第3章薛定谔方程及应用简例2(势阱 势垒 谐振子)
1-4-薛定谔方程应用举例
第一讲第讲主要内容振动和波动量子力学的诞生量子力学的基本原理薛定谔方程应用举例1薛定谔方程的应用举例定态薛定谔方程无限深方势阱中的粒子方势垒的穿透一维谐振子2薛定谔方程的应用举例定态薛定谔方程无限深方势阱中的粒子方势垒的穿透一维谐振子6一维无限深势阱中粒子能级有如下特点：维无限深势阱中粒子能级有如下特点：z能级量子化。
量子力学的普遍规律，束缚态（E <V 0）能级量离子化（离散的，非连续的）。
量子化能量的值要取决于束缚势能的具体情况。
值得指出的是，束缚粒子存在量子化这一事实，可简单和直接的由满足薛定谔方程的波函数应用边界条件就得到了。
z粒子的最低能级，这与经典粒子不同。
这是微观粒子波性的表静的波是有意的从02/2221≠=ma E πh 这是微观粒子波动性的表现，静止的波是没有意义的。
从不确定度关系也可以给予粗略的说明。
211zE ∝n ,能级分布是不均匀的。
CdSe量子点的吸收边和发射峰显著依赖尺寸大小。
可应用于：•生物标记•LED照明•平板显示•太阳能电池12薛定谔方程的应用举例定态薛定谔方程一维自由粒子无限深方势阱中的粒子方势垒的穿透一维谐振子13扫描隧道显微镜20薛定谔方程的应用举例定态薛定谔方程一维自由粒子无限深方势阱中的粒子方势垒的穿透一维谐振子21谐振子能量本征值ωh ⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=21n E n ( n = 0,1,2, … )m ω=βz为系统的本征角频率z束缚态，能级量子化。
图1.12 线性谐振子的势能曲线及本征值最低几条能级上的谐振子能量本征函数：122α谐本)(x n ψ)(x n ψ)2exp()(4/10x x απψ−=)21exp(2)(224/11x x x ααπαψ−=1exp(1212222x x x ααα−−=)2p()(2)(4/12πψ29)21exp()132(3)(22224/13x x x x αααπαψ−−=2⏐ψn (x )⏐图1.16 n =10时线性谐振子的几率密度z 实线表示量子谐振子位置概率分布，虚线为经典谐振子的概率分布。
谐振子薛定谔方程的简单解法
谐振子薛定谔方程的简单解法谐振子薛定谔方程是一个常见的量子力学问题，求解它的方法有许多种。
其中比较简单的一种方法是使用升降算符法，即通过引入升降算符，将原方程转化为一系列易于求解的简单形式。
具体来说，假设谐振子的薛定谔方程为：（-h^2/(2m) d^2/dx^2 + 1/2 kx^2)ψ(x) = Eψ(x)。
其中，h是普朗克常数，m是质量，k是弹性常数，E是能量，ψ(x)是波函数。
按照升降算符法的思路，我们可以定义两个算符a和a†，它们分别满足以下关系：aψ(x) = (√(mω/2h))(d/dx + (i/√2mω)x)ψ(x)。
a†ψ(x) = (√(mω/2h)) (d/dx - (i/√2mω)x)ψ(x)。
其中ω是谐振子的角频率，满足ω=√(k/m)。
容易证明，a†a和aa†的作用效果如下：a†aψ(x)=(1/2ωh)(p^2+(mωx)^2)ψ(x)-(1/2)ψ(x)。
aa†ψ(x) = (1/2ωh) (p^2 + (mωx)^2 + ωh)ψ(x)。
其中p是动量算符。
注意到上式中出现了p^2和x^2的和，这意味着我们可以将原方程改写为：(a†a+1/2)ψ(x)=(E/ωh)ψ(x)。
于是我们得到了简单的形式，可以逐层求解，直到得到某个特定的能级E的波函数。
具体过程如下：1.对于能量E，我们可以通过求解a†aψ(x)=vψ(x)的形式得到v，这里的v相当于E/ωh-1/2。
由于a†a的本征值是非负的，因此v必须大于等于0，即E/ωh必须大于等于1/2。
2.再对a†aψ(x)=vψ(x)做“降阶”，即对每个v对应的本征函数分别应用a算符，得到下一个v对应的本征函数。
这里需要注意，由于a算符作用后产生的新波函数在一般情况下不是归一化的，需要对其进行归一化。
3.重复步骤2，直到得到所需的能级E的波函数为止。
这种方法虽然比较简单，但需要一定的数学功底和物理理解能力。
在实际应用中，也可以使用其他更为高级的方法来求解谐振子的薛定谔方程，如行列式方法、路径积分方法等。
量子力学中的薛定谔方程及其求解
量子力学中的薛定谔方程及其求解量子力学是研究微观粒子行为的重要理论，其核心是薛定谔方程。
薛定谔方程描述了量子体系中粒子的波函数以及随时间演化的规律。
本文将介绍薛定谔方程的基本原理，并讨论一些常见的求解方法。
一、薛定谔方程的基本原理薛定谔方程是波动方程，描述了量子体系中粒子的行为。
它的一般形式为：iħ∂ψ/∂t = Hψ其中，i是虚数单位，ħ是约化普朗克常数，ψ是粒子的波函数，t 是时间，H是哈密顿算符。
薛定谔方程的左边代表了波函数随时间变化的导数，右边代表了粒子在量子力学描述下的总能量。
通过求解这个方程，我们可以得到波函数的时间演化规律，从而揭示粒子的行为。
二、薛定谔方程的求解方法求解薛定谔方程是量子力学中的关键问题，涉及到很多数学方法和物理概念。
下面介绍几种常见的求解方法。
1. 一维自由粒子的求解方法对于一维自由粒子，其哈密顿算符可以简化为动能算符，即H = -ħ^2/2m * ∂^2/∂x^2。
将这个算符代入薛定谔方程，可以得到一维自由粒子的薛定谔方程为：iħ∂ψ/∂t = -ħ^2/2m * ∂^2ψ/∂x^2这是一个简单的偏微分方程，可以通过分离变量法求解。
假设波函数可以分解为时间部分和空间部分的乘积，即ψ(x, t) = φ(x) * χ(t)，代入薛定谔方程后可以分离变量，得到两个独立的常微分方程。
分别求解这两个方程，再将它们的解合并，即可得到一维自由粒子的波函数。
2. 一维势阱的求解方法一维势阱是限制粒子运动在有限空间内的一种势场。
在势阱中，波函数的形式将受到势场的影响。
求解一维势阱的薛定谔方程需要考虑势场对波函数的贡献。
对于势阱中的波函数，只有在势阱内部才能存在。
在势阱内部，薛定谔方程的形式与自由粒子类似，但是边界条件会影响波函数的形式。
边界条件一般为波函数在势阱边界处连续且导数连续。
通过求解这个边界问题，可以得到一维势阱中的波函数。
3. 二维和三维量子体系的求解方法对于二维和三维的量子体系，薛定谔方程将变为偏微分方程。
【大学物理】§3-2薛定谔方程 一维势阱和势垒问题
一、一维无限深方势阱
对于一维无限深方势阱有
一维势阱和势垒问题
∞
∞
U(x)
U
(
x)
0
(0 x a) ( 0 x, x a)
势阱内U(x) = 0，哈密顿算符为
H
2
2
d2 d x2
定态薛定谔方程为
0
a
令
2E
k
薛定谔方程的解为
d 2
d x2
2E
2
0
(x) Asin(kx )
由此解得最大值得位置为
x (2N 1) a 2n
例如
n 1, N 0
最大值位置
x 1a 2
n 2, N 0,1, 最大值位置 x 1 a , 3 a Nhomakorabea44
n 3, N 0,1, 2, 最大值位置 x 1 a , 3 a , 5 a.
6 66
可见，概率密度最大值的数目和量子数n相等。
10
2m dx2
2. 波函数
(
x)
2 sin( n x), 0 x a
aa
0,
x 0或x a
3. 能量
En
n
2
22
2ma 2
n 1,2,3
4. 概率密度
(x) 2 2 sin 2 ( n π x)
a
a
4
讨论
n (x)
2 sin n x
a a
(0 x a)
1.n=0给出的波函数
1
根据 (0，)可以0确定 = 0或m，m =1,2,3,。于是上式改写为
根据 (a) 0，得
(x) Asin kx
ka = n， n = 1,2,3, ···
量子力学中的薛定谔方程
量子力学中的薛定谔方程在量子力学中，薛定谔方程是一个重要的基本方程，被广泛应用于描述微观粒子的行为和性质。
薛定谔方程以奥地利物理学家埃尔温·薛定谔（Erwin Schrödinger）的名字命名，是量子力学的基石之一。
薛定谔方程描述了体系的波函数随时间演化的规律，通过求解该方程，可以获得粒子在空间中的波函数及其相应的能量。
薛定谔方程是一个线性偏微分方程，一般形式为：\[i \hbar \frac{\partial}{\partial t} \Psi(\mathbf{r}, t) = \hat{H}\Psi(\mathbf{r}, t)\]其中，\[i\]表示虚数单位，\[\hbar\]为约化普朗克常数，\[\Psi(\mathbf{r}, t)\]是波函数，描述了粒子在空间中的分布情况随时间的变化。
方程右侧的\[\hat{H}\]是系统的哈密顿量（Hamiltonian），描述了体系的能量。
薛定谔方程是量子力学的基本方程之一，可以用来描述各种体系，包括原子、分子、固体和微观粒子等。
通过求解薛定谔方程，可以得到体系的波函数，波函数的模的平方代表了在某一时刻粒子出现在不同位置的概率分布。
由于薛定谔方程是一个偏微分方程，求解它需要考虑边界条件和初始条件。
对于简单的系统，如自由粒子，可以直接求解得到解析解。
但对于复杂的体系，如多电子原子或分子，一般需要采用数值方法进行求解。
量子力学的创立为描述微观世界的现象提供了全新的框架，薛定谔方程作为量子力学的基本方程，为我们理解微观粒子的行为和性质提供了强有力的工具。
通过求解薛定谔方程，我们可以预测和解释许多实验现象，如电子的能级结构、原子和分子的光谱等。
总结一下，薛定谔方程是量子力学中的基本方程，描述了体系的波函数随时间演化的规律。
通过求解薛定谔方程，我们可以获取体系的波函数及其相应的能量，从而揭示微观粒子的行为和性质。
薛定谔方程在量子力学的发展中起到了重要的作用，为我们认识和理解微观世界提供了重要的框架。
薛定谔方程及简单应用
d2
d x2
k22
0
(0 x a)
1
A1eik1x
B eik1x 1
(x 0)
通解：
2
A2eik 2 x
B eik2x 2
(0 x a)
乘e
i
Et
3 A3eik1x B3eik1x ( x a)
第一项： 向x方向传播的波
[例
A e ] i
(
k1
x
E
t
)
1
第二项： 向-x方向传播的波
入射波+反射波
U0 透射波
o
a
x
隧道效应： 总能量E小于势垒高度U0的粒子也 有可能贯穿势垒，到达另侧
贯穿系数：
T |
2
| e 3 xa
2a 2m(U0 E )
|1 |2x0
a
T
U0
应用举例
1. 解释放射性 衰变
E
4 He
4 He 的 结 合 能 比 较 大 ， 核 内两 个 质 子 和 两 个 中 子
1. 写出具体问题中势函数U(r)的形式代入方程 2. 用分离变量法求解
3. 用归一化条件和标准条件确定积分常数 只有E取某些特定值时才有解
本征值
本征函数
4. 讨论解的物理意义，
即求| |2，得出粒子在空间的概率分布。
一、一维无限深势阱
模型的建立：微观粒子被局限于某区域中，并在该
区域内可以自由运动的问题 简化模型。
0
0a
a
n=1
x
o a/4
a
a
42 a sin2 x d( x)
0a
aa
a
2
薛定谔方程的应用
n 1,2,3...0 x a
待定系数是由边值条件和归一化条件所决定，与机械波中完 全由初始条件决定所不同,这就体现了物质波是概率波的特点。
5
2 、方程解的物理意义
nx
2 sin n x
aa
n 1,2,3...
1)处在势阱中的微观粒子，其德布罗意波只能是驻波。
这是因为在阱壁处（即 x=0,x=a处）其Ψ(x)=0 ，只能是 波节，因此物质波在阱内运动要能够稳定下来，其在阱壁两端 来回反射,必定形成德布罗意驻波。
2) 最低能量 (零点能) ——波动性
22
E1 2ma2 0
9
n 不能取 0 ，如 n=0 ，则意味着Ψ（ x ）＝ 0 ，即在方 势阱中到处找不到粒子,这显然是没有意义的。
nx
2 sin n x
aa
n 1,2,3...
n ＝ 1 时，称基态能级（零点能）。基态能不为零，是经典
物理不能解释的。
3) 能级间距
E
En1
En
(2n 1)
2 2
2ma 2
(2n 1)E1
可看出，能级间距与粒子质量和阱宽的平方成反比。
对于微观粒子,若限制在原子尺度内运动时，ћ2~ma2，即阱宽 很小时，则能量的量子化是很显著的,因此必须考虑粒子的量子 性;
但即使是微观粒子，若其在自由空间运动 (相当于阱宽无穷
大) ，其能级间距就非常小,则可认为能量的变化是连续的;
一、一维无限深势阱
1 、一维无限深势阱薛定谔方程
U(x)
U(x)
1 ）势函数
0
a
x
阱内: （0＜x＜a) U x 0
阱外: (x<0 & x>a) U x
§3-2薛定谔方程 一维谐振子问题
度为a。则冲力为
F
2px
vx 2a
p
2 x
me a
将算符
pˆ
2 x
(i )2 x
2
x 2
代入上式，得
F
2 me a
2 x2
因电子是处于基态，则
1
1
2 sin x aa
6
电子对阱壁的平均冲力为
F
a
0
1
Fˆ
1dx
2π22 me a 4
a
0
sin
2
πx dx
a
2π 2 me a3
π
0
sin
由图可见，量子数n较小时，粒子位置的概率密度 分布与经典结论明显不同。随着量子数n的增大，概 率密度的平均分布将越来越接近于经典结论。
5
例1 一个电子被束缚在一维无限深势阱内，势阱宽度 为1.011010m。求当电子处于基态时对阱壁的平均冲 力。
解 设电子的质量为me，速度为vx，动量为px，势阱宽
§3-2 薛定谔方程
一维谐振子问题
一、一维谐振子的定态薛定谔方程
经典力学中，简谐振动为 x Acos(t )
系统的势能为 U( x) 1 kx2 1 2 x2
2
2
简谐振子的能量为 E 薛定谔方程，得
[
2
2
d2 dx 2
1 2
2 x2 ] ( x)
(
x)
n
( x)dx
1
，得
Nn
( 1
2 2n
)1 n!
2
时间因子的一维谐振子的定态波函数为
n (x,t) n (x)eiEnt/
Nn (x)e2x2 2Hn (x)eiEnt/
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
0
R
r
38
2.扫描隧道显微镜（STM） （Scanning Tunneling Microscopy） 1986. Nob： 宾尼（G.Binning） 罗尔（Rohrer） 发明STM
鲁斯卡（E.Ruska） 1932发明 电子显微镜 STM 是一项技术上的重大发明 用于观察
2 2
x0
U(x)
令 方程为
2
2mE k 2
2
U0
E
Ⅰ区
d 1 ( x) 2 2 k 1 ( x) 0 2 dx
0 Ⅱ区
x
x0
27
II 区
2 d 2 2 ( x) U 0 2 ( x) E 2 ( x) 2 2m dx d 2 2 ( x) 2m 2 ( E U 0 ) 2 ( x) 0 2 dx
“原子和分子的观察与操纵” -- 白春礼 P.151 图7-8
1993年美国科 学家移动铁原 子，铁原子距 离0.9纳米
“量子围栏”
48个铁原子排列在 铜表面
证明电子的波动性
3.5 一维谐振子 一.势函数 二.薛定谔方程及解
三.与经典谐振子的比较
49
谐振子不仅是经典物理的重要模型 也是量子物理的重要模型 如： 黑体辐射 场量子化
表面的微观结构（不接触、不破坏样品） 原理：利用量子力学的隧道效应
39
电子云重叠
U0
U0
U0
A
隧道电流i 探针 U
E
A
样品
d B
A d
d
B
i Ue
A——常量 ——样品表面平均势 垒高度（~eV） 。 d ~ 10A d变 i变 40 反映表面情况
显示器
压电 控制 加电压 反馈传 感器 隧道 电流
19
π 2 2 2 2 πn En n n sin x 2 2ma a a 2 2 nπ Pn sin x n 1,2, a a 小结：本征能量和本征函数的可能取值
n
1 2 3
En
π2 2 E1 2ma 2
n
2 π 1 sin x a a
P n
2 2πx P sin 1 a a
操 硅原子 形成2 纳米的 线条
1994年中国科学院科学家“写”出的
平均每个字的面积仅百万分之一平方厘米
“原子和分子的观察与操纵” -- 白春礼 插页彩图13
“扫描隧道绘画 ”
CO分子竖 在铂片上
分子人高 5nm
视频： 1.扫描隧道显微镜 2.显微镜 一氧化碳“分子人”
隧道效应
a 2 m (U 0 E )
E
Ⅰ区
0 Ⅱ区 a
Ⅲ区
x
波穿过势垒后
将以平面波的形式继续前进( 3 )
振幅为 2 (a ) 称为势垒穿透或隧道效应
34
隧道效应
• 经典
• 量子
1. 穿透系数
T 2 (a ) e
2
2a 2 m (U 0 E )
a T (U 0 E) T
2
n4
a 4 2
3 x
2
n3
E3
2a 3 3
2 x
2 x
E2
2
n2
2 a
x 2 1
1 2a
n1
1 x
E1
o
a
o
a21
n 时， 量子经典
Ψ | n|
2
n很大
玻尔对应原理
En
0
a
22
三.旧量子论的半经典解释 粒子在势阱内动量为
L—阱宽
16
3)本征函数系 •由归一性质 定常数 B
( x) ( x)dx 1
* 0
a
B 2sin 2 kxdx 1
0
a
得
2 B a
( n 1,2,3,)
17
2 •本征函数 n ( x) sin nπ x a a
6.定态波函数
考虑到振动因子 e
i Ent
解的形式为 ( x) B sin kx
2)能量取值
x a 处 ( a) 2 ( a) 0
Bsin ka 0
14
B sin ka 0
A已经为零了 B不能再为零了 即 要求
B0
只能 ka 等于零
ka nπ
(k 0)
nπ k (n 1,2,3,) a 2 2 2＝2mEn n π k 2 2 a
5.求出概率密度分布及其他力学量
3
二.几种势函数 U(x) 1.自由粒子 U( x) 0
2.方势阱
U(x)
U(x)
U( x) 0
U( x) 0
无限深方势阱 能级结构问题
4
方势阱
是实际情况的 极端化和简化
U(x)
U( x) 0
金属中的电子
分子束缚 在箱子内
三维方势阱
方势阱
5
入射+反射
Ψ1
透射Ψ 2
U0
E
Ⅰ区
0
Ⅱ区
x
30
4.概率密度 ( x > 0 区 )
本征波函数 2 ( x) Ce 概率密度
2
x
Ce
1 2 m (U 0 E ) x
2 ( x) e 2 x
| 2 ( x) | e
2
2 2 m (U 0 E ) x
当 U 0 E 5eV 势垒宽度 a 约50nm 以上时 穿透系数会下降6个数量级以上
此时量子概念过渡到经典
36
2. 怎样理解粒子通过势垒区 经典物理：从能量守恒的角度看是不可能的
量子物理： 粒子有波动性 遵从不确定原理 粒子经过II区和能量守恒并不矛盾 只要势垒区宽度x = a不是无限大 粒子能量就有不确定量E
E2 4E1
E3 9E1
2 2π 2 2 2π 2 sin x P2 sin x a a a a 2 3π 2 2 3π 3 sin x P3 sin x a a a a 20
一维无限深方势阱中粒子的波函数和概率密度
( x) 4 x
3 x
E4
4 x
n n
i Ent ( x)e
i Ent e
2 nπ n sin x a a
( n 1,2,3,)
（驻波解）
18
7. 概率密度
Pn
*
*
2 2 nπ sin x a a
n 1,2,
π 2 2 2 2 πn En n n sin x 2 2ma a a
•令 将方程写成 •通解
k2
2mE 2
( x) k 2 ( x) 0
( x) A coskx B sin kx
式中 A 和 B 是待定常数
13
5.由波函数标准条件和边界条件定特解
通解是
( x) A coskx B sin kx
1)解的形式
x 0 处 (0) 2 (0) 0 A 0
2
波动形式
d 2 ( x) 2 2 ( x) 0 x0 2 dx x x 通解 2 ( x) Ce De
指数增加和衰减
29
考虑物理上的要求
当x 时 2(x) 应有限 所以 D= 0
1 2 m (U 0 E ) x
于是 2 ( x) Ce x Ce
3.势垒
U(x)
U(x)
梯形势 散射问题
势垒 隧道贯穿
U(x)
U(x)
6
4.其他形式
超晶格
谐振子
7
一.一维无限深方形势阱
U(x) U=U0 功函数 U=U0 极 U(x)
U→∞
U→∞
E
U=0
金属
E
a 0 x 无限深方势阱 （ potential well ） U=0
x
限
a
分子束缚 在箱子内 三维方势肼
8
特点：
粒子在势阱内受力为零 势能为零
U→∞
U→∞
U(x)
在阱内自由运动 在阱外势能为无穷大 在阱壁上受极大的斥力 不能到阱外
E
U=0
0
a
x
9
二.薛定谔方程和波函数 粒子在阱内自由运动
U ( x) 0
0
不能到阱外 1.势函数 阱内
阱外
a
x
U ( x) 0
( 0 x a)
U (x) ( x 0 x a)
x >0区 (E < U0) 粒子出现的概率 0
U0 x 概率
31
经典：电子不能进入E < U的区域(因动能 0) 量子：电子可透入势垒 若势垒宽度不大 则电子可逸出金属表面 在金属表面形成一层电子气
入射+反射
Ψ1
透射Ψ2
U0
E
Ⅰ区
0
Ⅱ区
x
32
二.有限宽势垒和隧道效应 U0 Ψ2
π 2 n (n 1,2,3,) 能量可能值 En 2 2ma
2 2
15
讨论
π 2 En n (n 1,2,3,) 2 2ma
2 2
•每个可能的值叫能量本征值 •束缚态 粒子能量取值分立 (能级概念) 能量量子化 •最低能量不为零 波粒二象性的必然结果
请用不确定关系说明 •当n趋于无穷时 能量趋于连续 2 2 π 2 •通常表达式写为 En n n 1,2, 2 2mL