概率分布期望方差
概率分布的期望与方差
概率分布的期望与方差概率分布是概率论中一个重要的概念，用于描述随机变量可能取得各个值的概率。
在概率分布中，期望和方差是两个关键的统计量，它们能够量化随机变量的中心位置和离散程度。
本文将介绍期望和方差的概念及计算方法，并通过实例进行解释。
期望期望是概率分布的均值，用于衡量随机变量的平均值。
对于离散随机变量而言，期望的计算方法如下：假设X是一个离散随机变量，它的取值范围是{x1, x2, ..., xn}，对应的概率分别是{p1, p2, ..., pn}。
那么X的期望（记为E[X]）可以通过如下公式计算：E[X] = x1 * p1 + x2 * p2 + ... + xn * pn这个公式表示，将随机变量的每个取值乘以对应的概率，再将结果相加即可得到期望。
举个例子来说，假设有一个骰子，它的每个面的点数是{1, 2, 3, 4, 5, 6}，出现的概率都是1/6。
那么这个骰子的期望就是：E[骰子] = 1 * (1/6) + 2 * (1/6) + 3 * (1/6) + 4 * (1/6) + 5 * (1/6) + 6 * (1/6) = 3.5因此，这个骰子的期望值为3.5，表示在长期观察中，每次掷骰子所得点数的平均值为3.5。
方差方差是概率分布的离散程度，用于衡量随机变量的扩散程度。
对于离散随机变量而言，方差的计算方法如下：假设X是一个离散随机变量，它的取值范围是{x1, x2, ..., xn}，对应的概率分别是{p1, p2, ..., pn}。
那么X的方差（记为Var[X]或σ^2）可以通过如下公式计算：Var[X] = (x1 - E[X])^2 * p1 + (x2 - E[X])^2 * p2 + ... + (xn - E[X])^2 * pn其中E[X]表示随机变量X的期望。
这个公式表示，将随机变量的每个取值与期望的差的平方乘以对应的概率，再将结果相加即可得到方差。
方差的平方根又称为标准差，用于度量随机变量的离散程度。
61随机变量的概率分布、期望与方差
如皋市薛窑中学2011届高三理科数学一轮复习61随机变量的概率分布、期望与方差【考点解读】离散型随机变量及其分布列：A;超几何分布：A;条件概率及相互独立事件：A；n次独立重复试验的模型及二项分布：B;离散型随机变量的均值与方差：B【复习目标】1•了解取有限值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性；会求某些简单的离散型随机变量的分布列。
2•了解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用。
3•了解条件概率和两个事件相互独立的概念( 对条件概率的应用题不作要求 )。
4 •理解n次独立重复试验的模型及二项分布，并能解决一些简单的实际问题。
5•了解取有限值的离散型随机变量的均值、方差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出期望值、方差。
活动一：基础知识1. 随机变量：1) 定义：__________________________________________________________ 。
2) ___________________________________ 表示方法：。
2. 随机变量分布列的定义：假定随机变量X有n个不同的取值，它们分别是X1,X2丄X n且P(X=x i)=p i ,i=1,2, -n,① 称①为随机变量X 的概率分布列，简称X的分布列3. 概率分布表将①用表的形式表示如下：4. 分布列的性质：概率分布列中P(i 1,2L n)满足以下两个条件:(1) ___________________________(2) ___________________________5. 两点分布如果随机变量X只取两个可能值_0 和__________ 1 __ ，则称该随机变量X服从0-1分布或两点分布并记为X〜0-1或X〜两点分布.其概率分布表为：其中丨min{ M , n}，且n N,M N,n,M,N N .称分布列(2)说明：①超几何分布的模型是不放回抽样；②超几何分布种的参数是(n, M , N)；③记号H (r; n, M , N)中各个字母的含义： _________________________ 7. n 次独立重复试验 定义：一般地，由n 次试验构成，且每次试验相互独立完成 ，每次试验的结果 仅有两种对立 的状态即A 与A ，每次试验中P(A) p 0,我们将这样的试验称为 n 次独立重复试验.思考：n 次独立重复试验必须具备哪些条件？ &二项分布 定义：(1 )在n 次独立重复试验中，事件 A 恰好发生k ( 0 k n )次的概率为___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ O(2)若随机变量X 的分布列为P(X k) c ；p k q n k ,0 p 1, p q 1,k 0,1,2丄n ，则称X服从参数为n, p 的二项分布，记作 X ~ B n, p 9. 随机变量的均值离散型随机变量的均值：般地,则称 _____________________________ 为随机变量X 的均值或数学期望，记为E(X)或其中X i 是随机变量X 的可能取值，p 是概率，P i 0,i 1,2,L , n, P 1P 2 L 几110. 随机变量的方差与标准差 (1 )定义：离散型随机变量X 的分布列为则(X E(X))2描述了 X i (i 1,2丄，n)相对于均值E(X)的偏离程度.n而 V(X) (x EX)2p ii 1为这些偏离程度的加权平均 ，刻画了随机变量与其均值 E(X)的平均偏离程度，我们称 V(X)为随机变量X 的方差,其算数平方根为随机变量 X 的标准差. (2) 方差的意义：方差是一个常用来体现随机变量X 取值分散程度的量，如果 V(X)值大，表示X 取值分散程度大，E(X)的代表性差；而如果 V(X)值小，表示X 取值分散程度小，E(X)的代表性好. (3) 离散型随机变量方差的计算：n①利用定义计算：V(X)X i 2p i2，其中P i 是x 的分布列.i 1②利用公式计算：V(X) E(X 2) (E(X))2.活动二：基础练习1. 袋中有大小相同的红球 6个、白球5个，从袋中每次任意取出 1个球，直到取出的球是白球时为 止，所需要的取球次数为随机变量 ，则 的可能值为 .为超几何分布列.如果随机变量(n, M,N)的超几何分布，记为并将P(Xr n r C M C N Mr)"C —JC NX 的分布列为超几何分布列，则称随机变量 X ~ H(n ,M ,N),0,1,2,L ,l 记为 H (r; n,M, N)X 服从参数为2. 已知随机变量X的分布列为P (X=i)=丄(i=1 , 2, 3),则P (X=2)= .2a --------------------13 .如果〜B 15,-，则使P ( =k)取最大值的k值为.44 .已知的概率分布则在下列式子中，① E ()=-」；②V()=竺；③P( =0)=正确的个数是3 27 3 ---------------1115 .已知的分布列为=-1,0,1,对应P=-,-,-,且设=2 +1,则的期望是.2 6 36. 甲、乙两人轮流投篮直至某人投中为止，已知甲投篮每次投中的概率为0.4，乙每次投篮投中的概率为0.6，各次投篮互不影响.设甲投篮的次数为，若乙先投，且两人投篮次数之和不超过4次，求的概率分布.活动三：典型例题例1某商场举行抽奖促销活动，抽奖规则是：从装有9个白球、1个红球的箱子中每次随机地摸出一个球，记下颜色后放回，摸出一个红球可获得奖金10元；摸出两个红球可获得奖金50元.现有甲、乙两位顾客，规定：甲摸一次，乙摸两次，令X表示甲、乙两人摸球后获得的奖金总额.求：(1) X的概率分布；(2) X的均值.例2 一名学生每天骑车上学，从他家到学校的途中有6个交通岗，假设他在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是1 .3(1 )设X为这名学生在途中遇到红灯的次数，求X的分布列；(2)设Y为这名学生在首次停车前经过的路口数，求Y的概率分布；(3)求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率例3甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环境，且野生动物的种类和数量也大致相等，而两 个保护区每个活动四：自主检测1 •设一随机试验的结果只有 A 和A ，且(A)=p ,令随机变量X= 1 A出现，则X 的方差V(X)=0 A 不出现2.3 •设 〜B (n , p ),若有E( )=12 , V( )=4，则n 、p 的值分别为4 .设随机变量X 的概率分布为：5. 有甲、乙、丙、丁四名网球运动员，通过对过去战绩的统计，在一场比赛中，甲对乙、丙、丁取 胜的概率分别为0.6 , 0.8 , 0.9. (1)若甲和乙之间进行三场比赛，求甲恰好胜两场的概率； (2) 若四名运动员每两人之间进行一场比赛，求甲恰好胜两场的概率； (3) 若四名运动员每两人之间进行一场比赛，设甲获胜场次为 ，求随机变量 的概率分布.6. A 、B 是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验.每个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用A ,另2只服用B,然后观察疗效.若在一个试验组中，服用 A 有效的小白鼠的只数比服用B 有效的多，就称该试验组为甲类组.设每只小白鼠服用 A 有效的概率为马，服用B 有效的概率为2 .(1)求一个试验组为甲类组的概率；(2)观察3个试验组，用 表示这3个试验组中甲类组的个数，求的概率分布和数学期望.活动五：课后反思(1)本节课我回顾了那些知识： _________________________________________________________________试评定这两个保护区的管理水平(2)本节课我重新认识了哪些道理:(3 )还有哪些问题需要继续探究： ________________________________________________________________。
概率分布中的期望与方差计算技巧
质量控制：在生产 过程中，方差用于 衡量产品质量的一 致性和稳定性，通 过控制产品质量指 标的方差来提高产
品质量
社会科学研究： 在社会科学研究 中，方差用于分 析调查数据的变 异性和不确定性， 以及比较不同样
本之间的差异
期望与方差在金融领域的应用
风险评估：用于衡量投资组合的风 险和预期收益
资本资产定价模型（CAPM）：用 于确定资产的预期收益率，并评估 市场风险
定义：离散概率 分布的方差是各 个可能结果与期 望值的差的平方 的期望值。
计算公式：方差 = Σ (p(x) * (x μ)²)，其中p(x) 是概率，μ是期 望值。
举例：假设一个随 机变量X只取两个 值，X=0的概率为 0.5，X=1的概率 为0.5，则方差 = (0.5 * (0 - μ)² + 0.5 * (1 - μ)²)。
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资产定价：为金融资产（如股票、 债券等）定价，以确定其内在价值
投资组合优化：通过期望和方差等 参数，选择最佳投资组合以最大化 预期收益并最小化风险
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方差的定义
方差是衡量数据点与平均值之间离散程度的统计量。
方差计算公式为：方差 = Σ((数据点 - 平均值)^2) / 数据点个数。
方差的值越小，说明数据点越接近平均值，离散程度越小；方差的值越大，说明数据点离散程度越 大。
方差在概率分布中表示随机变量取值的不确定性程度。
离散概率分布的方差计算
注意事项：可能不是整数
连续概率分布的期望值计算
定义：连续概率分 布的期望值是所有 可能取值的加权平 均值，其中每个取 值的权重为其概率 密度函数在该点的
常见分布的期望和方差
常见分布的期望和方差概率与数理统计重点摘要1、正态分布的计算： VF(x) P(X x)(X) o2、 随机变量函数的概率密度： X 是服从某种分布的随机变量，求 Y f(X)的概率密度: f y (y) f x (x)[h(y)] h'(y)。
(参见 P66〜72)x y3、 分布函数F(x,y) f (u, v)dudv 具有以下基本性质：⑴、是变量x , y 的非降函数;⑵、0 F(x,y) 1，对于任意固定的x , y 有：F( ,y) F(x, )0 ； ⑶、F(x,y)关于x右连续，关于y 右连续;⑷、对于任意的(x i , yj,(X 2, y 2), X i X 2, y i y ，有下述不等式成立:为一维正态分布4、一个重要的分布函数1:F(x,y)2f(x,y)F(x,y)x y62 , 2(x24)( y 9)5、二维随机变量的边缘分布：边缘概率密度：f x (X ) f Y (y)f (x, y)dy f (x, y)dxx y 、 (— arctan-)(— arctan‘)的概率 密度为2 3xF x (x) F(x,)[边缘分布函数：yF Y (y) F( ,y) y[f(u,y)dy]du二维正态分布的边缘分布 f(x,v)dx]dv6随机变量的独立性：若F(x,y) F X (x)F Y (y)则称随机变量X , Y 相互独立。
简称X 与Y 独立7、两个独立随机变量之和的概率密度：f Z (z) f X (x)f Y (z x)dx f Y (y)f X (z y)dy 其中 Z = X + Y 8、两个独立正态随机变量的线性组合仍服从正态分布，即2 2 2 2Z aX bY: N(a 1 b 2,a 1 b 2 。
9、期望的性质：…( 3)、E(X Y) E(X) E(Y) ； (4)、若 X , 丫 相互独立，则E(XY) E(X)E(Y) O10、方差： D(X) E(X 2) (E(X))2 O若 X , 丫不相关，则 D(X Y) D(X) D(Y),否则 D(X Y) D(X) D(Y) 2Cov(X,Y), D(X Y) D(X) D(Y) 2Cov(X,Y)称：X 与丫不相关。
掌握概率分布的期望与方差
掌握概率分布的期望与方差概率分布的期望与方差是统计学中重要的概念。
它们用于衡量随机变量的中心位置和离散程度，是概率分布的重要特征参数。
在本文中，我们将详细介绍概率分布的期望和方差的定义、计算方法以及它们的意义和应用。
一、期望的定义与计算方法期望是概率分布的平均值，用于表示随机变量的中心位置。
对于离散型随机变量，期望的定义如下：设X是一个随机变量，其取值集合为{x1, x2, ..., xn}，对应的概率分布为{p1, p2, ..., pn}。
那么X的期望E(X)定义为：E(X) = x1 * p1 + x2 * p2 + ... + xn * pn即随机变量每个取值与其对应的概率乘积的总和。
而对于连续型随机变量，期望的计算方法则需要使用积分。
假设X的概率密度函数为f(x)，那么X的期望E(X)定义为：E(X) = ∫(x * f(x))dx其中，积分范围为随机变量的取值区间。
二、方差的定义与计算方法方差是概率分布的离散程度的度量，用于衡量随机变量取值与其期望之间的偏离程度。
对于离散型随机变量，方差的定义如下：设X是一个随机变量，其期望为E(X)，概率分布为{p1, p2, ..., pn}。
那么X的方差Var(X)定义为：Var(X) = (x1 - E(X))^2 * p1 + (x2 - E(X))^2 * p2 + ... + (xn - E(X))^2 * pn即随机变量每个取值与其对应的期望差的平方与其概率乘积的总和。
对于连续型随机变量，方差的计算方法与离散型随机变量类似，需要进行积分。
假设X的概率密度函数为f(x)，期望为E(X)，那么X的方差Var(X)定义为：Var(X) = ∫((x - E(X))^2 * f(x))dx三、期望与方差的意义与应用期望和方差是描述随机变量特征的重要指标，它们具有以下意义和应用：1. 期望是随机变量的中心位置，它表示随机变量平均取值的大小。
通过期望可以了解随机变量的分布特征，为问题的分析和决策提供依据。
常见概率分布的期望和方差
常见概率分布的期望和方差
概率分布是统计学中极为重要的概念，它给出了随机变量在不同值上出现的概率。
期望和
方差是衡量概率分布形状和程度的重要指标，常见的概率分布的期望和方差也是学习统计
学的重要内容。
首先我们来看看正态分布。
正态分布又称高斯分布，是最常见和最重要的概率分布之一，
它形状像两个钟形，其期望等于均值μ，方差等于μ的平方，常见的概率分布期望和方差
如下：正态分布期望μ=E(X)= μ，方差σ2=V(X)=σ2；指数分布期望μ=E(X)=1/ λ，方差
σ2=V(X)= 1/ λ2 ；γ分布期望μ=E(X)=α/β，方差σ2=V(X)=α/β2；beta分布期望
μ=E(X)=α/ (α+β)，方差σ2=V(X)=αβ/ ( (α+β)2 (α+β+1) )。
比较期望和方差的计算式可以发现，期望是分布的一般性参数，它反映了随机变量的中心倾向，而方差则是分布的程度型参数，它反映了随机变量的离散程度。
借助于期望和方差，我们可以粗略地描述随机变量的分布情况。
在实际应用中，我们可以利用期望和方差对庞大的数据进行归纳和总结，预测数据的分布趋势，给出适宜的分析结论。
期望和方差是统计概率分布的两个重要参数，它们可以反映概率分布的形状和程度。
读者可以根据不同概率分布的计算式来计算其概率分布的期望和
方差。
两点分布的期望和方差
两点分布的期望和方差引言在概率论和统计学中，两点分布是一种离散概率分布，它描述了只有两个可能结果的随机试验。
本文将介绍两点分布的期望和方差的计算方法。
两点分布的概念两点分布是一种离散概率分布，它只有两个可能的结果，通常用0和1表示。
这种分布适用于只有两种结果的随机试验，例如投硬币的结果（正面和反面）或者掷骰子的结果（1和6）。
两点分布是伯努利分布的特例，伯努利分布描述了只有两个可能结果的单次随机试验。
在两点分布中，每次试验的结果是相互独立的。
两点分布的表示两点分布的表示可以使用概率质量函数（Probability Mass Function, PMF）进行。
对于两点分布，概率质量函数可以定义为：P(X = k) = p^k * (1-p)^(1-k) , k = 0,1其中，X表示随机变量的取值，k表示可能的结果（0或1），p表示两点分布中某个结果发生的概率（通常表示为p）。
两点分布的期望和方差的计算期望期望是用来衡量一个随机变量的平均值的指标。
对于两点分布，期望可以通过如下公式来计算：E(X) = Σ x * P(X = x)= 0 * P(X = 0) + 1 * P(X = 1)= 0 * (1-p) + 1 * p= p这里，E(X)代表随机变量X的期望，Σ表示求和运算符，x表示随机变量X的可能取值。
从上述计算结果可以看出，两点分布的期望等于正面出现的概率p。
方差方差是用来衡量随机变量的离散程度的指标。
对于两点分布，方差可以通过下面的公式来计算：Var(X) = Σ (x - E(X))^2 * P(X = x)= (0 - p)^2 * (1-p) + (1 - p)^2 * p= p(1-p)这里，Var(X)表示随机变量X的方差。
从上述计算结果可以看出，两点分布的方差等于p(1-p)。
结论本文介绍了两点分布的期望和方差的计算方法。
对于两点分布，期望等于正面出现的概率，方差等于概率乘以与概率的差值。
概率论中的期望与方差计算
假设检验
假设检验的基本思想是通过样本信息对总体参数进行检验 常见的假设检验方法有参数检验和非参数检验 参数检验方法包括t检验、Z检验和方差分析等 非参数检验方法包括卡方检验、秩和检验和K-W检验等
方差分析
方差分析的概念：通过比较不同组数据的离散程度，判断其稳定性。
方差分析的应用场景：在统计学中，方差分析常用于检验两组或多组数 据是否有显著性差异。
对于离散随机变量，期望值和方差 的具体计算公式分别为 E(X)=∑xp(x)和D(X)=∑x^2p(x)E(X)^2。
期望与方差的计算实例
第四章
离散型随机变量的期望与方差
定义：离散型随机变量的期望是所有可能取值的概率加权和，方差是各个取值与期望的差的 平方的平均值。
计算公式：期望E(X)=∑x*p(x)，方差D(X)=∑p(x)*(x-E(X))^2。
期望的定义基于概率和随机变量的取值，通过数学运算计算得出。
期望具有线性性质，即对于两个随机变量的和或差，其期望等于各自期望 的和或差。 期望的计算方法包括离散型和连续型两种情况，具体计算方法根据随机变 量的分布类型而有所不同。
期望的性质
无穷可加性：对 于任意个事件， 概率之和等于1
交换律：期望的 交换律满足 E(X+Y)=E(X)+E (Y)
概率论中的期望与 方差计算
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目录
CONTENTS
01 概率论中的期望 02 概率论中的方差 03 期望与方差的关系 04 期望与方差的计算实例
05 期望与方差在统计学中的应用
概率论中的期望
第一章
期望的定义
期望是概率论中的一个重要概念，它表示随机变量取值的平均值。
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1.编号1,2,3的三位学生随意入座编号为1，2，3的三个座位，每位学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生的个数是X . （1）求随机变量X 的分布列； （2）求随机变量X 的数学期望和方差. 解 （1）P （X =0）=33A 2=31； P （X =1）=3313A C =21；P （X =3）=33A 1=61； ∴随机变量X 的分布列为（2）E （X ）=1×21+3×61=1. D （X ）=(1-0)2·31+(1-1)2·21+(3-1)2·61=1. 2 某商场举行抽奖促销活动，抽奖规则是：从装有9个白球、1个红球的箱子中每次随机地摸出一个球，记下颜色后放回，摸出一个红球可获得奖金10元；摸出两个红球可获得奖金50元.现有甲、乙两位顾客，规定：甲摸一次，乙摸两次，令X 表示甲、乙两人摸球后获得的奖金总额.求： （1）X 的分布列； （2）X 的均值.解 （1）X 的所有可能取值为0，10，20，50，60. P （X =0）=3109⎪⎭⎫⎝⎛=0001729；P （X =10）=101×2109⎪⎭⎫⎝⎛+109×12C ×101×109=0001243; P (X =20)= 101×12C ×101×109=000118; P (X =50)=109×2101=00019;P (X =60)=3101 =00011. 故X 的分布列为（2）E （X ）=0×0001729+10×0001243+20×000118+50×00019+60×00011=3.3(元). 3（本小题满分13分）为了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽出取14件和5件，测量产品中的微量元素x,y 的含（1）已知甲厂生产的产品共有98件，求乙厂生产的产品数量；（2）当产品中的微量元素x,y 满足x ≥175，且y ≥75时,该产品为优等品。
用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量；（3）从乙厂抽出的上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中优等品数ξ的分布列极其均值（即数学期望）。
解：（1）987,573514=⨯=，即乙厂生产的产品数量为35件。
（2）易见只有编号为2，5的产品为优等品，所以乙厂生产的产品中的优等品2,5故乙厂生产有大约235145⨯=（件）优等品， （3）ξ的取值为0，1，2。
21123323222555331(0),(1),(2)10510C C C C P P P C C C ξξξ⨯=========所以ξ的分布列为故012.105105E ξξ=⨯+⨯+⨯+=的均值为4湖南理18．（本小题满分12分）某商店试销某种商品20天，获得如下数据：试销结束后（假设该商品的日销售量的分布规律不变），设某天开始营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存货少于2件，则当天进货补充．．至3件，否则不进货．．．，将频率视为概率。
（Ⅰ）求当天商品不进货的概率；（Ⅱ）记X 为第二天开始营业时该商品的件数，求X 的分布列和数学期型。
4．解（I ）P （“当天商品不进货”）P =（“当天商品销售量为0件”）P+（“当天商品销售量为1件”）.103205201=+=（Ⅱ）由题意知，X 的可能取值为2,3.P X P ==)2(（“当天商品销售量为1件”）;41205==P X P ==)3(（“当天商品销售量为0件”）P +（“当天商品销售量为2件”）P +（“当天商品销售量为3件”）.43205209201=++=故XX 的数学期望为.44342=⨯+⨯=EX 5、江西理16．（本小题满分12分）某饮料公司招聘了一名员工，现对其进行一项测试，以使确定工资级别，公司准备了两种不同的饮料共8杯，其颜色完全相同，并且其中4杯为A 饮料，另外4杯为B 饮料，公司要求此员工一一品尝后，从8杯饮料中选出4杯A 饮料，若4杯都选对，则月工资定为3500元，若4杯选对3杯，则月工资定为2800元，否则月工资定为2100元，令X 表示此人选对A 饮料的杯数，假设此人对A 和B 两种饮料没有鉴别能力．（1）求X 的分布列；（2）求此员工月工资的期望。
．（本小题满分12分）解：（1）X 的所有可能取值为：0，1，2，3，4144445()(0,1,2,3,4)iC C P X i i C -=== 即（2）令Y 表示新录用员工的月工资，则Y 的所有可能取值为2100，2800，35001(3500)(4)708(2800)(3)3553(2100)(2)70116533500280021002280.707070P Y P X P Y P X P Y P X EY ==========≤==⨯+⨯+⨯=则所以新录用员工月工资的期望为2280元.6、辽宁理（19）（本小题满分12分）某农场计划种植某种新作物，为此对这种作物的两个品种（分别称为品种家和品种乙）进行田间试验．选取两大块地，每大块地分成n 小块地，在总共2n 小块地中，随机选n 小块地种植品种甲，另外n 小块地种植品种乙．（I ）假设n =4，在第一大块地中，种植品种甲的小块地的数目记为X ，求X 的分布列和数学期望；（II ）试验时每大块地分成8小块，即n =8，试验结束后得到品种甲和品种乙在个小块地上的每公顷产量（单位：kg/hm 2）如下表：品种甲 403 397 390 404 388 400 412406 品种乙419403412418408423400413结果，你认为应该种植哪一品种？ 附：样本数据nx x x ,,,21⋅⋅⋅的的样本方差])()()[(1222212x x x x x x n s n -+⋅⋅⋅+-+-=，其中x 为样本平均数．6．解：（I ）X 可能的取值为0，1，2，3，4，且481344482244483144484811(0),708(1),3518(2),358(3),3511(4).70P X C C C P X C C C P X C C C P X C P X C =============== 即X 的分布列为………………4分X 的数学期望为181881()01234 2.7035353570E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= ………………6分（II ）品种甲的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：222222221(403397390404388400412406)400,81(3(3)(10)4(12)0126)57.25.8x S =+++++++==+-+-++-+++=甲甲………………8分品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：2222222221(419403412418408423400413)412,81(7(9)06(4)11(12)1)56.8x S =+++++++==+-+++-++-+=乙乙………………10分由以上结果可以看出，品种乙的样本平均数大于品种甲的样本平均数，且两品种的样本方差差异不大，故应该选择种植品种乙. 7、山东理18．（本小题满分12分）红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A 、B 、C 进行围棋比赛，甲对A ，乙对B ，丙对C 各一盘，已知甲胜A ，乙胜B ，丙胜C 的概率分别为0.6,0.5,0.5，假设各盘比赛结果相互独立。
（Ⅰ）求红队至少两名队员获胜的概率；（Ⅱ）用ξ表示红队队员获胜的总盘数，求ξ的分布列和数学期望E ξ.7．解：（I ）设甲胜A 的事件为D ，乙胜B 的事件为E ，丙胜C 的事件为F ，则,,D E F u r u r u r 分别表示甲不胜A 、乙不胜B ，丙不胜C 的事件。
因为()0.6,()0.5,()0.5,P D P E P F === 由对立事件的概率公式知()0.4,()0.5,()0.5,P D P E P F ===u r u r u r红队至少两人获胜的事件有：,,,.DEF DEF DEF DEF u r u r u r由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立， 因此红队至少两人获胜的概率为()()()()0.60.50.50.60.50.50.40.50.50.60.50.50.55.P P DEF P DEF P DEF P DEF =+++=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=u r u r u r（II ）由题意知ξ可能的取值为0，1，2，3。
又由（I ）知,,DEF DEF DEF u r u r u r u r u r是两两互斥事件，且各盘比赛的结果相互独立，因此(0)()0.40.50.50.1,P P DEF ξ===⨯⨯=u r u r u r(1)()()()P P DEF P DEF P DEF ξ==++u r u r u r u r u r u r0.40.50.50.40.50.50.60.50.50.35=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=(3)()0.60.50.50.15.P P DEF ξ===⨯⨯=由对立事件的概率公式得(2)1(0)(1)(3)0.4,P P P P ξξξξ==-=-=--=所以ξ的分布列为：因此00.110.3520.430.15 1.6.E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=20．解（Ⅰ）A i 表示事件“甲选择路径L i 时，40分钟内赶到火车站”，B i表示事件“乙选择路径L i 时，50分钟内赶到火车站”，i=1,2．用频率估计相应的概率可得P （A 1）=0．1+0．2+0．3=0．6，P （A 2）=0．1+0．4=0．5，Q P （A 1） ＞P （A 2）, ∴甲应选择LiP （B 1）=0．1+0．2+0．3+0．2=0．8，P （B 2）=0．1+0．4+0．4=0．9，Q P （B 2） ＞P （B 1）, ∴乙应选择L2．（Ⅱ）A,B 分别表示针对（Ⅰ）的选择方案，甲、乙在各自允许的时间内赶到火车站，由（Ⅰ）知()0.6,()0.9P A P B ==,又由题意知，A,B 独立，(0)()()()0.40.10.04P X P AB P A P B ∴====⨯=u u u r u r u r(1)()()()()()P X P AB AB P A P B P A P B ==+=+u r u r u r u r0.40.90.60.10.42=⨯+⨯=(2)()()()0.60.90.54P X P AB P A P B ====⨯=X0 1 2 P0．040．420．54∴00.0410.4220.54 1.5.EX =⨯+⨯+⨯=8、四川理18．（本小题共12分）本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多。