全等三角形专题---角分线
三角形角分线定理
三角形角分线定理三角形角分线定理是指三角形内一条角的角平分线与对边的比等于另外两条边所构成的比。
这个定理在三角形的角平分线中起着重要的作用，可以帮助我们求解各种三角形的性质和关系。
我们来看一下三角形的角平分线是什么。
三角形的角平分线是指从一个角的顶点出发，将这个角分成两个大小相等的角，并且与对边上的点相连的线段。
在三角形ABC中，角A的角平分线就是从点A 出发，将角A分成两个大小相等的角，并且与边BC上的点相连的线段。
根据三角形角分线定理，角A的角平分线与边BC的比等于边AB与边AC的比，即AD/DB = AC/AB。
其中，D是角A的角平分线与边BC 的交点。
这个定理可以用来求解各种有关三角形的问题。
我们可以利用角分线定理来求解三角形的边长比例。
假设在三角形ABC中，已知角A的角平分线与边BC的比为m:n，即AD/DB = m:n。
我们可以通过角分线定理得到AC/AB = m/n。
这个比例可以用来求解三角形的边长比例。
角分线定理还可以用来求解三角形的面积比例。
假设在三角形ABC 中，已知角A的角平分线与边BC的比为m:n，我们可以通过角分线定理得到AD/DB = m:n，进而得到三角形的面积比为S(ADC)/S(BDC) = (AD/DB)^2 = (m/n)^2。
这个比例可以用来求解三角形的面积比例。
角分线定理还可以用来证明一些三角形的性质。
例如，根据角分线定理可知，如果一个三角形的两条边的比等于另外两条边的比，那么这个三角形的角平分线与对边的比也等于这个比。
利用这个性质，我们可以证明三角形的内切圆与三角形的角平分线有关系。
在实际问题中，我们可以利用角分线定理来解决一些几何问题。
例如，已知一个三角形的两个角的角平分线相交于一点，我们可以利用角分线定理求解这个三角形的边长或者面积。
又如，已知一个三角形的两个角的角平分线分别与对边相交于两点，我们可以利用角分线定理求解这两个点的位置关系。
三角形角分线定理是一个重要的几何定理，可以帮助我们求解各种三角形的性质和关系。
《角的平分线的性质》全等三角形
05
CATALOGUE
复习与巩固
复习全等三角形和角的平分线的性质的基本概念和性质
总结全等三角形的定义、判定方法以及性质。 回顾角的平分线的性质的定义、判定方法和性质。
与前一章节的内容进行衔接，展示如何利用前一章节的知识来证明全等三角形。
通过练习巩固所学知识
选择题
根据全等三角形和角的平分线 的性质的定义和判定方法，设 计多个选择题，考察学生对基
角的平分线的性质
一个角的平分线将对应的边分成两段，其中较长 的一段等于较短的一段。
利用角的平分线的性质证明全等三角形的实例
题目
在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且BD=CD.求证：△ABC是等腰三角形。
证明过程
∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且BD=CD，∴根据角的平分线的性质和HL定理可得 △ADE≌△ADF(HL)，∴∠ADE=∠ADF，又∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∴根据角的平分线的性质和AAS定理可得 △ABC是等腰三角形。
常见的错误和注意事项
常见的错误
在证明过程中，容易忽略HL定理的应用 ，或者在应用HL定理时忽略了对应边相 等的前提条件。
VS
注意事项
在利用角的平分线的性质证明全等三角形 时，需要仔细分析题目的条件和结论，选 择合适的判定定理和性质进行证明。同时 ，需要注意定理应用的前提条件和限制条 件。
04
CATALOGUE
角角边定理（AAS）
如果两个三角形的两个角对应相等， 且其中一个角的对应边也相等，则这 两个三角形全等。
02
CATALOGUE
角的平分线的性质
角的平分线的定义
三角形全等的判定+性质+辅助线技巧
三角形全等的判定+性质+辅助线技巧都在这里了，请收好！在初中三角形问题集中体现在“全等”和“相似”2大问题上，非常考验大家的解题能力、思维能力、耐性与定力。
有时证不出来，急不可耐、恨它恨的牙痒痒。
王老师这次整理了全等三角形判定、性质，最重要的是后面附上了所有证明全等三角形，包括添加各种辅助线的方法，认真看完这篇文章，保证关于三角形全等所有的题型你都会做！一、三角形全等的判定1.三组对应边分别相等的两个三角形全等(SSS)。
2.有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS)。
3.有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA)。
4.有两角及一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS)。
5.直角三角形全等条件有：斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL)。
二、全等三角形的性质①全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等。
②全等三角形的周长、面积相等。
③全等三角形的对应边上的高对应相等。
④全等三角形的对应角的角平分线相等。
⑤全等三角形的对应边上的中线相等。
三、找全等三角形的方法(1)可以从结论出发，看要证明相等的两条线段（或角）分别在哪两个可能全等的三角形中；(2)可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形相等；(3)从条件和结论综合考虑，看它们能一同确定哪两个三角形全等；(4)若上述方法均不行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形。
三角形全等的证明中包含两个要素：边和角。
缺个角的条件：在初中三角形问题集中体现在“全等”和“相似”2大问题上，非常考验大家的解题能力、思维能力、耐性与定力。
有时证不出来，急不可耐、恨它恨的牙痒痒。
王老师这次整理了全等三角形判定、性质，最重要的是后面附上了所有证明全等三角形，包括添加各种辅助线的方法，认真看完这篇文章，保证关于三角形全等所有的题型你都会做！一、三角形全等的判定1.三组对应边分别相等的两个三角形全等(SSS)。
2.有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS)。
2024八年级上《全等三角形》常见辅助线作法总结
全等三角形是初中数学中的重要概念，掌握全等三角形的判断和性质是解决三角形问题的关键。
常用的辅助线作法可以帮助我们更好地理解和应用全等三角形的知识。
下面将对2024八年级上《全等三角形》常见的辅助线作法进行总结。
一、三角形内部的辅助线作法：1.外切圆：对于一个三角形，可以在它的外面作出三个外接圆，然后通过外接圆的协调定理来判断和证明两个三角形全等。
2.角平分线：对于一个角，可以作出它的角平分线，然后利用角平分线的性质来判断和证明两个三角形全等。
3.中位线：对于一个三角形，可以连接它的两个顶点和中点，得到两条中位线。
根据中位线的性质，可以判断和证明两个三角形全等。
4.高线：对于一个三角形，可以分别作出它的三条高线，然后根据高线的性质来判断和证明两个三角形全等。
5.角高线和中线：对于一个锐角三角形，可以连接其中一个角的顶点和对边的中点，得到一条角高线和一条中线。
根据角高线和中线的性质，可以判断和证明两个三角形全等。
二、三角形外部的辅助线作法：1.外接圆和割线：对于一个三角形，可以通过外接圆和割线的性质来判断和证明两个三角形全等。
2.正弦定理和余弦定理：对于一个三角形，可以通过正弦定理和余弦定理来判断和证明两个三角形全等。
3.对称性和重叠法：对于一个三角形，可以利用对称性和重叠法来判断和证明两个三角形全等。
4.平移法和旋转法：可以通过平移法和旋转法来判断和证明两个三角形全等。
以上仅是2024八年级上《全等三角形》常见的辅助线作法的总结，实际问题中可能还会有其他的辅助线作法。
在解决三角形问题时，选择合适的辅助线作法可以简化问题，提高解题效率。
同时，还需要对全等三角形的基本知识进行深入理解和掌握，不仅要掌握判断全等三角形的条件，还要熟练运用全等三角形的性质和定理。
全等三角形八大基本模型
全等三角形八大基本模型
（原创实用版）
目录
1.全等三角形的定义与性质
2.全等三角形的八大基本模型
1.手拉手模型
2.一线三垂直模型
3.一线三等角模型
4.等腰三角形中边边角模型
5.背对背模型
6.半角旋转模型
7.角分线模型
8.正方形手拉手模型
正文
全等三角形是指两个三角形的对应边和对应角分别相等的三角形。
在解决全等三角形问题时，我们需要了解全等三角形的定义和性质，以及掌握一些常用的模型。
本文将介绍全等三角形的八大基本模型，希望能帮助大家更好地理解和解决全等三角形问题。
1.手拉手模型：两个三角形通过一个公共边，并且这个公共边的两个端点分别与另外两个三角形的顶点相连。
2.一线三垂直模型：两个三角形的一组对应边互相平行，且另外两组对应边互相垂直。
3.一线三等角模型：两个三角形的一组对应边互相平行，且另外两组对应角相等。
4.等腰三角形中边边角模型：两个等腰三角形，其中一个等腰三角形的底边与另一个等腰三角形的腰相等，且两个等腰三角形的底角相等。
5.背对背模型：两个三角形的一组对应边互相垂直，且另外一组对应边互相平行。
6.半角旋转模型：一个三角形通过某个顶点旋转 180 度后与另一个三角形重合。
7.角分线模型：两个三角形的一组对应角相等，且另一组对应边的延长线相交于一点，这个点将延长线分成的两段长度相等。
8.正方形手拉手模型：两个正方形，其中一个正方形的一边与另一个正方形的一边相连，另外两个正方形的边也分别相连。
以上就是全等三角形的八大基本模型，这些模型在解决全等三角形问题时非常实用。
全等三角形的角平分线
第十讲全等三角形中的角平分线全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等．寻找对应边和对应角，常用到以下方法：(1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边．(2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角．(3)有公共边的，公共边常是对应边．(4)有公共角的，公共角常是对应角．(5)有对顶角的，对顶角常是对应角．(6)两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角)，一对最短边(或最小角)是对应边(或对应角)．要想正确地表示两个三角形全等，找出对应的元素是关键．全等三角形的判定方法：(1)边角边定理(SAS)：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等．(2)角边角定理(ASA)：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等．(3)边边边定理(SSS)：三边对应相等的两个三角形全等．(4)角角边定理(AAS)：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．(5)斜边、直角边定理(HL)：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．全等三角形的应用：运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线．奥数赛点：能通过判定两个三角形全等进而证明两条线段间的位置关系和大小关系．而证明两条线段或两个角的和、差、倍、分相等是几何证明的基础．重点：本节的重点是全等三角形的概念和性质以及判定，全等三角形的性质是以后证明三角形问题的基础，也是学好全章的关键。
同时全等三角形的判定也是本章的重点，特别是几种判定方法，尤其是当在直角三角形中时，HL的判定是整个直角三角形的重点难点：本节的难点是全等三角形性质和判定定理的灵活应用。
为了能熟练的应用性质定理及其推论，要把性质定理和推论的条件和结论弄清楚，哪几个是条件，决定哪个结论，如何用数学符号表示，即书写格式，都要在讲练中反复强化与角平分线相关的问题角平分线的两个性质：⑴角平分线上的点到角的两边的距离相等； ⑵到角的两边距离相等的点在角的平分线上． 它们具有互逆性．角平分线是天然的、涉及对称的模型，一般情况下，有下列三种作辅助线的方式： 1． 由角平分线上的一点向角的两边作垂线，2． 过角平分线上的一点作角平分线的垂线，从而形成等腰三角形， 3． OA OB =，这种对称的图形应用得也较为普遍，AB OPPOB A A B OP【例1】 如图，已知ABC ∆的周长是21，OB ，OC 分别平分ABC ∠和ACB ∠，OD BC ⊥于D ，且3OD =，求ABC ∆的面积．【例2】 在ABC ∆中，D 为BC 边上的点，已知BAD CAD ∠=∠，BD CD =，求证：AB AC =．【例3】 如图所示：AB AC =，AD AE =，CD 、BE 相交于点O ．求证：OA 平分DAE ∠．ABCDEOADOCB例题精讲D CBA【例4】 已知ABC ∆中，AB AC =，BE 、CD 分别是ABC ∠及ACB ∠平分线．求证：CD BE =．ED CB A【例5】 已知ABC ∆中，60A ∠=，BD 、CE 分别平分ABC ∠和ACB ∠，BD 、CE 交于点O ，试判断BE 、CD 、BC 的数量关系，并加以证明．OED CBA【例6】 如图，在ABC ∆中，60B ∠=︒，AD 、CE 分别平分BAC ∠、BCA ∠，且AD 与CE 的交点为F ．求证：FE FD =．FBEDCA【例7】 如图，已知E 是AC 上的一点，又12∠=∠，34∠=∠．求证：ED EB =．E DC B A4321【例8】 如图所示，OP 是AOC ∠和BOD ∠的平分线，OA OC =，OB OD =．求证：AB CD =．PDBOCA【例9】 (“希望杯”竞赛试题)长方形ABCD 中，AB =4，BC =7，∠BAD 的角平分线交BC 于点E ，EF ⊥ED交AB 于F ，则EF =__________．FEDCBA【例10】 如图所示，已知ABC ∆中，AD 平分BAC ∠，E 、F 分别在BD 、AD 上．DE CD =，EF AC =．求证：EF ∥ABFA CD E B【巩固】如图，在ABC ∆中，AD 交BC 于点D ，点E 是BC 中点，EF AD ∥交CA 的延长线于点F ，交AB于点G ，若BG CF =，求证：AD 为BAC ∠的角平分线．F GE DCBA【例11】 如图所示，AD 是ABC ∆的角平分线，DE 、DF 分别是ABD ACD ∆∆和的高，0DEF 20∠=，则BAC ∠等于________．FEDC BA【例12】 如图，已知△ABC 中，AD 平分∠BAC ，AB =6，AC =3，∠BAC =120°．求AD 的长．DCBA【例13】 附加题，黄冈市数学竞赛试题)如图所示，在ABC ∆中，AD 是BAC ∠的外角平分线，P 是AD 上异于点A 的任意一点，试比较PB PC +与AB AC +的大小，并说明理由．DPC A【巩固】在ABC ∆中，AB AC >，AD 是BAC ∠的平分线．P 是AD 上任意一点．求证：AB AC PB PC ->-．CD B PA【例14】 如图，在ABC ∆中，2B C ∠=∠，BAC ∠的平分线AD 交BC 与D ．求证：AB BD AC +=．DC B A【巩固】如图，ABC ∆中，AB AC =，108A ∠=︒，BD 平分ABC ∠交AC 于D 点．求证：BC AC CD =+．AB CD【巩固】已知等腰ABC ∆，100A ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于D ，则BD AD BC +=．BAF EDC321【例15】 如图所示，在ABC ∆中，AD 是BAC ∠的平分线，M 是BC 的中点，ME AD ⊥且交AC 的延长线于E ，12CE CD =，求证2ACB B ∠=∠．EMDCBA【例16】 如图所示，在ABC ∆中，AC AB >，M 为BC 的中点，AD 是BAC ∠的平分线，若CF AD ⊥且交AD的延长线于F ，求证()12MF AC AB =-．MFD CB A【巩固】如图所示，AD 是ABC ∆中BAC ∠的外角平分线，CD AD ⊥于D ，E 是BC 的中点，求证DE AB ∥且1()2DE AB AC =+．E DCBA【巩固】如图所示，在ABC ∆中，AD 平分BAC ∠，AD AB =，CM AD ⊥于M ，求证2AB AC AM +=．MD CBA【例17】 如图，ABC ∆中，AB AC =，BD 、CE 分别为两底角的外角平分线，AD BD ⊥于D ，AE CE ⊥于E ．求证：AD AE =．HG D AB C E【巩固】已知：AD 和BE 分别是ABC △的CAB ∠和CBA ∠的外角平分线，CD AD ⊥，CE BE ⊥，求证：⑴DE AB ∥；⑵ ()12DE AB BC CA =++．EBA D C【例18】 在ABC ∆中，MB 、NC 分别是三角形的外角ABE ∠、ACF ∠的角平分线，AM BM ⊥，AN CN ⊥垂足分别是M 、N ．求证：MN BC ∥，()12MN AB AC BC =++FEN M CBA【巩固】在ABC ∆中，MB 、NC 分别是三角形的内角ABC ∠、ACB ∠的角平分线，AM BM ⊥，AN CN ⊥垂足分别是M 、N ．求证：MN BC ∥，()12MN AB AC BC =+-N MCBA【例19】 在ABC △中，CD 、AE 分别为AB 、BC 边上的高，60B =∠，求证：12DE AC =．CE DB A【巩固】(北京市中考模拟题)如图，在四边形ABCD 中，AC 平分BAD ∠，过C 作E AB CE 于⊥，并且)(21AD AB AE +=，则ADC ABC ∠+∠等于多少？EDCBA【例20】 如图，180A D ∠+∠=︒，BE 平分ABC ∠，CE 平分BCD ∠，点E 在AD 上．① 探讨线段AB 、CD 和BC 之间的等量关系． ② 探讨线段BE 与CE 之间的位置关系．EDCB A【例21】 如图所示，在ABC ∆中，90BAC ∠=︒，AD BC ⊥于D ，BCA ∠的角平分线交AD 与F ，交AB于E ，FG 平行于BC 交AB 于G ． AE =4，AB =14，则BG =______．GFE DCBA【巩固】如图所示，在Rt 三角形ABC 中，090,C CH AB ∠=⊥于H ，AG 平分BAC ∠，交CH 于D ，交BC 于G ，在BC 上取BE =CG ，连接ED ，证明：CDE ∆是直角三角形．HEG DCBA【例22】 如图所示，90BAC DAE ︒∠=∠=，M 是BE 的中点，AB AC =，AD AE =，求证AM CD ⊥．MECDBA【巩固】 在ABC ∆中，96A ∠=，延长BC 到D ，ABC ∠与ACD ∠ 的角平分线相交于点1A ，1A BC ∠与1ACD ∠的角平分线交于2A ，…，依次类推4A BC ∠与4A CD ∠的角平分线交于5A ，求5A ∠大小．A 2A 1ABC D A B CDEFG⑵(初二第5届希望杯1试)如右上图，BF 是ABD ∠的角平分线，CE 是ACD ∠角的平分线，BE 与CF交于G ，若140BDC ∠=，110BGC ∠=，求A ∠的度数．【例23】 如图，在ABC ∆中，AB AC =，BD 、AM 分别是ABC ∠、BAC ∠的平分线，DN BC ⊥，GF BD ⊥．求证：14MN BF =．F NM G DCB A【例24】 在直角三角形ABC 中，90C ∠=︒，A ∠的平分线交BC 于D ．自C 作CG AB ⊥交AD 于E ，交AB 于G ．自D 作DF AB ⊥于F ，求证：CF DE ⊥．GABC D EF12【习题1】在ABC △中，3AB AC =，BAC ∠的平分线交BC 于D ，过B 作BE AD ⊥，E 为垂足，求证：AD DE =．C EDB A【习题2】如图，在ABC ∆中，AB BD AC +=，BAC ∠的平分线AD 交BC 与D ．求证：2B C ∠=∠．家庭作业DC B A【习题3】 AD 是ABC ∆的角平分线，BE AD ⊥交AD 的延长线于E ，EF AC ∥交AB 于F ．求证：AF FB =．DECFBA【习题4】如图所示，AD 平行于BC ，DAE EAB ∠=∠，ABE EBC ∠=∠，AD =4，BC =2，那么AB =________．【习题5】ABC ∆中，D 为BC 中点，DE BC ⊥交BAC ∠的平分线于点E ，EF AB ⊥于F EG AC ⊥于G ．求证：BF CG =．EGF DC BA【备选1】 在ABC ∆中，AD 平分BAC ∠，AB BD AC +=．求:B C ∠∠的值．月测备选EDCB ACD B A【备选2】如图，已知在ABC ∆中，3ABC C ∠=∠，12∠=∠，BE AE ⊥．求证：2AC AB BE -=．21ECBA【备选3】如图所示，在四边形ABCD 中，AD BC ∥，A ∠的平分线AE 交DC 于E ，求证：当BE 是B ∠的平分线时，有AD BC AB +=．EBCDA。
解三角形之中线角分线高线问题+课件-2023届高三数学一轮复习
3
，因为
C
0,
，所以
C
3
.
（2）不妨令
AC
3，因为 C
3
，可得
AB
3
3， BC 6 ，又因为CE 为 ACB 的角平分线，
（3）所以 AE
3 ， BE CE 2 3 ，得 DE 2 3 ，所以在△ACD 中，由余弦定理可得 AD2 CA2 CD2 2CACD cos 21，
（2） AD 是 BC 边上的中线，若 AD AB ， AB 2 ，求 AC 的长.
【解析】（1）在 ABC 中， 3acosB bsinA ，
由正弦定理得 3sinAcosB sinBsinA ，
∵ A0, ，∴sinA 0 ，∴ 3cosB sinB ，即 tanB 3 ，
∵
B 0,
高线两个作用：（1）产生直角三角形；（2）与三角形的面积相关。
典例精讲
三角形的中线问题
【例 1】在
ABC 中， AD 是 BC
边的中线， BAC
120
，且 AB AC
15 ．
2
（1）求 ABC 的面积；
（2）若 AB 5，求 AD 的长．
【解析】（1）
AB AC
AB
AC
cos120
×（b2 ＋c2）＝
9 4
，当且仅当
b＝c＝
3
时，中线
AM
的长度取得最大值
3 2
.
典例精讲
三角形的角平分线问题
【例 1】已知 ABC 的内角 A 、 B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且 ABC 的面积为 3 a2 b2 c2 ． 4
（1）求 C ；
（2）若
三角形角分线定理及其应用
三角形角分线定理及其应用三角形角分线定理是几何学中一个重要的定理，也称为切线定理。
它指出，在任意一个三角形中，如果一条边的垂线延长线，与其余两条边所形成的夹角等于该边相对邻边的内角的一半，则该垂线延长线称为三角形的角分线，也叫三角形的切线。
三角形角分线定理的证明及其解释：三角形角分线定理可以用向量法证明，假设三角形 ABC 中，点 A 点 B别是它们的角点，m∠CAB=α，加上点 C的垂线 CD，CDAB边的垂线；连接 AC BC，设AB＝a，AC＝b，BC＝c。
首先，把三角形ABC的各边的长度以向量的方式表示出来，AB＝a＝AB=AB，AC＝b＝AB+AC，BC＝c＝AC+AB。
以AB为中心，向量AB以AB为起点，AB+AC 为终点，将三角形ABC成两个三角形，即ABC BAC。
由定理：对任意一个向量，其长度的和等于该向量加上与它垂直的向量之和，及AB+AC=AB+CB，从而向量AB、AC、BC 之间满足关系式 AB+AC=2（ABCB）。
接着，把关系式式子化，我们可以得到 a+b=2（abcosα）。
经过以上的证明，我们可以得到三角形的角分线定理的证明：在任意的一个三角形中，如果一条边的垂线延长线，与其余两条边所形成的夹角等于该边相对邻边的内角的一半，则该垂线延长线称为三角形的角分线，也叫三角形的切线。
三角形角分线定理的应用：三角形角分线定理在数学领域有着重要的应用，它可以用来解决很多几何问题，如确定三角形的全部内角，确定该三角形的面积，以及计算三角形外接圆的半径等。
(1)解决三角形的所有内角：假设三角形ABC的边长分别为a，b，c，若已知三角形的两个内角∠B，∠C，那么可以利用三角形角分线定理，用下列公式求出未知角∠A：∠A=180°-(∠B+∠C)。
(2)确定三角形的面积：假设三角形ABC的边长分别为a，b，c，已知AB，BC两边相对应的内角的度数α，β，可以利用三角形角分线定理，用下列公式求出三角形ABC的面积：S=1/2*ab*sinα。
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例2、如图，△ABC的角平分线BM 和CN相交于点P. 求证：AP平分∠BAC.
练习1、如图，OD平分∠AOB，DC 垂直于OA于C，∠A+∠B=180°. 求证：AO+BO=2CO.
2010-2011香坊区七年级下期末 已知点C是∠MAN平分线上一点，∠BCD 的两边CB、CD分别与射线AM、AN相交于 B、D两点，且∠BCD+∠MAN=180°，过 点C作CE⊥AB，垂足为E. （1）当点E在线段AB上时， 求证：AB-AD=2BE.
2011-2012香坊区七年级下期末 已知△ABC中，∠C=3∠B，AF平 分∠BAC交BC于点F，BD垂直于 AF，交AF的延长线于点D.
（1）当∠C=90°时 求证：BD=AC.
2011-2012香坊区七年级下期末 已知△ABC中，∠C=3∠B，AF平 分∠BAC交BC于点F，BD垂直于 AF，交AF的延长线于点D.
练习1、如图，AB∥DC， ∠BAC和∠ADC的平分线交于BC 上一点E. （1）求证：AD=AB+CD. （2）求证：BE=CE.
这两个结论是否还成立？
练习2、如图，在△ABC中， ∠B=60°△ABC的角平分线AD和 CE相交于点O.求证：AE+CD=AC.
练习3、如图，在Rt△ABC中， AB=AC,∠BAC=90°，BD为△ABC 的角平分线，CE垂直于BD的延长 线于E.求证：BD=2CE.
例1、在△ABC中，AB＞AC.
（1）当AP是∠BAC角平分线时， AP交BC于点P，如图1所示。 求证：AB-AC＞BP-CP
例1、在△ABC中，AB＞AC.
（2）当AP是∠BAC外角平分线时， 连接PB和PC，如图2所示。 猜想AB+AC与BP+CP的大小关系， 并证明你， ∠BAC和∠ADC的平分线交于BC 上一点E. （1）求证：AD=AB+CD. （2）求证：BE=CE.
2010-2011香坊区七年级下期末 已知点C是∠MAN平分线上一点，∠BCD 的两边CB、CD分别与射线AM、AN相交于 B、D两点，且∠BCD+∠MAN=180°，过 点C作CE⊥AB，垂足为E. （2）当点E在线段AB的 延长线上时，请直接写 出线段AB、AD与BE 之间的数量关系： .
2010-2011香坊区七年级下期末 已知点C是∠MAN平分线上一点，∠BCD的两 边CB、CD分别与射线AM、AN相交于B、D两 点，且∠BCD+∠MAN=180°，过点C作 CE⊥AB，垂足为E. （3）在（2）的条件下， 若∠MAN=60°，连接BD， 作∠ABD的平分线BF交AD 于点F，交AC于点O， 连接 DO并延长交AB于 点G.BG=2,DF=5, 求线段BD的长.