第十章 统计与概率10-9离散型随机变量的期望、方差与正态分布(理

第10章 第9节

一、选择题

1．(2010·新课标全国理)某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望为( )

A ．100

B ．200

C ．300

D ．400 [答案] B

[解析] 记“不发芽的种子数为ξ”，则ξ～B (1 000，0.1)，所以E (ξ)＝1 000×0.1＝100，而X ＝2ξ，故E (X )＝E (2ξ)＝2E (ξ)＝200，故选B.

2．设随机变量ξ的分布列如下：

其中a ，b ，c 成等差数列，若E (ξ)＝1

3，则D (ξ)＝( )

A.49 B ．－19

C.23

D.59 [答案] D

[解析] 由条件a ，b ，c 成等差数列知，2b ＝a ＋c ，由分布列的性质知a ＋b ＋c ＝1，又E (ξ)＝－a ＋c ＝13，解得a ＝16，b ＝13，c ＝12，∴D (ξ)＝16×????－1－132＋13????0－132＋12????1－132＝5

9

.

3．某区于2010年元月对全区高三理科1400名学生进行了一次调研抽测，经统计发现5科总分ξ(0<ξ<750)大致服从正态分布N (450,1302)，若ξ在(0,280)内取值的概率为0.107，则该区1400名考生中总分为620分以上的学生大约有(结果四舍五入)( )

A ．100人

B ．125人

C ．150人

[答案] C

[解析] 由条件知，P (ξ>620)＝P (ξ<280)＝0.107,1400×0.107≈150. 4．(2010·山东济南模拟)下列判断错误的是( )

A ．在1000个有机会中奖的号码(编号为000～999)中，有关部门按照随机抽取的方式确定后两位数字是09号码为中奖号码，这是用系统抽样方法确定中奖号码的；

B ．某单位有160名职工，其中业务人员120名，管理人员24名，后勤人员16名．要从中抽取容量为20的要本，用分层抽样的方法抽取样本；

C ．在正常条件下电子管的使用寿命、零件的尺寸，在一定条件下生长的小麦的株高、穗长、单位面积的产量等一般都服从正态分布；

D ．抛掷一枚硬币出现“正面向上”的概率为0.5，则某人抛掷10次硬币，一定有5次出现“正面向上”．

[答案] D

5．(2010·上海松江区模考)设口袋中有黑球、白球共7个，从中任取2个球，已知取到白球个数的数学期望值为6

7

( )

A ．3

B ．4

C ．5

D ．2 [答案] A

[解析] 设白球x 个，则黑球7－x 个，取出的2个球中所含白球个数为ξ，则ξ取值0,1,2， P (ξ＝0)＝C 7－x 2

C 72＝(7－x )(6－x )42，

P (ξ＝1)＝x ·(7－x )C 72＝x (7－x )

21，

P (ξ＝2)＝C x 2C 72＝x (x －1)

42，

∴0×

(7－x )(6－x )42＋1×x (7－x )21＋2×x (x －1)42＝6

7

，

∴x ＝3.

6．一台机器生产某种产品，如果生产一件甲等品可获利50元，生产一件乙等品可获利30元，生产一件次品，要赔20元，已知这台机器生产甲等品、乙等品和次品的概率分别为0.6、0.3和0.1，则这台机器每生产一件产品，平均预期可获利( )

A ．39元

B ．37元

D.100

3

元 [答案] B

[解析] ξ的分布列为

∴E (ξ)＝50×0.6＋30×7．(2010·广州市)某公司为庆祝元旦举办了一个抽奖活动，现场准备的抽奖箱里放置了分别标有数字1000、800、600、0的四个球(球的大小相同)，参与者随机从抽奖箱里摸取一球(取后即放回)，公司即赠送与此球上所标数字等额的奖金(元)，并规定摸到标有数字0的球时可以再摸一次，但是所得奖金减半(若再摸到标有数字0的球就没有第三次摸球机会)，求一个参与抽奖活动的人可得奖金的期望值是多少元．( )

A ．450元

B ．900元

C ．600元

D ．675元 [答案] D

[解析] 摸到数字0的概率为1

4，再摸一次，故得500元、400元、300元、0元的概率

分别为14×14＝1

16

∴E (ξ)＝1000×14＋800×14＋600×14＋500×116＋400×116300×1160×1

16＝675.

8．小明每次射击的命中率都为p ，他连续射击n 次，各次是否命中相互独立，已知命中次数ξ的期望值为4，方差为2，则p (ξ>1)＝( )

A.255

256 B.9256 C.247

256 D.

764

[答案] C

[解析] 由条件知ξ～B (n ，P )，

∵????? E (ξ)＝4，D (ξ)＝2，∴?????

np ＝4np (1－p )＝2

， 解之得，p ＝1

2

，n ＝8，

∴P (ξ＝0)＝C 80×????120×????128＝????1

28，

P (ξ＝1)＝C 81

×????121×????127＝????125， ∴P (ξ>1)＝1－P (ξ＝0)－P (ξ＝1) ＝1－????128－????125＝247256

.

9．某次国际象棋比赛规定，胜一局得3分，平一局得1分，负一局得0分，某参赛队员比赛一局胜的概率为a ，平局的概率为b ，负的概率为c (a ，b ，c ∈[0,1))，已知他比赛一局得分的数学期望为1，则ab 的最大值为( )

A.13

B.12

C.112

D.16 [答案] C

[解析] 由条件知，3a ＋b ＝1，∴ab ＝13(3a )·b ≤13·????3a ＋b 22＝112，等号在3a ＝b ＝1

2即a

＝16，b ＝1

2

时成立． 10．(2010·深圳市调研)已知三个正态分布密度函数φi (x )＝1

2πσi

e －(x －μi )2

2σi 2(x ∈R ，i ＝

1,2,3)的图象如图所示，则( )

A ．μ1<μ2＝μ3，σ1＝σ2>σ3

B ．μ1>μ2＝μ3，σ1＝σ2<σ3

C ．μ1＝μ2<μ3，σ1<σ2＝σ3

D ．μ1<μ2＝μ3，σ1＝σ2<σ3

[答案] D

[解析] 正态分布密度函数φ2(x )和φ3(x )的图象都是关于同一条直线对称，所以其平均数相同，故μ2＝μ3，又φ2(x )的对称轴的横坐标值比φ1(x )的对称轴的横坐标值大，故有μ1<μ2＝μ3.又σ越大，曲线越“矮胖”，σ越小，曲线越“瘦高”，由图象可知，正态分布密度函数φ1(x )和φ2(x )的图象一样“瘦高”，φ3(x )明显“矮胖”，从而可知σ1＝σ2<σ3.

二、填空题

11．(2010·山东潍坊质检)如图，A 、B 两点间有5条线并联，它们在单位时间内能通过的信息量依次为2,3,4,3,2.现从中任取3条线且记在单位时间内通过的信息总量为ξ.则信息总量ξ的数学期望为________．

[答案]

42

5

[解析] 由题意得，ξ的可能取值为7,8,9,10.

∵P (ξ＝7)＝C 21C 22

C 53＝15，P (ξ＝8)＝C 21

C 22

＋C 22

C 11

C 53

＝3

10

， P (ξ＝9)＝C 21C 21C 11C 53＝25，P (ξ＝10)＝C 22C 11C 53＝1

10，

∴ξ的分布列为：

E (ξ)＝15×7＋310×8＋25×9＋10×10＝5

.

12．(2010·广东江门市模考)产量相同的机床Ⅰ、Ⅱ生产同一种零件，它们在一小时内生产出的次品数X 1、X 2的分布列分别如下：

两台机床中，较好的是________． [答案] Ⅱ 因为E (X 1)＝E (X 2)，D (X 1)>D (X 2)

13．(2010·南京调研)袋中装有大小相同的黑球和白球共9个，从中任取2个都是白球的概率为5

12.现甲、乙两人从袋中轮流取球，甲先取，乙后取，然后甲再取…，每次取1个球，

取出的球不放回，直到其中有一人取到白球时终止．用X 表示取球终止时取球的总次数．

(1)袋中原有白球的个数为________． (2)随机变量X 的数学期望E (X )＝________. [答案] (1)6 (2)10

7

[解析] (1)设袋中原有n 个白球，则从9个球中任取2个球都是白球的概率为C n 2C 92＝5

12，

即n (n －1)29×82＝512，化简得n 2－n －30＝0.

解得n ＝6或n ＝－5(舍去)． 故袋中原有白球的个数为6. (2)由题意，X 的可能取值为1,2,3,4. P (X ＝1)＝69＝2

3；

P (X ＝2)＝3×69×8＝1

4；

P (X ＝3)＝3×2×69×8×7＝1

14；

P (X ＝4)＝3×2×1×69×8×7×6＝1

84.

所以X 的概率分布列为：

所求数学期望E (X )＝1×23＋2×14＋3×114＋4×184＝10

7

.

14．(2010·广东高考调研)如果随机变量ξ～B (n ，p )，且E (ξ)＝4，且D (ξ)＝2，则E (pξ－D (ξ))＝________.

[答案] 0

[解析] ∵ξ～B (n ，p )，且E (ξ)＝4，∴np ＝4， 又∵D (ξ)＝2，∴np (1－p )＝2，∴p ＝1

2，

∴E (pξ－D (ξ))＝E (12ξ－2)＝1

2

E (ξ)－2＝0.

三、解答题

15．某大学开设甲、乙、丙三门选修课，学生是否选修哪门课程互不影响，已知某学生只选修甲的概率为0.08，只选修甲和乙的概率是0.12，至少选修一门的概率是0.88，用ξ表示该学生选修的课程门数和没有选修的课程门数的乘积．

(1)记“函数f (x )＝x 2

＋ξx 为R 上的偶函数”为事件A ，求事件A 的概率； (2)求ξ的分布列和数学期望．

[解析] 设该学生选修甲、乙、丙的概率分别是x ，y ，z ， 由题意有????

?

x (1－y )(1－z )＝0.08xy (1－z )＝0.12

1－(1－x )(1－y )(1－z )＝0.88

，

解得????

?

x ＝0.4y ＝0.6

z ＝0.5

.

(1)∵函数f (x )＝x 2＋ξx 为R 上的偶函数，∴ξ＝0. ξ＝0表示该学生选修三门功课或三门功课都没选． ∴P (A )＝P (ξ＝0)＝xyz ＋(1－x )(1－y )(1－z ) ＝0.4×0.6×0.5＋0.12＝0.24. (2)依题意ξ＝0,2，则ξ的分布列为

∴E (ξ)＝0×0.24＋2×0.76＝16．(2010·新乡市调研)高二下学期，学校计划为同学们提供A 、B 、C 、D 四门方向不同的数学选修课，现在甲、乙、丙三位同学要从中任选一门学习(受条件限制，不允许多选，也不允许不选)．

(1)求3位同学中，选择3门不同方向选修的概率； (2)求恰有2门选修没有被3位同学选中的概率；

(3)求3位同学中，选择选修课程A 的人数ξ的分布列与数学期望．

[解析] (1)设3位同学中，从4门课中选3门课选修为事件M ，则P (M )＝A 4343＝38.

(2)设3位同学中，从4门课中选3门课选修，恰有2门没有选中为事件N ，则P (N )＝C 42C 32A 2243

＝9

16

. (3)由题意，ξ的取值为0、1、2、3.

则P (ξ＝0)＝3343＝27

64，P (ξ＝1)＝C 31×3×343

＝2764

，

P (ξ＝2)＝C 32

×343＝964，P (ξ＝3)＝143＝1

64.

∴ξ的分布列为

∴E (ξ)＝0×2764＋1×64＋2×64＋3×64＝4

.

17．设两球队A 、B 进行友谊比赛，在每局比赛中A 队获胜的概率都是p (0≤p ≤1)． (1)若比赛6局，且p ＝2

3，求其中A 队至多获胜4局的概率是多少？

(2)若比赛6局，求A 队恰好获胜3局的概率的最大值是多少？

(3)若采用“五局三胜”制，求A 队获胜时的比赛局数ξ的分布列和数学期望． [解析] (1)设“比赛6局，A 队至多获胜4局”为事件A ， 则P (A )＝1－[P 6(5)＋P 6(6)]

＝1－????C 65????235????1－23＋C 66????236＝1－256729＝473

729.

∴A 队至多获胜4局的概率为473729

.

(2)设“若比赛6局，A 队恰好获胜3局”为事件B ，则P (B )＝C 63p 3(1－p )3. 当p ＝0或p ＝1时，显然有P (B )＝0.

当0

(1－p )3

＝20·[p (1－p )]3

≤20·

???

?????p ＋1－p 223＝20·????126＝516

当且仅当p ＝1－p ，即p ＝1

2时取等号．

故A 队恰好获胜3局的概率的最大值是5

16

.

(3)若采用“五局三胜”制，A 队获胜时的比赛局数ξ＝3,4,5. P (ξ＝3)＝p 3

，

P (ξ＝4)＝C 32p 3(1－p )＝3p 3(1－p ) P (ξ＝5)＝C 42p 3(1－p )2＝6p 3(1－p )2， 所以ξ的分布列为：

E (ξ)＝3p 3(10p 2－[点评] 本题第(3)问容易出错，“五局三胜制”不一定比满五局，不是“五局中胜三局”．A 队获胜包括：比赛三局，A 队全胜；比赛四局，A 队前三局中胜两局，第四局胜；比赛五局，前四局中胜两局，第五局胜，共三种情况．