【备战高考·数学】湖南省XX中学高考数学一模试卷(文科)(解析版)

湖南省XX中学高考数学一模试卷（文科）一.本卷共12题，每题5分，共60分，在每题后面所给的四个选项中，只有一个是正确的．1．已知集合A={﹣2，﹣1，0，1，2}，B={x|＜0}，则A∩B=（）A．{0，1} B．{﹣1，0} C．{﹣1，0，1} D．{0，1，2}2．已知1+i=，则在复平面内，复数z所对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．已知，若共线，则实数x=（）A． B．C．1 D．24．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴正半轴重合，终边在直线y=3x上，则sin（2θ+）=（）A．B．﹣C．D．﹣5．已知单调递增的等比数列{a n}中，a2•a6=16，a3+a5=10，则数列{a n}的前n 项和S n=（）A．B． C．2n﹣1 D．2n+1﹣26．已知实数x，y满足不等式组，若目标函数z=kx+y仅在点（1，1）处取得最小值，则实数k的取值范围是（）A．（﹣1，+∞）B．（﹣∞，﹣1）C．（1，+∞）D．（﹣∞，1）7．如图，在一个棱长为2的正方体鱼缸内放入一个倒置的无底圆锥形容器，圆锥的上底圆周与鱼缸的底面正方形相切，圆锥的顶点在鱼缸的缸底上，现在向鱼缸内随机地投入一粒鱼食，则“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是（）A．1﹣B．C．D．1﹣8．《九章算术》是我国古代数学经典名著，它在集合学中的研究比西方早1千年，在《九章算术》中，将四个面均为直角三角形的四面体称为鳖臑，已知某“鳖臑”的三视图如图所示，则该鳖臑的外接球的表面积为（）A．200πB．50πC．100πD．π9．椭圆=1（a＞b＞0）的一个焦点为F1，若椭圆上存在一个点P，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段PF1相切于该线段的中点，则椭圆的离心率为（）A． B．C．D．10．执行如图所示的程序框图，如果运行结果为720，那么判断框中应填入（）A．k＜6？B．k＜7？C．k＞6？D．k＞7？11．设函数f（x）=，若互不相等的实数x1，x2，x3满足f （x1）=f（x2）=f（x3），则x1+x2+x3的取值范围是（）A．（] B．（）C．（] D．（）12．已知定义在R上的函数y=f（x）满足：函数y=f（x+1）的图象关于直线x=﹣1对称，且当x∈（﹣∞，0）时，f（x）+xf′（x）＜0成立（f′（x）是函数f（x）的导函数），若a=0.76f（0.76），b=log6f（log6），c=60.6f （60.6），则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．a＞c＞b二.填空题（每题5分，共20分）13．已知正实数x，y满足xy+2x+y=4，则x+y的最小值为．14．若双曲线的离心率为3，其渐近线与圆x2+y2﹣6y+m=0相切，则m= ．15．已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1内接于球O，底面ABCD是边长为2的正方形，E为AA1的中点，OA⊥平面BDE，则球O的表面积为．16．函数f（x），g（x）的定义域都是D，直线x=x0（x0∈D），与y=f（x），y=g（x）的图象分别交于A，B两点，若|AB|的值是不等于0的常数，则称曲线y=f（x），y=g（x）为“平行曲线”，设f（x）=e x﹣alnx+c（a＞0，c≠0），且y=f（x），y=g（x）为区间（0，+∞）的“平行曲线”，g（1）=e，g（x）在区间（2，3）上的零点唯一，则a的取值范围是．三.解答题（共8题，共70分）17．在数列{a n}中，已知a1=1，a2=3，a n+2=3a n+1﹣2a n．（Ⅰ）证明数列{ a n+1﹣a n}是等比数列，并求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=log2（a n+1），{b n}的前n项和为S n，求证＜2．18．某中学是走读中学，为了让学生更有效率利用下午放学后的时间，学校在本学期第一次月考后设立了多间自习室，以便让学生在自习室自主学习、完成作业，同时每天派老师轮流值班．在本学期第二次月考后，高一某班数学老师统计了两次考试该班数学成绩优良人数和非优良人数，得到如下2×2列联表：非优良优良总计未设立自习室251540设立自习室103040总计354580（1）能否在在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为设立自习室对提高学生成绩有效；（2）从该班第一次月考的数学优良成绩中和第二次月考的数学非优良成绩中，按分层抽样随机抽取5个成绩，再从这5个成绩中随机抽取2个，求这2个成绩来自同一次月考的概率．下面的临界值表供参考：P（K2≥k0）0.150.100.050.0250.010.0050.001k0 2.07 2.70 3.84 5.02 6.637.8710.822614598（参考公式：K2=，其中n=a+b+c+d）19．如图，在四棱锥中P﹣ABCD，AB=BC=CD=DA，∠BAD=60°，AQ=QD，△PAD是正三角形．（1）求证：AD⊥PB；（2）已知点M是线段PC上，MC=λPM，且PA∥平面MQB，求实数λ的值．20．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设F为椭圆C的左焦点，T为直线x=﹣3上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q．①证明：OT平分线段PQ（其中O为坐标原点）；②当最小时，求点T的坐标．21．已知函数f（x）=+bx（a≠0），g（x）=1+lnx．（Ⅰ）若b=1，且F（x）=g（x）﹣f（x）存在单调递减区间，求a的取值范围；（Ⅱ）设函数g（x）的图象C1与函数f（x）的图象C2交于点M、N，过线段MN的中点T作x轴的垂线分别交C1、C2于点P、Q，是否存在点T，使C1在点P处的切线与C2在点Q处的切线平行？如果存在，求出点T的横坐标，如果不存在，说明理由．选做题（本题满分10分）22．已知曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直l的参数方程是（t 是参数）（1）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）若直线l与曲线C相交于A、B两点，且|AB|=，求直线的倾斜角α的值．23．已知a＞0，b＞0，函数f（x）=|x+a|+|2x﹣b|的最小值为1．（1）求证：2a+b=2；（2）若a+2b≥tab恒成立，求实数t的最大值．参考答案与试题解析一.本卷共12题，每题5分，共60分，在每题后面所给的四个选项中，只有一个是正确的．1．已知集合A={﹣2，﹣1，0，1，2}，B={x|＜0}，则A∩B=（）A．{0，1} B．{﹣1，0} C．{﹣1，0，1} D．{0，1，2}【考点】1E：交集及其运算．【分析】先分别求出集合A，B，由此能求出交集A∩B．【解答】解：集合A={﹣2，﹣1，0，1，2}，B={x|＜0}={x|﹣1＜x＜2}，∴A∩B={0，1}．故选：A．2．已知1+i=，则在复平面内，复数z所对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义．【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．【解答】解：1+i=，∴z===i．在复平面内，复数z所对应的点在第一象限．故选：A．3．已知，若共线，则实数x=（）A． B．C．1 D．2【考点】9K：平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】利用向量共线时，坐标之间的关系，我们可以建立方程就可求实数x 的值【解答】解：∵，∴∵与共线，∴1×1﹣2×（1﹣x）=0∴x=故选B．4．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴正半轴重合，终边在直线y=3x上，则sin（2θ+）=（）A．B．﹣C．D．﹣【考点】GQ：两角和与差的正弦函数．【分析】根据定义求解sinθ和cosθ的值，利用两角和与差的公式以及二倍角公式即可化简并求解出答案．【解答】解：由题意，已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴正半轴重合，终边在直线y=3x上，可知θ在第一或第三象限．根据正余弦函数的定义：可得sinθ=，cosθ=±，则sin（2θ+）=sin2θcos+cos2θsin=sinθcosθ+==故选：A．5．已知单调递增的等比数列{a n}中，a2•a6=16，a3+a5=10，则数列{a n}的前n 项和S n=（）A．B． C．2n﹣1 D．2n+1﹣2【考点】89：等比数列的前n项和．【分析】由等比数列的性质和韦达定理可得a3，a5为方程x2﹣10x+16=0的实根，解方程可得q和a1，代入求和公式计算可得．【解答】解：∵a2•a6=16，a3+a5=10，∴由等比数列的性质可得a3•a5=16，a3+a5=10，∴a3，a5为方程x2﹣10x+16=0的实根，解方程可得a3=2，a5=8，或a3=8，a5=2，∵等比数列{a n}单调递增，∴a3=2，a5=8，∴q=2，，∴故选：B．6．已知实数x，y满足不等式组，若目标函数z=kx+y仅在点（1，1）处取得最小值，则实数k的取值范围是（）A．（﹣1，+∞）B．（﹣∞，﹣1）C．（1，+∞）D．（﹣∞，1）【考点】7C：简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用目标函数z=kx+y取得最小值时的唯一最优解是（1，1），得到直线y=﹣kx+z斜率的变化，从而求出k的取值范围【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分OAB）．由z=kx+y得y=﹣kx+z，即直线的截距最大，z也最大．平移直线y﹣kx+z，要使目标函数z=kx+y取得最小值时的唯一最优解是（1，1），即直线y=﹣kx+z经过点A（1，1）时，截距最小，由图象可知当阴影部分必须在直线y=﹣kx+z的右上方，此时只要满足直线y=﹣kx+z的斜率﹣k大于直线OA的斜率即可直线OA的斜率为1，∴﹣k＞1，所以k＜﹣1．故选：B7．如图，在一个棱长为2的正方体鱼缸内放入一个倒置的无底圆锥形容器，圆锥的上底圆周与鱼缸的底面正方形相切，圆锥的顶点在鱼缸的缸底上，现在向鱼缸内随机地投入一粒鱼食，则“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是（）A．1﹣B．C．D．1﹣【考点】CF：几何概型．【分析】由题意，直接看顶部形状，及正方形内切一个圆，正方形面积为4，圆为π，即可求出“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率．【解答】解：由题意，正方形的面积为22=4．圆的面积为π．所以“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是1﹣，故选：A．8．《九章算术》是我国古代数学经典名著，它在集合学中的研究比西方早1千年，在《九章算术》中，将四个面均为直角三角形的四面体称为鳖臑，已知某“鳖臑”的三视图如图所示，则该鳖臑的外接球的表面积为（）A．200πB．50πC．100πD．π【考点】LR：球内接多面体；L7：简单空间图形的三视图．【分析】几何体复原为底面是直角三角形，一条侧棱垂直底面直角顶点的三棱锥，扩展为长方体，长方体的对角线的长，就是外接球的直径，然后求其的表面积．【解答】解：由三视图复原几何体，几何体是底面是直角三角形，一条侧棱垂直底面直角顶点的三棱锥；扩展为长方体，也外接与球，它的对角线的长为球的直径：=5该三棱锥的外接球的表面积为：=50π，故选B．9．椭圆=1（a＞b＞0）的一个焦点为F1，若椭圆上存在一个点P，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段PF1相切于该线段的中点，则椭圆的离心率为（）A． B．C．D．【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】设线段PF1的中点为M，另一个焦点F2，利用OM是△FPF2的中位线，以及椭圆的定义求出直角三角形OMF1的三边之长，使用勾股定理求离心率．【解答】解：设线段PF1的中点为M，另一个焦点F2，由题意知，OM=b，又OM是△FPF1的中位线，∴OM=PF2=b，PF2=2b，由椭圆的定义知PF1=2a﹣PF2=2a﹣2b，又MF1=PF1=（2a﹣2b）=a﹣b，又OF1=c，直角三角形OMF1中，由勾股定理得：（a﹣b）2+b2=c2，又a2﹣b2=c2，可得2a=3b，故有4a2=9b2=9（a2﹣c2），由此可求得离心率e==，故选：D．10．执行如图所示的程序框图，如果运行结果为720，那么判断框中应填入（）A．k＜6？B．k＜7？C．k＞6？D．k＞7？【考点】EF：程序框图．【分析】由题意，模拟程序框图的运行过程，即可得出判断框中应填写的条件是什么．【解答】解：由题意可知，输出结果为S=720，通过第1次循环得到S=1×2=2，k=3；通过第2次循环得到S=1×2×3=6，k=4；通过第3次循环得到S=1×2×3×4=24，k=5；通过第4次循环得到S=1×2×3×4×5=120，k=6；通过第6次循环得到S=1×2×3×4×5×6=720，k=7；此时执行输出S=720，结束循环，所以判断框中的条件为k＞6？．故选：C．11．设函数f（x）=，若互不相等的实数x1，x2，x3满足f （x1）=f（x2）=f（x3），则x1+x2+x3的取值范围是（）A．（] B．（）C．（] D．（）【考点】3B：分段函数的解析式求法及其图象的作法．【分析】先作出函数f（x）=的图象，如图，不妨设x1＜x2＜x3，则x2，x3关于直线x=3对称，得到x2+x3=6，且﹣＜x1＜0；最后结合求得x1+x2+x3的取值范围即可．【解答】解：函数f（x）=的图象，如图，不妨设x1＜x2＜x3，则x2，x3关于直线x=3对称，故x2+x3=6，且x1满足﹣＜x1＜0；则x1+x2+x3的取值范围是：﹣+6＜x1+x2+x3＜0+6；即x1+x2+x3∈（，6）．故选D12．已知定义在R上的函数y=f（x）满足：函数y=f（x+1）的图象关于直线x=﹣1对称，且当x∈（﹣∞，0）时，f（x）+xf′（x）＜0成立（f′（x）是函数f（x）的导函数），若a=0.76f（0.76），b=log6f（log6），c=60.6f （60.6），则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．a＞c＞b【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；3O：函数的图象．【分析】利用导数判断函数的单调性，判断函数的奇偶性，然后求解a，b，c 的大小．【解答】解：定义在R上的函数y=f（x）满足：函数y=f（x+1）的图象关于直线x=﹣1对称，可知函数是偶函数，当x∈（﹣∞，0）时，f（x）+xf′（x）＜0成立（f′（x）是函数f（x）的导函数），可知函数y=xf（x）是增函数，x＞0时是减函数；0.76∈（0，1），60.6（2，4），log6≈log1.56∈（4，6）．所以a＞c＞b．故选：D．二.填空题（每题5分，共20分）13．已知正实数x，y满足xy+2x+y=4，则x+y的最小值为．【考点】7F：基本不等式．【分析】变形利用基本不等式即可得出．【解答】解：∵正实数x，y满足xy+2x+y=4，∴（0＜x＜2）．∴x+y=x+==（x+1）+﹣3﹣3=﹣3，当且仅当x=时取等号．∴x+y的最小值为．故答案为：．14．若双曲线的离心率为3，其渐近线与圆x2+y2﹣6y+m=0相切，则m= 8 ．【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】由于双曲线的离心率为3，得到双曲线的渐近线y=2x，渐近线与圆x2+y2﹣6y+m=0相切，可得圆心到渐近线的距离d=r，利用点到直线的距离公式即可得出．【解答】解：∵双曲线的离心率为3，∴c=3a，∴b=2a，取双曲线的渐近线y=2x．∵双曲线的渐近线与x2+y2﹣6y+m=0相切，∴圆心（0，3）到渐近线的距离d=r，∴，∴m=8，故答案为：8．15．已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1内接于球O，底面ABCD是边长为2的正方形，E为AA1的中点，OA⊥平面BDE，则球O的表面积为16π．【考点】LG：球的体积和表面积．【分析】根据已知结合长方体锥的几何特征和球的几何特征，求出球的半径，代入可得球的表面积．【解答】解：∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1内接于球O，底面ABCD是边长为2的正方形，设AA1=2a，E为AA1的中点，以A为坐标原点，分别以AB，AD，AA1为x，y，z轴建立空间坐标系，则A（0，0，0），B（2，0，0），D（0，2，0），E（0，0，a），C1（2，2，2a），O（1，1，a），则=（﹣2，2，0），=（﹣2，0，a），=（1，1，a），若OA⊥平面BDE，则，即，即a2﹣2=0，解得a=，∴球O的半径R满足：2R==4，故球O的表面积S=4πR2=16π，故答案为：16π．16．函数f（x），g（x）的定义域都是D，直线x=x0（x0∈D），与y=f（x），y=g（x）的图象分别交于A，B两点，若|AB|的值是不等于0的常数，则称曲线y=f（x），y=g（x）为“平行曲线”，设f（x）=e x﹣alnx+c（a＞0，c≠0），且y=f（x），y=g（x）为区间（0，+∞）的“平行曲线”，g（1）=e，g（x）在区间（2，3）上的零点唯一，则a的取值范围是[3e3，+∞）．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】由题意可得|e x﹣alnx+c﹣g（x）|对x∈（0，+∞）恒为常数，且不为0．令x=1求得常数．再由题意可得f（x）=e x﹣alnx+c在（2，3）上无极值点，运用导数和构造函数，转化为方程无实根，即可得到a的范围．【解答】解：由题意可得|e x﹣alnx+c﹣g（x）|对x∈（0，+∞）恒为常数，且不为0．令x=1，可得|e﹣0+c﹣g（1）|=|e+c﹣e|=|c|＞0．由g（x）在区间（2，3）上的零点唯一，可得：f（x）=e x﹣alnx+c在（2，3）上无极值点，即有f′（x）=e x﹣=，则xe x﹣a=0无实数解，由y=xe x，可得y′=（1+x）e x＞0，在（2，3）成立，即有函数y递增，可得y∈（2e2，3e3），则a≥3e3，故答案为：[3e3，+∞）．三.解答题（共8题，共70分）17．在数列{a n}中，已知a1=1，a2=3，a n+2=3a n+1﹣2a n．（Ⅰ）证明数列{ a n+1﹣a n}是等比数列，并求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=log2（a n+1），{b n}的前n项和为S n，求证＜2．【考点】8K：数列与不等式的综合；8G：等比数列的性质．【分析】（Ⅰ）由a n+2=3a n+1﹣2a n得：a n+2﹣a n+1=2（a n+1﹣a n），结合a1=1，a2=3，即a2﹣a1=2，可得：{ a n+1﹣a n}是首项为2，公比为2的等比数列，进而利用叠加法可得数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=log2（a n+1）=n，则，利用裂项相消法，可得=2＜2．【解答】证明：（Ⅰ）由a n+2=3a n+1﹣2a n得：a n+2﹣a n+1=2（a n+1﹣a n），又∵a1=1，a2=3，即a2﹣a1=2，所以，{ a n+1﹣a n}是首项为2，公比为2的等比数列．…a n+1﹣a n=2×2n﹣1=2n，…a n=a1+（a2﹣a1）+（a3﹣a2）+…+（a n﹣a n﹣1）=1+2+22+…+2n﹣1==2n ﹣1；…（Ⅱ）b n=log2（a n+1）=log22n=n，…S n=，…，所以=2＜2．…18．某中学是走读中学，为了让学生更有效率利用下午放学后的时间，学校在本学期第一次月考后设立了多间自习室，以便让学生在自习室自主学习、完成作业，同时每天派老师轮流值班．在本学期第二次月考后，高一某班数学老师统计了两次考试该班数学成绩优良人数和非优良人数，得到如下2×2列联表：非优良优良总计未设立自习室251540设立自习室103040总计354580（1）能否在在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为设立自习室对提高学生成绩有效；（2）从该班第一次月考的数学优良成绩中和第二次月考的数学非优良成绩中，按分层抽样随机抽取5个成绩，再从这5个成绩中随机抽取2个，求这2个成绩来自同一次月考的概率．下面的临界值表供参考：P（K2≥k0）0.150.100.050.0250.010.0050.001k0 2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828（参考公式：K2=，其中n=a+b+c+d）【考点】BO：独立性检验的应用；CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】（1）由2×2列联表，计算K2，对照临界值表得出结论；（2）根据分层抽样比例求出所抽取的5个成绩，利用列举法计算基本事件数、计算对应的概率值．【解答】解：（1）由2×2列联表，计算K2的观测值为k==＞7.879，对照临界值表，得出能在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为设立自习室对提高学生成绩有效；（2）根据分层抽样原理，从第一次月考数学优良成绩中抽取×5=3个，记为A、B、C；从第二次月考数学优良成绩中抽取×5=2个，记为d、e；则从这5个成绩中抽取2个，基本事件是AB、AC、Ad、Ae、BC、Bd、Be、Cd、Ce、de共10个，其中抽取的2个成绩均来自同一次月考的基本事件有AB、AC、BC、de共4个，故所求的概率为P==．19．如图，在四棱锥中P﹣ABCD，AB=BC=CD=DA，∠BAD=60°，AQ=QD，△PAD是正三角形．（1）求证：AD⊥PB；（2）已知点M是线段PC上，MC=λPM，且PA∥平面MQB，求实数λ的值．【考点】LS：直线与平面平行的判定；LO：空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（1）连结BD，则△ABD为正三角形，从而AD⊥BQ，AD⊥PQ，进而AD⊥平面PQB，由此能证明AD⊥PB．（2）连结AC，交BQ于N，连结MN，由AQ∥BC，得，根据线面平行的性质定理得MN∥PA，由此能求出实数λ的值．【解答】证明：（1）如图，连结BD，由题意知四边形ABCD为菱形，∠BAD=60°，∴△ABD为正三角形，又∵AQ=QD，∴Q为AD的中点，∴AD⊥BQ，∵△PAD是正三角形，Q为AD中点，∴AD⊥PQ，又BQ∩PQ=Q，∴AD⊥平面PQB，又∵PB⊂平面PQB，∴AD⊥PB．解：（2）连结AC，交BQ于N，连结MN，∵AQ∥BC，∴，∵PN∥平面MQB，PA⊂平面PAC，平面MQB∩平面PAC=MN，∴根据线面平行的性质定理得MN∥PA，∴，综上，得，∴MC=2PM，∵MC=λPM，∴实数λ的值为2．20．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设F为椭圆C的左焦点，T为直线x=﹣3上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q．①证明：OT平分线段PQ（其中O为坐标原点）；②当最小时，求点T的坐标．【考点】KG：直线与圆锥曲线的关系；K3：椭圆的标准方程．【分析】第（1）问中，由正三角形底边与高的关系，a2=b2+c2及焦距2c=4建立方程组求得a2，b2；第（2）问中，先设点的坐标及直线PQ的方程，利用两点间距离公式及弦长公式将表示出来，由取最小值时的条件获得等量关系，从而确定点T的坐标．【解答】解：（1）依题意有解得所以椭圆C的标准方程为+=1．（2）设T（﹣3，t），P（x1，y1），Q（x2，y2），PQ的中点为N（x0，y0），①证明：由F（﹣2，0），可设直线PQ的方程为x=my﹣2，则PQ的斜率．由⇒（m2+3）y2﹣4my﹣2=0，所以，于是，从而，即，则直线ON的斜率，又由PQ⊥TF知，直线TF的斜率，得t=m．从而，即k OT=k ON，所以O，N，T三点共线，从而OT平分线段PQ，故得证．②由两点间距离公式得，由弦长公式得==，所以，令，则（当且仅当x2=2时，取“=”号），所以当最小时，由x2=2=m2+1，得m=1或m=﹣1，此时点T的坐标为（﹣3，1）或（﹣3，﹣1）．21．已知函数f（x）=+bx（a≠0），g（x）=1+lnx．（Ⅰ）若b=1，且F（x）=g（x）﹣f（x）存在单调递减区间，求a的取值范围；（Ⅱ）设函数g（x）的图象C1与函数f（x）的图象C2交于点M、N，过线段MN的中点T作x轴的垂线分别交C1、C2于点P、Q，是否存在点T，使C1在点P处的切线与C2在点Q处的切线平行？如果存在，求出点T的横坐标，如果不存在，说明理由．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）先求函数F（x）的解析式，因为函数F（x）存在单调递减区间，所以F'（x）＜0有解，求出a的取值范围；（Ⅱ）利用反证法证明设点P、Q的坐标分别是（x1，y1），（x2，y2），0＜x1＜x2．假设C1在点M处的切线与C2在点N处的切线平行．求出函数的导数，求得切线的斜率，通过构造函数，求导数判断单调性，结论即可得证【解答】解：（Ⅰ）b=1时，函数F（x）=g（x）﹣f（x）=1+lnx﹣﹣x，x＞0，则F′（x）=﹣ax﹣1=﹣因为函数F（x）存在单调递减区间，所以F'（x）＜0有解，即ax2+x﹣1＞0，有x＞0的解．①a＞0时，y=ax2+x﹣1为开口向上的抛物线，y=ax2+x﹣1＞0总有x＞0有解；②a＜0时，y=ax2+x﹣1为开口向下的抛物线，而y=ax2+x﹣1＞0总有x＞0的解；则△=1+4a＞0，且方程y=ax2+2x﹣1=0至少有一个正根，此时，．综上所述，a的取值范围为（﹣，0）∪（0，+∞）；（Ⅱ）设点M、N的坐标是（x1，y1），（x2，y2），0＜x1＜x2，则点P、Q的横坐标为，C1点在P处的切线斜率为，C2点Q处的切线斜率为假设C1点P处的切线与C2在点Q处的切线平行，则k1=k2即，则∴．设，则①令．则因为t＞1时，r'（t）＞0，所以r（t）在（1，+∞）上单调递增．故r（t）＞r（1）=0则．这与①矛盾，假设不成立．故C1在点P处的切线与C2在点Q处的切线不平行．选做题（本题满分10分）22．已知曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直l的参数方程是（t 是参数）（1）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）若直线l与曲线C相交于A、B两点，且|AB|=，求直线的倾斜角α的值．【考点】QH：参数方程化成普通方程．【分析】本题（1）可以利用极坐标与直角坐标互化的化式，求出曲线C的直角坐标方程；（2）先将直l的参数方程是（t是参数）化成普通方程，再求出弦心距，利用勾股定理求出弦长，也可以直接利用直线的参数方程和圆的普通方程联解，求出对应的参数t1，t2的关系式，利用|AB|=|t1﹣t2|，得到α的三角方程，解方程得到α的值，要注意角α范围．【解答】解：（1）∵ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，∴曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ可化为：ρ2=4ρcosθ，∴x2+y2=4x，∴（x﹣2）2+y2=4．（2）将代入圆的方程（x﹣2）2+y2=4得：（tcosα﹣1）2+（tsinα）2=4，化简得t2﹣2tcosα﹣3=0．设A、B两点对应的参数分别为t1、t2，则，∴|AB|=|t1﹣t2|==，∵|AB|=，∴=．∴cos．∵α∈[0，π），∴或．∴直线的倾斜角或．23．已知a ＞0，b ＞0，函数f （x ）=|x+a|+|2x ﹣b|的最小值为1． （1）求证：2a+b=2；（2）若a+2b ≥tab 恒成立，求实数t 的最大值．【考点】3R ：函数恒成立问题；R5：绝对值不等式的解法．【分析】（1）法一：根据绝对值的性质求出f （x ）的最小值，得到x=时取等号，证明结论即可；法二：根据f （x ）的分段函数的形式，求出f （x ）的最小值，证明即可；（2）法一，二：问题转化为≥t 恒成立，根据基本不等式的性质求出的最小值，从而求出t 的范围即可；法三：根据二次函数的性质判断即可．【解答】解：（1）法一：f （x ）=|x+a|+|2x ﹣b|=|x+a|+|x ﹣|+|x ﹣|，∵|x+a|+|x ﹣|≥|（x+a ）﹣（x ﹣）|=a+且|x ﹣|≥0，∴f （x ）≥a+，当x=时取等号，即f （x ）的最小值为a+，∴a+=1，2a+b=2；法二：∵﹣a ＜，∴f （x ）=|x+a|+|2x ﹣b|=，显然f （x ）在（﹣∞，]上单调递减，f （x ）在[，+∞）上单调递增，∴f （x ）的最小值为f （）=a+，∴a+=1，2a+b=2．（2）方法一：∵a+2b≥tab恒成立，∴≥t恒成立，=+=（+）（2a+b ）•=（1+4++），当a=b=时，取得最小值，∴≥t，即实数t的最大值为；方法二：∵a+2b≥tab恒成立，∴≥t恒成立，t≤=+恒成立，+=+≥=，∴≥t，即实数t的最大值为；方法三：∵a+2b≥tab恒成立，∴a+2（2﹣a）≥ta（2﹣a）恒成立，∴2ta2﹣（3+2t）a+4≥0恒成立，∴（3+2t）2﹣326≤0，∴≤t≤，实数t的最大值为．。