四川省棠湖中学2019届高三4月月考数学(理)试题(附答案)

四川省棠湖中学高2019届四月月考数学(理)试题满分：150分 时间：120分钟第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合{}|12A x x =-<，12|log 1B x x ⎧⎫=>-⎨⎬⎩⎭，则AB =A ．{}|04x x <<B ．{}|22x x -<<C ．{}|02x x <<D ．{}|13x x <<2.若32z i =-，则2iz =- A ．1255i - B ．1255i + C ．2155i - D ．2155i +3．函数21010)(xx f x x --=的图像大致为4．已知向量a ，b 满足||1=a ，1⋅=-a b ，则(2)⋅-=a a b A ．4B ．3C ．2D ．05.已知方程222213x y m n m n-=+-表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n 的取值范围是A.()1,3-B.(-C.()0,3D.( 6.如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径. 若该几何体的体积是283π,则它的表面积是 A.17π B.18π C.20π D.28π7.在封闭的直三棱柱ABC -A 1B 1C 1内有一个体积为V 的球，若AB ⊥BC ，AB =6，BC =8，AA 1=4，则V 的最大值是A.4πB.92πC.6πD.323π8.在ABC ∆中，030=A ，2=AC ，且ABC ∆的面积为3，则=BCA. 2B.3C.2D. 1 9.7人乘坐2辆汽车，每辆汽车最多坐4人，则不同的乘车方法有A. 35种B.50种C.60种D. 70种10.双曲线22221x y E a b-=：(00a b >>，）F 作渐近线l 的垂线，垂足为M ，若O F M ∆的面积是1，则双曲线E 的实轴长是A ．． ．211.ABC ∆中，5AB =，10AC =，25AB AC ⋅=，点P 是ABC ∆内（包括边界）的一动点，且3255AP AB AC λ=-R λ∈（），则AP 的最大值是A 37394112.已知函数()()f x x ∈R 满足()2()f x f x -=-，若函数12sin )(+=x x g 与()y f x =图像的交点为1122(,),(,),,(,),m m x y x y x y ⋅⋅⋅则1()mi i i x y =+=∑A.mB.2mC.3mD.4m第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.设()ln(f x x =，若()f a =()f a -= ．14.已知离散型随机变量ξ服从正态分布~(21)N ，，且(3)0.968P ξ<=，则(13)P ξ<<= ． 15．已知圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 所成角的正弦值为815，SA与圆锥底面所成角为45°，若SAB △的面积为，则该圆锥的侧面积为__________．16.已知函数()sin()(0),24f x x+x ππωϕωϕ=>≤=-，为()f x 的零点,4x π=为()y f x =图像的对称轴,且()f x 在51836ππ⎛⎫⎪⎝⎭，单调,则ω的最大值为__________．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 设数列{}n a 的前n 项和是n S ，且n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，已知11a =，3246234S S S ++=.（Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）若12212n n n n n a a b a a ++++=+-，求数列{}n b 的前n 项和n T .18.（本小题满分12分）有一个同学家开了一个奶茶店，他为了研究气温对热奶茶销售杯数的影响，从一季度中随机选取5天，统计出气温与热奶茶销售杯数，如表：（Ⅰ）求热奶茶销售杯数关于气温的线性回归方程a x b y ˆˆˆ+=（b ˆ精确到0.1），若某天的气温为15oC ，预测这天热奶茶的销售杯数；（Ⅱ）从表中的5天中任取一天，若已知所选取该天的热奶茶销售杯数大于120，求所选取该天热奶茶销售杯数大于130的概率.参考数据：125027191242222=+++，6602942710419130121324=⨯+⨯+⨯+⨯.参考公式：2121ˆ∑-∑-===ni i ni i i xn x yx n y x b，x b y aˆˆ-=19．（本小题满分12分）如图所示的几何体中，111C B A ABC -为三棱柱，且⊥1AA 平面ABC ，四边形ABCD 为平行四边形，︒=∠=60,2ADC CD AD ．（Ⅰ）若AC AA =1，求证：1AC ⊥平面CD B A 11； （Ⅱ）若12,CD AA AC λ==，二面角11C A D C --11C ACD -的体积．20.（本小题满分12分）如图，椭圆2222:1x y E a b +=(0)a b >>的左、右焦点分别为12F F 、，2MF x ⊥轴，直线1MF 交y 轴于H 点，4OH =Q 为椭圆E 上的动点，12F F Q ∆的面积的最大值为1. （Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）过点(4,0)S 作两条直线与椭圆E 分别交于A B C D 、、、，且使AD x ⊥轴，如图，问四边形ABCD 的两条对角线的交点是否为定点？若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由.21. （本小题满分12分）已知函数()()()ln 1+ln 1f x x x =--.（Ⅰ）讨论函数()()()0F x f x ax a =+≠的单调性；（Ⅱ）若()3(3)f x k x x >-对()0,1x ∈恒成立，求k 的取值范围.（二）选考题：共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。

22．（本小题满分10分）[选修4–4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为||2y k x =+.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为22cos 30ρρθ+-=. （Ⅰ）求2C 的直角坐标方程；（Ⅱ）若1C 与2C 有且仅有三个公共点，求1C 的方程.23.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 已知函数11()||||22f x x x =-++，M 为不等式()2f x <的解集． （Ⅰ）求M ；（Ⅱ）证明：当,a b M ∈时，|||1|a b ab +<+．四川省棠湖中学高2019届四月月考数学(理)试题答案一、选择题1-5:CDBBA 6-10:ADADD 11-12:BB 二.填空题13.0.93615. 16.9 三、解答题 17.解：（1）记n n S c n =，∴1111Sc ==，又{}n c 为等差数列，公差记为d ， 2432c c c +=，∴32c =，得12d =，∴12n n c +=，得22n n n S += 2n ≥时，1n n n a S S n -=-=，1n =时也满足.综上n a n =.................6分（2）由（1）得12221n n n b n n ++=+-++111(1)(2)12n n n n ==-++++ ∴111111()()()233412n T n n =+-++-+++ 1122n =-+.................12分18. 解：（Ⅰ）由表格中数据可得，4.12=x ,122=y ............................2分∴0.24.12621250122626602ˆ2121-≈⨯-⨯-=∑-∑-===ni i ni i i xn x yx n y x b..................................5分∴8.1464.120.2122ˆˆ=⨯+=-=x b y a∴热奶茶销售杯数关于气温的线性回归方程为8.1460.2ˆ+-=x y...................6分 ∴当气温为15oC 时，由回归方程可以预测热奶茶的销售杯数为1178.1168.146150.2ˆ≈=+⨯-=y (杯) ......................8分（Ⅱ）设A 表示事件“所选取该天的热奶茶销售杯数大于120”，B 表示事件“所选取该天的热奶茶销售杯数大于130”，则“已知所选取该天的热奶茶销售杯数大于120时，销售杯数大于130”应为事件A B |..................................................10分∵53)(=A P ，52)(=AB P ∴32)()()|(==A P AB P A B P∴已知所选取该天的热奶茶销售杯数大于120时，销售杯数大于130的概率为32.....12分 19.解：（1）证明：连接C A 1交1AC 于E ，因为AC AA =1，又⊥1AA 平面ABCD ，所以AC AA ⊥1，所以四边形11ACC A 为正方形，所以11AC C A ⊥，在ACD ∆中， 60,2=∠=ADC CD AD ， 由余弦定理得2222cos60AC AD CD AD CD =+-⋅，所以AC =，所以222CD AC AD +=，所以AC CD ⊥，又CD AA ⊥1， 所以⊥CD 平面11ACC A ， 所以1AC CD ⊥，又因为1,CDA C C =从而1AC ⊥平面CDB A 11 ………5分（2）如图建立直角坐标系，则11(2,0,0),),)D A C A11(2,0,23),()DC DA λ∴=-=-设平面D C A 11的法向量为1111(,,)n x y z =，由111100n DC n DA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即11111230223230x z x z λλ⎧-+=⎪⎨-++=⎪⎩解得11113,0(3,0,1)x z y n λλ=∴=设平面CD A 1的法向量为2222(,,)n x y z = …………8分由22100n CD nCA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得222200x z ⎧=⎪⎨+=⎪⎩解得22220,,(0,,1)x y z n λλ==-∴=- …………10分由1212cos ||||3n n n n θλ⋅===⋅得1λ=，所以1,AA AC =……11分此时12,,CD AA AC ===所以111111(2432C A CDD A CC V V --==⨯⨯⨯= …………12分20.解：（Ⅰ）设(,0)F c ，由题意可得22221c y a b +=，即2M b y a=.∵OH 是12F F M ∆的中位线，且OH =.................2分∴2||2MF =，即22b a =，整理得242a b =.①又由题知，当Q 在椭圆E 的上顶点时，12F F M ∆的面积最大，.................4分 ∴1212c b ⨯⨯=，整理得1bc =，即222()1b a b -=，② 联立①②可得6421b b -=，变形得242(1)(21)0b b b -++=，解得21b =，进而22a =.∴椭圆E 的方程式为2212x y +=..................6分 (Ⅱ)设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则由对称性可知11(,)D x y -，21(,)B x y -. 设直线AC 与x 轴交于点(,0)t ，直线AC 的方程为(0)x my t m =+≠，联立2212x my t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x ，得222(2)220m y mty t +++-=，.................8分∴12222mty y m -+=+，212222t y y m -=+，由A B S 、、三点共线AS BS k k =，即121244y y x x -=--， 将11x my t =+，22x my t =+代入整理得1221()(4)0y my t t y my t +-++-=，.................10分即12122(4)()0my y t y y +-+=，从而222(2)2(4)02m t mt t m ---=+，化简得2(42)0m t -=，解得12t =，于是直线AC 的方程为12x my =+， 故直线AC 过定点1(,0)2.同理可得BD 过定点1(,0)2，∴直线AC 与BD 的交点是定点，定点坐标为1(,0)2. ................12分21.解：（1）()11'11F x a x x=+++-()222111ax a x x -++=-<<-，.................1分 当20a -≤<时，()'0F x ≥，∴()F x 在()1,1-上单调递增.当0a >时，()'0F x >，故当20a -≤<或0a >时，()F x 在()1,1-上单调递增. 当2a <-时，令()'0F x >，得1x -<<1x <<；令()'0F x <，得x <<分∴()F x 在(上单调递减，在(1,-，上单调递增..................5分 （2）设()()()33g x f x k x x =--，则()()222231'1k x g x x +-=-，当()0,1x ∈时，()()2210,1x-∈，或23k ≥-，()22310k x +->，则()'0g x >， ∴()g x 在()0,1上递增，从而()()00g x g >=. 此时，()()33f x k x x >-在()0,1上恒成立.若23k <-，令()'0g x x =⇒=()0,1，当x ∈时，()'0g x <； 当,1)3x k∈-时，()'0g x >. ∴()()min 2(1)003g x g g k=--<=，则23k <-不合题意.故k 的取值范围为2[,)3-+∞..................12分22.解：（1）由cos x ρθ=，sin y ρθ=得2C 的直角坐标方程为22(1)4x y ++=．.................4分（2）由（1）知2C 是圆心为(1,0)A -，半径为2的圆．由题设知，1C 是过点(0,2)B 且关于y 轴对称的两条射线．记y 轴右边的射线为1l ，y 轴左边的射线为2l ．由于B 在圆2C 的外面，故1C 与2C 有且仅有三个公共点等价于1l 与2C 只有一个公共点且2l 与2C 有两个公共点，或2l 与2C 只有一个公共点且1l 与2C 有两个公共点．学优高考网 当1l 与2C 只有一个公共点时，A 到1l 所在直线的距离为22=，故43k =-或0k =．经检验，当0k =时，1l 与2C 没有公共点；当43k =-时，1l 与2C 只有一个公共点，2l 与2C 有两个公共点． 当2l 与2C 只有一个公共点时，A 到2l 所在直线的距离为22=，故0k =或43k =．经检验，当0k =时，1l 与2C 没有公共点；当43k =时，2l 与2C 没有公共点．................10分23.（I ）12,,211()1,,2212,.2x x f x x x x ⎧-≤-⎪⎪⎪=-<<⎨⎪⎪≥⎪⎩当12x ≤-时，由()2f x <得22,x -<解得1x >-； 当1122x -<<时， ()2f x <；当12x ≥时，由()2f x <得22,x <解得1x <.所以()2f x <的解集{|11}M x x =-<<..................5分 （II ）由（I ）知，当,a b M ∈时，11,11a b -<<-<<，从而22222222()(1)1(1)(1)0a b ab a b a b a b +-+=+--=--<，因此|||1|.a b ab +<+.................10分。