一种基于单纯形法的改进微粒群优化算法及其收敛性分析
基于Nelder-mead单纯形法的改进人工蜂群算法研究
1
引言
人工蜂群算法 （Artificial Bee Colony， ABC） 是模
[1]
单， 参数设置少， 已被越来越多的学者关注， 成为智能算 法领域的研究热点之一， 已在函数优化、 工程优化等方 面得到广泛应用 [1-2]。文献 [3]将 ABC 与差分进化算法 [4]、 粒子群优化算法 [5] 相比， 表明 ABC 在解决许多优化问题 方 面 有 更 加 突 出 的 性 能 。 为 提 高 ABC 算 法 的 收 敛 性 能， 许多学者提出了改进措施。文献 [6-7]中跟随蜂采用
32nmsmiabc算法流程与其他智能算法类似虽然abc算法既有全局又有局部搜索能力但更侧重于全局搜索局部搜索能力较差当引领蜂所处位置的适应度值接近局部最优点时其他的跟随蜂将会被吸引不断靠近此时当引领蜂达到整个蜂群的全局最优点时蜂群将停止搜索但该点不是全局最优点导致算法的早熟
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ห้องสมุดไป่ตู้
2016， 52 （24）
Computer Engineering and Applications 计算机工程与应用
基于 Nelder-mead 单纯形法的改进人工蜂群算法研究
苏宏升， 殷凯乐
SU Hongsheng, YIN Kaile
兰州交通大学 自动化与电气工程学院， 兰州 730070 School of Automation and Electrical Engineering, Lanzhou Jiaotong University, Lanzhou 730070, China SU Hongsheng, YIN Kaile. Nelder-mead simplex method based improved artificial bee colony. Computer Engineering and Applications, 2016, 52 （24） ： 50-56. Abstract：Considering that the existing Artificial Bee Colony （ABC）can not pay simultaneous attention to evolution speed and solution quality, a Nelder-Mead Simplex Method based Improved Artificial Bee Colony （NMSM-IABC）is proposed in this paper. In the process of iteration, the algorithm periodically gets the best individual vertex from NMSM operator and migrates to ABC, or obtains the optimal nectar source information from ABC and migrates to NMSM. ABC can improve its local exploiting capability applying NMSM, and NMSM can get away from local minimum by ABC. The algorithm proposed can achieve cooperative search of the ABC and NMSM. Furthermore, in order to enhance the ability or increase the convergence speed of NMSM-IABC, an improved search scheme of onlooker bee is proposed. And the sensitivity analysis of the key parameter is conducted. Finally, numerical experiments and comparisons on six benchmark functions indicate that the proposed algorithm can avoid the local minimum and enhance the global search ability and convergence speed, and is an effective cooperative search algorithm. Key words： Artificial Bee Colony （ABC） ; Nelder-Mead Simplex Method （NM-SM） ; cooperative search; sensitivity analysis; global search 摘 要： 针对现有的人工蜂群算法 （Artificial Bee Colony， ABC） 在进化速度和求解质量方面难以兼顾的缺点， 提出
探讨单纯形法的改进
探讨单纯形法的改进单纯形法是一种常用的线性规划求解方法，它通过不断地在解空间中移动，寻找最优解。
单纯形法在一些情况下可能会面临性能不佳的问题，因此对单纯形法进行改进是一个重要的课题。
本文将对单纯形法的改进进行探讨，并提出一些可能的改进方向。
我们需要了解单纯形法存在的一些问题。
单纯形法在求解大规模线性规划问题时，可能会面临维数灾难的问题，即随着问题规模的增大，单纯形法的计算复杂度会呈指数增长。
这使得单纯形法在处理大规模问题时性能不佳。
单纯形法在一些特殊情况下可能会出现退化现象，导致算法无法收敛到最优解。
我们需要对单纯形法进行改进，以提高其在大规模问题和特殊情况下的性能。
一种可能的改进方向是引入一些启发式方法，例如人工神经网络、遗传算法等。
这些方法可以帮助单纯形法更快地收敛到最优解，并且能够有效地处理大规模问题。
通过将启发式方法和单纯形法结合起来，可以充分发挥它们各自的优势，从而提高线性规划求解的效率和性能。
另一个改进方向是对单纯形法的基本步骤进行优化。
在选择进入基变量时，可以通过一些快速的算法来选择最优的进入基变量，以减少迭代次数。
在选择离开基变量时，可以引入一些新的方法，以防止退化现象的发生。
通过对单纯形法的基本步骤进行优化，可以提高算法的性能和稳定性。
对单纯形法进行并行化也是一个重要的改进方向。
通过将单纯形法中的一些计算过程并行化，可以加快算法的收敛速度，从而提高求解效率。
并行化还可以帮助单纯形法更好地应对大规模问题，使得算法在多核处理器上能够更好地发挥性能优势。
除了上述的改进方向外，还有许多其他可能的改进方向，例如引入更有效的对偶法、改进单纯形法的初始化方法等。
这些改进方向都有望提高单纯形法在实际应用中的性能和效率。
Matlab中的最优化问题求解方法
Matlab中的最优化问题求解方法近年来，最优化问题在各个领域中都扮演着重要的角色。
无论是在工程、经济学还是科学研究中，我们都需要找到最优解来满足特定的需求。
而Matlab作为一种强大的数值计算软件，在解决最优化问题方面有着广泛的应用。
本文将介绍一些Matlab中常用的最优化问题求解方法，并探讨其优缺点以及适用范围。
一. 无约束问题求解方法1. 最速下降法最速下降法是最简单且直观的无约束问题求解方法之一。
其基本思想是沿着梯度的反方向迭代求解，直到达到所需的精度要求。
然而，最速下降法的收敛速度通常很慢，特别是在局部极小值点附近。
2. 共轭梯度法共轭梯度法是一种改进的最速下降法。
它利用了无约束问题的二次函数特性，通过选择一组相互共轭的搜索方向来提高收敛速度。
相比于最速下降法，共轭梯度法的收敛速度更快，尤其适用于大规模优化问题。
3. 牛顿法牛顿法是一种基于二阶导数信息的优化方法。
它通过构建并求解特定的二次逼近模型来求解无约束问题。
然而，牛顿法在高维问题中的计算复杂度较高，并且需要矩阵求逆运算，可能导致数值不稳定。
二. 线性规划问题求解方法1. 单纯形法单纯形法是一种经典的线性规划问题求解方法。
它通过在可行域内进行边界移动来寻找最优解。
然而，当问题规模较大时，单纯形法的计算复杂度会大幅增加，导致求解效率低下。
2. 内点法内点法是一种改进的线性规划问题求解方法。
与单纯形法不同，内点法通过将问题转化为一系列等价的非线性问题来求解。
内点法的优势在于其计算复杂度相对较低，尤其适用于大规模线性规划问题。
三. 非线性规划问题求解方法1. 信赖域算法信赖域算法是一种常用的非线性规划问题求解方法。
它通过构建局部模型，并通过逐步调整信赖域半径来寻找最优解。
信赖域算法既考虑了收敛速度，又保持了数值稳定性。
2. 遗传算法遗传算法是一种基于自然进化过程的优化算法。
它模拟遗传操作，并通过选择、交叉和变异等操作来搜索最优解。
遗传算法的优势在于其适用于复杂的非线性规划问题，但可能需要较长的计算时间。
基于改进粒子群算法的工程设计优化问题研究
基于改进粒子群算法的工程设计优化问题研究在当今的工程领域，优化设计问题至关重要。
它不仅能够提高工程产品的性能和质量，还能有效降低成本和缩短研发周期。
而粒子群算法作为一种强大的优化工具，在解决工程设计优化问题方面展现出了巨大的潜力。
然而，传统的粒子群算法在某些复杂的工程问题中可能存在局限性，因此对其进行改进成为了研究的热点。
粒子群算法的基本原理是模拟鸟群觅食的行为。
在算法中，每个粒子代表问题的一个潜在解，它们在解空间中飞行，通过不断调整自己的速度和位置来寻找最优解。
粒子的速度和位置更新取决于其自身的历史最优位置和整个群体的历史最优位置。
这种简单而有效的机制使得粒子群算法在处理许多优化问题时表现出色。
然而，在实际的工程设计优化中，问题往往具有高维度、多约束和非线性等特点，这给传统粒子群算法带来了挑战。
例如，在高维度空间中，粒子容易陷入局部最优解；多约束条件可能导致算法难以满足所有约束；非线性特性则可能使算法的搜索变得困难。
为了克服这些问题，研究人员提出了多种改进粒子群算法的策略。
其中一种常见的方法是引入惯性权重。
惯性权重的引入可以控制粒子的飞行速度，使其在搜索过程中更好地平衡全局搜索和局部搜索能力。
较大的惯性权重有利于全局搜索，能够帮助粒子跳出局部最优；较小的惯性权重则有助于在局部区域进行精细搜索，提高解的精度。
另一种改进策略是对粒子的学习因子进行调整。
学习因子决定了粒子向自身历史最优位置和群体历史最优位置学习的程度。
通过合理设置学习因子，可以提高算法的收敛速度和搜索效率。
此外，还有一些研究将粒子群算法与其他优化算法相结合，形成混合算法。
例如，将粒子群算法与遗传算法相结合，利用遗传算法的交叉和变异操作来增加种群的多样性，避免算法早熟收敛。
在工程设计优化问题中，改进粒子群算法已经取得了许多显著的成果。
以机械工程中的结构优化设计为例，通过改进粒子群算法，可以在满足强度、刚度等约束条件的前提下，优化结构的形状、尺寸和材料分布，从而减轻结构重量，提高结构的性能。
探讨单纯形法的改进
探讨单纯形法的改进单纯形法是一种常见的线性规划求解算法，其基本思路是通过构建初始可行解和不断进行单纯形变换来逐步优化目标函数值。
尽管单纯形法具有一定的优越性和适用性，但在实际问题中，其存在一些问题，如对初始可行解的依赖性、极端点模糊等。
因此，对单纯形法进行改进是非常必要的。
一、基于初始点优化的单纯形法改进传统的单纯形法在构建初始可行解时通常采用随机选取变量赋初值，但这种方法存在依赖性和不确定性，容易导致求解结果出现错误。
因此，提出了一种基于初始点优化的改进方法，即将常用的预处理算法与单纯形法相结合，利用已知的问题结构和性质，从而能够更准确地构建初始可行解，并快速找到最优解。
二、非正则化单纯形法改进传统的单纯形法在处理极端点问题时存在一定的缺陷，其主要原因除了初始可行解的问题之外，还与算法本身的局限性有关。
为了克服这些问题，可以通过非正则化单纯形法来进行改进。
这种方法不仅可以克服传统单纯形法无法处理的极端点问题，还可以有效减少目标函数下降的步骤，从而提高算法的效率和可靠性。
三、随机游走单纯形法改进在应用单纯形法解决实际问题时，如果问题本身具有复杂性和难以预测性，传统的单纯形法可能会出现效率低下和求解结果不稳定等问题。
针对这些问题，可以采用随机游走单纯形法进行改进。
该方法通过随机游走和概率转移等操作，将求解过程从搜索解空间的确定性过程转变为概率性的过程，从而能够更有效地避免局部最优解，并提高算法的稳定性和可靠性。
双端单纯形法是一种新颖的基于单纯形法的优化算法，其基本思路是同时从两个端点开始进行求解，分别向另一个端点移动，直到找到最优解为止。
相较于传统的单端单纯形法，双端单纯形法具有更强的适应性和搜索能力，能够更好地应对复杂性和非线性性问题，从而提高算法的求解效率和质量。
综上所述，单纯形法的改进是一个不断完善和发展的过程，不同的改进方法可以针对不同的问题和应用场景，有效提高算法的效率和可靠性，并在实际问题中得到广泛应用。
基于单纯形和粒子群优化的搜索算法
第 １期
兰，Ｉ业 高等专科学校学报 ｋｌ ｌ ，
Ｊ ｕ ｎ ｌｏ ａ ｚ ｏ ｏｙｅ ｈ ｉ ｏ ｌｇ ｏ ｒ ａ ｆＬ ｎ ｈ ｕ Ｐ ｌｔｃ ｎｃ Ｃ ｌ ｅ ｅ
Ｖｏ．１ Ｎｏ １ ９ ．１
２１ ０ ２年 ２月
Ｆ ｂ２ ２ ｅ ． ０１
文 章 编 号 ：０９— ２ ９ ２ １ ） １— ０ ５— ３ １０ ２６ （ ０２ ０ ０ ３ ０
提 出了一种单纯形， 粒子群混合算法 ， 有效地避免 了原有两种算法的缺 陷， 高了对 目 函数 的搜 提 标
索效 率与质 量 ， 用试验 函数 验证 了算 法的 可行性 ． 并 关键词 ： 纯形 法 ； 子群 法 ； 索算 法 单 粒 搜
中 图分 类号 ： ２ １ ６ Ｏ １ ．７ 文献标 志码 ： Ａ
的社 会行 为研究 。， Ｊ例如 鸟群 根 据 找 寻离 食 物 最 近 的鸟 的周 围区域 及 根 据 自身 飞 行 经验 随机 搜 寻 食物 所在 位置 ， 以增加 觅食 成功 的机 率． 在此 仿生 物技术 的优 化算 法 中 ， 其每个 候选 解 （ ａｄｄｔ Ｓｌｔ ｎ 即代 表 一个 粒 子 （ ａｔｌ） 而 Ｃ ｎｉａｅ ｏ ｉ ） ｕｏ Ｐ ｒｃ ， ｉｅ 每个 粒 子 皆 有 属 于 自身 的个 人 最 佳 经 验 记 忆 值
评估 粒子 的优 略． ３ ）检查 每 个 粒 子 的适 合 度 ， 比 Ｇ ｅｔ 合 若 ｂｓ 适 度好 ， 以粒子 目前 的位 置取代 Ｇ ｅｔ 则 ｂｓ ． ４ ）依据 式 （ ） 式 （ ） １和 ２ 更新 每一 个 粒 子 的速
度 与位置 ．
＝ ＋ｃ １×ｒｎ （ ａ ｄ ）×（ ）＋ｃ Ｐ一 ２×
基 于单 纯 形 和 粒 子 群 优 化 的搜 索 算 法
下山单纯形算法
下山单纯形算法摘要：一、下山单纯形算法简介1.什么是下山单纯形算法2.算法的基本思想二、下山单纯形算法的步骤1.初始解的确定2.可行性检验3.单纯形下山步骤三、下山单纯形算法的应用1.路径规划2.网络优化四、下山单纯形算法的优缺点1.优点2.缺点正文：下山单纯形算法是一种解决最优化问题的方法，它是在单纯形法的基础上，结合下山法的特点进行改进的一种算法。
该算法的基本思想是在单纯形法的基础上，每次迭代都朝着目标函数值减小的方向进行，从而更快地找到最优解。
一、下山单纯形算法简介下山单纯形算法是一种解决最优化问题的方法，它的核心思想是在单纯形法的基础上，每次迭代都朝着目标函数值减小的方向进行。
这种方法能够更快地找到最优解，并且具有较好的收敛性。
下山单纯形算法主要应用于路径规划、网络优化等领域。
二、下山单纯形算法的步骤1.初始解的确定：给定一个初始解，这个解可以是随机生成的，也可以是根据领域知识推测的。
2.可行性检验：检验当前解是否可行，即目标函数值是否小于等于规定的最大值。
3.单纯形下山步骤：如果当前解可行，那么进入单纯形下山步骤。
这一步骤主要包括以下操作：a.确定变量进行入基操作；b.确定变量进行出基操作；c.更新目标函数值。
三、下山单纯形算法的应用1.路径规划：下山单纯形算法可以用于求解车辆路径规划问题，即在给定起点和终点的情况下，寻找一条最优的行驶路线。
2.网络优化：下山单纯形算法可以用于求解网络流问题，即在给定网络图的情况下，寻找一种流量分配方案，使得网络中的流量满足一定的约束条件，并且总的流量最大。
四、下山单纯形算法的优缺点1.优点：下山单纯形算法具有较好的收敛性，能够较快地找到最优解。
2.缺点：下山单纯形算法的计算复杂度较高，尤其是在大规模问题中，计算量会随着问题规模的增长而显著增加。
改进单纯形法寻优的MATLAB实现(1)
6 改进单纯形法的寻优原理
676 改进单纯形法简介
单 纯 形 法 是 应 用 规 则 的 几 何 图 形 !通 过 计 算 单 纯 形 顶 点 的 函 数 值 !根 据 函 数 值 大 小 的 分 布 来 判 断 函 数 变 化 的 趋 势 !然 后 按 一 定 的 规 则 搜 索 寻 优 的 方 法 %8!9’"该 方 法 因 步 长 固 定 !具 有 不 能 加 速 的 缺 点 "改 进 单 纯 形 法 是 在 单 纯 形 法 的 基 础 上 对 步 长 作 适 当 修 改 得 到 的 寻 优 方 法 !在 化 学 化 工 中 应 用 较 广"设需要寻优的目标函数为 :; :<=&!=4!>!=?@!其中 =A<A; &!4!>!?@是自变量!:为响应值"
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化
学
报
35 卷
PSO 中, 以提高其局部寻优能力, 具体方法包括两 类: 一类是, 每隔固定代数对微粒群中最优点[10] 、 部分微粒或全部微粒[11−12] 进行若干代单纯形搜索. 此类方法可以显著提高 PSO 的局部搜索能力, 但存 在算法全局寻优能力不理想或计算代价过大等缺点. 另一类是, 利用微粒周期性地构造单纯形的顶点, 完 成对微粒群全局最优点的深度开发[8, 13] . 此类方法 皆采用串联方式混合 PSO 和 SM, 这在一定程度上 限制了它们对大规模复杂优化问题的处理能力. 为同时提高 PSO 的进化速度和质量, 本文提出 一种基于 SM 的改进微粒群优化算法. 该算法通过 在奇数种群和偶数种群上分别并行协同运行 PSO 和 SM, 以期达到算法全局和局部寻优能力的有效 均衡.
A Simplex Method Based Improved Particle Swarm Optimization and Analysis on Its Global Convergence
ZHANG Yong1 GONG Dun-Wei1 ZHANG Wan-Qiu1 Abstract Considering that the existing particle swarm optimizations (PSO) do not give simultaneously attention to evolution speed and solution s quality, a simplex method based improved particle swarm optimization (SM-IPSO) is proposed in this paper. In SM-IPSO, the conception of multipopulations is adopted, where PSO and SM run on odd populations and even populations, respectively. And a periodical migrating operation between adjacent populations is also introduced in SM-IPSO in order to achieve cooperative search of both PSO and SM for solution space: SM can get away from local converged points by virtue of PSO, and PSO can improve its local exploiting capability under the help of SM. Furthermore, an improved escape method of particle velocities and improved Nelder-Mead SM are proposed in order to enhance the functions of PSO and SM in this paper. Finally, the proposed algorithm is implemented on a Linux cluster system, and experimental results on optimizing five benchmark functions demonstrate its usefulness. Key words Parallel, particle swarm optimization (PSO), simplex method (SM), multi-population， velocity escape
Ex i (t) =
−1 [k1 (t − 1)+ k2 ]λt E 1 + µ, 若 λE 1 = λE 2 t k3λt 否则 E 1 + k4 λ E 2 + µ ,
其中, t 为迭代次数, w 为惯性权值, c1 , c2 为学习因 子, r1 , r2 为 [0, 1] 之间的随机数. 此外, 为防止微粒 远离搜索空间, 一个限制微粒飞行的最大速度 V max 也被定义, 其值通常取决策变量的上下界之差.
收稿日期 2007-12-24 收修改稿日期 2008-10-13 Received December 24, 2007; in revised form October 13, 2008 国家自然科学基金 (60775044), 江苏省自然科学基金 (BK2008125), 江苏省普通高校研究生科研创新计划 (CX07B-115Z) 资助 Supported by National Natural Science Foundation of China (60775044), Natural Science Foundation of Jiangsu Province (BK2008125), and Graduate Student Research Innovation Program of Jiangsu Province College (CX07B-115Z) 1. 中国矿业大学信息与电气工程学院 徐州 221008 1. School of Information and Electronic Engineering, China University of Mining and Technology, Xuzhou 221008 DOI: 10.3724/SP.J.1004.2009.00289
2 基于 SM 的改进微粒群优化算法: SMIPSO
2.1 迁移式 PPSO 的早熟分析
分析导致迁移式 PPSO 早熟的原因, 首先重述 文献 [20] 所给出的算法收敛定理. 定 理 1. 若 按 期 望 值 观 察 PSO 的 行 为, 当 0 < c1 + c2 < 4(1 + w) 且 |w| < 1 时,
第 35 卷 第 3 期
2009 年 3 月
自 动 化 学 报
ACTA AUTOMATICA SINICA
Vol. 35, No. 3 March, 2009
一种基于单纯形法的改进微粒群优化算法及其收敛性分析
张 勇1 巩敦卫 1 张婉秋 1
摘 要 针对现有微粒群优化算法难以兼顾进化速度和求解质量这一难题, 提出一种基于单纯形法的改进微粒群优化算法 (Simplex method based improved particle swarm optimization, SM-IPSO). 该算法采用多个优化种群, 分别在奇数种群和 偶数种群上并行运行微粒群算法和单纯形法, 并通过周期性迁移相邻种群间的最优信息, 达到微粒群算法和单纯形法的协同 搜索: 单纯形借助微粒群算法跳出局部收敛点, 微粒群依靠单纯形提高局部开发能力. 为强化两种算法所起作用, 一种改进的 微粒速度逃逸策略和 Nelder-Mead 单纯形法也被提出. 最后, 在 Linux 集群系统上运行所提算法, 通过优化五个典型测试函 数验证了算法的有效性. 关键词 并行, 微粒群优化, 单纯形法, 多种群, 速度逃逸 中图分类号 TP301
其中 λE 1 , λE 2 为 EYi (t + 1) = [1 + w − 0.5(c1 + c2 )]EYi (t) − wEYi (t − 1) 的特征根, µ = [c1 p i + c2 p g ]/[c1 + c2 ], k1 , k2 , · · · , k4 为常数. 定理 1 的重要性不仅在于给出了 PSO 收敛的 充分条件, 而且刻画出了算法的收敛速度: 微粒群 中每个微粒皆以指数级速度收敛到 p i 和 p g 间的 某一均衡点. 然而, 对 PPSO 而言, 此机制也加速 了微粒群自身有效信息的丢失. 对于多峰问题, 很 多情况下问题的最优解可能位于某一微粒个体最 优点附近. 此时, 对该微粒进行局部搜索会增加算 法找到全局最优点的概率. 事实上, PSO 的快速寻 优能力, 将使上述个体最优点很快被新的微粒位置 所替代, 尤其是迁入微粒优于当前微粒群中最优微 粒时, 导致微粒群丧失继续开发最优解潜在区域的 机会. 图 1 (见下页) 展示了一个简单的函数最大化问 题. 受迁入微粒信息的影响, 微粒 x 1 将以较大概率 趋近并落入阴影区域, 进而丧失对最高峰的开发; 相 反, 此时如果采用某种局部搜索算法, 如单纯形法对 p 1 继续进行深度开发, 将显著提高 PSO 找到全局 最优点的概率.
1 相关知识
1.1 微粒群优化算法 PSO 源 于 对 鸟 类 和 鱼 群 捕 食 等 行 为 的 模 拟. 在鸟类捕食的群体行为中, 每只鸟被看作一个微 粒, 而每个微粒代表一个被优化问题的解. 在 D 维搜索空间中, 设微粒 x i 本身所找到的最佳位置 为 p i = (pi1 , pi2 , · · · , piD ) (一般称其为微粒个体最 优点), 整个微粒群迄今为止搜索到的最佳位置为 p g = (pg1 , pg2 , · · · , pgD ) (一般称为微粒群全局最 优点), 微粒的当前速度为 v i = (vi1 , vi2 , · · · , viD ), 那么, 每个微粒将根据下式来调整自己下一步的位 置[14] . vij (t + 1) = wvij (t) + r1 c1 (pij (t) − xij (t))+ r2 c2 (pgj (t) − xij (t)) xij (t + 1) = xij (t) + vij (t + 1) (1) (2)