湖南省湘潭市2018届高三下学期第三次模拟考试数学(文)试题+Word版含答案

2018届高三第三次模拟考试数学文科试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2{|12},{|0}m x x N x x mx =-<<=-<，若{|01}M N x x =<<，则m 的值为（ ）A ．1B ．1-C ．1±D ．22. 命题:2,230x p x ∀>-> 的否定是（ ）A ．2,230xx ∀>-≤ B ．2,230xx ∀≤-> C ．002,230xx ∃>-≤ D ．002,230x x ∃>->3. 设i 为虚数单位，若复数()12az i a R i=+∈-的实部与虚部互为相反数，则a = （ ） A ．5- B ．53- C ．1- D ．13-4.已知变量,x y 之间的线性回归方程为ˆ0.710.3yx =-+，且变量,x y 之间的一组相关数据如下表所示，则下列说法错误的是 （ ）A ．变量,x y 之间呈现负相关关系B ．可以预测，当20x =时， 3.7y =-C ．4m =D ．由表格数据可知，该回归直线必过点(9,4) 5. 在等差数列{}n a 中，35712a a a +=-，则19a a +=（ ） A ．8 B ．12 C ．16 D ．206. 在同一直角坐标系中，函数()()2,log (2)(0a f x ax g x x a =-=+>且1)a ≠的图象大致为（ ）7. 数的概念起源于大约300万年前的原始社会，如图1所示，当时的人类用在绳子上打结的方法来记数，并以绳结的大小来表示野兽的大小，即“结绳计数”，图2所示的是某个部落一段时间内所擒获猎物的数量，在从右向左一次排列的不用绳子上打结，右边绳子上的结每满7个的左边的绳子上打一个结，请根据图2计算该部落在该段时间内所擒获的猎物总数为（ ）A ．336B ．510C ．1326D ．36038. 执行如图所示的程序框图，则输出的a = （ ） A ．14-B ．45C ．4D ．59.若函数()24log ()(0,m x mf x m x+=>且1)m ≠在[]2,3上单调递增，则实数m 的取值范围是 （ ）A ．(1,36]B ．[36,)+∞C ．(1,36][36,)+∞D ．(1,16]10. 已知实数,x y 满足2220240x y x y x y -≥⎧⎪++≥⎨⎪--≤⎩，若方程2260x y y k ++-=有解，则实数k 的最小值是（ ） AB ．295- CD ．16511. 将函数()2cos2f x x x =- 的图象向左平移(0)t t >个单位后，得到函数()g x 的图象， 若()()12g x g x π=-，则实数t 的最小值为（ ）A ．524πB ．724πC ．512πD ．712π12. 已知关于x 的不等式2(2)1x x m x x e e -+≥在(,0]-∞上恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．[1,)+∞B ．[0,)+∞C ．1[,)2-+∞ D ．1[,)3+∞第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.已知向量(2,1),(1,),(3,3)a b x x c x x ==-=-，满足//a b ，且2b a =，则向量,b c 的夹角的余弦值 ．14. 双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的离心率为2，其渐近线与圆223()4x a y -+=相切，则该双曲线的方程是 ．15.已知球面上有四个点,,,A B C D ，球心为点O ，O 在CD 上，若三棱锥A BCD -的体积的最大值为83，则该球O 的表面积为 ． 16.在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知tan 23,1tan A ca B b=+=，则b c +的最大值为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知正项的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22312,22a S a =+=.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若2l o g3n n b a =+，数列11{}n n b b +的前n 项和为n T ，求满足13n T >的正整数n 的最小值. 18. 新鲜的荔枝很好吃，但摘下后容易变黑，影响卖相，某大型超市进行扶贫工作，按计划每年六月从精确扶贫户订购荔枝，每天进货量相同每公斤20元，售价为每公斤24元，未售完的荔枝降价处理，以每公斤16元的价格当天全部处理完，根据往年情况，每天需求量与当天平均气温有关，如果平均气温不低于25摄氏度，需求量为300n =公斤；如果平均气温位于[20,25)摄氏度，需求量为200n =公斤；如果平均气温位于[15,25)摄氏度，需求量为100n =公斤；如果平均气温低于15摄氏度，需求量为50n =公斤，为了确定6月1日到30日的订购量，统计了前三年6月1日到30日各天的平均气温数据，得到如图所示的频数分布表：（1）假设该商场在这90天内每天进货100公斤，求这90天荔枝每天为该商场带来的平均利润（结果取整数）；（2）若该商场每天进货为200公斤，以这90天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天该商场不亏损的概率.19.如图，PAD ∆是边长为3的等边三角形，四边形ABCD 为正方形，平面PAD ⊥平面ABCD ，点,E F 分别为,CD PD 上的点，且12PF CE FD ED ==，点G 为AB 上的一点，且AGGBλ=. （1）当12λ=时，求证：//PG 平面AEF ； （2）当FG AC ⊥时，求三棱锥A EFG -的体积.20. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>> 的离心率为2，且椭圆C 过点)2-，过点(1,0)做两条相互垂直的直线12,l l 分别与椭圆C 交于,,,P Q M N 四点.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若,M S SN PT TQ ==，探究：直线ST 是否过定点？若是，请求出定点坐标；若不是，请说明理由.21.已知函数()ln ()f x x x m m R =--∈ . （1）若函数()f x 有两个零点，求m 的取值范围；（2）证明：当3m ≥-时，关于x 的不等式()(2)0f x x +-<在1[,1]2上恒成立. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.在直角坐标系中，曲线221:1C x y +=经过伸缩变换2x xy y '=⎧⎨'=⎩后得到曲线2C ，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标，曲线3C 的极坐标方程为2sin ρθ=-. （1）求出曲线23,C C 的参数方程；（2）若,P Q 分别是曲线23,C C 上的动点，求PQ 的最大值. 23.已知函数()225f x x =+-. （1）解不等式：()1f x x ≥-；（2）当1m ≥-时，函数()()g x f x x m =+-的图象与x 轴围成一个三角形，求实数m 的取值范围.试卷答案一、选择题1-5: ACBCA 6-10: ABDDB 11、B 12：C 二、填空题13. 14.2213y x -= 15.16π 16.6 三、解答题17.解：（1）由题意知，22122a S =+，所以212122a a a =++，得2112a a =+， 设等比数列{}n a 的公比为q ， 又因为32a =，所以22212q q =+，化简得2440q q -+=，解得2q =， 所以3323222n n n n a a q---==⋅=.（2）由（1）知，222log 3log 23231n n n b a n n -=+=+=-+=+，所以11111(1)(2)12n n b b n n n n +==-++++，所以121111112334122(2)n n nT b b b n n n =+++=-+-++-=+++， 令13n T >，得12(2)3n n >+，解得4n >， 所以满足13n T >的正整数n 的最小值是5. 18.解：（1）当需求量100n ≥时，荔枝为该商场带来的利润为4100400⨯=元； 当需求量100n <，即50n =时，荔枝为该商场带来的利润4504500⨯-⨯=元， 所以这90天荔枝每天该商场带来的平均为204008839190⨯+⨯≈元.（2）当需求量200n ≥时，荔枝为该商场带来的利润为4200800⨯=元； 当需求量100n =时，荔枝为该商场带来的利润410041000⨯-⨯=元， 当需求量50n =时，荔枝为该商场带来的利润4504150400⨯-⨯=-元， 所以当天该商场不亏损，则当天荔枝的需求量为100,200或300公斤， 则所求概率902449045P -==.19.解：（1）连CG 接，当12λ=时，,//CE AG CE AG =,所以四边形AECG 是平行四边形，所以//AE CG 因为12PF CE FD ED ==，所以//EF PC ，因为AE EF E =，PC CG C = ，所以平面//PCG 平面AEF ，又PG ⊂平面PCG ，所以//PG 平面AEF . (2) 取AD 的中点为O ，连接PO ，则PO AD ⊥， 因为平面PAD ⊥平面ABCD ，所以PO ⊥平面ABCD ，过点F 作FH AD ⊥于点H ，连接GH ，则22323FH PO === 因为2DH DF HO PF ==，所以213DH OD ==， 因为,,PO AD FH AD PO ⊥⊥⊥平面ABCD ，所以FH ⊥平面ABCD , 所以FH AC ⊥，又FG AC ⊥，所以AC ⊥平面FGH ，所以AC GH ⊥， 又ABCD 为正方形，所以AC BD ⊥，所以//GH BD ，所以2AG AH ==，所以112332A EFG F AGE V V --==⨯⨯⨯=20. 解：（1）由题意知2222231122a a b a b c b c c a⎧+=⎪=⎧⎪⎪⎪=+⇒=⎨⎨⎪⎪=⎩⎪=⎪⎩，所以椭圆的方程为22142x y +=. （2）因为,MS SN PT TQ ==，所以,S T 分别为,MN PQ 的中点， 当两直线的斜率存在且不为0时，设直线1l 的方程为(1)y k x =- ， 则直线2l 的方程为112233441(1),(,),(,),(,),(,)y x P x y Q x y M x y N x y k=--， 联立22142(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，得22222(21)42404160k x k x k k +-+-=⇒∆=+>， 22121222424,2121k k x x x x k k -+==++，所以PQ 的中点T 的坐标为2222(,)2121k kk k -++， 同理，MN 中点S 的坐标为222(,)22k k k ++，所以232(1)ST kk k -=-， 所以直线ST 的方程为222232()212(1)21kk k y x k k k -+=-+++， 即232()2(1)3k y x k -=-+，所以直线ST 过定点2(,0)3， 当两直线的斜率分别为0和不存在时，则直线ST 的方程为0y =，也过点2(,0)3， 综上所述，直线ST 过定点2(,0)3.21.解：（1）令()ln 0f x x x m =--=，所以ln m x x =-， 令()ln g x x x =-，所以()111x g x x x-'=-=， 令()0g x '>，解的01x <<，()0g x '<，解的1x >，则函数()g x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，所以()max (1)1g x g ==-， 要使函数()f x 有两个零点，则函数()g x 的图象与y m =由两个不同的交点，则1m <-，即实数m 的取值范围为(,1)-∞-.（2）因为()(2)0x f x x e +-<，所以(2)ln x m x e x x >-+-， 设()1(2)ln ,[,1]2xh x x e x x x =-+-∈，所以()1(1)()xh x x e x'=--，设()1xu x e x =-，所以()210xu x e x '=+>，则()u x 在1[,1]2上单调递增，又()1()20,1102u u e =<=->， 所以01(,1)2x ∃∈，使得0()0u x =，即01x ex =，所以00ln x x =-， 当01(,)2x x ∈时，()()0,0u x h x '<>；当0(,1)x x ∈时，()()0,0u x h x '><； 所以函数()h x 在01[,]2x 上单调递增，在0[,1]x 上单调递减， 所以()00000000max 0012()(2)ln (2)212xh x h x x e x x x x x x x ==-+-=-⋅-=--， 设()212x x x ϕ=--，则()22222212x x x x ϕ-'=+-=，当1(,1)2x ∈时，()0x ϕ'>恒成立，则()x ϕ在1(,1)2上单调递增， 所以()()13x ϕϕ<=-，即当1[,1]2x ∈时，()3h x <-，当3m ≥-时，关于x 的不等式()(2)0xf x x e +-<在1[,1]2x ∈上恒成立.22.解：（1）曲线221:1C x y +=经过伸缩变换2x x y y'=⎧⎨'=⎩，可得曲线2C 的方程为2214x y += ，所以参数方程为2cos (sin x y ααα=⎧⎨=⎩为参数）曲线3C 的极坐标方程为2sin ρθ=-，即22sin ρρθ=-，所以曲线3C 的直角坐标方程为222x y y +=-，即22(1)1x y ++=，所以其参数方程为cos (1sin x y βββ=⎧⎨=-+⎩为参数）（2）设(2cos ,sin )P αα，则P 到曲线3C 的圆心(0,1)- 的距离d===因为sin[1,1]α∈-，所以当1sin3α=时，max3d=，所以maxmax1PQ d r=+=23.解：（1）由题意知，原不等式等价于12251xx x≤-⎧⎨---≥-⎩或112251xx x-<≤⎧⎨+-≥-⎩或12251xx x>⎧⎨+-≥-⎩截得8x≤-或φ或2x≥，综上所述，不等式()1f x x≥-的解集为(,8][2,)-∞-+∞. （2）当1m=-时，则()2251315g x x x x=+-++=+-，此时()g x的图象与x轴围成一个三角形，满足题意；当1m>-时，()37,12253,133,x m xg x x x m x m x mx m x m-+-≤-⎧⎪=+-+-=+--<≤⎨⎪-->⎩，则函数()g x在(,1)-∞-上单调递减，在(1,)-+∞上单调递增，要使函数()g x的图象与x轴围成一个三角形，则(1)40()230g mg m m-=-<⎧⎨=-≥⎩，解得342m≤<；综上所述，实数m的取值范围为{}3[,4)12-.。