河北省正定中学—度高三年级第一次月考数学试卷(文科)

河北省正定中学2007—2008学年度高三年级第一次月考数学试题（文科）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。

满分150分。

第I 卷（选择题 共60分）以下公式供参考：2cos 2cos2cos cos B A B A B A -+=+ 2c o s 2s i n 2s i n s i n B A B A B A -+=+ 2sin 2sin 2cos cos B A B A B A -+-=- 2s in 2c o s 2s in s in B A B A B A -+=- ()()121613212222++=++++n n n n一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

）1．若},6,5,3{},5,3,1{},4,3,2{===M Q P 则)(C )(C Q M M P M P =（ ）A ．{2，4}B ．{2，4，6}C ．{1，2，4，6}D ．{1，2，3，4，5}2．已知数列{}n a 是等差数列，且,50113=+a a 又,134=a 则2a =（ ）A ．1B ．4C ．5D ．63．如果命题“非P 或非q ”是假命题，则在下列各结论中，正确的为 （ ）①命题“p 且q ”是真命题； ②命题“p 且q ” 是假命题； ③命题“p 或q ”是真命题； ④命题“p 或q ”是假命题。

A ．②③B ．②④C ．①③D ．①④4．若函数x y 2cos =与函数)sin(φ+=x y 在[2,0π]上的单调性相同，则φ的一个值为（ ）A ．6πB ．4πC ．3πD ．2π5．给出四个函数，分别满足： ①)()()(y f x f y x f +=+； ②)()()(y g x g y x g ⋅=+；③)()()(y x y x ϕϕϕ+=⋅；④)()()(y h x h y x h ⋅=⋅又给出四个函数的图象，则正确的匹配方案是 （ ）A ．①－甲，②－乙，③－丙，④－丁B ．①－乙，②－丙，③－丁，④－甲C ．①－丙，②－甲，③－乙，④－丁D ．①－丁，②－甲，③－乙，④－丙6．化简)3cot(31)6tan(3απαπ--++的结果为 （ ）A ．αcotB ．αcot -C ．αtanD ．αtan -7．在数列}{n a 中，*)(233,1511N n a a a n n ∈-==+，则该数列中相邻两项的乘积是负数的（ ）A ．2221a a ⋅B ．2322a a ⋅C ．2423a a ⋅D ．2524a a ⋅ 8．已知[]π,0,51cos sin ∈=+x x x ，则tanx 的值为（ ） A ．43-B ． 34-C ．34±D ．43-或34-9．设)s i n ()(φω+=x A x f A ,(ω为正常数，)R x ∈，则)(x f 为奇函数是πφ=的（ ） A ．充分且非必要条件 B ．必要且非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件10．b a ,为正实数且b a ,的等差中项为A ；b a 1,1的等差中项为H1；b a ,的等比中项为)0(>G G ，则（ ）A ．A H G ≤≤B ．A G H ≤≤C ．H A G ≤≤D ．G A H ≤≤。

11．已知),,2(,ππβα∈且0sin cos >+βα，则必有（ ）A ．πβα<+B ．23πβα>+ C ．23πβα=+ D ．23πβα<+ 12．若方程0242=--x x 的两根为βαtan ,tan ，且βαt a n t a n <，则)n(βα-ta 的值为（ ） A ．62-B ．62C ．4-D ．34第II 卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．已知函数)0,0)(sin(>>+=ωφωA x A y 在一个周期内的图象如图所示，则它的解析式为_ _. .14．将同样大小的圆珠（即球体）堆成金字塔形三角垛，顶层是1个，向下逐层每边增加1个，最底层边上有16个，这垛三角垛共有圆珠 个. 15．函数x y a log =在],2[+∞上恒有|y|>1，则a 的取值范围是_ _. 16．对于定义在R 上的函数)(x f ，有下列命题：（1）若)(x f 是奇函数，则)1(-x f 图象关于点A （1，0）对称（2）若对R x ∈，有)1()1(-=+x f x f ，则)(x f 的图象关于直线1=x 对称 （3）若函数)1(-x f 的图象关于直线1=x 对称，则)(x f 为偶函数 （4）函数)1(x f +与函数)1(x f -的图象关于直线1=x 对称 其中正确命题的序号是 . 三、解答题（共70分）17．（满分10分）求函数)(cos 3cos sin 2sin 22R x x x x x y ∈++=的最大值和最小值. 18．（满分12分）在等比数列{n a }中，已知6,34321=+=+a a a a .（1）求;109a a + （2）求13121110a a a a +++.19．（满分12分）设)(x f 是定义在R 上的偶函数，其图象关于直线1=x 对称，对任意⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈21,0,21x x 都有)()()(2121x f x f x x f ⋅=+，且0)1(>=a f .（1）求⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛41,21f f ； （2）求证：)(x f 是周期函数. 20．（满分12分）已知正项数列{}n a )0*,(>∈n a N n 的前n 项和n S 满足：12+=n n a S ；设392+-=n n a b ，求数列{}n b 的前n 项和的最大值.21．（满分12分）已知函数)6(3)4()(23-+--+=n mx x m x x f )(R x ∈的图象关于原点对称，m ， n 为实数. （1）求m ，n 的值；（2）证明：函数)(x f 在[]2,2-上是减函数；（3）]2,2[-∈x 时，不等式a a n x f m m log )log ()(⋅-≥恒成立，求实数a 的取值范围. 22．（满分12分）锐角α， β满足：αβαβsin )cos(2sin +=，记βtan =y ，αtan =x ， （1）求y 关于x 的函数解析式)(x f y =及定义域； （2）求（1）中函数)(x f y =的最大值及此时α，β的值.河北省正定中学2007—2008学年度高三年级第一次月考数学试题（文科）参考答案一、 选择题：1—5：BCCDD 6—10：BCBBB 11—12：DB二、填空题13．2sin()44y x ππ=+14．816 15．()2,11,21 ⎪⎭⎫ ⎝⎛ 16．①③三、解答题17．解：x x x x y 22cos 3cos sin 2sin ++= =1+2cos 2x +sin2 x =1+1+cos2 x +sin2 x2)42sin(2++=πx∵R x ∈+42π，∴142sin 1≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤-πx∴2222+≤≤-y ，即y 的最大值为22+，最小值为22-.18．解：}{n a 为等比数列，设公比为q19．解：(1)设⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈21,0x ，则⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈21,02x ，于是()0222222≥⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=x f x f x f x x f x f ，∵()22121211⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=f f f ，且0)1(>=a f ，∴a f =⎪⎭⎫ ⎝⎛21，同理，因为24121⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛f f ，所以441a f =⎪⎭⎫ ⎝⎛；（2）∵)(x f 是定义在R 上的偶函数，∴对任意实数x ，都有()()x f x f =-， ∵)(x f 图象关于直线1=x 对称，∴对任意实数x ，都有()()x f x f -=+11， ∴对任意实数x ，都有()()[]()[]()()x f x f x f x f x f =-=+-=++=+11112，∴)(x f 是周期为2的周期函数.20．解：当1=n 时，11a S =，所以1211+=a a ，即()0121=-a ，∴11=a ；当2≥n 时，由12+=n n a S ，得142++=n n n a a S ……①，∴1241211++=---n n n a a S ……②两式相减，得1212224---+-=n n n n n a a a a a整理，得()())(2111---+=-+n n n n n n a a a a a a ， ∵0>n a ，∴01≠+-n n a a ， ∴21=--n n a a ，∴{}n a 是以1为首项，以2为公差的等差数列，()*12N n n a n ∈-= ∴()41439122+-=+--=n n b n ， ∴4541+-=-n b n ，∴()241≥-=--n b b n n ,又3739211=+-=a b ∴{}n b 是等差数列，且371=b ，公差4-=d ， ∴()()n n n n n S n 392421372+-=--+=，∴当()4392239=--=n 时，n S 取最大值，但*N n ∈，∴当10=n 时n S 最大，最大值为1901039102210=⨯+⨯-=S . 21．解：（1）∵()x f 的图象关于原点对称，∴()()x f x f -=-对一切实数均成立，即()()()()()()()[]6346342323-+--+-=-+----+-n mx x m x nj x m x m x对R x ∈恒成立， 比较系数，得6,4==n m（2）由(1)知，()()R x x x x f ∈-=123，∴()123'2-=x x f ，由()0'<x f ，得22≤≤-x ， ∴函数)(x f 在[]2,2-上是减函数； (另证) (设2221≤<≤-x x ，则()()()()()()1212122122212123213121-++-=---=-x x x x x x x x x x x f x f∵2221≤<≤-x x∴4,4,4212221<≤≤x x x x ，∴012,021222121<-++<-x x x x x x ，∴()()021>-x f x f ，即()()21x f x f >， ∴函数)(x f 在[]2,2-上是减函数；（3）由（2）知，函数)(x f 在[]2,2-上是减函数，∴在区间[]2,2-上，()[]()162min -==f x f ，∴在区间[]2,2-上，不等式a a n x f m m log )log ()(⋅-≥恒成立，就是()a a n m m log log 16⋅-≥-成立，又由(1)知6.,4==n m∴()016log 6log 424≥--a a ，即2log 4≤a 或8log 4≥a ，∴1621610≥≤<a a 或，即a 的取值范围是[)+∞⎪⎭⎫⎝⎛,2161,016 .22．解：∵αβαβsin )cos(2sin +=， ∴()[]()αβαβsin cos 2sin +=-+a a ， 即()()αβααβαsin cos 3cos sin +=+……①∵βα,都是锐角，∴0sin ,sin ,0>><+<αβπβα，∴由αβαβsin )cos(2sin +=知()0cos >+βα ∴由①式，得()αβαtan 3tan =+，即αβαβαtan 3tan tan 1tan tan =-+，即y xyyx 31=-+ ∴()01322>+=x x x y ， 即所求函数的解析式为()1322+==x xx f y ，其定义域为()+∞,0；（2）由(1)得，333221321322=≤+=+=xx x xy ，当且仅当,13x x =即33=x 时，等号成立，此时33tan ,33tan ==βα，∴6,6πβπα==， 即函数)(x f y =的最大值为33，此时，6πβα==.。