浙江省2017届高考数学第二次联考试题

浙江省2017届高考数学第二次联考试题本试题卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．注意事项:1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试卷和答题纸规定的位置上。

2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

不能答在试题卷上。

参考公式：球的表面积公式：24S R =π ，球的体积公式： 343R V π=（其中R 表示球的半径）锥体的体积公式：13V Sh =（其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高）柱体的体积公式：V sh =（其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱的高）台体的体积公式：()1213V h S S =+（其中12S S ，分别表示台体的上、下底面积，h 表示台体的高）如果事件A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+第I 卷(选择题 共40分)一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．）1．若全集{}2,1,0,1-=U ，{}22<∈=x Z x A ，则=A C U （ ▲ ）A ．{}2B ．{}2,0C ．{}2,1-D ．{}2,0,1-2．设*n N ∈，则“数列{}2n a 为等比数列”是“数列{}n a 为等比数列”的（ ▲ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．若关于x 的不等式223x x a -++>对任意x R ∈恒成立，则a 的取值范围为（ ▲ ） A ．(,7)-∞B ．7(,)2-∞C ．[0,7)D ．7[0,)24．若83log 3, log 5p q ==，则lg 5（用,p q 表示）等于（ ▲ ） A ．35p q+ B ．13pqp q++ C ．313pqpq+D ．22p q +5．若向量2222(,), (,), (cos ,sin )().2222m n p R ααα==-=∈ 实数,a b 满足 ,am bn p += 则22(3)a b +-的最小值为（ ▲ ）A ．1B ．2C ．3D ．46．已知点P 是ABC ∆所在平面外一定点，直线l 过点P ，与,,AB BC CA 所成角均相等，这样的直线l 有（ ▲ ）条 A ．无数 B ．4C ．3D ．17．定义集合{,}A B x x A x B -=∈∉称为集合A 与集合B 的差集 ． 又定义()()A B A B B A ∆=--称为集合,A B 的对称差集 ． 记A 表示集合A 所含元素个数 ． 现有两个非空有限集合,S T ，若S T ∆=1，则S T +的最小值为（ ▲ ）A ．1B ．2C ．3D ．48．已知双曲线22221(,0)x y a b a b-=>的左、右焦点分别为12,F F ，过2F 的直线l 与双曲线右支交于,A B 两点（B 在第四象限），若1ABF ∆是B 为直角顶点的等腰直角三角形，设该双曲线的离心率为e ，则2e 为（ ▲ ）A ．5-B ．225+C ．224+D ． 22-4第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题（本大题共7小题，9～12小题每小题6分，13～15小题每小题4分，共36分）9．已知复数1z =（其中i 是虚数单位），满足20z az +=，则实数a =▲ ，z a += ▲ ．10．已知函数()sin 2f x x =向左平移6π个单位，得到函数()y g x =，则()g x = ▲ ， ()y g x =的递增区间是 ▲ ．11．若函数()1f x a x b =+-在(1,)+∞上是减函数，则实数a 的取值范围是 ▲ ，实数b 的取值范围是 ▲ ．12．已知，某几何体的三视图(单位：cm) 如右图所示，则该几何体的体积为 ▲ (cm 3)；表面积为 ▲ (cm 2)．13．方程220x +-=的解可视为函数y x =+2y x=的图像交点的横坐标 ． 若方程440x ax +-=的各个实根12,,...,(4)k x x x k ≤所对应的点是4(,)(1,2,...,)i ix i k x =均在直线y x =的同侧，则实数a 的取值范围是 ▲ ．14．已知半径分别为1和2 的两球紧贴放在水平桌面上， 则两球在桌面上的俯视图的公共P弦长为 ▲ ．15．已知单位向量,,,a b c x ，且0a b c ++=，记y x a x b x c =-+-+-，则y 的最大值为 ▲ ．三、解答题：本大题共5个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16．有数字1,2,3,4,5,6, 从中任取三个数字 ．（Ⅰ）求取到的三个数字的积是3的倍数的不同取法；（Ⅱ）记剩下的三个数中奇数的个数为ξ，求ξ的分布列与期望 ．17．如图，已知菱形ABCD 与等腰PAB ∆所在平面相互垂直.120PAB BAD ∠=∠=. E 为PB 中点 ．（Ⅰ）求证：//PD 平面ACE ；（Ⅱ）求二面角B CE D --的余弦值（Ⅰ）求134;（Ⅱ）猜想n a 的表达式并给出证明； （Ⅲ）记12111...,n n S a a a =+++ 证明：32n S < ．19．已知12,F F 是椭圆223:155x y C +=的左右焦点 ． （Ⅰ）若点M 在椭圆C 上，且 1260F MF ∠=，求12F MF ∆的面积；（Ⅱ）动直线(1)y k x =+与椭圆C 相交于A ,B 两点 ． 点(,0)T t ． 问：是否存在t R ∈，使TA TB ⋅为定值，若存在，求出t ；若不存在，请说明理由 ．20．已知函数()ln()f x ax b x =+-，2()ln g x x ax x =-- ．（Ⅰ）若1b =, ()()()F x f x g x =+，问：是否存在这样的负实数，使得()F x 在1x =处存在切线且该切线与直线1123y x =-+平行，若存在，求a 的值；若不存在，请说明理由 ．（Ⅱ）已知0a ≠，若在定义域内恒有()ln()0f x ax b x =+-≤，求()a a b +的最大值 ．浙江省名校新高考研究联盟2017届第二次选考联考数学参考答案一、选择题ABBC DDCA 二、填空题9．2 , ； 10．sin(2)3x π+, 5[,],1212k k k Z ππππ-+∈ ； 11．(,0)-∞ , [1,-+∞） ； 12． 12，30+； 13．-,-6)(6,)∞+∞（ ；14.4； 15. 4 ． 16．解：（I ）6个数任取3个取法有3620C =种， ………………………….3分其中既没有取3且没有取6的取法有344C =种 ………………………….6分∴取到的三个数字的积是3的倍数的不同取法有20416-=种………………………….7分（II ） 由题意，ξ的取值范围为0,1,2,3 ………………………….8分3611(0)20P C ξ===；1233369(1)20C C P C ξ===； (2)P ξ==213336920C C C =；(3)P ξ==361120C =. ………….12分（注：每算对一个给1分）Py0123202020202E ξ∴=⋅+⋅+⋅+⋅=………………………….14分17．证：（I ）. 连结BD ，设BD 交AC 于M 点，连结ME ………………………….2分 在平行四边形ABCD 中，AC ，BD 相互平分，即DM=BM ， 又PE=BE∴在BDP ∆中，//EM PDAEC ME AEC PD ⊄⊂面，面 ∴//EM PD ………………………….6分解：（II ）.过D 作DO 垂直BA 延长线与O 点，连结PO ，易得DO ，PO ，BO 两两垂直 建立如图坐标系，设AB=2，则(0,3,0),(0,B C P D3,0)22E ∴3333(0,1,3),(,,0),DC (0,2,0),(,,22BC BE DE ∴=-=-== ………………………….10分（注：每对一个给1分）∴设面BCE 的一个法向量为11(,,1)m x y =，面DCE 的一个法向量22(,,1)n x y =，则21221100,3333002222n DC ym BC y n DE x y m BE x y ⎧⎧⋅==⋅=-+=⎪⎪⎨⎨⋅=+=⋅=-=⎪⎪⎩⎩ (3,3,1),(2,0,1)m n ∴==……………………………….12分（注：每对一个给1分）cos ,6565m n m n m n⋅∴<>===⋅…………………………14分∴二面角B CE D --的余弦值为65-………………………….15分18．解：（I ）2111211323324344313416111,1;161122,15;1133,28;11,15;28.a a a n a a a a a a n a a a a a n a a a a a a +-+-====-++++-===-++-===-+∴===时，时，时，………………….3分（注：每对一个给1分）（II ）猜想(21)n a n n =⋅-………………….5分证： ①1n =时，11(211)1a =⋅⋅-=成立，22,236n a ==⋅=时成立；………….6分②不妨设(2)n k k =≥时成立，即(21)k a k k =⋅-，下证1n k =+时成立，即证1(1)[2(1)1]k a k k +=+⋅+-(1)(21)k k =++由题意，11111(21)11(21)1k k k k k k a a a k k k a a a k k +++++-+⋅--==-+-⋅-+， 32211221k k ka k k k a k k ++∴-++=+--322321(1)221221(1)(1)(21)k k a k k k k k k k k k k k +∴-=--+--=+--=-++ ∴1(1)(21)(10)k a k k k +=++->，即1n k =+时成立 ∴(21)n a n n =⋅-………………………………….10分(III).11111111(),2(21)(22)2(1)21n n a n n n n n n n n=<==-≥----………………….13分 1111111131(1...)1(1)2223122n S n n n ∴<+-+-++-=+-<-………………….15分19．解：（I ）.2225105,,33a b c ===，……………………………………………1分设12||,||PF m PF n ==则由22403m n m n mn ⎧+=⎪⎨+-=⎪⎩， …………………………………………… 5分 可知209mn =……………………………………………………………...6分所以129F MF S ∆=..7分(II). 设1122(,),(,)A x y B x y ，则223155(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，化简得2222(31)6350k x k x k +++-=………………….8分 212221226313531k x x k k x x k ⎧-+=⎪⎪+∴⎨-⎪⋅=⎪+⎩，直线恒过椭圆内一点(1,0)-，则定有两交点………………….9分1122(,),(,)TA x t y TB x t y =-=-21122121212(,)(,)()TA TB x t y x t y x x t x x t y y ∴⋅=-⋅-=⋅-+++⋅ 22121212122222()[()1](361)531x x t x x t k x x x x k t t t k =⋅-+++⋅++++-+-=+………………………….13分 2236173,53t t t t +-∴==--令则∴存在，73t =-…………………………….15分20．解：（I ）由题意，()F x 定义域1(0,)a-………………………….2分不妨假设存在，则21()ln(1)ln ,(0,)F x ax x x ax x x a=+-+--∈-当1(0,)x a∈-时，22x ax x ax -=-22()ln(1)ln ln(1)ln ,F x ax x x ax x ax x ax x x ∴=+-+--=+---+….3分'1()121a F x a x ax x ∴=---++'11(1)121,1122a a a a a ∴=-+--=-=-=+令F 则或（舍）…………………………5分 当12a =-时，1(0,)(0,2),1(0,2)x a-==∈∴存在，12a =-………………………….6分（II ）（方法一）()ln()0f x ax b x =+-≤① 当 0a <时，定义域()ba-∞-，，则当x →-∞时，()f x →+∞，不符；….7分② 当0a >时，'()()1a b a x a a f x ax b ax b---=-=++（0ax b +>） 当b a b x a a --<<时，'()0f x >；当a b x a->时，'()0f x <∴ ()f x 在区间()b a b a a --，上为增函数，在区间()a b a-+∞，上为减函数 ∴ ()f x 在其定义域()b a -+∞，上有最大值，最大值为()a bf a -由()0f x ≤，得()ln 0a b a bf a a a--=-≤∴ ln b a a a ≤-∴ 22()2ln a a b a a a +≤- …………………………..………….12分设22()2ln h a a a a =-，则()4(2ln )(32ln )h a a a a a a a '=-+=-。