微分方程习题课1
常微分方程二阶线性微分方程习题课
二阶线性微分方程
例7 求微分方程 yy y2 y2 ln y 的通解.
解： y
0,
y
yy y2
y2
ln
y,
y
ln yx
y ,方程改写为： y
ln y
ln y,
令 z ln y z z 0，二阶常系数齐次线性方程
特征方程 2 1 0， 特征根 1.
通解 z C1e x C2e x ln y C1e x C2e x .
(3n 1)!
y( x)
x
x4
x7
x3n2
4! 7!
(3n 2)!
20
二阶线性微分方程
解 (2) 相应的齐次微分方程
y y y ex y(0) 1，y(0) 0
y y y 0, 特征方程 2 1 0
特征根
1,2
1 2
3 i, 2
非齐次方程的特解： y Ae x
将y, y, y 代入方程 A 1 ,
特征根的情况
通解的表达式
实根 1 2
实根 1 2
复根 1，2 i
y C1e1x C2e2 x y (C1 C2 x)e1x y e x (C1 cos x C2 sin x)
2
二阶线性微分方程
例2 求方程 y 4 y 4 y 0 的系数线性非齐次方程
f ( x) 2e x . 1.
(1) 求对应齐次方程的通解
特征方程 2 3 2 0,
特征根 1 1，2 2，
对应齐次方程通解 Y C1e x C2e2x
14
二线性微分方程
例10 设函数 y y( x)满足微分方程 y 3 y 2 y 2e x ,
例6 求 y(5) y(4) 2 y 2 y y y 0 的通解. 解 特征方程 5 4 2 3 2 2 1 0
微分方程习题课例题解答
微分方程习题课例题解答例1．若微分方程的通解为x C y x +=e ，求该微分方程．解：对x C y x +=e 求导，有1e +='x C y ，消去C ，得1+-='x y y ，这就是所求的微分方程．例2．若函数x x x x y 21e e )(+=，x x x x y -+=e e )(2，x x x x x y -++=e e e )(23是二阶线性方程)()()(x f y x Q y x P y =+'+''的解，写出该方程的通解．解：根据非齐次线性微分方程两个解的差是相应齐次线性微分方程的解，得相应齐次线性 方程的两个线性无关的解x x y y y y 22313e e =-=--、，于是应齐次线性方程的通解为 x x C C Y 221e e +=-．取非齐次线性微分方程的一个特解为x x y y y y e 321*=-+=，所以原方程的通解为 x x x x C C y Y y e e e 221*++=+=-． （注：*y 也可以取321y y y 、、中的任何一个）例3．已知221,x y x y ==是二阶齐次线性微分方程0)()(=+'+''y x Q y x P y 的两个解，x y e *=是二阶非齐次线性微分方程)()()(x f y x Q y x P y =+'+''的一个特解，写出二阶非齐次线性微分方程)()()(x f y x Q y x P y =+'+''的通解，并写出此微分方程． 解：因为221,x y x y ==线性无关，根据线性微分方程解的结果，该方程的通解为 xx C x C y e 221++=．将221,x y x y ==分别代入到齐次线性微分方程0)()(=+'+''y x Q y x P y 之中，有⎩⎨⎧=++=+，，0)()(220)()(2x Q x x xP x xQ x P 解得x x P 2)(-=，22)(x x Q =． 将xy e *=代入到非齐次线性微分方程)(222x f y xy x y =+'-''之中，得 x x x xx x x x x f e )221(e 2e 2e )(22+-=+-=．所以该微分方程为xx x y xy x y e )221(2222+-=+'-''，或写为x x x y y x y x e )22(2222+-=+'-''．例4．求解下列微分方程：（1）求xy y y x 2=+'满足初始条件0)1(=y 的特解； 解：先求方程的通解． （方法1）化为齐次方程xyx y y 2=+'，令u x y =，则u u u x u x 2d d =++，分离变量有xxu u u d )1(2d -=-，积分得x C u ln )1ln(=-，即x C u =-1，通解为C x xy =-．（方法2）看作伯努利方程y xx y y 2=+'（21=n ），令y y z n ==-1，则方程化为一阶线性方程xx z z 12=+'，通解为)(1)d (1)d e 1(e2d 2d x C xx C x x x C z y x xxx+=+=⎰+⎰==⎰⎰-，即C x xy =-． （方法3）令u xy =，则方程化为u x u 2d d =，分离变量为x uud 2d =，积分得C x u +=，即通解为C x xy =-．再求满足初始条件的特解，由0)1(=y ，得1=C ，特解为1=-x xy ，或写作xx y 2)1(-=．（2）求)(ln 2d d x y y x y -=的通解； 解：（方法1）将方程改写为y x y y x )(ln 2d d -=，即yy x y y x ln 22d d =+，则方程通解为 )d ln (1)d ln 2(1)d e ln 2(e222d 2d y y y y C yy y y C y y y y C x y y tyt⎰⎰⎰-+=+=⎰+⎰=-)2ln (122y y y C yy-+=,或写作2ln 222y y y C xy -+=.（方法2）令u x y =-ln ，则xux y y d d 1d d 1=-，于是u x u 211d d =+，即u u x u 221d d -=， 分离变量有x u u d d )2111(-=--，积分得C x u u ln 21)21ln(21+-=-+，即 C u x u ln )21ln()(2=-++，化简为C x y y =+-)2ln 21(2，这就是原方程通解.（3）求y x x y ++-='221的通解；解：令u y x =+2，则u y x '='+2，于是u u +='1，分离变量为x uu d 1d =+.因为t tt t t t u uu d )111(2d 121d ⎰⎰⎰+-=+=+C u u C t t -+-=-+-=)]1ln([2)]1ln([2，所以方程通解为 x C u u =-+-)]1ln([2，即C x y x y x +=++-+)]1ln([222．（4）求)ln (ln x y y y x -''=''的通解；解：令)(x p y ='，则p y '=''，于是)ln (ln x p p p x -='，即xpx p x p ln d d =，这是齐次方程，再令u x p =，则u u u x u x ln d d =+，分离变量为xx u u u d )1(l n d =-，积分得x C u 1ln )1ln(ln =-，即x C x xu p y 11e +==='，所以方程通解为21111111)1(e ]d e [e 1d e1111C C x C x C x x y x C x C x C xC +-=-==++++⎰⎰．（5）求012=+'-''y y y 的通解；解：令)(y p y ='，则p p y '=''，于是012=+-'p p yp ，分离变量为y yp p p d d 12=-，积分得y C p 12ln 1ln 21=-，即22121y C y =-'． 当1±='y 时，则C x y +±=； 当1>'y 时，有22121yC y =-'，则1221+±='y C y ，分离变量有x C y C y C d 1d 12211±=+，积分得211arsh C x C y C +±=，原方程的通解为)(sh 1121x C C C y ±=； 当1<'y 时，有22121y C y ='-，则2211y C y -±='，分离变量有x C yC y C d 1d 12211±=-，积分得211arcsin C x C y C +±=，原方程的通解为)(sin 1121x C C C y ±=． （6）1)9(62='++''+'''y a y y （0>a ）．解：这是三阶常系数非齐次线性方程，相应齐次线性方程为0)9(62='++''+'''y a y y ，特征方程为0)9(6223=+++r a r r ，特征根是ai a r r ±-=-±-==3246023,21、，相应齐次线性方程通解为x ax C ax C C Y 3321e )sin cos (-++=．对于原方程，0=λ是单重特征根，0=m ，为此设bx y =*，代入方程有1)9(2=+b a ，得291a b +=，所以2*9a x y +=．原方程通解为23321*9e )sin cos (a xax C ax C C y Y y x++++=+=-．例5．已知1)(=πϕ，试确定函数)(x ϕ使0d )(d )]([sin =+-y x x xyx x ϕϕ是全微分方程，并对所确定的)(x ϕ，求该方程满足1)(=πy 的特解． 解：设)()]([sin x Q x y x x P ϕϕ=-=、，由0d )(d )]([sin =+-y x x xyx x ϕϕ是全微分方程，有yPx Q ∂∂=∂∂，得)]([sin 1)(x x x x ϕϕ-='，即x x x x x sin )(1)(=+'ϕϕ，这是一阶线性方程，通解为)cos (1)d sin (1)d e sin (e)(d d x C x x x C x x x x C x x xxx-=+=⎰+⎰=⎰⎰-ϕ．由1)(=πϕ，有)1(11+=C π，得1-=πC ，所以)cos 1(1)(x xx --=πϕ．这时原方程为0d )cos 1(1d )]cos 1(1[sin =--+---y x xx x y x x x ππ， )cos 1(d )cos 1(1d 0d d )(01),()0,1(x x yy x x x y Q x P y x u y x y x --=--+=+=⎰⎰⎰ππ，，于是原方程通解为1)cos 1(C x xy=--π，由1)(=πy ，得11=C ，所以原方程的特解是1)cos 1(=--x x y π，或写作xx y cos 1--=π． （注：方程通解也可以用凑微分方法得到，方程左式凑微分得0)]cos 1([d =--x xyπ，于是原方程通解为1)cos 1(C x xy=--π）例6．若函数)(x f 连续，且满足⎰--+=x t t f t x x x x f 0d )()(cos sin )(，求)(x f ．解：将所给式子改写为⎰⎰+-+=x x t t tf t t f xx x x f 0d )(d )(cos sin )(，有1)0(=f ，且⎰⎰--=+---='x xt t f x x x xf x xf t t f x x x f 0d )(sin cos )()(d )(sin cos )(，1)0(='f ．)(cos sin )(x f x x x f ---=''，即x x x f x f cos sin )()(--=+''，这是二阶常系数非齐次线性微分方程，相应齐次线性方程为0)()(=+''x f x f ，其特征方程是012=+r ，特征根为i r ±=，相应齐次线性方程通解为x C x C F sin cos 21+=．考虑方程ixx f x f e )()(-=+''，这里i =λ是特征根，0=m ，为此设ix ax fe **=，将ax x Q =)(代入到)()()()()2()(2x P x Q q p x Q p x Q m =+++'++''λλλ之中，有12-=ia ，得221i i a =-=，于是)cos (sin 2)sin (cos 2e 2**x i x xx i x x i x i f ix --=+==，则x x x f x f cos sin )()(--=+''的一个特解为)sin (cos 2)Re()Im(*****x x xf f f -=+=， 所以方程x x x f x f cos sin )()(--=+''的通解为)sin (cos 2sin cos )(21*x x xx C x C f F x f -++=+=． )cos (sin 2)sin (cos 21cos sin )(21x x xx x x C x C x f +--++-='，由初始条件1)0(=f 、1)0(='f ，得21121==C C 、，所以所求函数为=-++=)sin (cos 2sin 21cos )(x x xx x x f x x x x sin )221(cos )21(-++．例7．若二阶可导函数)(u f z =，其中y u xsin e =，满足方程x z yzx z 22222e =∂∂+∂∂，且0)0(=f ，2)0(='f ，试求函数)(u f ．解：y u f x u u z x z x sin e )(d d '=∂∂=∂∂，y u f yuu z y z x cos e )(d d '=∂∂=∂∂， y u f y u f y u f x xz x x x sin e )()sin e )((]sin e )([222'+''='∂∂=∂∂， y u f y u f y u f y yz x x x sin e )()cos e )((]cos e )([222'-''='∂∂=∂∂， 由x z yz x z 22222e =∂∂+∂∂，有xx u f u f 22e )(e )(=''，即0)()(=-''u f u f ，这是二阶常系数线性齐次微分方程，特征方程是012=-r ，特征根为1121-==r r 、，方程的通解是u u C C u f -+=e e )(21，u u C C u f --='e e )(21，由条件2)0(0)0(='=f f ，，有021=+C C ， 221=-C C ，得1121-==C C 、，所所求函数是u u u f --=e e )(． 例8．求幂级数∑∞=-12!)!12(n nn x 的和函数．解：设∑∞=--=1121!)!12()(n n n x x s ，则0)0(1=s ，且)(1!)!12(1!)!32(1!)!32(1)(11122322221x xs n x x n x x n x x s n n n n n n +=-+=-+=-+='∑∑∑∞=-∞=-∞=-，即1)()(11=-'x xs x s ，这是一阶线性微分方程，通解为 )d e(e )d e (e )(x22xd d 122t C t C x s t x tt xx ⎰⎰--+=⎰+⎰=．由0)0(1=s ，得0=C ，所以幂级数∑∞=-12)!!12(n nn x 的和函数t x xs x s t x d ee)()(x 022122⎰-==．例9．设曲线位于xOy 面的第一象限，曲线上任一点)(y x M ，处的切线与y 轴交于A 点，=，且曲线过点2)323(，，求该曲线方程． 解：设所求曲线为)(x f y =，其在任一点)(y x M ，的切线方程为 ))(()(x X x f x f Y -'=-，令0=X ，得)()(x f x x f Y '-==，有222)]([Y x f Y x =-+，即)()()(2)()(222222x f x x f x xf x f x f x x '+'-='+，亦即yxx y y -='2，这是一阶齐次微分方程，令xu y =，则u x u x f '+=')(，于是u u u x u 1)(2-='+，即u u u x 212+-='，分离变量有x x u u u d d 122-=+，积分得x C u ln )1ln(2=+，即x C xy =+122．由初始条件23)23(=y ，有C 322=，得3=C ，所求曲线方程为x xy 3122=+，由曲线位于第一象限，于是)30(32≤≤-=x x x y ．例10．一个质量为m 的物体，在海平面上由静止开始下沉，经过0t 秒后沉到海底，下沉过程中海水对物体的阻力与物体下沉速度成正比，求物体下沉运动的规律及海洋的深度h ． 解：铅直向下取x 轴，原点在海平面，设时刻t 时，物体位于)(t x x =处，此时受力为t x k mg F d d -=（k 为比例系数），根据牛顿第二定律F ma =，有t xk mg tx m d d d d 22-=，即g tx m k t x =+d d d d 22（这是二阶常系数线性非齐次微分方程），初始条件为00==t x ，0d d 0==x t x．相应齐次微分方程为0d d d d 22=+t xm k tx ，特征方程为02=+r m k r ，特征根为01=r 、mkr -=2，相应齐次微分方程通解为t m kC C X -+=e 21．对原方程g t xm k tx =+d d d d 22，0=n 、0=λ是单重特征根，为此设at x =*，代入到方程之中，有g a m k =，得k mg a =，于是方程g t xm k tx =+d d d d 22的一个特解为t k mg x =*． 方程g t x m k tx =+d d d d 22的通解为=+=*x X x t k mg C C t m k++-e 21． kmg m k C t x t m k+-=-e d d 2，由初始条件00==t x ，0d d 0==x t x，有⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+，，00221k m g mkC C C得222221k g m C k g m C =-=、，所以物体运动规律为t k mgk g m x t m k+-=-)1e (22．当0t t =时，得海洋深度为022)1e (0t k mgkg m h t m k+-=-．。
高阶微分方程_习题课
解：特征方程为 r 2 2r 5 0 ，其根为 r1,2 1 2 i
Y e x (C1 cos 2 x C 2 sin 2 x )
由于 f ( x ) e x sin 2 x 是 e x ( Pl ( x )cos x Pn ( x )sin x ) 型 （其中 Pl ( x ) 0, Pn ( x ) 1, 1, 2 ）,因为 i 1 2 i
pe
e
1 dx 1 x
ln(1 x ) ( e 1 x
dx C1 )
ln(1 x )
C1 ln(1 x ) ln(1 x ) ( e dx C1 ) ln(1 x ) 1 1 x 1 x
C1 1 x
y ( x C1 )ln( x 1) 2 x C2
形如 y ( n ) P1 y ( n1) Pn1 y Pn y f ( x )
n阶常系数线性微分方程
y py qy 0
二阶常系数齐次线性方程
y py qy f ( x ) 二阶常系数非齐次线性方程
解法 由常系数齐次线性方程的特征方程的根确 定其通解的方法称为特征方程法.
x 是特征方程根，所以应设特解 y* xe ( A cos 2 x B sin 2 x )
( y*) e x ( A cos 2 x B sin 2 x ) xe x ( A cos 2 x B sin 2 x )
xe x (2 A sin 2 x 2b cos 2 x )
y py qy 0
特征方程为
r pr q 0
通解的表达式
2
特征根的情况
微分方程习题课1
0
0
分析：此等式中含有积分上限函数，因此想到利用积分
上限函数的性质，求导可建立微分方程，从而求解。
解：等式两边对 x 求导得
f(x ) e x x f(x )xf(t) d t x f(x ) e x xf(t) d t
0
0
两边再对 x 求导得 f(x)exf(x)
即
f(x)f(x)ex
为二阶线性非齐次微分方程，且 f(0)1,f(0)1
(1 ) f(x ) e xP m (x )型
设 y*xkexQ m (x),
0 k 1
不是根 是单根 ,
Q(x)xkQm(x),
2 是重根
Q m (x ) b 0 x m b 1 x m 1 b m 1 x b m
Qm(x)是 Pm(x) 与同次的多项式.
Q(x) (2 p )Q (x )(2pq)Q (x)Pm(x)
当 Q(x)0, 上方程称为齐次的．
当 Q(x)0,
上方程称为非齐次的.
解法 齐次方程的通解为 yCeP(x)dx.
（使用分离变量法） 非齐次微分方程的通解为
y [Q (x )e P (x )dd x x C ]e P (x )dx
（常数变易法）
3、可降阶的高阶微分方程的解法 (1) y(n)f(x)型
无 关 的 特 解 , 那 么 yC1y1C2y2就 是 方 程 (1)的 通 解 .
（2）二阶非齐次线性方程的解的结构:
形 y P ( x ) y 如 Q ( x ) y f ( x ) ( 2 )
定理3 设y*是(2)的一个特解,Y 是与(2)对应 的齐次方程(1)的通解, 那么yYy*是二阶
非齐次线性微分方程(2)的通解.
多元函数微分法习题课
z
x
y
2z + y + λ yz = 0
解方程组
2z + x + λxz = 0
2(x + y) + λxy = 0 xyz −V0 = 0
4 得唯一驻点 x = y = 2z = 3 2V0 , λ = 3 −V 2
0
由题意可知合理的设计是存在的, 因此 , 当高为 3 V0 , 长、宽为高的 2 倍时，所用材料最省. 思考: 思考 1) 当水箱封闭时, 长、宽、高的尺寸如何? x 提示: 提示 利用对称性可知, x = y = z = 3 V0 2) 当开口水箱底部的造价为侧面的二倍时, 欲使造价 最省, 应如何设拉格朗日函数? 长、宽、高尺寸如何? 提示: 提示 F = 2(xz + yz) + 2 x y + λ (x yz −V0 ) 长、宽、高尺寸相等 .
2 2
2. 设 3. 在曲面 平面
求 上求一点 , 使该点处的法线垂直于 并写出该法线方程 . 的切平面
4. 在第一卦限内作椭球面
使与三坐标面围成的四面体体积最小,并求此体积.
4
z
y
例4. 求原点到曲线 的最短距离。 的最短距离。
x 2 + ( y − 1) 2 + z 2 = 4 Γ: x + y + z = 1
习题课
多元函数微分法
一、 基本概念 二、多元函数微分法 三、多元函数微分法的应用
一、 基本概念
1. 多元函数的定义、极限 、连续 • 定义域及对应规律 • 判断极限不存在及求极限的方法 • 函数的连续性及其性质 2. 几个基本概念的关系 连续性 方向导数存在 偏导数存在 可微性
习题课_微分方程(解答)
有两个不相等实根 r1 , r2
有两个相等实根 r r1 r2
有一对共轭复根 r1 ,2 i
y C1e
rx
r1 x
C2 e
r2 x
y e (C1 C2 x)
y e x (C1 cos x C2 sinx)
4
10. 二阶常系数线性非齐次方程 ay '' by ' cy f ( x)
0
x
解： f ( x)sinx x f (t )dt tf (t )dt ， f (0) 0 ，
0 0
x 0
x
x
f ( x)cosx f (t )dt ， f (0)1 ，f ( x ) sin x f ( x ) ，
y y sin x 得初值问题： 。 y(0) 0, y(0)1 1 求得通解为 y C1cos x C 2 sinx xcos x ， 2 1 代入初始条件 y(0)0, y(0)1 ，得 C1 0 ， C 2 ， 2 1 ∴ y f ( x ) (sin x x cos x ) 。 2
(1) α iβ
ex [ Pm ( x ) cos x Pn ( x ) sinx ]
(1) y ex [ RL ( x ) cos x ( 2) RL ( x ) sinx ]
(1) y xex [ RL ( x ) cos x ( 2) RL ( x ) sinx ]
2
9
三、计算题
1．求方程 yy ' (sin x y 2 )cot x 的解。
( y x 2 y 2 )dx xdy 0 ( x 0) 2．求初值问题 的解。 y x1 0
高等数学 第十二章 常微分方程 习题课
1 4x41 2x2y21 4y4
(0,0) (x,0)
1 4x41 2x2y21 4y4c 为原方程的隐式通解.
例 5. (x3x2y)dx(x2yy3)dy0
又.解dy dx
x3xy2 x2yy3
1
y x
y2
x2 y3 x3
齐次方程
设 u x y,则 y x u ,d d x y u x d d u x .
P y(xys(xiyyn ) syi(y x n )2 coy)s
Q x
例 6. dy3(x1)2(y1)2 dx 2(x1)(y1)
解 .令 u x 1 ,v y 1 ,
则dyd(v1) d v dx d(u1) d u
dv 3u2 v2 du 2uv
3
2
v u v u
x
du dx
1 cosu
,
cousdudxx, xcesinxy .
例 3.(cx o )d dx s yysixn 1 解 . d dx y(tax)n ysexc 一阶线性方程
ye ta xd nx se xe c ta xd nd x x c
e lc n x o ss x e e lc c n x d o c s x
uxd du x1 u u u2 3, xd d u x 1 2 u u 2 u 3 u 4 1 u u 2, 1uduu2 dxx, 1 2ln 1u (2) ln xln c,
ln 1 u (2 ) 2 ln x 2 lc n ,
x2(1u2)2c, x2y2c2.
例 5 .( x 3 x 2 ) d y ( x 2 y y 3 ) d 0 y 事 ,x ( x 实 2 y 2 ) d 上 y x ( x 2 y 2 ) d 0 y
常微分方程课后习题答案
常微分方程课后习题答案常微分方程课后习题答案在学习常微分方程的过程中，课后习题是巩固知识和提高能力的重要环节。
通过解答习题，我们可以更好地理解和应用所学的概念和方法。
下面是一些常见的常微分方程习题及其答案，供大家参考。
一、一阶常微分方程1. 求解方程：dy/dx = 2x。
解：对方程两边同时积分，得到y = x^2 + C，其中C为常数。
2. 求解方程：dy/dx = x^2 - 1。
解：对方程两边同时积分，得到y = (1/3)x^3 - x + C，其中C为常数。
3. 求解方程：dy/dx = 3x^2 + 2。
解：对方程两边同时积分，得到y = x^3 + 2x + C，其中C为常数。
二、二阶常微分方程1. 求解方程：d^2y/dx^2 + 4dy/dx + 4y = 0。
解：首先求解特征方程：r^2 + 4r + 4 = 0，解得r = -2。
因此，方程的通解为y = (C1 + C2x)e^(-2x)，其中C1和C2为常数。
2. 求解方程：d^2y/dx^2 + 2dy/dx + y = x^2。
解：首先求解特征方程：r^2 + 2r + 1 = 0，解得r = -1。
因此，方程的通解为y = (C1 + C2x)e^(-x) + (1/6)x^2 - (1/2)x + (1/2)，其中C1和C2为常数。
3. 求解方程：d^2y/dx^2 + 3dy/dx + 2y = e^(-x)。
解：首先求解特征方程：r^2 + 3r + 2 = 0，解得r = -1和r = -2。
因此，方程的通解为y = (C1e^(-x) + C2e^(-2x)) + (1/3)e^(-x)，其中C1和C2为常数。
三、应用题1. 一个物体在空气中的速度满足以下方程：dv/dt = -9.8 - 0.1v，其中v为速度，t为时间。
求物体的速度随时间的变化情况。
解：这是一个一阶线性常微分方程。
将方程改写为dv/(9.8 + 0.1v) = -dt，再两边同时积分，得到ln|9.8 + 0.1v| = -t + C，其中C为常数。
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提示: 这是一阶线性方程 , 其中
dy y (3) d x 2 ( ln y x) 提示: 可化为关于 x 的一阶线性方程
公式
(6) y y y2 1 0
提示: 为可降阶方程 , 令 p y( p p( y)) y p
2、一阶微分方程的解法
(1) 可分离变量的微分方程
形如 g( y )dy f ( x )dx
解法
g( y )dy f ( x )dx
分离变量法
dy y (2) 齐次方程 形如 f( ) dx x y 解法 作变量代换 u x
) y Q( x ) dx
解：等式两边对 x 求导得
f ( x) e xf ( x) f (t )dt xf ( x) e f (t )dt
x x 0 0
x
x
两边再对 x 求导得
( x ) e x f ( x ) f
即
f ( x ) f ( x ) e x
为二阶线性非齐次微分方程，且 f (0) 1, f (0) 1 可解得此二阶常系数非齐次线性微分方程的通解为
B 417
若 (7) 中非齐次项改为
提示:
特解设法有何变化 ?
故 y* A cos 2 x B sin 2 x D
P354 题4(2) 求解
y a y 2 0 y x 0 0 , y
x 0
1
提示: 令 则方程变为 1 积分得 a x C1 , 利用 p x 0 y x 0 1 得 C1 1 p dy 1 , 并利用 y x 0 0 , 定常数 C2 . 再解 dx 1 ax
练习题: P353 题 2 (2); 3 (7) ; 4 (2)；
解答提示
P353 题2 (2) 求以 为通解的微分方程 .
提示: 由通解式可知特征方程的根为
故特征方程为 因此微分方程为
P353 题3 求下列微分方程的通解
(7) y 2 y 5 y sin 2 x
特征根:
齐次方程通解: Y e x ( C1 cos 2 x C2 sin 2 x ) 令非齐次方程特解为 代入方程可得 A 117 , 思考 原方程通解为 y e x ( C1 cos 2 x C2 sin 2 x )
解法 由常系数齐次线性方程的特征方程的根确 定其通解的方法称为特征方程法.
y py qy 0
特征方程为
r pr q 0
2
特征根的情况
通解的表达式
r2 实根r1 r2
实根r1 复根r1, 2
i
y C 1e r x C 2 e r x y ( C 1 C 2 x )e r x y ex (C1 cos x C 2 sin x )
公式
(10) y x x 2 y
提示: 令 u x 2 y x , 即 y 2 x u u 2 , 则 du du dy 2u 2u 2x dx dx dx 原方程化为
2 d u e u
2 u du 2e du C
x
1 2 2 u 2 du C u 故原方程通解
（常数变易法）
3、可降阶的高阶微分方程的解法
(1) y
(n)
f ( x) 型
解法 接连积分n次，得通解．
( 2)
特点 解法
y f ( x , y) 型
不显含未知函数 y .
令 y P ( x ),
y P ,
代入原方程, 得 P f ( x, P).
( 3)
特点 解法
思考 若问题改为求解 y
则求解过程中得
x 0
0,
问开方时正负号如何确定?
P348,6.设函数 f ( x ) 连续，且满足
f ( x ) e tf (t )dt x f (t )dt
x 0 0 x x
，求 f ( x )
分析：此等式中含有积分上限函数，因此想到利用积分 上限函数的性质，求导可建立微分方程，从而求解。
* 1 * 2
设非齐次方程(2)的右端 f ( x ) 是几个函
数之和, 如 y P ( x ) y Q( x ) y f 1 ( x ) f 2 ( x ) 而 y 与 y 分别是方程,
y P ( x ) y Q( x ) y f 1 ( x ) y P ( x ) y Q( x ) y f 2 ( x )
1 2 2
６、二阶常系数非齐次线性微分方程解法
y py qy f ( x )
二阶常系数非齐次线性方程
解法
待定系数法.
(1)
0 不是根 设 y* x k exQm ( x) , k 1 是单根 k 2 是重根 Q( x) x Qm ( x) ,
f ( x ) e Pm ( x ) 型
微分方程的解 代入微分方程能使方程成为恒等 式的函数称为微分方程的解．
通解 如果微分方程的解中含有任意常数，并且 任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的 解叫做微分方程的通解． 特解 确定了通解中的任意常数以后得到的解， 叫做微分方程的特解． 初始条件 用来确定任意常数的条件.
初值问题 求微分方程满足初始条件的解的问题， 叫初值问题．
第七章 微分方程习题课（一）
高阶微分方程
微分方程解题思路
分离变量法
一阶方程
作 降 变 阶 换
作变换
齐次方程
积分因子
常数变易法
特征方程法 待定系数法
非 变 量 可 分 离
高阶方程
1、基本概念
微分方程 凡含有未知函数的导数或微分的方程 叫微分方程． 微分方程的阶 微分方程中出现的未知函数的最
高阶导数的阶数称为微分方程的阶．
x
,
Qm ( x) b0 x b1 x
m
m 1
bm1 x bm
Qm (x)是 Pm (x) 与同次的多项式.
Q (x)
(2 p q ) Q ( x) Pm (x)
( 2)
f ( x ) e [ Pl ( x ) cos x Pn ( x ) sin x ] 型
上方程称为齐次的． 上方程称为非齐次的.
P ( x ) dx
当 Q ( x ) 0,
当 Q ( x ) 0,
解法 齐次方程的通解为 y Ce 非齐次微分方程的通解为
.
（使用分离变量法）
P ( x )dx dx C ]e P ( x )dx y [ Q( x )e
* * 的特解, 那么 y1 y 2 就是原方程的特解.
５、二阶常系数齐次线性方程解法
形如 y ( n ) P1 y ( n1) Pn1 y Pn y f ( x )
n阶常系数线性微分方程
y py qy 0
二阶常系数齐次线性方程
y py qy f ( x ) 二阶常系数非齐次线性方程
定理 1 如果函数 y1 ( x ) 与 y2 ( x ) 是方程(1)的两个 解,那末 y C1 y1 C 2 y2 也是(1)的解.（C1 , C 2 是常 数）
定理 2：如果 y1 ( x )与 y 2 ( x ) 是方程(1)的两个线性 无关的特解, 那么 y C1 y1 C 2 y2 就是方程(1)的通 解.
练习题: P353 题1，2，3 (1), (2), (3), (6), (10)
(题3只考虑方法及步骤)
P353 题2 求以
为通解的微分方程.
( x C ) 2 y 2 1 消去 C 得 提示: 2 ( x C ) 2 y y 0 P353 题3 求下列微分方程的通解:
x
设y* x e [ R ( x) cos x R ( x) sin x],
(1) m ( 2) m
( ( 其中 Rm1 ) ( x ), Rm2 ) ( x )是m 次多项式，m maxl , n
k x
0 i不是特征方程的根时; k 1 i是特征方程的单根时.
dp 2 yp p 1 0 dy
pdp dy 2 p 1 y
dp dy
1 ln( p 2 1) ln y ln C1 p 2 (C1 y) 2 1 2 dy 2 p (C1 y ) 1 y (C1 y ) 2 1 dx dy dx ln C1 y (C1 y ) 2 1 C1 x C2 2 (C1 y ) 1
y f ( y , y) 型
不显含自变量 x .
令 y P ( x ),
dp y P , dy
dp 代入原方程, 得 P f ( y , P ). dy
４、线性微分方程解的结构
（1） 二阶齐次方程解的结构:
y P ( x ) y Q( x ) y 0 (1) 形如
（2）二阶非齐次线性方程的解的结构:
形如 y P ( x ) y Q( x ) y f ( x ) ( 2)
定理 3
设 y * 是 ( 2) 的一个特解, Y 是与(2)对应
的齐次方程(1)的通解, 那么 y Y y * 是二 阶 非齐次线性微分方程(2)的通解.
定理 4
1 x f ( x ) C1 cos x C2 sin x e 2
再由 f (0) 1, f (0) 1 ，可得特解
1 x f ( x ) (cos x sin x e ) 2