2017-2018年福建省厦门市湖滨中学高二(上)期中数学试卷及参考答案

2017-2018学年福建省厦门市湖滨中学高二（上）期中数学试卷一、选择题（每题5分，共60分）1．（5分）不等式（x+1）（x+2）≤0的解集为（）A．{x|x≥﹣1或x≤﹣2}B．{x|﹣2≤x≤﹣1}C．{x|1≤x≤2}D．{x|x≥﹣1或x＜﹣2}2．（5分）已知各项均为正数的等比数列{a n}，a1•a9=16，则a2•a5•a8的值（）A．16 B．32 C．48 D．643．（5分）已知x＞0，函数y=+x的最小值是（）A．6 B．5 C．4 D．34．（5分）在△ABC中，a=15，b=10，A=60°，则cosB=（）A．B．C．D．5．（5分）已知点（3，1）和（4，6）在直线3x﹣2y+a=0的两侧，则a的取值范围是（）A．a＞0 B．a＜﹣7 C．﹣7＜a＜0 D．a＞0或a＜﹣76．（5分）等差数列{a n}的前n项和为S n，若a5+a6=18，则S10的值为（）A．35 B．54 C．72 D．907．（5分）在明朝程大位《算法统宗》中有这样的一首歌谣：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”这首古诗描述的这个宝塔（古称浮屠），本题说它一共有7层，每层悬挂的红灯数是上一层的2倍，共有381盏灯，问塔顶有几盏灯？你算出的结果是（）A．6 B．5 C．4 D．38．（5分）△ABC的三边分别为a，b，c，且a=1，B=45°，S△ABC=2，则△ABC的外接圆的直径为（）A．5 B．C．D．9．（5分）在△ABC中，若b=asinC，c=acosB，则△ABC的形状为（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形10．（5分）正项等比数列{a n}中，S n为其前n项和，若S3=3，S9=39，则S6为（）A．21 B．18 C．15 D．1211．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对边长分别为a，b，c，若a2+b2=2c2，则cosC的最小值为（）A．B．C．D．12．（5分）设x，y满足条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为12，则的最小值为（）A．4 B．6 C．12 D．24二、填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）已知实数x，y满足约束条件，则目标函数z=3x+y的最小值为．14．（5分）等比数列{a n}的前n项和S n=3n+t，则t+a3的值为．15．（5分）数列{a n}满足，则a10=．16．（5分）若钝角三角形三内角的度数成等差数列，且最大边长与最小边长的比值为m，则m的范围是．三、计算题（第19题10分，其余题每题12分，共70分）17．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足．（Ⅰ）若，求角A的大小；（Ⅱ）若△ABC的面积等于，求a，b的值．18．（12分）在等差数列{a n}中，a2=6，S4=20．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=（n∈N*），T n=b1+b2+…+b n（n∈N*），求证：T n＜1．19．（10分）若不等式（1﹣a）x2﹣4x+6＞0的解集是{x|﹣3＜x＜1}．（1）解不等式2x2+（2﹣a）x﹣a＞0（2）b为何值时，ax2+bx+3≥0的解集为R．20．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）=c．（Ⅰ）求C；（Ⅱ）若c=，△ABC的面积为，求△ABC的周长．21．（12分）如图，某观测站C在城A的南偏西20°方向上，从城A出发有一条公路，走向是南偏东40°．在C处测得距离C为31千米的公路上的B处有一辆车正沿着公路向城A驶去．该车行驶了20千米后到达D处停下，此时测得C、D 两处距离为21千米．（1）求cos∠CDB的值；（2）此车在D处停下时距城A多少千米？22．（12分）已知数列{a n}是首项为a1=，公比q=的等比数列，设b n+2=3a n（n∈N*），数列{c n}满足c n=a n•b n．（1）求证：{b n}是等差数列；（2）求数列{c n}的前n项和S n；（3）若c n≤m2+m﹣1对一切正整数n恒成立，求实数m的取值范围．2017-2018学年福建省厦门市湖滨中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每题5分，共60分）1．（5分）不等式（x+1）（x+2）≤0的解集为（）A．{x|x≥﹣1或x≤﹣2}B．{x|﹣2≤x≤﹣1}C．{x|1≤x≤2}D．{x|x≥﹣1或x＜﹣2}【解答】解：∵（x+1）（x+2）≤0，∴，或，解得﹣2≤x≤﹣1．故选：B．2．（5分）已知各项均为正数的等比数列{a n}，a1•a9=16，则a2•a5•a8的值（）A．16 B．32 C．48 D．64【解答】解：由等比数列的性质可得a1•a9==16，∵a n＞0∴a5=4∴a2•a5•a8==64故选：D．3．（5分）已知x＞0，函数y=+x的最小值是（）A．6 B．5 C．4 D．3【解答】解：∵x＞0，函数≥2=4，当且仅当x=，x=2时，等号成立，故函数的最小值是4，故选：C．4．（5分）在△ABC中，a=15，b=10，A=60°，则cosB=（）A．B．C．D．【解答】解：由正弦定理可得，∴sinB=．∵a＞b，A=60°，∴A＞B，∴=．故选：C．5．（5分）已知点（3，1）和（4，6）在直线3x﹣2y+a=0的两侧，则a的取值范围是（）A．a＞0 B．a＜﹣7 C．﹣7＜a＜0 D．a＞0或a＜﹣7【解答】解：∵点（3，1）和（4，6）在直线3x﹣2y+a=0的两侧，∴两点对应坐标对应式子3x﹣2y+a的符号相反，即（9﹣2+a）（12﹣12+a）＜0，即a（a+7）＜0，∴﹣7＜a＜0，即实数a的取值范围是﹣7＜a＜0，故选：C．6．（5分）等差数列{a n}的前n项和为S n，若a5+a6=18，则S10的值为（）A．35 B．54 C．72 D．90【解答】解：∵a5+a6=18，则S10==5（a5+a6）=5×18=90．故选：D．7．（5分）在明朝程大位《算法统宗》中有这样的一首歌谣：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”这首古诗描述的这个宝塔（古称浮屠），本题说它一共有7层，每层悬挂的红灯数是上一层的2倍，共有381盏灯，问塔顶有几盏灯？你算出的结果是（）A．6 B．5 C．4 D．3【解答】解：设塔顶的a1盏灯，由题意{a n}是公比为2的等比数列，∴S7==381，解得a1=3．故选：D．8．（5分）△ABC的三边分别为a，b，c，且a=1，B=45°，S△ABC=2，则△ABC的外接圆的直径为（）A．5 B．C．D．=2，【解答】解：∵a=1，B=45°，S△ABC∴由三角形的面积公式得：S=acsinB=×1×c×=2，∴c=4，又a=1，cosB=，根据余弦定理得：b2=1+32﹣8=25，解得b=5．∴△ABC的外接圆的直径为==故选：B．9．（5分）在△ABC中，若b=asinC，c=acosB，则△ABC的形状为（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形【解答】解：在△ABC中，∵b=asinC，c=acosB，故由正弦定理可得sinB=sinAsinC，sinC=sinAsinB，∴sinB=sinAsinAsinB，∴sinA=1，∴A=．∴sinC=sinAsinB 即sinC=sinB，∴由正弦定理可得c=b，故△ABC的形状为等腰直角三角形，故选：C．10．（5分）正项等比数列{a n}中，S n为其前n项和，若S3=3，S9=39，则S6为（）A．21 B．18 C．15 D．12【解答】解：正项等比数列{a n}中，设S6=x，∵S3=3，S9=39，∴（x﹣3）2=3×（39﹣x），解得x=12，或x=﹣9（舍）．故S6为12．故选：D．11．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对边长分别为a，b，c，若a2+b2=2c2，则cosC的最小值为（）A．B．C．D．【解答】解：因为a2+b2=2c2，所以由余弦定理可知，c2=2abcosC，cosC==．故选：C．12．（5分）设x，y满足条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为12，则的最小值为（）A．4 B．6 C．12 D．24【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：平移直线y=﹣x+，由图象知当直线经过点A时，y=﹣x+时，直线的截距最大，此时z最大为12，由得，即A（4，6），此时4a+6b=12，即+=1，∴=（）（+）=1+1++≥2+2=4，当且仅当=，即9b2=4a2，时取等号，则的最小值为4，故选：A．二、填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）已知实数x，y满足约束条件，则目标函数z=3x+y的最小值为8．【解答】解：由约束条件，作出可行域如图，联立，解得A（2，2），化目标函数z=3x+y为y=﹣3x+z，由图可知，当直线y=﹣3x+z过点A时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为8．故答案为：8．14．（5分）等比数列{a n}的前n项和S n=3n+t，则t+a3的值为17．【解答】解：由题意可得a1=S1=3+t，a2=S2﹣S1=6，a3=S3﹣S2=18，由等比数列可得36=（3+t）•18，解得t=﹣1，∴t+a3=﹣1+18=17．故答案为17．15．（5分）数列{a n}满足，则a10=．【解答】解：根据题意，数列{a n}满足﹣=1，又由a1=3，则=，则数列{}是以=为首项，公差为1的等差数列，则=+（n﹣1）=，则a n=，当n=10时，有a10=；故答案为：．16．（5分）若钝角三角形三内角的度数成等差数列，且最大边长与最小边长的比值为m，则m的范围是m＞2．【解答】解：设三内角分别为A，B，C，设C为钝角，则2B=A+C，∴B=60°，A+C=120°．由正弦定理可得，根据题意可得m==．由于0＜sinA＜，0＜sinC＜1，∴m＞=2，故答案为m＞2．三、计算题（第19题10分，其余题每题12分，共70分）17．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足．（Ⅰ）若，求角A的大小；（Ⅱ）若△ABC的面积等于，求a，b的值．【解答】解：（Ⅰ）△ABC中，c=2，C=，a=，由正弦定理得，=，∴sinA==；又0＜A＜，∴A=．（Ⅱ）△ABC的面积为S=absinC=ab×=，解得ab=4；①由余弦定理得a2+b2﹣2abcosC=c2，即a2+b2﹣ab=4；②由①②组成方程组，解得a=b=2．18．（12分）在等差数列{a n}中，a2=6，S4=20．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=（n∈N*），T n=b1+b2+…+b n（n∈N*），求证：T n＜1．【解答】解：（1）设{a n}的公差为d，由题意得，解得，得：a n=8﹣2（n﹣1）=10﹣2n．（2）证明：b n===﹣．∴T n=b1+b2+…+b n=1﹣++…+=1﹣＜1．19．（10分）若不等式（1﹣a）x2﹣4x+6＞0的解集是{x|﹣3＜x＜1}．（1）解不等式2x2+（2﹣a）x﹣a＞0（2）b为何值时，ax2+bx+3≥0的解集为R．【解答】解：（1）由题意知，1﹣a＜0，且﹣3和1是方程（1﹣a）x2﹣4x+6=0的两根，∴，解得a=3．∴不等式2x2+（2﹣a）x﹣a＞0即为2x2﹣x﹣3＞0，解得x＜﹣1或x＞．∴所求不等式的解集为{x|x＜﹣1或x＞}；（2）ax2+bx+3≥0即为3x2+bx+3≥0，若此不等式的解集为R，则b2﹣4×3×3≤0，∴﹣6≤b≤6．20．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）=c．（Ⅰ）求C；（Ⅱ）若c=，△ABC的面积为，求△ABC的周长．【解答】解：（Ⅰ）∵在△ABC中，0＜C＜π，∴sinC≠0已知等式利用正弦定理化简得：2cosC（sinAcosB+sinBcosA）=sinC，整理得：2cosCsin（A+B）=sinC，即2cosCsin（π﹣（A+B））=sinC2cosCsinC=sinC∴cosC=，∴C=；（Ⅱ）由余弦定理得7=a2+b2﹣2ab•，∴（a+b）2﹣3ab=7，∵S=absinC=ab=，∴ab=6，∴（a+b）2﹣18=7，∴a+b=5，∴△ABC的周长为5+．21．（12分）如图，某观测站C在城A的南偏西20°方向上，从城A出发有一条公路，走向是南偏东40°．在C处测得距离C为31千米的公路上的B处有一辆车正沿着公路向城A驶去．该车行驶了20千米后到达D处停下，此时测得C、D 两处距离为21千米．（1）求cos∠CDB的值；（2）此车在D处停下时距城A多少千米？【解答】解：（1）在△CDB中，由余弦定理得：cos∠CDB===﹣．（5分）（2）sin∠ACD=sin（∠CDB﹣60°）=sin∠CDBcos60°﹣cos∠CDBsin60°=，（7分）由正弦定理得：AD===15，（9分）∴此车在D处停下时距城A处15千米．（10分）22．（12分）已知数列{a n}是首项为a1=，公比q=的等比数列，设b n+2=3a n（n∈N*），数列{c n}满足c n=a n•b n．（1）求证：{b n}是等差数列；（2）求数列{c n}的前n项和S n；（3）若c n≤m2+m﹣1对一切正整数n恒成立，求实数m的取值范围．【解答】证明：（1）由题意得，a n==，又b n+2=3a n（n∈N*），则b n+2=3=3n，所以b n=3n﹣2，即b n+1﹣b n=3，且b1=1，所以{b n}是为1为首项，3为公差的等差数列；解：（2）由（1）得，a n=，b n=3n﹣2所以c n=a n•b n=，则S n=①，S n=②，①﹣②得，S n===，所以S n=，（3）由（2）得，c n=，c n+1﹣c n=﹣=，所以当n=1时，c2=c1=，当n≥2时，c2=c1＞c3＞c4＞c5＞…＞c n，则当n=1或2时，c n的最大值是，因为c n≤m2+m﹣1对一切正整数n恒成立，所以≤m2+m﹣1，即m2+4m﹣5≥0，解得m≥1或m≤﹣5，故实数m的取值范围是m≥1或m≤﹣5．。