微积分基本公式与计算
微积分基本公式与计算
微积分基本公式与计算微积分是数学的一个分支，主要研究函数的极限、导数、积分等基本概念和基本运算法则。
本文将介绍微积分的基本公式和计算方法。
1.极限：极限是微积分的基本概念之一，用来描述函数在特定点处的趋势。
极限的计算有以下几个基本公式：-基本极限公式：- $\lim_{x\to c} x = c$：常数函数的极限是其本身。
- $\lim_{x\to c} k f(x) = k \lim_{x\to c} f(x)$：常数倍法则。
- $\lim_{x\to c} (f(x) + g(x)) = \lim_{x\to c} f(x) +\lim_{x\to c} g(x)$：和法则。
- $\lim_{x\to c} (f(x) \cdot g(x)) = \lim_{x\to c} f(x)\cdot \lim_{x\to c} g(x)$：积法则。
- $\lim_{x\to c} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim_{x\to c}f(x)}{\lim_{x\to c} g(x)}$（假设$\lim_{x\to c} g(x) \neq 0$）：商法则。
-重要极限：- $\lim_{x\to \infty} \frac{1}{x} = 0$：无穷小的定义。
- $\lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$：著名的夹逼定理的应用。
- $\lim_{n\to \infty} (1+\frac{1}{n})^n = e$：自然对数的底数。
2.导数与微分：导数是函数在其中一点处的变化率，表示函数的斜率。
导数的计算有以下几个基本公式：-基本导数公式：- $\frac{d}{dx} (k f(x)) = k \frac{d}{dx} f(x)$：常数倍法则。
- $\frac{d}{dx} (f(x) + g(x)) = \frac{d}{dx} f(x) +\frac{d}{dx} g(x)$：和法则。
微积分基本公式与计算
微积分基本公式与计算微积分是数学中的一个分支，研究的是函数的变化、变化率和积分运算。
微积分的基本公式是指在微积分的基础知识中常用的、基础性的公式和计算方法。
下面将介绍微积分中的基本公式与计算方法。
1.导数公式导数是函数在其中一点上的变化率，描述了函数沿着自变量的变化速率。
常用的导数公式如下：（1）常数函数的导数为0：d(c)/dx = 0，其中c为常数。
（2）幂函数的导数为幂次与系数的乘积：d(x^n)/dx = nx^(n-1)，其中n为实数。
（3）指数函数的导数为函数自身与底数的乘积：d(a^x)/dx = ln(a) * a^x，其中a为底数。
（4）对数函数的导数为导数值与函数自身的倒数的乘积：d(log_a(x))/dx = 1/(x * ln(a))，其中a为对数的底数。
2.求导法则求导法则是指求导数时常用的一些运算规则。
常用求导法则如下：（1）和差法则：d(u ± v)/dx = du/dx ± dv/dx，其中u和v是两个函数。
（2）乘积法则：d(uv)/dx = u * dv/dx + v * du/dx，其中u和v是两个函数。
（3）商法则：d(u/v)/dx = (v * du/dx - u * dv/dx) / v^2 ，其中u和v是两个函数，v≠0。
（4）链式法则：如果函数y = f(u)和u = g(x)有关系，那么y对x 的导数可以表示为：dy/dx = dy/du * du/dx。
3.积分公式积分是导数的逆运算，是计算函数在一个区间上面积的方法。
常用的积分公式如下：（1）不定积分的基本公式：∫f(x)dx = F(x) + C，其中F'(x) = f(x)，C为常数。
（2）定积分的基本公式：∫[a, b]f(x)dx = F(b) - F(a)，其中F'(x) = f(x)。
（3）换元积分法：根据函数的复合结构，选择适当的变量替换，使得被积函数简化，然后再进行积分。
微积分常用公式及运算法则(上册)
0,
π 2
1
lim nn = 1
n→∞
1
lim x x = 1
x→+∞
lim
x→∞
1
+
1 x x
=
e,
lim
x→∞
1
−
1 x x
=
1 , lim (1+
e x→0
1
x)x
=e
等价无穷小： 当x → 0时, x ∼ sin x ∼ tan x ∼ arcsin x ∼ arctan x ∼ ln(1+ x) ∼ ex −1; 1− cos x ∼ x2 ;(1+ x)a −1 ∼ ax(a ≠ 0);
2!
n!
sin x = x − 1 x3 + 1 x5 −⋯ 3! 5!
柯西中值定理： 若f , g ∈C[a,b],并且f , g ∈ D(a,b),在(a,b)内 g(x) ≠ 0, 那么至少存在一点ξ ∈ (a,b)，使 f (b) − f (a) = f ′(ξ ) g(b) − g(a) g′(ξ )
泰勒中值定理：
如果函数f (x)在含x0的某个开区间(a, b) 内具有(n +1)阶导数，即f ∈ Dn+1(a,b)，
u v
′
=
u′v − uv′ v2
设x = ϕ ( y)，它的反函数是y = f (x)，则有
f
′( x)
=
1 ϕ′( y)
链式求导法则：d y = d y id u dx du dx
对数求导法则：
求幂指函数y = [u(x)]v(x)的导数时，
可先取对数，得 ln y = v(x) ln u(x)，
微积分基本公式16个
微积分基本公式16个1. 微分：微分是数学中最重要的概念之一，它指的是在一定时间内几何形状的变化率。
可以理解为小步长地移动拟合函数，接近曲线本身。
可以表示为\frac{dy}{dx} 或f'(x) 。
2. 泰勒公式：泰勒公式是一个重要的微积分工具，它可以在某一特定点附近对任意连续函数进行展开，也就是说任意设定一个位置x0，可以根据它附近的数值向量求出函数在该位置的平均值。
可以用公式表示为：f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0) + \frac{f''(x_0)(x-x_0)^2}{2!} + \frac{f^{n}(x_0)(x-x_0)^n}{n!} + ...3. 高斯积分公式：高斯积分是指将函数抽象为一次多项式曲线，采用指数型或线性型积分方法求解积分。
它可以用公式f(x)=\sum_{i=0}^n a_i x^i 表示，其中a_i为积分下限、上限和积分点x_i处函数值相乘所得到的系数。
4. 黎曼积分：黎曼积分是一种常用的积分方法，它通过对连续函数求和，来确定函数在给定区间上的定积分。
可以用公式表示为：\int_{a}^{b}f(x)dx=\sum_{i=1}^{n}f(x_i)\Delta x_i ,其中n为梯形的节点数。
5. Stokes公式：Stokes公式是一种将多变量函数投影到多方向进行积分的方法，可以用公式表示为：\int_{\Omega}\nabla\times{\bf F} dA =\int_{\partial\Omega}{\bf F}\cdot{\bf n}dS，其中\nabla\times{\bf F} 为梯度矢量场，\partial\Omega 为边界，{\bfn}dS 为单位向量与边界面积的乘积。
6. Γ函数：Γ函数是一种重要的数学函数，通常用来表示非负整数的排列组合，也可以表示实数的阶乘，可以用公式表示为：\Gamma(x)=\int_0^{\infty}t^{x-1}e^{-t}dt7. 方阵的行列式：方阵的行列式是指一个n阶矩阵的行列式，可以用公式表示为：D= |a_{i,j}| = \begin{vmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & ... & a_{1,n} \\ a_{2,1} & a_{2,2} & ... & a_{2,n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n,1} & a_{n,2} & ... & a_{n,n} \end{vmatrix} ，其中a_{i,j} 为矩阵中的元素。
微积分常用公式及运算法则
微积分常用公式及运算法则1.调和级数：调和级数为H(n)=1+1/2+1/3+...+1/n，其中n为正整数。
它是发散级数，在计算机科学和数学中都有重要应用。
2.多项式级数：多项式级数为f(x)=a0+a1x+a2x^2+a3x^3+...。
其中a0、a1、a2是常数系数，x是变量。
多项式级数可以直接求和，也可以使用其他方法进行求和。
3.幂级数：幂级数为f(x)=c0+c1(x-a)+c2(x-a)^2+c3(x-a)^3+...。
其中c0、c1、c2是常数系数，a是常数。
幂级数可以表示为基于常数系数和常数a的级数。
4.泰勒级数：在微积分中，泰勒级数是一种用函数的高阶导数来逼近函数的方法。
泰勒级数可以将函数表示为一个无限级数。
5.泰勒公式：泰勒公式是泰勒级数的具体表达形式。
泰勒公式可以将函数在其中一点的值表示为该点的函数值和函数的各阶导数值的线性组合。
6.均值定理：均值定理是微积分中的重要定理，它指出在其中一区间上，连续函数的平均变化率等于该区间内其中一点的瞬时变化率。
7.拉格朗日中值定理：拉格朗日中值定理是微积分中的一类中值定理，它指出在其中一区间上，连续函数的导数必在其中一区间内的其中一点等于函数在该区间两个端点的斜率。
8.柯西中值定理：柯西中值定理是微积分中的一类中值定理，它指出在其中一区间上，连续函数的导数必在其中一区间内的其中一点等于函数在该区间两个端点的斜率。
9.极值点：极值点是函数在其中一区间内的最大值点或最小值点。
极值点可以使用导数的符号和戴布尔不等式来判断。
10.弧长：弧长是曲线上的一段长度。
计算曲线的弧长可以使用微积分的方法，如积分的方法。
11.曲率：曲率是表示曲线弯曲程度的一个数值。
曲率可以使用导数和二阶导数计算。
12.方向角：方向角是表示曲线在其中一点的切线方向的角度。
方向角可以使用导数计算。
微积分公式大全
微积分公式大全1.极限与连续1.1 极限的定义：对于函数$f(x)$，当$x$趋向于$a$时，如果对于任意给定的$\epsilon > 0$，总存在与$a$不相等的$x$使得当$0 < ，x-a，< \delta$时，$，f(x) - L， < \epsilon$，我们就说函数$f(x)$在$x=a$处的极限为$L$，记作$\lim_{x \to a}f(x)=L$。
1.2基本极限公式：a) $\lim_{x \to a}c = c$，其中$c$为常数；b) $\lim_{x \to a}x = a$；c) $\lim_{x \to a}x^n = a^n$，其中$n$为正整数；d) $\lim_{x \to a} \sin x = \sin a$；e) $\lim_{x \to a} \cos x = \cos a$；f) $\lim_{x \to a} \tan x = \tan a$，其中$a \neq\frac{\pi}{2} + \pi k$，$k$为整数；g) $\lim_{x \to a} \ln x = \ln a$，其中$a > 0$。
1.3极限的运算法则：a) $\lim_{x \to a}[f(x) \pm g(x)] = \lim_{x \to a}f(x) \pm \lim_{x \to a}g(x)$；b) $\lim_{x \to a} kf(x) = k \lim_{x \to a}f(x)$，其中$k$为常数；c) $\lim_{x \to a} f(x)g(x) = \lim_{x \to a}f(x) \cdot\lim_{x \to a}g(x)$；d) $\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim_{x \to a}f(x)}{\lim_{x \to a}g(x)}$，其中$\lim_{x \to a}g(x) \neq 0$；e) $\lim_{x \to a} [f(x)]^n = [\lim_{x \to a}f(x)]^n$，其中$n$为正整数。
微积分—基本积分公式
微积分—基本积分公式微积分中的基本积分公式是指一些常见函数的不定积分的规律性表达式，方便我们计算积分。
在这篇文章中，我们将介绍一些常见的基本积分公式，并给出它们的简单证明。
一、常数函数与幂函数的积分1. ∫x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C，其中n≠-1这个公式可以通过对积分求导验证。
二、三角函数的积分1. ∫sin(x) dx = -cos(x) + C这个公式可以通过对积分求导验证。
2. ∫cos(x) dx = sin(x) + C这个公式可以通过对积分求导验证。
三、指数函数与对数函数的积分1. ∫e^x dx = e^x + C这个公式可以通过对积分求导验证。
2. ∫a^x dx = (a^x)/(ln(a)) + C，其中a>0且a≠1这个公式可以通过对积分求导验证。
3. ∫1/x dx = ln，x， + C，其中x≠0这个公式可以通过对积分求导验证。
四、三角函数的一些特殊积分1. ∫sin^2(x) dx = (1/2)(x - sin(x)cos(x)) + C这个公式可以通过对积分求导验证。
2. ∫c os^2(x) dx = (1/2)(x + sin(x)cos(x)) + C这个公式可以通过对积分求导验证。
3. ∫tan(x) dx = -ln，cos(x)， + C这个公式可以通过对积分求导验证。
五、一些常见函数的积分1. ∫sec^2(x) dx = tan(x) + C这个公式可以通过对积分求导验证。
2. ∫csc^2(x) dx = -cot(x) + C这个公式可以通过对积分求导验证。
3. ∫sec(x)tan(x) dx = sec(x) + C这个公式可以通过对积分求导验证。
4. ∫csc(x)cot(x) dx = -csc(x) + C这个公式可以通过对积分求导验证。
以上是一些常见的基本积分公式，它们在计算积分时非常有用。
但需要注意的是，在实际运用过程中，有时会遇到需要一些代数或三角变换才能使用这些公式的情况。
微积分公式
高等数学公式导数公式：基本积分表：三角函数的有理式积分：ax x aa a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22='='⋅-='⋅='-='='222211)(11)(11)(arccos 11)(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +-='+='--='-='⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+±+=±+=+=+=+-=⋅+=⋅+-==+==Ca x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx Ca a dx a Cx ctgxdx x C x dx tgx x Cctgx xdx x dx C tgx xdx x dx xx)ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 22222222C axx a dx C x a xa a x a dx C a x ax a a x dx C a xarctg a x a dx Cctgx x xdx C tgx x xdx Cx ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 22222222⎰⎰⎰⎰⎰++-=-+-+--=-+++++=+-===-Cax a x a x dx x a Ca x x a a x x dx a x Ca x x a a x x dx a x I nn xdx xdx I n n nn arcsin 22ln 22)ln(221cos sin 2222222222222222222222ππ222212211cos 12sin ududx x tg u u u x u u x +==+-=+=， ， ， ·倍角公式：·半角公式：ααααααααααααααααααcos 1sin sin cos 1cos 1cos 12cos 1sin sin cos 1cos 1cos 122cos 12cos 2cos 12sin -=+=-+±=+=-=+-±=+±=-±=ctg tg·正弦定理：R CcB b A a 2sin sin sin === ·余弦定理：C ab b a c cos 2222-+=·反三角函数性质：arcctgx arctgx x x -=-=2arccos 2arcsin ππ高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz ）公式：)()()()2()1()(0)()()(!)1()1(!2)1()(n k k n n n n nk k k n k n n uv v u k k n n n v u n n v nu v u v u C uv +++--++''-+'+==---=-∑中值定理与导数应用：xxarthx x x archx x x arshx e e e e chx shx thx e e chx e e shx x x xx xx xx -+=-+±=++=+-==+=-=----11ln21)1ln(1ln(:2:2:22）双曲正切双曲余弦双曲正弦...590457182818284.2)11(lim 1sin lim0==+=∞→→e xxxx x x αααααααααα23333133cos 3cos 43cos sin 4sin 33sin tg tg tg tg --=-=-=αααααααααααααα222222122212sin cos sin 211cos 22cos cos sin 22sin tg tg tg ctg ctg ctg -=-=-=-=-==拉格朗日中值定理。
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0
3 = + −1 12 2
π
3、定积分的计算技巧 、 1）偶倍奇零 ）
规律 (1) 若 (2) 若
则∫ f ( x) dx = 2∫ f ( x) dx
−a 0
a
a
则∫ f ( x) dx = 0
−a
a
特别的，当出现积分区间关于原点对称时， 特别的，当出现积分区间关于原点对称时，可以先考 察被积函数的奇偶性，考虑偶倍奇零规律。 察被积函数的奇偶性，考虑偶倍奇零规律。
π π
2 0
原式 = [ x sin x ]02 − ∫02 sin xdx
=
π
2
+ cos x
=
π
2
− 1.
例2. 计算 原式= 解: 原式
e2 1
∫
b
a
uv′dx = uv a − ∫ vu ′dx
b a
b
u = ln x v′ = x; 1 u′ = x 1 2 v= x 2
例3 解
π 4
∴ 原式 =
∫
t 2 −1 3 2 +2 t dt 1 t
1 3 2 = ∫ (t + 3) d t 21 3 1 1 3 = ( t + 3t ) 2 3 1
例3：计算 Ι = ∫ ：
x
ln 2
0
e x −1dx
2t x = ln(t +1) dx = 2 dt t +1
2
解：令 e −1 = t
当 x = 0 时, t = 0; x = a 时, t = π . 2
a2 π a 2 ∫0 cos t d t = ∫ 2 (1 + cos 2 t ) d t ∴ 原式 = 2 0 π 2 a 1 = ( t + sin 2t ) 2 2 2 0
π 2
2
5
= − ∫ cos xd cos x
π
cos6 x 2 1 =− = . 6 6 0
2、定积分的分部积分法 边积边代限 、
设u( x) , v( x) ∈ C1[a , b] , 则 定理2. 定理2. b a
例1 求 ∫02 x cos xdx. 解： u = x ,
π π
v ′ = cos x , 则 u′ = 1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ v = sin x
Newton-Leibniz 公式（微积分基本公式） 公式（微积分基本公式） 定理. 定理 函数 , 则
∫a f ( x) dx = F (b) − F (a)
( 牛顿 - 莱布尼茨公式 莱布尼茨公式)
b
微积分基本公式表明：一个连续函数在区间[ , ] 微积分基本公式表明：一个连续函数在区间[a,b]上 的定积分等于它的任意一个原函数在区间[ , ] 的定积分等于它的任意一个原函数在区间[a,b]上的增 求定积分的问题转化为求原函数的问题。 量。求定积分的问题转化为求原函数的问题。
1
x = 0 t = 0, x = ln 2 t = 1
1 1 t2 Ι = 2∫ 2 dt = 2∫ (1 − 2 )dt 换元必换限 0 0 t +1 t +1 不换元则不换限 1 π = 2(t − arctan t ) = 2(1 − ) 0 4 e2 1 e2 d (ln x + 1) dx = ∫ 例4：计算 Ι = ∫ ： 1 x 1 + ln x 1 1 + ln x
ϕ (t ) ϕ′(t )
说明: 说明:
， 1) 当β < α , 即区间换为[β ,α ] 时 定理 1 仍成立 .
2) 必须注意换元必换限 。但计算定积分值时 必须注意换元必换限 原函数中的新变量不必代回 .
例2. 计算
t 2 −1 , dx = t d t , 且 解: 令 t = 2x + 1, 则 x = 2 当 x = 0时, t = 1; x = 4时, t = 3 .
xdx . 计算 ∫0 1 + cos 2 x
2
π 4
∫
b
a
uv′dx = uv a − ∫ vu ′dx
b a
b
Q 1 + cos 2 x = 2 cos x ,
π 1 π4 xdx xdx 4 2 ∴∫ =∫ = x sec xdx 0 1 + cos 2 x 0 2 cos 2 x 2 0 u = x, v ¢= sec 2 x
例1. 计算
3 dx = arctan x 解: ∫ = arctan 3 − arctan(−1) 2 −1 1 + x −1 π π 7 = −(− ) = π 3 4 12
3
例2.
求
∫0 (2cos x + sin x − 1)dx.
π
2
π 2
解
π 原式 = [2 sin x − cos x − x ]0 = 3 − . 2
∫
∫ 0
a
a
0
a − x dx
2 2
y = a2 − x2
x =a
解 由定积分的几何意义
a 2 − x 2 dx
o
πa 2
4
等于圆周的第一象限部分的面积 =
2
例3 计算 解
ò
4 - x dx
2
2
- 2
由定积分的几何意义
y = 4- x
2
该积分等于半圆面积， 该积分等于半圆面积，即
-2
2
o
2
ò
4 - x dx = 2 p
1) ϕ (t ) ∈ C1[α , β ], ϕ (α ) = a , ϕ (β ) = b ;
ϕ (t ) ϕ′(t )
1 dx 令 t = x +1
∫
3
0
x = t 2 −1 dx = 2tdt x +1 则
连续地增加到3时 相应地从1连续 当x 从0连续地增加到 时，t 相应地从 连续 连续地增加到 地增加到2 地增加到 3 2 2t 1 2 于是 ∫0 x + 1 dx = ∫1 t dt = 2t 1 = 2
2 −1
1
奇函数 1 1 16 1 3 2 = 2 ∫ ( x − 3)dx = 2 x − 3 x = − . 0 3 3 0
计算下列定积分 π x + cos x 1. I = ∫ 2π dx 2 − 1 + sin x
2
例8
解
cos x x dx I =∫2 d x +∫ 2 π π 2 2 − 1 + sin x − 1+ sin x 2
2
= 4∫0 (1 − 1 − x )dx = 4 − 4∫0
2
1
1 − x dx
2
= 4 − π.
四分之一单位圆的面积
内容小结
牛顿 - 莱布尼茨公式
∫a f ( x) dx = F (b) − F (a)
换元必换限 配元不换限 边积边代限
b
换元积分法 基本积分法 分部积分法 偶倍奇零 积分技巧
利用定积分的几何意义
= 2 1 + ln x
e2
1
= 2 3−2
注：用凑微分法完成的积分，如果没有引入新 用凑微分法完成的积分， 的变量，则上下限不必变动。 的变量，则上下限不必变动。 即 配元不换限 例5 解 计算
∫
π
∫
π
2 0
π
2 0
5
cos x sin xdx.
换元必换限 不换元则不换限
5
2 0
cos x sin xdx
1 2
∫
0
−∫
1 2
b
a
uv′dx = uv a − ∫ vu ′dx
b a
b
x 1− x
2
dx
0
−1 1 1 2 2 2 = + ∫ (1 − x ) d (1 − x 2 ) 12 2 0
π π
u = arcsin x v′ = 1; u′ = v=x 1 1 − x2
=
12
1 1 + (1 − x2 ) 2 2
换元求不定积分 dx = 2tdt
令 t = x +1 则 x = t −1
2
∫
故
1 2t dx = ∫ dt = 2t + C = 2 x +1+C t x +1
∫
3
0
3 1 dx = 2 x + 1 = 2 0 x +1
定理1. 定理 设函数 2) 在[α , β ] 上 则
单值函数
满足: 满足
π
y
y = sin x
π x
= − cos x
= −(−1−1) = 2 O 0
二、定积分的计算
不定积分 换元积分法 分部积分法 换元积分法 定积分 分部积分法
1、定积分的换元法 、 2、定积分的分部积分法 、 3、定积分的计算技巧 、
1、定积分的换元法 、 先来看一个例子 例1
∫
3
0
1 dx x +1
2 2 x 0 ≤ x ≤ 1 例3. 设, f ( x) = 求 ∫0 f ( x)dx 1< x ≤ 2 5
解
∫0
2
f ( x )dx = ∫0 f ( x )dx + ∫1 f ( x )dx
1
2
= ∫ 2 xdx + ∫ 5dx = 6
0 1
1
2
例4.计算正弦曲线 . 的面积 . 解: A = ∫0 sin x dx π
∫
u ¢= 1, v = tan x