吉林省长春外国语学校2018届高三下学期期初考试 数学理
吉林省长春外国语学校2018届高三下学期期初考试数学试卷 (word版含答案)
长春外国语学校2018届高三第二次模拟考试数学（理科）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则（ ）A. B. C ． D ．2. 若复数是虚数单位，则z 的共轭复数在复平面内对应的点在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3.设R a ∈，则“1>a ”是“12>a ”的（ ）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件4.，且()⊥-a a b ，则向量a 与向量b 的夹角为( )A.6πB.4πC.3πD.23π5.某程序图如图所示，该程序运行后输出的结果是（）A ．3B ． 4C ．5D ．66．若x ，y 满足约束条件10,20,220,x y x y x y -+≤⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩则z x y =+的最大值为（ ）A ．32B ．1C ．1-D ．3-7.设,m n 是不同的直线，,αβ是不同的平面，下列命题中正确的是( )A. 若//,,m n m n αβ⊥⊥，则αβ⊥B. 若//,,m n m n αβ⊥⊥，则//αβC. 若//,,//m n m n αβ⊥，则αβ⊥ D ．若//,,//m n m n αβ⊥，则//αβ8.已知数列{}n a 的前n 项和21n n S =-，则数列2{}n a 的前10项和为（ ）A ．1041- B ．102(21)-C ．101(41)3-D ．101(21)3-9.已知对数函数()log a f x x =是增函数,则函数(||1)f x +的图象大致是（ ）A B C D 10.若()sin()cos()(0)f x x x ωϕωϕω=+++>的最小正周期为π，(0)f ( )A A ．()f x 在(,)44ππ-单调递增 B ．()f x 在(,)44ππ-单调递减 C C ．()f x 在(0,)2π单调递增 D ．()f x 在(0,)2π单调递减 11.设21F F 、分别是双曲线154:22=-y x C 的左右焦点，点P 在双曲线C 的右支上，且021=⋅PF PF ，则=+||21PF PF ( )A.4B.6C.142D.7412. 若直角坐标平面内A,B 两点满足条件：①点A,B 都在函数()x f 的图象上；②点A,B 关于原点对称，则称()B A ,是函数()x f 的一个“姊妹点对”（ ()B A ,与()A B ,可看作同一点对）。
吉林省长春外国语学校2019届高三下学期第八次月考数学(理)试题
2018-2019学年度下学期高三年级第八次月考数学（理科）试题第Ⅰ卷一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.已知集合，集合，则（ ）}082|{2≤--=x x x M }1|{≥=x x N =N M A.B. C. D.}42|{≤≤-x x }1|{≥x x }41|{≤≤x x }2|{-≥x x 2．为虚数单位，复数在复平面内对应的点所在象限为（ ）i 12-=i i z A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 设，则“”是“”的（ ）R ∈θ6πθ=21sin =θA.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件4. 设平面向量，若，则等于 （ ）()()1,2,2,m n b =-= //m n →→+n m A B C ．D ．25．二项式 的展开式中第9项是常数项，则的值是（ ）n x x )23(-n A ．4B ．8C ．11D ．126. 已知点(2,8)在幂函数的图象上，设n x x f =)(=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=,33f b f a ，则的大小关系为（ ）,,a b c A. B. C. a c b <<a b c <<b c a << D. b a c<<7.右图给出的是计算的值的一个框图，其中菱形111124620++++ 判断框内应填入的条件是（） A. B. C. D. 8i >9i >10i >11i >8.公元前世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边6形的作图，发现了黄金分割约为，618.0这一数值也可以表示为，若，则 （ ）︒=18sin 2m 42=+n m =-127cos 2n m A ． B ． C ． D ．84219.从1，2，3，4，5中任取5个数字，组成没有重复数字的五位数，则组成的五位数是偶数的概率是（ ）A. B. C. D. 3253215210.一个正三棱锥(底面积是正三角形，顶点在底面上的射影为底面三角形的中心)的四个顶点都在半径为的球面上，球心在三棱锥的底面所在平面上，则该正三棱锥的体积是（ ）1A B C D 11.设分别为双曲线的左、右焦点，点在双曲线的右支上，若12、F F ()2222:10,0x y C a b a b-=>>P C ，则该双曲线的离心率为（ ）122130,60∠=∠=︒ PF F PF FA ．BC ．D ．1+2+4+12.定义在上的函数，是它的导函数，且恒有成立.则有（ ）(0,)2π()f x '()f x '()()tan f x f x x >AA B C ． ()(63f ππ<()2cos1(1)6f f π>A 2((46f ππ<D ((43ππ>f 第Ⅱ卷二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分．）13.已知函数有两个零点，则实数的取值范围是 .b x f x --=|22|)(b14.如果实数满足不等式组，且，则目标函数的最大值是,x y 260303x y x y y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩22sin b x dx ππ-=⎰z x by =+_______15. 已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为，则椭圆在其上一点处22221(0)x y a b a b +=>>00(,)A x y 的切线方程为，试运用该性质解决以下问题：00221x x y y a b +=椭圆，点为在第一象限中的任意一点，过作的切线， 分别与轴和轴12:221=+y x C B 1C B 1C l l x y 的正半轴交于两点，则面积的最小值为__________.D C ,OCD ∆16. 已知数列的前n 项和为，数列的前n 项和为，满足,{}n a n S {}n b n T )()(3,21R m a m n S a n n ∈+==且.若对任意恒成立，则实数的最小值为______．21=n n b a n T N n >∈*λ,λ三、解答题：（本大题共6小题，其中17-21小题为必考题，每小题12分；第22—23题为选考题，考生根据要求做答，每题10分）17.（本小题满分12分） 在所对的边分别为且，C B A ABC 、、中，角∆,c b a 、、cb a << （1）求角的大小；b aA 23sin =B （2）若，，求及的面积.2a =b =c ABC ∆18.（本小题满分12分） 某学校研究性学习小组对该校高三学生的视力情况进行调查，在高三的全体1000名学生中随机抽取了100名学生的体检表，并得到如下直方图:（1）若直方图中后四组的频数成等差数列，试估计全年级视力在5.0以下的人数；（2）学习小组成员发现，学习成绩突出的学生，近视的比较多，为了研究学生的视力与学习成绩是否有关系，对年级名次在1～50名和951～1000名的学生进行了调查，得到如上述表格中数据， 根据表中的数据，能否在犯错的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系;（3）在（2）中调查的100名学生中，按照分层抽样在不近视的学生中抽取了9人，进一步调查他们良好的护眼习惯，并且在这9人中任取3人，记名次在1～50名的学生人数为X ，求X 的分布列和数学期望.附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++19.（本小题满分12分） 如图在棱锥中，为矩形，面，P ABCD -ABCD PD ⊥ABCD .30,45,2 =∠=∠=PBD BPC PB （1）在上是否存在一点，使面，若PB E PC ⊥ADE 存在确定点位置，若不存在，请说明理由；E（2）当为中点时，求二面角的余弦值.E PB P AE D --20. （本小题满分12分）已知两点分别在轴和轴上运动，且，若动点()()00,0,0,y B x A x y 1AB =满足.(),P x y 2OP OA =（1）求出动点P 的轨迹对应曲线C 的标准方程；（2）一条在y 轴截距为2的直线与曲线C 交于P ，Q 两点，若以PQ 直径的圆恰过原点，求出直线方1l 程.21.（本小题满分12分）已知函数，曲线1)(),12ln()(--=+-=x e x g x ax x f x y=f(x)与y=g(x)在原点处的切线相同。
吉林省长春外国语学校2018届高三下学期期初考试数学(理)试卷(含答案)
吉林省长春外国语学校2018届高三下学期期初考试数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共页。
考试结束后，将答题卡交回。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则（ ）A.B. C ． D ．2. 若复数是虚数单位，则z 的共轭复数在复平面内对应的点在（） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3.设R a ∈，则“1>a ”是“12>a ”的（ ）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件4.，且()⊥-a a b ，则向量a 与向量b 的夹角为( )A.6π B. 4πC.3π D. 23π5.某程序图如图所示，该程序运行后输出的结果是（）A ．3B ． 4C ．5D ．66．若x ，y 满足约束条件10,20,220,x y x y x y -+≤⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩则z x y =+的最大值为（ ）A ．32B ．1C ．1-D ．3-7.设,m n 是不同的直线，,αβ是不同的平面，下列命题中正确的是( ) A. 若//,,m n m n αβ⊥⊥，则αβ⊥ B. 若//,,m n m n αβ⊥⊥，则//αβ C. 若//,,//m n m n αβ⊥，则αβ⊥ D ．若//,,//m n m n αβ⊥，则//αβ8.已知数列{}n a 的前n 项和21n n S =-，则数列2{}n a 的前10项和为（ ）A ．1041- B ．102(21)-C ．101(41)3-D ．101(21)3-9.已知对数函数()log a f x x =是增函数,则函数(||1)f x +的图象大致是（ ）A B C D 10.若()sin()cos()(0)f x x x ωϕωϕω=+++>的最小正周期为π，(0)f =( )A ．()f x 在(,)44ππ-单调递增 B ．()f x 在(,)44ππ-单调递减 C ．()f x 在(0,)2π单调递增 D ．()f x 在(0,)2π单调递减 11.设21F F 、分别是双曲线154:22=-y x C 的左右焦点，点P 在双曲线C 的右支上，且021=⋅PF ，则=+|21PF ( )A.4B.6C.142D.7412. 若直角坐标平面内A,B 两点满足条件：①点A,B 都在函数()x f 的图象上；②点A,B 关于原点对称，则称()B A ,是函数()x f 的一个“姊妹点对”（ ()B A ,与()A B ,可看作同一点对）。
吉林省长春市普通高中2018届高三质量检测(三)数学(理)试卷
长春市普通高中20怡届高三质量监测(三〉数学试题卷(理科)耆生硕知： t 各试空分试聰砂答題卡,構分150井,石试时间】20分钟.2. 淬聴乩 在斟SF 抬宼位据匕境写学检.班纽 社名和准警证号.3. 希有答案必皱耳在务朗左上，打龙试总上无效. 4号试黠忆 製需上殳界轉卡一一、谨择題:本鏈共M 小题，每小眩空井"吞每小赵给出的四个选项中、只商一项是符 合题目毀滾的一 (t > 设集 fr.l^{x||x|<l), B = {x\x(x-3)<U}.刪 dURz(A)卜IQ U) (0.1)(C) (-13><D> (1,3)(2> 若埶数工=则|=|=[-i迅行运兀跑的摆辿們式仃纵横:老种瞄 式(如图所示).如吟松位数时*輝阿拉时汁数 样.把朴牛数旳的数码从圧到右抑列，«H 他栽码的序式胡徑覘* 釧町 个仏 百肯、力中t ［网做虫 紬粘卜位.丁世・十万何用槌式展叮；•以 此芟他 例俎H66用S7并盂小祖肚二II 丄「刚翳71用券尊可劇为 2 占丄 Tl (B) HT X X I (C) i T± ■ (D> TIT 丄 1F_J5)榔ift 眈/(.¥)'Sin(2.i h 3)的用傑向f I T ft <J 个讯位曙f i!函数耳(灯二COS 2x 的 r 3 牌傑.測凸的ffl 诃门打；T S JT1 1,7 1?肚 l A )一 CID 二 fC>心—— 12J2 12 12 数学试独艸科〉 詭1贞(搖4就)(B) 0CD)迈(3) 中国有个名旬“运磬桂犍Z 中.决胖『咐之外■・其中的“溥”療您赴描<*hf P 经)中记朝的算靜.古代川订为廉址行计 ■ KSA#几寸长的小竹棍摆机平血LI II 01 Illi hli T T nr >± X = ms痢数 /(x) = l + /+—为til 图所不程用Hi 图是为r 求出满足2"-^ >28抑扯小偶 如、那么唯白框中的迥旬及巌后输岀的”悄分別是(A) n = n + l ^1 6(BJ M = “ + 2和 6 (CJ H = rt 4-1 S (D) n = n + 2^ml_«j(7} (T 本用间的W 摆放在恪架时同一栏上「變求屮、乙第本肝必坝摆做张幅攔• W* 丁两点书謝须相邻，则小岡的建旗方汎有I )种.(A) 24CB )36 «：1 48(8> 某几何縊的 濒用如图所同；(单册cm ),则劇L 何体的体扔E 帕趴cm >是<A) 4^3 〔B 〉罗厉(C )2血 (D)語(9) LABlA^flC 的内的对边分别为，b * Ci 齐 2/fttwi /?兰fjgs ( + c ix>s A・ h-2 ・则△屛賦曲 紂的城人Fi 圧<M I⑹ J3 <C)2(D )4(IQ) |2扫1边怏为2的竽追決形MC ・0为肚的中点・以』£>为析腿将4仏「 折诫zm, ant 凡乩GDIB 点的球的泯面机为 (A) 2JT口昇 M(C) 4ffCD)Ml) 口甜悠曲线三-亠 "的左后柄忙建点仃劭为幷利巧•种儿和支卜一存症一nr rtv -\点尸淌址丹；丄怦；，何冷△丹•出的圍舉为L 则谀取曲冀的禺心率为(A)—【1口 — <C> 2 <Di 32 2(12)已知定又域为H 的甫H/QO 的用乂择ii 点亿I)，H 对*wR ，都有 广⑴八2. /(1QU 313T -11) < 3- log 7；： | T 为CA )似心) &B )(-oo,0}U<OJ) (C) Y 」)3 (-LO>U(0J)G'r 试趣连t 理斟】 苹2 1「人4 i ；CSC' -1A =2" ft'訂/畔上/二、填空砸：本SLh 4小題，旬小趣5分.“0（IJ）设实fltxj需足釣束策林・4一丫一$心0*聊二二” + 2y們最大值为x + V 5L °i456y口m涯Ift点圈井折町知=y』』x找性机羌. 为㈱确fjo.i）,畠/（盘）耳2,则实数“的联恒盘国虽lag, Jr J：>O P(15)（15）乜殛长为2的弄蝮白柳△#放屮…讨为斜边/R的屮0,点P为该平记内-动啟苦冈卜2・M（S4'PS + 4XPC*/*A7）的眾小值屋______________•三、解答麵：共期分解答应舄生女字说明、证明过程或演算歩骤一第17-21掘为必考建, 毎个试强考生都叠须作答.第2篁苗趣为选考题*考生根揣要求件答•<-）必考题：共60分.（17）Ct耶题満分俺和仪进列｛叫｝的4沖项和为乙+吐忆二用"，在正项巒说戳列｛和也爲-吋（1）求｛叫｝和仏讣的期琨企式;< JD址1打二务求麹列｛□｝的li沏顶和匚-（18）（本小题満分门分）树立和躅行41録朮育山就是金血阚山・甲排人与自然和躅共牛"'射理念越来拯怎入人心.已圧威了全代门応穆叮*造祖方41的肚性劭环一据此旅H站推! 11T关严卞奁文明翅设进展愴况的确杳.大凰的蟒计截霍憲明・雾与谓査舟中关注此问趣的约占闕需刀!从需与调査的人郡中册应出200人■笄谒这200人按年岭分第I 组P5J5），閉2 ^｛25,35）.谊J犯［3翼45）「第4疑［4畀55）・笫3姐［5黑祐“再到的频率分布口方團如團所示i< \）求左的th（ri）現在熨从年龄鞍小的第b 2t 3蛆中用务层抽样的方世抽胞门人・再从这门人中樂机抽取J人迥订何卷英許・求在f I组巴帔拯到［人的刑覆F.^3 坦褫扯到2人的魄率；（IU）苕从所有参与调査的人中址意选出J A-记关注"诜丈明”的人数为片I 求X的分布対与期卑.灶学试軀隹f；T i!h u：（K- 4 ）（旳〉（:本小题満分门分）在如图瞬示的儿忖悴屮，PA.1平面A BCD t E.F卧訓杲im AD, PH的中点・PA -AB = \（I）求证:EF#平面DO1；（II j求平面EFX7与平面/YX?所或锐二面角的金径值.rio> ｛本小题満分M分）托平删倒处坐栋承4 E油【関q的方用为"7口於虫・阀匚的方程^（i+ty+Z^b动岡卍与BIG内切切.< ［）诜动訂関心厂的比迹E的厅楼：（ID巴知理-2』）制02,（1｝为甲面内的两个宦点*过（14）点的氏战丿与轨迹E空于川』B两点、求0ii® APBQ的鈕大值.CD （本小趣滿分订労）已知隅議/"（工）冃”-4工*5-耳，（1〕若/'（刃在R上垦单魁递增喀咯求"的取遠范凤（It） ^g（T）-^/（X）.当Q1时.若竄斗）乜（对"童（冊卜眞中^! < ftf < Jj -求i吐Jf t + x2< 2m（-）進考降垄】0处请考生在22、工3题中任选一题柞答一如果务傩*则按所做的第一12计*<22）（本申題満分苗分）选^4-4:坐标系与参賞方程选讲在氏期坐标JfiQ巾.以坐悔亂虫为楼血，X轴正半输为极挡建宜极劭标氛*曲啦；："畑話— R「“如?"H ）求G弓匚；交点的極磋标；〔II）设点a在G」：・觅=亍囲・欢动点尸的极坐标方翟（23）（本小麓潘分4份）选捲1黛不等武逸讲己知函数f （工）=|纠*|2x*3| + m・meR.〔I ）当耐=—2时.求不等式/（i）^3的解能：£ ［［）讨卜滋F（F,0h都有一广（工）$工+二怔戍立+求椭的眾值施阴■耽学试啦養！呷孑门第斗旬｛扛4亟）长春市普通高中2018届高三质量监测(三)数学(理科)试题参考答案及评分标准一、选择题(本大题共 12小题，每小题5分，共60分) 1. C 2. A 3. C4. D5.C6. D7. A8. B9. B10. D11. B12. B简答与提示： 1. 【命题意图】本题考查集合的运算 .【试题解析】C A 二{x| -1 ：：： x :：: 1}, B 二{ x| 0 ：：： x ：： 3}, AUB =(一1,3).故选 C. 2. 【命题意图】本题考查复数 . 【试题解析】A z =i,|z|=1.故选A.3. 【命题意图】本题考查中华传统文化中的数学问题 . 【试题解析】C 由算筹含义.故选C.4.【命题意图】本题主要考查函数的图象及性质【试题解析】D 由函数是偶函数，排除 A ，C ,当x ・(0, —)，tanx .0.故选D.25.【命题意图】本题考查三角函数的相关知识 .【试题解析】C 由题意知，a = -一 • k 二，k • Z .故选C.126. 【命题意图】本题主要考查算法的相关知识 . 【试题解析】D 根据程序框图.故选 D7.【命题意图】本题考查计数原理的应用 . 【试题解析】A 由题意知A 2A 3A ； =24.故选A.8.【命题意图】本题主要考查三视图问题 .【试题解析】B 由题意可知该几何体为正三棱柱去掉一个小三棱锥,12. 【命题意图】本题是考查导数在研究函数单调性上的应用【试题解析】B 令F(x) = f(x)+2x ，有L(x)=f(x 七 刃，所以F(x)在定义域内 单调递增，由 f(1)=1，得 F® =f) 2 3 ，因为 f(log 2 |3x —1|) v3—log 出 |3x —1|9.V=4E 」2G 」°W .故选B.3 3【命题意图】本题主要考查解三角形的相关知识 .【试题解析】B 由题意知B=60，由余弦定理,2ac =a2c 一 4 — 2ac - 4，有 ac 空 4，故 S2 2ac = a c - 4，故1acsin B 乞、3 .故选 B.210.11.【命题意图】本题主要考查球的相关问题 .【试题解析】 D 折后的图形可放到一个长方体中，其体对角线长为 故其外接球的半径为 5，其表面积为2【命题意图】本题考查双曲线的相关知识 1+1+3二、一 5，5二.故选D.【试题解析】B 由双曲线可知S PFF=m 2-1 = 3,m 2= 4，从而』.故选B.2等价于 f （log 2|3x -1|） 2log 2|3x -1|：：：3，令 t=log 2|3x -1|，有 f （t ） 2t ：：：3，则有t ：1，即 log 2 |3x-1| ：：：1,从而 0 ：：：| 3x _ 1| ：：： 2，解得 x ：： 1,且 x 严 0.故选 B. 二、填空题（本大题共 4小题，每小题5分，共20分）13. 9 14. 1.715. （_：：,_1]U[4, ：：） 16. 48-32、、2简答与提示： 13. 【命题意图】本题考查线性规划问题 . 【试题解析】由可行域可确定目标函数在 （1,4）处取最大值9.14.【命题意图】本题考查回归方程的相关知识.【试题解析】将 x=3.2代入回归方程为y? = x ・1可得y -4.2，贝U 4m = 6.7 , 解得m= 1.675，即精确到0.1后m 的值约1.7. 15. 【命题意图】本题考查分段函数的相关知识1【试题解析】当X _0,（—）x_2,x _-1，当x 0 竄_4x_，故（：：〒]4lh ： .216. 【命题意图】本题考查平面向量的相关知识 【试题解析】由题意可知其最小值为48 - 32-、2.三、解答题17. （本小题满分12分）【命题意图】本题考查数列的基本方法及数列求和2【试题解析】解：（1） Q S n = n 2 -n ，令n =1 , q =0a . =Sn -S n 」=2 n -1 , n — 2a n =2 n-1 又 Q 数列仏？为等比，b 2 二 a 2=2 , b 4 二 a 5=8—=q = 4，又各项均为正• q = 2 , - bn = 2°4b 2(2)由(1)得：c n 二 n-1 -2nT n =0 2-1 23-1 23 L n-12n=1 222 23L n-1 2n2T n 二 1 232 24Ln - 2 2n n-1 2n 1-T n =222324L 2n - n-1 2n 1T n = n -2 2n 14 18. （本小题满分12分）【命题意图】本小题主要考查学生对频率分布直方图的理解以及分布列的相关知识 【试题解析】解：（1）由 10 0.010 0.015 a 0.030 0.010 =1，得 a = 0.035,（2）第1, 2, 3组的人数分别为20人，30人，70人，从第1, 2, 3组中用分层抽样的 方法抽取12人，则第1 , 2, 3组抽取的人数分别为 2人，3人，7人.设从12人中随机抽取3人，第1组已被抽到1人为事件A ，第3组抽到2人为事件B ,汁""1尹 1-2n 1n 1=2-n-12-4C ；CP AB G 32P(A) " C2C1O - C |C ；0C 2则 P B|A 二21 50(3)从所有参与调查的人中任意选出4概率为P , X 的可能取值为0,54 3 1.P X =0 二咖--)3：5 125 1人，关注“生态文明”的 1，2, 3.14 1 4 2 12Px" 话 19. 2 4 2 4 1 48 343P X =2 二C 3(y (1-匸) ，P X =3 二C 3(匚) 5 5 125 5想象能力、推理论证能力和运算求解能力 • 【试题解析】答案：(1 )取PC 中点M ，连接DM ,MF64 125本题考查学生的空间1丁 M ,F 分别是 PC, PB 中点，二 MF 〃CB MF =^CB ，， 21E 为 DA 中点，ABCD 为矩形，.DE/CB’DE -^CB ，2.MF // DE, MF = DE ，.四边形DEFM 为平行四边形.EF // DM , EF -平面 PDC ， DM 二平面 PDC ，. EF // 平面 RDC(2PA_平面ABC ，且四边形 ABCD 是正方形，.AD, AB, AP 两两垂直, 原点，AP AB AD x, y, z A-xyz 则 P 1,0,0 , D 0,0,1,C 0,1,1, E(0,0,设平面EFC 法向量为m =(x, y,z)，1 1 1；),F(；,；,°) 2 2 21 1 11 1 EF 十，，)，FC =(, ,1)EF n = 0则一11，取 m = 3,-1,2y z = 0召2 T T则设平面 PDC 法向量为 n 2=(x,y,z)， PD= (-1,0,1)，PC =(-1,1,1)，即 \FC n =0PD n 2 PC n 2 4 T cos ： n 1,=0 -0_ x + z = 0 -* 「x + y + z = 0，取宀1。
吉林省长春外国语学校2018_2019学年高一数学下学期期末考试试题理(含解析)
吉林省长春外国语学校2018-2019学年高一数学下学期期末考试试题理（含解析）第Ⅰ卷一、选择题：(本题共15小题，每小题4分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1.2019o 是( ) A. 第一象限角 B. 第二象限角C. 第三象限角D. 第四象限角 【答案】C 【解析】 【分析】由题意，可知20193605219=⨯+o o o ，所以角2019o 和角219o 表示终边相同的角，即可得到答案。
【详解】由题意，可知20193605219=⨯+o o o ，所以角2019o 和角219o 表示终边相同的角， 又由219o 表示第三象限角，所以2019o 是第三象限角，故选C 。
【点睛】本题主要考查了象限角的表示和终边相同角的表示，其中解答中熟记终边相同角的表示是解答本题的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题。
2.不等式250ax x c ++>的解集为11|32x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭,则,a c 的值为( ) A. 6,1a c == B. 6,1a c =-=- C. 1,1a c == D. 1,6a c =-=-【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次不等式解集与对应一元二次方程根的关系列方程组，解得a ，c 的值.【详解】由题意得1123，为方程250ax x c ++=两根，所以11511+,6,12323ca c a a=-⨯=∴=-=-，选B. 【点睛】一元二次方程的根与对应一元二次不等式解集以及对应二次函数零点的关系，是数形结合思想，等价转化思想的具体体现，注意转化时的等价性.3.已知向量(2,3),(,4)a b x ==r r，若()a a b ⊥-r r r ，则x =（ ）A. 1B.12C. 2D. 3【答案】B 【解析】 【分析】可求出()21a b x -=--rr ，，根据()a a b ⊥-r r r 即可得出()0a a b ⋅-=r r r ，进行数量积的坐标运算即可求出x ．【详解】()21a b x -=--rr ，； ∵()a ab ⊥-rr r ；∴()()2230a a b x ⋅-=--=rr r ；解得12x =． 故选B.【点睛】本题考查向量垂直的充要条件，向量坐标的减法和数量积运算，属于基础题．4.函数16(0)y x x x=++>的最小值为( ) A. 6B. 7C. 8D. 9【答案】C 【解析】 【分析】直接利用均值不等式得到答案.【详解】16(0)68y x x x =++>≥=，1x =时等号成立. 故答案选C【点睛】本题考查了均值不等式，属于简单题.5.化简AC AB -=u u u r u u u r（ ）A. BC uuu rB. CA u u u rC. u u rCBD. 0r【答案】A 【解析】 【分析】减法先变为加法，利用向量的三角形法则得到答案. 【详解】AC AB AC BC BA -=+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r故答案选A【点睛】本题考查了向量的加减法，属于简单题. 6.若sin cos 1sin cos 2αααα+=-，则tan 2α等于（ ）A. 34-B.34C. 43-D.43【答案】B 【解析】 试题分析：sin cos tan 11,tan 3sin cos tan 12ααααααα++===---，22tan 63tan 21tan 84ααα-===--.考点：三角恒等变形、诱导公式、二倍角公式、同角三角函数关系．7.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ）A. 6B. 9C. 12D. 18【答案】B 【解析】13V Sh =，1163332=⨯⨯⨯⨯， 9=．选B.点睛:空间几何体体积问题的常见类型及解题策略(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解． (2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解．(3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解．8.在等比数列{}n a 中，546、、a a a 成等差数列，则公比q 等于（ ） A. 1 或 2 B. −1 或 −2C. 1 或 −2D.−1 或 2 【答案】C 【解析】设出基本量，利用等比数列的通项公式，再利用等差数列的中项关系，即可列出相应方程求解【详解】等比数列{}n a 中，设首项为1a ，公比为q ，546,,a a a Q 成等差数列，4562a a a ∴=+，即3451112a q a q a q =+， (2)(1)0q q ∴+-=2q ∴=-或1q =答案选C【点睛】本题考查等差数列和等比数列求基本量的问题，属于基础题9.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c己知60,A a b ===o 则B =（ ） A. 45° B. 135°C. 45°或135°D. 以上都不对 【答案】A 【解析】 【分析】利用正弦定理得到答案，再根据内角和为180︒排除一个答案.【详解】己知60,A a b ===osin 45sin sin sin 2a b B B A B B=⇒=⇒=⇒∠=︒或135B ∠=︒ 135B ∠=︒时，内角和超过180︒，排除故答案为A【点睛】本题考查了正弦定理，没有考虑内角和是容易犯的一个错误.10.已知等差数列{}n a 中，468a a +=则34567a a a a a ++++=（ ） A. 10 B. 16 C. 20 D. 24【答案】C【分析】根据等差数列性质得到46582a a a +==，再计算得到答案. 【详解】已知等差数列{}n a 中，4655824a a a a +==⇒=345675520a a a a a a ++++==故答案选C 【点睛】本题考查了等差数列的性质，是数列的常考题型.11.为了得到函数sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只需把函数sin 2y x =的图象上所有的点（ ）A. 向左平移6π个单位长度 B. 向右平移6π个单位长度 C. 向左平移12π个单位长度D. 向右平移12π个单位长度【答案】D 【解析】 【分析】通过变形sin 2sin 2(())612x x f x ππ⎛⎫⎡⎤-=- ⎪⎢⎝⎭⎣=⎥⎦，通过“左加右减”即可得到答案. 【详解】根据题意sin 2sin 2(())612x x f x ππ⎛⎫⎡⎤-=- ⎪⎢⎝⎭⎣=⎥⎦，故只需把函数sin2y x =的图象 上所有点向右平移12π个单位长度可得到函数sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，故答案为D.【点睛】本题主要考查三角函数的平移变换，难度不大.12.等比数列{}n a 中，312a =，2430a a +=，则10a 的值为（ ） A. 5310-⨯ B. 932⨯ C. 128 D. 532-⨯或932⨯【答案】D【分析】根据等比数列的通项公式得到公比，进而得到通项. 【详解】设公比为q ，则121230q q+=，∴22520q q -+=， ∴2q =或12q =，∴77103122a a q =⋅=⋅或7112()2⋅， 即932⨯或532-⨯. 故选D.【点睛】本题考查了等比数列通项公式的应用，属于简单题.13.若实数x ，y 满足条件25024001x y x y x y +-≤⎧⎪+-≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，目标函数2z x y =-，则z 的最大值为( )A.52B. 1C. 2D. 0【答案】C 【解析】 【分析】画出可行域和目标函数，根据平移得到最大值.【详解】若实数x ，y 满足条件25024001x y x y x y +-≤⎧⎪+-≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，目标函数2z x y =-如图：当3,12x y ==时函数取最大值为2 故答案选C【点睛】求线性目标函数(0)z ax by ab =+≠的最值:当0b >时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最大，在y 轴截距最小时，z 值最小； 当0b <时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最小，在y 轴上截距最小时，z 值最大.14.设,,a b c ∈R 且a b >，则下列不等式成立的是（ ） A. c a c b -<- B. 22ac bc >C.11a b< D.1ba< 【答案】A 【解析】A 项，由a b >得到a b -<-，则c a c b -<-，故A 项正确；B 项，当0c =时，该不等式不成立，故B 项错误；C 项，当1a =，2b =-时，112>-，即不等式11a b<不成立，故C 项错误；D项，当1a =-，2b =-时，21ba =>，即不等式1b a<不成立，故D 项错误． 综上所述，故选A ．15.圆锥的高h 和底面半径r 之比:2:1h r =，且圆锥的体积18V π=，则圆锥的表面积为（ ）A.B. 9(1π+C.D.9(1π+【答案】D 【解析】【分析】根据圆锥的体积求出底面圆的半径r 和高h ,求出母线长，即可计算圆锥的表面积． 【详解】圆锥的高h 和底面半径r 之比:2:1h r =， ∴2h r =，又圆锥的体积18V π=，即32121833r r h πππ==， 解得3r =； ∴6h =，母线长为22226335l h r =+=+=，则圆锥的表面积为2233539(15)S rl r πππππ=+=⋅⋅+⋅=+． 故选：D ．【点睛】本题考查圆锥的体积和表面积公式，考查计算能力，属于基础题.第Ⅱ卷二、填空题：(本题共4小题，每小题5分)16.已知函数()()sin f x A x =+ωϕ0,0,2A πωϕ⎛⎫>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则()f x 的解析式是__________．【答案】()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭【解析】分析：首先根据函数图象得函数的最大值为2，得到2A =，然后算出函数的周期T π=，利用周期的公式，得到2ω=，最后将点5212（，）π代入，得：522212sinπϕ=⨯+（）， 结合2πϕ<，可得6，πϕ=- 所以()f x 的解析式是()2sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭． 详解：根据函数图象得函数的最大值为2，得2A =，又∵函数的周期35,4123T T πππ⎛⎫=--∴= ⎪⎝⎭，利用周期的公式，可得2ω=， 将点5212（，）π 代入，得：522212sin πϕ=⨯+（）， 结合2πϕ<，可得3πϕ=-， 所以()f x 的解析式是()2sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭． 点睛：本题给出了函数y=Asin （ωx+φ）的部分图象，要确定其解析式，着重考查了三角函数基本概念和函数y=Asin （ωx+φ）的图象与性质的知识点，属于中档题．17.已知向量,a b r r夹角为45︒，且1,210a a b =-=r r r ，则b =r __________．【答案】32 【解析】 试题分析：的夹角，，，，.考点：向量的运算.【思路点晴】平面向量的数量积计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用. 利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决．列出方程组求解未知数.18.若0,0m n >>，且2m n +=，则14m n+的最小值为_______. 【答案】92【解析】 【分析】 将14m n +变换为14()()2m n m n ++，展开利用均值不等式得到答案. 【详解】若0,0m n >>，且2m n +=，则4141414()2459()2222n mm n m n m n m n +++++=+=≥=24,33m n ==时等号成立.故答案为92【点睛】本题考查了均值不等式，“1”的代换是解题的关键.19.如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，M 为11B C 中点，连接11,A B D M ，则异面直线1A B 和1D M 所成角的余弦值为_____．【答案】10【解析】【分析】连接CD1，CM，由四边形A1BCD1为平行四边形得A1B∥CD1，即∠CD1M为异面直线A1B和D1M所成角，再由已知求△CD1M的三边长，由余弦定理求解即可．【详解】如图，连接1,CD CM，由1111//,A D BC A D BC=，可得四边形11A BCD为平行四边形，则11//A B CD，∴1CD M∠为异面直线1A B和1D M所成角，由正方体1111ABCD A B C D-的棱长为1，M为11B C中点，得15D M MC==，12CD=在1CMD∆中，由余弦定理可得，15521044cos55222CD M+-∠==⨯⨯．∴异面直线1A B和1D M所成角的余弦值为105．10【点睛】本题考查异面直线所成角的求法，异面直线所成的角常用方法有：将异面直线平移到同一平面中去，达到立体几何平面化的目的；或者建立坐标系，通过求直线的方向向量得到直线夹角或其补角.三、解答题：（20题10分，21～25每题12分，共70分）20.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2321n S n n =+-，求数列{}n a 的通项公式n a ．【答案】4,161,2n n a n n =⎧=⎨-≥⎩【解析】 【分析】利用公式1n n n a S S =－－，计算{}n a 的通项公式，再验证1n =时的情况. 【详解】当1n =时，114a S ==；当2n ≥时，22132131()16)11(2n n n a S S n n n n n ===－－＋－－－－－＋－14a =不满足上式．∴4,161,2n n a n n =⎧=⎨-≥⎩【点睛】本题考查了利用1n n n a S S =－－求数列通项公式，忽略1n =的情况是容易犯的错误.21.在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知3b =，8c =，角A 为锐角，ABC ∆的面积为（1）求角A 的大小； （2）求a 的值. 【答案】（1）3π；（2）7. 【解析】分析：（1）由三角形面积公式和已知条件求得sinA 的值，进而求得A ；（2）利用余弦定理公式和（1）中求得的A 求得a ．详解：（1）∵1sin 2ABC S bc A ∆=138sin 2A =⨯⨯⨯=∴sin A =， ∵A 为锐角， ∴3A π=；（2）由余弦定理得：a =7==. 点睛：本题主要考查正弦定理边角互化及余弦定理的应用与特殊角的三角函数，属于简单题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）2222cos a b c bc A =+-；（2）222cos 2b c a A bc+-=，同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住30,45,60ooo等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.22.已知)22()2sin cos cos sin f x x x x x =-． （1）求函数()y f x =的最小正周期和对称轴方程； （2）若50,12x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求()y f x =的值域． 【答案】（1）对称轴为()212k x k Z ππ=+∈，最小正周期T π=；（2）()[1,2]f x ∈- 【解析】 【分析】(1)利用正余弦的二倍角公式和辅助角公式将函数解析式进行化简得到()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由周期公式和对称轴公式可得答案；(2)由x 的范围得到72x ,336πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，由正弦函数的性质即可得到值域.【详解】（1）)22()2sin cos cos sin f x x x x x =-sin 222sin 23x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭令2x k (k Z)32πππ+=+∈，则()f x 的对称轴为()212k x k Z ππ=+∈，最小正周期T π=； （2）当50,12x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，72x ,336πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦， 因为sin y x =在,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增，在7,26ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减， 在2x π=取最大值，在76x π=取最小值， 所以1sin 2,132x π⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 所以()[1,2]f x ∈-．【点睛】本题考查正弦函数图像的性质，考查周期性，对称性，函数值域的求法，考查二倍角公式以及辅助角公式的应用，属于基础题.23.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，PD ⊥底面,2ABCD PD AD ==，点E 是PA 的中点，点O 是AC 和BD 的交点．(1)证明： //EO 平面PCD ； (2)求三棱锥P ABC -的体积． 【答案】(1) 证明见解析；（2）43V =. 【解析】 【分析】(1)在PAC ∆中，利用中位线性质得到EO PC P ，证明//EO 平面PCD . (2)直接利用体积公式得到答案.【详解】在PAC ∆中，点E 是PA 的中点，底面ABCD 是正方形⇒点O 为AC 中点根据中位线性质得到EO PC P ，PC ⊆平面PCD ，故//EO 平面PCD . (2) PD ⊥底面,2ABCD PD AD ==11422333P ABC ABC V S PD -∆=⨯⨯=⨯⨯=【点睛】本题考查了线面平行，三棱锥体积，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.24.等差数列{}n a 中，51783,2a a a ==. (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)设()*11n n nb n N a a +=∈,求数列{}n b 的前n 项和nS.【答案】(1)12n n a +=；（2）22n ns n =+. 【解析】 【分析】(1)根据等差数列公式得到方程组，计算得到答案. (2)先求出{}n b ，再利用裂项求和求得n S .【详解】(1)等差数列{}n a 中，51343a a d =⇒+=，178112162(7)a a a d a d =⇒+=+解得：1111,22n n a d a +==⇒= (2)1114114()(2)(21221)12n n n b a a n n n n n n +====-++++++⋅数列{}n b 的前n 项和1111111124()4()12123222n n S n n n n n n -+-+-=-=+++=++. 【点睛】本题考查了数列的通项公式，裂项求和，意在考查学生对于数列公式的灵活运用及计算能力.25.已知(1,sin )a x =v，(1,cos )b x =v ，(0,1)e =r，且(cos sin )x x -∈. （1）若()//a e b +r r r，求sin cos x x 的值；（2）设()()f x a b me a b =⋅+⋅-r r r r r ，m R ∈，若()f x 的最大值为12-，求实数m 的值.【答案】(1)0 (2)32【解析】 【分析】（1）通过()//a e b +r r r可以算出()(1,sin 1)//1,cos cos sin 1x x x x +⇒=+，移项、两边平方即可算出结果.（2）通过向量的运算，解出()()f x a b me a b =⋅+⋅-r r r r r，再通过最大值根的分布，求出m 的值.【详解】（1）通过()//a e b +r r r可以算出()(1,sin 1)//1,cos cos sin 1x x x x +⇒=+，即2cos sin 1(cos sin )112sin cos 1sin cos 0x x x x x x x x -=⇒-=⇒-=⇒= 故答案为0.（2）()1sin cos (sin cos )f x x x m x x =++-，设()cos sin x x t t ⎡-=∈⎣，22112sin cos sin cos 2t x x t x x --=⇒=，22113()()1222t g t f x mt t mt -==+-=--+，即213(),22g t t mt t ⎡=--+∈⎣的最大值为12-； ①当11m m -≤⇒≥-时，max 1313()(1)2222g x g m m ==--+=-⇒=（满足条件）；②当11m m <-≤≤<-时，222max 1311()()22222g x g m m m m =-=-++=-⇒=-（舍）；③当m m -><max 131()22222g x g m ==-⨯-=-⇒=（舍） 故答案为32m =【点睛】当式子中同时出现sin cos ,sin cos ,sin cos x x x x x x +-时，常常可以利用换元法，把sin cos x x 用sin cos ,sin cos x x x x +-进行表示，但计算过程中也要注意自变量的取值范围；二次函数最值一定要注意对称轴是否在规定区间范围内，再讨论最后的结果.。
吉林省长春市普通高中2018届高三数学一模考试试题理(含解析)
长春市普通高中2018届高三质量监测（一）数学试题卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设为虚数单位，则（）A. B. C. 5 D. -5【答案】A【解析】由题意可得：.本题选择A选项.2. 集合的子集的个数为（）A. 4B. 7C. 8D. 16【答案】C【解析】集合含有3个元素，则其子集的个数为.本题选择C选项.3. 若图是某学校某年级的三个班在一学期内的六次数学测试的平均成绩关于测试序号的函数图像，为了容易看出一个班级的成绩变化，将离散的点用虚线连接，根据图像，给出下列结论：①一班成绩始终高于年级平均水平，整体成绩比较好；②二班成绩不够稳定，波动程度较大；③三班成绩虽然多数时间低于年级平均水平，但在稳步提升．其中正确结论的个数为（）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】D【解析】通过函数图象，可以看出①②③均正确.故选D.4. 等差数列中，已知，且公差，则其前项和取最小值时的的值为（）A. 6B. 7C. 8D. 9【答案】C【解析】因为等差数列中，，所以，有，所以当时前项和取最小值.故选C......................5. 已知某班级部分同学一次测验的成绩统计如图，则其中位数和众数分别为（）A. 95，94B. 92，86C. 99，86D. 95，91【答案】B【解析】由茎叶图可知，中位数为92，众数为86. 故选B.6. 若角的顶点为坐标原点，始边在轴的非负半轴上，终边在直线上，则角的取值集合是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因为直线的倾斜角是，所以终边落在直线上的角的取值集合为或者.故选D.7. 已知，且，则的最小值为（）A. 8B. 9C. 12D. 16【答案】B【解析】由题意可得：，则：，当且仅当时等号成立，综上可得：则的最小值为9.本题选择B选项.点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．8. 《九章算术》卷五商功中有如下问题：今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈，问积几何．刍甍：底面为矩形的屋脊状的几何体（网格纸中粗线部分为其三视图，设网格纸上每个小正方形的边长为1丈），那么该刍甍的体积为（）A. 4立方丈B. 5立方丈C. 6立方丈D. 12立方丈【答案】B【解析】由已知可将刍甍切割成一个三棱柱和一个四棱锥，三棱柱的体积为3，四棱锥的体积为2，则刍甍的体积为5.故选B.9. 已知矩形的顶点都在球心为，半径为的球面上，，且四棱锥的体积为，则等于（）A. 4B.C.D.【答案】A【解析】由题意可知球心到平面ABCD的距离 2，矩形ABCD所在圆的半径为，从而球的半径 .故选A.10. 已知某算法的程序框图如图所示，则该算法的功能是（）A. 求首项为1，公差为2的等差数列前2017项和B. 求首项为1，公差为2的等差数列前2018项和C. 求首项为1，公差为4的等差数列前1009项和D. 求首项为1，公差为4的等差数列前1010项和【答案】C【解析】由题意可知，为求首项为1，公差为4的等差数列的前1009项和.故选C.点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.11. 已知为坐标原点，设分别是双曲线的左、右焦点，点为双曲线上任一点，过点作的平分线的垂线，垂足为，则（）A. 1B. 2C. 4D.【答案】A【解析】延长交于点，由角分线性质可知根据双曲线的定义，，从而，在中，为其中位线，故.故选A.点睛：对于圆锥曲线问题，善用利用定义求解，注意数形结合，画出合理草图，巧妙转化.12. 已知定义在上的奇函数满足，当时，，则函数在区间上所有零点之和为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】,作图如下：，四个交点分别关于对称，所以零点之和为，选D.点睛：对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知角满足，，则的取值范围是__________．【答案】【解析】结合题意可知：，且：，利用不等式的性质可知：的取值范围是.点睛：利用不等式性质求某些代数式的取值范围时，多次运用不等式的性质时有可能扩大变量的取值范围．解决此类问题一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得待求整体的范围，是避免错误的有效途径．14. 已知平面内三个不共线向量两两夹角相等，且，，则__________．【答案】【解析】因为平面内三个不共线向量两两夹角相等，所以由题意可知，的夹角为，又知，，所以，，故答案为.15. 在中，三个内角的对边分别为，若，且，面积的最大值为__________．【答案】【解析】由可得，，得，由余弦定理，面积的最大值为，当且仅当时取到最大值，故答案为.【方法点睛】本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用以及三角形面积公式，属于难题.在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 除了直接利用两定理求边和角以外，恒等变形过程中，一般来说 ,当条件中同时出现及、时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.16. 已知圆锥的侧面展开图是半径为3的扇形，则圆锥体积的最大值为__________．【答案】【解析】设圆锥的底面半径为R，由题意可得其体积为：当且仅当时等号成立.综上可得圆锥体积的最大值为.三、解答题:共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17. 已知数列的前项和．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，求证：．【答案】(Ⅰ)；（Ⅱ）证明见解析.【解析】试题分析：(Ⅰ)利用已知条件，推出新数列是等比数列，然后求数列的通项公式；（Ⅱ）化简，则，利用裂项相消法和，再根据放缩法即可证明结果.试题解析：(Ⅰ)由，则.当时，，综上.（Ⅱ）由.. 得证.18. 长春市的“名师云课”活动自开展以来获得广大家长和学生的高度赞誉，在我市推出的第二季名师云课中，数学学科共计推出36节云课，为了更好地将课程内容呈现给学生，现对某一时段云课的点击量进行统计：（Ⅰ）现从36节云课中采用分层抽样的方式选出6节，求选出的点击量超过3000的节数．（Ⅱ）为了更好地搭建云课平台，现将云课进行剪辑，若点击量在区间内，则需要花费40分钟进行剪辑，若点击量在区间内，则需要花费20分钟进行剪辑，点击量超过3000，则不需要剪辑，现从（Ⅰ）中选出的6节课中随机取出2节课进行剪辑，求剪辑时间的分布列与数学期望．【答案】(Ⅰ)；（Ⅱ）.【解析】试题分析：(Ⅰ)因为 36节云课中采用分层抽样的方式选出6节，所以节应选出节；（Ⅱ）的所有可能取值为，根据古典概型概率公式分别求出各随机变量的概率，从而可得分布列，由期望公式可得结果..试题解析：(Ⅰ)根据分层抽样，选出的6节课中有2节点击量超过3000.（Ⅱ）的可能取值为0，20，40，60则的分布列为即 .19. 如图，四棱锥中，底面为菱形，平面，为的中点．（Ⅰ）证明：平面；（Ⅱ）设，三棱锥的体积为，求二面角的余弦值．【答案】(Ⅰ)证明见解析；（Ⅱ）.【解析】试题分析：(Ⅰ) )连接交于点，连接，根据中位线定理可得，由线面平行的判定定理即可证明平面；（Ⅱ）以点为原点，以方向为轴，以方向为轴，以方向为轴，建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的一个法向量，根据空间向量夹角余弦公式，可得结果.试题解析：(Ⅰ)连接交于点，连接在中，（Ⅱ），设菱形的边长为，则.取中点，连接.以点为原点，以方向为轴，以方向为轴，以方向为轴，建立如图所示坐标系.，，，，，，，即二面角的余弦值为.【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定定理以及利用空间向量求二面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.20. 已知椭圆的两个焦点为，且经过点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过的直线与椭圆交于两点（点位于轴上方），若，且，求直线的斜率的取值范围．【答案】(Ⅰ)；（Ⅱ）.【解析】试题分析：(1)由题意可得，，，则椭圆方程为.(2)联立直线与椭圆的方程，结合韦达定理得到关于实数k的不等式，求解不等式可得直线的斜率的取值范围是k=.试题解析：(1)由椭圆定义，有，，，从而.(2)设直线，有，整理得，设，，有，，，，由于，所以，，解得.，，由已知.21. 已知函数，．（Ⅰ）若函数与的图像在点处有相同的切线，求的值；（Ⅱ）当时，恒成立，求整数的最大值；（Ⅲ）证明：．【答案】(Ⅰ)；（Ⅱ）；（Ⅲ）证明见解析.【解析】试题分析：(Ⅰ)求出与，由且解方程组可求的值；（Ⅱ）恒成立等价于恒成立，先证明当时恒成立，再证明时不恒成立，进而可得结果；（Ⅲ））由，令，即，即，令，各式相加即可得结果.试题解析：(Ⅰ)由题意可知，和在处有相同的切线，即在处且，解得.（Ⅱ）现证明，设，令，即，因此，即恒成立，即，同理可证.由题意，当时，且，即，即时，成立.当时，，即不恒成立.因此整数的最大值为2.（Ⅲ）由，令，即，即由此可知，当时，，当时，，当时，，……当时，.综上：.即.（二）选考题：请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22. 选修4-4：坐标系与参数方程以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点的直角坐标为，点的极坐标为，若直线过点，且倾斜角为，圆以圆心，3为半径．（Ⅰ）求直线的参数方程和圆的极坐标方程；（Ⅱ）设直线与圆相交于两点，求．【答案】(Ⅰ)为参数），；（Ⅱ）.【解析】试题分析：（1）根据直线参数方程形式直接写出直线的参数方程，根据直角三角形关系得，即为圆的极坐标方程（2）利用将圆的极坐标方程化为直接坐标方程，将直线参数方程代入，利用韦达定理及参数几何意义得|=7试题解析：（Ⅰ）直线的参数方程为（t为参数），圆的极坐标方程为 .（Ⅱ）把代入，得，，设点对应的参数分别为，则,23. 选修4-5：不等式选讲设不等式的解集为．（Ⅰ）求集合；（Ⅱ）若，求证：．【答案】(Ⅰ)；（Ⅱ）证明见解析.【解析】试题分析：（1）根据绝对值定义将不等式化为三个不等式组，分别求解，最后求并集（2）利用分析法证明，将所求不等式转化为，再根据，证明试题解析：（1）由已知，令由得.（2）要证，只需证，只需证，只需证只需证，由，则恒成立.点睛：(1)分析法是证明不等式的重要方法，当所证不等式不能使用比较法且与重要不等式、基本不等式没有直接联系，较难发现条件和结论之间的关系时，可用分析法来寻找证明途径，使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆.(2)利用综合法证明不等式，关键是利用好已知条件和已经证明过的重要不等式.。
吉林省长春外国语学校2018届高三上学期期末考试数学(理)试题
长春外国语学校2017-2018学年第一学期期末考试高三年级数学试卷（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共6页。
考试结束后，将答题卡交回。
注意事项：1. 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信 息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书 写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效； 在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5. 保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合{}{}=∈<-<-=<=B A N x x x B x A x则,,12,42A.}1{B. }21|{<<-x xC. }1,0{D. }2|{<x x 2.已知复数z 满足i iz 32+=,则z 对应的点位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 3.若4cos 5α=-，α是第三象限的角，则sin()4πα+= A ．210- B.210C ．7210- D.72104. 抛物线212x y =的焦点到准线的距离是 A. 2 B.1 C.12 D. 145.《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今三十织迄，问织几何.”其意思为：有个女子不善于织布，每天比前一天少织同样多的布，第一天织五尺，最后一天织一尺，三十天织完，问三十天共织布A. 30尺B. 90尺C. 150尺D. 180尺 6.下列说法不正确．．．的是 A.命题“对x R ∀∈,都有20x ≥”的否定为“0x R ∃∈,使得200x <”B.“a b >”是“22ac bc >”的必要不充分条件C. “若tan 3α≠，则3πα≠” 是真命题D. 甲、乙两位学生参与数学模拟考试,设命题p 是“甲考试及格”,q 是“乙考试及格”,则命题“至少有一位学生不及格”可表示为()()p q ⌝∧⌝ 7.已知一个空间几何体的三视图如右图所示，根据图中 标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积是 A ．4 cm 3B ．5 cm 3C ．6 cm3D ．7 cm 38. 运行如图所示的程序框图，若输出的S 是254， 则①应为A ．n ≤5?B ．n ≤6?C ．n ≤7?D ．n ≤8?9.若实数x 、y 满足⎪⎩⎪⎨⎧+-≥≥≥-b x y x y y x 02且y x z +=2的最小值为4,则实数b 的值为A. 1B. 2C.3D.25 10.已知向量(1,2),(4,)a x b y =-= ，若a b ⊥，则93x y +的最小值为A ．23B ．12C ．6D ．3211.已知21,F F 是双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x C 的左右焦点,点P 是C 上一点,若2218||||a PF PF =⋅,且21F PF∆的最小内角为30,则双曲线的离心率为 A.15- B. 5 C. 13+ D. 312.已知曲线1C :e x y =上一点11(,)A x y ，曲线2C :1ln()y x m =+- (0)m >上一点22(,)B x y ，当12y y =时，对于任意12,x x ，都有e AB ≥恒成立，则m 的最小值为A ．e 1-B ． eC ．1D ． e 1+第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.已知函数()()221,101,01x x f x x x ⎧+-≤≤⎪=⎨-<≤⎪⎩，则()11f x dx -=⎰_________________14.圆心在直线x －2y ＝0上的圆C 与y 轴的负半轴相切，圆C 截x 轴所得弦的长为23，则圆C 的标准方程为________________ 15．若二项式61()(0)ax a x->的展开式中3x 的系数为A ，常数项为B ，若4A B =，则B = ____________16.以下命题正确的是 ①函数3sin(2)3y x π=+的图象向右平移6π个单位，可得到3sin 2y x =的图象； ② 函数)0()(>+=x xax x f 的最小值为a 2； ③某校开设A 类选修课3门，B 类选择课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有30种；④ 在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N （2，2σ）（0σ>）．若ξ在(),1-∞内取值的概率为0.1，则ξ在（2，3）内取值的概率为0.4．三、解答题（本大题共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.(本小题满分12分) 已知函数)(cos sin 2cos 32)(2R x m x x x x f ∈-+=，函数)(x f 的最大值为2.(1)求实数m 的值；(2)在ABC ∆中，角C B 、、A 所对的边是c b a 、、，若A 为锐角，且满足0)(=A f ，C B sin 3sin =，ABC ∆的面积为433，求边长a .18.(本小题满分12分)从某校高三上学期期末数学考试成绩中，随机抽取了60名学生的成绩得到如图所示的频率分布直方图：（1）根据频率分布直方图，估计该校高三学生本次数学考试的平均分；（2）若用分层抽样的方法从分数在[30，50）和[130，150]的学生中共抽取6人，该6人中成绩在[130，150]的有几人？（3）在（2）抽取的6人中，随机抽取3人，计分数在[130，150]内的人数为ξ，求期望E （ξ）．19.(本小题满分12分)如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，点,M N 分别为线段,PB PC 上的点，MN PB ⊥.(Ⅰ)求证：MN ⊥平面PAB ；(Ⅱ)当2PA AB ==，二面角C AN D --大小为π3时，求PN 的长.20.(本小题满分12分)NM DCB AP已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 过点M （），且左焦点为（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）已知点A 、B 是椭圆C 上的两个动点，若以AB 为直径的圆过原点O ， 证明：原点O 到直线AB 的距离为定值，并求这个定值.21. (本小题满分12分)已知函数ax x x x f ++=)1(ln )(;（1）函数()x f 的一个极值点为1=x ，求a ；（2）若函数()x f 在区间),[+∞e 上为增函数，求a 的取值范围；（3）当1=a 且Z k ∈时，不等式x x f x k -<-)()1(在),1(+∞∈x 恒成立，求k 的最大值.请考生从第22、23题中任选一题作答，并用2B 铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所选涂题好进行评分；多涂多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分.22.(本小题满分10分)在直角坐标系xoy 中，直线l 的参数方程为212212x ty t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）.在极坐标系（与直角坐标系xoy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，曲线C 的方程为2sin4cos ρθθ=.（I ）求曲线C 的直角坐标方程；（II ）设曲线C 与直线l 交于点A 、B ，若点P 的坐标为(1,1)，求|P A |+|PB |的值.23.已知函数|1||2|)(++-=x x x f（1）求不等式5)(≥x f 的解集；（2）若关于x 的不等式()1f x a ≥-恒成立，求实数a 的取值范围.数学试卷（理科答案）一选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案CDCDBDACCCDA二填空题 13. 14. 15.60 16.①③④ 三解答题 17.（1）m=; (2) 18.(1) 92 (2)2(3)E(ζ)=1 19.(1)证明略 （2）PN= 20.（1）（2）证明略定值为 21.（1）a=-2 (2); (3)k=3 22(1) (2) 23(1) (2)-2。
2018年吉林省长春外国语学校高考数学二模试卷(理科)
2018年吉林省长春外国语学校高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(★)已知集合A={x| ≤0}，B={-2，-1，0，3，4}，则A∩B=（）A．{0}B．{0，3}C．{-1，0，3}D．{0，3，4}2．(★)若复数是虚数单位，则z的共轭复数在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．(★)设a∈R，则“a＞1”是“a 2＞1”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件4．(★)已知| |=1，| |= ，且⊥（- ），则向量与向量的夹角为（）A．B．C．D．5．(★)某程序图如图所示，该程序运行后输出的结果是（）A ．3B ．4C ．5D ．66．(★★)若满足x ，y 约束条件 ，则z=x+y 的最大值为（ ）A ．B ．1C ．-1D ．-37．(★)设m ，n 是不同的直线，α，β是不同的平面，下列命题中正确的是（ ）A ．若m ∥α，n ⊥β，m ⊥n ，则α⊥βB ．若m ∥α，n ⊥β，m ⊥n ，则α∥βC ．若m ∥α，n ⊥β，m ∥n ，则α⊥βD ．若m ∥α，n ⊥β，m ∥n ，则α∥β8．(★)已知数列{a n }的前n 项和S n =2 n -1，则数列{a n 2}的前10项和为（ ）A ．410-1B ．（210-1）2C ．（410-1）D ．（210-1）9．(★★★)已知对数函数f （x ）=log a x 是增函数，则函数f （|x|+1）的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．10．(★)若f （x ）=sin （ωx+φ）+cos （ωx+φ）（ω＞0）的最小正周期为π，f （0）= ，则（ ）A ．f （x ）在单调递增B ．f （x ）在单调递减C ．f （x ）在单调递增D ．f （x ）在单调递减11．(★★)设F 1、F 2分别是双曲线C：- =1的左右焦点，点P在双曲线C的右支上，且•=0，则| + =（）A．4B．6C．D．12．(★★)若直角坐标平面内A、B两点满足①点A、B都在函数f（x）的图象上；②点A、B关于原点对称，则点（A，B）是函数f（x）的一个“姊妹点对”．点对（A，B）与（B，A）可看作是同一个“姊妹点对”，已知函数f（x）= ，则f（x）的“姊妹点对”有（）A．0个B．1个C．2个D．3个二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分）.13．(★★★)（x 3- ）4展开式中常数项为．14．(★★)已知f（x）=3x 2+2x+1，若f（x）dx=2f（a），则a= ．15．(★★)在上海高考改革方案中，要求每位高中生必须在物理、化学、生物、政治、历史、地理6门学科（3门理科学科，3门文科学科）中选择3门学科参加等级考试，小丁同学理科成绩较好，决定至少选择两门理科学科，那么小丁同学的选科方案有种．16．(★★)已知抛物线y 2=16x，焦点为F，A（8，2）为平面上的一定点，P为抛物线上的一动点，则|PA|+|PF|的最小值为．三、解答题（本大题共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．(★★★)已知α为锐角，且，函数，数列{a n}的首项a 1=1，a n+1=f（a n）．（1）求函数f（x）的表达式；（2）求证：数列{a n+1}为等比数列；（3）求数列{a n}的前n项和S n．18．(★★)某批发市场对某种商品的日销售量（单位：吨）进行统计，最近50天的结果如下：（1）求表中a，b的值（2）若以上表频率作为概率，且每天的销售量相互独立，①求5天中该种商品恰有2天销售量为1.5吨的概率；②已知每吨该商品的销售利润为2千元，X表示该种商品两天销售利润的和（单位：千元），求X的分布列和期望．19．(★★★★)一个多面体的直观图（图1）及三视图（图2）如图所示，其中M，N分别是AF、BC的中点（Ⅰ）求证：MN∥平面CDEF：（Ⅱ）求二面角A-CF-B的余弦值；20．(★★★★)已知椭圆C：+ =1（a＞b＞0）的上顶点为（0，1），且离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）证明：过椭圆C 1：+ =1（m＞n＞0）上一点Q（x 0，y 0）的切线方程为+ =1；（Ⅲ）过圆x 2+y 2=16上一点P向椭圆C引两条切线，切点分别为A，B，当直线AB分别与x 轴、y轴交于M，N两点时，求|MN|的最小值．21．(★★★★)已知函数f（x）=ax+lnx（a∈R）．（Ⅰ）若a=2，求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）设g（x）=x 2-2x+2，若对任意x 1∈（0，+∞），均存在x 2∈[0，1]，使得f（x 1）＜g （x 2），求a的取值范围．四、解答题（共1小题，满分10分）22．(★★★)已知某圆的极坐标方程为：ρ2-4 ρcos（θ- ）+6=0．（1）将极坐标方程化为普通方程，并选择恰当的参数写出它的参数方程；（2）若点P（x，y）在该圆上，求x+y的最大值和最小值．[选修4-5：不等式选讲]23．(★★★)已知关于x的不等式|ax-1|+|ax-a|≥1（a＞0）．（1）当a=1时，求此不等式的解集；（2）若此不等式的解集为R，求实数a的取值范围．。
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吉林省长春外国语学校2018届高三下学期期初考试数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共页。
考试结束后，将答题卡交回。
注意事项：1. 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信 息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书 写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效； 在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则（ ）A. B.C ．D ．2.若复数是虚数单位，则z 的共轭复数在复平面内对应的点在（） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3.设R a ∈，则“1>a ”是“12>a ”的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件4.()⊥-a a b ，则向量a 与向量b 的夹角为( )A.6π B.4π C.3π D.23π 5.某程序图如图所示，该程序运行后输出的结果是（）A ．3B ．4 C ．5D ．66．若x ，y 满足约束条件10,20,220,x y x y x y -+≤⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩则z x y =+的最大值为（）A ．32B ．1C ．1-D ．3-7.设,m n 是不同的直线，,αβ是不同的平面，下列命题中正确的是( ) A. 若//,,m n m n αβ⊥⊥，则αβ⊥ B. 若//,,m n m n αβ⊥⊥，则//αβ C. 若//,,//m n m n αβ⊥，则αβ⊥ D ．若//,,//m n m n αβ⊥，则//αβ8.已知数列{}n a 的前n 项和21n n S =-，则数列2{}n a 的前10项和为（）A ．1041- B ．102(21)-C ．101(41)3-D ．101(21)3-9.已知对数函数()log a f x x =是增函数,则函数(||1)f x +的图象大致是（）A B C D 10.若()sin()cos()(0)f x x x ωϕωϕω=+++>的最小正周期为π，(0)f =( )A ．()f x 在(,)44ππ-单调递增 B ．()f x 在(,)44ππ-单调递减 C ．()f x 在(0,)2π单调递增 D ．()f x 在(0,)2π单调递减 11.设21F F 、分别是双曲线154:22=-y x C 的左右焦点，点P 在双曲线C 的右支上，且021=⋅PF ，则=+|21PF ( )A.4B.6C.142D.7412.若直角坐标平面内A,B 两点满足条件：①点A,B 都在函数()x f 的图象上；②点A,B 关于原点对称，则称()B A ,是函数()x f 的一个“姊妹点对”（()B A ,与()A B ,可看作同一点对）。
已知()⎪⎩⎪⎨⎧≥<+=0,2,22x e x x x x f x，则()x f 的“姊妹点对”有_____个 A.1 B.2 C. 4 D.无数第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分）.13. 341()x x-展开式中常数项为14.已知函数2()321f x x x =++,若11()2()f x dx f a -=⎰,则___________a =15.在某市高考改革方案中，要求每位高中生必须在物理、化学、生物、政治、历史、地理6门（3门理科，3门文科）中选择3门参加等级考试，小丁同学理科成绩较好，决定至少选择两门理科，那么小丁同学的选科方案有_________种.16．已知抛物线216y x =，焦点为F ，(8,2)A 为平面上的一定点，P 为抛物线上的一动点，则||||PA PF +的最小值为_______________三、解答题（本大题共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. ( 本小题满分12分) 已知α为锐角，且12tan -=α，函数)42sin(2tan 2)(παα++=x x f ，数列{}n a 的首项11=a ，)(1n n a f a =+（1）求函数)(x f 的表达式； （2）求数列{}n a 的前n 项和n S .18.( 本小题满分12分)某批发市场对某种商品的日销售量（单位：t ）进行统计，最近50天的统计结果如下：（1）求表中的b a ,的值；（2）若以上表频率作为概率，且每天的销售量相互独立.求: ① 5天中该种商品恰好有2天的销售量为1.5t 的概率;②已知每吨该商品的销售利润为2千元,ξ表示该种商品两天销售利润的和(单位:千元)求ξ的分布列和数学期望.19．( 本小题满分12分)一个多面体的直观图（图1）及三视图（图2）如图所示，其中M ，N 分别是AF 、BC 的中点 （Ⅰ）求证：MN ∥平面CDEF ：（Ⅱ）求二面角A ﹣CF ﹣B 的余弦值；20.(本小题满分12分)已知椭圆C :22221(0)x y a b a b +=>>的上顶点为(0,1).⑴求椭圆C 的方程；⑵证明：过椭圆1C :22221(0)x y m n m n +=>>上一点00(,)Q x y 的切线方程为00221x x y ym n+=；⑶从圆2216x y +=上一点P 向椭圆C 引两条切线，切点分别为,A B ，当直线AB 分别与x 轴、y 轴交于M 、N 两点时，求MN 的最小值.21．( 本小题满分12分)已知函数)(ln )(R a x ax x f ∈+=,（Ⅰ）若2=a ，求曲线)(x f y =在1=x 处的切线方程； （Ⅱ）求)(x f 的单调区间； （Ⅲ）设22)(2+-=x x g x，若对任意1x ∈（0，+∞），均存在2x ∈[0，1]，使得)()(21x g x f <，求a 的取值范围．请考生从第22、23题中任选一题作答，并用2B 铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所选涂题好进行评分；多涂多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分. 22. 已知某圆的极坐标方程为064cos 242=+⎪⎭⎫⎝⎛--πθρρ （1）将极坐标方程化为普通方程，并选择恰当的参数写出它的参数方程； （2）若点()y x P ,在该圆上，求y x +的最大值和最小值． 23. 已知关于x 的不等式()011>≥-+-a a ax ax （1）当1=a 时，求此不等式的解集；（2）若此不等式的解集为R ，求实数a 的取值范围．数学（理科）答案一填空题二填空题 13.-4 14.-1或31，15. 10 16. 12三．解答题17.（1）f(x)=2x+1; (2)12+=n n s18.（1）由题意知：3.0,5.0==b a -------------2分（2）①依题意，随机选取一天，销售量为1.5t 的概率5.0=p ，设5天中该种商品有X 天的销售量为1.5t ，则)5.0,5(~B X ，3125.0)5.01(5.0)2(3225=-⨯⨯==C X P -------------5分②ξ的可能取值为8,7,6,5,4，则：2.05.02.02)5(,04.02.0)4(2=⨯⨯=====ξξP P37.03.02.025.0)6(2=⨯⨯+==ξP ，3.05.03.02)7(=⨯⨯==ξP 09.03.0)8(2===ξP ，ξ∴的分布列为：所以：2.609.083.0737.062.0504.04=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=ξE-------------12分19.(1)略（Ⅱ）解法二：以EA ，AB ，AD 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴， 建立空间直角坐标系， A （0，0，0），B （0，4，0），C （0，4，4），F （﹣4，4，0）， 面CBF 法向量为，，（8分）设面ACF 法向量为，取z=﹣1，所以设二面角为θ，，∴二面角A ﹣CF ﹣B 的余弦值为．（12分）20.【试题解析】解：（1）1b =，c e a =，2,1a b ∴==， ∴椭圆C 方程为2214x y +=.2分（2）法一：椭圆1C :22221x y m n+=，当0y >时，y =故2nxy m'=-∴当00y >时，2000222001x nn n k x x y mm m y n =-=-=-⋅. 4分切线方程为()200020x n y y x x m y -=-⋅-，222222220000n x x m y y m y n x m n +=+=，00221x x y ym n +=. 6分同理可证，00y <时，切线方程也为00221x x y ym n+=.当0=0y 时，切线方程为x m =±满足00221x x y ym n+=. 综上，过椭圆上一点00(,)Q x y 的切线方程为00221x x y ym n+=.7分法二：. 当斜率存在时，设切线方程为y kx t =+，联立方程：22221x y mn y kx t ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩可得222222()n x m kx t m n ++=，化简可得： 22222222()2()0n m k x m ktx m t n +++-=，①由题可得：42222222244()()0m k t m n m k t n ∆=-+-=， 4分化简可得：2222t m k n =+，①式只有一个根，记作0x ，220222m kt m kx n m k t =-=-+，0x 为切点的横坐标， 切点的纵坐标200n y kx t t =+=，所以2020x m k y n =-，所以2020n x k m y =-，所以切线方程为：2000020()()n x y y k x x x x m y -=-=--，化简得：00221x x y ym n+=. 6分当切线斜率不存在时，切线为x m =±，也符合方程00221x x y ym n+=， 综上：22221x y m n +=在点00(,)x y 处的切线方程为00221x x y ym n+=.7分（3）设点P (,)p p x y 为圆2216x y +=上一点，,PA PB 是椭圆2214x y +=的切线，切点1122(,),(,)A x y B x y ，过点A 的椭圆的切线为1114x xy y +=，过点B 的椭圆的切线为2214x xy y +=.两切线都过P 点，12121,144p p p p x x x x y y y y ∴+=+=.∴切点弦AB 所在直线方程为14p p xx yy +=.9分1(0)p M y ∴，，4(,0)pN x ，2222222161161=16p pp p p p x y MN x y x y ⎛⎫+∴=++⋅⎪ ⎪⎝⎭22221125=171617161616p pppx y y x ⎛⎛⎫ ++⋅≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝. 当且仅当222216p p ppx y y x =，即226416,55P P x y ==时取等， 54MN ∴≥，MN ∴的最小值为54.12分21.（1）3x-y-1=0 （2）。