第10讲.含字母系数的方程和不等式

【例1】⑴已知方程24(1)2x ax+=-的解为3x=，则a=；⑵已知4-是方程3602kx-=的解，则1999k=．【解析】⑴根据方程解的意义，把3x=代入原方程，得234(31)2a⨯+=-，解这个关于a的方程，得10a=．⑵根据题意可得3(4)602k⨯--=，1k=-，则19991k=-．【例2】如果3826x x+--与2113x+-互为相反数，且x满足方程3ax a x-=+，求a的值．夯实基础模块一含字母系数的一元一次方程10含字母系数的方程和不等式【解析】 212x =，2719a =.【拓展】若12x m =是方程21423x m x m ---=的解，求代数式()211428142m m m ⎛⎫-+--- ⎪⎝⎭的值． 【解析】将12x m =代入方程21423x m x m---=， 得112()122423m m m m---=，解得3m =． 化简代数式：原式221121122m m m m =-+--+=--当3m =时，原式9110=--=-．【例3】 ⑴ 当a ，b 时，方程1ax x b +=-有唯一解；当a ，b 时，方程1ax x b +=-无解；当a ，b 时，方程1ax x b +=-有无穷多个解．⑵ 解关于x 的方程()()134m x n x m -=-．【解析】 ⑴ 1a b ≠，为任意数；11a b =≠-，；11a b ==-，. ⑵ 去分母，化简可得：(43)43m x mn m -=-当34m ≠时，方程的解为4343mn mx m -=-；当34m =，34n =时，解为任意值；当34m =，34n ≠时，方程无解．【例4】 ⑴ 已知关于x 的方程2(1)(5)3a x a x b -=-+有无穷多个解，那么a = ，b = ；⑵ 已知关于x 的方程3(2)(21)5a x b x +=-+有无穷多个解，求a 与b 的值．【解析】⑴ 2253ax a x ax b -=-+，即(35)23a x a b -=+，故350a -=且230a b +=，即53a =，109b =-；⑵ 方程可以化为：(321)56a b x a -+=-，因为方程有无数多个解，所以3210,560a b a -+=-=，解得：56a =，74b =．【巩固】已知：关于x 的方程32ax x b +=-有无穷多个解，能力提升试求2011()5aba b x x a b a b+-=-++的解. 【解析】 原方程整理为(2)3a x b -=--，因为当20a -=且30b --=该方程有无数多组解，所以23a b ==-，，把23a b ==-，代入2011()5aba b x x a b a b+-=-++得610x x --=，解得107x =-.【例5】 已知关于x 的方程(21)32a x x -=-无解，试求a 的值．【解析】由题意得：(23)2a x a -=-，故230a -=且20a -≠，即32a =时方程无解．【例6】 ⑴ 若a ，b 为定值，关于x 的一元一次方程2236ka x bx--=，无论k 为何值时，它的解总是1x =，求a 和b 的值．⑵ 如果不论k 为何值，1x =-总是关于x 的方程2123kx a x bk+--=-的解，则a = ，b = ．【解析】⑴ 因为该方程的解为1x =，代入原方程可得到：21236ka b--=，即413ak b =-①，又因为原方程的解不论k 取何值时都是1x =，这说明方程①有无数多个解， 即40a =且130b -=，所以0a =，13b =．⑵ 原方程整理为以k 为未知数的方程(32)310b k a -=+．对于任何实数k 的方程有1x =-，所以有3203100b a -=⎧⎨+=⎩，求得103a =-，32b =．【例7】 已知：333n x m n p ++-=与2321m x m np --+=-都是关于x 的一元一次方程，且它们的解互为相反数，求关于x 的方程115x p -+=的解．（人大附中期中练习）【解析】 由题意可知，312211n n m m +==-⎧⎧⇒⎨⎨-==⎩⎩，故题中的两个方程变为1x p +=和42x p -=，由上述两个方程的解互为相反数可知，114205p p p -++=⇒=-，故方程115x p -+=变为1111655x x --=⇒-=，从而可知，5x =-或7x =．探索创新【例8】 解关于x 的不等式：⑴ 13kx +> ⑵ 132kx x +>- ⑶ 36mx nx +<--⑷ ()212m x +<【解析】 ⑴ 移项得：2kx >当0k >时，解集为2x k> 当0k <时，解集为2x k<当0k =时，不等式变为02x ⋅>，故不等式无解 ⑵ 移项，合并同类项得：()33k x ->-当30k ->，即3k >时，不等式解集为33x k ->- 当30k -<，即3k <时，不等式解集为33x k -<- 当30k -=时，即3k =时，不等式变为03x ⋅>-，故不等式解集为任意数. ⑶ 不等式变形得：()9m n x +<-，因不知()m n +的正负性，故分类讨论夯实基础模块二 含字母系数的一元一次不等式①当0m n +>，即m n >-时，解集为9x m n <-+ ②当0m n +<，即m n <-时，解集为9x m n>-+③当0m n +=，即m n =-时，不等式无解.⑷ ∵210m +>，∴不等式解集为221x m <+【例9】 ⑴ 已知关于x 的不等式()()3419x a x -<-+的解集是1x >，求a 的值．⑵ 已知关于x 的不等式24132m x mx +-≤的解集是34x ≥，那么m 的值是多少？ 【解析】⑴ 解这个不等式：33449x a x -<-+34349x x a -<-+ 35x a >--∵解集是1x >，∴351a --=，解得2a =-． ⑵ 由24132m x mx +-≤得(102)3m x -≥， 要使其解集为34x ≥，则1020m ->且331024m =-，即35m =【巩固】当3a >时，不等式23ax x b +<+的解集是0x <，则b =（重庆市竞赛题）【解析】 2b =【例10】 ⑴ 已知3x =是关于x 的不等式22323ax xx +->的解，求a 的取值范围． ⑵ 已知关于x 的不等式()110m x m -+->的解集是1x <-，求m 的取值范围．【解析】⑴ 将3x =代入不等式，得32922a +->．解这个不等式，得4a <． ⑵ ∵()110m x m -+->∴()()11m x m ->-- ∵最终的解集为1x <-， ∴10m -<， ∴1m <．【例11】 已知12(3)(21)3a a -<-，求关于x 的不等式(4)5a x x a ->-的解集．【解析】由12(3)(21)3a a -<-解得174a <，故有50a -<，所以解关于x 的不等式(4)5a x x a ->-可得5ax a <--． 能力提升【例12】 已知关于x 的不等式(2)50a b x a b -+->的解是107x <．求0ax b +>的解集． 【解析】根据题意有20a b -<且51027b a a b -=-，可得35b a =，0a <，所以0ax b +>的解集为35x <-．【巩固】已知m 、n 为实数，若不等式(2)340m n x m n -+-<的解集为49x >， 求不等式(4)230m n x m n -+->的解集．【解析】由不等式(2)340m n x m n -+-<得(2)43m n x n m -<-，因为它的解集为49x >，所以有20m n -<，且43429n m m n -=-，可得：78n m =且0m <，把78n m =代入(4)23m n x m n -+-＞0得52m x -＞58m ， 由m ＜0，得解集为 14x >-．知识模块一 含字母系数的一元一次方程 课后演练【演练1】 已知关于x 的方程332axa x +=+的解为4x =， 求代数式23456...99100a a a a a a a a -+-+-++-的值．【解析】方程332ax a x +=+的解为4x =，则有43432aa +=+，求得1a =-，23456...991005050a a a a a a a a a -+-+-++-=-=．【演练2】 ⑴ 已知关于x 的方程2(1)(5)3a x a x b -=-+无解，那么a = ，b ；⑵ 如果关于x 的方程2(3)15(23)326kx x +++=有无穷多个解，求k 值． 【解析】 ⑴ 2253ax a x ax b -=-+，即(35)23a x a b -=+，故350a -=且230a b +≠，即53a =，109b ≠-⑵ 原方程整理得(410)0k x -=，由方程有无数个解得4100k -=，52k =．【演练3】 若a 、b 为定值，关于x 的一元一次方程2236kx a x bk+--=，无论k 为何值时，它的解总是1x =，求23a b +的值． 【解析】方程2236kx a x bk+--=可化为：(41)212k x a bk -++=，由该方程总有解1x =可知41212k a bk -++=，即(4)132bk a +=-，又k 值为任意，故401320b a +=⎧⎨-=⎩，231a b +=．知识模块二 含字母系数的一元一次不等式 课后演练【演练4】 ⑴ 解关于x 的不等式：21123x a x a --+>+； ⑵ 解关于x 的不等式：23mx +＜3x n +； ⑶ 解关于x 的不等式：32(1)x a x +≥-．【解析】⑴ 去分母，得336642x a a x -+>+-移项，合并同类项得98x a ->- ∴98x a <-+⑵ 由原不等式，得：(23)m x -＜3n -当230m ->，即32m >时，其解集为323n x m -<-实战演练当230m-<，即32m<时，其解集为323nxm->-当230m-=，即32m=时，若30n->，即3n>，解集为所有数；若30n-≤，即3n≤，原不等式无解．⑶由不等式32(1)x a x+≥-得(3)2a x a-≤+若30a->，则23axa+≤-；若30a-=，即3a=，原不等式可变形为：23≥-恒成立，所以x可取任意数；若30a->，则23axa+≥-．【演练5】⑴若不等式ax a<的解集是1x>，则a的取值范围是______．⑵已知a、b为常数，若0ax b+>的解集为13x<，则0bx a-<的解集是（）A. 3x>- B. 3x<- C. 3x> D. 3x<【解析】⑴0a<；⑵B【演练6】已知关于x的不等式()230a b x a-+>的解集为32x>，求不等式ax b>的解集．【解析】原不等式可化为()23a b x a->-．由于它的解集是32 x>，∴203322a baa b->⎧⎪⎨-=⎪-⎩①②，化简②，得4b a=，代入①，解得0a<．所以不等式ax b>的解集为bxa<，即4x<．。