(完整版)微分方程例题选解
第3章 振动系统的运动微分方程题解
45 / 2045习 题3-1 复摆重P ，对质心的回转半径为C ρ，质心距转动轴的距离为a ，复摆由水平位置无初速地释放，列写复摆的运动微分方程。
解:系统具有一个自由度，选复摆转角ϕ为广义坐标，原点及正方向如如题4-1图所示。
复摆在任意位置下，根据刚体绕定轴转动微分方程O O M J =ϕ其中)(22a gP J C O +=ρ 得到复摆运动微分方程为ϕϕρcos )(22Pa a gP C =+ 或0cos )(22=-+ϕϕρga a C3-2均质半圆柱体，质心为C ，与圆心O 1的距离为e ，柱体半径为固定R ，质量为m ，对质心的回转半径为C ρ，在平面上作无滑动滚动，如题3-2图所示，列写该系统的运动微分方程。
解：系统具有一个自由度，选θ为广义坐标。
半圆柱体在任意位置的动能为：222121ωC C J mv T +=题3-1图题3-2图46 / 2046用瞬心法求C v ：2222*2)cos 2()(θθθ Re R e CC v C -+== θω = 2CC m J ρ= 故2222221)cos 2(21θρθθ Cm Re R e m T +-+=系统具有理想约束，重力的元功为 θθδd mge W sin -=应用动能定理的微分形式W dT δ=θθθρθθd mge m Re R e m d C sin 21)cos 2(2122222-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+ θθθθθθθθθθρd mge d mRe d mRe d R e m C sin sin cos 2)(2222-=+-++ 等式两边同除dt ，θθθθθθθθθθρ sin sin cos 2)(2222mge mRe mRe R e m C -=+-++ 0≠θ ，等式两边同除θ故微分方程为0sin sin )cos 2(2222=+++-+θθθθρθmge mRe Re R e m C ① 若为小摆动θθ≈sin ，1cos ≈θ，并略去二阶以上微量，上述非线性微分方程可线性化，系统微摆动的微分方程为0])[(22=++-θθρge r R C要点及讨论（1）本题也可以用平面运动微分方程求解。
微分方程例题选解
微分方程例题选解1. 求解微分方程3ln (ln )0,|2x e x xdy y x dx y =+-==。
解：原方程化为x y x x dx dy 1ln 1=+， 通解为 ⎰+⎰⎰=-]1[ln 1ln 1C dx e xe y dx x x dx x x⎰+=]ln [ln 1C dx x x x ]ln 21[ln 12C x x += 由e x =，23=y ，得1=C ，所求特解为 11ln ln 2y x x =+。
2. 求解微分方程22'0x y xy y -+=。
解：令ux y =，u x u y '+='，原方程化为 2u u u x u -='+，分离变量得 dx x udu 12=-， 积分得C x u+=ln 1， 原方程的通解为 ln xy x C=+。
3. 求解微分方程dy y y x dx xy x )()(3223+=-。
解：此题为全微分方程。
下面利用“凑微分”的方法求解。
原方程化为 03223=---dy y ydy x dx xy dx x ， 由 dy y ydy x dx xy dx x 3223---42222441)(2141dy dy x dx y dx -+-=)2(414224y y x x d --=， 得 0)2(4224=--y y x x d ，原方程的通解为 C y y x x =--42242。
注：此题也为齐次方程。
4. 求解微分方程2''1(')y y =+。
解：设y p '=，则dx dp y =''，原方程化为21p dxdp+=， 分离变量得dx p dp=+21，积分得 1arctan C x p +=，于是 )tan(1C x p y +=='， 积分得通解为 12ln cos()y x C C =-++。
5. 求解微分方程''2'20y y y -+=。
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第十章 微分方程习题一.填空题：（33）1-1-40、 微分方程4233''4''')'(x y x y y =++的阶数是 . 1-2-41、 微分方程0'2'2=+-xy yy xy 的阶数是 . 1-3-42、 微分方程0d d d d 22=++s x sx s 的阶数是 .1-4-43、x y y y y sin 5''10'''4)()4(=-+-的阶数是 . 1-5-44、微分方程xy x y2d d =满足条件1|'0==x y 的特解是 . 1-6-45、微分方程0d d =+y x y的通解是 .1-7-46、方程y e y x='的通解是 . 1-8-47、 方程y y y ln '=的通解是 . 1-9-48、方程04'4''=+-y y y 的通解是 . 1-10-49、方程04'4''=+-y y y 的通解是 . 1-11-50、方程013'4''=+-y y y 的通解是 .1-12-51、已知特征方程的两个特征根,3,221-==r r 则二阶常系数齐次微分方程为1-13-52、微分方程xe y =''的通解为 . 1-14-53、微分方程x e y x sin ''2-=的通解为 . 1-15-54、若0d ),(dx ),(=+y y x Q y x P 是全微分方程, 则Q P ,应满足 . 1-16-55、与积分方程xy x f y x x d ),(0⎰=等价的微分方程初值问题是 .1-17-56、方程0d )2(d )(22=-++y xy x x y xy 化为齐次方程是 . 1-18-57、通解为21221,(C C e C e C y xx +=为任意常数)的微分方程为 .1-19-58、方程yx e y -=2'满足条件00==x y 的特解是 .1-19-59、方程0dy 1dx 2=-+x xy 化为可分离变量方程是1-20-60、方程xy y 2'=的通解是1-21-61、 方程x y xy x y x y d d d d 22=+化为齐次方程是1-22-62、 若t y ωcos =是微分方程09''=+y y 的解, 则=ω .1-23-63、若ktCe Q =满足Qdt dQ03.0-=, 则=k .1-24-64、y y 2'=的解是1-25-65、某城市现有人口50(万), 设人口的增长率与当时的人口数x (万)和x -1000的积成正比, 则该城市人口)(t x 所满足的微分方程为1-26-66、 圆222r y x =+满足的微分方程是1-27-67、 axae y =满足的微分方程是1-28-68、一阶线性微分方程)()(d dyx Q y x P x =+的通解是 .1-29-69、已知特征方程的两个根3,221-==r r , 则二阶常系数线性齐次微分方程为 .1-30-70、方程25x y =是微分方程y xy 2'=的 解.1-31-71、二阶常系数非齐次微分方程的结构为其一个特解与 之和. 1-32-72、二阶常系数齐次线性微分方程0'''=++qy py y 对应的特征方程有两个不等实根，则其通解为 .1-33-73、将微分方程0)2()(22=---dy xy x dx y xy 写成齐次微分方程的标准形式为二.选择题：（29）2-1-56、微分方程yx2dx dy=的通解是 ( )A.2x y = B. 25x y = C. 2Cx y = D.Cx y =2-2-57、 微分方程0dy 1dx 2=-+x xy 的通解是 ( ) A.21x ey -= B.21x Cey -= C.x C y arcsin = D. 21x C y -=2-3-58、下列方程中是全微分方程的是 ( )A.0dy dx )(2=--x y x B. 0dy dx =-x y C. 0dy )(1dx )1(=-++xy y xy D.0dy dx )(22=++xy y x 2-4-59、下列函数组中,线性无关的是 ( )A.x x e e 32,B.x x 2sin ,2cosC. x x x sin cos ,2sinD.2ln ,ln x x2-5-60、方程03'2''=--y y y 的通解是 ( )A.x x e C e C y 321--+=B. x x e C e C y 321+=C. x x e C e C y 321-+=D. x x e C e C y 321+=-2-6-61、方程0''=+y y 的通解是 ( ) A.x C y sin = B.x C y cos = C.x C x y cos sin += D.x C x C y cos sin 21+=2-7-62、 下列方程中是可分离变量的方程是 ( )A. xy y x -=33dx dyB.0dy 2dx )3(2=++xy y e x C. 234dx dy xy y x += D.y x xy y 321dx dy ++= 2-8-63、 微分方程0cot '=-x y y 的通解是 ( ) A. x C y cos = B. x C y sin = C. x C y tan = D. x C y csc =2-9-64、已知微分方程0''=+-p y y 的通解为)(212x C C e y x +=,则p 的值是 ( )A.1B.0C.21D.412-10-65、微分方程02'=-y y 的通解是 ( )A.C x y +=2sinB.C e y x +=24C.x Ce y 2=D. xCe y =2-11-66、方程xy 2dx dy=的通解是 ( )A.C e x +2B.Cxe+2C. 2Cx eD. 2)(C x e +2-12-67、 xe y -=''的通解为=y ( )A.x e --B. xe - C. 21C x C ex++- D. 21C x C e x ++--2-13-68、微分方程xe 21dx dy -=满足10-==x y 的特解为 ( )A.1221+-=-x ey B. 3221-=-x ey C. C ey x +-=-212 D.212121--=-xe y2-14-69、微分方程0ydy -dx 3=x 的通解是 ( )A.C y x =-2422B. C y x =+2422C. 02422=-y xD. 12422=+y x2-15-70、 微分方程0ydy -dx 3=x 的通解是 ( )A.222=+y xB. 933=+y xC. 133=+y x D. 13333=+y x2-16-71、 过点,0()2-的曲线,使其上每一点的切线斜率都比这点纵坐标大5的曲线方程是( )A.32-=x yB. 52+=x yC.53-=x e yD.5-=x Ce y 2-17-72、齐次方程x yxy tandx dy =化为可分离变量的方程, 应作变换 ( ) A. 2ux y = B. 22x u y = C. ux y = D.33x u y =2-18-73、 设方程)()('x Q y x P y =+有两个不同的解21,y y ,若21y y βα+也是方程的解,则( )A.βα=B. 0=+βαC. 1=+βαD. βα,为任意常数2-19-74、 方程dx 2dx dy y x x =+的通解是 ( )A.x Cx y +=2B. x x C y +=2sinC. C x y +=2cosD.C x y +=22-20-75、下面各微分方程中为一阶线性方程的是 ( )A.x y xy =+2' B .x xy y sin '=+ C .x yy =' D .xy y -=2'2-21-76、曲线上任一点P 的切线均与OP 垂直的曲线方程是 ( )A.y x y -=' B. y x y =' C. x y y -=' D. x y y ='2-22-77、方程2)3(,0'==+y y y 的解是 ( )A.x e y -=32B. x e y --=32C. 32-=x e yD. 32--=x e y2-23-78、 微分方程x y y ln '=的通解是 ( )A.x x e y ln =B. x x Ce y ln =C. x x x e y -=lnD. x x x Ce y -=ln2-24-79、下列哪个不是方程y y 4''=的解 ( )A. x e y 22=B. x e y 2=C. x e y 2-=D. x e y 2=2-25-80、方程0sin '''653)4(=-+++y y y y x xy y 的阶是 ( ) A. 6 B. 5 C. 4 D. 32-26-81、如果一条曲线在它任意一点的切线斜率等于y x2-，则这条曲线是( )A. 椭圆B. 抛物线C. 双曲线D. 圆2-27-82、下列可分离变量的方程是 ( )A. xy y x dx dy-=33 B.02)3(2=++xydy dx y e x C. xy yx dx dy += D.y x xy y dx dy 321++= 2-28-83、微分方程0cot '=-x y y 的通解是 ( ) A. x C y cos = B. x C y sin = C. x C y tan = D. x C y csc = 2-29-84、 已知微分方程0''=+-p y y 的通解为)(212x C C e y x +=,则p 的值( )A. 1B. 0C. 21D. 41三.计算题：（59）3-1-52、0d tan sec d tan sec 22=+y x y x y x 3-2-53、 0ln '=-y y xy3-3-54、0d sec )2(d tan 32=-+y y e x y e x x 3-4-55、y x y y x x y 22222')1(=-+- 3-5-56、 y xe y e x dx dy +-=- 3-6-57、 0)1()1(=-++xdy y ydx x3-7-58、 x x y y y x d sin cos d sin cos =,4|0π==x y3-8-59、0)0(,02')1(22==+-y xy y x 3-9-60、 1)(,ln 2'==e y x y y3-10-61、 x x y y y x d sin cos d sin cos =,4|0π==x y3-11-62、 0y)dx -(x dy )(=++y x3-12-63、 )ln (ln dx d x y y yx-=3-13-64、0)2(22=+-dy x dx xy y 3-14-65、x yx y xy tan'=-3-15-66、x yx y x y xy ++=-ln)('3-16-67、dx dy xy dx dy x y =+223-17-68、x y y x y +=', 2|1==x y3-18-69、x y x y y +=', e y e x ==|3-19-70、2|,'122=-=-=x y y x y xy3-20-71、x x y x y sin 1'=+, 1|==πx y 3-21-72、x e x y x y 43'=-3-22-73、 342'x xy y =-3-23-74、x y x y ln 11'=-3-24-75、x e y x x y x 21'=-+ 3-25-76、 x x y y sec tan '=-,|0==x y3-26-77、x x y x y sin 1'=+, 1|==πx y 3-27-78、22112'x y x xy +=+-, 0|0==x y3-28-79、x xy xy ln '=-, e y e x ==|3-29-80、 22d dyxxe xy x -+=3-30-81、)sin (cos d dy2x x y y x -=+ 3-31-82、5d dyxy y x =- 3-32-83、02d dy4=++xy xy x3-33-84、4)21(3131d dy y x y x -=+3-34-85、xy xy x 2d dy 2-= 3-35-86、x y y +='''3-36-87、01)'(''2=++y yy 3-37-88、01''3=+y y3-38-89、y y 3''=, 1|0==x y , 2|'0==x y3-39-90、223''yy =, 1|3==x y , 1|'3==x y3-40-91、02''=+y y 3-41-92、013'4''=++y y y 3-42-93、0'2''=+-y y y 3-43-94、04'5''=+-y y y 3-44-95、04'3''=--y y y ,|0==x y ,5|'0-==x y 3-45-96、029'4''=++y y y , 0|0==x y ,15|'0==x y3-46-97、0'4''4=++y y y , 2|0==x y , 0|'0==x y 3-47-98、0'4''4=++y y y ,2|0==x y ,|'0==x y 3-48-99、013'4''=+-y y y , 0|0==x y , 3|'0==x y3-49-100、04'4''=+-y y y ,|0==x y ,1|'0==x y3-50-101、xe y y y 2'''2=-+3-51-102、x e y y x cos ''+=+ 3-52-103、x e x y y y 3)1(9'6''+=+-3-53-104、'''22xy y y e --=3-54-105、123'2''+=--x y y y 3-55-106、''sin 20y y x ++=, 1|==πx y , 1|==πx y3-56-107、52'3''=+-y y y ,1|0==x y ,2|'0==x y3-57-108、xe y y y 29'10''=+-,76|0==x y ,733|'0==x y 3-58-109、xxe y y 4''=-, 0|0==x y , 1|'0==x y 3-59-110、xxe y y y 26'5''=+-四.应用解答题：（14）4-1-9、一曲线通过点)3,2(, 它在两坐标轴间的任一切线段均被切点所平分, 求这曲线方程.4-2-10、已知⎰--=+xx x y t t y t t 03231d )(12, 求函数)(x y4-3-13、求一曲线, 这曲线通过原点, 并且它在点),(y x 处的切线斜率等于y x =2.4-4-14、试求x y =''的经过点)1;0(M 且在此点与直线12+=xy 相切的积分曲线.4-5-15、设某曲线,它上面的任一点的切线与两坐标轴所围成的三角形面积总等于2,求这条曲线的方程所满足的微分方程. 4-6-16、已知某曲线经过点)1,1(, 它的切线在纵轴上的截距等于切点的横坐标,求它的方程.4-7-17、设可导函数)(x ϕ满足⎰+=+xx t t t x x 01d sin )(2cos )(ϕϕ, 求)(x ϕ.4-8-10、已知某商品需求量Q 对价格p 的弹性为22p Ep EQ-=, 最大需求量为1000=Q , 求需求函数)(p f Q =.4-9-11、设质量为m 的物体在高空中静止下落, 空气对物体运动的阻力与速度成正比. 求物体下落的数率v 与时间t 的关系, 再求物体下落距离与时间t 的关系 4-10-12、在串联电路中, 设有电阻R, 电感L 和交流电动势tE E ωsin 0=, 在时刻0=t 时接通电路, 求电流i 与时间t 的关系(0E , ω为常数).4-11-13、如图, 位于坐标原点的我舰向位于x 轴上)0,1(A 点处的敌舰发射制导鱼雷, 鱼雷始终对准敌舰, 设敌舰以常数0v 沿平行与y 轴的直线行驰,又设鱼雷的速度为2v , 求鱼雷的航行曲线方程.4-12-14、根据经验可知, 某产品的纯利润L 与广告支出x 有如下关系)(ddL L A k x -=，（其中0,0>>A k ）, 若不做广告, 即0=x 时纯利润为L , 且AL <<00, 试求纯利润L 与广告费x 之间的函数关系.4-13-15、在宏观经济研究中, 知道某地区的国民收入y , 国民储蓄S 和投资I均是时间t 的函数, 且在任一时刻t , 储蓄)(t S 为国民收入)(t y 的101, 投资额)(t I 是国民收入增长率t d dy 的31. 设0=t 时国民收入为5(亿元), 假定在时刻t 的储蓄全部用于投资,试求国民收入函数.4-14-16、试建立描述市场价格形成的动态过程的数学模型.五.证明题：（2）5-1-18、设),(1x y )(2x y 是二阶齐次线性方程0)(')(''=++y x q y x p y 的两个解,令)()(')(')()(')(')()()(21212121x y x y x y x y x y x y x y x y x w -==证明: )(x w 满足方程0)('=+w x p w5-2-19、设1y , 2y , 3y 是线性方程)()(d dyx Q y x P x =+的3个相异特解,证明 1213y y y y --为一常数.部分应用题答案487．在串联电路中, 设有电阻R, 电感L 和交流电动势tE E ωsin 0=, 在时刻0=t 时接通电路, 求电流i 与时间t 的关系(0E , ω为常数).解. 设)(t i i =, 由回路电压定律tE dt diLRi ωsin 0=+, 即t L E L R dt di ωsin 0=+∴⎰+⎰⎰=-]sin [)(0C dt te L E e t i t dt LR L Rω=⎰+-]sin [0C dt te L E ett L R LR ω=)cos sin (2220t L t R L R E Cet LR ωωωω-++-将|0==t i 代入通解得2220L R LE C ωω+=∴)cos sin ()(2220t L t R Le L R E t i t LR ωωωωω-++=-488. 设质量为m 的物体在高空中静止下落, 空气对物体运动的阻力与速度成正比. 求物体下落的数率v 与时间t 的关系, 再求物体下落距离与时间t 的关系 解：.物体重力为mg w =, 阻力为kv R -=, 其中g 是重力加速度, k 是比例系数.由牛顿第二定律得kvmg dt dv m-=,从而得线性方程g v m kdt dv =+, 0|0==t v∴ ⎰--+=+⎰⎰=t m kdt dt Ce g k m C dt ge e v km m k ][, 将0|0==t v 代入通解得 g k m C -=∴ )1(tm k e g k m v --=, 再积分得122C ge k m gt k m S t m k++=-,将0|0==t S 代入求得g k m C 221-=∴ )1(22-+=-t m ke g k m gt k m S489. 如图, 位于坐标原点的我舰向位于x 轴上)0,1(A 点处的敌舰发射制导鱼雷, 鱼雷始终对准敌舰, 设敌舰以常数0v 沿平行与y 轴的直线行驰, 又设鱼雷的速度为2v , 求鱼雷的航行曲线方程.解：设鱼雷的航行曲线方程为)(x y y =, 在时刻t , 鱼雷的坐标巍巍),(y x P , 敌舰的坐标为),1(0t v Q .因鱼雷始终对准敌舰, 故x y t v y --=1'0, 又弧OP 的长度为⎰=-xtv dx y 0022'1,从以上两式消去tv 0得''121''')1(2y y y y x -+=--, 即2'121'')1(y y x +=-根据题意, 初始条件为0)0(=y , 0)0('=y令p y =', 原方程化为2121')1(p p x +=-, 它是可分离变量得方程,解得21)1(112--=++x C p p , 即21)1('1'12--=++x C y y 将0)0('=y 代入上式得11=C , 故21)1('1'2--=++x y y而21)1(''1'1'122--=-+=++x y y y y , 得2121)1()1(21'x x y -+-=-积分得22321)1(31)1(C x x y +-+--=, 将0)0(=y 代入上式得322=C , 所以鱼雷的航行曲线为32)1(31)1(2321+-+--=x x y490．根据经验可知, 某产品的纯利润L 与广告支出x 有如下关系 )(ddL L A k x -=，（其中0,0>>A k ）, 若不做广告, 即0=x 时纯利润为0L , 且A L <<00, 试求纯利润L 与广告费x 之间的函数关系.解：依题意得)(L A k dx dL-=,00|LL x ==, 解可分离变量得微分方程, 得通解 kx Ce A L -+=, 将00|L L x ==代入通解, 得A L C -=0, 所以纯利润L 与广告费x 之间的函数关系为kxe A L A x L --+=)()(.491．在宏观经济研究中, 知道某地区的国民收入y , 国民储蓄S 和投资I 均是时间t 的函数, 且在任一时刻t , 储蓄)(t S 为国民收入)(t y 的101, 投资额)(t I 是国民收入增长率t d dy 的31.设0=t 时国民收入为5(亿元), 假定在时刻t 的储蓄全部用于投资,试求国民收入函数.解：依题意:y S 101=, dt dy I ⋅=31, 解之得通解t Ce y 103=, 将5|0==t y 代入通解得5=C , 所以国民收入函数为te y 1035=492．试建立描述市场价格形成的动态过程的数学模型. 解：设在某一时刻t , 商品的价格为)(t p , 因供需差价, 促使价格变动. 对新的价格,又有新的供需差, 如此不断地调节价格, 就构成了市场价格形成的动态过程.假设价格)(t p 的变化率dt dp与需求和供给之差成正比. 记需求函数为),(r p f , 供给函数为)(p g , 其中r 为参数. 于是得微分方程)](),([p g r p f k dt dp-=,0)0(pp =, 其中p 为0=t 时商品的价格, k 为正常数.若需求供给函数均为线性函数, b kp r p f +-=),(, d cp p g +=)(, 则方程为)()(d b k p c k k dt dp-++=,0)0(pp =, 其中d c b k ,,,均为正常数, 其解为c k db ec kd b p t p t c k k +-++--=+-)(0)()(下面对所得结果进行讨论:(1) 设p 为静态均衡价格, 则应满足0)(),(=-p g r p f , 即d p c b p k +=+-,则c k db p +-=, 从而价格函数p e p p t p c k k +-=+-)(0)()(,取极限: p t p t =∞→)(lim .它表明: 市场价格逐步趋于均衡价格. 若初始价格p p =0 , 则动态价格就维持在均衡价格p 上, 整个动态过程就变为静态过程.(2) 由于t c k k e c k k p p dt dp )(0)()(+-+-=, 所以当p p >0时, 0<dt dp, )(t p 单调下降向p靠拢, 这说明: 初始价格高于均衡价格时,动态价格会逐渐降低, 逐渐接近均衡价格; 而当初始价格低于均衡价格时, 动态价格会逐渐增高, 逐渐接近均衡价格.。
微分方程选择题及答案
选择题（50）（1）知识、概念层次，难度等级11、 下列四个微分方程中，为三阶方程的有（）个.（1）43322320d y d y y dx dx ⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）336x dy dy x y e dx dx ⎛⎫++= ⎪⎝⎭ （3）1323yd y ye dx ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（4）33sin d ydx dy e y dx +=（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 答案： C难度等级1 知识点：常微分方程的阶的定义分析：根据微分方程的阶的定义，微分方程的阶是指方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数，因此，（1），（3），（4）均是三阶微分方程，故应选（C ） 2、 函数（）是微分方程42y y x '=-的通解. （）(A)112y x =+ (B) 2x y Ce = （C ）21212x y C e x C =++ (D)2112x y Ce x =++答案 D难度等级1 知识点：常微分方程通解的定义分析：判断一个函数是否是微分方程的通解，首先是函数代入方程能使方程变为恒等式，其次函数中所含任意常数的个数应与方程的阶数一致，选项（A ）中不含任意常数，是方程的特解，选项（C ）中任意常数的个数多于一个，因此不能选，（B ）不满足方程，故应选（D ）3、 下列等式中（）是线性微分方程.(A) 22y x y '=+ (C) 2x y y e ''+= (B)20y x ''+= (D) 2y y xy '-=答案： B难度等级1 知识点：线性常微分方程的定义 分析：线性常微分方程是指方程中所含未知函数及其各阶导数均是一次有理整式，因为(A),(C),(D)选项中出现了非线性项2y ,故应选（B ）4、 微分方程(1)2(1)(2)(1)n n xx nn n x n n d y d ydy e e e e y e dx dx dx-++-++++= 是（）.（A ）n 阶常系数非齐次线性常微分方程 （B ）n 阶常系数齐次线性常微分方程（C ）n 阶变系数非齐次线性常微分方程 （D ）n 阶常变系数齐次线性常微分方程 答案： C难度等级1 知识点：齐次线性常微分方程的定义分析：所给方程中所含未知函数及其各阶导数均是一次有理整式，故应为线性常微分方程，又因为其系数是变量x 的函数，故应是变系数，并且有自由项(2)n x e +,因此是非齐次方程，故应选（C ） 5、 微分方程633xy dye e y x y dx=+- 的一个解为（ ）. （A ）6y = （B ）6y x =- （C ）y x =- （D ）y x = 答案： D难度等级1 知识点：常微分方程解的定义 分析：将（A ），（B ），（C ），（D ）所给函数代入所给方程，易知只有y x =满足方程，故应选（D ）6、 下列函数组（）在其定义区间内是线性相关（）.(A)2,x x (B) ln(),ln()x x x （C) cos(2),sin(2)x x (D)sin(2),cos()sin()x x x答案： D难度等级1 知识点：函数组的线性相关与线性无关 分析：由函数组线性相关与无关的判定，（A ），（B ），（C ）中所给的两个函数的比值不为常数，而sin 22sin cos xx x= ，因此应选（D ）7、 下列（ ）不是全微分方程.(A)32(3)0ydx x xy dy +-= (C) 3()()0x y dx x y dy ++-=(B)2210xy y xdx dy y y+-+= (D) 0ydx xdy += 答案： A难度等级1 知识点：全微分方程的判定分析：微分方程(,)(,)0M x y dx N x y dy += 是全微分方程的充要条件是M N y x ∂∂=∂∂ ，因此（B ），（C ），（D ）均满足此条件，而22119M Nx y y x∂∂=≠-=∂∂ ，因此应选（A ）8、 方程22()0ydx x y x dy -++= 的积分因子为（ ）.（A ）21()x xμ=（B ）21()y y μ= （C ）221(,)x y x y μ=+ （D ）1(,)x y x yμ=+ 答案： C难度等级1 知识点：积分因子的定义分析：微分方程(,)(,)0M x y dx N x y dy += 不是全微分方程时，若存在二元函数(,)x y μ ,使得(,)[(,)(,)]0x y M x y dx N x y dy μ+=是全微分方程，则称(,)x y μ为方程的积分因子，因此代入(A),（B ），（D ）所给函数均不满足条件，因此应选（C ）9、 下列方程中，既是齐次方程又是线性方程的是（）（A ）sin dy y dx x = (B) 1dy y dx x x =+ (C) 2dy y ydx x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ (D)1dy y dx x=+ 答案： D难度等级1 知识点：齐次方程与线性方程的判定分析：由题意只有(B),(D)是线性微分方程，而（B ）不是齐次方程，因此应选（D ）10、 试指出下列哪个（）函数是二阶微分方程20,(0)y y ωω''+=>的通解.(式中12,C C 为任意常数).(A) 1cos 2sin y C x x ωω=+ (C) 12cos sin y C x C x ωω=+ (B)11cos 2sin y C x C x ωω=+ (D) 212cos sin y C x C x ωω=+答案： C难度等级1 知识点：二阶齐次线性常微分方程通解的定义分析：方程是二阶常系数齐次线性微分方程，其通解中应含有两个独立常数，故(A),(B)不符合要求，（D ）中虽有两个独立常数，但210C > 不是任意常数，故应选（C ）11、 若某个二阶常系数线性齐次微分方程的通解为12x x y C e C e -=+,其中12,C C 为独立的任意常数，则该方程为（）. (A)xy y e ''-= (B)20y y ''-=（C)0y y ''+=(D)0y y ''-=答案： D难度等级1 知识点：二阶齐次常系数线性常微分方程 分析：由通解中的两个独立解,xxe e- 知，方程对应的特征方程的特征根为121,1λλ==- ，因此对应的特征方程是2(1)(1)10λλλ-+=-= ，因此对应的微分方程应是0y y ''-=，故应选（D ）12、 若某个二阶常系数线性齐次微分方程的通解为12()x y C C x e =+,其中12,C C 为独立的任意常数，则该方程为（）. (A) 20y y y '''--= (C) 20y y y '''-+=(B)210y y '''+=+ (D) 210y y '''-+=答案： D难度等级1 二阶齐次常系数线性常微分方程分析：由通解中的两个独立解,x xe xe 知，方程对应的特征方程的特征根为121λλ== ，因此对应的特征方程是22(1)210λλλ-=-+= ，因此对应的微分方程应是210y y '''-+=，故应选（D ）13、 若某个三阶常系数线性齐次微分方程的通解为2123y C C x C x =++,其中123,,C C C 为独立的任意常数，则该方程为（）.(A)0y y '''+= (B) 30y y '''+'= （C)0y y '''-= (D) 0y '''=答案： D难度等级1 知识点：三阶齐次常系数线性常微分方程分析：由通解中的三个独立解21,,x x 知，方程对应的特征方程的特征根为1230λλλ=== ，因此对应的特征方程是30λ= ，因此对应的微分方程应是0y '''=，故应选（D ）14、 若某个三阶常系数线性齐次微分方程的通解为123xy C C x C e =++,其中123,,C C C 为独立的任意常数，则该方程为（）.(A)0y y '''-= (C) 10y y y ''''''--=+(B)0y y ''''-= (D) 0y y '''''-=答案： D难度等级1 知识点：三阶齐次常系数线性常微分方程分析：由通解中的三个独立解1,,xx e 知，方程对应的特征方程的特征根为1230,1λλλ=== ，因此对应的特征方程是232(1)0λλλλ-=-= ，因此对应的微分方程应是0y y '''''-=，故应选（D ） 15、 可用变换（ ）将伯努利方程33dyx y y dx=+ 化为线性方程. （A ）1z y -= （B ）2z y -= （C ）3z y -= (D) 4z y -= 答案： B难度等级1 知识点：一阶线性常微分方程、伯努利方程分析：在原方程的两边同除以3y ,得3231dyy y x dx--=+,因此要使方程为线性，只需令2z y -=,则32dz dy y dx dx -=- ，原方程则化为3112dz zx dx-=+，这是线性方程，故应选（B ）16、 微分方程ln (ln )0y ydx x y dy +-= 是（ ）.(A) 可分离变量方程 （B ）线性方程 （C ）全微分方程 （D ）贝努利方程 答案： B难度等级1 知识点：一阶常微分方程类型的判定 分析：将方程改写为ln ln dy y ydx y x=-,因此不是可分离变量方程，也不是贝努利方程，又由(,)ln ,(,)ln M x y y y N x y x y ==- ,ln 1,1M Ny y x∂∂=+=∂∂ 因此不是全微分方程，又将方程改写为ln 11ln ln dx y x x dy y y y y y-==-+因此是线性方程（将x 看作关于变量y 的函数） ，故应选（B ） 17、 微分方程cos 2y x ''=的通解是（）.(A) 121sin(2)4y x C x C =++ (C) 121cos(2)4y x C x C =++(B)121sin(2)4y x C x C =-++ (D) 121cos(2)4y x C x C =-++答案： D难度等级1 知识点：可降阶的高阶常微分方程的求解 分析：将方程连续积分两次，得通解121cos(2)4y x C x C =-++，故应选（D ） 18、 微分方程21x y '=的通解是（ ）.(A)1y C x =+ (B) 1y C x =+ （C ）1Cy x =-+ (D) 1y x C =-+答案： D难度等级1 知识点：一阶常微分方程的求解 分析：将方程改写为21dy dx x = 并积分，得通解1y xC =-+，故应选（D ） 19、 若某个三阶常系数线性齐次微分方程的通解为123cos sin y C C x C x =++,其中123,,C C C 为独立的任意常数，则该方程为（）. (A)0y y '''''=- (B) 0y y -''''= （C)0y y '''''+= (D) 0y y ''''+=答案： D难度等级1 知识点：三阶齐次常系数线性常微分方程分析：由通解中的三个独立解1,cos ,sin x x 知，方程对应的特征方程的特征根为12,30,i λλ==± ，因此对应的特征方程是2(1)0λλ+= ，因此对应的微分方程应是0y y ''''+=，故应选（D ）20、 若6y x = 是微分方程22(1)6y x y xy x '''''+++= 的唯一解，则初始条件应该是（）（A ）(1)6,(1)6,(1)0y y y '''=== （B ）(1)6,(1)0,(1)6y y y '''=== （C ）(1)6,(1)6,(1)6y y y '''=== （D ）(1)0,(1)6,(1)0y y y '''=== 答案： A难度等级1 知识点：常微分方程的定解条件分析：由6y x =是方程原唯一解，应该满足初始条件，故有(1)6,(1)6,(1)0y y y '''===,故应选（A ）（2）知识简单应用层次，难度等级221、 微分方程xy y e '''-=的通解是（ ）.(A) 122x x xy C C e e =++ (C) 121x x y C e C xe =++(B)12x x y C C e e x x =++ (D) 12x x y C C e xe =++答案： D难度等级2 知识点：二阶非齐次常系数线性常微分方程分析：方程为二阶非齐次常系数线性方程，对应的齐次方程为0y y '''-=，故其特征方程为2(1)0λλλλ-=-= ，特征根为120,1λλ== ，因此齐次方程的通解应为12xy C C e =+ ，因此应在(A),(D)中选择，又因函数2xx y e *=不满足方程，故应选（D ）22、 若1()y x ϕ= , 2()y x ϕ=是一阶非齐次线性微分方程的两个不同特解，则该方程的通解为（）。
微分方程选择题及答案
选择题（50）（1）知识、概念层次，难度等级11、 下列四个微分方程中，为三阶方程的有（）个.（1）43322320d y d y y dx dx ⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）336x dy dy x y e dx dx ⎛⎫++= ⎪⎝⎭ （3）1323yd y ye dx ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（4）33sin d ydx dy e y dx +=（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 答案： C难度等级1 知识点：常微分方程的阶的定义分析：根据微分方程的阶的定义，微分方程的阶是指方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数，因此，（1），（3），（4）均是三阶微分方程，故应选（C ） 2、 函数（）是微分方程42y y x '=-的通解. （）(A)112y x =+ (B) 2x y Ce = （C ）21212x y C e x C =++ (D)2112x y Ce x =++答案 D难度等级1 知识点：常微分方程通解的定义分析：判断一个函数是否是微分方程的通解，首先是函数代入方程能使方程变为恒等式，其次函数中所含任意常数的个数应与方程的阶数一致，选项（A ）中不含任意常数，是方程的特解，选项（C ）中任意常数的个数多于一个，因此不能选，（B ）不满足方程，故应选（D ）3、 下列等式中（）是线性微分方程.(A) 22y x y '=+ (C) 2x y y e ''+= (B)20y x ''+= (D) 2y y xy '-=答案： B难度等级1 知识点：线性常微分方程的定义 分析：线性常微分方程是指方程中所含未知函数及其各阶导数均是一次有理整式，因为(A),(C),(D)选项中出现了非线性项2y ,故应选（B ）4、 微分方程(1)2(1)(2)(1)n n xx nn n x n n d y d ydy e e e e y e dx dx dx-++-++++= 是（）.（A ）n 阶常系数非齐次线性常微分方程 （B ）n 阶常系数齐次线性常微分方程（C ）n 阶变系数非齐次线性常微分方程 （D ）n 阶常变系数齐次线性常微分方程 答案： C难度等级1 知识点：齐次线性常微分方程的定义分析：所给方程中所含未知函数及其各阶导数均是一次有理整式，故应为线性常微分方程，又因为其系数是变量x 的函数，故应是变系数，并且有自由项(2)n x e +,因此是非齐次方程，故应选（C ） 5、 微分方程633xy dye e y x y dx=+- 的一个解为（ ）. （A ）6y = （B ）6y x =- （C ）y x =- （D ）y x = 答案： D难度等级1 知识点：常微分方程解的定义 分析：将（A ），（B ），（C ），（D ）所给函数代入所给方程，易知只有y x =满足方程，故应选（D ）6、 下列函数组（）在其定义区间内是线性相关（）.(A)2,x x (B) ln(),ln()x x x （C) cos(2),sin(2)x x (D)sin(2),cos()sin()x x x答案： D难度等级1 知识点：函数组的线性相关与线性无关 分析：由函数组线性相关与无关的判定，（A ），（B ），（C ）中所给的两个函数的比值不为常数，而sin 22sin cos xx x= ，因此应选（D ）7、 下列（ ）不是全微分方程.(A)32(3)0ydx x xy dy +-= (C) 3()()0x y dx x y dy ++-=(B)2210xy y xdx dy y y+-+= (D) 0ydx xdy += 答案： A难度等级1 知识点：全微分方程的判定分析：微分方程(,)(,)0M x y dx N x y dy += 是全微分方程的充要条件是M N y x ∂∂=∂∂ ，因此（B ），（C ），（D ）均满足此条件，而22119M Nx y y x∂∂=≠-=∂∂ ，因此应选（A ）8、 方程22()0ydx x y x dy -++= 的积分因子为（ ）.（A ）21()x xμ=（B ）21()y y μ= （C ）221(,)x y x y μ=+ （D ）1(,)x y x yμ=+ 答案： C难度等级1 知识点：积分因子的定义分析：微分方程(,)(,)0M x y dx N x y dy += 不是全微分方程时，若存在二元函数(,)x y μ ,使得(,)[(,)(,)]0x y M x y dx N x y dy μ+=是全微分方程，则称(,)x y μ为方程的积分因子，因此代入(A),（B ），（D ）所给函数均不满足条件，因此应选（C ）9、 下列方程中，既是齐次方程又是线性方程的是（）（A ）sin dy y dx x = (B) 1dy y dx x x =+ (C) 2dy y ydx x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ (D)1dy y dx x=+ 答案： D难度等级1 知识点：齐次方程与线性方程的判定分析：由题意只有(B),(D)是线性微分方程，而（B ）不是齐次方程，因此应选（D ）10、 试指出下列哪个（）函数是二阶微分方程20,(0)y y ωω''+=>的通解.(式中12,C C 为任意常数).(A) 1cos 2sin y C x x ωω=+ (C) 12cos sin y C x C x ωω=+ (B)11cos 2sin y C x C x ωω=+ (D) 212cos sin y C x C x ωω=+答案： C难度等级1 知识点：二阶齐次线性常微分方程通解的定义分析：方程是二阶常系数齐次线性微分方程，其通解中应含有两个独立常数，故(A),(B)不符合要求，（D ）中虽有两个独立常数，但210C > 不是任意常数，故应选（C ）11、 若某个二阶常系数线性齐次微分方程的通解为12x x y C e C e -=+,其中12,C C 为独立的任意常数，则该方程为（）. (A)xy y e ''-= (B)20y y ''-=（C)0y y ''+=(D)0y y ''-=答案： D难度等级1 知识点：二阶齐次常系数线性常微分方程 分析：由通解中的两个独立解,xxe e- 知，方程对应的特征方程的特征根为121,1λλ==- ，因此对应的特征方程是2(1)(1)10λλλ-+=-= ，因此对应的微分方程应是0y y ''-=，故应选（D ）12、 若某个二阶常系数线性齐次微分方程的通解为12()x y C C x e =+,其中12,C C 为独立的任意常数，则该方程为（）. (A) 20y y y '''--= (C) 20y y y '''-+=(B)210y y '''+=+ (D) 210y y '''-+=答案： D难度等级1 二阶齐次常系数线性常微分方程分析：由通解中的两个独立解,x xe xe 知，方程对应的特征方程的特征根为121λλ== ，因此对应的特征方程是22(1)210λλλ-=-+= ，因此对应的微分方程应是210y y '''-+=，故应选（D ）13、 若某个三阶常系数线性齐次微分方程的通解为2123y C C x C x =++,其中123,,C C C 为独立的任意常数，则该方程为（）.(A)0y y '''+= (B) 30y y '''+'= （C)0y y '''-= (D) 0y '''=答案： D难度等级1 知识点：三阶齐次常系数线性常微分方程分析：由通解中的三个独立解21,,x x 知，方程对应的特征方程的特征根为1230λλλ=== ，因此对应的特征方程是30λ= ，因此对应的微分方程应是0y '''=，故应选（D ）14、 若某个三阶常系数线性齐次微分方程的通解为123xy C C x C e =++,其中123,,C C C 为独立的任意常数，则该方程为（）.(A)0y y '''-= (C) 10y y y ''''''--=+(B)0y y ''''-= (D) 0y y '''''-=答案： D难度等级1 知识点：三阶齐次常系数线性常微分方程分析：由通解中的三个独立解1,,xx e 知，方程对应的特征方程的特征根为1230,1λλλ=== ，因此对应的特征方程是232(1)0λλλλ-=-= ，因此对应的微分方程应是0y y '''''-=，故应选（D ） 15、 可用变换（ ）将伯努利方程33dyx y y dx=+ 化为线性方程. （A ）1z y -= （B ）2z y -= （C ）3z y -= (D) 4z y -= 答案： B难度等级1 知识点：一阶线性常微分方程、伯努利方程分析：在原方程的两边同除以3y ,得3231dyy y x dx--=+,因此要使方程为线性，只需令2z y -=,则32dz dy y dx dx -=- ，原方程则化为3112dz zx dx-=+，这是线性方程，故应选（B ）16、 微分方程ln (ln )0y ydx x y dy +-= 是（ ）.(A) 可分离变量方程 （B ）线性方程 （C ）全微分方程 （D ）贝努利方程 答案： B难度等级1 知识点：一阶常微分方程类型的判定 分析：将方程改写为ln ln dy y ydx y x=-,因此不是可分离变量方程，也不是贝努利方程，又由(,)ln ,(,)ln M x y y y N x y x y ==- ,ln 1,1M Ny y x∂∂=+=∂∂ 因此不是全微分方程，又将方程改写为ln 11ln ln dx y x x dy y y y y y-==-+因此是线性方程（将x 看作关于变量y 的函数） ，故应选（B ） 17、 微分方程cos 2y x ''=的通解是（）.(A) 121sin(2)4y x C x C =++ (C) 121cos(2)4y x C x C =++(B)121sin(2)4y x C x C =-++ (D) 121cos(2)4y x C x C =-++答案： D难度等级1 知识点：可降阶的高阶常微分方程的求解 分析：将方程连续积分两次，得通解121cos(2)4y x C x C =-++，故应选（D ） 18、 微分方程21x y '=的通解是（ ）.(A)1y C x =+ (B) 1y C x =+ （C ）1Cy x =-+ (D) 1y x C =-+答案： D难度等级1 知识点：一阶常微分方程的求解 分析：将方程改写为21dy dx x = 并积分，得通解1y xC =-+，故应选（D ） 19、 若某个三阶常系数线性齐次微分方程的通解为123cos sin y C C x C x =++,其中123,,C C C 为独立的任意常数，则该方程为（）. (A)0y y '''''=- (B) 0y y -''''= （C)0y y '''''+= (D) 0y y ''''+=答案： D难度等级1 知识点：三阶齐次常系数线性常微分方程分析：由通解中的三个独立解1,cos ,sin x x 知，方程对应的特征方程的特征根为12,30,i λλ==± ，因此对应的特征方程是2(1)0λλ+= ，因此对应的微分方程应是0y y ''''+=，故应选（D ）20、 若6y x = 是微分方程22(1)6y x y xy x '''''+++= 的唯一解，则初始条件应该是（）（A ）(1)6,(1)6,(1)0y y y '''=== （B ）(1)6,(1)0,(1)6y y y '''=== （C ）(1)6,(1)6,(1)6y y y '''=== （D ）(1)0,(1)6,(1)0y y y '''=== 答案： A难度等级1 知识点：常微分方程的定解条件分析：由6y x =是方程原唯一解，应该满足初始条件，故有(1)6,(1)6,(1)0y y y '''===,故应选（A ）（2）知识简单应用层次，难度等级221、 微分方程xy y e '''-=的通解是（ ）.(A) 122x x xy C C e e =++ (C) 121x x y C e C xe =++(B)12x x y C C e e x x =++ (D) 12x x y C C e xe =++答案： D难度等级2 知识点：二阶非齐次常系数线性常微分方程分析：方程为二阶非齐次常系数线性方程，对应的齐次方程为0y y '''-=，故其特征方程为2(1)0λλλλ-=-= ，特征根为120,1λλ== ，因此齐次方程的通解应为12xy C C e =+ ，因此应在(A),(D)中选择，又因函数2xx y e *=不满足方程，故应选（D ）22、 若1()y x ϕ= , 2()y x ϕ=是一阶非齐次线性微分方程的两个不同特解，则该方程的通解为（）。
第四章常微分方程参考答案(1)
爱启航在线考研第四章常微分方程4.1答案：应选（C ）解析：原方程写成23e 0+'+=yxyy ，分离变量有23e d =e d y x y y x --，积分得232e 3e --=x y C ，其中C 为任意常数.4.2答案：应填sin e=C xy ，其中C 为任意常数.解析：原方程分离变量，有d cos d ln sin =y xx y y x，积分得1ln |ln |ln |sin |ln =+y x C ，通解为ln sin =y C x 或sin e=C x y ，其中C 为任意常数.4.3答案：应填()2112e-=x y x 解析：原方程化为d 1d ⎛⎫=- ⎪⎝⎭y x x y x .积分得通解211ln ||ln ||2y C x x =-，即122ex y Cx -=.由初值(1)1=y 解出12e C =得特解.故答案为：()2112e-=x y x .4.4答案：应选（B ）解析：原方程求导得()2()'=f x f x ，即()2()'=f x f x ，积分得2()e =x f x C ，又(0)ln 2=f ，故ln 2=C ，从而2()e ln 2=x f x .故应选（B ）.4.5解：曲线()=y f x 在点(,)x y 处的切线方程为()'-=-Y y y X x ，令0=X ，得到切线在y 轴截距为'=-xy y xy ，即(1)'=-xy y x .此为一阶可分离变量的方程，于是d 11d ⎛⎫=- ⎪⎝⎭y x y x ，两边积分有1ln ||ln =-y C x x ，得爱启航线考研到e =x Cx y .又()11e y -=，故1=C ，于是曲线方程为e =xx y .4.6解：22d d 11+y y y x x x x =∆=+，得2d d 1=+y y x x ，变量分离2d 1d 1=+y x y x.两边积分得1ln arctan y x C =+.可得arctan exy C =又()0y =π，则C =π.所以arctan πexy =，()πarctan141πeπe y ==.4.7解：令=yu x，即=y ux ，则y u x u ''=+，又由题给表达式可得2y u u '=，即有u x u '+2u u =-d 1d 22=-x xu u ，两边积分得1ln 1ln ln u x C -=+，即ln(1ln ln 1=-+⇒-=⇒-=y Cu x C x xy C x x.4.8答案：应填2(ln ||)=+x y y C 解析：将x 看成未知函数，原方程改写为2d 1d 222+==+x x y x y xy y x这是一个伯努利方程，令2=z x ，有d 1d -=z z y y ，得11d d 2e ed (ln ||)-⎛⎫⎰⎰==+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎰y y y y x z y C y y C .故答案为：2(ln ||)=+x y y C ，其中C 为任意常数.4.9答案：应填()cos +x C x解析：属于一阶非齐次线性方程，直接根据一阶非齐次线性微分方程的通解公式即可得出答案.故答案为：()cos +x C x ，其中C 为任意常数.4.10答案：应填1爱启航在线考研解析：()2d 2d 22e 4e d e4ed x x xxy x x C x x C--⎛⎫⎰⎰=+=+ ⎪⎝⎭⎰⎰222e (21)e (21)e x x xx C x C --⎡⎤=-+=-+⎣⎦.当0=x 时，1=-y ，则0=C .可得21=-y x ，则()11=y .故答案为1.4.11答案：应填1解析：由11()()'+=y P x y Q x 及22()()'+=y P x y Q x 得()()1212()()()αββαβ'+++=+y y P x ay y Q x .又因12αβ+y y 满足原方程，故应有()()()β+=a Q x Q x ，即1αβ+=.故答案为1.4.12解：()sin d sin d e cos e d -⎛⎫⎰⎰=+ ⎪⎝⎭⎰x xx x gx x x C ()cos cos e cos ed -=+⎰xxx x C又()00g =，故()()cos cos cos 0e cos ed cos ed limlime lim xxxx x x x x Cx x Cg x xxx--→→→++==⋅=⎰⎰cos 0e lim cos e 1x x x -→⋅=.4.13解：2d 1d 2y x x y =-，则2d 2d x x y y =-，即2d 2d x x yy-=-()()2d 2d 222222111e e d e e d e 224yy y y y x y y C y y C y y C --⎛⎫⎰⎰⎡⎤=-+=-+=+++ ⎪⎣⎦⎝⎭⎰⎰.4.14解：令=tx u ，则u t x d d =，则代入到题给表达式101()d ()d xf tx t f u u x =⎰⎰，可得20()d 2()xf u u xf x x =+⎰.两边求导得()2()2()2f x f x xf x x '=++，则()2()2f x xf x x '+=-.从而11131d d 2222222()e (1)ed 33x x x x f x x C x x C x Cx ---⎛⎫⎛⎫⎰⎰=-+-+=-+ ⎪⎝ ⎝⎭=⎪⎭⎰.爱启航在线考研4.15解：将原方程改写成211cos sin y x x yy '+=-，并令1z y =，则21z y y ''=-，且原方程化为sin cos z z x x '-=-.d de (sin cos )e d x x z x x x C -⎡⎤⎰⎰=-+⎢⎥⎣⎦⎰e (sin cos )e d x x x x x C -⎡⎤=-+⎣⎦⎰()e sin ed cose d xxx x x x x C --=-+⎰⎰，其中()sin e d sin d e sin e e cos d x x x x x x x x x x ----=-=-+⎰⎰⎰，故()e sin e e sin x x x z x C C x -=-+=-，即1e sin x C x y=-为所求通解.4.16答案：应选（C ）解析：因原方程阶数为2，通解中应包含两个任意常数（可求出通解为3126++x C C x ）；特解中不含有任意常数（3*6=x y 为特解）；36+x Cx 满足原方程，为原方程的解，故选项（A ），（B ），（C ）都不对，应选（C ）.4.17解：（1）令y p '=，则d d p y x ''=，从而2d 1d pp x=+，则2d d 1p x p =+积分得p arctan 1arctan p x C =+，故()1d tan d yp x C x=+=，则两边对x 积分1d tan()d y x C x =+⎰⎰，得()1121sin()d ln cos cos()x C y x x C C x C +==-+++⎰.（2）()10xy xy C '''=⇒=，即1y xC '=，故12ln y C x C =+.4.18解：由21e x y =，得212e x y x '=，()22124e x y x ''=+；由22e x y x =，得222(12)e x y x '=+，()22364e x y x x ''=+.因爱启航在线考研()()()22222211144224e 42e 42e 0x x x y xy x y x x x x '''-+-=+-⋅+-=.()()()()222232222244264e 412e 42e 0x x x y xy x y x x x x x x '''-+-=+-++-=.故1y 与2y 都是方程的解.又因21y x y =不等于常数，故1y 与2y 线性无关.于是方程的通解为()2112212e x y C y C y C C x =+=+.4.19答案：应选（A ）解析：根据高阶线性微分方程根的形式可知，选（A ）.4.20答案：应选（B ）解析：由题意可知，-1是特征方程二重特征根，1是特征方程的特征根，故特征方程为()()2110+-=r r ，即3210+--=r r r .故三阶常系数齐次线性方程为0y y y y ''''''+--=.故选（B ）.4.21答案：应选（C ）解析：：特征方程为2220++=r r 即2(1)1+=-r ，解得特征根为1,21i r =-±.而()e sin x f x x -=，i 1i w ±=-±λ是特征根，故特解的形式为*e (cos sin )x y x a x b x -=+.4.22答案：应填()*22e xy x ax bx c dx =+++解析：特征方程为220-=r r ，特征根10r =,22r =.对21()1=+f x x ，10λ=是特征根，所以()*21y x ax bx c =++.对22()exf x =，22λ=也是特征根，故有*22e =x y dx .从而***12=+y y y 就是特解.故答案为()*22e x y x ax bx c dx =+++.4.23解：所给微分方程的特征方程为256(2)(3)0++=++=r r r r ，特征根为12=-r ,23=-r .于是，对应齐次微分方程的通解为2312)e e xx y x C C --=+.爱启航在线考研设所给非齐次方程的特解为*e xy A -=.将*()y x 代入原方程，可得1A =.由此得所给非齐次方程得特解*e xy -=.从而，所给微分方程得通解为2312()e e e xx x y x C C ---=++，其中1C ,2C 为任意常数.4.24答案：应选（C ）解析：将()()000y y '==代入3e xy py qy '''++=，得()01''=y .()()()()()22000ln 122limlimlimlim 2x x x x x x x y x y x y x y x →→→→+===='''.故选C.4.25答案：应填12e(cos sin )e xxC x C x ++解析：所给微分方程的特征方程为22201i -+=⇒=±r r r ，从而齐次通解为12e (cos sin )x C x C x +，设特解为e x A ，代入方程得e 2e 2e e 1x x x x A A A A -+=⇒=，即得特解为e x .非齐次通解为12e(cos sin )e xx C x C x ++.。
高数二阶常系数非齐次线性微分方程解法及例题详解
强迫振动问题例题
01
解题步骤
02 1. 将外力函数展开为傅里叶级数或三角级数。
03 2. 将展开后的级数代入原方程，得到一系列简单 的一阶或二阶常系数线性微分方程。
强迫振动问题例题
3. 分别求解这些简单方程，得到原方程的通解。
示例：考虑方程 $y'' + 4y = sin t$，首先将 $sin t$ 展开为三角级数，然后代入原方程进行求解，得到通解为 $y(t) = C_1 cos(2t) + C_2 sin(2t) + frac{1}{8} sin t$。
详细描述
自由振动问题通常可以通过求解特征方程得到，特征方程是一元二次方程，其根决定了 微分方程的解的形式。如果特征方程有两个不相等的实根，则微分方程的解为两个独立 的指数函数；如果特征方程有两个相等的实根，则微分方程的解为单一的指数函数；如
果特征方程有一对共轭复根，则微分方程的解为正弦和余弦函数。
强迫振动问题
方程形式与特点
01
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03
04
05
二阶常系数非齐次线性 该方程具有以下特点 微分方程的一般形式为： $y'' + p(x)y' + q(x)y = f(x)$，其中$p(x)$、 $q(x)$和$f(x)$是已知函 数，$y$是未知函数。
未知函数$y$的最高阶导 系数是常数，不随$x$变 右边的函数$f(x)$是非齐
高数二阶常系数非齐次线 性微分方程解法及例题详 解
• 引言 • 二阶常系数非齐次线性微分方程的解
法 • 常见题型及解题技巧 • 例题详解 • 总结与思考
01
引言
背景介绍
二阶常系数非齐次线性微分方程在自 然科学、工程技术和社会科学等领域 有广泛应用，如物理学、化学、生物 学、经济学等。
(完整版)微分方程例题选解
微分方程例题选解3 1. 求解微分方程 x ln xdy ( y ln x)dx 0 , y |x e。
2解：原方程化为dy1 y1dx，xln xx1 dx 1 e 1dxy eC ] 通解为x ln x[ xln xdxx1 [ ln xdx C ]1 [ 1ln 2 x C ]ln xxln x 2由 xe ， y3 ，得 C1 ，所求特解为y11ln x 。
2ln x 22. 求解微分方程 x 2 y ' xy y20 。
解：令 y ux ， y uxu ，原方程化为 uxuu u 2 ，分离变量得du 1dx ，1 u 2x积分得ln x C，ux原方程的通解为y。
ln x C3. 求解微分方程 ( x 3 xy 2 ) dx ( x 2 y y 3 )dy 。
解：此题为全微分方程。
下面利用“凑微分”的方法求解。
原方程化为 x 3dx xy 2 dx x 2 ydy y 3 dy 由x 3 dx xy 2 dx x 2 ydy y 3dy 1dx41( y 2 dx 2x 2 dy 2 )421d (x 4 2x 2 y 2 y 4 ) ，4 得d (x 4 2x 2 y 2y 4 ) 0 ，原方程的通解为x 42 x 2 y 2 y 4 C 。
注：此题也为齐次方程。
0 ，1 dy 444. 求解微分方程 y '' 1 ( y ') 2 。
解：设 py ，则 y dp，原方程化为 dp1 p2 ，dp dxdx分离变量得dx ，积分得 arctan px C 1 ，1 p2于是 yp tan(x C 1 ) ， 积分得通解为yln cos(x C 1 ) C 2 。
5. 求解微分方程 解：特征方程为通解为 y e x (C 1y '' 2y ' 2 y 0 。
r 2 2r 2 0 ，特征根为 r1 i ，cos C 2 sin x) 。
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微分方程例题选解1. 求解微分方程3ln (ln )0,|2x e x xdy y x dx y =+-==。
解：原方程化为x y x x dx dy 1ln 1=+， 通解为 ⎰+⎰⎰=-]1[ln 1ln 1C dx e xe y dx x x dx x x⎰+=]ln [ln 1C dx x x x ]ln 21[ln 12C x x += 由e x =，23=y ，得1=C ，所求特解为 11ln ln 2y x x =+。
2. 求解微分方程22'0x y xy y -+=。
解：令ux y =，u x u y '+='，原方程化为 2u u u x u -='+， 分离变量得 dx x udu 12=-， 积分得C x u+=ln 1， 原方程的通解为 ln xy x C=+。
3. 求解微分方程dy y y x dx xy x )()(3223+=-。
解：此题为全微分方程。
下面利用“凑微分”的方法求解。
原方程化为 03223=---dy y ydy x dx xy dx x ， 由 dy y ydy x dx xy dx x 3223---42222441)(2141dy dy x dx y dx -+-=)2(414224y y x x d --=， 得 0)2(4224=--y y x x d ，原方程的通解为 C y y x x =--42242。
注：此题也为齐次方程。
4. 求解微分方程2''1(')y y =+。
解：设y p '=，则dx dp y =''，原方程化为 21p dxdp +=， 分离变量得dx p dp=+21，积分得 1arctan C x p +=，于是 )tan(1C x p y +=='， 积分得通解为 12ln cos()y x C C =-++。
5. 求解微分方程''2'20y y y -+=。
解：特征方程为 0222=--r r ，特征根为 i r ±=1，通解为12(cos sin )xy e C x C x =+。
6. 求解微分方程2'''(21)xy y x e -=+。
解：对应齐次方程的特征方程为02=-r r ，特征根为01=r ，12=r ， 齐次通解为 xe C C Y 21+=。
可设待定特解 xeb ax y 2)(*+=，代入原方程得12)(23+=++x b ax a ，比较系数得 1=a ，1-=b ，从而xe x y 2)1(*-=，原方程的通解为 212(1)xxy C C e x e =++-。
7. 求解微分方程''4xy y xe -=。
解：对应齐次方程的特征方程为012=-r ，特征根为11=r ，12-=r ， 齐次通解为 xxeC e C Y -+=21。
可设待定特解 xe b ax x y )(*+=，代入原方程得 x b ax a 4)2(22=++，比较系数得 1=a ，1-=b ，从而xe x x y )(*2-=， 原方程的通解为 212()xxxy C e C e x x e -=++-。
8. 求解微分方程3''6'9(62)xy y y e x -+=+。
解：对应齐次方程的特征方程为0962=+-r r ，特征根为321==r r ， 齐次通解为 x e x C C Y 321)(+=。
可设待定特解 xeb ax x y 32)(*+=，代入原方程得2626+=+x b ax ，比较系数得 1=a ，1=b ，从而xe x x y 323)(*+=，原方程的通解为 332312()()xxy C C x e x x e =+++。
9. 利用“凑微分”的方法求解微分方程0)cos ()sin (=++++dy y x dx y y xy 。
解： 由 dy y x dx y y xy )cos ()sin (++++ydy xdy ydx ydx xydx cos sin ++++=y d xdy ydx ydx xydx sin )(sin ++++=)sin ()sin (y xy d dx y xy +++=，原方程化为dx yxy y xy d -=++sin )sin (， 积分得 C x y xy ln )sin ln(+-=+，从而通解为 xCe y xy -=+sin 。
10. 选择适当的变量代换求解微分方程x y x y y x tan )1(22-+='+。
解：设22y x u +=，则uy y x u '+='，原方程化为 x u u u tan )1(-='， 分离变量得 xdx du u tan )111(=-+， 积分得 C x u u +-=-+cos ln )1ln(，原方程的通解为C x y x y x =+-+++cos ln )1ln(2222。
11. 利用代换xu y cos =将方程xe x y x y x y =+'-''cos 3sin 2cos 化简，并求出原方程的通解。
解：由x y u cos =，得x y x y u sin cos -'='，x y x y x y u cos sin 2cos -'-''=''。
原方程化为 xe u u =+''4，其通解为 52sin 2cos 21xe x C x C u ++=，原方程的通解为 xe x C x x C y xcos 5sin 2cos 2cos 21++=。
12. 设二阶常系数线性微分方程x ce by y a y =+'+''的一个特解为xx e x e y )1(2++=。
试确定常数c b a ,,，并求该方程的通解。
解：由题设特解知原方程的特征根为1和2，所以特征方程为0)2)(1(=--r r ，即0232=+-r r ，于是 3-=a ，2=b 。
将xxe y =1代入方程，得xxxxce xe e x e x =++-+2)1(3)2(， 1-=c 。
原方程的通解为 xxxxe e C e C y ++=221。
13. 已知x x e xe y 21+=，xx e xe y -+=2，x x x e e xe y --+=23是某二阶常系数非齐次线性微分方程的三个解，求此微分方程。
解：由题设特解知原方程的通解为x x xxe e C e C y ++=-221，特征根为1-和2，所以特征方程为 0)2)(1(=-+r r ，即022=--r r ，故可设此微分方程为)(2x f y y y =-'-''，将xxe y =代入方程，得x e x x f )21()(-=，故所求方程为y y y 2-'-''xe x )21(-=。
14. 设)(r f u =满足方程42222=∂∂+∂∂yux u ，其中22y x r +=，求)(r f 。
解：)(r f r x x u '=∂∂，)()(322222r f r y r f r x x u '+''=∂∂，)()(322222r f rx r f r y y u '+''=∂∂， 4)(1)(2222='+''=∂∂+∂∂r f r r f y u x u ， ]4[)(111C dr eer f drr drr +⎰⎰='⎰-)2(112C r r+=，⎰+=dr C r rr f )2(1)(12212ln C r C r ++=。
15. 设函数)(t f 在),0[+∞上连续，且满足方程 ⎜⎠⎛⎜⎠⎛++=≤+22224224)21()(ty x t dxdy y x f et f π 求)(t f 。
解：由于 ⎜⎠⎛⎜⎠⎛+≤+222422)21(ty x dxdy y x f ⎜⎠⎛⎜⎠⎛=πθ2020)21(trdr r f d ⎜⎠⎛=t dr r rf 20)21(2π 所以 dr r rf et f tt )21(2)(2042⎜⎠⎛+=ππ，求导得 )(88)(24t f t te t f t πππ+='， ]8[)(8482C dt e e t e t f tdtt tdt+⎰⎰=-⎰ππππ)4(242C t e t +=ππ，由1)0(=f ，得1=C ，因此242)14()(t e t t f ππ+=。
16. 设)(x f 连续可微，1)0(=f ，确定)(x f ，使曲线积分⎰+-Ldy x f ydx x f x )()]([与路径无关，并计算⎰+-=)1,1()0,0()()]([dy x f ydx x f x I 。
解：由曲线积分与路径无关，得 )()(x f x x f -='，)()(C dx xe e x f dx dx +⎰⎰=⎰-xCe x -+-=)1(，由1)0(=f ，得2=C ，从而 =)(x f xe x -+-21，于是 ⎰--+-+-=)1,1()0,0()21()21(dy e x ydx e I xxedy e 22101==⎰-。
17. 假定物体在空气中的冷却速度是正比于该物体的温度和它周围的空气温度之差，若室温为c 020时，一物体由c 0100冷却到c 060须经过20分钟，问共经过多少时间方可使此物体的温度从开始时的c 0100降低到c 030。
解：设在时刻t 物体的温度为)(t T ，则有)20(--=T k dtdT，且100)0(=T ，60)20(=T 分离变量得 kdt T dT-=-20，积分得 C kt T ln )20ln(+-=-，即 ktCe T -+=20，由100)0(=T 得 80=C ，kte T -+=8020，再由60)20(=T 得 kte -+=802060， 202ln =k ，故t eT 202ln 8020-+=，令30)(=t T ，得 t e 202ln 802030-+=，60=t 。
共经过60分钟方可使此物体的温度从开始时的c 0100降低到c 030。
18. 设物体A 从点)1,0(出发，以速度大小为常数v 沿y 轴正向运动。
物体B 从点)0,1(-与A 同时出发，其速度大小为v 2，方向始终指向A 。
试建立物体B 的运动轨迹所满足的微分方程，并写出初始条件。