微积分：微分方程-习题课
《微积分》(中国商业出版社经管类)课后习2题答案九
令 y = u. y = ux. y' = u + u'.x
x ⇒ u + u' x = u + 1 + u2
4
经计算可得 1 + 4cy − c2x2 = 0 4．求列下微分方程初值问题的特解：
（1） dx + 4dy = 0 , y(4) = 2 ; yx
4
+
6
y
⎞ ⎟
⎝ x⎠
令 y x = u, y = ux, y' = u' x + u
dy = u' x + u = 3 + 5u
dx
− 4 − 6u
3 + 5u + 4u + 6u2 1
⇒ u'=
⋅
− 4 − 6u
x
6u2 + 9u + 3 1
=
⋅
− 6u − 4 x
求出 u 与 x 的方程,再将 u = y x 代入
⇒ arcsin y = ln( x + x2 + 1) + c
4． (x + 2 y)dx + (2x − 3y)dy = 0
∵ ∂p ∂y
=2=
∂Q ∂x
取x 0
= 0, y0
=0
(x , y)
则
u( x,
y)
=
∫
(0
,
(x 0)
+
2 y )dx
+
(2x
−
3 y)dy
= 1 x2 + 4x − 3 y2 = c
微积分下 第二版 课后习题答案 同济大学
习题1—1解答 1． 设y x xy y x f +=),(，求),(1),,(),1,1(),,(y x f y x xy f y x f y x f -- 解yxxy y x f +=--),(；x xy y y x f y x y x xy f x y xy y x f +=+=+=222),(1;),(;1)1,1(2． 设y x y x f ln ln ),(=，证明：),(),(),(),(),(v y f u y f v x f u x f uv xy f +++=),(),(),(),(ln ln ln ln ln ln ln ln )ln )(ln ln (ln )ln()ln(),(v y f u y f v x f u x f v y u y v x u x v u y x uv xy uv xy f +++=⋅+⋅+⋅+⋅=++=⋅=3． 求下列函数的定义域，并画出定义域的图形： （1）;11),(22-+-=y x y x f（2）;)1ln(4),(222y x y x y x f ---=（3）;1),(222222cz b y a x y x f ---=（4）.1),,(222zy x z y x z y x f ---++=解（1）}1,1),{(≥≤=y x y x D （2）}{xy y x y x D 4,10),(222≤<+<=（3）⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤++=1),(222222c z b y a x y x D（4）{}1,0,0,0),,(222<++≥≥≥=z y x z y x z y x D4．求下列各极限：（1）22101limy x xy y x +-→→=11001=+- （2）2ln 01)1ln(ln(lim022)01=++=++→→e yx e x y y x（3）41)42()42)(42(lim 42lim000-=+++++-=+-→→→→xy xy xy xy xy xy y x y x（4）2)sin(lim )sin(lim202=⋅=→→→→x xy xy y xy y x y x5．证明下列极限不存在：（1）;lim 00yx y x y x -+→→ （2）2222200)(lim y x y x y x y x -+→→ （1）证明 如果动点),(y x P 沿x y 2=趋向)0,0( 则322lim lim0020-=-+=-+→→=→x x xx y x y x x x y x ；如果动点),(y x P 沿y x 2=趋向)0,0(，则33lim lim 0020==-+→→=→y yy x y x y y x y所以极限不存在。
微积分习题讲解与答案
习题8.11。
指出下列微分方程的阶数,并指出哪些方程是线性微分方程： (1)02)(2=+'-'xy y y y x (2) 02=+'-y y x y x (3）0)(sin 42=+''+'''y x y y x (4)θθ2sin d d =+p p解 (1) 1阶 非线性 (2） 1阶 线性 （3) 3阶 线性 (4) 1阶 线性2.验证下列函数是否是所给微分方程的解 （1) xxy x y y x sin ,cos ==+' （2） 2212,2)1(x C y x xy y x -+==+'- （C 为任意常数） （3) xCe y y y y ==+'-'',02 (C 为任意常数） （4) x xe C eC y y y y 21212121,0)(λλλλλλ+==+'+-'' (C 1 ,C 2为任意常数)（5） C y xy x y x y y x =+--='-22,2)2( (C 为任意常数) (6) )ln(,02)(2xy y y y y y x y x xy =='-'+'+''- 解 (1) 是，左=x x xx x x x xcos sin sin cos 2=+-=右(2) 是，左=x x C x x Cx x 2)12(1)1(222=-++---=右（3） 是,左=02=+-xxxCe Ce Ce =右 （4） 是,左=0)())(()(2121212121221121222211=++++-+x x x x x xe C e C e C e C eC e C λλλλλλλλλλλλλλ =右(5） 是，左==-=---y x yx yx y x 222)2(右（6） 是，左=x xy yx xy y y x xy y x x xy xy xy xy x xy ---+-+----2)()(22)(22332=0)())(2()()(222222232=---+-+---x xy x xy y y x xy xy x xy xy xy xy = 右3.求下列微分方程的解（1） 2d d =x y； （2) x xy cos d d 22=； （3） 0d )1(d )1(=--+y y x y (4) yx xy y )1()1(22++=' 解 (1)C x y x y +==⎰⎰2,d 2d（2) 1sin ,d cos d C x y x x x y +='=''⎰⎰211cos ,d )(sin d Cx C x y x C x x y ++-=+='⎰⎰(3）⎰⎰=+-x y y yd d 11⎰⎰=+++-x y y y d d 12)1(解得⎰⎰⎰=++-x y yy d d 12d 即 C x y y +=++-|1|ln 2(4）⎰⎰+=+dx x xdy y y )1(122解得 2122)1ln()1ln(C x y ++=+整理得 22211C x y =++4。
微积分四章节微分方程章节外习题答案
e
1 dx x(x1)
[
e
1 dx
x(x1) dx
c]
x ( x ln x c ). x1
又
y(1) 0, c 1,
特解
y x ( x ln x 1).
1 xa
10
p 8 5 .三 .1 . 通 解 y e sin x ( x c ).
2.
dx 1 x ( y 1 ),
5c2 cos 5 x 5c1 sin 5 x )e 2x .
y x 0 0 , y x 0 1 5 , c1 0 , c 2 3 ,
特解
y 3e 2x sin 5 x.
a
24
p 9 0 .二 .4 .解 : r 3 2 r 2 r 0 , r ( r 1)2 0 ,
dt t
dy y ln y y
dx 1
arctan y
(3) dy 1 y2 x 1 y2 .
a
8
p 8 5 .二 .1 .
x yy
y
x2
x1
2
y
2
,
d d
y x
x y yx
y 2 x1
(1) ,
令 u y , 得 dy u x du ,代 入 (1)得
x
dx
dx
du dx
r1 0 , r2 ,3 1 ,
通 解 y c1 (c2 c3 x )e x .
y (c3 c2 c3 x )e x ,c2 c3 c3 x c3
y ( c 2 2 c 3 c 3 x )e x
y 2, x0
y
x0
0,
y
x
0
1,
c1 1,c2 c3 1,
微积分B(2)第1次习题课参考答案(极限、连续、可微)_168607827
=
lim cos 2θ
ρ →0
=
0,
θ = π, 4
−1,
θ = π, 2
所以极限 不存在． lim (x, y)→(0,0)
x2 x2
− +
y2 y2
方法 3：因为 ， ，所以极限 不存在． x2
lim
x→0
lim
y→0
x2
− +
y2 y2
=1
lim lim
y→0 x→0
x2 x2
− +
y2 y2
(0, 0) ∂y
=
lim
y→0
f
(0, y) − y
f
(0, 0)
=
lim
y→0
f
(0, y
y)
= lim y→0
f
(0, y) y2
⋅
y
=
A×0
=
0
因为 ，所以 lim x→0 y→0
f
(x, y) − f (0, 0) x2 + y2
=
lim
x→0 y→0
f (x, y) x2 + y2
⋅
x2 + y2 = A× 0 = 0
1
ye xy + exy
=
∂ ∂y
y
−
y 1 + exy
=1−
1 + exy (1 +
− xyexy exy )2
所以 ， ． ∂z ∂x
(0,0)
=0
∂2z ∂y∂x
=1− 1 = 1 22
(0,0)
（ ）已知 ，求 ． 3
z = ln(2 + x2 + y4 )
微积分教学课件第9章微分方程
解: 方程变 dy2 形 y为 y2,令 u y , 则有
dx x x
x
uxu2uu2
分离变量 u2duudxx
即 1 1dudx
u1 u
x
积分得 lnu1lnxlnC, 即 x(u1) C
u
u
代回原变量得通解 x(yx)C y(C 为任意常数)
说明: 显然 x = 0 , y = 0 , y = x 也是原方程的解, 但在
例2. 已知曲线上点 P(x, y) 处的法线与 x 轴交点为 Q
且线段 PQ 被 y 轴平分, 求所满足的微分方程 .
解: 如图所示, 点 P(x, y) 处的法线方程为
Yy
1 (Xx) y
y
令 Y = 0 , 得 Q 点的横坐标
Xxyy
x yy x, 即 yy2x0 Q o
P xx
微积分
微积分
第9章 微分方程
9.1 基本概念 9.2 一阶方程求解 9.3 可隆阶高阶方程举例
微积分
9.1 微分方程的基本概念
几何问题 引例
物理问题
微分方程的基本概念
微积分
引例1. 一曲线通过点(1,2) ,在该曲线上任意点处的
切线斜率为 2x , 求该曲线的方程 .
解: 设所求曲线方程为 y = y(x) , 则有如下关系式:
dx x
解法: 令 u y , 则yux, dy uxdu ,
x
dx
dx
代入原方程得 uxdu (u)
dx
分离变量:
du dx
(u)u x
两边积分, 得
du
(u)u
dxx
积分后再用 y 代替 u, 便得原方程的通解. x
微积分9章2线性微分方程
= ce ∫
1 dx x
= ce ln x = cx
dy = 2y dx dy = 2y 【解 】 dx
(5)
⇒
dy − 2y = 0 dx
[ p( x ) = −2 ]
y = ce
− ( −2 ) dx
∫
= ce
2 dx
∫
= ce 2 x
5 16
( 6)
dy = y cos x dx dy = y cos x ⇒ dy − (cos x ) y = 0 dx dx
[ p( x ) = 1 ]
y = ce
= ce − x
( 2) y ′ = y
【解 】 y ′ = y ⇒ y ′ − y = 0
[ p( x ) = −1 ]
y = ce
− ( −1) dx
∫
∫ dx = ce x = ce
[ p( x ) = x ]
− x2
4 16
1 2
( 3) y′ + xy = 0
= ( x + 1) ( x + 1) 2 + c 2 1 = ( x + 1) 4 + c ( x + 1) 2 2
注意
求解一阶线性微分方程， (1) 求解一阶线性微分方程，直接使用通解公式即
可。不必像教材中使用常数变易法，因为计算量太大。 不必像教材中使用常数变易法，因为计算量太大。
14 16
dx 1 + x = y2 或 dy y 这就是说， 当作未知函数， 这就是说，如果把 x 当作未知函数，那么所给出的方程是
一阶线性微分方程。 一阶线性微分方程。 【解】根据一阶线性微分方程的通解公式
微积分第二章习题参考答案
f ( 0 )
lim
x 0
(2e x
1) x
1
2,
f ( 0 )
lim
x 0
(x2
bx x
1)
1
b ,
b
2.
当 a 1,b 2时 , f ( x )在 x 0处 可 导 .
5.设 t时 刻 水 面 的 高 度 为 h , 液 面 半 径 为 r ,则 r R h , H
2.当 0时 ,函 数 在 x 0处 连 续 ,
当 0时 ,函 数 在 x 0处 不 连 续 ;
当 1时 ,函 数 在 x 0处 可 导 ,
当 1时 ,函 数 在 x 0处 不 可 导 .
五 .证 明.
设 切 点 为( x0, y0 ),
y( x0 )
a2
x
2 0
y0 x0
y
x
y y( y x ln y) . x( x y ln x)
3.解 : y ln(1 t) ln(1 t),
y(n)
(1)n1 [(1 t)n
1 (1 t)n
](n 1)!.
4.解 : f (0 0 ) lim (2e x a ) 2 a , x 0 f (0 0) lim ( x 2 bx 1) 1, x 0
,
切线方程为
:
y
y0
y0 x0
(x
x0 ),其 截 距 式 为
xy 1,
2 x0 2 y0
切线与两坐标轴构成的三角形面积
S
1 2
| 2x0
|
| 2 y0
|
2a 2为 常 数 ,与 切 点 无 关 .
§2.2求导法则(21-22)
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(A) y P , 则y P ；
(B) y P , 则y P dP ； dy
(C) y P , 则y P dP ； dx
(D) y P , 则y P dP . dy
8、已知方程x 2 y xy y 0 的一个特解为y x ,于
是方程的通解为( ).
(A) y C1 x C2 x 2； (C) y C1 x C2e x ；
(B)
y
C1 x
C2
1； x
(D) y C1 x C2e x .
10、方程 y 3 y 2 y e x cos 2x 的一个特解形式是 ( ). (A) y A1e x cos 2 x ； (B) y A1 xe x cos 2 x B1 xe x sin 2 x ； (C) y A1e x cos 2 x B1e x sin 2 x ；
(2) y f ( y, y)令 y P( x), 则y P dp , dy
高阶方程 y(n) f (x) 接连积分n次，
1、基本概念
微分方程 凡含有未知函数的导数或微分的方程 叫微分方程． 微分方程的阶 微分方程中出现的未知函数的最 高阶导数的阶数称为微分方程的阶．
微分方程的解 代入微分方程能使方程成为恒等 式的函数称为微分方程的解．
解 原方程可化为
dy dx
y x
cos y
(
y
x sin
y sin x
y cos
y
x y
),
xx x
令 u y , y ux, y u xu. 代入原方程得 x
u xu u(cos u usin u), usin u cos u
分离变量
usin u cos u du dx ,
(D) y A1 x 2e x cos 2 x B1 x 2e x sin 2 x .
二、求下列一阶微分方程的通解: 1、xy ln x y ax(ln x 1) ；
2、方程 xy x 2 y 2 y 是( ).
(A)齐次方程；
(B)一阶线性方程；
(C)伯努利方程； (D)可分离变量方程 .
3、 dy dx 0 , y(1) 2的特解是( ). y2 x2
(A) x 2 y 2 2 ；
(B) x 3 y3 9 ；
(C) x 3 y 3 1；
解是( ).
(A)
y
e
P ( x )dx
[
Q( x)e P( x)dx dx C ]；
(B) y e P( x)dx Q( x)e P( x)dx dx ；
(C) y e [ P( x)dx Q( x)e P( x)dx dx C ]；
(D) y ce . P( x)dx
上方程称为非齐次的.
解法 齐次方程的通解为 y Ce P( x)dx .
（使用分离变量法）
非齐次微分方程的通解为
y [ Q( x)e P( x)dxdx C]e P( x)dx
（常数变易法） (5) 伯努利(Bernoulli)方程
形如 dy P( x) y Q( x) yn (n 0,1)
通解 如果微分方程的解中含有任意常数，并且 任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的 解叫做微分方程的通解．
特解 确定了通解中的任意常数以后得到的解， 叫做微分方程的特解．
初始条件 用来确定任意常数的条件.
初值问题 求微分方程满足初始条件的解的问题， 叫初值问题．
2、一阶微分方程的解法
(1) 可分离变量的微分方程
(3) y f ( y, y) 型
特点 不显含自变量 x. 解法 令 y P( x), y P dp ,
dy 代入原方程, 得 P dp f ( y, P).
dy
二、典型例题
例1 求通解
y( x cos y y sin y)dx x( y sin y x cos y)dy.
x
x
x
x
形如 g( y)dy f ( x)dx
解法 g( y)dy f ( x)dx
分离变量法
(2) 齐次方程 形如 dy f ( y) dx x
解法 作变量代换 u y x
(3) 一阶线性微分方程
形如 dy P( x) y Q( x) dx
当Q( x) 0,
上方程称为齐次的．
当Q( x) 0,
微分方程类型 及解题思路：
一阶方程
作 变 换
降 阶
二阶方程
形如 g( y)dy f ( x)dx 分离变量法
形如 dy f ( y) dx x
作代换u y x
形如 dy P( x) y Q( x) dx
齐次的 当Q( x) 0, 分离变量
非齐次的 当Q( x) 0, 常数变异法
(1) y f (x, y) 令 y P( x),则 y P,
dx
当n 0,1时， 方程为线性微分方程.
当n 0,1时， 方程为非线性微分方程.
3、可降阶的高阶微分方程的解法
(1) y(n) f ( x) 型
解法 接连积分n次，得通解．
(2) y f ( x, y) 型
特点 不显含未知函数 y. 解法 令 y P( x), y P, 代入原方程, 得 P f ( x, P( x)).
dP 1 P 2
P
,
dy 2 y
解得， 1 P2 C1 y,
P C1 y 1,
即 dy dx
C1 y 1,
故方程的通解为 2 C1
C1 y 1 x C2.
参数方程微商复习
隐含的初值条件
综合应用题 解此微分方程得
测验题
一、选择题:
1、一阶线性非齐次微分方程 y P(x) y Q(x)的通
2ucos u
x
两边积分
ln( ucos u) ln x2 ln C ,
ucos u C , x2
y cos y C , x x x2
所求通解为 xycos y C. x
例5 求通解 y 1 y2 . 2y
解 方程不显含 x .
令 y P, y P dP , 代入方程，得 dy
(D) x 3 y 3 1. 33
4、方程 y sin x 的通解是( ).
(A)
y
cos
x
1 2
C1
x2
C2
x
C3；
(B)
y
sin
x
1 2
C1 x2
C2
x
ห้องสมุดไป่ตู้
C3；
(C) y cos x C1 ；
(D) y 2 sin 2 x .
7、求方程 yy ( y)2 0 的通解时,可令( ).