含字母系数的一元二次不等式的解法
【超级经典】一元二次不等式及其解法(含答案)
1 ， 2
由函数 y 4 x 4 x 1的图象为：
2
原不等式的的解集是 { } . 方法二：∵ 原不等式等价于： (2 x 1) 0 ,
2
1 2
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∴原不等式的的解集是 { } . （4）方法一：
2 2 因为 0 ，方程 x 4 x 5 0 无实数解，
函数 y x 4x 5 的简图为：
2
所以不等式 x 4 x 5 0 的解集是 .
2
所以原不等式的解集是 . 方法二：∵ x 4x 5 ( x 2) 1 1 0
2
函数 y x 5x 的简图为：
2
因而不等式 x 5x 0 的解集是 {x | 0 x 5} .
2
方法二： x 5x 0 x( x 5) 0
2
x 0 x 0 或 x 5 0 x 5 0
解得
x 0 x 0 或 ，即 0 x 5 或 x . x 5 x 5
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【经典例题】 类型一：解一元二次不等式 例 1. 解下列一元二次不等式 （1） x 5x 0 ；
2
（2） x 4 x 4 0 ；
2
（3） x 4 x 5 0
2
思路点拨: 转化为相应的函数，数形结合解决，或利用符号法则解答. 解析： （1）方法一： 因为 (5)2 4 1 0 25 0 所以方程 x 5x 0 的两个实数根为： x1 0 ， x2 5
不等式的解法
复习重点：不等式的解法，主要有一元一次、一元二次、一元高次不等式，分式不等式，无理不等式，指数、对数不等式及含绝对值的不等式的解法；在复习中强调基本方法及易错点。
复习难点：含字母系数的二次型不等式，无理不等式解法，数形结合的方法解不等式，及不等式变形的等价性问题。
（一）各种类型不等式基本解法中的易错点：1．二次型不等式：ax2+bx+c>0(<0)易错点：<1>是否为二次不等式；<2>含字母表示的二根的大小。
2．一元高次不等式：a(x-x1)(x-x2)……(x-x n)>0。
易错点：<1>a>0时，从右上方开始穿线；<2>奇穿偶切，如(x-2)2(x+1)3>0.各因式的幂指数为奇数时穿过ox轴，若幂指数为偶数时，与ox轴相切不穿过；<3>孤立点容易遗漏。
如：(x-3)(x+2)2(x-1)≥0(x-3)(x-1)≥0或x=-2。
3．分式不等式：，易错点：<1>方法的规范，化为(1)的形式；<2>等价性；如(2)。
4．无理不等式<1>易错点：①遗漏情况(2)；②不等式组(1)，省略f(x)≥0，可简化运算。
<2>注：g(x)=0为孤立点，易遗漏。
5．含绝对值不等式：注意：<1>方法的选择：分段去绝对值号；用等价不等式解或数形结合方法解决。
<2>形如的基本解法：<i>分段讨论；<ii>数形结合。
6．指数不等式及对数不等式基本类型：<1>同底型；<2>a f(x)<b、log a f(x)<b型用定义；<3>换元法解。
易错点：<1>定义域：对数式中底数、真数的限制条件；<2>利用函数单调性，要分成底数大于1还是在0与1之间考虑。
解不等式问题重点注意：i.等价变形；ii.数形结合的方法。
一元二次不等式的解法
一元二次不等式的解法（一）学习目标：1．会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型；2．掌握求解一元二次不等式的基本方法，并能解决一些实际问题。
3．培养数形结合的能力，培养分类讨论的思想方法，培养抽象概括能力和逻辑思维能力 知识点一：一元二次不等式的定义只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式。
比如：.任意的一元二次不等式，总可以化为一般形式：)0(02>>++a c bx ax 或)0(02><++a c bx ax .知识点二：一般的一元二次不等式的解法（（1）先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数； （2）写出相应的方程)0(02>=++a c bx ax ，计算判别式∆;①0>∆时，求出两根21x x 、，且21x x <（注意灵活运用因式分解和配方法）；②0=∆时，求根ab x x 221-==； ③0<∆时，方程无解 （3）根据不等式，写出解集 经典例题透析类型一：解一元二次不等式 例1 解下列一元二次不等式（1）052<-x x ； （2）0822>--x x ； （3）0652>--x x （4）0442>+-x x ； （5）0542>-+-x x ； （6）23262x x x -++<-举一反三：【变式1】解下列不等式（1）02322>--x x ； （2）02232>+--x x（3）01442≤+-x x ； （4）0322>-+-x x . （5）()()()221332x x x +->+【变式2】解不等式：（1）6662<--≤-x x （2）18342<-≤x x类型二：已知一元二次不等式的解集求待定系数例2 不等式02<-+n mx x 的解集为)5,4(∈x ，求关于x 的不等式012>-+mx nx 的解集 举一反三：【变式1】不等式0122>++bx ax 的解集为{}23<<-x x ，则a =_______, b =________【变式2】已知关于x 的不等式02<++b ax x 的解集为)2,1(，求关于x 的不等式012>++ax bx 的解集.类型三：二次项系数含有字母的不等式恒成立恒不成立问题例3 已知关于x 的不等式03)1(4)54(22>+---+x m x m m 对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围。
一元二次不等式及其解法
2 1 ∴原不等式的解集为{x|－ ≤ x≤ }． 3 2 (2)∵ Δ＝(－ 4)2－ 4× 2× 7＝－ 40<0 ∴原不等式的解集为 Ø.
例2
1 1 已知不等式 ax ＋bx＋2>0 的解为－ <x< ， 2 3
2
求 2x2＋bx＋a<0 的解．
1 1 变式练习 2 已知不等式 ax ＋5x＋c>0 的解集为{x| <x< }， 3 2
2．不等式|x(x－2)|>x(x－2)的解集是(
)
A．(0,2)
C．(2，＋∞)
B．(－∞，0)
D．(－∞，0)∪(0，＋∞)
解析：不等式|x(x－2)|>x(x－2)的解集即x(x－2)<0的 解集，解得0<x<2，故选A. 答案：A
3．不等式－ 6x2－ x＋ 2≤ 0 的解集为( 2 1 A． {x|－ ≤ x≤ } 3 2 1 C． {x|x≥ } 2
2
1 1 故①当 0<a<1 时，(x－1)(x－ )<0⇔1<x< ； a a 1 ②当 a＝1 时，(x－1)(x－ )<0⇔(x－1)2<0⇔x∈Ø； a 1 1 ③当 a>1 时，(x－1)(x－ )<0⇔ <x<1. a a
1 综上所述：当 a<0 时，解集为{x|x< 或 x>1}；当 a a 1 ＝0 时， 解集为{x|x>1}； 当 0<a<1 时， 解集为{x|1<x< }； a 1 当 a＝1 时，解集为 Ø；当 a>1 时，解集为{x| <x<1}． a
)
2 1 B．{x|x≤－ 或 x≥ } 3 2 2 D． {x|x≤－ } 3
含字母参数的一元二次不等式的解法
含字母参数的一元二次不等式的解法一元二次不等式的解法是解不等式中最基本﹑最重要的内容，很多解不等式题都需要转化为一元二次不等式来解决，特别是含参数的一元二次不等式解法在近几年高考中屡屡出现，应给与予足够的重视与强化。
下面分类介绍含参数的一元二次不等式的解法。
一﹑ 两根中有参数例1解关于x 的不等式<0 (.解：方程=0的根为x=或x=.1) 当a<0或a>1时，有，此时不等式的解集为2) 当0<a<1时，有a>，此时不等式的解集为{x| <x<a};3) 当a=0或a=1时，有=a ，此时不等式的解集为.综上，当a<0或a>1时，原不等式的解集为当0<a<1时，原不等式的解集为{x| <x<a};当a=0或a=1时，原不等式的解集为.评注：一元二次不等式的解集与它对应的方程的两根的大小有关，若两根中含有参数并其大小不确定时，要分类讨论，分界数就是使两根相等的参数的取值。
二﹑判别式中有参数例2解关于x 的不等式，解：1)当<0, 即a>1时，对所有实数x ，都有，此时不等式的解集为R ；2)当=0，即a=1时，不等式的解集为{x|x≠1};3)当>0,即0<a<1时,方程的根为此时不等式的解集为{x|综上，当a>1时，原不等式的解集为R ；当a=1时，原不等式的解集为{x|x≠1};当0<a<1时，原不等式的解集为{x|。
评注：一元二次不等式，当二次项的系数符号确定时，他的解集与其判别式的符号有关，要求出其解集，一般分为：>0，=0与<0三种情况。
三﹑二次项系数中有参数例3 已知a >0，解关于x 的不等式：解：原不等式等价于（1） 当>0，即a >1时，<0 ②等价于x ≥0,或x ≤, x ≥0.（2） 当=0, 即a =1时，②等价于x ≥0, x ≥0.（3） 当<0, 即0<a <1时，②等价于0≤x ≤, ∴0≤x ≤.综上,当0<a <1时 ,原不等式的解集为{x ∣0≤x ≤};当a ≥1时, 原不等式的解集为{x ∣x≥0}.例4 已知m ，解关于的不等式：(m+3)>0解：（1）当m+3>0,即m>-3时,. 若>0,即-3<m<6时，方程(m+3)=0的两根为或, 不等式的解集为{x ∣x>，2a 2a 2a 2a ∆∆∆21a -∴21a -221a a -221aa -∆或x<}；若=0,即m=6时,原不等式变为,解集为若<0,即m>6时, 不等式的解集为R.(2) 当m+3=0,即m=-3时, 原不等式变为-6x-5>0, 解集为{x|x<}.(3) 当m+3<0,即m<-3时, =4(6-m)>0,< ,不等式的解集为{x ∣<x<}.综上所述, 当m<-3时, 原不等式解集为{x ∣<x<},当m=-3时, 原不等式解集为{x|x<},当-3<m<6时,原不等式的解集为{x ∣x>，或x<},当m=6时, 原不等式的解集为当m>6时, 原不等式的解集为R.评注:由以上两例可知,解不等式应按以下步骤进行分类讨论:1.若a 的符号不确定应先分a>0,a=0,a<0三种情况讨论.2.若a ≠0,就确定方程是否有解,有几解,即分 >0, =0, <0 三种情况讨论.3. 若方程有两不同解,则需比较这两根的大小.四 ﹑与含参数的一元二次不等式的解有关的问题例5 已知不等式对任意实数x 恒成立,求实数的取值范围.解:满足题意当且仅当m=0或,即m=0或,所以实数m 的取值范围是-1<m ≤0.例6 设均是非零实数，不等式和的解集分别为集合M 和N ，那么“”是“M=N”的( ).A 充分非必要条件B 必要非充分条件C 充要条件D 既非充分又非必要条件解：如果>0,则“M=N”，如果<0，则“M≠N”.∴“”不是“M=N”的充分条件；反之，若M=N=，即说明二次不等式的解集为空集，与它们的系数比无任何关系，只需要判别式小于零。
一元二次不等式及其解法
Δ＞0 {x|x＜x1 或x＞
R
{x|x1＜x＜x2}
∅
∅
当一元二次不等式二次项系数a＜0时，不等式该怎
么解？当首项系数为含有字母参数时，解不等式，应
该注意哪些问题？ 提示：(1)当一元二次不等式的首项系数a＜0时，要 首先在不等式两边同乘以－1，使首项系数为正，然后
2.对于解含有参数的二次不等式，一般讨论的顺序是： (1)讨论二次项系数是否为0，这决定此不等式是否为二次
不等式；
(2)当二次项系数不为0时，讨论判别式是否大于0； (3)当判别式大于0时，讨论二次项系数是否大于0，这决 定所求不等式的不等号的方向； (4)判断二次不等式两根的大小.
解下列不等式：
对于这类问题，应紧抓“定义”，转化为一般关系式，从而 进行求解.若运算法则不变，试求满足x⊙(x－m)＜0的实数 x的取值范围.
(2)0＜x2－x－2≤4， (3)ax2－(a＋1)x＋1＜0(a＞0).
解：(1)法一：原不等式可化为3x2－19x＋6≤0，
方程3x2－19x＋6＝0的解为x1＝ ，x2＝6.
函数y＝3x2－19x＋6的图象开口向上且与x轴有两个交点
( ，0)和(6,0). ≤x≤6}.
所以原不等式的解集为{x|
解：法一：f(x)＝(x－a)2＋2－a2，此二次函数图象的对 称轴为x＝a. ①当a∈(－∞，－1)时，f(x)在[－1，＋∞)上单调递增， f(x)min＝f(－1)＝2a＋3.要使f(x)≥a恒成立，只需f(x)min≥a， 即2a＋3≥a，解得－3≤a＜－1；
②当a∈[－1，＋∞)时，f(x)min＝f(a)＝2－a2，
所以0＜x＜5，所以所求x的范围是(0,5).
7144一元二次不等式的解法
§1.5.2一元二次不等式的解法（二）班级 学号 姓名目标要点：掌握含字母系数的不等式及恒成立问题的解法。
一、基础练习1、不等式022>++bx ax 的解集为{x ︱3121<<-x }，则a+b=----------（ ）. A 、-14 B 、14 C 、-10 D 、102、已知不等式03222>-+-a ax ax 的解集为∅，则a 的取值范围是----（ ）A 、3≥aB 、0≤aC 、0<aD 、3>a 3、若a ＞b 时，不等式x 2-(a+b)x+ab ＜0的解集为--------------------（ ）A ．{x|x ＞a 或x ＞b}B ．{x|x ＜a 或x ＞b}C ．{x|a ＜x ＜b}D ．{x|b ＜x ＜a}4、若方程x 2+(m+2)x+m+5=0的两根均为正数，则m 的取值范围是______．5、设不等式13642222<++++x x k kx x 对于一切实数x 都成立，则k 的范围是___________. 二、能力培养6、已知集合A={x|x 2-5x+4≤0}，B={x|x 2-5x+6≥0}则A ∩B=------------（ ）A ．{x|1≤x ≤2或3≤x ≤4}B ．{x|1≤x ≤2，且3≤x ≤4}C ．{1，2，3，4}D ．{x|-4≤x <-1或2≤x ≤3}7、若对于任何实数，二次函数y=ax 2-x+c 的值恒为负，那么a 、c 应满足( )A. 0>a 且41≤ac B 、0<a 且41<ac C 、0<a 且41>ac D 、0<a 且0<ac 8、不等式)0(,05422<>--a a ax x 的解集为_______________________________.9、设不等式0442≤+-x x 的解集为A ，关于x 的不等式0922<+-a x x 的解集为B ，若B A ⊆，则实数a 组成的集合为______________________.10、解下列关于x 的不等式（1）05422>--a ax x （2）012>++ax x三、综合拓展12、设I=R ，集合A={x ︱022<-x x },B={x ︱0342≤+-x x },求)()(B C A C u u ⋃。
一元二次不等式的解法
一元二次不等式的解法一、学习目标1.掌握一元二次不等式的解法步骤，能熟练地求出一元二次不等式的解集。
2.掌握一元二次不等式、一元二次方程和二次函数的联系。
二、例题第一阶梯例1什么是一元二次不等式的一般式？【解】一元二次不等式的一般式是：ax2+bx+c(a＞0)或ax2+bx+c＜0(a＞0)【评注】1.一元二次不等式的一般式中，严格要求a＞0，这与一元二次方程、二次函数只要求a≠0不同。
＜0 2.任何一元二次不等式经过变形都可以化成两种“一般式”之一，当a1时，将不等式乘－1就化成了“a＞0”。
例2、一元二次不等式、一元二次方程和二次函数的联系是什么？【点拨】用函数的观点来回答。
【解】二次不等式、二次方程和二次函数的联系是：设二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)的图象是抛物线L，则不等式ax2+bx+c＞0，ax2+bx+c＜0的解集分别是抛物线L在x轴上方，在x轴下方的点的横坐标x的集合；二次方程ax2+bx+c=0的根就是抛物线L与x轴的公共点的横坐标。
【评注】二次不等式、二次方程和二次函数的联系，通常称为“三个二次问题”，我们要深刻理解、牢牢掌握，并灵活地应用它。
它是函数与方程思想的应用范例。
应用这“三个二次”的关系，不但能直接得到“二次不等式的解集表”，而且还能解决“二次问题”的难题。
例3请你自己设计一张好用的“一元二次不等式的解集表”。
【解】一元二次不等式的解集表：【评注】1.不要死记书上的解集表，要抓住对应的二次方程的“根”来活记活用。
2.二次方程的解集求法属于“根序法”（数轴标根）。
例4、写出一元二次不等式的解法步骤。
【解】一元二次不等式的解法步骤是：1.化为一般式ax2+bx+c＞0 (a＞0)或ax2+bx+c＜0 (a＞0)。
这步可简记为“使a＞0”。
2.计算△=b2－4ac，判别与求根：解对应的二次方程ax2+bx+c=0，判别根的三种情况，△≥0时求出根。
3.写出解集：用区间或用大括号表示解集。
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全方位教学辅导教案
学科：数学任课教师：夏应葵授课时间：2013年3 月 21 日星期三学号
姓名林康性别男年级高一总课次: 第 18 次课
教学
内容
含字母系数的一元二次不等式的解法
重点
难点
含字母系数的一元二次不等式的解法
教学目标
使学生在掌握基本的一元二次不等式的解法的基础上，掌握含字母系数的一元二次不等式的解法，从而使学生掌握高中数学中的一种重要的数学思想-------分类讨论思想。
，教学过程课前
检查
与交
流
作业完成情况：
交流与沟通：
针
对
性
授
课
一、课前练习
1. 一次函数)
(x
f
y=满足15
16
)]
(
[+
=x
x
f
f,)
(x
f
y=的解析式为（）
A.255
256
)
(+
=
=x
x
f
y B.3
4
)
(-
=
=x
x
f
y
C.3
4
)
(+
=
=x
x
f
y C.2
5
)
(+
=
=x
x
f
y
2. 已知1
2
)1
ln(
)
(+
+
+
=x
x
x
f，则方程0
)
(=
x
f的解所在的区间是（）
A.(0,1)
B.)
2
1
,1
(-
- C.)0,
3
1
(- D. )
3
1
,1
(-
-
3.函数1
4
)
(2+
+
=x
ax
x
f在区间]4,1[上的最小值为)
(a
g，则（）A.
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
-
≤
+
-
<
≤
-
-
=
<
≤
-
>
+
=
2
,
17
16
2
1
2
,
4
1
,5
2
1
,5
)
(
a
a
a
a
a
a
a
a
a
g
或
B.
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
-
≤
+
-
<
≤
-
-
<
≤
-
>
+
=
2
,
17
16
2
1
2
,
4
1
2
1
,5
)
(
a
a
a
a
a
a
a
a
g
或
C.
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
-
≤
+
-
<
≤
-
+
<
≤
-
>
+
=
2
,
17
16
2
1
2
,
4
1
2
1
,5
)
(
a
a
a
a
a
a
a
a
g
或
D.
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
-
<
-
<
≤
-
>
+
=
2
1
,
4
1
2
1
,5
)
(
a
a
a
a
a
a
g
或
4. 不等式
03283≥---x
x 的解集为___________________。
5.已知二次函数1)12()2()(2+-++=x a x a x f ，则)(x f 在]2,1[∈x 的最小值是
___________________。
6. 已知不等式0952≥+-x ax 的解集为M ，不等式0162<-+x x 的解集为N. （1）若N M ⊂,求a 的取值范围； （2）a 为何值时，M N ⊆?
7.下面四个命题：
①偶函数的图象一定与y轴相交；②奇函数的图象一定通过原点；
③偶函数的图象关于y轴对称；④既是奇函数，又是偶函数的函数一定是f(x)＝0(x∈R)．
其中正确命题的个数是( )．
A．1 B．2 C．3 D．4
8.函数y＝x2－6x＋10在区间(2，4)上是()．
A．递减函数B．递增函数
C．先递减再递增D．先递增再递减
9.若集合A＝{x | x2＋(a－1)x＋b＝0}中，仅有一个元素a，则a＝___ ，b＝___ ．
10.设f(x)是R上的奇函数，且当x∈［0，＋∞)时，f(x)＝x(1＋x3)，那么当x∈(－∞，0］时，
求函数f (x)的解析式。
11.解下列各不等式：
（1）0)23)(2(≥--x x （2）0762<++-x x
二、知识梳理
一元二次不等式20(0)ax bx c a ++>>与相应的函数2(0)y ax bx c a =++>、相应的方程
2
0(0)ax bx c a ++=>之间的关系：
判别式
ac
b 42
-=∆
0>∆ 0=∆ 0<∆
二次函数
c
bx ax
y ++=2
（0>a ）的图象
一元二次方程
()的根
00
2
>=++a c bx ax
有两相异实根 )(,2121x x x x <
有两相等实根
a
b x x 221-
==
无实根
的解集
)0(0
2
>>++a c bx ax
{}2
1
x x x x x ><或
⎭
⎬⎫⎩⎨⎧-≠a b x x 2
R
的解集
)0(0
2
><++a c bx ax
{}21
x x x
x <<
∅
∅
三、例举 1.解不等式
（1）)0(0)1(2>≥--+a a x a x
（2）0)1(2≥--+a x a x
【变试练习】解不等式
（1）02)2(2<++-a x a x )0(<a
（2）（1）02)2(2<++-a x a x
2.解不等式：01≥-+m
x x
【变试练习】解不等式：03≤--t
x x
3. (12年高考广东卷第21小题) （本小题满分14分）设01
<<集合
a
2
=∈>=∈-++>D A B
{|0},{|23(1)60},
A x R x
B x R x a x a
=⋂.
(1)求集合D(用区间表示)
四、课堂练习
解下列各不等式
（1）已知关于x的不等式:0
-ax
-
x(a﹥0)
)(
)2
2
(≥
（2）解关于x的不等式：x2－ax－2a2＜0
五、课后练习
1.解下列各不等式
（1）5
-
|≤
+x
x
+
|1
|
|
2
（2）0
-m
x
+
x
)(
)
1
(≤
全方位课外辅导体系
Comprehensive Tutoring Operation System
11 （3）
022)1(22≥+++-x a
x a x
课 后 作 业
签字 教研组长： 教学主任： 学生： 教务老师： 家长：
老师 课后 评价 下节课的计划：
学生的状况、接受情况和配合程度：
给家长的建议：
TA-65。