大学物理 第二章 薛定谔方程
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薛定谔公式方程
薛定谔公式方程
薛定谔公式是量子力学中的一条重要方程，描述了微观粒子的波动性质。
它的形式如下：
iħ ∂Ψ/∂t = -ħ²/2m ∇²Ψ + VΨ
其中，ħ代表约化的普朗克常数，i代表虚数单位，∂Ψ/∂t表示波函数Ψ对时间的偏导数，∇²Ψ表示波函数Ψ的拉普拉斯算子，m代表粒子的质量，V表示势能。
这个方程的意义在于描述了微观粒子的量子态随时间的演化规律。
它由两部分组成：动能项-ħ²/2m ∇²Ψ和势能项VΨ。
动能项-ħ²/2m ∇²Ψ描述了微观粒子波函数Ψ的空间变化对其动能的影响。
负号表示了粒子的波函数Ψ在动能项中是负相干的，也就是说波函数Ψ在此区域传播的波动性质。
ħ²/2m表示了波动性和粒子质量之间的关系，质量越大，波动性越小。
势能项VΨ描述了微观粒子波函数Ψ在势场中的行为。
势能项的形式取决于具体的势场，比如自由空间中没有势能项，而在外部场中，势能项可以描述粒子对外部场的响应。
整个方程描述了量子粒子的波函数随时间演化的规律。
通过求解薛定谔方程，可以得到粒子在不同的时间点的波函数分布，从而描绘了粒子在空间中运动的概率分布。
当然，在具体的情况下，薛定谔公式还需要结合边界条件和初
值条件来解决。
这些条件可以通过实验数据或者物理假设来确定，从而得到粒子的具体运动规律。
总的来说，薛定谔公式是量子力学中描述微观粒子波动性质的重要方程。
它描绘了波函数随时间的演变规律，通过求解可以得到粒子在空间中的概率分布。
这对于研究微观粒子的行为有着重要的意义。
【大学物理】第二讲 薛定谔方程
§3.2 薛定谔方程
一、薛定谔方程的建立
1、自由粒子的薛定谔方程
自由粒子平面波函数方程
i 2 ( Et px)
(x,t) 0e h
对x取二阶偏导数 对t取一阶偏导数 由于 E p2 可得
2m
2 p2
x2
2
i E
t
2 2
2m
x2
i
一维自由粒子含时 的薛定谔方程
t
2、在势场中粒子的薛定谔方程 势场中粒子的总能量 E p2 U (x，t)
代入薛定谔方程，采用分离变量，得到:
2
2m
2
(x,
y,
z)
U (x,
y,
z)
( x,
y,
z)
1 (x, y,
z)
i f (t) 1 t f (t)
令等式两端等于同一常数
i f (t) 1 E t f (t)
2
2m
2
(x,
y,
z)
U (x, y,
i Et
z)
(x,
y,
z)
1 (x, y,
a
Ep
o ax
(x) Asin nπ x
a
归一化条件
2
dx
0a
*dx
1
A2 a sin2 0
nπ a
xdx
1
A 2 a
(x) 2 sin n π x, (0 x a)
aa
波函数
(x)
0, (x 0, x a)
2 sin n π x, (0 x a) aa
讨论： （1） 粒子能量量子化
aa
例如，当 n =1时， 粒子在 x = a /2处出 现的概率最大。
一、薛定谔方程的建立
1、自由粒子的薛定谔方程
自由粒子平面波函数方程
i 2 ( Et px)
(x,t) 0e h
对x取二阶偏导数 对t取一阶偏导数 由于 E p2 可得
2m
2 p2
x2
2
i E
t
2 2
2m
x2
i
一维自由粒子含时 的薛定谔方程
t
2、在势场中粒子的薛定谔方程 势场中粒子的总能量 E p2 U (x，t)
代入薛定谔方程，采用分离变量，得到:
2
2m
2
(x,
y,
z)
U (x,
y,
z)
( x,
y,
z)
1 (x, y,
z)
i f (t) 1 t f (t)
令等式两端等于同一常数
i f (t) 1 E t f (t)
2
2m
2
(x,
y,
z)
U (x, y,
i Et
z)
(x,
y,
z)
1 (x, y,
a
Ep
o ax
(x) Asin nπ x
a
归一化条件
2
dx
0a
*dx
1
A2 a sin2 0
nπ a
xdx
1
A 2 a
(x) 2 sin n π x, (0 x a)
aa
波函数
(x)
0, (x 0, x a)
2 sin n π x, (0 x a) aa
讨论： （1） 粒子能量量子化
aa
例如，当 n =1时， 粒子在 x = a /2处出 现的概率最大。
第二章波动方程和薛定谔方程
1 (2πh )3 / 2 1 (2πh )3 / 2
p ⋅r v h C p t e dp x dp y dp z ， ( , ) ∫∫∫ ∞
i vv
− p ⋅r v h Ψ r t e dxdydz 。 ( , ) ∫∫∫
i vv
&&dinger 方程给出： 4、波函数随时间变化的规律由 Schro
ih h2 2 ∂Ψ v =− ∇ Ψ + U (r , t )Ψ 。 ∂t 2μ
据此，可以得到几率守恒律的微分形式：
１
v ∂ω +∇⋅J =0 ， ∂t
v ih v v v 其中： ω (r , t ) = Ψ * (r , t )Ψ (r , t ) （假设 Ψ 归一化） ，J ≡ ( Ψ ∇Ψ * − Ψ * ∇Ψ ) 。 2μ
任意形状的势垒 U ( x) ，透射系数为：
D = D0 exp[−
四、典型例题
例 1、证明动量算符的属于本征值为 p' 的本征函数在动量表象中的表示是 δ ( p − p ' ) 。 证明：设 Ψ ( x, t ) 所描写的状态是具有动量 p ' 的自由粒子的状态，即
Ψ ( x, t ) = ψ p ' ( x )e
[−
h2 d2 * + U( x )]ψ * n = Enψn 2μ dx 2
，
（2）
即 ψ n 及 ψ* n 皆是与能量 E n 相对应的波函数。 而一维束缚定态不存在简并，于是：
４
ψ n = cψ * ， n （c 为复常数）
* 即： ψ * n = c ψn ，
则： ψ n = cc * ψ n = c ψ n ， 即： c = 1 ， 所以： c = e iδ ，可以取 δ = 0 ，即： ψ n = ψ * n 。 故 ψ n 为实数（无损一般性， ψ n 可取为实函数） 。
薛定谔方程
在1925年，瑞士苏黎世每两周会举办一场物理学术研讨会。有一次，主办者彼得·德拜邀请薛定谔讲述关于 德布罗意的波粒二象性博士论文。那段时期，薛定谔正在研究气体理论，他从阅读爱因斯坦关于玻色-爱因斯坦统 计的论述中，接触德布罗意的博士论文，在这方面有很精深的理解。在研讨会里，他将波粒二象性阐述的淋漓尽 致，大家都听的津津有味。德拜指出，既然粒子具有波动性，应该有一种能够正确描述这种量子性质的波动方程。 他的意见给予薛定谔极大的启发与鼓舞，他开始寻找这波动方程。
1936年他回到奥地利任格拉茨大学理论物理教授。不到两年，奥地利被纳粹并吞后，他又陷入了逆境。1939 年10月流亡到爱尔兰首府都柏林，就任都柏林高级研究所所长，从事理论物理研究。在此期间还进行了科学哲学、 生物物理研究，颇有建树。出版了《生命是什么》一书，试图用量子物理阐明遗传结构的稳定性。1956年薛定谔 回到了奥地利，被聘为维也纳大学理论物理教授，奥地利政府给予他极大的荣誉，设定了以薛定谔命名的国家奖 金，由奥地利科学院授予。
背景与发展
1900年，马克斯·普朗克在研究黑体辐射中作出将电磁辐射能量量子化的假设，因此发现将能量与频率关联 在一起的普朗克关系式。1905年，阿尔伯特·爱因斯坦从对于光电效为hν；其中，因子h是普朗克常数。这一点子成为后来波粒二象性概念的早期路标之一。 由于在狭义相对论里，能量与动量的关联方式类似频率与波数的关联方式，因此可以揣测，光子的动量与波长成 反比，与波数成正比，以方程来表示这关系式。
主量子数n和能量有关的量子数。原子具有分立能级，能量只能取一系列值，每一个波函数都对应相应的能量。 氢原子以及类氢原子的分立值为：
，n越大能量越高电子层离核越远。
希尔伯特空间与薛定谔方程
一般，物理上将物理状态与希尔伯特空间上的向量（vector），物理量与希尔伯特空间上的算符相对应。这 种形式下的薛定谔方程为
1936年他回到奥地利任格拉茨大学理论物理教授。不到两年，奥地利被纳粹并吞后，他又陷入了逆境。1939 年10月流亡到爱尔兰首府都柏林，就任都柏林高级研究所所长，从事理论物理研究。在此期间还进行了科学哲学、 生物物理研究，颇有建树。出版了《生命是什么》一书，试图用量子物理阐明遗传结构的稳定性。1956年薛定谔 回到了奥地利，被聘为维也纳大学理论物理教授，奥地利政府给予他极大的荣誉，设定了以薛定谔命名的国家奖 金，由奥地利科学院授予。
背景与发展
1900年，马克斯·普朗克在研究黑体辐射中作出将电磁辐射能量量子化的假设，因此发现将能量与频率关联 在一起的普朗克关系式。1905年，阿尔伯特·爱因斯坦从对于光电效为hν；其中，因子h是普朗克常数。这一点子成为后来波粒二象性概念的早期路标之一。 由于在狭义相对论里，能量与动量的关联方式类似频率与波数的关联方式，因此可以揣测，光子的动量与波长成 反比，与波数成正比，以方程来表示这关系式。
主量子数n和能量有关的量子数。原子具有分立能级，能量只能取一系列值，每一个波函数都对应相应的能量。 氢原子以及类氢原子的分立值为：
，n越大能量越高电子层离核越远。
希尔伯特空间与薛定谔方程
一般，物理上将物理状态与希尔伯特空间上的向量（vector），物理量与希尔伯特空间上的算符相对应。这 种形式下的薛定谔方程为
薛定谔方程名词解释
薛定谔方程名词解释
薛定谔方程是一个重要的理论模型，它使物理学家们能够更进一步地了解和解释量子力学中的现象。
它于1926年被提出，由荷兰物理学家薛定谔提出。
薛定谔方程描述了量子力学中描述双原子共振和双原子退相干特性时所需的方程，从而解释普朗克定律中自由粒子的行为。
薛定谔方程是一个基于能量的矩阵方程，它是由薛定谔推导出来的。
它的公式是：
HΨ = EΨ
其中，H是原子的能级矩阵，Ψ是量子态的矢量，E是能量的标量。
薛定谔方程有三个重要的功能：
首先，它可以用来描述量子力学中的双原子共振，它可以用来解释双原子间的能量级和轨道混合情况，从而解释量子力学中双原子结构的概念。
其次，它可以用来解释双原子退相干特性。
双原子退相干指的是，在两个原子相互作用时，他们的总能量会减少，这一特性由薛定谔方程可以解释。
最后，薛定谔方程还可以应用于电子结构性质的计算，用来计算杂化理论中的电子结构性质。
薛定谔方程对于量子力学的研究有重要意义，它为物理学家们提供了量子力学中最基本的模型，使他们能够更深入地了解和研究相关
现象。
薛定谔方程也为建立一个现实世界中可行的量子力学模型打下了基础，从而为量子力学的研究提供了一条新的发展道路。
总之，薛定谔方程是一个重要的理论模型，它可以用来描述量子力学中的双原子共振和双原子退相干特性，并且可以用来计算杂化理论中的电子结构性质。
它的出现，是量子力学研究的一个重大突破，也为量子力学的未来发展提供了指引。
大学物理-第二章-薛定谔方程
的概率最大
4
4
n → ∞时，粒子在势阱内的概率趋于均匀与经典结论一致
2) 势阱中粒子的能量（能量本征值）：
由： k
2mE n
2
a
22
h2
E
n2
n2
2ma 2
8ma 2
Ek
p2 2m
说明势阱中粒子的能量是量子化的，整数 n 称为能量量子数。
能级图为n 4
n3
E4 16E1
E3 9E1
h2 En 8ma 2 n2
➢薛定谔方程是作为假设提出来的，它的正确性被无数事实所证实
i
[
2
2 U(r , t)]
t 2m
i Hˆ t
2) 由于方程是线性的，满足薛定谔方程的波函数服从叠加原理
（量子力学第一原理）
设：下列波函数均满足薛定谔方程：
1 2 3
——都是可能存在的状态
则： C11 C22 C33
势阱内：（0＜x＜a)
2 d 2( x)
E( x)
2m dx2
2mE k2 2
d 2( x) k 2( x) 0
dx2
势阱外（x ≤ 0 或x ≥a）： (x) 0
势阱内（0＜x＜a) ：
d 2( x) k 2( x) 0
dx2
k 2mE 2
其解为： (x) Asin(kx )
d 2 3
E
2m dx2
3
根据波函数要求是单值、有限、连续条件解得
Aeik1x Aeik1x 1
Bek2x 2
Ceik1x 3
在粒子总能量低于
势垒壁高 (E U ) 0
的情况下
“隧道效应”
粒子有一定的概率穿透势垒。粒子能穿透比其动能 更高的势垒的现象，称为隧道效应
3.第二章薛定谔方程
i − Et h
令：
h2 2 ∇ ψ ( x, y, z) + U( x, y, z)ψ ( x, y, z) = Eψ ( x, y, z) 得：− 2m 2 h 2 定态薛定谔方程： 即定态薛定谔方程： − ∇ ψ + Uψ = Eψ 2m
解出定态波函数 后可得总波函数 总波函数为 解出定态波函数 ψ ( x, y, z)后可得总波函数为：
薛定谔方程（ 学时 学时） 第二章 薛定谔方程（4学时）
(Schrödinger Equation)
§2.1 薛定谔得出的波动方程 §2.2 无限深方势阱中的粒子 §2.3 势垒穿透 §2.4 谐振子
§2.1 薛定谔得出的波动方程
(Wave equation of Schrödinger ) 一、波函数
i − ( Et − px) h
p2 Ψ ∂2 =− 2Ψ 2 h ∂x
（1） ） （2） ）
i ∂Ψ = − EΨ h ∂t
Ψ p2 ∂Ψ ∂2 ∂Ψ h = 代入(1)式 代入 式 由(2)式可得Ψ = − 式可得 2 iEh ∂t ∂x ∂t iE
p h ∂Ψ ∂Ψ 由 E= = ih 可得薛定谔方程 可得薛定谔方程 − 2 2m 2m ∂x ∂t
r 的概率解释, 由于波函数 ψ (r , t )的概率解释 粒子在整个空间出 现的概率为1， 应该满足波函数的归一化条件 波函数的归一化条件： 现的概率为 ，所以ψ 应该满足波函数的归一化条件：
r 是未归一化的波函数， 已知 ϕ(r , t ) 是未归一化的波函数，则令 ψ = Aφ， ，
它们描述同一个状态，有 它们描述同一个状态，
问题的提出： 问题的提出：
德拜:问他的学生薛定谔能不能讲一讲De 德拜 问他的学生薛定谔能不能讲一讲 Broglie的 问他的学生薛定谔能不能讲一讲 的 那篇学位论文呢？ 那篇学位论文呢？ 一月以后： 一月以后：薛定谔向大家 介绍了德布罗意的论文。 介绍了德布罗意的论文。
大学物理-薛定谔方程
1.势能
若选线性谐振子平衡位置为坐标原点和势能
零点， 则一维线性谐振子的势能可以表示为：
U( x) 1 kx2 1 m 2 x2
2
2
m — 粒子的质量 k — 谐振子劲度系数
谐振子的角频率 k
m
2. 谐振子的定态薛定谔方程
由
d2
d x2
2m 2
[E
U
(
x)]
0
和 U(x) 1 m2x2
2
“有限”要求 D = 0，
2 C ek2x
E
（E U ,是衰减解）
U (x)
U= U0
U= 0
x
Ⅰ区 0 Ⅱ区
按经典力学……粒子不可能在 Ⅱ 区出现！ 按量子力学……粒子仍有可能在Ⅱ 区出现！
若势能曲线 如图所示：
U
( x) U= U0
有一个有限 E 宽度的“势垒”。 U= 0
U= 0 x
n 所以有 o Asin a x,
n e Acos a x,
n 2,4,6, n 1,3,5,
为了求出 A，我们用波函数的归一化条件，例如
1
a / 2
a / 2 o
2
d
x
A2
a
/
2
s
in2
(
n
x)d
x
a
A2
a / 2
a
2
可得
A 2 a
于是对每一个 n 值，波函数的空间部分为
2 n
on
称为定态薛定谔方程。
对势能函数 U 与时间t 无关的定态问题， 只须解定态薛定谔方程（2）式，再乘上（1）式
即可得总波函数 (x, t )。
例.一维自由运动微观粒子的波函数。 电子枪
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因为 n
n 1,2,3,
2 n sin x a a n3
n2
n4
n0
E4 16E1
0
由 ( x )
( x) 0
E3 9E1
a
E2 4E1 E1
说明不存在这种状态
——完全静止的粒子是不存在的！ 所以 n 最小取1，粒子的最小能量为
n1
0
2 2 E1 0 2ma 2
由于在阱壁上波函数必须单值、连续，应有：
n A sin x （ 0＜ x＜ a) 综上： n ( x ) a （ x ≤ 0 或 x ≥a ) 0
将波函数归一化： 即：
a
n ( x ) A sin x n ( x) a n 1,2,3, 称为量子数（quantum number）
——也是可能存在的状态
3)
一维情况：
( x , t ) 2 2 i [ U ( x , t )] ( x , t ) t 2 m x 2
2 2 i [ U ( x, t )]——一般形式的薛定谔方程 2 t 2m x
自由粒子的薛定谔方程 对自由粒子，其势能U(x,t)=0,则波函数满足的波动方程为：
E n1 E n ( n 1) 2 n 2 2n 1 0 En n2 n2
所以经典物理可以看作是 量子物理中量子数
n 时的极限情况
当 n 时，均匀分布，量子⇒经典
n ( x)
2 n sin x a a
2 n 2 n ( x ) sin x a a
其解为： ( x)
k 2mE 2
0
A sin( kx )
A sin 0 n (0) (a) 0 0; k A sin ka 0 a n x n ( x) 得： ( x ) A sin a
称为量子数（quantum number） n 1,2,3,
i [ ] 2 t 2m x
2 2
定态薛定谔方程 在稳定的外力场中，微观粒子的势能U与时间t无关，即： U= U(x)
2 2 2 ( x ) ˆ U ( x )]( x ) E( x ) H 2 U 2m 2m x 2
ˆ ( x ) E( x ) H——哈密顿算 Nhomakorabea本征方程
（能量本征方程）
其一维的势能图如下图所示，
其形状与陷阱相似，故称为势阱。 质子在原子核中的势能曲线也是势阱. 为了计算简化，提出了一个理想的势阱模型 ——无限深势阱
§2.2 一维无限深方势阱中的粒子
0 （0＜x＜a) 势函数 U ( x) （ x ≤ 0 或x ≥a)
n 1 时，在
a 3a 当 n 2 时，在 x 和 x 4 4 的概率最大
n → ∞时，粒子在势阱内的概率趋于均匀与经典结论一致
2) 势阱中粒子的能量（能量本征值）： 由： k
说明势阱中粒子的能量是量子化的，整数 n 称为能量量子数。
2 2 2 2 h2 p 2 E n n Ek 2ma 2 8ma 2 2m
2mE n 2 a
能级图为
n4
E4 16E1
n3
n1
E3 9E1
E2 4E1 E1
h2 En n2 8ma 2
n2
n 1,2,3,
讨论：
a 0 粒子的能量不能连续取值，只能取分立值
讨论：
粒子的能量不能连续取值，只能取分立值 粒子的最小能量不能等于零
h2 En n2 8ma 2
粒子的最小能量状态称为基态 最小能量——零点能
h2 En n2 8ma 2
粒子能量趋于连续分布
n 1,2,3,
3) 在一定条件下，量子力学解可趋近于经典力学的情况： a. 当量子数n足够大时： n 1
b. 当m或a足够大时，同样得到上述结论 当 n 能量的量子 化效应就不显著，可认为能 量是连续，
2 2 2 拉普拉斯算符 2 2 2 x y z 2
2 ˆ H 2 U 2m
哈密顿算符
上述方程简写
说明 1）薛定谔方程是非相对论量子力学的基本方程，其地位类 似于经典力学中的牛顿定律； 薛定谔方程是作为假设提出来的，它的正确性被无数事实所证实
ˆ i H t
Erwin Schrö dinger
2 i [ U ( r , t )] ——一般形式的薛定谔方程 t 2m
2
2 2 2 x 2 y 2 z 2 2
用“算符”代表物理量、 用求“特征值”的办法 求物理量的具体取值。 ——这是量子力学中处 理问题的基本数学手段。
§ 2.3
U ( x)
E U0 :
势垒穿透
U
U0
方势垒
U0
(0 x a )
( x 0，x a)
0
E
Ⅰ Ⅱ Ⅲ
经典理论或量子力学，粒子都 可以穿过区域Ⅱ进入区域Ⅲ。
E U0 :
o
a
x
从经典理论看，由于粒子动能必须为正值， 所以不可能进入区域Ⅱ和区域Ⅲ。
但从量子力学分析，粒子仍可以穿过区域Ⅱ进入 区域Ⅲ。
（ 0＜ x＜ a)
（ x ≤ 0 或x ≥a)
2 2 n n ( x ) sin x a a
2
2 n n ( x) sin x a a
n=1 n=2 n=3
2 2 n n ( x ) sin x a a
2
a
当
a
a x 2
处粒子出现的概率最大 处粒子出现
——各处的概率密度的分布类似于弦上的驻波
2 n 0 A2 sin2 a xdx 1 A a 2 n n ( x) sin x a a
( x ) dx 1
2
2 n sin x n ( x) a a 0 其中： n 1,2,3,
此结果的物理意义： 1) 势阱中的粒子在各处的概率密度 在0＜x＜a的区域：
§ 2.1 薛定谔得出的波动方程
一、薛定谔方程（Schrö dinger’s equation） 1926年薛定谔提出 “波动力学”理 论 其核心内容: 物质波的波动方程
——称为薛定谔方程
（适用于低速运动粒子的情况） 一个质量为m的微观粒子在外场中
沿x轴方向运动时，其势能U=U(x,t),这
时波动方程为：
U
U0
E
Ⅰ
Ⅱ Ⅲ
2 d 2 ( x) U ( x) ( x) E ( x) 2 2m dx 在区域Ⅰ: ( x 0)
设波函数为 1 ( x) 薛定谔方程
在区域Ⅲ: ( x a) 设
a 在区域Ⅱ: (0 x a) 设 2 ( x) 2 2 d 2 U 0 2 E 2 2 2m dx
( x) 0
2 d 2 ( x ) 2 mE E( x ) k 2 2 2m dx 2
d 2 ( x ) k 2 ( x ) 0 dx 2
势阱外（x ≤ 0 或x ≥a）： 势阱内（0＜x＜a) ：
( x) 0
U(x)=0
a x
d 2 ( x ) k 2 ( x ) 0 dx 2
U(x)=0
x
a 0 按照经典理论，处于无限深势阱中的粒子，其能量可取任意 的有限值，粒子在宽度为 a 的势阱内各处的概率是相等的。 但从量子力学来看，这些问题又是什么样的情况呢？ 由于势能与时间无关，所以只需解一维定态薛定谔方程
2 2 ( x ) U ( x )]( x ) E( x ) 2m x 2
2
n=1 n=2 n=3
——各处的概率密度的分布类似于弦上的驻波
a
a
h2 En n2 8ma 2
2
n 1,2,3,
h 2a ——波长量子化 pn pn 2mEn n p n En n 2m
无限深势阱中粒子的每一个能量本征值对应于
德布罗意波的一个特定波长的驻波。
ˆ ——称为能量算符 E i t ____角动量算符 Lrp
r r ____坐标算符 ˆ i____动量算符 p
量子力学用“算符”代表物理量
2 2 i [ U ( r , t )] 一般的薛定谔方程 t 2m
2 2 ( x ) U ( x )]( x ) E( x ) 2m x 2
势阱外：（x ≤ 0 或x ≥a）
0
U(x)=0
a
d ( x ) ( x ) E ( x ) 2m dx 2
2 2
x
对于E为有限值的粒子，要使上述方程成立，唯有 势阱内：（0＜x＜a)
2 d 2 3 E 3 2 2m dx
o
x
d 1 E 1 2 2m dx
2 2
3 ( x)
根据波函数要求是单值、有限、连续条件解得
1 Aeik x Ae ik x
1 1
2 Be
k2 x
3 Ce
ik1 x
在粒子总能量低于
势垒壁高 ( E U 0 ) 的情况下 粒子有一定的概率穿透势垒。粒子能穿透比其动能 更高的势垒的现象，称为隧道效应
“隧道效应”
2 2 i [ U ( r , t )] t 2m
2)
ˆ i H t
由于方程是线性的，满足薛定谔方程的波函数服从叠加原理 （量子力学第一原理） 设：下列波函数均满足薛定谔方程：
1 2
n 1,2,3,
2 n sin x a a n3
n2
n4
n0
E4 16E1
0
由 ( x )
( x) 0
E3 9E1
a
E2 4E1 E1
说明不存在这种状态
——完全静止的粒子是不存在的！ 所以 n 最小取1，粒子的最小能量为
n1
0
2 2 E1 0 2ma 2
由于在阱壁上波函数必须单值、连续，应有：
n A sin x （ 0＜ x＜ a) 综上： n ( x ) a （ x ≤ 0 或 x ≥a ) 0
将波函数归一化： 即：
a
n ( x ) A sin x n ( x) a n 1,2,3, 称为量子数（quantum number）
——也是可能存在的状态
3)
一维情况：
( x , t ) 2 2 i [ U ( x , t )] ( x , t ) t 2 m x 2
2 2 i [ U ( x, t )]——一般形式的薛定谔方程 2 t 2m x
自由粒子的薛定谔方程 对自由粒子，其势能U(x,t)=0,则波函数满足的波动方程为：
E n1 E n ( n 1) 2 n 2 2n 1 0 En n2 n2
所以经典物理可以看作是 量子物理中量子数
n 时的极限情况
当 n 时，均匀分布，量子⇒经典
n ( x)
2 n sin x a a
2 n 2 n ( x ) sin x a a
其解为： ( x)
k 2mE 2
0
A sin( kx )
A sin 0 n (0) (a) 0 0; k A sin ka 0 a n x n ( x) 得： ( x ) A sin a
称为量子数（quantum number） n 1,2,3,
i [ ] 2 t 2m x
2 2
定态薛定谔方程 在稳定的外力场中，微观粒子的势能U与时间t无关，即： U= U(x)
2 2 2 ( x ) ˆ U ( x )]( x ) E( x ) H 2 U 2m 2m x 2
ˆ ( x ) E( x ) H——哈密顿算 Nhomakorabea本征方程
（能量本征方程）
其一维的势能图如下图所示，
其形状与陷阱相似，故称为势阱。 质子在原子核中的势能曲线也是势阱. 为了计算简化，提出了一个理想的势阱模型 ——无限深势阱
§2.2 一维无限深方势阱中的粒子
0 （0＜x＜a) 势函数 U ( x) （ x ≤ 0 或x ≥a)
n 1 时，在
a 3a 当 n 2 时，在 x 和 x 4 4 的概率最大
n → ∞时，粒子在势阱内的概率趋于均匀与经典结论一致
2) 势阱中粒子的能量（能量本征值）： 由： k
说明势阱中粒子的能量是量子化的，整数 n 称为能量量子数。
2 2 2 2 h2 p 2 E n n Ek 2ma 2 8ma 2 2m
2mE n 2 a
能级图为
n4
E4 16E1
n3
n1
E3 9E1
E2 4E1 E1
h2 En n2 8ma 2
n2
n 1,2,3,
讨论：
a 0 粒子的能量不能连续取值，只能取分立值
讨论：
粒子的能量不能连续取值，只能取分立值 粒子的最小能量不能等于零
h2 En n2 8ma 2
粒子的最小能量状态称为基态 最小能量——零点能
h2 En n2 8ma 2
粒子能量趋于连续分布
n 1,2,3,
3) 在一定条件下，量子力学解可趋近于经典力学的情况： a. 当量子数n足够大时： n 1
b. 当m或a足够大时，同样得到上述结论 当 n 能量的量子 化效应就不显著，可认为能 量是连续，
2 2 2 拉普拉斯算符 2 2 2 x y z 2
2 ˆ H 2 U 2m
哈密顿算符
上述方程简写
说明 1）薛定谔方程是非相对论量子力学的基本方程，其地位类 似于经典力学中的牛顿定律； 薛定谔方程是作为假设提出来的，它的正确性被无数事实所证实
ˆ i H t
Erwin Schrö dinger
2 i [ U ( r , t )] ——一般形式的薛定谔方程 t 2m
2
2 2 2 x 2 y 2 z 2 2
用“算符”代表物理量、 用求“特征值”的办法 求物理量的具体取值。 ——这是量子力学中处 理问题的基本数学手段。
§ 2.3
U ( x)
E U0 :
势垒穿透
U
U0
方势垒
U0
(0 x a )
( x 0，x a)
0
E
Ⅰ Ⅱ Ⅲ
经典理论或量子力学，粒子都 可以穿过区域Ⅱ进入区域Ⅲ。
E U0 :
o
a
x
从经典理论看，由于粒子动能必须为正值， 所以不可能进入区域Ⅱ和区域Ⅲ。
但从量子力学分析，粒子仍可以穿过区域Ⅱ进入 区域Ⅲ。
（ 0＜ x＜ a)
（ x ≤ 0 或x ≥a)
2 2 n n ( x ) sin x a a
2
2 n n ( x) sin x a a
n=1 n=2 n=3
2 2 n n ( x ) sin x a a
2
a
当
a
a x 2
处粒子出现的概率最大 处粒子出现
——各处的概率密度的分布类似于弦上的驻波
2 n 0 A2 sin2 a xdx 1 A a 2 n n ( x) sin x a a
( x ) dx 1
2
2 n sin x n ( x) a a 0 其中： n 1,2,3,
此结果的物理意义： 1) 势阱中的粒子在各处的概率密度 在0＜x＜a的区域：
§ 2.1 薛定谔得出的波动方程
一、薛定谔方程（Schrö dinger’s equation） 1926年薛定谔提出 “波动力学”理 论 其核心内容: 物质波的波动方程
——称为薛定谔方程
（适用于低速运动粒子的情况） 一个质量为m的微观粒子在外场中
沿x轴方向运动时，其势能U=U(x,t),这
时波动方程为：
U
U0
E
Ⅰ
Ⅱ Ⅲ
2 d 2 ( x) U ( x) ( x) E ( x) 2 2m dx 在区域Ⅰ: ( x 0)
设波函数为 1 ( x) 薛定谔方程
在区域Ⅲ: ( x a) 设
a 在区域Ⅱ: (0 x a) 设 2 ( x) 2 2 d 2 U 0 2 E 2 2 2m dx
( x) 0
2 d 2 ( x ) 2 mE E( x ) k 2 2 2m dx 2
d 2 ( x ) k 2 ( x ) 0 dx 2
势阱外（x ≤ 0 或x ≥a）： 势阱内（0＜x＜a) ：
( x) 0
U(x)=0
a x
d 2 ( x ) k 2 ( x ) 0 dx 2
U(x)=0
x
a 0 按照经典理论，处于无限深势阱中的粒子，其能量可取任意 的有限值，粒子在宽度为 a 的势阱内各处的概率是相等的。 但从量子力学来看，这些问题又是什么样的情况呢？ 由于势能与时间无关，所以只需解一维定态薛定谔方程
2 2 ( x ) U ( x )]( x ) E( x ) 2m x 2
2
n=1 n=2 n=3
——各处的概率密度的分布类似于弦上的驻波
a
a
h2 En n2 8ma 2
2
n 1,2,3,
h 2a ——波长量子化 pn pn 2mEn n p n En n 2m
无限深势阱中粒子的每一个能量本征值对应于
德布罗意波的一个特定波长的驻波。
ˆ ——称为能量算符 E i t ____角动量算符 Lrp
r r ____坐标算符 ˆ i____动量算符 p
量子力学用“算符”代表物理量
2 2 i [ U ( r , t )] 一般的薛定谔方程 t 2m
2 2 ( x ) U ( x )]( x ) E( x ) 2m x 2
势阱外：（x ≤ 0 或x ≥a）
0
U(x)=0
a
d ( x ) ( x ) E ( x ) 2m dx 2
2 2
x
对于E为有限值的粒子，要使上述方程成立，唯有 势阱内：（0＜x＜a)
2 d 2 3 E 3 2 2m dx
o
x
d 1 E 1 2 2m dx
2 2
3 ( x)
根据波函数要求是单值、有限、连续条件解得
1 Aeik x Ae ik x
1 1
2 Be
k2 x
3 Ce
ik1 x
在粒子总能量低于
势垒壁高 ( E U 0 ) 的情况下 粒子有一定的概率穿透势垒。粒子能穿透比其动能 更高的势垒的现象，称为隧道效应
“隧道效应”
2 2 i [ U ( r , t )] t 2m
2)
ˆ i H t
由于方程是线性的，满足薛定谔方程的波函数服从叠加原理 （量子力学第一原理） 设：下列波函数均满足薛定谔方程：
1 2