浦东初一数学补习班 东南数理化 因式分解授课讲义及习题
因式分解第1课时课件沪科版七年级数学下册
(2)m(a-b)-n(a-b)； 原式=(m-n)(a-b).
(4)mn(m-n)-m(n-m)2. 原式=mn(m-n)-m(m-n)2
=m(m-n)-[n-(m-n)] =m(m-n)(2n-m).
五、当堂检测
4.计算：
1
（1）178× 3
1
+178× 5
7
+178× 15
解：原式=178×(
（1）m(a+b+c)= ma+mb+mc
； （2）(x+1)(x-1)= x2 -1
；
（3）(a+b)2 = a2+2ab+b2
.
问题2：根据上面的计算填空： （1）ma+mb+mc= m(a+b+c) （3）a2+2ab+b2 = (a+b)2
； （2）x2 -1= (x+1)(x-1) ； .
问题2中都是将多项式转化为两个整式的 乘积 .
三、自主学习
因式分解的定义： 把一个多项式化为几个整式的乘积的情势,像这样的式子变形叫做
把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.
想一想：整式乘法与因式分解有什么关系？
是互为相反的变形，即 ma+mb+mc
因式分解 整式乘法
m(a+b+c)
ma+mb+mc =m(a+b+c)
第 8 章 整式乘法与因式分解 8.4 因式分解
第1课时 提公因式法
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学习目标 新课导入 自主学习 合作探究 当堂检测 课堂总结
一、学习目标
1.理解因式分解的定义及它与整式乘法的联系; 2.通过探究多项式因式分解的过程，能够确认多项式的公因式，
著名机构七年级数学暑假班讲义14-因式分解综合-学生版
教师姓名学生姓名年级初一上课时间学科数学课题名称因式分解综合因式分解综合知识模块Ⅰ：因式分解的概念及注意事项1、因式分解：因式分解是把一个多项式分解成几个整式乘积的形式，它和整式乘法互为逆运算，在初中代数中占有重要地位和作用，在其它学科中也有广泛应用. 2．学习本章知识时，应注意以下几点。
（1） 因式分解的对象是多项式；（2） 因式分解的结果一定是整式乘积的形式；（3）分解因式，必须进行到每一个因式都不能再分解为止； （4）公式中的字母可以表示单项式，也可以表示多项式； （5）结果如有相同因式，应写成幂的形式；（6） 题目中没有指定数的范围，一般指在有理数范围内分解；知识模块Ⅱ：因式分解基本方法（1）提公因式法如多项式(),am bm cm m a b c ++=++其中m 叫做这个多项式各项的公因式， m 既可以是一个单项式，也可以是一个多项式． （2）运用公式法，即用222223322()(),2(),()()a b a b a b a ab b a b a b a b a ab b -=+-±+=±±=±+m 写出结果．（3）十字相乘法对于二次项系数为l 的二次三项式2,x px q ++ 寻找满足ab =q ，a +b =p 的a ，b ，如有，则2()();x px q x a x b ++=++（4）分组分解法把各项适当分组，先使分解因式能分组进行，再使分解因式在各组之间进行．分组时要用到添括号：括号前是“+”号，括到括号里的各项都不变符号；括号前面是“-”号，括到括号里的各项都改变符号.知识模块Ⅲ：因式分解的步骤（1）通常采用一“提”、二“公”、三“分”、四“变”的步骤。
即首先看有无公因式可提，其次看能否直接利用乘法公式；如前两个步骤都不能实施，可用分组分解法，分组的目的是使得分组后有公因式可提或可利用公式法继续分解；（2）若上述方法都行不通，可以尝试用配方法、换元法、待定系数法、试除法、拆项（添项）等方法；知识模块Ⅳ：分解因式时常见的思维误区（1）提公因式时，其公因式应找字母指数最低的，而不是以首项为准． （2）若有一项被全部提出，括号内的项“ 1”易漏掉． （3）分解不彻底，如保留中括号形式，还能继续分解等【例1】选择题：对n np mp m 22+++运用分组分解法分解因式，分组正确的是（ ）（A ）mp np n m +++)22(（B ）)2()2(mp n np m +++（C ）)()22(nm mp n m +++ （D ）np mp n m +++)22( 【例2】用分组分解法分解因式：（1）x xy y x 21372-+-； （2）22441y xy x -+-.【例3】分解因式：315523+--x x x【例4】把下列各式分解因式：（1）222z yz y xz xy -+--；（2）122222+----a bc c b a ；（3）1424422+--++y x y xy x .【例5】分解因式：（1）652+-a a ； （2）1032-+m m .【例6】分解因式：（1）4)(5)(2++++b a b a ；（2）22127q pq p +-【例7】分解因式： ⑴134-+-x x x ；⑵q p q pq p 36522++++；⑶)1)(1()1)(1(-+--+b b b a a a ；⑷c c bc b a b a --+++-222424.【例8】分解因式：（1）6)2)(1(---x x x ； （2）)()1(222b a x x ab +++【例9】分解因式673+-a a【例10】若2542++kx x 是完全平方式，求k 的值.【例11】把下列各式分解因式：（1）1682++x x ； （2）63244914b b a a +-（3）1)2(6)2(92+---b a b a【例12】求证：对于任意自然数n ，1322323+++-+-n n n n 一定是10的倍数.【例13】因式分解（1）y b x b y a x a 2222+++； （2）nx n mx mx --+2【习题1】下列从左边到右边的变形①15x 2y ＝3x ·5xy ②（a +b ）（a -b ）=a 2-b 2 ③a 2-2a +1=(a -1)2④x 2+3x +1=x (x +3+x1)其中因式分解的个数为（ ） A ．0个B ．2个C ．3个D ．1个【习题2】在多项式①x 2+2y 2，②x 2-y 2，③-x 2+y 2，④-x 2-y 2中能用两数和乘以它们的差的公式进行因式分解的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【习题3】下列各式中不能分解因式的是（ ）A ．4x 2+2xy +41y 2 B ．4x 2-2xy +41y 2 C ．4x 2-41y 2D ．-4x 2-41y 2【习题4】下列能用两数和的平方公式进行因式分解的是（ ）A ．m 2-9n 2B ．p 2-2pq +4q 2C ．-x 2-4xy +4y 2D ．9（m +n ）2-6（m +n ）+1【习题5】若25x 2+kxy +4y 2可以解为（5x -2y ）2，则k 的值为（ ）A ．-10B ．10C ．-20D ．20【习题6】下列多项式中不能用提公因式进行因式分解的是（ ）A ．-41x 2-xy +y 2B ．x -xyC ．-m 3+mn 2D ．-3x 2+9【习题7】81-xk =(9+x 2)(3+x )(3-x )，那么k 的值是( )A .k =2B .k =3C .k =4D .k =6 【习题8】9x 2+mxy +16y 2是一个完全平方式，那么m 的值是（ ）A .12B .24C .±12.D .±24【习题9】把下列各式分解因式(每题4分，共20分)(1)8a2-2b2(2)4xy2-4x2y-y3 (3)4x2y2-(x2+y2)2(4)9x2+16(x+y)2-24x(x+y) (5)（a-b）3-2(b-a)2+a-b 【习题10】已知xy=5,a-b=6，求证xya2+xyb2-2abxy的值【习题11】若x2+2(m-3)x+16是一个整式的完全平方，求m的值.【习题12】求证32002-4×32001+10×32000能被7整除. 【习题13】已知a2+b2+a2b2+1=4ab，求a，b的值。
七年级数学暑假班讲义：第13讲 因式分解综合(教师版)
1 / 18本部分内容包括因式分解的有关概念，因式分解的常用基本方法．因式分解在代数学习中具有基础作用，它在代数的恒等变换，分式的通分，约分以及解方程方面都起着重要作用．通过学习，可以培养学生的观察、分析、运算能力．一、因式分解基本概念1、因式分解：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也 可称为将这个多项式分解因式．2、因式分解与整式乘法互为逆变形： ()m a b c ma mb mc ++++ƒ整式乘法因式分解式中m 可以代表单项式，也可以代表多项式，它是多项式中各项都含有的因式，称为公因式．因式分解综合 知识结构知识精讲内容分析二、四种基本方法：1、提取公因式法：多项式ma mb mc ++各项都含有公因式m ，可把公因式m 提到外面， 将多项式ma mb mc ++写成m 与a b c ++的乘积形式，此法叫做提取公因式法． 提取公因式的步骤：（1）找出多项式各项的公因式． （2）提出公因式．（3）写成m 与a b c ++的乘积形式． 提取公因式法的几个技巧和注意点： （1）一次提净． （2）视“多”为“一”． （3）切勿漏1．（4）注意符号：在提出的公因式为负的时候，注意各项符号的改变．（5）化“分”为整：在分解过程中如出现分数，可先提出分数单位后再进行分解 ． （6）仔细观察：当各项看似无关的时候，仔细观察其中微妙的联系，转化后再分解． 2、逆用乘法公式将一个多项式分解因式的方法叫做公式法． （1）平方差公式：由平方差公式反过来可得：22()()a b a b a b -=+-，这个公式叫做因式分解的平方差公式；（2）完全平方公式：由完全平方公式反过来可得：2222()a ab b a b ++=+和2222()a ab b a b -+=-，这两个公式叫做因式分解的完全平方公式．3、十字相乘法：如果二次三项式2x px q ++中的常数项q 能分解成两个因式a 、b 的积，而且一次项系数p 又恰好是a b +，那么2x px q ++就可以进行如下的分解因式，即：()()()22x px q x a b x ab x a x b ++=+++=++要将二次三项式2x px q ++分解因式，就需要找到两个数a 、b ，使它们的积等于常数项q ，和等于一次项系数p , 满足这两个条件便可以进行如下分解因式，即：22()()()x px q x a b x ab x a x b ++=+++=++．这种利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法．4、分组分解法：将一个多项式分成二或三组，各组分别分解后，彼此又有公因式或者可以用公式，这就是分组分解法．3 / 181. 下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是（）A 、()()2339a a a +-=-B 、()()22a b a b a b -=+-C 、()24545a a a a --=--D 、23232m m m m m ⎛⎫--=-- ⎪⎝⎭【难度】★ 【答案】B【解析】把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解，因此判断B 正确． 【总结】本题主要考查因式分解的概念．2. 下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（ ）A 、()x a b ax bx -=-B 、()()222111x y x x y -+=-++C 、221142x x x ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭D 、()22296432m mn n m n ++=+【难度】★ 【答案】C【解析】把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解，因此判断C 正确． 【总结】本题主要考查因式分解的概念．3. 下列各式的分解因式：① ()()2210025105105p q q q -=+-；②()()22422m n m n m n --=-+-；③()()2632x x x -=+-；④221142x x x ⎛⎫--+=-- ⎪⎝⎭其中正确的个数有（）A 、0B 、1C 、2D 、3【难度】★ 【答案】B【解析】其中①应该为(105)(105)p q p q +-；②应该为22(4)m n -+；③不能因式分解． 【总结】本题主要考查因式分解的概念．选择题4. 多项式322322361812a b a b a b -+各项的公因式是（ ）A 、22a bB 、3312a bC 、336a bD 、226a b【难度】★ 【答案】D【解析】根据公因式的定义． 【总结】本题主要考查公因式的概念．5. 已知多项式22x bx c ++分解因式为()()231x x -+，则b 、c 的值为（ ）A 、3,1b c ==-B 、6,2b c =-=C 、6,4b c =-=-D 、4,6b c =-=-【难度】★ 【答案】D【解析】()()2231246x x x x -+=--． 【总结】考查整式的乘法以及待定系数法．6. 下列多项式中不能用平方差公式分解的是（ ）A 、22a b -+B 、22x y --C 、22249x y z -D 、4221625m n p -【难度】★ 【答案】B【解析】B 选项变形可得22()x y -+． 【总结】考查平方差公式的定义．7. 下列各式中，能用完全平方公式分解因式的是（）A 、()()4x y y x xy +--B 、2224a ab b -+C 、2144m m -+D 、()2221a b a b --++【难度】★ 【答案】D【解析】D 选项变形为()22()1a b a b --++．【总结】本题主要考查对完全平方公式的理解及运用．8. 已知正方形的面积是()22168x x cm -+（4x cm >），则正方形的边长是（ ）A 、()4x cm -B 、()4x cm -C 、()164x cm -D 、()416x cm -【难度】★★ 【答案】B44x x =-=-．【总结】考查二次根式的非负性以及完全平方公式．9. 分解因式41x -得（ ） A 、()()2211x x +-B 、()()2211x x +-C 、()()()2111x x x -++D 、()()311x x -+【难度】★★ 【答案】C【解析】42221(1)(1)(1)(1)(1)x x x x x x -=-+=-++．【总结】本题主要考查利用平方差公式分解因式，注意一定要分解彻底．10. 一个多项式分解因式的结果是()()3322b b +-，那么这个多项式是（ ）A 、64b -B 、64b -C 、64b +D 、64b --【难度】★★ 【答案】B【解析】()()336224b b b +-=-．【总结】本题主要考查整式的乘法与因式分解之间的关系．11. 若多项式()281nx -能分解成()()()2492323x x x ++-，那么n =（ ）A 、2B 、4C 、6D 、8【难度】★★★ 【答案】B【解析】()()()2224492323(49)(49)1681x x x x x x ++-=+-=-． 【总结】考查整式的乘法以及幂的运算．6/ 1812. 如图①，在边长为a 的正方形中挖掉一个边长为b 的小正方形（a b >），把余下的部分剪拼成一个矩形（如图②），通过计算两个图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式，则这个等式是（）A 、()()2222a b a b a ab b +-=+-B 、()2222a b a ab b +=++ C 、()2222a b a ab b -=-+D 、()()22a b a b a b -=+- 【难度】★★★ 【答案】D【解析】割补法求面积．【总结】直接利用面积公式进行求解，这也是验证平方差公式成立的一种方法．13. 直接写出因式分解的结果：（1）222x y y -=_____________；（2）2363a a -+=_____________． 【难度】★【答案】（1）2(1)(1)y x x -+；（2）23(1)a -． 【解析】（1）原式222(1)(1)(1)y x y x x =-=-+； （2）原式223(21)3(1)a a a =-+=-．【总结】本题主要考查提取公因式以及利用乘法公式进行因式分解．14. 填上适当的式子，使等式成立：()222xy x y xy xy +-=⋅．【难度】★【答案】21y x +-．【解析】222(21)xy x y xy xy y x +-=⋅+-．【总结】本题主要考查通过提取公因式进行因式分解，注意不要遗漏提取因式后的1．15. 22525x x y -的公因式是_____________． 【难度】★ 【答案】25x【解析】2225255(15)x x y x y -=-． 【总结】考查如何提取公因式．空题16. 利用分解因式计算：（1）7716.87.63216⨯+⨯=_____________；（2）221.229 1.334⨯-⨯=_____________； （3）599810⨯+=_____________． 【难度】★★【答案】（1）7；（2）6.32；（3）5000．【解析】（1）原式1777716.87.6(8.47.6)167216161616=⨯⨯+⨯=+=⨯=（2）原式2222221.223 1.332(1.223)(1.332)=⨯-⨯=⨯-⨯ (1.223 1.332)(1.223 1.332)=⨯-⨯⨯+⨯(3.66 2.66)(3.66 2.66) 6.32=-+=；（3）原式5249910104991010(4991)105005000=⨯⨯+=⨯+=⨯+=⨯=． 【总结】本题主要考查提取公因式以及利用乘法公式进行因式分解，注意进行巧算．17. 利用因式分解简便计算：227.29 2.71-=___________． 【难度】★★ 【答案】45.8．【解析】原式(7.29 2.71)(7.29 2.71) 4.581045.8=-+=⨯=． 【总结】本题主要考查利用乘法公式进行简便运算．18. 若()()2310x x x a x b --=++，则a =________，b =________． 【难度】★【答案】12125225a a b b ==-⎧⎧⎨⎨=-=⎩⎩；． 【解析】2310(5)(2)x x x x --=-+．【总结】本题主要考查整式的乘法以及待定系数法．19. 分解因式：34m m -=________________． 【难度】★★【答案】(2)(2)m m m -+．【解析】原式2(4)(2)(2)m m m m m =-=-+．【总结】本题主要考查提取公因式以及利用乘法公式进行因式分解，注意分解要彻底．20. 已知：若22340a ab b --=，则ab的值为________． 【难度】★★ 【答案】4或-1．【解析】∵2234(4)()0a ab b a b a b --=-+=， ∴(4)()0a b a b -+=．∴a = 4b 或a = -b ，∴ab的值为4或-1． 【总结】本题主要考查利用因式分解解二次方程．21. 计算23221111111123910⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L的值为________． 【难度】★★【答案】1120【解析】原式11111111(1)(1)(1)(1)(1)(1)(12233991010132481091122339910101111121020=-+-+-+-+=⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅=L ．【总结】本题主要考查利用因式分解进行分数简便运算．22. 如果已知6x y +=，4xy =，则22x y xy +的值为________． 【难度】★★ 【答案】24．【解析】22()6424x y xy xy x y +=+=⋅=． 【总结】利用因式分解求解代数式的值．23. 若5x y -=，6xy =则22x y xy -=________，2222x y +=________． 【难度】★★ 【答案】30；74．【解析】22()6530x y xy xy x y -=-=⨯=；()222222()22251274x y x y xy ⎡⎤+=-+=⋅+=⎣⎦．【总结】本题主要考查利用因式分解求解代数式的值以及整体代入思想的运用．24. 若()2228x y z x y z ++=-+=，时，x y z --=________． 【难度】★★ 【答案】4．【解析】∵22()()()8x y z x y z x y z -+=--++=，又2x y z ++=，∴4x y z --=． 【总结】本题主要考查利用因式分解求解代数式的值以及整体代入思想的运用．25. 若m n x y -=()()()2224x y x y x y +-+，则m =________，n =________． 【难度】★★ 【答案】4；8．【解析】()()()()()2224242448x y x y x y x y x y x y +-+=-+=-． 【总结】考查整式的乘法以及待定系数法．26. 已知两个正方形的周长差是96cm ，面积差是9602cm ，则这两个正方形的边长分别是________________cm ． 【难度】★★ 【答案】32和8．【解析】设较大的边长为a ，较小的边长为b ，由两个正方形的周长差是96cm ，面积差是9602cm ，可得224496960a b a b -=⎧⎨-=⎩；由此变形可得24()()960a b a b a b -=⎧⎨-+=⎩，∴328a b =⎧⎨=⎩． 【总结】本题主要考查因式分解在有关正方形周长和面积求解中的运用．27. 已知正方形的面积是2296x xy y ++（0,0x y >>），利用分解因式，写出表示该正方形的边长的代数式________________． 【难度】★★ 【答案】3x y +．【解析】22296(3)x xy y x y ++=+．【总结】本题主要考查因式分解在有关正方形面积求解中的运用．28. 甲、乙两个同学分解因式2x ax b ++时，甲看错了b ，分解结果为()()24x x ++．乙看错了a ，分解结果为()()19x x ++，则a =________，b =________． 【难度】★★ 【答案】6，9．【解析】由2(2)(4)68x x x x ++=++可得：6a =，再由()()219109x x x x ++=++可得：9b =． 【总结】考查整式的乘法以及待定系数法，要认真理解题意．29. 已知a 为任意整数，且()2213a a +-的值总可以被n （n 为自然数，1n ≠）整除，则n 的值为__________． 【难度】★★★ 【答案】13．【解析】由()2213(13)(13)13(213)a a a a a a a +-=+-++=⋅+，可得13(213)a ⋅+总可以被13整除．【总结】考查数的整除以及平方差公式的运用．11 / 1830. 因式分解：22221438x x xy y y +++--=___________________． 【难度】★★★【答案】(41)(23)x y x y +--+．【解析】方法一：原式22282143x xy y x y =+-++-(4)(2)2(7)3x y x y x y =+-++-(41)(23)x y x y =+--+；方法二：原式22(1)2(1)8124x y x y y =+++-+-2(1)2(1)4(21)(1)x y x y y =+++---(41)(23)x y x y =+--+．【总结】本题综合性较强，主要利用分组分解法以及添项或者双十字相乘进行分解．31. 在下列各式中，从左到右的变形是不是因式分解？ （1）()()2339x x x -+=-；（2）()()252438x x x x +-=-+；（3）()22323x x x x +-=+-；（4）211x x x x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭．【难度】★【答案】（1）不是；（2）是；（3）不是；（4）不是．【解析】（1）乘法公式；（3）没有表示成乘积的形式；（4）因式不是整式． 【总结】本题主要考查因式分解的概念． 32. 把下列各式因式分解：（1）4323862x y x y x y -+-； （2）()()232x x y y x ---； （3）3222245954a b c a bc a b c +-； （4）322159a ab ac -+-； （5）222x y xy -；（6）2325205a b ab ab -+-．【难度】★【答案】（1）32(431)x y x y --+；（2）2()(32)x y x y --；（3）29(516)a bc ab b +-；（4）222(159)a a b c --+；（5）(2)xy x y -；（6）25(41)ab ab b --+．【解析】（1）原式32(431)x y x y =--+；（2）原式22()(22)()(32)x y x x y x y x y =-+-=--；（3）原式29(516)a bc ab b =+-；（4）原式222(159)a a b c =--+； （5）原式(2)xy x y =-；（6）原式25(41)ab ab b =--+．【总结】本题主要考查如何选取适当的方法进行因式分解，注意分解时不要漏项．解答题填（1）244a a -+；（2）2249m n -； （3）()()2222a b a b +-+；（4）2244x y xy --+．【难度】★【答案】（1）2(2)a -；（2）(23)(23)m n m n -+；（3）3()()a b a b --+；（4）2(2)x y --． 【解析】（1）原式2(2)a =-；（2）原式(23)(23)m n m n =-+；（3）原式(22)(22)()(33)3()()a b a b a b a b a b a b a b a b =+--+++=-++=--+； （4）原式222(44)(2)x y xy x y =-+-=--．【总结】本题主要考查利用乘法公式进行因式分解，注意对公式的准确运用．34. 把下列各式因式分解： （1）6216a a -；（2）()()()433a b a a b b b a -+-+-； （3）543351881a b a b a b ++；（4）421681x x -+．【难度】★★【答案】（1）22(2)(2)(4)a a a a -++； （2）42()a b -；（3）322(9)a b a b +；（4）22(21)(21)x x -+．【解析】（1）原式2422222(16)(4)(4)(2)(2)(4)a a a a a a a a a =-=-+=-++； （2）原式34()()2()a b a b a b a b =--+-=-； （3）原式3224322(1881)(9)a b a ab b a b a b =++=+； （4）原式2222(41)(21)(21)x x x =-=-+．【总结】本题主要考查提取公因式以及利用乘法公式进行因式分解，注意分解一定要彻底．（1）22122x y -；（2）422454x x y y -+；（3）3222a a b a b -+-；（4）222223x xy y x y -++--．【难度】★★ 【答案】（1）112()()22x y x y -+； （2）(2)(2)()()x y x y x y x y -+-+；（3）(1)(1)(2)a a a b -+-； （4）(3)(1)x y x y -+--．【解析】（1）原式221112()2()()422x y x y x y =-=-+； （2）原式2222(4)()(2)(2)()()x y x y x y x y x y x y =--=-+-+； （3）原式22(2)(2)(1)(2)(1)(1)(2)a a b a b a a b a a a b =---=--=-+-； （4）原式2()2()3(3)(1)x y x y x y x y =-+--=-+--．【总结】考查利用不同的方法进行因式分解，注意分解要彻底，分到不能再分解为止．36. 把下列各式分解因式： （1）3222a a b ab -+；（2）()()22a x y b y x -+-； （3）()()22141m m m ---；（4）()222416x x +-．【难度】★★【答案】（1）2()a a b -；（2）()()()x y a b a b --+；（3）2(1)(2)m m --；（4）22(2)(2)x x -+． 【解析】（1）原式222(2)()a a ab b a a b =-+=-；（2）原式22()()()()()x y a b x y a b a b =--=--+； （3）原式22(1)(44)(1)(2)m m m m m =-+-=--； （4）原式2222(44)(44)(2)(2)x x x x x x =-+++=-+．【总结】考查利用不同的方法进行因式分解，注意分解要彻底，分到不能再分解为止．（1）()()22221414x x x x +-++；（2）22616x xy y --； （3）()()2280x y y x ----；（4）22244x xy y z -+-．【难度】★★【答案】（1）4(1)x -；（2）(8)(2)x y x y -+；（3）(10)(8)x y x y ---+； （4）(2)(2)x y z x y z ---+． 【解析】（1）原式224(12)(1)x x x =+-=-；（2）原式(8)(2)x y x y =-+； （3）原式(10)(8)x y x y =---+；（4）原式22(2)(2)(2)x y z x y z x y z =--=---+． 【总结】考查利用不同的方法进行因式分解以及整体思想的运用．38. 把下列各式因式分解： （1）3222a a b ab -+；（2）()()221x y x y ++++； （3）()()22916a b a b --+；（4）224426x xy y x y -+-+-．【难度】★★【答案】（1）2()a a b -； （2）2(1)x y ++；（3）(7)(7)a b a b -++； （4）(23)(22)x y x y ---+． 【解析】（1）原式222(2)()a a ab b a a b =-+=-；（2）原式2(1)x y =++；（3）原式(3344)(3344)(7)(7)(7)(7)a b a b a b a b a b a b a b a b =----++=--+=-++； （4）原式2(2)(2)6(23)(22)x y x y x y x y =----=---+． 【总结】考查利用不同的方法进行因式分解，注意代数式系数的化简．39. 运有简便的方法计算：2275 2.612 3.5⨯-⨯． 【难度】★★ 【答案】360．【解析】原式2222355 2.6223 3.5313373(137)(137)=⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=⨯-⨯=⨯-+3620360=⨯⨯=．【总结】本题主要考查利用数的质因数分解以及平方差公式和提取公因式进行简便运算．40. 利用简便方法计算下列各题： （1）9911009⨯；（2）222011402220102010-⨯+． 【难度】★★【答案】（1）999919；（2）1．【解析】（1）原式(10009)(10009)100000081999919=-+=-=； （2）原式22220112201120102010(20112010)1=-⨯⨯+=-=． 【总结】本题主要考查利用因式分解的思想进行简便运算．41. 利用分解因式进行计算：3.4614.70.5414.729.4⨯+⨯-． 【难度】★★ 【答案】29.4．【解析】原式14.7(3.460.542)14.7229.4=⨯+-=⨯=． 【总结】本题主要考查利用因式分解的思想进行简便运算．42. 已知：2a b +=，求221122a ab b ++的值．【难度】★★ 【答案】2．【解析】原式22211(2)()22a ab b a b =++=+，把2a b +=代入，得：2211222a ab b ++=．【总结】本题主要考查利用因式分解求代数式的值以及整体思想的运用．43. 已知：1x y -=，2xy =，求32232x y x y xy -+的值． 【难度】★★ 【答案】2．【解析】32232222(2)()212x y x y xy xy x xy y xy x y -+=-+=-=⨯=． 【总结】本题主要考查利用因式分解求代数式的值以及整体思想的运用．44. 已知：1328a b ab +==，，求32232a b a b ab ++的值．【难度】★★【答案】316．【解析】32232223132(2)()8216a b a b ab ab a ab b ab a b ++=++=+=⨯=．【总结】本题主要考查利用因式分解求代数式的值以及整体思想的运用．45. 已知：()()212x x x y ---=-,求222x y xy +-的值．【难度】★★★ 【答案】2．【解析】由2(1)()2x x x y ---=-，可得222x x x y --+=- ，即2y x -=-．∴222222()2222x y x y xy x y xy ++---===． 【总结】本题主要考查利用因式分解求代数式的值以及整体思想的运用．46. 若4324401600x ax bx x -+-+是完全平方式，求a 与b 的值． 【难度】★★★【答案】12341234111111111591601591602222a a a a b b b b ===-=-⎧⎧⎧⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨==-=-=⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩；；；【解析】设22432()4401600mx nx l x ax bx x ++=-+-+， 则22243222()222mx nx l m x mnx nx l mlx nlx ++=+++++， 由此可得：224221600m mn a n ml b l ⎧=⎪=-⎪⎨+=⎪⎪=⎩， ∴12121,23,44040112222l l n n m m ==-⎧⎧⎪⎪⎪⎪=-=⎨⎨⎪⎪=±=±⎪⎪⎩⎩；，把m n l ，，代入，求得：12341234111111111591601591602222a a a a b b b b ===-=-⎧⎧⎧⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨==-=-=⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩；；；．【总结】本题综合性较强，难度较大，主要考查利用完全平方公式以及待定系数法求解，注意符号和分类讨论．47. 3199199-能被198整除吗？能被200整除吗？说明你的理由． 【难度】★★ 【答案】能．【解析】因为32199199199(1991)199(1991)(1991)199198200-=-=-+=⨯⨯， 所以其能够198整除也能被200整除． 【总结】考查数的整除性以及因式分解的运用．48. 说明：当n 为正整数时，3n n -的值必为6的倍数． 【难度】★★ 【答案】见【解析】．【解析】32(1)(1)(1)n n n n n n n -=-=-+，∵n 为整数，∴11n n n -+，，为连续整数， 则其中必有偶数以及3的倍数，∴3n n -的值必为6的倍数． 【总结】考查数的整除性以及因式分解的运用．49. 根据上述算式所反应出的规律，猜想“任意四个连续正整数的积与1的和一定是一个完全平方数”，你认为这个猜想正确吗？说说你的理由． 【难度】★★★【答案】正确，理由见【解析】．【解析】设n 为整数，且n 为最小整数，则四个连续正整数的积可表示为(1)(2)(3)n n n n +++， 由此可得22(1)(2)(3)1(3)(32)1n n n n n n n n ++++=++++22222(3)2(3)1(31)n n n n n n =++++=++．【总结】考查数的整除性以及因式分解的运用．。
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如何分解？ 【最新】七年级数学因式分解复习 课课件沪科版 课件
本节课你有什么收获呢？
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因式分解的步骤： 1、首先考虑提取公因式法； 2、第二考虑公式法。 3、因式分解要分解到不能再分解为止。 因式分解的规律： 1、首先考虑提取公因式法； 2、两项的在考虑提公因后多数考虑平方差公式。 3、三项的在考虑提公因后考虑完全平方公式。 4、多于三项的在考虑提公因后，考虑分组分解。 5、分解后得到的因式，次数高于二次的必须再考虑 是否能继续分解，确保分解到不能再分解为止。
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拓展 提高 ：已知多项式2x3-x2-13x+k分解因式后有 一个因式为2x+1。求k的值。 提示：因为多项式2x3-x2-13x+k有一个因式是2x+1，所以
当2x+1＝0时，多项式2x3-x2-13x+k＝0，
即：当x＝ 1 时，多项式2x3-x2-13x+k＝0。
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提取公因式法
如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号 外面，将多项式写成乘积的形式。这种分解因式的方法叫 做提公因式法。
练习：
1、把多项式m2(a－2)+m(2－a)分解因式等于（ C ） A．(a－2)(m2+m) B．(a－2)(m2－m) C．m(a－2)(m－1) D．m(a－2)(m+1)
2、把下列多项式分解因式
(1) a2x2yax2y
12.1因式分解的意义(课件)-七年级数学上册(沪教版2024)
12.1因式分解的意义
学习目标
1.理解因式分解的意义和概念及其与整式乘法的区
别和联系.（重点）
2.理解并掌握提公因式法并能熟练地运用提公因式
法分解因式.（难点）
情景导入
我们已经学习了整式的乘法，可以将几个整式的乘积化为一个整式如：
+ + = + + ;
因式分解一般要分解到每个因式都不能再分解为止，
如在 4 − 1的因式分解的过程中，因式 2 + 1不能继续因式分解，
2 − 1还能继续因式分解为 + 1 − 1 .
课本例题
例1
1
分析
Hale Waihona Puke 下列等式中，哪些从左到右的变形是因式分解？
− 2 + 3 = 2 + − 6;
1 等式 − 2 + 3
b=_______；
9
解题秘方：利用因式分解与整式乘法是互逆变形，可以
将因式分解的结果利用整式乘法算出多项式，并与已知
多项式比较解决问题.
(3)仿照以上方法解答下面的问题：已知把二次三项式
2x2+5x－k分解因式后有一个因式为2x－3，求其另一个
因式及k的值.
解题秘方：利用因式分解与整式乘法是互逆变形，可以
根据上述算式，完成下列因式分解：
5
2
（6）25
− 1 = (5x+1))(5x−1) 。
3² + 6 = 3x(x+2) 。
（7）a²−8a+16=
−4 ²
。
（8）2 − 5 − 6= − 6 + 1。
初中数学辅导讲义沪教版初一T同步(因式分解(2)3星)
——因式分解2（★★★）1．理解二次三项式的意义； 2．理解十字相乘法的根据；3．能用十字相乘法分解二次三项式；4．重点是掌握十字相乘法，难点是首项系数不为1的二次三项式的十字相乘法．建议3 分钟前面我们介绍了因式分解的定义以及用提公因式法和公式法进行分解因式，通过前面的学习我们知道，要想对一个多项式进行因式分解，首先提公因式法，然后再用公式法，在用公式法的时候我们必须保证提公因式后的多项式要满足一定的形式，但是，我们的学习中并不是所有的都满足公式的形式，更多的是一般性的式子，又该如何来分解因式呢？比如以下式子：x 2+4xy+3y 2 x 2＋3x ＋2 a 2＋5a ＋6 x 2－11x ＋24对于上述式子我们又该如何来因式分解呢？建议7分钟(1) 对于二次项系数为1的二次三项式))(()(2b x a x ab x b a x ++=+++方法的特征是“拆常数项，凑一次项”当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同； 当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同．(2)对于二次项系数不是1的二次三项式c bx ax ++2))(()(2211211221221c x a c x a c c x c a c a x a a ++=+++=它的特征是“拆两头，凑中间”当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数，然后再看常数项； 常数项为正数时，应分解为两同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同； 常数项为负数时，应将它分解为两异号因数，使十字连线上两数之积绝对值较大的一组与一次项系数的符号相同注意：用十字相乘法分解因式，还要注意避免以下两种错误出现：一是没有认真地验证交叉相乘的两个积的和是否等于一次项系数；二是由十字相乘写出的因式漏写字母．小结：对二次三项式x 2+ px + q 进行因式分解，应重点掌握以下三个方面：1．掌握方法: 拆分常数项,验证一次项.2．符号规律: 当q ＞0时，a 、b 同号，且a 、b 的符号与p 的符号相同；当q ＜0时，a 、b 异号，且绝对值较大的因数与p 的符号相同.3．书写格式:竖分横积建议20分钟 用十字相乘法因式分解：（★★）（1）1522--x x ；【分析】常数项－15可分为3 ×(－5)，且3＋(－5)＝－2恰为一次项系数；【答案】)5)(3(1522-+=--x x x x ；（★★）（2）2265y xy x +-；【分析】将y 看作常数，转化为关于x 的二次三项式，常数项26y 可分为(－2y )(－3y )，而(－2y )＋(－3y )＝(－5y )恰为一次项系数．【答案】)3)(2(6522y x y x y xy x --=+-．把下列多项式因式分解： （★）（1）1032-+x x【答案】(x ＋5)(x －2) ．（★★）（2)6724+-x x ；【答案】)6)(1)(1(2--+x x x ．（★★★）（3）633687b b a a --；【答案】))()(42)(2(2222b ab a b a b ab a b a +-+++-．（★★）（1）3522--x x ．【答案】)3)(12(3522-+=--x x x x ．（★★）（2）3832-+x x ．【答案】)x )(x (x x 3133832+-=-+．【总结】1.我们要把多项式c bx ax ++2分解成形如))((2211c ax c ax ++的形式，这里a a a =21，c c c =21而b c a c a =+1221．2.二次项系数不等于1的二次三项式应用十字相乘法分解时，二次项系数的分解和常数项的分解随机性较大，往往要试验多次，这是用十字相乘法分解的难点，要适当增加练习，积累经验，才能提高速度和准确性．（★★）（1）422416654y y x x +-．【答案】)4)(4)(2)(2(y x y x y x y x -+-+．（★★） （2）234456a a a --．【答案】)43)(12(2-+a a a ．（★★★）（3）422469374b a b a a +-．【答案】)3)(3)(2)(2(2b a b a b a b a a -+-+．（★★）（1）)(2)(5)(723y x y x y x +-+-+．【分析】提取公因式(x ＋y )后，原式可转化为关于(x ＋y )的二次三项式． 【答案】(x ＋y )(x ＋y －1)(7x ＋7y ＋2)（★★）（2）120)8(22)8(222++++a a a a ．【分析】以)8(2a a +为整体，转化为关于)8(2a a +的二次三项式；【答案】)108)(6)(2(2++++a a a a ．【总结】要深刻理解换元的思想，这可以帮助我们及时、准确地发现多项式中究竟把哪一个看成整体，才能构成二次三项式，以顺利地进行分解．同时要注意已分解的两个因式是否能继续分解，如能分解，要分解到不能再分解为止．（★★）（1）60)(17)(222++-+x x x x ．【答案】)5)(3)(4(2-+-+x x x x ．（★★）（2）8)2(7)2(222-+-+x x x x ；【答案】2)1)(4)(2(++-x x x ．（★★）（3）48)2(14)2(2++-+b a b a ．【答案】)82)(62(-+-+b a b a ．（★★★）90)242)(32(22+-+-+x x x x ． 【分析】把x x 22+看作一个变量，利用换元法解之．【答案】设y x x =+22，则原式()()32490y y =--+162272+-=y y()()189y y =--)92)(182(22-+-+=x x x x ．【总结】本题中将x x 22+视为一个整体大大简化了解题过程，体现了换元法化简求解的良好效果．此外，)9)(18(162272--=+-y y y y 一步，我们用了“十字相乘法”进行分解．（★★★）（1）120)127)(23(22-++++x x x x ．【答案】)6)(1)(165(2+-++x x x x ．（★★★）（2）4222212)2)((y y xy x y xy x -++++．【答案】)2)()(5(22y x y x y xy x +-++．（★★★★）653856234++-+x x x x ． 【分析】可考虑换元法及变形降次来解之．【答案】原式]38)1(5)1(6[222-+++=x x x x x ]50)1(5)1(6[22-+++=xx x x x ，令y xx =+1，则原式)5056(22-+=y y x)103)(52(2+-=y y x)1033)(522(2++-+=xx x x x )3103)(252(22+++-=x x x x)13)(3)(12)(2(++--=x x x x ．【总结】本题连续应用了“十字相乘法”分解因式的同时，还应用了换元法，方法巧妙，令人眼花瞭乱．但是，品味之余应想到对换元后得出的结论一定要“还原”，这是一个重要环节．（★★★★）262234+---x x x x ．【答案】原式=)1162(222x x x x x +---=[]6)1()1(2222-+-+x x xx x 设t x x =+1，则21222-=+t xx ∴原式=[]6)2222---t t x （=()10222--t t x =()()2522+-t t x =⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+215222x x x x x =⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+21··522·x x x x x x =()()1225222+++-x x x x =)2)(12()1(2--+x x x ．（★★★★）655222-+-+-y x y xy x ．【分析】方法1：依次按三项，两项，一项分为三组，转化为关于(x －y )的二次三项式．方法2：把字母y 看作是常数，转化为关于x 的二次三项式．【答案】法1：655222-+-+-y x y xy x6)55()2(22-+-++-=y x y xy x 6)(5)(2----=y x y x)6)(1(--+-=y x y x ．法2： 655222-+-+-y x y xy x65)52(22-+++-=y y x y x)1)(6()52(2-+++-=y y x y x()()=+61x y x y ---⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()=6+1x y x y ---．十字相乘在几何中的应用（★★★）已知：长方形的长、宽为x 、y ，周长为16cm ，且满足2222x y x xy y --+-+0=．求长方形的面积．【分析】要求长方形的面积，需借助题目中的条件求出长方形的长和宽．【答案】因为：02222=+-+--y xy x y x ，所以：()()22220x xy y x y -+---= ()2()20x y x y ----=．()()210x y x y ---+=． 即： 02=--y x 或x y -+=10． 又因：8=+y x ．所以： ⎩⎨⎧=+=+-⎩⎨⎧=+=--801802y x y x y x y x ． 解得：x y ==⎧⎨⎩53或x y ==⎧⎨⎩3545..．∴长方形的面积为15cm 2或6342cm ．（★★★）矩形的周长是28cm ，两边x ，y 使3223+0x x y xy y --=，求矩形的面积．【答案】面积为249cm．1．二次项系数为1的二次三项式直接利用公式——))(()(2q x p x pq x q p x ++=+++进行分解． 特点：（1）二次项系数是1；（2）常数项是两个数的乘积；（3）一次项系数是常数项的两因数的和． 2. 二次项系数不为1的二次三项式——c bx ax ++2条件：（1）21a a a = 1a 1c（2）21c c c = 2a 2c （3）1221c a c a b += 1221c a c a b += 分解结果：c bx ax ++2=))((2211c x a c x a ++．建议10分钟1．因式分解：（★★★）5)13)(33()2(81038103)1(222345-++-+++---a a a a x x x x x67)4(25332)3(322+-+-+--x x y x y xy x参考答案：（1）)23)(4)(1)(1(2+-++-x x x x x ．（2）)2)(1)(1)(4(++-+a a a a ． （3）)2)(13(+++-y x y x ． （4）)2)(3)(1(-+-x x x .2．（★★★★）分解因式：3529422x xy y x y +-++-．【答案】 设3529422x xy y x y +-++-．()()()()=-+++=+-+++-+323523222x y m x y n x xy y m n x m n y mn比较同类项系数，得：m n m n mn +=-==-⎧⎨⎪⎩⎪31294解得：m n ==-⎧⎨⎩41，∴()()22352943421xxy y x y x y x y +-++-=-+--．。
沪教版(上海)初中数学七年级第一学期 9.13 因式分解 课件
x (x+1)
刚才我们把一个多项 式化成了几个整式的 积的形式。
这种式子变形叫做这 个多项式的因式分解。
也叫做把这个多项式 分解因式。
m (a+b+c)=ma+mb+mc
整式的积
结果是多项式
整式乘法
ma+mb+mc= m (a+b+c)
多项式
结果是整式的积
因式分解 把一个多项式化为几个整式的积的形
式,叫做因式分解.(与整式乘法正好相反)
因式分解
注意！
因式分解必须分解到 每个多项式的因式不 能再分解为止。
判断下列各式那些是整式乘法?那些 是因式分解? 是因式分解的打“√”
(1) x2-4y2=(x+2y)(x-2y) （√ ） (2)2x(x-3y)=2x2-6xy （ ） (3)(5a-1)2=25a2-10a+1 （ ） (4)x2+4x+4=(x+2)2 （ √ ） (5)(a+3)(a-3)=a2-9 （ ） (6) x2-3x+2=(x-1)(x-2)（√ ） (7)2∏R+2∏r=2∏(R+r)（ √ ）
手工课上，老师给同学们2张边长为a的正 方形纸片，一张边长为b的正方形纸片，3 张长是a，宽是b的长方形纸片，请你将它 们拼成一个长方形，并运用面积之间的关 系，将多项式2a2+3ab+b2因式分解
手工课上，老师给同学们2张边长为a的正 方形纸片，一张边长为b的正方形纸片，3 张长是a，宽是b的长方形纸片，请你将它 们拼成一个长方形，并运用面积之间的关 系，将多项式2a2+3ab+b2因式分解
著名机构七年级数学秋季班讲义因式分解补充练习(学生)
因式分解补充练习一、把下列各多项式分解因式：1、a 2－b 2+a －b2、a 2－b 2+2b －13、x 4y 4－5x 2y 2+44、x 2(x －2y )+y 2(2y －x )5、164-n6、x n+2－2x n+1+x n一、填空题：1、()229=n ；()222=a ；c a b a m m ++1＝ 。
2、分解因式：222y xy x -+-＝ ；1872--xy x ＝ ； ()()25102++-+y x y x ＝ 。
3、计算：1998×2002＝ ，2223274627+⨯-＝ 。
4、若012=++a a ，那么199920002001a a a ++＝ 。
5、如果n 222108++为完全平方数，则n ＝ 。
6、m 、n 满足0)4(22=-++n m ，分解因式()()n mxy y x +-+22＝ 。
二、选择题：1、把多项式b a ab -+-1因式分解的结果是（ ）A 、()()11++b aB 、()()11--b aC 、()()11-+b aD 、()()11+-b a2、如果二次三项式12-+ax x 可分解为()()b x x +-2，则b a +的值为（ ）A 、－1B 、1C 、－2D 、23、若22169y mxy x ++是一个完全平方式，那么m 的值是（ ）A 、24B 、12C 、±12D 、±244、已知1248-可以被在60～70之间的两个整数整除，则这两个数是（ ）A 、61、63B 、61、65C 、61、67D 、63、65三、解答题：1、因式分解：（1）118146-++-n n n x x x （2）()()8323222-+-+x x x x（3）122222++--+a b ab b a （4）()()()()14321+++++x x x x（5）()()ab b a 41122---2、已知0258622=+++-y y x x ，求|32|y x -的值。
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因式分解 授课讲义因式分解是初中数学中的基础知识和基本技能。
初学上手有一定难度，必须熟练掌握技巧，为初二初三的学习打下基础。
本讲义主要介绍如下几种因式分解方法：（其中，一到四为教材要求的基础方法）一、提公因式法二、运用公式（平方差公式、平方和公式等）法三、分组分解法四、十字相乘法（交叉相乘法）五、换元法六、“添”“拆”“配”法一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c)二、运用公式法.在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：（1）(a+b)(a -b) = a 2-b 2 ---------a 2-b 2=(a+b)(a -b)；(2) (a ±b)2 = a 2±2ab+b 2 ——— a 2±2ab+b 2=(a ±b)2；(3) (a+b)(a 2-ab+b 2) =a 3+b 3------ a 3+b 3=(a+b)(a 2-ab+b 2)；(4) (a -b)(a 2+ab+b 2) = a 3-b 3 ------a 3-b 3=(a -b)(a 2+ab+b 2)．下面再补充两个常用的公式：（碰到难题可查询）(5)a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6)a 3+b 3+c 3-3abc=(a+b+c)(a 2+b 2+c 2-ab -bc -ca)；三、分组分解法.（一）分组后能直接提公因式例1、分解因式：bn bm an am +++分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a ，后两项都含有b ，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。
解：原式=)()(bn bm an am +++=)()(n m b n m a +++ 每组之间还有公因式！=))((b a n m ++例2、分解因式：bx by ay ax -+-5102解法一：第一、二项为一组； 解法二：第一、四项为一组；第三、四项为一组。
第二、三项为一组。
解：原式=)5()102(bx by ay ax -+- 原式=)510()2(by ay bx ax +-+-=)5()5(2y x b y x a --- =)2(5)2(b a y b a x ---=)2)(5(b a y x -- =)5)(2(y x b a --练习：分解因式1、bc ac ab a -+-2 2、1+--y x xy（二）分组后能直接运用公式例3、分解因式：ay ax y x ++-22例4、分解因式：2222c b ab a -+-思考：这两题，将哪些项分在一组？解：原式=)()(22ay ax y x ++- 解：原式=222)2(c b ab a -+- =)())((y x a y x y x ++-+ =22)(c b a --=))((a y x y x +-+ =))((c b a c b a +---练习：分解因式3、y y x x 3922--- 4、yz z y x 2222---练习：（1）3223y xy y x x --+ （2）b a ax bx bx ax -+-+-22（3）181696222-+-++a a y xy x （4）a b b ab a 4912622-++-（5）92234-+-a a a （6）y b x b y a x a 222244+--（7）222y yz xz xy x ++-- （8）122222++-+-ab b b a a（9）)1)(1()2(+---m m y y （10）)2())((a b b c a c a -+-+四、十字相乘法.（一）二次项系数为1的二次三项式直接利用公式——))(()(2q x p x pq x q p x ++=+++进行分解。
特点：（1）二次项系数是1；（2）常数项是两个数的乘积；（3）一次项系数是常数项的两因数的和。
例5、分解因式：652++x x分析：将6分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5。
由于6=2×3=(-2)×(-3)=1×6=(-1)×(-6)，从中可以发现只有2×3的分解适合，即2+3=5。
1 2解：652++x x =32)32(2⨯+++x x 1 3=)3)(2(++x x 1×2+1×3=5用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。
例6、分解因式：672+-x x解：原式=)6)(1()]6()1[(2--+-+-+x x 1 -1=)6)(1(--x x 1 -6（-1）+（-6）= -7练习5、分解因式(1) 542-+x x (2)36152+-a a(3) 24142+-x x (4) 24112+-x x练习6、分解因式(1)22-+x x (2)1522--x x(3)24102--x x (3)2422--x x（二）二次项系数不为1的二次三项式——c bx ax ++2条件：（1）21a a a = 1a 1c（2）21c c c = 2a 2c（3）1221c a c a b += 1221c a c a b +=分解结果：c bx ax ++2=))((2211c x a c x a ++例7、分解因式：101132+-x x分析： 1 -23 -5（-6）+（-5）= -11解：101132+-x x =)53)(2(--x x练习7、分解因式：（1）6752-+x x （2）2732+-x x（3）317102+-x x （4）101162++-y y（三）二次项系数为1的齐次多项式例8、分解因式：221288b ab a --分析：将b 看成常数，把原多项式看成关于a 的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。
1 8b1 -16b8b+(-16b)= -8b解：221288b ab a --=)16(8)]16(8[2b b a b b a -⨯+-++=)16)(8(b a b a -+练习8、分解因式(1)2223y xy x +- (2)2286n mn m +-(3)226b ab a --（四）二次项系数不为1的齐次多项式例9、22672y xy x +- 例10、2322+-xy y x1 -2y 把xy 看作一个整体 1 -12 -3y 1 -2(-3y)+(-4y)= -7y (-1)+(-2)= -3解：原式=)32)(2(y x y x -- 解：原式=)2)(1(--xy xy练习9、分解因式：（1）224715y xy x -+ （2）8622+-ax x a练习10、（1）17836--x x （2）22151112y xy x --（3）10)(3)(2-+-+y x y x （4）344)(2+--+b a b a（5）222265x y x y x -- （6）2634422++-+-n m n mn m（7）3424422---++y x y xy x （8）2222)(10)(23)(5b a b a b a ---++（9）10364422-++--y y x xy x （10）2222)(2)(11)(12y x y x y x -+-++五、换元法。
例13、分解因式（1）2016)12016(201622---x x（2）2)6)(3)(2)(1(x x x x x +++++解：（1）设2016=a ，则原式=a x a ax ---)1(22=))(1(a x ax -+=)2016)(12016(-+x x（2）型如e abcd +的多项式，分解因式时可以把四个因式两两分组相乘。
原式=222)65)(67(x x x x x +++++设A x x =++652，则x A x x 2672+=++∴原式=2)2(x A x A ++=222x Ax A ++=2)(x A +=22)66(++x x练习13、分解因式（1）)(4)(22222y x xy y xy x +-++ （2）90)384)(23(22+++++x x x x六、添项、拆项、配方法。
例14、分解因式（1）4323+-x x解法1——拆项。
原式=33123+-+x x=)1)(1(3)1)(1(2-+-+-+x x x x x=)331)(1(2+-+-+x x x x=)44)(1(2+-+x x x=2)2)(1(-+x x解法2——添项。
原式=444323++--x x x x=)44()43(2++--x x x x=)1(4)4)(1(++-+x x x x=)44)(1(2+-+x x x=2)2)(1(-+x x练习14、分解因式（1）4224)1()1()1(-+-++x x x（2）1724+-x x（3）22412a ax x x -+++因式分解知识总结归纳因式分解是把一个多项式分解成几个整式乘积的形式，它和整式乘法互为逆运算，学习本章知识时，应注意以下几点。
1. 因式分解的对象是多项式；2. 因式分解的结果一定是整式乘积的形式；3. 分解因式，必须进行到每一个因式都不能再分解为止；4. 公式中的字母可以表示单项式，也可以表示多项式；5. 结果如有相同因式，应写成幂的形式；6. 题目中没有指定数的范围，一般指在有理数范围内分解；7. 因式分解的一般步骤是：（1）通常采用一“提”、二“公”、三“分”、四“变”的步骤。
即首先看有无公因式可提，其次看能否直接利用乘法公式；如前两个步骤都不能实施，可用分组分解法，分组的目的是使得分组后有公因式可提或可利用公式法继续分解；（2）若上述方法都行不通，可以尝试用配方法、换元法、待定系数法、试除法、拆项（添项）等方法；下面我们一起通过例题来回顾本章所学的内容。
1. 通过基本思路达到分解多项式的目的例1. 分解因式分析：这是一个六项式，很显然要先进行分组，此题可把分别看成一组，此时六项式变成二项式，提取公因式后，再进一步分解；也可把，，分别看成一组，此时的六项式变成三项式，提取公因式后再进行分解。
解一：原式解二：原式=2. 通过变形达到分解的目的例1. 分解因式解一：将拆成，则有解二：将常数拆成，则有3. 在证明题中的应用例：求证：多项式的值一定是非负数分析：现阶段我们学习了两个非负数，它们是完全平方数、绝对值。
本题要证明这个多项式是非负数，需要变形成完全平方数。
证明：设，则4. 因式分解中的转化思想例：分解因式：分析：本题若直接用公式法分解，过程很复杂，观察a+b，b+c与a+2b+c的关系，努力寻找一种代换的方法。