2018年秋新课堂高中数学人教B版选修2-1学案：第2章 2.4 2.4.2 抛物线的几何性质(一) Word版含答案

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2018版高中数学人教B版选修2-1学案：2疑难规律方法：第二章圆锥曲线与方程精品

1 利用椭圆的定义解题椭圆定义反映了椭圆的本质特征，揭示了曲线存在的几何性质．有些问题，如果恰当运用定义来解决，可以起到事半功倍的效果，下面通过几个例子进行说明． 1．求最值例1 线段|AB |＝4，|P A |＋|PB |＝6，M 是AB 的中点，当P 点在同一平面内运动时，PM 的长度的最小值是( ) A ．2 B. 2 C. 5 D ．5解析由于|P A |＋|PB |＝6>4＝|AB |，故由椭圆定义知P 点的轨迹是以M 为原点，A 、B 为焦点的椭圆，且a ＝3，c ＝2，∴b ＝a 2－c 2＝ 5.于是PM 的长度的最小值是b ＝ 5. 答案 C 2．求动点坐标例2 椭圆x 29＋y 225＝1上到两个焦点F 1，F 2的距离之积最大的点的坐标是________．解析设椭圆上的动点为P ，由椭圆的定义可知 |PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝10，所以|PF 1|·|PF 2|≤⎝⎛⎭⎫|PF 1|＋|PF 2|22＝⎝⎛⎭⎫1022＝25，当且仅当|PF 1|＝|PF 2|时取等号．由⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＋|PF 2|＝10，|PF 1|＝|PF 2|，解得|PF 1|＝|PF 2|＝5＝a ，此时点P 恰好是椭圆短轴的两端点，即所求点的坐标为(±3，0)．答案 (±3，0)点评由椭圆的定义可得“|PF 1|＋|PF 2|＝10”，即两个正数|PF 1|，|PF 2|的和为定值，结合均值不等式可求|PF 1|，|PF 2|积的最大值，结合图形可得所求点P 的坐标． 3．求焦点三角形面积例3 如图所示，已知椭圆的方程为x 24＋y 23＝1，若点P 在第二象限，且∠PF 1F 2＝120°，求△PF 1F 2的面积．解由已知，得a ＝2，b ＝3，所以c ＝a 2－b 2＝1，|F 1F 2|＝2c ＝2. 在△PF 1F 2中，由余弦定理，得|PF 2|2＝|PF 1|2＋|F 1F 2|2－2|PF 1|·|F 1F 2|·cos 120°，即|PF 2|2＝|PF 1|2＋4＋2|PF 1|，①由椭圆定义，得|PF 1|＋|PF 2|＝4，即|PF 2|＝4－|PF 1|.②将②代入①，得|PF 1|＝65.所以121121··sin 1202PF F SPF F F ∆︒＝＝12×65×2×32＝353，即△PF 1F 2的面积是353.点评在△PF 1F 2中，由椭圆的定义及余弦定理可得关于|PF 1|，|PF 2|的方程组，消去|PF 2|可求|PF 1|.从以上问题，我们不难发现，凡涉及椭圆上的点及椭圆焦点的问题，我们应首先考虑利用椭圆的定义求解.2 如何求椭圆的离心率1．由椭圆的定义求离心率例1 以椭圆的焦距为直径并过两焦点的圆，交椭圆于4个不同的点，顺次连接这四个点和两个焦点恰好组成一个正六边形，那么这个椭圆的离心率为________．解析如图所示，设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)，半焦距为c ，由题意知∠F 1AF 2＝90°，∠AF 2F 1＝60°.∴|AF 2|＝c ， |AF 1|＝2c ·sin 60°＝3c .∴|AF 1|＋|AF 2|＝2a ＝(3＋1)c . ∴e ＝c a ＝23＋1＝3－1.答案3－1点评本题利用了圆及正六边形的几何性质，并结合椭圆的定义，化难为易，使问题简单解决．2．解方程(组)求离心率例2 椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)的左焦点为F 1(－c ，0)，A (－a ，0)、B (0，b )是两个顶点，如果F 1到直线AB 的距离为b7，则椭圆的离心率e ＝________. 解析如图所示，直线AB 的方程为x －a ＋yb ＝1，即bx －ay ＋ab ＝0.∵点F 1(－c ，0)到直线AB 的距离为b 7，∴b 7＝|－bc ＋ab |a 2＋b 2， ∴7|a －c |＝a 2＋b 2，即7a 2－14ac ＋7c 2＝a 2＋b 2. 又∵b 2＝a 2－c 2，整理，得5a 2－14ac ＋8c 2＝0. 两边同除以a 2并由e ＝ca 知，8e 2－14e ＋5＝0，解得e ＝12或e ＝54(舍去)．答案 123．利用数形结合求离心率例3 在平面直角坐标系中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，圆O 的半径为a ，过点P ⎝⎛⎭⎫a 2c ，0作圆O 的两条切线，且这两条切线互相垂直，则离心率e ＝________. 解析如图所示，切线P A 、PB 互相垂直，P A ＝PB . 又OA ⊥P A ，OB ⊥PB ，OA ＝OB ，则四边形OAPB 是正方形，故OP ＝2OA ，即a 2c ＝2a ，∴e ＝c a ＝22.答案224．综合类例4 设M 为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上一点，F 1、F 2为椭圆的左、右焦点，如果∠MF 1F 2＝75°，∠MF 2F 1＝15°，求椭圆的离心率．解由正弦定理得2c sin 90°＝|MF 1|sin 15°＝|MF 2|sin 75°＝|MF 1|＋|MF 2|sin 15°＋sin 75°＝2asin 15°＋sin 75°，∴e ＝c a ＝1sin 15°＋cos 15°＝12sin 60°＝63.点评此题可推广为若∠MF 1F 2＝α，∠MF 2F 1＝β，则椭圆的离心率e ＝cosα＋β2cosα－β2.3 活用双曲线定义妙解题在解双曲线中的有关求动点轨迹、离心率、最值等问题时，若能灵活应用双曲线的定义，能把大题化为小题，起到事半功倍的作用．下面举例说明． 1．求动点轨迹例1 动圆C 与两定圆C 1：x 2＋(y －5)2＝1和圆C 2：x 2＋(y ＋5)2＝16都外切，求动圆圆心C 的轨迹方程．解设动圆圆心为C (x ，y )，半径为r ，因为动圆C 与两定圆相外切，所以⎩⎪⎨⎪⎧|CC 1|＝r ＋1，|CC 2|＝r ＋4，即|CC 2|－|CC 1|＝3<|C 1C 2|＝10，所以点C 的轨迹是以C 1(0，5)，C 2(0，－5)为焦点的双曲线的上支，且a ＝32，c ＝5，所以b 2＝914.故动圆圆心C 的轨迹方程为4y 29－4x 291＝1(y ≥32)．点评依据动圆与两定圆外切建立关系式，易得到|CC 2|－|CC 1|＝3<|C 1C 2|，从而判断出C 的轨迹是双曲线的一支，最后求出a ，b 即可写出轨迹方程，这里一定要注意所求的轨迹是双曲线的一支还是两支． 2．求焦点三角形的周长例2 过双曲线x 216－y 29＝1左焦点F 1的直线与左支交于A 、B 两点，且弦AB 长为6，则△ABF 2(F 2为右焦点)的周长是________．解析由双曲线的定义知|AF 2|－|AF 1|＝8，|BF 2|－|BF 1|＝8，两式相加得|AF 2|＋|BF 2|－(|AF 1|＋|BF 1|)＝|AF 2|＋|BF 2|－|AB |＝16，从而有|AF 2|＋|BF 2|＝16＋6＝22，所以△ABF 2的周长为|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝22＋6＝28. 答案 28点评与焦点有关的三角形周长问题，常借助双曲线的定义解决，注意解决问题时的拼凑技巧． 3．最值问题例3 已知F 是双曲线x 23－y 2＝1的右焦点，P 是双曲线右支上一动点，定点M (4，2)，求|PM |＋|PF |的最小值．解设双曲线的左焦点为F ′，则F ′(－2，0)，由双曲线的定义知： |PF ′|－|PF |＝2a ＝23，所以|PF |＝|PF ′|－23，所以|PM |＋|PF |＝|PM |＋|PF ′|－23，要使|PM |＋|PF |取得最小值，只需|PM |＋|PF ′|取得最小值，由图可知，当P 、F ′、M 三点共线时，|PM |＋|PF ′|有最小值|MF ′|＝210，故|PM |＋|PF |的最小值为210－2 3.点评本题利用双曲线的定义对F 的位置进行转换，然后再根据共线易求得最小值．另外同学们不妨思考一下：①若将M 坐标改为M (1，1)，其他条件不变，如何求解呢？②若P 是双曲线左支上一动点，如何求解呢？ 4．求离心率范围例4 已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在双曲线的右支上，且|PF 1|＝4|PF 2|，试求该双曲线离心率的取值范围．解因为|PF 1|＝4|PF 2|，点P 在双曲线的右支上，所以设|PF 2|＝m ，则|PF 1|＝4m ，由双曲线的定义，则|PF 1|－|PF 2|＝4m －m ＝2a ，所以m ＝23a .又|PF 1|＋|PF 2|≥|F 1F 2|，即4m ＋m ≥2c ，所以m ≥25c ，即23a ≥25c ，所以e ＝c a ≤53.又e >1，所以双曲线离心率的取值范围为(1，53]．点评本题利用双曲线的定义及三角形的两边之和与第三边之间的关系建立了关于双曲线基本量a ，c 的不等关系，使问题得以巧妙地转化、获解．4 抛物线的焦点弦例1 如图所示，AB 是抛物线y 2＝2px (p >0)过焦点F 的一条弦．设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，AB 的中点M (x 0，y 0)，过A 、M 、B 分别向抛物线的准线l 作垂线，垂足分别为A 1、M 1、B 1，则有以下重要结论：(1)以AB 为直径的圆必与准线相切；(2)|AB |＝2(x 0＋p2)(焦点弦长与中点坐标的关系)；(3)|AB |＝x 1＋x 2＋p ；(4)A 、B 两点的横坐标之积，纵坐标之积为定值，即x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2；(5)A 1F ⊥B 1F ；(6)A 、O 、B 1三点共线；(7)1|F A |＋1|FB |＝2p. 以下以第(7)条结论为例证明：证明当直线AB 的斜率不存在，即与x 轴垂直时， |F A |＝|FB |＝p ， ∴1|F A |＋1|FB |＝1p ＋1p ＝2p. 当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －p 2，并代入y 2＝2px ， ∴⎝⎛⎭⎫kx －kp22＝2px ，即k 2x 2－p (2＋k 2)x ＋k 2p 24＝0.设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，则x A ＋x B ＝p (k 2＋2)k 2，x A x B ＝p 24.∵|F A |＝x A ＋p 2，|FB |＝x B ＋p2，∴|F A |＋|FB |＝x A ＋x B ＋p ， |F A |·|FB |＝⎝⎛⎭⎫x A ＋p 2⎝⎛⎭⎫x B ＋p 2 ＝x A x B ＋p 2(x A ＋x B )＋p 24＝p2(x A ＋x B ＋p )．∴|F A |＋|FB |＝|F A |·|FB |·2p ，即1|F A |＋1|FB |＝2p. 点评该结论是抛物线过焦点的弦所具有的一个重要性质，解题时，不可忽视AB ⊥x 轴的情况．例2 设F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A ，B ，C 为该抛物线上三点，若F A →＋FB →＋FC →＝0，则|F A →|＋|FB →|＋|FC →|＝________.解析设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)、C (x 3，y 3)，又F (1，0)．由F A →＋FB →＋FC →＝0知(x 1－1)＋(x 2－1)＋(x 3－1)＝0，即x 1＋x 2＋x 3＝3，|F A →|＋|FB →|＋|FC →|＝x 1＋x 2＋x 3＋32p ＝6.答案 65 求曲线方程的常用方法曲线方程的求法是解析几何的重要内容和高考的常考点．求曲线方程时，应根据曲线的不同背景，不同的结构特征，选用不同的思路和方法，才能简捷明快地解决问题．下面对其求法进行探究． 1．定义法求曲线方程时，如果动点轨迹满足已知曲线的定义，则可根据题设条件和图形的特点，恰当运用平面几何的知识去寻求其数量关系，再由曲线定义直接写出方程，这种方法叫做定义法．例1 如图，点A 为圆形纸片内不同于圆心C 的定点，动点M 在圆周上，将纸片折起，使点M 与点A 重合，设折痕m 交线段CM 于点N .现将圆形纸片放在平面直角坐标系xOy 中，设圆C ：(x ＋1)2＋y 2＝4a 2 (a >1)，A (1，0)，记点N 的轨迹为曲线E .(1)证明曲线E 是椭圆，并写出当a ＝2时该椭圆的标准方程；(2)设直线l 过点C 和椭圆E 的上顶点B ，点A 关于直线l 的对称点为点Q ，若椭圆E 的离心率e ∈⎣⎡⎦⎤12，32，求点Q 的纵坐标的取值范围．解 (1) 依题意，直线m 为线段AM 的垂直平分线， ∴|NA |＝|NM |.∴|NC |＋|NA |＝|NC |＋|NM |＝|CM |＝2a >2＝|AC |，∴N 的轨迹是以C 、A 为焦点，长轴长为2a ，焦距为2的椭圆．当a ＝2时，长轴长为2a ＝4，焦距为2c ＝2， ∴b 2＝a 2－c 2＝3.∴椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y2b 2＝1 (a >b >0)．由(1)知a 2－b 2＝1.又C (－1，0)，B (0，b )， ∴直线l 的方程为x －1＋yb ＝1，即bx －y ＋b ＝0.设Q (x ，y )，∵点Q 与点A (1，0)关于直线l 对称，∴⎩⎨⎧yx －1·b ＝－1，b ·x ＋12－y2＋b ＝0，消去x 得y ＝4bb 2＋1.∵离心率e ∈⎣⎡⎦⎤12，32，∴14≤e 2≤34，即14≤1a 2≤34.∴43≤a 2≤4. ∴43≤b 2＋1≤4，即33≤b ≤3， ∵y ＝4b b 2＋1＝4b ＋1b ≤2，当且仅当b ＝1时取等号．又当b ＝3时，y ＝3；当b ＝33时，y ＝ 3.∴3≤y ≤2. ∴点Q 的纵坐标的取值范围是[3，2]． 2．直接法若题设条件有明显的等量关系，或者可运用平面几何的知识推导出等量关系，则可通过“建系、设点、列式、化简、检验”五个步骤直接求出动点的轨迹方程，这种“五步法”可称为直接法．例2 已知直线l 1：2x －3y ＋2＝0，l 2：3x －2y ＋3＝0.有一动圆M (圆心和半径都在变动)与l 1，l 2都相交，并且l 1，l 2被截在圆内的两条线段的长度分别是定值26，24.求圆心M 的轨迹方程．解如图，设M (x ，y )，圆半径为r ，M 到l 1，l 2的距离分别是d 1，d 2，则d 21＋132＝r 2，d 22＋122＝r 2， ∴d 22－d 21＝25，即⎝ ⎛⎭⎪⎫|3x －2y ＋3|132－⎝ ⎛⎭⎪⎫|2x －3y ＋2|132＝25，化简得圆心M 的轨迹方程是(x ＋1)2－y 2＝65.点评若动点运动的规律是一些几何量的等量关系，则常用直接法求解，即将这些关系直接转化成含有动点坐标x ，y 的方程即可． 3．待定系数法若已知曲线(轨迹)的形状，求曲线(轨迹)的方程时，可由待定系数法求解．例3 已知椭圆的对称轴为坐标轴，O 为坐标原点，F 是一个焦点，A 是一个顶点，若椭圆的长轴长是6，且cos ∠OF A ＝23，求椭圆的方程．解椭圆的长轴长为6，cos ∠OF A ＝23，所以点A 不是长轴的顶点，是短轴的顶点，所以|OF |＝c ，|AF |＝|OA |2＋|OF |2＝b 2＋c 2 ＝a ＝3，c 3＝23，所以c ＝2，b 2＝32－22＝5，故椭圆的方程为x 29＋y 25＝1或x 25＋y 29＝1.4．相关点法(或代入法)如果点P 的运动轨迹或所在的曲线已知，又点P 与点Q 的坐标之间可以建立某种关系，借助于点P 的运动轨迹便可得到点Q 的运动轨迹．例4 如图所示，从双曲线x 2－y 2＝1上一点Q 引直线l ：x ＋y ＝2的垂线，垂足为N ，求线段QN 的中点P 的轨迹方程．分析设P (x ，y )，因为P 是QN 的中点，为此需用P 点的坐标表示Q 点的坐标，然后代入双曲线方程即可．解设P 点坐标为(x ，y )，双曲线上点Q 的坐标为(x 0，y 0)，∵点P 是线段QN 的中点， ∴N 点的坐标为(2x －x 0，2y －y 0)．又点N 在直线x ＋y ＝2上，∴2x －x 0＋2y －y 0＝2，即x 0＋y 0＝2x ＋2y －2.①又QN ⊥l ，∴k QN ＝2y －2y 02x －2x 0＝1，即x 0－y 0＝x －y .②由①②，得x 0＝12(3x ＋y －2)，y 0＝12(x ＋3y －2)．又∵点Q 在双曲线上，∴14(3x ＋y －2)2－14(x ＋3y －2)2＝1. 化简，得⎝⎛⎭⎫x －122－⎝⎛⎭⎫y －122＝12. ∴线段QN 的中点P 的轨迹方程为⎝⎛⎭⎫x －122－⎝⎛⎭⎫y －122＝12.点评本题中动点P 与点Q 相关，而Q 点的轨迹确定，所以解决这类问题的关键是找出P 、Q 两点坐标间的关系，用相关点法求解． 5．参数法有时求动点满足的几何条件不易得出，也无明显的相关点，但却较易发现(或经分析可发现)这个动点的运动常常受到另一个变量(角度、斜率、比值、截距或时间等)的制约，即动点的坐标(x ，y )中的x ，y 分别随另一个变量的变化而变化，我们可以设这个变量为参数，建立轨迹的参数方程，这种方法叫做参数法．例5 已知点P 在直线x ＝2上移动，直线l 通过原点且与OP 垂直，通过点A (1，0)及点P 的直线m 和直线l 交于点Q ，求点Q 的轨迹方程．解如图，设OP 的斜率为k ，则P (2，2k )．当k ≠0时，直线l 的方程：y ＝－1k x ；① 直线m 的方程：y ＝2k (x －1)．②联立①②消去k 得2x 2＋y 2－2x ＝0 (x ≠1)．当k ＝0时，点Q 的坐标(0，0)也满足上式，故点Q 的轨迹方程为2x 2＋y 2－2x ＝0(x ≠1)．6 解析几何中的定值与最值问题1．定点、定值问题对于解析几何中的定点、定值问题，要善于运用辩证的观点去思考分析，在动点的“变”中寻求定值的“不变”性，用特殊探索法(特殊值、特殊位置、特殊图形等)先确定出定值，揭开神秘的面纱，这样可将盲目的探索问题转化为有方向有目标的一般性证明题，从而找到解决问题的突破口．例1 已知椭圆的中心为坐标原点O ，焦点在x 轴上，斜率为1且过椭圆右焦点的直线交椭圆于A ，B 两点，OA →＋OB →与a ＝(3，－1)共线．设M 为椭圆上任意一点，且OM →＝λOA →＋μOB → (λ，μ∈R )，求证：λ2＋μ2为定值．证明 ∵M 是椭圆上任意一点，若M 与A 重合，则OM →＝OA →，此时λ＝1，μ＝0，∴λ2＋μ2＝1，现在需要证明λ2＋μ2为定值1.设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1 (a >b >0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点为N (x 0，y 0)，∴⎩⎨⎧x 21a 2＋y 21b2＝1， ①x 22a 2＋y22b 2＝1， ②①－②得(x 1－x 2)(x 1＋x 2)a 2＋(y 1－y 2)(y 1＋y 2)b 2＝0，即y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2(x 1＋x 2)a 2(y 1＋y 2)＝－b 2x 0a 2y 0，又∵k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝1，∴y 0＝－b 2a 2x 0.∴直线ON 的方向向量为ON →＝⎝⎛⎭⎫1，－b 2a 2， ∵ON →∥a ，∴13＝b 2a2.∵a 2＝3b 2，∴椭圆方程为x 2＋3y 2＝3b 2，又直线方程为y ＝x －c .联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －c ，x 2＋3y 2＝3b 2，得4x 2－6cx ＋3c 2－3b 2＝0. ∴x 1＋x 2＝32c ，x 1x 2＝3c 2－3b 24＝38c 2.又设M (x ，y )，则由OM →＝λOA →＋μOB →，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝λx 1＋μx 2，y ＝λy 1＋μy 2，代入椭圆方程整理得 λ2(x 21＋3y 21)＋μ2(x 22＋3y 22)＋2λμ(x 1x 2＋3y 1y 2)＝3b 2. 又∵x 21＋3y 21＝3b 2，x 22＋3y 22＝3b 2，x 1x 2＋3y 1y 2＝4x 1x 2－3c (x 1＋x 2)＋3c 2 ＝32c 2－92c 2＋3c 2＝0， ∴λ2＋μ2＝1，故λ2＋μ2为定值．例2 已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >0，b >0)过点(0，1)，其长轴、焦距和短轴的长的平方依次成等差数列．直线l 与x 轴正半轴和y 轴分别交于Q 、P ，与椭圆分别交于点M 、N ，各点均不重合且满足PM →＝λ1MQ →，PN →＝λ2NQ →. (1)求椭圆的标准方程；(2)若λ1＋λ2＝－3，试证明：直线l 过定点并求此定点．解 (1)设椭圆的焦距为2c ，由题意知b ＝1，且(2a )2＋(2b )2＝2(2c )2，又a 2＝b 2＋c 2，所以a 2＝3. 所以椭圆的方程为x 23＋y 2＝1.(2)由题意设P (0，m )，Q (x 0，0)，M (x 1，y 1)， N (x 2，y 2)，设l 方程为x ＝t (y －m )，由PM →＝λ1MQ →知(x 1，y 1－m )＝λ1(x 0－x 1，－y 1)， ∴y 1－m ＝－y 1λ1，由题意y 1≠0，∴λ1＝my 1－1.同理由PN →＝λ2NQ →知λ2＝m y 2－1.∵λ1＋λ2＝－3，∴y 1y 2＋m (y 1＋y 2)＝0，①联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋3y 2＝3，x ＝t (y －m )得(t 2＋3)y 2－2mt 2y ＋t 2m 2－3＝0，∴由题意知Δ＝4m 2t 4－4(t 2＋3)(t 2m 2－3)>0， ② 且有y 1＋y 2＝2mt 2t 2＋3，y 1y 2＝t 2m 2－3t 2＋3，③③代入①得t 2m 2－3＋2m 2t 2＝0，∴(mt )2＝1，由题意mt <0，∴mt ＝－1，满足②，得l 方程为x ＝ty ＋1，过定点(1，0)，即Q 为定点． 2．最值问题解决圆锥曲线中的最值问题，一般有两种方法：一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解非常巧妙；二是代数法，将圆锥曲线中的最值问题转化为函数问题(即根据条件列出所求的目标函数)，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角有界法、函数单调法及均值不等式法等，求解最大或最小值．例3 已知F 是双曲线x 24－y 212＝1的左焦点，A (1，4)，P 是双曲线右支上的动点，则|PF |＋|P A |的最小值为________．解析设右焦点为F ′，由题意可知F ′坐标为(4，0)，根据双曲线的定义，|PF |－|PF ′|＝4，∴|PF |＋|P A |＝4＋|PF ′|＋|P A |，∴要使|PF |＋|P A |最小，只需|PF ′|＋|P A |最小即可，|PF ′|＋|P A |最小需P 、F ′、A 三点共线，最小值即4＋|F ′A |＝4＋9＋16＝4＋5＝9. 答案 9点评 “化曲为直”求与距离有关的最值是平面几何中一种巧妙的方法，特别是涉及圆锥曲线上动点与定点和焦点距离之和的最值问题常用此法．例4 已知平面内一动点P 到点F (1，0)的距离与点P 到y 轴的距离的差等于1. (1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)过点F 作两条斜率存在且互相垂直的直线l 1，l 2，设l 1与轨迹C 相交于点A ，B ，l 2与轨迹C 相交于点D ，E ，求AD →·EB →的最小值．解 (1)设动点P 的坐标为(x ，y )，由题意有(x －1)2＋y 2－|x |＝1. 化简得y 2＝2x ＋2|x |.当x ≥0时，y 2＝4x ；当x <0时，y ＝0.所以动点P 的轨迹C 的方程为y 2＝4x (x ≥0)和y ＝0 (x <0)． (2) 如图，由题意知，直线l 1的斜率存在且不为0，设为k ，则l 1的方程为y ＝k (x －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，y 2＝4x 得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1，x 2是上述方程的两个实根，于是x 1＋x 2＝2＋4k 2，x 1x 2＝1.因为l 1⊥l 2，所以l 2的斜率为－1k .设D (x 3，y 3)，E (x 4，y 4)，则同理可得x 3＋x 4＝2＋4k 2，x 3x 4＝1.故AD →·EB →＝(AF →＋FD →)·(EF →＋FB →) ＝AF →·EF →＋AF →·FB →＋FD →·EF →＋FD →·FB → ＝|AF →|·|FB →|＋|FD →|·|EF →|＝(x 1＋1)(x 2＋1)＋(x 3＋1)(x 4＋1) ＝x 1x 2＋(x 1＋x 2)＋1＋x 3x 4＋(x 3＋x 4)＋1 ＝1＋⎝⎛⎭⎫2＋4k 2＋1＋1＋(2＋4k 2)＋1 ＝8＋4⎝⎛⎭⎫k 2＋1k 2≥8＋4×2k 2·1k2＝16. 当且仅当k 2＝1k 2，即k ＝±1时，AD →·EB →取得最小值16.7 圆锥曲线中存在探索型问题存在探索型问题作为探索性问题之一，具备了内容涉及面广、重点题型丰富等命题要求，方便考查分析、比较、猜测、归纳等综合能力，因而受到命题人的喜爱．圆锥曲线存在探索型问题是指在给定题设条件下是否存在某个数学对象(数值、性质、图形)使某个数学结论成立的数学问题．本节仅就圆锥曲线中的存在探索型问题展开，帮助复习． 1．常数存在型问题例1 直线y ＝ax ＋1与双曲线3x 2－y 2＝1相交于A ，B 两点，是否存在这样的实数a ，使A ，B 关于直线y ＝2x 对称？请说明理由．分析先假设实数a 存在，然后根据推理或计算求出满足题意的结果，或得到与假设相矛盾的结果，从而否定假设，得出某数学对象不存在的结论．解设存在实数a ，使A ，B 关于直线l ：y ＝2x 对称，并设 A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB 中点坐标为⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22.依题设有y 1＋y 22＝2·x 1＋x 22，即y 1＋y 2＝2(x 1＋x 2)，①又A ，B 在直线y ＝ax ＋1上，∴y 1＝ax 1＋1，y 2＝ax 2＋1， ∴y 1＋y 2＝a (x 1＋x 2)＋2，②由①②，得2(x 1＋x 2)＝a (x 1＋x 2)＋2，即(2－a )(x 1＋x 2)＝2，③联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝ax ＋1，3x 2－y 2＝1得(3－a 2)x 2－2ax －2＝0，∴x 1＋x 2＝2a3－a 2， ④把④代入③，得(2－a )·2a 3－a 2＝2，解得a ＝32，经检验符合题意，∴k AB ＝32，而k l ＝2，∴k AB ·k l ＝32×2＝3≠－1.故不存在满足题意的实数a . 2．点存在型问题例2 在平面直角坐标系中，已知圆心在第二象限，半径为22的圆与直线y ＝x 相切于原点O ，椭圆x 2a 2＋y 29＝1与圆C 的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10.(1)求圆C 的方程；(2)试探究圆C 上是否存在异于原点的点Q ，使Q 到椭圆右焦点F 的距离等于线段OF 的长．若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．分析假设满足条件的点Q 存在，根据其满足的几何性质，求出Q 的坐标，则点Q 存在，若求不出Q 的坐标，则点Q 就不存在．解 (1)由题意知圆心在y ＝－x 上，设圆心的坐标是(－p ，p ) (p >0)，则圆的方程可设为(x ＋p )2＋(y －p )2＝8，由于O (0，0)在圆上，∴p 2＋p 2＝8，解得p ＝2， ∴圆C 的方程为(x ＋2)2＋(y －2)2＝8.(2)椭圆x 2a 2＋y 29＝1与圆C 的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10，由椭圆的定义知2a ＝10，a ＝5，∴椭圆右焦点为F (4，0)．假设存在异于原点的点Q (m ，n )使|QF |＝|OF |，则有⎩⎪⎨⎪⎧(m ＋2)2＋(n －2)2＝8，(m －4)2＋n 2＝16且m 2＋n 2≠0，解得⎩⎨⎧m ＝45，n ＝125，故圆C 上存在满足条件的点Q ⎝⎛⎭⎫45，125. 3．直线存在型问题例3 试问是否能找到一条斜率为k (k ≠0)的直线l 与椭圆x 23＋y 2＝1交于两个不同的点M ，N ，且使M ，N 到点A (0，1)的距离相等，若存在，试求出k 的取值范围；若不存在，请说明理由．分析假设满足条件的直线l 存在，由平面解析几何的相关知识求解．解设直线l ：y ＝kx ＋m 为满足条件的直线，再设P 为MN 的中点，欲满足条件，只要AP ⊥MN 即可．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 23＋y 2＝1，得(1＋3k 2)x 2＋6mkx ＋3m 2－3＝0. 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x P ＝x 1＋x 22＝－3mk 1＋3k 2，y P ＝kx P ＋m ＝m1＋3k 2， ∴k AP ＝3k 2－m ＋13mk.∵AP ⊥MN ，∴3k 2－m ＋13mk ＝－1k (k ≠0)，故m ＝－3k 2＋12.由Δ＝36m 2k 2－4(1＋3k 2)(3m 2－3)＝9(1＋3k 2)·(1－k 2)>0，得－1<k <1，且k ≠0. 故当k ∈(－1，0)∪(0，1)时，存在满足条件的直线l .8 圆锥曲线中的易错点剖析1．求轨迹方程时，动点坐标设法不当而致误例1 长为a 的线段AB ，两端点分别在两坐标轴上移动，求线段AB 中点P 的轨迹方程．错解如图所示，设A (0，y )，B (x ，0)．由中点坐标公式可得P 点坐标为⎝⎛⎭⎫x 2，y 2，连接OP ，由直角三角形斜边上的中线性质有|OP |＝12|AB |＝12a .故⎝⎛⎭⎫x 22＋⎝⎛⎭⎫y 22＝⎝⎛⎭⎫a 22，即所求的轨迹方程为x 2＋y 2＝a 2.错因分析求轨迹方程，即求轨迹上任意一点的坐标所满足的方程，并检验以方程的解为坐标的点是否都是轨迹上的点，因此，应设轨迹上任意一点的坐标为(x ，y ).上述解法是因为动点坐标设的不对，即运用方法不当而导致错误.正解设中点P (x ，y )，A (0，m )，B (n ，0)，则m 2＋n 2＝a 2，x ＝n 2，y ＝m 2，于是所求轨迹方程为x 2＋y 2＝14a 2.2．忽视定义中的条件而致误例2 平面内一点M 到两定点F 1(0，－4)，F 2(0，4)的距离之和为8，则点M 的轨迹为( ) A ．椭圆 B ．圆 C ．直线 D ．线段错解根据椭圆的定义，点M 的轨迹为椭圆，故选A.错因分析在椭圆的定义中，点M 到两定点F 1，F 2的距离之和必须大于两定点的距离，即|MF 1|＋|MF 2|>|F 1F 2|，亦即2a >2c .而本题中|MF 1|＋|MF 2|＝|F 1F 2|，所以点M 的轨迹不是椭圆，而是线段F 1F 2.正解因为点M 到两定点F 1，F 2的距离之和为|F 1F 2|，所以点M 的轨迹是线段F 1F 2. 答案 D3．忽视标准方程的特征而致误例3 设抛物线y ＝mx 2 (m ≠0)的准线与直线y ＝1的距离为3，求抛物线的标准方程．错解抛物线y ＝mx 2 (m ≠0)的准线方程为y ＝－m4.又与直线y ＝1的距离为3的直线为y ＝－2或y ＝4. 故－m 4＝－2或－m4＝4.∴m ＝8或m ＝－16.所以抛物线的标准方程为y ＝8x 2或y ＝－16x 2.错因分析错解忽视了抛物线标准方程中的系数，应位于一次项前这个特征，故本题应先化为x 2＝1m y 的形式，再求解.正解由于y ＝mx 2 (m ≠0)可化为x 2＝1m y ，其准线方程为y ＝－14m .由题意知－14m ＝－2或－14m ＝4，解得m ＝18或m ＝－116. 则所求抛物线的标准方程为x 2＝8y 或x 2＝－16y .4．涉及弦长问题时，忽视判别式Δ>0这一隐含条件而致误例4 正方形ABCD 的A ，B 两点在抛物线y ＝x 2上，另两点C ，D 在直线y ＝x －4上，求正方形的边长．错解 ∵AB 与直线y ＝x －4平行，∴设AB 的直线方程为y ＝x ＋b ，A (x 1，x 21)，B (x 2，x 22)，则由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋b ，y ＝x2⇒x 2－x －b ＝0， |AB |2＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝2(1＋4b )． ∵AB 与直线y ＝x －4间的距离为d ＝|b ＋4|2，∴2(1＋4b )＝(b ＋4)22，即b 2－8b ＋12＝0，解得b ＝2或b ＝6，∴|AB |＝32或|AB |＝5 2.错因分析在考虑直线AB 与抛物线相交时，必须有方程x 2－x －b ＝0的判别式Δ>0，以此来限制b 的取舍.正解 ∵AB 与直线y ＝x －4平行，∴设AB 的直线方程为y ＝x ＋b ，A (x 1，x 21)，B (x 2，x 22)，则由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋b ，y ＝x 2⇒x 2－x －b ＝0， |AB |2＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝2(1＋4b )． ∵AB 与直线y ＝x －4间的距离为d ＝|b ＋4|2，∴2(1＋4b )＝(b ＋4)22，即b 2－8b ＋12＝0，解得b ＝2或b ＝6，∵Δ＝1＋4b >0，∴b >－14.∴b ＝2或b ＝6都满足Δ>0，∴b ＝2或b ＝6. ∴|AB |＝32或|AB |＝5 2.5．求解抛物线标准方程时，忽略对焦点位置讨论致误例5 抛物线的焦点F 在x 轴上，点A (m ，－3)在抛物线上，且|AF |＝5，求抛物线的标准方程．错解一因为抛物线的焦点F 在x 轴上，且点A (m ，－3)在抛物线上，所以抛物线方程可设为y 2＝2px (p >0)．设点A 到准线的距离为d ，则d ＝|AF |＝p2＋m ，所以⎩⎪⎨⎪⎧(－3)2＝2pm ，p 2＋m ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧ p ＝1，m ＝92或⎩⎪⎨⎪⎧p ＝9，m ＝12. 所以抛物线方程为y 2＝2x 或y 2＝18x .错解二因为抛物线的焦点F 在x 轴上，且点A (m ，－3)在抛物线上，所以当m >0时，点A 在第四象限，抛物线方程可设为 y 2＝2px (p >0)．设点A 到准线的距离为d ，则d ＝|AF |＝p2＋m ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ (－3)2＝2pm ，p 2＋m ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧ p ＝1，m ＝92或⎩⎪⎨⎪⎧p ＝9，m ＝12. 所以抛物线方程为y 2＝2x 或y 2＝18x . 当m <0时，点A 在第三象限，抛物线方程可设为y 2＝－2px (p >0)，设点A 到准线的距离为d ，则d ＝|AF |＝p2＋m ，所以⎩⎪⎨⎪⎧(－3)2＝－2pm ，p 2＋m ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧ p ＝5＋34，m ＝5－342或⎩⎪⎨⎪⎧p ＝5－34，m ＝5＋342(舍去)．所以抛物线方程为y 2＝－2(5＋34)x .综上所述，抛物线方程为y 2＝－2(5＋34)x 或y 2＝2x 或y 2＝18x . 错因分析当抛物线的焦点位置无法确定时，需分类讨论.正解因为抛物线的焦点F 在x 轴上，且点A (m ，－3)在抛物线上，所以当m >0时，点A 在第四象限，抛物线方程可设为 y 2＝2px (p >0)，设点A 到准线的距离为d ，则d ＝|AF |＝p2＋m ，所以⎩⎪⎨⎪⎧(－3)2＝2pm ，p 2＋m ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧ p ＝1，m ＝92或⎩⎪⎨⎪⎧p ＝9，m ＝12，所以抛物线方程为y 2＝2x 或y 2＝18x .当m <0时，点A 在第三象限，抛物线的方程可设为y 2＝－2px (p >0)，设A 到准线的距离为d ，则d ＝|AF |＝p2－m ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ (－3)2＝－2pm ，p 2－m ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧ p ＝1，m ＝－92或⎩⎪⎨⎪⎧p ＝9，m ＝－12.所以抛物线方程为y 2＝－2x 或y 2＝－18x .综上所述，抛物线方程为y 2＝－2x 或y 2＝－18x 或y 2＝2x 或y 2＝18x .9 圆锥曲线中的数学思想方法1．方程思想方程思想就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或解方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决．本章中，方程思想的应用最为广泛．例1 已知直线y ＝－12x ＋2和椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)相交于A ，B 两点，且a ＝2b ，若|AB |＝25，求椭圆的方程．解由⎩⎨⎧y ＝－12x ＋2，x 24b 2＋y2b 2＝1消去y 并整理得x 2－4x ＋8－2b 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则由根与系数的关系得x 1＋x 2＝4，x 1x 2＝8－2b 2. ∵|AB |＝25，∴ 1＋14·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝25，即52·16－4(8－2b 2)＝25，解得b 2＝4，故a 2＝4b 2＝16. ∴所求椭圆的方程为x 216＋y 24＝1.2．函数思想很多与圆锥曲线有关的问题中的各个数量在运动变化时，都是相互联系、相互制约的，它们之间构成函数关系．这类问题若用函数思想来分析、寻找解题思路，会有很好的效果．一些最值问题常用函数思想，运用根与系数的关系求弦的中点和弦长问题，是经常使用的方法．例2 若点(x ，y )在x 24＋y 2b 2＝1 (b >0)上运动，求x 2＋2y 的最大值．解 ∵x 24＋y 2b 2＝1 (b >0)，∴x 2＝4⎝⎛⎭⎫1－y 2b 2≥0，即－b ≤y ≤b .∴x 2＋2y ＝4⎝⎛⎭⎫1－y2b 2＋2y ＝－4y 2b 2＋2y ＋4＝－4b 2⎝⎛⎭⎫y －b 242＋4＋b 24.当b 24≤b ，即0<b ≤4时，若y ＝b 24，则x 2＋2y 取得最大值，其最大值为4＋b 24；当b 24>b ，即b >4时，若y ＝b ，则x 2＋2y 取得最大值，其最大值为2b .综上所述，x 2＋2y 的最大值为⎩⎪⎨⎪⎧4＋b 24， 0<b ≤4，2b ， b >4. 3．转化和化归思想在解决圆锥曲线的综合问题时，经常利用转化和化归思想．转化题中的已知条件和所求，真正化归为直线和圆锥曲线的基本问题．这里的转化和化归非常关键，没有转化和化归，就很难找到解决问题的途径和方法．例3 如图所示，已知椭圆x 224＋y 216＝1，直线l ：x ＝12，P 是l 上任意一点，射线OP 交椭圆于点R ，又点Q 在线段OP 上，且满足|OQ |·|OP |＝|OR |2，当点P 在l 上运动时，求点Q 的轨迹方程．解设P (12，y P )，R (x R ，y R )，Q (x ，y )，∠POx ＝α. ∵|OR |2＝|OQ |·|OP |，∴⎝⎛⎭⎫|OR |cos α2＝|OQ |cos α·|OP |cos α. 由题意知x R >0，x >0，∴x 2R ＝x ·12.① 又∵O ，Q ，R 三点共线，∴k OQ ＝k OR ，即y x ＝y R x R .② 由①②得y 2R ＝12y 2x.③ ∵点R (x R ，y R )在椭圆x 224＋y 216＝1上，∴x 2R 24＋y 2R16＝1.④由①③④得2(x －1)2＋3y 2＝2 (x >0)，∴点Q 的轨迹方程是2(x －1)2＋3y 2＝2 (x >0)． 4．分类讨论思想本章中，涉及的字母参数较多，同时圆锥曲线的焦点可能在x 轴上，也可能在y 轴上，所以必须要注意分类讨论．例4 求与双曲线x 24－y 2＝1有共同的渐近线且焦距为10的双曲线的方程．分析由题意可设所求双曲线的方程为x 24－y 2＝λ (λ≠0)，将λ分为λ>0，λ<0两种情况进行讨论．解由题意可设所求双曲线的方程为x 24－y 2＝λ (λ≠0)，即x 24λ－y 2λ＝1 (λ≠0)．当λ>0时，c 2＝4λ＋λ＝5λ＝25，即λ＝5， ∴所求双曲线的方程为x 220－y 25＝1.当λ<0时，c 2＝(－4λ)＋(－λ)＝－5λ＝25，即λ＝－5， ∴所求双曲线的方程为y 25－x 220＝1.综上所述，所求双曲线的方程为 x 220－y 25＝1或y 25－x 220＝1. 5．数形结合思想利用数形结合思想，可以解决某些最值、轨迹、参数范围等问题．例5 在△ABC 中，BC 边固定，顶点A 在移动，设|BC |＝m ，当三个角满足条件|sin C －sin B |＝12|sin A |时，求顶点A 的轨迹方程．解以BC 所在直线为x 轴，线段BC 的中垂线为y 轴，建立直角坐标系，如图所示．则B ⎝⎛⎭⎫－m 2，0，C ⎝⎛⎭⎫m2，0. 设点A 坐标(x ，y )，由题设，得|sin C －sin B |＝12|sin A |.根据正弦定理，得||AB |－|AC ||＝12m <m ＝|BC |.可知点A 在以B 、C 为焦点的双曲线上． 2a ＝12m ，∴a ＝m 4.又c ＝12m ，∴b 2＝c 2－a 2＝m 24－m 216＝316m 2. 故所求点A 的轨迹方程为16x 2m 2－16y 23m2＝1(y ≠0).。

2018版高中数学人教B版选修2-1学案：2.4.1 抛物线的标准方程

2.4.1抛物线的标准方程学习目标 1.掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念.2.掌握抛物线的标准方程及其推导.3.明确抛物线标准方程中p的几何意义，并能解决简单的求抛物线标准方程问题．知识点一抛物线的定义思考1平面内，到两定点距离相等的点的轨迹是什么？思考2平面内，到两个确定平行直线l1，l2距离相等的点的轨迹是什么？思考3到定点的距离与到定直线的距离相等的点的轨迹是什么？梳理(1)平面内与一个定点F和一条定直线l(F∉l)距离________的点的轨迹叫做抛物线．定点F叫做抛物线的________，定直线l叫做抛物线的________．(2)定义的实质可归纳为“一动三定”：一个动点，设为M；一个定点F(抛物线的焦点)；一条定直线(抛物线的准线)；一个定值(即点M到点F的距离与它到定直线l的距离之比等于1∶1)．知识点二抛物线的标准方程思考抛物线的标准方程有何特点？梳理由于抛物线焦点位置不同，方程也就不同，故抛物线的标准方程有以下几种形式：y2＝2px(p>0)，y2＝－2px(p>0)，x2＝2py(p>0)，x2＝－2py(p>0)．现将这四种抛物线对应的图形、标准方程、焦点坐标及准线方程列表如下：例1(1)动点M的坐标满足方程5x2＋y2＝|3x＋4y－12|，则动点M的轨迹是()A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．以上都不对(2)已知点P(x，y)在以原点为圆心的单位圆x2＋y2＝1上运动，则点Q(x＋y，xy)的轨迹所在的曲线是________．(在圆、抛物线、椭圆、双曲线中选择一个作答)反思与感悟抛物线的判断方法(1)可以看动点是否符合抛物线的定义，即到定点的距离等于到定直线(直线不过定点)的距离．(2)求出动点的轨迹方程，看方程是否符合抛物线的方程．跟踪训练1平面上动点P到定点F(1，0)的距离比点P到y轴的距离大1，求动点P的轨迹方程．类型二抛物线标准方程及求解命题角度1 抛物线的焦点坐标或准线方程的求解例2 抛物线y 2＝4x 的焦点到双曲线x 2－y 23＝1的渐近线的距离是( )A.12B.32C ．1D. 3 反思与感悟根据抛物线方程求准线方程或焦点坐标时，应先把抛物线的方程化为标准方程，即等式左端是二次项且系数是1，等式右端是一次项，这样才能准确写出抛物线的准线方程．跟踪训练2 (1)若抛物线y 2＝2px 的焦点坐标为(1，0)，则p ＝________；准线方程为________． (2)求下列抛物线的焦点坐标和准线方程． ①y 2＝40x ；②4x 2＝y ；③3y 2＝5x ；④6y 2＋11x ＝0.命题角度2 求解抛物线的标准方程例3 根据下列条件分别求抛物线的标准方程． (1)抛物线的焦点是双曲线16x 2－9y 2＝144的左顶点；(2)抛物线的焦点F 在x 轴上，直线y ＝－3与抛物线交于点A ，|AF |＝5.反思与感悟抛物线标准方程的求法(1)定义法：建立适当坐标系，利用抛物线的定义列出动点满足的条件，列出方程，进行化简，根据定义求出p ，最后写出标准方程．(2)待定系数法：由于标准方程有四种形式，因而在求方程时应首先确定焦点在哪一个半轴上，进而确定方程的形式，然后再利用已知条件确定p 的值．跟踪训练3 已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x 轴，抛物线上的点M (－3，m )到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m 的值，并写出抛物线的焦点坐标和准线方程．类型三抛物线在实际生活中的应用例4 河上有一抛物线形拱桥，当水面距拱桥顶5m 时，水面宽为8m ，一小船宽4m 、高2m ，载货后船露出水面上的部分高0.75m ，问：水面上涨到与抛物线拱桥拱顶相距多少米时，小船开始不能通航？反思与感悟涉及拱桥、隧道的问题，通常需建立适当的平面直角坐标系，利用抛物线的标准方程进行求解．跟踪训练4 喷灌的喷头装在直立管柱OA 的顶点A 处，喷出水流的最高点B 高5m ，且与OA 所在的直线相距4m ，水流落在以O 为圆心，半径为9m 的圆上，则管柱OA 的长是多少？1．抛物线y ＝14x 2的准线方程是( )A ．y ＝－1B ．y ＝－2C ．x ＝－1D ．x ＝－22．已知抛物线的顶点在原点，焦点在y 轴上，抛物线上的点P (m ，－2)到焦点的距离为4，则m 的值为( ) A ．4 B ．－2 C ．4或－4D ．12或－23．若抛物线y 2＝2px (p >0)上的动点Q 到焦点的距离的最小值为1，则p ＝________. 4．若抛物线y 2＝2px (p >0)的准线经过双曲线x 2－y 2＝1的一个焦点，则p ＝________. 5．已知M 为抛物线y 2＝4x 上一动点，F 为抛物线的焦点，定点N (2，3)，则|MN |＋|MF |的最小值为________．1．焦点在x 轴上的抛物线，其标准方程可以统设为y 2＝mx (m ≠0)，此时焦点为F (m4，0)，准线方程为x ＝－m4；焦点在y 轴上的抛物线，其标准方程可以统设为x 2＝my (m ≠0)，此时焦点为F (0，m 4)，准线方程为y ＝－m4.2．设M 是抛物线上一点，焦点为F ，则线段MF 叫做抛物线的焦半径．若M (x 0，y 0)在抛物线y 2＝2px (p >0)上，则根据抛物线的定义，抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离可以相互转化，所以焦半径|MF |＝x 0＋p2.3．对于抛物线上的点，利用定义可以把其到焦点的距离转化为到准线的距离，也可以把其到准线的距离转化为到焦点的距离，因此可以解决有关距离的最值问题．提醒：完成作业第二章 2.4.1答案精析问题导学知识点一思考1 连接两定点所得线段的垂直平分线．思考2 一条直线．思考3 抛物线．梳理 (1)相等焦点准线知识点二思考 (1)以方程的解为坐标的点在抛物线上；(2)对称轴为坐标轴；(3)p 为大于0的常数，其几何意义表示焦点到准线的距离；(4)准线与对称轴垂直，垂足与焦点关于原点对称；(5)焦点、准线到原点的距离都等于p2.题型探究例1 (1)C (2)抛物线跟踪训练1 解方法一设点P 的坐标为(x ，y )，则有(x －1)2＋y 2＝|x |＋1，两边平方并化简得y 2＝2x ＋2|x |.∴y 2＝⎩⎪⎨⎪⎧4x ， x ≥0，0， x <0.即点P 的轨迹方程为y 2＝⎩⎪⎨⎪⎧4x ， x ≥0，0， x <0.方法二由题意，动点P 到定点F (1，0)的距离比到y 轴的距离大1，由于点F (1，0)到y 轴的距离为1，故当x <0时，直线y ＝0上的点适合条件；当x ≥0时，原命题等价于点P 到点F (1，0)与到直线x ＝－1的距离相等，故点P 的轨迹是以F 为焦点，x ＝－1为准线的抛物线，方程为y 2＝4x . 故所求动点P 的轨迹方程为y 2＝⎩⎪⎨⎪⎧4x ， x ≥0，0， x <0.例2 B跟踪训练2 (1)2 x ＝－1(2)解 ①焦点坐标为(10，0)，准线方程为x ＝－10. ②由4x 2＝y 得x 2＝14y .∵2p ＝14，∴p ＝18.∴焦点坐标为(0，116)，准线方程为y ＝－116.③由3y 2＝5x ，得y 2＝53x .∵2p ＝53，∴p ＝56.∴焦点坐标为(512，0)，准线方程为x ＝－512.④由6y 2＋11x ＝0，得y 2＝－116x ，故焦点坐标为(－1124，0)，准线方程为y ＝1124.例3 解 (1)双曲线方程可化为x 29－y 216＝1，左顶点为(－3，0)，由题意设抛物线方程为y 2＝－2px (p >0)且－p2＝－3，∴p ＝6，∴抛物线的方程为y 2＝－12x .(2)设所求焦点在x 轴上的抛物线的方程为y 2＝2px (p ≠0)，A (m ，－3)，由抛物线定义得5＝|AF |＝⎪⎪⎪⎪m ＋p 2. 又(－3)2＝2pm ，∴p ＝±1或p ＝±9，故所求抛物线方程为y 2＝±2x 或y 2＝±18x .跟踪训练3 解设抛物线方程为y 2＝－2px (p >0)，则焦点F ⎝⎛⎭⎫－p2，0，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧m 2＝6p ， m 2＋⎝⎛⎭⎫3－p 22＝5，解得⎩⎨⎧ p ＝4，m ＝26或⎩⎨⎧p ＝4，m ＝－2 6.故所求的抛物线方程为y 2＝－8x ， m ＝±2 6.抛物线的焦点坐标为(－2，0)，准线方程为x ＝2.例4 解如图，以拱桥的拱顶为原点，以过拱顶且平行于水面的直线为x 轴，建立平面直角坐标系．设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)，由题意可知，点B (4，－5)在抛物线上，故p ＝85，得x 2＝－165y .当船面两侧和抛物线接触时，船不能通航，设此时船面宽为AA ′，则A (2，y A )，由22＝－165y A ，得y A ＝－54.又知船面露出水面上的部分高为0.75m ，所以h ＝|y A |＋0.75＝2(m)．所以水面上涨到与抛物线形拱桥拱顶相距2m 时，小船开始不能通航．跟踪训练4 解如图所示，建立直角坐标系，设水流所形成的抛物线的方程为x 2＝－2py (p >0)，因为点C (5，－5)在抛物线上，所以25＝－2p ·(－5)，因此2p ＝5，所以抛物线的方程为x 2＝－5y ，点A (－4，y 0)在抛物线上，所以16＝－5y 0，即y 0＝－165，所以OA 的长为5－165＝1.8(m)．所以管柱OA 的长为1.8m. 当堂训练1．A 2.C 3.2 4.22 5.10。

2018版高中数学人教B版选修2-1学案：2-1-1 曲线与方程的概念精品

2.1.1曲线与方程的概念学习目标 1.了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系.2.初步领会“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念.3.学会根据已有的情境资料找规律，学会分析、判断曲线与方程的关系，强化“形”与“数”的统一以及相互转化的思想方法．知识点一曲线与方程的概念思考1设平面内有一动点P，属于下列集合的点组成什么图形？(1){P|P A＝PB}(A，B是两个定点)；(2){P|PO＝3 cm}(O为定点)．思考2到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是什么？为什么？梳理一般地，一条曲线可以看成动点依某种条件运动的轨迹，所以曲线的方程又常称为满足某种条件的点的____________．一个二元方程总可以通过移项写成F(x，y)＝0的形式，其中F(x，y)是关于x，y的解析式．在平面直角坐标系中，如果曲线C与方程F(x，y)＝0之间具有如下关系：①________________________都是方程F(x，y)＝0的解；②以方程F(x，y)＝0的解为坐标的点都在________C上．那么，方程F(x，y)＝0叫做______________；曲线C叫做______________．知识点二曲线的方程与方程的曲线解读思考1曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解，能否说f(x，y)＝0是曲线C的方程？试举例说明．思考2方程x－y＝0 能否表示直角坐标系中的第一、三象限的角平分线？方程x－y＝0呢？梳理(1)曲线的方程和方程的曲线是两个不同的概念，是从不同角度出发的两种说法．曲线C的点集和方程f(x，y)＝0的解集之间是一一对应的关系，曲线的性质可以反映在它的方程上，方程的性质又可以反映在曲线上．定义中的条件①说明曲线上的所有点都适合这个方程；条件②说明适合方程的点都在曲线上而毫无遗漏．(2)曲线的方程和方程的曲线有着紧密的关系，通过曲线上的点与实数对(x，y)建立了______________关系，使方程成为曲线的代数表示，通过研究方程的性质可间接地研究曲线的性质．类型一曲线与方程的概念理解与应用命题角度1曲线与方程的判定例1命题“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”是正确的，下列命题中正确的是()A．方程f(x，y)＝0的曲线是CB．方程f(x，y)＝0的曲线不一定是CC．f(x，y)＝0是曲线C的方程D．以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上反思与感悟解决“曲线”与“方程”的判定这类问题(即判定方程是不是曲线的方程或判定曲线是不是方程的曲线)，只要一一检验定义中的“两性”是否都满足，并作出相应的回答即可．判断点是否在曲线上，就是判断点的坐标是否适合曲线的方程．跟踪训练1设方程f(x，y)＝0的解集非空，如果命题“坐标满足方程f(x，y)＝0的点都在曲线C上”是不正确的，那么下列命题正确的是()A．坐标满足方程f(x，y)＝0的点都不在曲线C上B．曲线C上的点的坐标都不满足方程f(x，y)＝0C．坐标满足方程f(x，y)＝0的点有些在曲线C上，有些不在曲线C上D．一定有不在曲线C上的点，其坐标满足f(x，y)＝0命题角度2 曲线与方程的概念应用例2 证明与两条坐标轴的距离的积是常数k (k >0)的点的轨迹方程是xy ＝±k .反思与感悟解决此类问题要从两方面入手：(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解，即直观地说“点不比解多”，称为纯粹性；(2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上，即直观地说“解不比点多”，称为完备性，只有点和解一一对应，才能说曲线是方程的曲线，方程是曲线的方程．跟踪训练2 写出方程(x ＋y －1)x －1＝0表示的曲线．类型二曲线与方程关系的应用例3 已知方程x 2＋(y －1)2＝10.(1)判断点P (1，－2)，Q (2，3)是否在此方程表示的曲线上； (2)若点M ⎝⎛⎭⎫m2，－m 在此方程表示的曲线上，求m 的值．反思与感悟判断曲线与方程关系问题时，可以利用曲线与方程的定义；也可利用互为逆否关系的命题的真假性一致判断．跟踪训练3 若曲线y 2－xy ＋2x ＋k ＝0过点(a ，－a )(a ∈R )，求k 的取值范围．1．曲线f (x ，y )＝0关于直线x －y －3＝0对称的曲线方程为( ) A ．f (x －3，y )＝0 B ．f (y ＋3，x )＝0 C ．f (y －3，x ＋3)＝0D ．f (y ＋3，x －3)＝02．方程xy 2－x 2y ＝2x 所表示的曲线( ) A ．关于x 轴对称 B ．关于y 轴对称 C ．关于原点对称D ．关于直线x －y ＝0对称3．方程4x 2－y 2＋6x －3y ＝0表示的图形为________．4．若曲线ax 2＋by 2＝4过点A (0，－2)，B (12，3)，则a ＝________，b ＝________.5．方程(x 2－4)2＋(y 2－4)2＝0表示的图形是________．1．判断点是否在某个方程表示的曲线上，就是检验该点的坐标是不是方程的解，是否适合方程．若适合方程，就说明点在曲线上；若不适合，就说明点不在曲线上．2．已知点在某曲线上，可将点的坐标代入曲线的方程，从而可研究有关参数的值或范围问题．提醒：完成作业第二章 2.1.1答案精析问题导学知识点一思考1(1)线段AB的垂直平分线；(2)以O为圆心，3 cm为半径的圆．思考2y＝±x.在直角坐标系中，到两坐标轴距离相等的点M的坐标(x0，y0)满足y0＝x0或y0＝－x0，即(x0，y0)是方程y＝±x的解；反之，如果(x0，y0)是方程y＝x或y＝－x的解，那么以(x0，y0)为坐标的点到两坐标轴距离相等．梳理轨迹方程①曲线C上点的坐标②曲线曲线的方程方程的曲线知识点二思考1不能．还要验证以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点是否都在曲线上．例如曲线C为“以原点为圆心，以2为半径的圆的上半部分”与“方程x2＋y2＝4”，曲线上的点都满足方程，但曲线的方程不是x2＋y2＝4.思考2方程x－y＝0不能表示直角坐标系中的第一、三象限的角平分线．因为第一、三象限角平分线上的点不全是方程x－y＝0的解．例如，点A(－2，－2)不满足方程，但点A是第一、三象限角平分线上的点．方程x－y＝0能够表示第一、三象限的角平分线．梳理(2)一一对应题型探究例1 B跟踪训练1 D例2证明①如图，设M(x0，y0)是轨迹上的任意一点．因为点M与x轴的距离为|y0|，与y轴的距离为|x0|，所以|x0|·|y0|＝k，即(x0，y0)是方程xy＝±k的解．②设点M1的坐标(x1，y1)是方程xy＝±k的解，则x1y1＝±k，即|x1|·|y1|＝k.而|x1|，|y1|正是点M1到纵轴、横轴的距离，因此点M1到这两条直线的距离的积是常数k，点M1是曲线上的点．由①②可知，xy＝±k是与两条坐标轴的距离的积为常数k(k>0)的点的轨迹方程．跟踪训练2 解由方程(x ＋y －1)·x －1＝0可得⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，x ＋y －1＝0或x －1＝0.即x ＋y －1＝0(x ≥1)或x ＝1，∴方程表示直线x ＝1和射线x ＋y －1＝0(x ≥1)．例3 解 (1)∵12＋(－2－1)2＝10， (2)2＋(3－1)2＝6≠10，∴P (1，－2)在方程x 2＋(y －1)2＝10表示的曲线上，Q (2，3)不在此曲线上．(2)∵M ⎝⎛⎭⎫m 2，－m 在方程x 2＋(y －1)2＝10表示的曲线上，∴⎝⎛⎭⎫m22＋(－m －1)2＝10.解得m ＝2或m ＝－185.跟踪训练3 解 ∵曲线y 2－xy ＋2x ＋k ＝0过点(a ，－a )， ∴a 2＋a 2＋2a ＋k ＝0.∴k ＝－2a 2－2a ＝－2⎝⎛⎭⎫a ＋122＋12. ∴k ≤12，∴k 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，12. 当堂训练1．D 2.C 3.两条相交直线 4．4 1 5.4个点。

2018版高中数学人教B版选修2-1学案2.2.1 椭圆的标准方程(一)

椭圆的标准方程(一)
学习目标.了解椭圆的实际背景，经历从具体情境中抽象出椭圆的过程、椭圆标准方程的推导与化简过程.掌握椭圆的定义、标准方程及几何图形．
知识点一椭圆的定义
思考给你两个图钉、一根无弹性的细绳、一张纸板，一支铅笔，如何画出一个椭圆？
思考在上述画椭圆过程中，笔尖移动需满足哪些条件？如果改变这些条件，笔尖运动时形成的轨迹是否还为椭圆？
梳理()我们把平面内与两个定点，的距离的和等于(大于)的点的轨迹(或集合)叫做．这两个定点叫做椭圆的，两焦点间的距离叫做椭圆的．
()椭圆的定义用集合语言叙述为：
＝{＋＝，>}．
()与的大小关系所确定的点的轨迹如下表：
条件结论
>动点的轨迹是椭圆
＝动点的轨迹是线段
<动点不存在，因此轨迹不存在
知识点二椭圆的标准方程
思考在椭圆的标准方程中>>一定成立吗？
思考若两定点、间的距离为，动点到两定点的距离之和为，如何求出点的轨迹方程？
梳理()椭圆标准方程的两种形式
焦点位置标准方程焦点焦距
焦点在轴上＋＝(>>)(－，)，
，
焦点在轴上＋＝(>>)
(，)
()椭圆的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系
椭圆在坐标系中的位置。

2018版高中数学人教B版选修2-1学案：2-1-2 由曲线求它

2.1.2由曲线求它的方程、由方程研究曲线的性质学习目标 1.了解用坐标法研究几何问题的有关知识和观点，感受曲线的实际背景，明确其刻画现实世界和解决实际问题的作用.2.了解解析几何的基本思想、明确它所研究的基本问题.3.初步掌握根据已知条件求曲线方程的方法，同时进一步加深理解“曲线的方程、方程的曲线”的概念.知识点一坐标法的思想思考1怎样理解建立平面直角坐标系是解析几何的基础？思考2依据一个给定的平面图形，选取的坐标系唯一吗？梳理(1)坐标法：借助于___________，通过研究方程的性质间接地来研究曲线性质的方法．(2)解析几何研究的主要问题：①通过曲线研究方程：根据已知条件，求出____________________．②通过方程研究曲线：通过曲线的方程，研究__________．知识点二求曲线的方程的步骤类型一直接法求曲线的方程例1一个动点P到直线x＝8的距离是它到点A(2，0)的距离的2倍．求动点P的轨迹方程．引申探究若将本例中的直线改为“y ＝8”，求动点P 的轨迹方程．反思与感悟直接法求动点轨迹的关键及方法(1)关键：①建立恰当的平面直角坐标系；②找出所求动点满足的几何条件．(2)方法：求曲线的方程遵循求曲线方程的五个步骤，在实际求解时可简化为三大步骤：建系、设点；根据动点满足的几何条件列方程；对所求的方程化简、说明．特别提醒：直接法求动点轨迹方程的突破点是将几何条件代数化．跟踪训练1 已知两点M (－1，0)，N (1，0)，且点P 使MP →·MN →，PM →·PN →，NM →·NP →成公差小于零的等差数列．求点P 的轨迹方程．类型二代入法求解曲线的方程例2 动点M 在曲线x 2＋y 2＝1上移动，M 和定点B (3，0)连线的中点为P ，求P 点的轨迹方程．反思与感悟代入法求解轨迹方程的步骤 (1)设动点P (x ，y )，相关动点M (x 0，y 0)．(2)利用条件求出两动点坐标之间的关系⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝f (x ，y )，y 0＝g (x ，y ).(3)代入相关动点的轨迹方程． (4)化简、整理，得所求轨迹方程．跟踪训练2 △ABC 的顶点A 固定，点A 的对边BC 的长是2a ，边BC 上的高的长是b ，边BC 沿一条定直线移动，求△ABC 外心的轨迹方程．类型三根据曲线的方程求两曲线的交点例3 过点M (1，2)的直线与曲线y ＝ax (a ≠0)有两个不同的交点，且这两个交点的纵坐标之和为a ，求a 的取值范围．反思与感悟结合曲线方程的定义，两曲线的交点的坐标即为两曲线的方程构成的方程组的解，所以可以把求两曲线交点坐标的问题转化为解方程组的问题，讨论交点的个数问题转化为讨论方程组解的个数问题．若两曲线C 1和C 2的方程分别为F (x ，y )＝0和G (x ，y )＝0，则它们的交点坐标由方程组⎩⎪⎨⎪⎧F (x ，y )＝0，G (x ，y )＝0的解来确定．跟踪训练3 直线l ：y ＝k (x －5)(k ≠0)与圆O ：x 2＋y 2＝16相交于A ，B 两点，O 为圆心，当k 变化时，求弦AB 的中点M 的轨迹方程．1．曲线y ＝1x 与xy ＝2的交点是( )A ．(1，1)B ．(2，2)C ．直角坐标系内的任意一点D ．不存在2．方程x 2＋y 2＝1(xy <0)表示的曲线是( )3．直线x a ＋y2－a＝1与x ，y 轴交点的中点的轨迹方程是________________．4．已知⊙O 的方程是x 2＋y 2－2＝0，⊙O ′的方程是x 2＋y 2－8x ＋10＝0，由动点P 向⊙O 和⊙O ′所引的切线长相等，则动点P 的轨迹方程是________．5．M 为直线l ：2x －y ＋3＝0上的一动点，A (4，2)为一定点，又点P 在直线AM 上运动，且AP ∶PM ＝3，求动点P 的轨迹方程．求解轨迹方程常用方法(1)直接法：直接根据题目中给定的条件求解方程．(2)定义法：依据有关曲线的性质建立等量关系，从而确定其轨迹方程．(3)代入法：有些问题中，其动点满足的条件不便用等式列出，但动点是随着另一动点(称之为相关点)而运动的．如果相关点所满足的条件是明显的，或是可分析的，这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标，根据相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹方程，这种求轨迹的方法叫做相关点法或代入法．(4)参数法：将x，y用一个或几个参数来表示，消去参数得轨迹方程，此法称为参数法．(5)待定系数法：根据条件能知道曲线的类型，可先根据曲线方程的一般形式设出方程，再根据条件确定待定的系数．提醒：完成作业第二章 2.1.2答案精析问题导学知识点一思考1 只有建立了平面直角坐标系，才有点的坐标，才能将曲线代数化，进一步用代数法研究几何问题．思考2 不唯一，常以得到的曲线方程最简单为标准．梳理 (1)坐标系 (2)①表示曲线的方程 ②曲线的性质有序实数对(x ，y ) P ＝{M |P (M )} P (M ) f (x ，y )＝0 f (x ，y )＝0 方程的解题型探究例1 解设P (x ，y )，则|8－x |＝2|P A |. 则|8－x |＝2(x －2)2＋(y －0)2，化简，得3x 2＋4y 2＝48，故动点P 的轨迹方程为3x 2＋4y 2＝48. 引申探究解设P (x ，y )，则P 到直线y ＝8的距离d ＝|y －8|，又|P A |＝(x －2)2＋(y －0)2，故|y －8|＝2(x －2)2＋(y －0)2，化简，得4x 2＋3y 2－16x ＋16y －48＝0.故动点P 的轨迹方程为4x 2＋3y 2－16x ＋16y －48＝0. 跟踪训练1 解设点P (x ，y )，由M (－1，0)，N (1，0)，得PM →＝－MP →＝(－1－x ，－y )， PN →＝－NP →＝(1－x ，－y )， MN →＝－NM →＝(2，0)． ∴MP →·MN →＝2(x ＋1)， PM →·PN →＝x 2＋y 2－1， NM →·NP →＝2(1－x )．于是，MP →·MN →，PM →·PN →，NM →·NP →成公差小于零的等差数列等价于⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－1＝12[2(x ＋1)＋2(1－x )]，2(1－x )－2(x ＋1)<0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝3，x >0. ∴点P 的轨迹方程为x 2＋y 2＝3(x >0)．例2 解设P (x ，y )，M (x 0，y 0)，因为P 为MB 的中点，所以⎩⎨⎧x ＝x 0＋32，y ＝y2，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －3，y 0＝2y ，又因为M 在曲线x 2＋y 2＝1上，所以(2x －3)2＋4y 2＝1.所以P 点的轨迹方程为(2x －3)2＋4y 2＝1.跟踪训练2 解如图所示，以BC 所在的定直线为x 轴，以过A 点与x 轴垂直的直线为y 轴，建立直角坐标系，则A 点的坐标为(0，b )．设△ABC 的外心为M (x ，y )，作MN ⊥BC 于N ，则MN 是BC 的垂直平分线． ∵|BC |＝2a ，∴|BN |＝a ，|MN |＝|y |. 又M 是△ABC 的外心， ∴M ∈{M ||MA |＝|MB |}．而|MA |＝x 2＋(y －b )2， |MB |＝|MN |2＋|BN |2＝a 2＋y 2， ∴x 2＋(y －b )2＝a 2＋y 2，化简，得所求轨迹方程为x 2－2by ＋b 2－a 2＝0.例3 解当过M 点的直线斜率为零或斜率不存在时，不可能与曲线有两个公共点．设直线方程为y －2＝k (x －1)(k ≠0)，联立曲线方程，得⎩⎪⎨⎪⎧y －2＝k (x －1)，y ＝a x ，消去x ，得y 2－(2－k )y －ka ＝0.①当此方程有两个不同的根，即方程组有两个不同的解时，直线与曲线有两个不同的交点．∴Δ＝[－(2－k )]2＋4ka >0.设方程①的两根分别为y 1，y 2，由根与系数的关系，得y 1＋y 2＝2－k . 又∵y 1＋y 2＝a ，∴k ＝2－a ，代入Δ>0中，得a 2＋4a (2－a )>0，解得0<a <83.又∵k ≠0，∴2－a ≠0，即a ≠2. ∴a 的取值范围是(0，2)∪(2，83)．跟踪训练3 解设M (x ，y )，易知直线恒过定点P (5，0)，再由OM ⊥MP ，得|OP |2＝|OM |2＋|MP |2， ∴x 2＋y 2＋(x －5)2＋y 2＝25，整理得(x －52)2＋y 2＝254.∵点M 应在圆内，∴所求的轨迹为圆内的部分．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧(x －52)2＋y 2＝254，x 2＋y 2＝16，得两曲线交点的横坐标为x ＝165，故所求轨迹方程为(x －52)2＋y 2＝254(0≤x <165)．当堂训练 1．D 2.D3．x ＋y －1＝0(x ≠0，x ≠1) 4.x ＝325．解设点M ，P 的坐标分别为M (x 0，y 0)，P (x ，y )，由题设及向量共线条件可得⎩⎪⎨⎪⎧4x ＝4＋3x 0，4y ＝3y 0＋2，所以⎩⎨⎧x 0＝4x －43，y 0＝4y －23，因为点M (x 0，y 0)在直线2x －y ＋3＝0上，所以2×4x －43－4y －23＋3＝0，即8x－4y＋3＝0，从而点P的轨迹方程为8x－4y＋3＝0.。

2018年秋新课堂高中数学人教B版选修2-1学案：第2章 2.2 2.2.2 椭圆的几何性质(一) Word版含答案

2.2.2椭圆的几何性质(一)学习目标：1.根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形.2.根据几何条件求出曲线方程，并利用曲线的方程研究它的性质、图形．(重点、难点)[自主预习·探新知]椭圆的简单几何性质[提示]最大距离：a＋c；最小距离：a－c.(2)椭圆方程x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)中a，b，c的几何意义是什么？[提示]在方程x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)中，a，b，c的几何意义如图所示．即a，b，c正好构成了一个以对称中心，一个焦点、一个短轴顶点构成的直角三角形．[基础自测]1．思考辨析(1)椭圆离心率越大，椭圆越圆．( )(2)x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)与y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的焦距相等．( ) (3)已知椭圆x 2k ＋8＋y 29＝1的离心率e ＝12，则k 的值为4或－54.( )[提示] (1)× 离心率越大，椭圆越扁；离心率越小，椭圆越圆． (2)√(3)√ 由e 2＝1－b2a 2；又因椭圆的焦点在x 轴或在y 轴上，所以有两个值．当a ＞1时，焦点在x 轴上，a 2＝k ＋8，c 2＝k －1，又e ＝12，所以14＝k －1k ＋8，解得：k＝4；当k ＜1时，焦点在y 轴上，a 2＝9，c 2＝1－k ，又e ＝12，所以14＝1－k9，解得k ＝－54.2．椭圆6x 2＋y 2＝6的长轴端点坐标为( ) A ．(－1,0)(1,0) B ．(－6,0)，(6,0) C ．(－6，0)，(6，0)D ．(0，－6)，(0，6)D [x 2＋y 26＝1焦点在y 轴上，长轴端点坐标为(0，－6)，(0，6)．]3．椭圆x 2＋4y 2＝4的离心率为( ) A ．32 B ．34 C ．22D ．23A[x24＋y2＝1，a＝2，b＝1，c＝a2－b2＝3，e＝ca＝32.][合作探究·攻重难]坐标．[思路探究]化为标准方程，确定焦点位置及a，b，c的值，再研究相应的几何性质．[解]把已知方程化成标准方程x252＋y242＝1，可知a＝5，b＝4，所以c＝3.因此，椭圆的长轴和短轴的长分别是2a＝10和2b＝8，离心率e＝ca＝35，两个焦点分别是F1(－3,0)和F2(3,0)，椭圆的四个顶点是A1(－5,0)，A2(5,0)，B1(0，－4)和B2(0,4)．1．求椭圆9x2＋y2＝81的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率．[解]椭圆的标准方程为x29＋y281＝1，则a＝9，b＝3.c＝a2－b2＝62，长轴长2a＝18，短轴长2b＝6，焦点坐标为(0,62)，(0，－62)，顶点坐标(0,9)，(0，－9)，(3,0)，(－3,0)，离心率e＝ca＝223.(1)长轴长是10，离心率是4 5；(2)在x 轴上的一个焦点，与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6.【导学号：33242125】[思路探究] 先判断焦点位置并设出标准方程，再利用待定系数法求参数a ，b ，c .[解] (1)设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)或y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．由已知得2a ＝10，a ＝5.e ＝c a ＝45，∴c ＝4.∴b 2＝a 2－c 2＝25－16＝9.∴椭圆方程为x 225＋y 29＝1或x 29＋y 225＝1. (2)依题意可设椭圆方程为 x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．如图所示，△A 1F A 2为一等腰直角三角形，OF 为斜边A 1A 2的中线(高)，且|OF |＝c ，|A 1A 2|＝2b ，∴c ＝b ＝3，∴a 2＝b 2＋c 2＝18，故所求椭圆的方程为x 218＋y 29＝1.2．求满足下列各条件的椭圆的标准方程．(1)已知椭圆的中心在原点，焦点在y 轴上，其离心率为12，焦距为8. (2)短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为3.[解] (1)由题意知，2c ＝8，c ＝4， ∴e ＝c a ＝4a ＝12，∴a ＝8，从而b 2＝a 2－c 2＝48，∴椭圆的标准方程是y 264＋x 248＝1. (2)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2c ，a －c ＝3，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝23，c ＝ 3.从而b 2＝9， ∴所求椭圆的标准方程为x 212＋y 29＝1或x 29＋y 212＝1.[1．求椭圆离心率的关键是什么？[提示] 根据e ＝c a ，a 2－b 2＝c 2，可知要求e ，关键是找出a ，b ，c 的等量关系．2．a ，b ，c 对椭圆形状有何影响？[提示] (1)e ＝ca ＝a 2－b 2a 2＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2.已知F 1，F 2是椭圆的两个焦点，过F 1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A ，B 两点，若△ABF 2是正三角形，求该椭圆的离心率.【导学号：33242126】[思路探究] 由题设求得A 、B 点坐标，根据△ABC 是正三角形得出a ，b ，c 的关系，从而求出离心率．[解] 设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，焦点坐标为F 1(－c,0)，F 2(c,0)．依题意设A 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，b 2a ，则B 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，－b 2a ，所以|AB |＝2b 2a .由△ABF 2是正三角形得2c ＝32×2b 2a ，即3b 2＝2ac ，又∵b 2＝a 2－c 2， ∴3a 2－3c 2－2ac ＝0，两边同除以a 2得3⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＋2c a －3＝0，解得e ＝c a ＝33.。

2018版高中数学人教B版选修2-1学案2.1.1 曲线与方程的概念

曲线与方程的概念学习目标.了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系.初步领会“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念.学会根据已有的情境资料找规律，学会分析、判断曲线与方程的关系，强化“形”与“数”的统一以及相互转化的思想方法．知识点一曲线与方程的概念思考设平面内有一动点，属于下列集合的点组成什么图形？(){＝}(，是两个定点)；(){＝}(为定点)．思考到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是什么？为什么？梳理一般地，一条曲线可以看成动点依某种条件运动的轨迹，所以曲线的方程又常称为满足某种条件的点的．一个二元方程总可以通过移项写成(，)＝的形式，其中(，)是关于，的解析式．在平面直角坐标系中，如果曲线与方程(，)＝之间具有如下关系：①都是方程(，)＝的解；②以方程(，)＝的解为坐标的点都在上．那么，方程(，)＝叫做；曲线叫做．知识点二曲线的方程与方程的曲线解读思考曲线上的点的坐标都是方程(，)＝的解，能否说(，)＝是曲线的方程？试举例说明．思考方程－＝能否表示直角坐标系中的第一、三象限的角平分线？方程－＝呢？梳理()曲线的方程和方程的曲线是两个不同的概念，是从不同角度出发的两种说法．曲线的点集和方程(，)＝的解集之间是一一对应的关系，曲线的性质可以反映在它的方程上，方程的性质又可以反映在曲线上．定义中的条件①说明曲线上的所有点都适合这个方程；条件②说明适合方程的点都在曲线上而毫无遗漏．()曲线的方程和方程的曲线有着紧密的关系，通过曲线上的点与实数对(，)建立了关系，使方程成为曲线的代数表示，通过研究方程的性质可间接地研究曲线的性质．类型一曲线与方程的概念理解与应用命题角度曲线与方程的判定例命题“曲线上的点的坐标都是方程(，)＝的解”是正确的，下列命题中正确的是()．方程(，)＝的曲线是．方程(，)＝的曲线不一定是．(，)＝是曲线的方程．以方程(，)＝的解为坐标的点都在曲线上。

2018版高中数学人教B版选修2-1学案2.3.1 双曲线的标准方程

双曲线的标准方程
学习目标.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.掌握双曲线的标准方程及其求法.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题．
知识点一双曲线的定义
思考如图，若取一条拉链，拉开它的一部分，在拉开的两边上各选择一点，分别固定在点，上，把笔尖放在点处，拉开或闭拢拉链，笔尖经过的点可画出一条曲线，那么曲线上的点应满足怎样的几何条件？
梳理()平面内与两个定点，的距离的差的等于常数(小于且不等于零)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的，两焦点的距离叫做双曲线的；
()关于“小于”：①若将“小于”改为“等于”，其余条件不变，则动点轨迹是以，为端点的(包括端点)；②若将“小于”改为“大于”，其余条件不变，则动点轨迹不存在．
()若将“绝对值”去掉，其余条件不变，则动点的轨迹只有双曲线的．
()若常数为零，其余条件不变，则点的轨迹是．
知识点二双曲线的标准方程
思考双曲线的标准方程的推导过程是什么？
思考双曲线中，，的关系如何？与椭圆中，，的关系有何不同？
梳理()两种形式的标准方程
焦点所在的坐标轴轴轴
标准方程
图形
焦点坐标
，，的关系式
()焦点，的位置是双曲线定位的条件，它决定了双曲线标准方程的类型．“焦点跟着正项走”，若项的系数为正，则焦点在上；若项的系数为正，那么焦点在上．
()当双曲线的焦点位置不确定时，可设其标准方程为＋＝(<)．
()标准方程中的两个参数和，确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件，这里的＝与椭圆中的＝相区别．
类型一双曲线的定义及应用。

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2.4.2 抛物线的几何性质(一)
学习目标：1.了解抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、准线等几何性质．(重点)2.会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问题．(重点、难点)
[自主预习·探新知]
1．抛物线的几何性质
[提示] 参数p (p ＞0)对抛物线开口大小有影响，因为过抛物线的焦点F 且垂直于对称轴的弦的长度是2p ，所以p 越大，开口越大．
2．焦点弦
设过抛物线焦点的弦的端点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则：
1．思考辨析
(1)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．( )
(2)AB 为抛物线y 2
＝2px (p >0)的过焦点F ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
p 2，0的弦，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，
则x 1x 2＝p 2
4，y 1y 2＝－p 2，弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p .( )
(3)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫作抛物线的通径，那么抛物线x 2＝－2ay (a >0)的通径长为2a .( )
[提示] (1)× 抛物线是轴对称图形，但不是中心对称图形． (2)√ (3)√
2．顶点在原点，对称轴为y 轴，顶点到准线的距离为4的抛物线方程是 ( )
A ．x 2＝16y
B ．x 2＝8y
C ．x 2＝±8y
D ．x 2＝±16y
D [顶点在原点，对称轴为y 轴的抛物线方程有两个：x 2＝－2py ，x 2＝2py (p >0)．由顶点到准线的距离为4知p ＝8，故所求抛物线方程为x 2＝16y ，x 2＝－16y .]
3．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F ，点P 1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)、P 3(x 3，y 3)在抛物线上，且2x 2＝x 1＋x 3，则有( )
【导学号：33242183】
A ．|FP 1|＋|FP 2|＝|FP 3|
B ．|FP 1|2＋|FP 2|2＝|FP 3|2
C ．|FP 1|＋|FP 3|＝2|FP 2|
D ．|FP 1|·|FP 3|＝|FP 2|2
C [由抛物线定义知|FP 1|＝x 1＋p 2，|FP 2|＝x 2＋p 2，|FP 3|＝x 3＋p 2，∴|FP 1|＋|FP 3|＝2|FP 2|，故选C.]
[合作探究·攻重难]
直线，抛物线焦点到顶点的距离为3，求抛物线的方程及抛物线的准线方程．
[思路探究] 解答本题可先确定椭圆的短轴，从而确定抛物线的焦点位置，再写出标准方程即可．
[解] 椭圆的方程可化为x 24＋y 2
9＝1，其短轴在x 轴上， ∴抛物线的对称轴为x 轴，
∴设抛物线的方程为y 2＝2px 或y 2＝－2px (p >0)． ∵抛物线的焦点到顶点的距离为3，即p
2＝3，∴p ＝6，
∴抛物线的标准方程为y 2＝12x 或y 2＝－12x ，其准线方程分别为x ＝－3和x ＝3.
1．已知双曲线方程是x 28－y 2
9＝1，求以双曲线的右顶点为焦点的抛物线的标准方程及抛物线的准线方程．
[解] 因为双曲线x 28－y 29＝1的右顶点坐标为(22，0)，所以p
2＝22，且抛物线的焦点在x 轴正半轴上，所以，所求抛物线方程为y 2＝82x ，其准线方程为x ＝－2 2.
(1)求出该抛物线的顶点、焦点、准线、对称轴、变量x 的范围．
(2)以坐标原点O 为顶点，作抛物线的内接等腰三角形OAB ，|OA |＝|OB |，若
焦点F 是△OAB 的重心，求△OAB 的周长.
【导学号：33242184】
[思路探究] (1)利用抛物线对应性质的公式求解；(2)利用抛物线的对称性即重心的性质求解．
[解] (1)抛物线y 2＝8x 的顶点、焦点、准线、对称轴、变量x 的范围分别为(0,0)，(2,0)，x ＝－2，x 轴，x ≥0.
(2)如图所示．由|OA |＝|OB |可知AB ⊥x 轴，垂足为点M ，又焦点F 是△OAB 的重心，
则|OF |＝2
3|OM |.
因为F (2,0)，所以|OM |＝3
2|OF |＝3，所以M (3,0)，故设A (3，m )．代入y 2＝8x 得m 2＝24，所以m ＝26或m ＝－26，所以A (3,26)，B (3，－26)，所以|OA |＝|OB |＝33，
所以△OAB 的周长为233＋4 6.
2．正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y 2＝2px (p >0)上，求这个正三角形的边长.
[解] 如图所示，设正三角形OAB 的顶点A ，B 在抛物线上，且坐标分别为
A (x 1，y 1)，
B (x 2，y 2)，则y 21＝2px 1，y 22＝2px 2.
又OA ＝OB ，所以x 21＋y 21＝x 22＋y 2
2，即x 21－x 22＋2px 1－2px 2＝0，
整理得(x 1－x 2)(x 1＋x 2＋2p )＝0. ∵x 1＞0，x 2＞0,2p ＞0， ∴x 1＝x 2，由此可得|y 1|＝|y 2|，即线段AB 关于x 轴对称．由此得∠AOx ＝30°，
所以y 1＝33x 1，与y 21＝2px 1联立，解得y 1＝23p .∴|AB |＝2y 1＝43p .
[以抛物线y 2＝2px (p ＞0)为例，回答下列问题：
问题1：过焦点F 的弦长|AB |如何表示？还能得到哪些结论？ [提示] (1)|AB |＝2⎝ ⎛
⎭⎪⎫x 0＋p 2(焦点弦长与中点关系)．
(2)|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2p
sin 2θ(θ为AB 的倾斜角)．
(3)A ，B 两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值，即x 1·x 2＝p 2
4，y 1·y 2＝－p 2. (4)S △AOB ＝p 22sin θ. (5)1|AF |＋1|BF |＝2
p (定值)． (6)∠A 1FB 1＝90°.
问题2：以AB 为直径的圆与直线l 具有怎样的位置关系？ [提示] 如图，AB 是过抛物线y 2＝2px (p >0)
焦点F 的一条弦，设A (x 1，y 1)，
B (x 2，y 2)，AB 的中点M (x 0，y 0)，相应的准线为l . 所以以AB 为直径的圆必与准线l 相切．
已知抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，过此抛物线的焦点的直线与抛物线
交于A ，B 两点，且|AB |＝5
2p ，求AB 所在直线的方程.
【导学号：33242185】
[思路探究] 根据弦长求出直线斜率，进而求得直线方程． [解] ∵过焦点的弦长|AB |＝5
2p ∴弦所在的直线的斜率存在且不为零
设直线AB 的斜率为k ，且A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． ∵y 2＝2px 的焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫
p 2，0.
∴直线方程为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫
x －p 2.
由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，
y 2＝2px ，
整理得
k 2x 2－(k 2p ＋2p )x ＋1
4k 2p 2＝0(k ≠0)， ∴x 1＋x 2＝k 2p ＋2p
k 2，
∴|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝k 2p ＋2p
k 2＋p ，又|AB |＝5
2p ，
∴k 2p ＋2p k 2＋p ＝5
2p ，∴k ＝±2.。