k 项，然后将得到的新数列与原数列进行变换（相加、相减等），这是仿照推导等差数列前n 项和公式的方法. 二．常用结论（1）1nk k ==∑ 1+2+3+...+n =2)1(+n n （2）1(21)nk k =−=∑1+3+5+...+(2n-1) =2n（3）31nk k ==∑2333)1(2121⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=+++n n n（4）21nk k ==∑)12)(1(613212222++=++++n n n n （5）111)1(1+−=+n n n n)211(21)2(1+−=+n n n n （6）)()11(11q p qp p q pq <−−=类型一： 用公式法、倒序相加法求数列的和 例1. 求和：.3521ln ln ln ln n n S x x x x −=++++解析：法一：①则 ②∴①+②有：∴法二：.答案：见解析练习1. 求和.答案：∴∴∴ 例2. 数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知()211,1,1,2,2n n a S n a n n n ==--=鬃? （Ⅰ）写出n S 与1n S -的递推关系式()2n ³，并求n S 关于n 的表达式；（Ⅱ）设()1n n n n b S x x R n +=?，求数列{}n b 的前n 项和n T 。
数列求和(公开课)
4.裂项相消法：把数列的通项拆成两项之 差，即数列的每一项都可按此法拆成两 项之差，在求和时一些正负项相互抵消， 于是前n项的和变成首尾若干少数项之和， 这一求和方法称 为裂项相消法.
5.倒序相加法：如果一个数列 an ，与首末 两项等距的两项之和等于首末两项之和， 可采用把正着写与倒着写的两个和式相加， 有公因式可提，并且剩余的项的和可求出来， 这一求和的方法称为倒序相加法。
课堂诊断
1 1 1 1 ． 数 列 ， ， ， „ ， 2· 5 5· 8 8· 11 1 ，„的前 n 项和为( B ) (3n－1)· (3n＋2) n n A. B. 3n＋2 6n＋4 n＋1 3n C. D. 6n＋4 n＋2
2 －1 2．已知数列{an}的通项公式是 an＝ n ， 2 321 其前 n 项和 Sn＝ ，则项数 n 等于( D ) 64 A．13 B．10 C．9 D．6
1 2 n 变式、求和： S n 2 n a a a
【解析】 (1)a＝1 时，Sn＝1＋2＋„＋n＝ n(n＋1) ； 2 1 2 3 n (2)a≠1 时，Sn＝ ＋ 2＋ 3＋„＋ n① a a a a n－1 1 1 2 n S n ＋ n＋1② n＝ 2＋ 3＋„＋ a a a a a 由①－②得
1 1 1－ n 2 2 1 ＝2 n－ ＝2n－1－ + 1 2n 1－2 1 ＝2n－2＋ n－1. 2
思维升华：要求和，先弄清通项（长什么 样用什么样的方法）！
错位相减法
例3、数列 {an }中a1 3,已知点（an , an 1）在 直线y x 2上， （ 1 ）求数列 {an }的通项公式； （2）若bn an 3 , 求数列 {bn }的前n项的和Tn .
等差数列前n项和教案
等差数列前n项和优秀教案第一章：等差数列的概念1.1 等差数列的定义引导学生了解等差数列的定义，即从第二项起，每一项与它前一项的差都是一个常数，这个常数叫做等差数列的公差。
通过示例让学生理解并掌握等差数列的定义。
1.2 等差数列的性质引导学生学习等差数列的性质，如等差数列的通项公式、相邻项的关系等。
通过示例让学生应用等差数列的性质解决问题。
第二章：等差数列的前n项和2.1 等差数列前n项和的定义引导学生了解等差数列前n项和的定义，即前n项的和。
通过示例让学生理解并掌握等差数列前n项和的定义。
2.2 等差数列前n项和的公式引导学生学习等差数列前n项和的公式，即S_n = n/2 (a_1 + a_n)，其中S_n 表示前n项的和，a_1表示首项，a_n表示第n项。
通过示例让学生应用等差数列前n项和的公式解决问题。
第三章：等差数列前n项和的性质3.1 等差数列前n项和的性质引导学生学习等差数列前n项和的性质，如前n项和与项数的关系、前n项和与首项和末项的关系等。
通过示例让学生应用等差数列前n项和的性质解决问题。
3.2 等差数列前n项和的计算方法引导学生学习等差数列前n项和的计算方法，如高斯求和法、分组求和法等。
通过示例让学生应用等差数列前n项和的计算方法解决问题。
第四章：等差数列前n项和的应用4.1 等差数列前n项和在实际问题中的应用引导学生了解等差数列前n项和在实际问题中的应用，如计算工资、统计数据等。
通过示例让学生应用等差数列前n项和解决实际问题。
4.2 等差数列前n项和在数学竞赛中的应用引导学生了解等差数列前n项和在数学竞赛中的应用，如解决数列问题、证明数学定理等。
通过示例让学生应用等差数列前n项和解决数学竞赛问题。
第五章：等差数列前n项和的拓展5.1 等差数列前n项和的拓展知识引导学生学习等差数列前n项和的拓展知识，如等差数列的求和公式、等差数列的极限等。
通过示例让学生了解等差数列前n项和的拓展知识。
等差数列求和公式教案
过 多媒体演示：
加的方法。
堆放的钢管共 21 层，自上而下各
项和公式的推导的讲解打 下基础。
层的钢管数组成等差数列
1,2,3,4，… 21，求钢管的总数。
程 通过多媒体演示堆放的
观 看 并 思 考 大 屏 钢管求和的例子，使学生 幕 上 演 示 的 堆 放 的 形象的感受并建立倒序相 钢管的总数，通过多 加的思想，从而引发学生 媒 体 演 示 观 察 出 倒 想到用同样的方法推导等 序相加的方法。 差数列的前 n 项和的公 7’
情感态度 价值观
一般到特殊的思维规律，初步形成认识问题、解决问题的一般思路 和方法； 2、通过与生活实际相联系的例题及习题，使学生了解数学在生活中
的实用性，渗透学以致用的思想。
教学重点 等差数列的前 n 项和的公式及其应用
教学难点 等差数列的前 n 项和的公式的推导
教学方法 讲授法、启发法、分组教学法
象，便于更好的掌握。 形公式并记忆。
提问学生用通项公式将上式展
开得：Sn = a1 +（ a1 + d）+（ a1 +2 d）
+……+[ a1 +（n -1）d]
利用倒序相加的思想将 Sn 写成
通过例题 1 要让学生 思考，与老师共同
程
Sn = an + an1 + an2 +……+ a1
学会应用等差数列的求 分析求解，找到公式
(1100) (2 99) (3 98)... (50 51)
学 50 101
5050
引导学生在不同的类型 的等差数列中充分讨论高 斯算法，
问题 1：
通过详细此题，使学生 整理思路，通过这 初 步 感 受 倒 序 相 加 的 方
数列求和公开课教案(1)
数列求和公开课教案(1)-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN《数列求和复习》教学设计开课时间：2016/12/22 开课人：洪来春一、学情分析：学生在前一阶段的学习中已经基本掌握了等差、等比数列这两类最基本的数列的定义、通项公式、求和公式，同时也掌握了与等差、等比数列相关的综合问题的一般解决方法。
本节课作为一节复习课，将会根据已知数列的特点选择适当的方法求出数列的前n项和，从而培养学生观察、分析、归纳、猜想的能力、逻辑思维能力以及演绎推理的能力。
二、教法设计：本节课设计的指导思想是：讲究效率，加强变式训练、合作学习。
采用以具体题目为切入点，引导学生进行探索、讨论，注重分析、启发、反馈。
先引出相应的知识点，然后剖析需要解决的问题，在例题中巩固相应方法，再从讨论、反馈中深化对问题和方法的理解，从而较好地完成知识的建构，更好地锻炼学生探索和解决问题的能力。
在教学过程中采取如下方法：（1）诱导思维法：使学生对知识进行主动建构，有利于调动学生的主动性和积极性，发挥其创造性；（2）讲练结合法：可以及时巩固所学内容，抓住重点，突破难点。
三、教学设计：1、教材的地位与作用：对数列求和的考查是近几年高考的热点内容之一，属于高考命题中常考的内容；另一个面，数学思想方法的考查在高考中逐年加大了它的份量。
化归与转化思想是本课时的重点数学思想方法，化归思想就是把不熟悉的问题转化成熟悉问题的数学思想，即把数学中待解决或未解决的问题，通过观察、分析、联想、类比等思维过程，选择恰当的方法进行变换、转化，归结到某个或某些已经解决或比较容易解决的问题上，最终解决原问题的一种数学思想方法；化归思想是解决数学问题的基本思想，解题的过程实际上就是转化的过程。
2、教学重点、难点：教学重点：根据数列通项求数列的前n项，本节课重点复习分组求和与裂项法求和。
教学难点：解题过程中方法的正确选择。
3、教学目标：(1)知识与技能：会根据通项公式选择求和的方法，并能运用分组求和与裂项法求数列的前n项。
数列求和的七种方法｜数列求和教案
数列求和是知识掌握的重点，下面是为大家带来的数列求和教案，希望能帮助到大家!数列求和教案篇一汉滨高中李安锋教学目标:知识目标①复习等差和等比数列的前n项和公式、回忆公式推导过程所用倒序想加和错位相减的思想方法,及用数列求和公式求和时,应弄清基本量中各基本量的值,特别是用等比数列求和公式求和时,应关注公比q是否为1;②记住一些常见结论便于用公式法对数列求和;③学会分析通项的结构并且对通项进行分拆;能运用拆并项求和思想方法解决非特殊数列求和问题。
能力目标培养学生用联系和变化的观点,结合转化的思想来分析问题和解决问题的能力。
情感目标培养学生用数学的观点看问题,从而帮助他们用科学的态度认识世界. 教学重点与难点教学重点等差等比数列求和及特殊数列求和的常用方法教学难点分析具体数列的求和方法及实际求解过程.教学方法、手段通过设问、启发、当堂训练的教学程序,采用启发式讲解、互动式讨论、反馈式评价的授课方式,培养学生的自学能力和分析与解决问题的能力,借助幻灯片辅助教学,达到增加课堂容量、提高课堂效率的目的,营造生动活泼的课堂教学氛围. 学法指导为了发挥学生的主观能动性,提高学生的综合能力,确定了三种学法(1)自主性学习法,(2)探究性学习法,(3)巩固反馈法,教学过程(一)情景导入复习回顾:等差数列和等比数列的前n项和公式?n(a1?an)n(n?1)?na1?d 等差数列求和公式Sn?22(q?1)?na1? 等比数列求和公式Sna1(1?qn)a1?anq ?(q?1)?1?q?1?q 教师引导学生回忆数列几种常见的求和方法?①公式法②分组求和法③裂项相消法④错位相减法(充分发挥学生学习的能动性,以学生为主体,展开课堂教学)(二)自学指导若已知一个数列的通项,如何对其前n项求和?①an?3n ②an?3n?2n?1 ③an?n(n?1)④an?1 ⑤an?n?3n n(n?1)(通过学生对几种常见的求和方法的归纳、总结,结合具体的实例、简单回忆各方法的应用背景.把遗忘的知识点形成了一个完整的知识体系)巩固检测题(1) a?a2?a3?an?________(2) 1+3+5+?+(2n+1)=(3)12?22?32n2?(复习等差与等比数列的求和公式:(1)中易忘讨论公比是否为1(2)中易错项数(3)与(4)是为用公式法求和作铺垫.)(三)例题展示例设Sn=1-3+5-7+9++101 求Sn分析: 拆并项求和思路? Sn=(1-3)+(5-7)+(9-11)+(97-99)+101=?Sn=1+(-3+5)+(-7+9)+(-11+13)+(-99+101)=? Sn=(1+5++101)-(3+7++99)=意图通过一题多解,开阔学生的思维.，分析①②③培养学生的拆项求和与并项求和的意识, 比较分析①②思考应留下。
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1.求数列的前n 项和：ΛΛ,231,,71,41,
1112-++++-n a
a a n
2.数列{a n }的通项公式a n ＝n cos n π2，其前n 项和为S n ，则S 2012等于( )
A. 1006
B. 2012
C. 503
D. 0
3.设f (x )＝12x ＋2
，则f (－9)＋f (－8)＋…＋f (0)＋…＋f (9)＋f (10)的值为________．
4.求︒+︒+⋅⋅⋅+︒+︒+︒89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222的值。
5.求数列13521,,,,,2482
n n -L L 的前n 项的和。
6.等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知对任意的n ∈N ＋，点(n ，S n )均在函数y ＝b x ＋r (b >0且b ≠1，b ，r 均为常数)的图像上．
(1)求r 的值；
(2)当b ＝2时，记b n ＝n ＋14a n
(n ∈N ＋)，求数列{b n }的前n 项和T n .
7.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n n S n +=22，n ∈N*，数列{}n b 满足
3log 42+=n n b a ，n ∈N*.
(1)求n n b a ,；
(2)求数列{}n n b a •的前n 项和Tn.
8.设数列{a n }满足a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －1a n ＝n 3，n ∈N ＋.
(1)求数列{a n }的通项；
(2)设b n ＝n
a n ，求数列{
b n }的前n 项和S n .
9.求和 )2(1
531
421
311
+++⨯+⨯+⨯n n Λ
10.求数列
⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++,11,,321,211n n 的前n 项和。
11.已知数列｛a n ｝：11，211+，3
211++，…1123n +++L ，…，求它的前n
12.设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，S n ＝na n －2n (n －1)(n ∈N *)．
(1)求证：数列{a n }为等差数列，并分别写出a n 和S n 关于n 的表达式；
(2)设数列{
1a n a n ＋1
}的前n 项和为T n .求证：15≤T n <14.。