概率统计4_2方差及常见分布的期望方差

f ( x, y) 1 ,0 x 1, 0 y 1.

(1) E (| X Y |)

| x y | f ( x, y)dxdy | x y | dxdy
0 0
1 1
dx ( x y )dy dy ( y x)dx
0
1

0
0
1
x

0 0
1
y
y
1
yx
1 x2 2 dx ( x y )dy 2 ( x )dx . 3 2

0
x

0
1
2
0
1
x
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例4. 设X , Y ~ U [0,1]，且相互独立 ,
求(1) E(| X Y |);(2) D(| X Y |).
甲: D( X ) 8 9.2 0.3 9 9.2 0.2 10 9.2 0.5 0.76 ;
2 2 2
乙: D(Y ) 8 9.2 0.2 9 9.2 0.4 10 9.2 0.4 0.624 ,
e l , k = 0,1,2,3,…,l>0,
E(X) = l .
D(X) = E(X2) - [E(X)]2
E(X2) = E(X2 -X+X) = E[X(X-1)+X] = E[X(X-1)]+E(X) E[X(X-1)] k (k 1)
k 0
lk
k!
2 l l 2 e l l e e l ,
D(X)=D(X1+X2+…+Xn) =D(X1)+D(X2)+…+D(Xn)= npq.
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例4. 设X , Y ~ U [0,1]，且相互独立 ,
求(1) E(| X Y |);(2) D(| X Y |).
解： f X ( x) 1 ,0 x 1; fY ( y) 1 ,0 y 1
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D( X ) 称为均方差或标准差.
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一、方差的概念 定义 设X为随机变量，如果E{[X-E(X)]2}存在，则称 E{[X-E(X)]2} 为X的方差，记作 D(X) . 即 D(X) = E{[X-E(X)]2} . 二、方差的计算
D( X ) 称为均方差或标准差.
① 离散型随机变量 D( X )
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例3．在 n 重贝努里试验中，用 X 表示 n 次试验中事件A 发
生的次数，记P(A)= p，求E(X)，D(X) ． 解： 本题旨在给出一个思考与解决问题的新视角！
1, 第i次试验中A出现 令 Xi (i 1,2,...,n), 则有 0, 第i次试验中A不出现
[ xk E ( X )]2 pk ,
k 1

其中 P{X=xk}=pk k=1,2,3,….
② 连续型随机变量 D( X ) [ x E( X )]
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2
f ( x)dx.
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三、方差的计算公式
D( X ) E( X 2 ) [ E( X )]2 .
解： f X ( x) 1 ,0 x 1; fY ( y) 1 ,0 y 1
f ( x, y) 1 ,0 x 1, 0 y 1.
(2) D( X Y ) E ( X Y ) [ E ( X Y )] 2
2

因为 E ( X Y )
性质4 设X,Y是两个相互独立的随机变量，则有 D(X+Y)= D(X)+D(Y) 推广 若X1,X2,…,Xn相互独立，则D(X1+X2+…+Xn) D( X i ) .
i 1 n
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证明：(2) D(CX) = E {[CX - E(CX)]2} = C2 E{[X - E(X)]2} = C2 D(X). (3) D(X+C)= E{[(X+C)- E(X+C)]2}= E{[X – E(X)]2}= D(X). (4) D(X+Y) = E{[(X+Y)-E(X+Y)]2}= E{[X-E(X)]+[Y-E(Y)]}2 = E{[X-E(X)]2}+ E{[Y-E(Y)]2}+ 2E{[X-E(X)][Y-E(Y)]} = D(X)+D(Y) + 2E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}，而 E{[X-E(X)] [Y-E(Y)]} = E[XY - E(X)Y - E(Y)X + E(X)E(Y)] = E(XY)-E(X)E(Y)-E(X)E(Y)+E(X)E(Y) = E(XY)- E(X)E(Y)， 由于 X,Y相互独立，故有 E(XY)= E(X)E(Y) ，从则有 E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}= 0 , 于是 D(X+Y)= D(X)+D(Y)． 练习：若X，Y相互独立，证明 D(X-Y)= D(X)+D(Y) .
§4.2 随机变量的方差
1. 方差的概念与计算
2. 常见分布的方差 3. 方差的性质
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§4.2
○、方差概念的引入
随机变量的方差
随机变量的数学期望是一个重要的数学特征，反应了随机
变量取值的平均大小，但只知道随机变量的数学期望是不够的. 引例1. 从甲、乙两车床加工的零件中各取５件，测得尺寸
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例2．设随机变量X具有概率密度
1 x, p ( x) 1 x, f (x) 0,
求 D(X) . 解：E ( X )

1 x 0 0 x 1 , 其它
xf ( x)dx x(1 x)dx x(1 x)dx 0 . 1 E ( X ) x f ( x)dx x (1 x)dx x (1 x)dx , 6
le lx , f ( x) 0, x0 , 其它

E( X )
1
l
பைடு நூலகம்
.
E( X )
2


x f ( x)dx
2
0
l x 2e l x dx
2
令l x t 1
l
从而得
2


0
t e dt
2 t
1
l
2
(3)
l
2
,
D( X )
2
l2
1 1 ( )2 2 .
l
l
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⒍ 正态分布 设X～N(μ ,σ 2 )概率密度为
1 f ( x) e 2 ( x )2 2 2
, x ,
x
D( X ) ( x )


2
f (x p( x))dx , 令

t 得



4
2
2
t2 2 2
2 2 2
乙: D(Y ) 8 9.2 0.2 9 9.2 0.4 10 9.2 0.4 0.624 , 这表明乙的射击水平比较稳定.
2 2 2
一、方差的概念
定义 设X为随机变量，如果E{[X-E(X)]2}存在，则称
E{[X-E(X)]2} 为X的方差，记作 D(X) . 即 D(X) = E{[X-E(X)]2} .
如下： 甲： 8， 9， 10， 11， 12；
乙：9.6，9.8，10，10.2，10.4 已知标准尺寸为10(cm), 公差d=0.5cm, 问那一台车床好？ 以X甲 ，X乙分别表示甲乙两车床加工零件的长度，易得
E(X甲) =E(X乙)＝10.
虽然甲乙车床加工零件的均值相等，但其零件的质量有 显著差异，甲加工的零件只有１件合格，乙加工的全部合格.
证明： D(X)= E{[X – E(X)]2}
= E{X2 - 2X· E(X)+ [E(X)]2}
= E(X2)- 2E(X)· E(X)+ [E(X)]2
= E(X2)- [E(X)]2 . 例1．设随机变量 X～ (0-1) 分布，其概率分布为 P{X=1}= p，P{X=0}=q，0＜p＜1，p+q=1，求D(X) . 解：因 E(X) = p， 而 E(X 2) = 12· + 02· = p, 于是 p q D(X) = E(X 2)- [E(X)]2 = p - p2 = p q.
2


x f ( x)dx a
2
1 a 2 ab b 2 x dx , ba 3
从而得
1 2 ab 2 2) ( ) D( X ) E( X ) [ E( X )] (a ab b 3 2
2 2
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⒌ 指数分布 设X ～E(l) 概率密度为
2 t e dt 2
2
2
y2

t2 2 2 0
te
t y得 dt , 令 2


2


0
3 y e dy ( ) 2 2
2
2
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五、方差的性质