2-5隐函数

求高阶导数时, 求高阶导数时,从低到高每次都用参数方程求导公式
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）（4）； 作业 P122 1（2）（ ）； (2)；4 (1)；6 ；7(1) （ ）（ ）；3 ； ；
预习
第七节函数的微分
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的导数 . 例5. 求 解 两边取对数 , 化为隐式 1 ′= cos x ⋅ ln x + sin x y 两边对 x 求导,得 y x sin x ′ = xsin x (cos x ⋅ ln x + ∴ y ) x
方法1 对数求导法， 方法1： 对数求导法，Q ln f ( x) = v( x) ⋅ lnu( x) f ′( x) u′( x) ′( x) ln u( x) + v( x) =v 求导： 两端对x求导： f ( x) u( x) v( x)u′( x) v( x ) ∴ f ′( x) = u( x) [v′( x) ⋅ ln u( x) + ] u( x) 方法2 方法2： 利用复合函数求导法 变形为 f ( x) = e
解
e y y′ + y + x y′ = 0
再求导, 得
① ②
′2 + (e y + x) y′′ +2y′ = 0 e y
y
当 x = 0 时, y = 1, 故由 ① 得 1 y′(0) = − e 1 再代入 ② 得 y′′(0) = 2 e
∴ y′′(0) = 0
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二、对数求导法 ( x + 1)3 x − 1 y = x sin x 求导的方法？ 求导的方法？ 观察函数 y = ， ( x + 4) 2 e x
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2.由参数方程确定的函数的导数的求法 2.由参数方程确定的函数的导数的求法 若参数方程 关系, 关系,
y =ψ[ϕ−1 ( x)]
可确定一个 y 与 x 之间的函数 可导, 可导, 且 ϕ′(t) ≠ 0 ，则有
y→t → x
dy dy dt = dx dx dt
dy dy dt dy 1 ψ′(t) = ⋅ = ⋅ = dx dt dx dt dx ϕ′(t) (t dt ψ′(t) ≠ 0时, 有
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例8
x = a(θ − sinθ ) 二阶导数. 求由摆线的参数方程 所确定的函数二阶导数. y = a(1 − cosθ )
y
a o
θ
πa
2πa
x
dx dy 解 Q = a(1 − cosθ ), = a sinθ， 则 dθ dθ dy dy a sin θ sin θ dy dθ = ， θ ≠ 2nπ , n为整数. Q = = a(1 − cosθ ) 为整数. 1 − cos θ dx dx dy′ dθ 1 1 d2 y dθ d sinθ cosθ (1 − cos θ ) − sin 2 θ )⋅ = = ( = ⋅ 2 2 a (1 − cos θ ) dx dx dθ 1 − cosθ dx (1 − cos θ ) dθ dθ cosθ − 1 1 = . =− 3 2 a (1 − cos θ ) a (1 − cos θ )
log a MN = log a M + log a N M = log a M − log a N N log a M n = n log a M log a
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u( x)v( x)
幂指函数的求导方法有两种： 幂指函数的求导方法有两种： f ( x) = u( x)v( x) (u( x) > 0)， 对幂指函数
2 1 1 y′ − + −1 = y x +1 3( x−1) x + 4
[
1 1 2 + − −1 ] x +1 3( x −1) x + 4
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三、由参数方程所确定的函数的导数 1.定义： 1.定义： 若参数方程 定义
y→t → x
确定了x , y 的函数关系
x = ϕ(t ) y =ψ (t )
称此函数为由参数方程所确定的函数. 称此函数为由参数方程所确定的函数. 例如 x = 2 t , y = t2,
y =ψ[ϕ−1 ( x)]
x t = ， 消去参数 t 2
1 x 2 x2 2 ，∴ y′ = x ∴y =t =( ) = 2 4 2
问题: 消参困难或无法消参如何求导? 问题: 消参困难或无法消参如何求导?
v( x)lnu( x)
然后用复合函数求导法求导 复合函数求导法求导. , 然后用复合函数求导法求导.
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例6 解
( x + 1)3 x − 1 dy y= ，求 . 2 x ( x + 4) e dx
两边取对数
1 (ln u )′ = u u
11 ln ln= ln(ln +x ++ +ln( x − 1)1 2 ln( x + 4)4 − x y y = x 1) 1 ln x − − −2ln x + − x 33 两边对 x 求导
F( x, y) = 0
y = f (x) 隐函数的显化. 隐函数的显化.
x 注意: 注意: （1）隐函数中 , y 的地位平等谁都可以当函数.
（2）并不是任一方程 如 x2 + y2 +1 = 0
都可确定一个函数.
2
x 注意: 注意: （1）隐函数中 , y 的地位平等谁都可以当函数.
（2）并不是任一方程 如 x2 + y2 +1 = 0 2.隐函数求导方法（直接法）: 求导方法（直接法） 求导方法 两边对 x 求导
dy dy dy b cost cos t dy dt b cos t ∴ = , = = dx t =π − a sin t dx dx − a sin t 4 dt
则切线方程为 即
t=
π
4
b =− . a
2 b 2 y− b = − (x − a) 2 a 2
bx + ay − 2 ab = 0 .
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例9 解
x = 1+ t2 , 在t=2处的切线方程为 曲线 处的切线方程为_______. 处的切线方程为 3 y=t
(5,8)， 当t=2时，曲线上的点为 (5,8) ， 时
dy dy 切线的斜率为 = k dx
dy = dt dx dt 3t = 2
t=2
= 3,
t=2
t=2
第二章
第五节 隐函数和参数方程求导
一、隐函数的导数 二、由参数方程确定的函数的导数
1
一、隐函数的导数
可确定 y 是 x 的函数 , 1.定义：若由方程 则称此 函数为隐函数 . 隐函数 由 表示的函数 , 称为显函数 . 显函数 例如, 例如 可确定函数 可确定 y 是 x 的函数 , 但此隐函数不能显化 .
×
?
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x = a cos t , π 处的切线方程. 求椭圆在 t = 处的切线方程. 例7 已知椭圆的参数方程为 4 y = b sin t . π a 2 b 2 解 当 t = 时， ( 的坐标是： ， ) 椭圆上的相应切点 M 0 的坐标是： 4 2 2 dx dy = b cos t . 则 = −a sint , dt dt
dy 2 ⇒ = . dx 2 − cos y
2 dy sin y ⋅ sin y ⋅ 2 − cos y − 4 sin y dx = −2 = −2 . = 2 2 3 (2 − cos y) (2 − cos y) (2 − cos y)
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例4 设
由方程 方程两边对 x 求导, 得
确定 , 求
方法: 方法: 先在方程两边取对数, 先在方程两边取对数,然后利用隐函数的求导方 法求出导数. --------对数求导法 法求出导数. --------对数求导法 适用范围: 适用范围: 求多个函数的积 求多个函数的积或商以及 幂指函数 的求导的问题. 求导的问题. 的问题 对数的性质： 对数的性质：
则切线方程为 y − 8 = 3( x − 5), 即 3 x − y − 7 = 0.
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内容小结
1. 隐函数求导法则 直接对方程两边对 x 求导 的函数; 把含有 y 的项看成是 x 的函数; 2. 对数求导法 : 对方程两边取对数,按隐函数的求导法则求导; 对方程两边取对数, 求导法则求导; 适用于幂指函数及某些用连乘, 适用于幂指函数及某些用连乘,连除表示的函数 3. 参数方程求导法 实质上是利用复合函数求导法则; 实质上是利用复合函数求导法则;
d dy d y′ dt ψ ′( t ) ′ 1 d y dt ( )= = ⋅ = ⋅ ′ 2 dx dx dt dx ϕ ′( t ) t ϕ ( t ) dx
dy ′ d dy dy ′ d t = 或 ( )= dx dx dx d x dt
y′ → t → x
注意 : 已知
确定的隐函数
得
dy 5y + 2 −1− 21x6 = 0 dx dx 6 dy 1+ 21x ∴ = 4 结论中允许含y 结论中允许含y dx 5y + 2
4dy
因x=0时y=0, 故
4
例2.圆方程两边对 x 求导 x 2 + y ⋅ y′ = 0 8 9 3 9x ∴ y′ x=2 = − x=2 = − 4 16 y y=3 3 y=3 3
都可确定一个函数.
（3）一般隐函数不易显化或不能显化，如何求导?
(含导数 y′ 的方程)
即用复合函数求导法则直接对方程两边求导. 即用复合函数求导法则直接对方程两边求导.遇到 看成中间变量， 求导. 只须将y看成中间变量，继续对x 求导. 含y的项， 的项，